De computer als oplosser van rekenproblemen van kinderen;

niet alleen diagnostiek en ook niet alleen nakijken van sommen.

Computer telt niet het aantal goed en reactietijd. Hij ontrafelt en stuurt 'smart' het denkproces van het kind.

Volgens Bartjens Hoe veel is 3 maal 363? Merkt: stelt 363 voor U, en de 3 daar men mede vermeren wil, recht onder deze letste 3 die aan de rechterhand staat, zegt 3 maal 3 is 9, die zet beneden 't streepken onder 3, en zijn 9 enen, dan multipliceert de tweede letter 6, 't welk tienen zijn, met 3 komt 18 tienen, of 180; zet 8 voor de 9 enen, en behoud 1 die tien tienen is ofte honderd in gedenken. Multipliceert de eerste 3 welk 3 honderden zijn, met drie, komt 9 honderd, telt een honderd, (die, in uwe memorie is) daar toe komt 10, die zet voor 8 komt 1089, als volgt:

363
3
____ mlt.
1089
Op deze wijze leerde meester Bartjens kinderen rekenen. Door de uitvinding van de boekdrukkunst kon ieder, als hij dat wilde, uit Bartjens leerboek Cijfferinghe zelf leren rekenen. Toen zulke leerboeken verschenen heeft men zich misschien afgevraagd of onderwijzers overbodig zouden worden.
Deze vraag komt nu in ieder geval wel naar voren bij de uitvinding van de computer. Die vraag is echter gemakkelijk te beantwoorden als je het verschil weet tussen een computer en een onderwijzer. We zullen in dit artikel verschillen tussen leerboeken, computers en onderwijzers proberen duidelijk te maken. Om konkreet te blijven zullen we uitgaan van twee voorbeelden van rekenlesjes.
Leonard Verhoef





Computer als leerboek

De prijzen van computers dalen en de prijzen van papier stijgen. Als dit zo nog even doorgaat dan is een computer binnenkort misschien goedkoper dan een leerboek en schrift. Behalve economen zijn ook leerlingen, onderwijzers en onderzoekers tevreden over het gebruik van een computer op school. Dit bleek uit een onderzoek van de Vrije Universiteit van Amsterdam (zie bijvoorbeeld de Volkskrant van 3 april 1982). Om te laten zien hoe een computer een leerboek kan vervangen zullen we eens wat dieper in gaan op de denkstappen van die computer (eigenlijk natuurlijk van de programmeur) en volgen daarvoor een computer-rekenlesje over de som 7x216. Reacties van een computer op een leerling die zegt: 7x216=1446

Fout, we doen het in stapjes.
7x200=1400
Goed
7x16=108
Fout, we doen het in stapjes
7x10=70
Goed
7x6=42
Goed
70+42=112
Goed dus
7x16=112
Goed
1400+112=1512
Goed, dus
7x216=1512
Naar top.

Computer zegt dat de uitkomst fout is

Een van de geheimen van de computers is volgens een onderwijzer die het computerlesje uit figuur 1 gebruikt dan hij het kind direct konfronteert met de fout die het maakt en inderdaad, de computer zegt: Fout, we doen het in stapjes. Deze computer geeft dus aan dat er een fout gemaakt is. Hij geeft echter niet aan wat het kind nu precies fout gedaan heeft. Wat dit betreft wijkt deze computer niet af van een gewoon leerboek, bijvoorbeeld dat van Willem Bartjens uit 1607, waarin je ook kunt zien dat de uitkomst fout is. Ook wijkt de computer niet af van die rekenmachientjes van enkele tientjes die lachen als een kind een goede uitkomst geeft en huilen bij een foute uitkomst.
Naar top.

