Optellen en aftrekken op de basisschool


Begrijpen van kinder’rekendenkhandelingen bij het optellen en aftrekken tot 100. Inzicht voor de rekenmeester, moeite- en foutloos rekenen voor de kinderen.

telraam lusabacus rekenen










1 Tel­handelingenWanneer de leerling de telwoordenrij kan opzeggen en kan bepalen hoeveel er zijn, dan kan de leerling leren optellen.De optelmethoden zijn eerst nog zeer uitvoerig en materieel (vingertellen), maar worden korter, minder zichtbaar en slimmer.
1.1 Aftel­handelingen De eerste en meest uitvoerige telmethode is optellen door de eenheden van beide termen één voor één af te tellen. Voor de opgave: 3+4  maakt de leerling eerst een groep van 3 en een groep van 4. Daarna telt het beide termen af: 1,2,3,(1e term) – 4,5,6,7 (2e term) is 7. sommen uitrekenen door aftellen
Optellen door de twee termen af te tellen.
1.2 Bijtel­handelingen 1.2.1 Bijtellen met voorwerpen
De volgende methode is korter. Nadat de leerling groepjes maakte, gaat het bij de tweede term gelijk door: 4,5,6,7 is 7.

sommen uitrekenen door bijtellen Optellen door de tweede term direct bij de tweede term te tellen.

1.2.2 Bijtellen zonder voorwerpen
Bij de volgende stap gebruikt de leerling geen concrete objecten (vingers, blokjes) voor de eerste term en de tweede term maar concretiseert de leerling met bijvoorbeeld de vingers: Bij 3+4 zegt de leerling 3, steekt dan 4 vingers op en telt door 5,6,7 is 7 .

De materialisering van de tweede term vermindert steeds meer, bijvoorbeeld tot nauwelijks waarneembare vingerbewegingen of tot alleen kijken naar de vingers.

1.3 Aftrektel­handelingen Het aftrekken verloopt net als het optellen. De tweede term telt de leerling van de eerste af. Een verkorting ontstaat wanneer er tegelijkertijd met het afhalen van de blokjes teruggeteld wordt. Dit terugtellen (bij optellen bijtellen) verkort verder en verloopt zonder gebruik van voorwerpen. Een variant hierop is het aftrekken door doortellen (bijvoorbeeld: 15-12= … 13,14,15 =3).

Het terugtellen leverde veel problemen op: zeven van de 11 leerlingen uit groep 3 en vier van de 16 leerlingen uit groep 4 die deelnamen aan het Kwantiwijzeronderzoek konden niet terugtellen vanaf 15. Terugtellen is kennelijk nog onvoldoende aan de orde geweest.Een aantal leerlingen uit onze onderzoeken dat de bijtelmethode hanteerde kenden wel het kunstje maar inzicht was nog niet bijgebracht. Deze leerlingen maakten startfouten. startfout maken bij sommen uitrekenen
Startfout bij optellen door bijtellen.
1.4. Omdraai­handelingen Wanneer de tweede term groter is dan de eerste term, dan telt het sneller wanneer de leerling de termen omdraait. Dus2+7=7+2= 7 (tweede term), 8,9 is 9. Dit is de commutatieve wet (a+b=b+a). Toepassing van deze wet is een van de eerste mogelijkheden van de leerling om het uitrekenen van een som ’slim’ De ontdekking dat sommen vaak slimmer op te lossen zijn dan je aanvankelijk denkt is een belangrijk moment voor de leerling en rekenmeester. Het kind moet iets nieuws durven en de rekenmeester (mens of computer) moet het kind eventueel aanmoedigen. Een goede uitkomst maar een lange reactietijd verraadt dat de leerling het omdraaien van termen nog niet ontdekt heeft. De onderwijskunst is nu de juiste volgende opgaven aan te bieden. Er zijn meer mogelijkheden.
 
  • Bijvoorbeeld met het rijtje hieronder.
    3+1=
    1+3=

    2+5=
    5+2=

    6+3=
    3+6=
    Belangrijk is dat het sommenpaar dicht bij elkaar staat en beide sommen dus tegelijk waargenomen worden. Heeft de leerling de commutatieve wet niet door dan is er nog niets verloren (er is nog geen fout gemaakt).
    Indien nodig kan een duwtje gegeven worden: Kijk eens goed. Als 4+13=17. hoeveel is dan 13+4?

  • Verder kan visuele ondersteuning helpen, zoals de dobbelstenen rechts. Helpt alleen kijken niet dan kan een van de dobbelstenen 180° gedraaid worden. Het kind kan dan zien dat de sommen gelijk zijn.
  • dobbelsteen leren rekenen optellen

    dobbelsteen leren rekenen optellen
    Deze reacties tonen hoe het onderwijs de verkorting zichtbaar maakt en hoe moeite- en foutloos leren gerealiseerd kan worden.
    1.5 Foute en inefficiënte methoden Als het onderwijs het leerproces niet goed beheerst dan maakt de leerlingen fouten bij de telhandelingen.

  • Zo kunnen leerlingen na het uitrekenen van de som de stand van hun vingers niet interpreteren: wanneer ze bijvoorbeeld twee vingers overhielden, wisten ze niet of de uitkomst 2 of 8 was.


  • Sommige leerlingen steken een verkeerd aantal vingers op. Zo stak een kind bij het uitrekenen van de opgave 4-3 vijf vingers op, haalde er drie weg en gaf als antwoord 2.
  • Verder werden er regelmatig telfouten gemaakt bij het overbruggen van het tiental, met name bij het terugtellen. Bijvoorbeeld: 84-6=83, 82, 81, 70, 69, 68 of 65+5= 66, 67, 68, 69, 90. kwam deze categorie van fouten ook heel duidelijk naar voren. Ze vond dat bij leerlingen met een tijdelijke achterstand in de psychische ontwikkeling veel fouten veroorzaakt werden doordat leerlingen niet over het tiental hen konden gaan.


  • Er was ook een kind dat vertelde dat ze tijdens het tellen de hoeveelheden in groepjes verdeelde. De opgave 84-6 werd dan opgelost door er telkens 3 af te halen: 6 is 3+3; 84-6=83,82,81 en dan nog een keer 80, 79, 78. Ook zijn er leerlingen die tijdens het bijtellen van grote getallen tientallen in hun hoofd en op hun neus bewaren.
  • Er bleken ook leerlingen te zijn die wel tot een goede uitkomst komen en een creatieve maar niet wendbare methode gebruiken.

  • Eerst het aantal puntjes voor de tweede term neerzetten. De leerling weet dan wanneer te stoppen met tellen.


  • Een ander kind tikte bij het doortellen met zijn pen op tafel. Dit tikken ging niet willekeurig maar in bepaalde figuren: als hij bijvoorbeeld 8 moest bijtellen, tikte hij 2 groepjes van 4 tikken die een vierkant vormden.


  • Ook observeerden we bij één eersteklasser en één kind uit groep vier de volgende verbale methode: proefleider: 17+4=?, kind, 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit.

  • Deze telmethoden zijn natuurlijk slim verzonnen. De leerlingen moeten daarvoor beloond worden. Maar de wendbaarheid en mate van generalisatie van deze methoden is te laag. Bij sommen met grotere getallen komt de leerling in problemen. Het onderwijs moet de leerling dan de weg wijzen naar methoden met meer perspectief, namelijk methoden die gebruik maken van de tientalligheid en het positiestelsel van ons systeem.
    1.6 Telhandelingen in het onderwijs Uit drie Kwantiwijzeronderzoeken is gebleken dat de leerlingen die volgens de leerkracht problemen hebben met het rekenen materiële steun nodig hebben. De meest gebruikte methode is natuurlijk het tellen op de vingers. Daarbij verschilt de mate van interiorisatie. Sommige leerlingen steken hun vingers bij het tellen duidelijk op en raken deze vingers soms ook aan met de vingers van de andere hand; dit is de meest uiterlijke en uitvoerige vorm van tellen op de vingers. Er zijn echter ook leerlingen die alleen maar naar hun vingers hoeven te kijken; dit zou men een perceptuele handeling kunnen noemen. Tijdens de verschillende onderzoeken durfden veel leerlingen niet te laten zien dat ze op hun vingers telden, vaak omdat ze het niet mochten van de leerkracht of omdat ze het kinderachtig vonden. Deze leerlingen hielden hun handen onder tafel of achter hun rug. Het is dan moeilijk vast te stellen of ze nu wel of niet hun vingers gebruiken bij het tellen.
     
    Verder anticiperen leerlingen op het productgerichte onderwijs: snel een goede uitkomst. Vooral wanneer de omgeving, zoals ouders, hoge eisen stelt kan het kind blijven hangen in de veilige telmethoden en deze creatief perfectioneren. Die strategie gaat goed tot sommen tot 20. Maar daarna wordt het het steeds moeilijker voor de intelligente creatieve vingerteller en belandt hij tot ieders verbazing in de achterhoede.Een goede reactie zou zijn het kind uitleggen het kind de vrijheid geven te experimenteren en cijfers voor het rekenen even achterwegen te laten.Lastig is wel dat gealarmeerde ambitieuze ouders ’helpen’ het probleem op te lossen door sommen te gaan instampen. maar voegt aan het ’rekenprobleem’ een verminderend zelfbeeld toe.
     Vingertellen is voor het leren rekenen ongewenst omdat de vingermethoden niet verkortbaar zijn. De leerling kan hooguit sneller gaan tellen. Methoden als inwisselen en werken naar gemakkelijke getallen, bijvoorbeeld tientallen, bieden meer perspectief.Vingertellen is voor het leren denken ongewenst omdat leerlingen zich moeten richten op inzicht en het proces: hoe kom ik bij deze som het gemakkelijkst tot de uitkomst. Een productgerichte houding van onderwijs en ouders (goede uitkomsten: Fout opnieuw!) kan dat soort problemen veroorzaken.Een procesgerichte houding (goede methode: Hoe heb je het gedaan, zou het ook anders kunnen? voorkomt dat soort problemen en is een stap naar Kortom: Juist het leren rekenen leent zich goed voor het leren denken.
    Naar top.