Computer geeft hulp

Een ander verschil tussen een leerboek en een computer kan zijn dat een computer beter hulp kan geven. Laten we de eerste hulpstap van die computer eens bekijken (2x700=). Waarom begint de computer met deze stap? 2x700 is een gemakkelijke som die het kind waarschijnlijk wel kan. Uit de foute uitkomst lijkt al dat het kind aardig in de buurt van 1400 zit. Ik zou bij deze fout daarom beginnen met 7x6. De kans dat daar de fout zit is vrij groot want volgens de foute uitkomst van het kind komt uit 7x6 een getal dat op een 6 eindigt. Ik begrijp overigens niet waarom het kind in dit voorbeeld verderop 7x6 wel goed doet en vermoed daarom dat het voorbeeld verzonnen is. Ik kan de foute uitkomst tenminste op geen enkele manier verklaren. Bij 7x6 zit dus in ieder geval een fout en dat is een goede reden om daar dan mee te beginnen. Er is echter nog een andere reden om het kind met 7x6 te laten beginnen: bij het vermenigvuldigen onder elkaar wordt er ook begonnen met 7x6. En het is een goede zaak de hulpstapjes zoveel mogelijk te laten lijken op de stapjes zoals het kind ze uiteindelijk ook moet uitvoeren. Wat de hulp betreft wijkt deze computer dus naar mijn idee ook niet zoveel af van een goed leerboek waarin bij elke vraag hoort te staan waar de goede oplossingsmethode te vinden is. In plaats van allerlei deelstapjes, in een willekeurige volgorde aan te bieden en zonder verder verband achter elkaar op te schrijven zou de computer overigens de stapjes ook in dezelfde volgorde kunnen nemen, en op dezelfde wijze kunnen opschrijven, als in de methode die het kind uiteindelijk moet leren. Bijvoorbeeld:
 
 16
 7
 x--------
 7x6= 42
 7x10= 70
 7x200= 1400
 +-----------------
 1512
  Maar dit is niet de enige manier om kinderen die 7x216 niet goed kunnen oplossen te helpen. Meer inzicht geeft bijvoorbeeld het kruispuntenmodel van het OW & OC (noot 1).

4e stadium: 37x56

37x56

10  

10  

10  

10  

10  

6

 

 

10x

100

100

100

100

100

60

=

560

10x

100

100

100

100

100

60

=

560

10x

100

100

100

100

100

60

=

560

7x

70

70

70

70

70

42

=

350

 

 

 

 

 

 

 

+

42

 

 

 

 

 

 

 

 

2072

5e stadium: 37x56

37x56

        50

6

 

 

30x

1500

180

=

560

7x

350

142

=

560

 

 

 

+

42

 

 

 

 

2072

Naar top.

Nadelen

Het nadeel van methoden die inzicht geven is, dat het vinden van een antwoord in het begin wat langer duurt. Maakt het kind met het rijtje sommen niet snel genoeg af, dan is het een rekenprobleem. Rekenmoeders gaan dan de sommen er instampen. Die sommen komen er niet in, wel emotione le problemen .Het kind dat intelligent rekent, snapt dan niet dat hij een rekenprobleem is en ’domme’ kinderen die braaf meestampen, niet. Het is moeilijker deze emotionele problemen te diagnostiseren en op te lossen dan een kind inzichtelijk te leren rekenen.Recente inzichten in de werking van de hersenen maken steeds meer duidelijk dat instampen helemaal niet kan. De hersenen werken niet als een ladekast (Marcus,G., & Freeman, J., 2015. Leren kan alleen door een verbinding te leggen met elementen die al in de hersenen aanwezig zijn. Dat geld ook voor een ’ zwakke’ rekenaar. Het ligt dus voor de hand kennis die de leerling van het rekenen heeft te gebruiken voor die verbindingen. Ties (2+2, 3+3, etc) leren k nderen gemakkelijk. Dus:
2+2=4 (dat weet ik)
2+3=,2+2=4 (dat weet ik), dus een erbij, 2+3=5
 
Desnoods verstopt de leerkracht inzichtelijk rekenen listig in de stamprijtjes, herhaalt hij dat rijtje tot het kwartje valt en geeft eventueel subtiel of expliciet verbale ondersteuning. Zo kan de leerkracht een vingerteller de associatieve wet leren met rijtjes als:
5+2=
2+5=
4+3=
3+4=
Daarna kan de leerkracht kinderen tot splitsen rond tien verleiden met rijtjes als:
7+5=
3+2=
7+3=
7+5=

7+5=7+3+2 gevisualiseerd.
 