    2 Tientalligheid: inwisselen Ons getallensysteem kent een tientallig inwisselsysteem. Tien enen worden één tien en tien tienen worden één honderd. Het tientallig inwisselsysteem en vooral het inwisselen volgens éénzelfde systematiek, maakt het toepassen van eenvoudige oplossings­procedures voor moeilijke opgaven mogelijk.Het ontbreken van eenzelfde systematiek bij het inwisselen ziet men bij diverse andere systemen.

  • Bij de tijd geldt:
    60 seconden = 1 minuut
    60 minuten = 1 uur
    24 uur is 1 dag± 30 dagen = 1 maand
    enz).

  • Het oude Engelse muntstelsel (1 pond=20 shilling, 1 shilling =12 pennies). Binnen het notatiesysteem van de tijd en het oude Engelse muntstelsel functioneert bovendien het tientallig getalstelsel.

  • De Maya's wisselden in bij 5, 20, 400 en 8000.

  • Cijfers van de Maya’s

    getallen systeem van de maya's

    2.1 Inwisselen leren Door de vanzelfsprekendheid van ons tientalligstelsel vergeet het onderwijs gemakkelijk dat het systeem niet zo vanzelfsprekend is voor leerlingen. De oplossing is dan niet realistisch rekenen: De som in een verhaaltje. De oplossing is een goede materialisering, visualisering en verbalisering van het tientallige systeem.
    Deze lusabacus heeft ringen voor de posities. Daarmee kan deze abacus dus getallen tot 999 tonen. De leerling kan inwissel­handelingen eerst materieel met kralen en vingers uitvoeren, daarna visueel (alleen kijkend) en tenslotte mentaal zonder lusabacus. lusabacus inwisselen 133 op de lusabacus, maar nog zonder inwisselen. De 3 blauwe en 7 rode kralen (samen 10) op de eenhedenstang, moeten achter het scherm geschoven worden en zo ingewisseld worden voor 1 gele.

    mab rekenmateriaal multi arithemtic blocks


    MAB-materiaal (Multi Arithmetic Blocks)
    Vierkante blokjes voor de eenheden, staven van 10 blokjes aan elkaar voor de eenheden, plakken van 100 en kubussen van 1000.

    De blokken tonen wel het inwisselen (overigens maar tot 1000) maar niet het positiestelsel.
    De leerling komt in aanraking met geld. Het is dus goed daarop aan te sluiten. Eenvoudige bedragen kunnen ouders zelf laten afrekenen. Ook een lusabacus met gekleurde centen, dubbeltjes en euro's helpt. Als thuis en en komt

    2.2 Inwisselfouten Als het onderwijs het leerproces niet beheerst dan maken leerlingen inwisselfouten. Bijvoorbeeld bij de som 14+15. De leerling legt twee staven van tien in elkaar geschoven blokjes, een staaf van vier en een staaf van vijf blokjes. Eerst worden de staven van tien afgeteld (tien, twintig, …). De resterende negen blokjes (eenheden) telt de leerling bij als ware het tientallen (…., dertig, veertig, enz.).
    Naar top.


    3 Tientalligheid: positiestelsel Naast de vraag Wanneer wissel je in?, is er de vraag Hoe schrijf je het op?

  • Wij volgen de schrijfwijzen van de Arabieren. Er zijn tien cijfers waarvan een voor de nul. De cijfers hebben ronde vormen zodat deze gemakkelijk op perkament te penselen zijn. We schrijven de cijfers van rechts naar links (maar lezen van links naar rechts). Dus eerst eenheden, tientallen etc. Alles bij elkaar het slimste systeem.
  • Het systeem van de Egyptenaren was ook tientallig, ook van rechts naar links, ook tekens voor de tientallen maar de positie bepaalde niet de waarde maar het aantal. Getallen worden dan veel langer waardoor ze moeilijke te lezen zijn en optellen onder elkaar en staartdelingen lastiger zijn.
    mab rekenmateriaal multi arithemtic blocks
  • De Romeinen vonden de ronde Arabische cijfers lastig in stenen te hakken en volstonden met 7 rechte letters (I,V,X,L,C,D,M). Het cijfer vier hakten ze niet als IIII maar als IV (vijf min een). Alles bij elkaar gemakkelijk hakken maar moeilijk lezen en rekenen.
  • 3.1 Positiestelsel leren Het onderwijs moet de leerlingen de leeshandelingen die bij het positiestelsel horen aanleren. Dit kan met hulpmiddelen die het positie­stelsel duidelijk tot uitdrukking brengen.De lusabacus is daarvoor geschikt omdat de kralen op stangen zitten en zo hun vaste positie behouden. Bij losse blokjes zoals MAB is dat niet het geval. telraam abacus leren rekenen lusabacus 123 op de lusabacus.
    De traditie in het onderwijs is sommen lineair op te schrijven. Dus niet onder elkaar. Soms verbiedt het onderwijs leerlingen zelfs optellingen onder elkaar te zetten, mogelijk omdat echt rekenen sterk geïdentificeerd wordt met hoofdrekenen. Toch bleek uit het Kwantiwijzeronderzoek dat leerlingen uit groep 3 en 4 het onder elkaar zetten wel beheersen. Die leerlingen lijken slimmer dan het onderwijs dat deze slimme methode verbiedt
    Voor het onderwijs is 12+3= .. gemakkelijk (lineair) te verwoorden. Maar het positiestelsel heeft juist geen lineaire struktuur zoals de woordtaal. Het positiestelsel heeft een kolomstruktuur. Van links naar rechts is van belang maar ook van boven naar beneden. Voor het onderwijs is dat lastig want je kunt die struktuur niet meer zeggen maar je moet hem visueel maken en bijvoorbeeld naar het bord toe lopen om de som op te schrijven. 12+3= zeggen ontkracht de kracht van het positiestelsel; de eenheden en tientallen staan niet meer netjes in de kolommen voor de eenheden en de tientallen. Daar komt nog bij dat de tientalligheid in twaalf niet meer te herkennen is. De uitkomst 6 voor 12+3 is taalkundig gezien niet zo gek. De psychologische handelingen bij het onder elkaar zetten zijn bovendien eenvoudiger uit te voeren omdat de op te tellen cijfers dichter bijelkaar staan Dit maakt tussenstappen zoals twee keer kijken om de op te tellen eenheden waar te nemen en opslaan van getallen in overbodig. Door fouten in deze niet-rekenkundige maar psychologische handelingen uit te sluiten worden foute positiehandelingen beter zichtbaar.
    3.2 Positiestelselfouten

    Als het onderwijs het leerproces niet beheerst dan maken de kinderen positiefouten.

  • Een echte positiefout is 12+3=6.

  • Zo observeerde het Kwantiwijzeronderzoek de volgende oplossing van 65+32=60 die 5 erbij, dan 20 erbij, dan 3 erbij, 5 en 3 is 8, dan 88. Niet duidelijk is of de leerling de 2 als twintig opvat omdat het de plaats van tientallen en eenheden omwisselt of omdat het bij het oplezen (in zichzelf) 23 in plaats van 32 heeft gelezen.

  • Een veel voorkomende fout is de cijfer­omwisseling (21 lezen als er 12 staat). Bij het leren lezen komen dergelijke verwisselingen ook voor. De verwisseling kan slechts een vergissing zijn. Dit blijkt als je zegt: Kijk nog eens goed.
    De verwisseling is overigens zeer begrijpelijk.
    1) De leerlingen leren net dat onze Latijnse woordleescultuur gaat van links naar rechts. De cijfers, getallen en de schrijfwijze zijn Arabisch. Die cultuur leest van rechts naar links.
    2) De telwoorden houden zich niet aan de volgorde van het positiestelsel. Het telwoord noemt eerst de eenheden en dan de tientallen.
    3) De verwisseling is verder psychologisch gezien begrijpelijk omdat het getal zowel visueel (in het fixatiegebied), soms verbaal als klank (vrijwel een lettergreep) en in het kortetermijngeheugen tegelijk aanwezig is. Er is dan geen volgorde.
  • Een cijfer­omwisseling is geen ernstige fout: de uitkomst van de som is weliswaar fout maar de leerling kan best een goede oplossings­methode hebben. Het is merkwaardig dat het positie­stelsel en bovengenoemde fouten nauwelijks terug te vinden zijn in de niet-kwalitatief psychologische testen en onderzoeken. Alleen in het werk van Swinnen en Vandenberghe komt het begrip plaatswaarde voor, echter voor oudere leerlingen.
    Naar top.


    4. Splitsen om tientallen Aanvankelijk rekenen kinderen sommen uit door op hun vingers te tellen. Door splitsen in tientallen en eenheden kan het optellen en aftrekken verkort worden.

    Een groot aantal van de kinderen in het die splitsen, losten de rest van de opgave op door tellen, bijvoorbeeld: 14+38=10+30=20,30,40; 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52. Deze oplossing­smethode kan verkort worden met de tientallige structuur en inwisselen.
    Een veel toegepaste methode voor overbrugging van het tiental is aanvullen of leegmaken van het tiental. Hierbij wordt de eenheid die opgeteld moet worden, gesplitst om tot het volgende tiental te komen (bijvoorbeeld 18+6: eerst 2 erbij, toen 4 over, bij de 20 gedaan, 24). Een typische fout daarbij is 16+6=16+4+6=26. Het kind vult het tiental aan maar haalt die aanvulling niet van de tweede term af. Als de eenheden samen minder dan tien zijn dan kan het optellen eenvoudiger zonder splitsen: 65+32= 60+30=90 en nog 5+2=97. De reactietijd is dan korter.leren rekenen basisschool lusabacus splitsen om het tientalDe lusabacus visualiseert de splitshandeling 8+5=8+2+3=13. Blijkt deze statische presentatie van de leerstap te groot dan kan een animatie kan de handeling visualiseren. Is dit niet voldoende dan kunnen trommels de handeling auditief verduidelijken.
    Naar top.


    5 Analogie­handelingen Bij een aantal leerlingen observeerde het Kwantiwijzeronderzoek het gebruik van een oplossings­methode voor het optellen en aftrekken van de eenheden bij sommen met grotere getallen die wel analogieën genoemd wordt. Deze leerlingen zoeken in de totale som eerst een kleine, analoge som die ze gemakkelijk kunnen oplossen. De moeilijke som wordt dan opgelost naar analogie (bijvoorbeeld 35+12,5+2=7, dus 35+12=47).Bij sommen met overbruggen wordt dan een volgende oplossing gegeven: 35+6=5+6=11, dus 35+6=41. Bij deze methode is het de bedoeling dat leerlingen de analogiesommen zo snel mogelijk leren automatiseren. De analoge methode is een mentale handeling en daarom niet direct waar te nemen. Wel wijst het gebruik van de woorden dus en dan is in deze richting.
    Naar top.


    6 Controle­handelingen acht het uitvoeren van een controle­handeling een essentiële  ondersteuning, vooral ook om inzicht te krijgen in de relatie tussen de handelingen op verschillende levels (materieel, verbaal, mentaal). Onderwijs met een focus op een goed product valt door de mand omdat de leerlingen een formulesom niet kunnen materialiseren en andersom. Leg 1+2 eens met blokjes? of: Schrijf de som op die daar met blokjes ligt. Zowel het denken over een wijze van aanpak als het uitvoeren van een controle­handeling zijn een mate van bewustheid waarmee de handeling wordt uitgevoerd. Karpova en Ataninja ( ) constateerden een samen­hang tussen deze drie factoren. Uit hun onderzoeken bleek dat de mate van bewustheid sterk samenhangt met een juiste en volledige oriënteringsbasis.
    Naar top.


    7 Lees­hande­lingen De woordtaal en het lezen kennen een consequente links-rechts lineaire structuur. Dat is bij het rekenen niet het geval. Bij onder elkaar zetten wordt niet van links naar rechts gewerkt. Deze inconsistentie in lees/werkrichting kan leiden tot verwarring, bijvoorbeeld bij puntsommen. In de Kwantiwijzeronderzoeken bleek dat leerlingen de rekentekens soms niet voldoende uitgelegd is. Zo wordt het = teken niet opgevat als is evenveel als maar als hier achter (of voor) komt het antwoord van de som. Ook is de leerlingen kennelijk niet verteld dat de plaats van het plus-, min- en is-teken van belang is. Dit komt aan het licht bij puntsommen (1+.=3). De leerlingen zien twee getallen en voeren de operatie uit die het symbool aangeeft. Bij de som 1+.=3 is het antwoord dan 4. De term die het onderwijs gebruikt, namelijk puntsom, zegt iets over de uiterlijke vorm en is daarom onduidelijk. De Kwantiwijzer introduceerde de term vleksommen. (Het is namelijk een ’gewone’ een som waar een vlek op gekomen is.). vleksom puntsom
    Naar top.


    8 Verkorting van de handeling De meest verkorte handeling is de geautomatiseerde handeling. Galperin omschrijft automatisering als een in wezen verbaal proces dat door verkorting en vergaande beheersing zijn direct herkenbare verbale karakter grotendeels verloren heeft ( ). De Kwantiwijzer verstaat onder automatiseren het maximaal verkorten van een handeling die oorspronkelijk uitvoerig was. Deze omschrijving sluit aan bij het ontstaan van automatisering. De basis moet niet alleen het maar de verkorting van een uitvoerige handeling. Een geautomatiseerde handeling moet dus niet alleen snel maar ook bewust voltrokken kunnen worden en gegeneraliseerd zijn. Automatiseren kan men ook zien als associatief leren. Hiermee correspondeert het uit waarin uitsluitend rijtjes met sommen in symbool vorm voorkomen. De voorstanders van deze instampmethode konden zich baseren op leerpsychologieën die minder algemeen van toepassing zijn dan aanvankelijk gedacht werd (met name stimulus-respons theorie). Een voordeel van associatief leren is verder dat het onderwijs de rekenhandelingen zoals die hier beschreven zijn niet hoeft te kennen. Het onderwijs maakt geen analyse van de foute of inefficiënte handelingen maar reageert met Fout, opnieuw.
    Naar top.


    9. Hoe onderzoek je het rekenen De bovenstaande rekenhandelingen zijn geconstateerd in het Kwantiwijzeronderzoek. Voordat dit onderzoek startte, is beschikbaar onderzoek geanalyseerd. De meeste rekentesten sluiten aan bij het associatief leren (instampen) en zijn niet-kwalitatieve rekentesten. Deze testen delen de opgaven in met formele kenmerken, zoals optellen of aftrekken, gewone som, puntsom of redacties en grootte van de getallen. Behalve met formele kenmerken worden de opgaven ook wel ingedeeld op empirische moeilijkheids­graad, of de reactietijd. Deze gegevens geven inzicht in het algemene rekenniveau maar niet waar de leerling zich in het leerproces bevindt. Moeite- en foutloos leren komt niet dichterbij. Kwalitatief psychologische testen geven een psychologische analyse van het oplossings­proces. Zo'n analyse beschrijft de deel­handelingen die de leerling bij het oplossen van rekenopgaven uitvoert.



    9.1 Kwantitatief onderzoek 9.1.1. SDAT
    Schonell en Schonell hebben een aantal testen ontworpen (Schonell Diagnostic Arithmetic Tests) die ze zelf diagnostisch noemen. De SDAT wil duidelijk aangeven van welke aard de moeilijkheden bij de leerling zijn, welke lacunes er bestaan en wat de oorzaken zijn van de achterstand in een bepaald gebied ( ).

    Daartoe wordt het aantal goede antwoorden en de benodigde hoeveelheid tijd om de sommen op te lossen vergeleken met het gemiddelde voor de leeftijdsgroep waar de geteste leerling toe behoort. De feitelijke foutenanalyse moet, begrepen wij, door de proefleider zèlf gedaan worden. In de test worden slechts enkele voorbeelden van fouten gegeven. Deze fouten hebben echter voornamelijk betrekking op vergissingen en niet op foute of inefficiënte reken­handelingen.

    Het werk van Schonell en Schonell is erg uitgebreid, het omvat het cijferen van de basisschool. Weliswaar wordt aandacht besteed aan aanvullende opgaven en oorzaken van stagnaties, maar een geëxpliciteerde theorie van het leren rekenen ontbreekt volledig en de meeste uitspraken missen een onderbouwing.
    9.1.2. Schiedamse Rekentoets

    Bij het onderzoek van rekenprestaties op de basisschool wordt in Nederland over het algemeen gebruik gemaakt van de in 1967 geconstrueerde Schiedamse Rekentoets (SRT). Deze test meet de beheersing van de traditionele rekenstof in het basisonderwijs en de ernst van de achterstand ( ). In de handleiding staat expliciet vermeld dat de test niet is bedoeld voor opsporing van oorzaak en achtergronden van gevonden lacunes (Heesen e.a. 1971, 9).


    Alhoewel de SRT overeenkomt met de SDAT zijn de auteurs veel bescheidener over de mogelijkheden van hun test. De samenstellers hebben gestreefd naar een zo volledig mogelijke inventarisatie van de rekenstof van het basisonderwijs en sluiten expliciet aan op traditionele leerstof (Heesen e.a. 1967, 490 en 1971, 9).

     

    De opgaven zijn gekozen op formele kenmerken van de som en zijn geordend naar moeilijkheidsgraad. Omdat de SRT vooral bedoeld is om de ernst van de eventuele achterstand aan te geven, volstaat een kwantitatieve vergelijking van de prestaties van de leerling met zijn jaargenoten. Het uitgangspunt van de normen voor de SRT is een analyse van bestaande rekenmethoden (van voor 1967) en het oordeel van onderwijsauthoriteiten (voornamelijk enkele inspecteurs)

    9.1.3. Analytische rekenproeven

    Voor de leerlingen van de Polyvalente Beroepsschool ontwierpen analytische rekenproeven. Daarmee kan men lacunes lokaliseren en beschrijven. De proeven geven aan welke taken de leerling wel en welke taken de leerling nog niet kan oplossen. Gemeten wordt inzicht in de natuurlijke getallen en het tientallig stelsel (positiewaarde, struktuur van elk natuurlijk getal en rij der natuurlijke getallen).


    Swinnen en Vandenberghe noemen hun proeven analytisch omdat de term diagnostisch zou suggereren dat men een diagnose zou kunnen stellen. Daarvoor is volgens Swinnen en Vandenberghe vaak ook individueel diagnostisch onderzoek nodig waarbij men probeert de denk- en werkwijze van een leerling vast te stellen; daarbij kunnen de analytische rekenproeven uitgangspunt vormen.


    De analytische rekenproeven verschillen op enkele punten met ons werk. Allereerst wordt het individueel diagnostisch onderzoek bij Swinnen en Vandenberghe nauwelijks uitgewerkt terwijl daar bij ons juist het accent op ligt. Ten tweede gaan Swinnen en Vandenberghe bij het opstellen van de opgaven uit van het traditionele rekenen. Naar ons idee moeten ook opgaven aan de orde komen die niet in de bestaande leergangen behandeld worden maar wel van belang zijn.

    9.1.4 Pump-projekt

    In het begin van de jaren zeventig is Lundgren in Zweden begonnen met een analyse van het rekenen. Uitgangspunt daarbij is het werk van Dahllöf en Lundgren die een onderwijstheorie (theory on teaching) ontwikkelden waarin de relatie tussen randvoorwaarden, onderwijsproces en leerresultaat aangegeven wordt (
    De analyse van het rekenen resulteerde in een diagnostische rekentest waarmee het rekenproces beschreven kan worden, de leerkracht geholpen kan worden en waarmee een theoretisch onderwijs­model getoetst kan worden ( ). Ze gaan uit van een hiërarchie met als dimensies de formele kenmerken van de som (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) en de grootte van de getallen. Deze hiërarchie is in Nederland gevalideerd door het Cito (

    Met de sores kan bepaald worden welke kennis gemist wordt, wat de consequenties voor het onderwijs zijn en welke leerlingen extra onderwijs nodig hebben. Dit wordt echter slechts beschreven in termen van formele kenmerken van de opgave.

    9.1.5. Verder onderzoek

    Er zijn onderzoeken waarbij kwantitatieve psychologische analyses gemaakt zijn. Suppes (1969) heeft bijvoorbeeld door middel van variantie-analytisch onderzoek factoren vastgesteld die bepalend zijn voor de moeilijkheidsgraad van een som. Hij vond dat puntsommen moeilijker zijn dan gewone sommen, dat de puntsom iets gemakkelijker is wanneer de punt op de plaats van de tweede term staat dan wanneer de punt op de plaats van de eerste term staat en dat de rekensnelheid afhankelijk is van de grootte van de onbekende term.

    gaven onlangs een verslag van een factor-analytisch onderzoek naar de samenhang van technisch en begrijpend rekenen met enkele intelligentietaken. Ze vinden en samenhang tussen rekenprestaties (met name SRT) en intelligentie­taken. Wanneer men inzicht in oorzaken van rekenstoornissen wil verkrijgen geven correlationele verbanden alléén te weinig informatie. Hiermee vindt men immers geen causale verbanden, die bij stoornissen juist essentieel zijn. Daarvoor zijn ook kwalitatieve onderzoeksmethoden noodzakelijk. Bovendien leveren correlationele verbanden geen praktische bijdrage aan het verhelpen (remediëren) van rekenstoornissen. Tenslotte  merkte de Kwantiwijzer in 1976 op dat het intelligentiebegrip erg omstreden is.

    Andere onderzoekers proberen inzicht te krijgen in het oplossen van sommen door reactietijden te meten. Dit soort onderzoek is bedoeld om door de onderzoeker veronderstelde cognitieve processen aan te tonen op grond van tijdmetingen (bijvoorbeeld

    .
    9.1.6. Beperkingen van niet-kwalitatief psychologisch onderzoek

    Bovengenoemde onderzoeken en testen geven een analyse van de rekenopgaven of de uitkomsten. De indelingscriteria zijn meestal ontleend aan kenmerken van de opgave. De sores geven aan hoe ver de leerling met het rekenen gevorderd is, welke soort opgaven de leerling kan oplossen.


    De meeste auteurs merken zelf al op dat een diagnose die aangeeft wat de oorzaak van de stagnaties is en waar het onderwijs­leerproces moet aansluiten niet mogelijk is.


    Deze testen zijn dan ook niet diagnostisch in de betekenis volgens Rispens en van Swinnen en Vandenberghe aan geven. Om een dergelijke diagnose toch te kunnen stellen, is het naar ons idee nodig te beschikken over psychologisch onderzoek op basis van een geëxpliciteerde theorie van het leren rekenen. Men kan dan namelijk aangeven waar het leerproces gefaald heeft, welke voor het leerproces relevante handelingen niet beheerst worden én hoe het onderwijs moet aansluiten.
    Naar top.


    9.2 Kwalitatief onderzoek Bij kwalitatief psychologisch onderzoek naar de reken­handelingen van de leerling gaat het niet zozeer om de formele kenmerken van de opgave of de statistisch gegevens van de oplossingen (moeilijkheidsgraad, reactietijd), maar om de wiskundige kenmerken van de opgave.Daarom dient men bij een degelijke analyse uit te gaan van de eigenschappen van het getallensysteem.
    9.2.1 Stahl

    Een van de onderzoeken van had betrekking op het optellen en aftrekken tot 100. Het bestaande leerplan in de DDR voor klas 2 onderscheidt vier stappen waarbij rekening gehouden werd met de grootte van de tweede term en het overbruggen. Stahl merkt daarover op dat de abstractie van de essentiële gemeenschappelijke kenmerken pas mogelijk wordt na behandeling van de laatste stap. Voor een optimale organisatie van het leerproces is het volgens hem echter nodig de leerlingen juist van te voren met alle delen van vertrouwd te maken. Deze moet volgens Stahl in elk geval omvatten:

  • kennis over de eigenschappen van rekenoperaties commutativiteit, associativiteit).
  • Kennis over de samenhang tussen operaties (aftrekken als omkering van optellen).
  • Kennis over de volgorde van de natuurlijke getallen en over het tientallig positie­stelsel

  • De effectiviteit van deze uitgangspunten werd in zijn onderzoeken bewezen.
    We zien dat Stahl, echter op beperkte schaal, een leerpsychologische terminologie hanteert. Vanuit het leerpsychologische concept oriënteringsbasis komt hij tot een andere analyse van het rekenen dan de wijze waarop dit rekenen in het leerplan van de DDR geanalyseerd wordt.
    9.2.2 Kwantiwijzeronderzoek

    Dit artikel geeft een kwalitatief psychologische analyse van de reken­handelingen die het Kwantiwijzer onderzoek bij de leerlingen observeerde. Hierbij is de theorie van Galperin als leerpsychologisch beschrijvingskader gekozen.
    De vakinhoud van het optellen en aftrekken leveren de eigenschappen van het getallensysteem.
    Naar top.


    Tot slot

    Dit artikel is het resultaat van onderzoek naar het leren rekenen binnen het door de stichting voor onderzoek van het onderwijs gesubsidieerde project Kwantiwijzer (SVO-projekt 0327).

    Deze online versie is een bewerking van een artikel van De bewerking is van de tweede auteur. Het oorspronke­lijke artikel was vooral een onderzoeksverslag. Deze online bewerking uit 2016 richt zich op de praktische toepassing. Dat betekent ander taalgebruik, andere volgorde, meer afbeeldingen en meer toepassings­voorbeelden.Het oorspronkelijke artikel kon tot stand komen dankzij de leden van de stuurgroep (o.a. de leerpsycholoog Professor C.F. van Parreren en de wiskundige Professor H. Freudenthal, de studentassistenten, de secretaresse van het project en de scholen.
    Naar top.




    Meer denkpsychologie voor het leren rekenen.
    x
    Leren rekenenleren tellen rekenen optellen en aftrekken op de basisschool

    Leren rekenenrekenonderwijs optellen aftrekken basisschool computer diagnostiek remedial teaching

    Leren rekenengraphics for quantitative data next generation

    Leren rekenenleren rekenen optellen aftrekken basisschool nieuwe intelligentie algoritme

    Leren rekenentoekomst onderwijs leren lezen rekenen supermarkt

    Naar top.



    Behalve psychologie voor leren rekenen ook psychologie voor: x
    ects

      ERMTS hoge snelheidstrein hsl ATB experimenteel interface voor machinist ERMTS high speed train control driver mmi ERMTS hoge snelheidstrein hsl ATB experimenteel interface voor achinist ERMTS hoge snelheidstrein hsl ATB experimenteel interface voor achinist 






    gui



    x Invoer Morsesleutel Toekomst        multidimensionaal graphic   






    icon design



      3-d, perspectief,drie-dimensionaal verkeersbord toekomst parkeerverbod verkeersbord toekomst verboden inhalen verkeersbord toekomst maximum snelheid bepaalde 






    psychologie



    helderheid voor betrouwbaarheid hersenen limgisch systeem en cortex aandacht trekken en aandacht sturen gebruik van de kleuren rood oranje en geel gevoeligheid van het oog voor kleuren humunculus mensmetafoor een mens in de zaadcel 






    public



     NS treinkaart automaat b100 betalen openbaar vervoer NS treinkaart automaat b8060 betalen openbaar vervoer  IMO international maritime organisation muster station sign plattegrond IKEA water vaar verkeersbord maximaal hoogte water vaar verkeersbord maximaal drie dik aanleggen water vaar verkeersbord maximale doorvaart hoogte 3 meter experimenteel vertrektijden bord openbaar vervoer structuur openbare ruimten experimenteel vertrektijden bord openbaar vervoer atb etcs snelheidsbeheersing aandacht trekken water vaar verkeersbord verboden aanleggen water vaar verkeersbord maximale hoogte water vaar verkeersbord verboden 3 dik aanleggen met meer schepen trein vertrektijd perron NS CTA OV openbaar vervoer betalen ov-chipkaart toekomst grafische bestemmingen lijst metro ondergrondse lijn  structuur hoefijzer winkelcentrum 






    toekomst

              






    book

     






    rekenen

    leren rekenen basisschool MAB rekenblokken toekomst onderwijs leren lezen leren rekenen supermarkt leren rekenen basisschool tellen op de vingers aftellen leren rekenen vleksom puntsom rekenonderwijs basisschool tientallig stelsel tellen op de vingers rekenonderwijs basisschool computer diagnostiek remedial teaching graphics for quantitative data next generation 








    Naar top.


    Zoeken in humanefficiency.nl



    Contact

    +31 (653) 739 750
    Parkstraat 19
    3581 PB Utrecht
    Nederland

    leonardverhoef@gmail.com
    Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.
    Naar top.