Met een computer moet meer mogelijk zijn dan met een leerboek. Een computer is een nieuw middel en een ander middel dan een leerboek en een computer moet men dan ook niet gebruiken als een leerboek. Invoering van de computer op school moet niet alleen bestaan uit het vervangen van papier door een beeldscherm en pen door toetsenbord.
Naar top.

Computer als onderwijzer

Reageren op kind
Een leerboek kan niet zoals een onderwijzer reageren op wat een kind zegt. En bij reageren denk ik niet aan reakties als: Fout, probeer het nog een keer., ook al reageren veel computers zo. Een dergelijke reaktie doet mij altijd denken aan een chirurg die tegen een patiënt met buikpijn zegt: U heeft een blindedarmontsteking, probeert u eens beter te worden. Menselijker is een onderwijzer die uitzoekt wat voor fout het kind eigenlijk gemaakt heeft en vervolgens deze fout herstelt. Een probleem daarbij is dat de onderwijzer wel moet weten:
1. Wat voor fouten een kind kan maken.
2. Hoe je te weten kunt komen wat voor fout dit kind maakte.
3. Hoe je die fouten kunt herstellen.

Laten we eens bekijken hoe een onderwijzer of een computer er achter kan komen wat het kind denkt bij het uitrekenen van een som. Een onderwijzer kan natuurlijk gewoon vragen: Hoe heb je het gedaan? Deze vraag zal vaak al veel duidelijk maken maar soms ook niet. Een computer kan wel vragen hoe het kind de opgave opgelost heeft maar hij zal het antwoord voorlopig nog wel niet zo goed kunnen begrijpen. Gelukkig voor de kinderen die niet zo goed kunnen vertellen hoe ze de som opgelost hebben en gelukkig voor de computer zijn er meer mogelijkheden om erachter te komen wat het kind denkt.

Ontcijferen wat het kind denkt
Wat voorbeelden.

Jan antwoordt op 2+7= met 9. Wat nu?
  • Computer denkt: De uitkomst is wel goed maar ik moet wel even weten welke methode hij toegepast heeft want sommige methoden zijn erg onhandig of leiden later tot problemen. Jan heeft 5 seconden over de som gedaan, in die tijd kan hij gewoon 7 bij 2 geteld hebben maar als hij handig geweest is verwisselt hij eerst de getallen (2+7=7+2) zodat hij maar 2 hoeft bij te tellen (noot 2). Laat ik eens nagaan of Jan de getallen verwisselt.
  • De computer toont een som waarbij het verwisselen van de getallen en kortere oplossing geeft. De computer vraagt Jan hoeveel 3+6 is.
  • Jan antwoordt na 5 seconden: 9.
  • De computer denkt: Jammer nou, weer 5 seconden. Nu weet ik nog niets. Wacht maar ik ga het anders doen, gewoon wat grotere getallen geven dan wordt de reaktietijd zeker lang als hij de getallen niet eerst verwisselt. Computer: 3+15=
  • Jan 8
  • Computer denkt: He, wat gek, tien te weinig hij vergeet kennelijk de tien, even onthouden en zo uitzoeken het met de tientallen bij Jan zit. Maar onder tussen weet ik nog steeds niet of Jan nu de getallen verwisselt. Wacht maar, ik ga het nog anders doen. Computer vraagt vol verwachting: Jan bij welk getal ben je begonnen?
  • Jan: 5
  • Computer denkt: Hee, weer die 10 vergeten. Hij heeft verder het eerst aan het tweede getal gedacht, waarschijnlijk dus het eerste getal bij het tweede getal geteld. Voor de zekerheid nog even op een andere manier kontroleren.
  • Computer: 4+7=
  • Jan: 11
  • Computer denkt: Zo, nu snel de som van het scherm af en vragen of Jan de som nog weet. De computer vraag Jan: Jan, ik ben de som vergeten, weet jij nog welke het was? Wanneer jan 7+4 antwoordt denkt de computer: Zie je wel, hij heeft de getallen verwisseld. Gelukkig hoef ik nu de onderwijzer niet te vragen of hij Jan vraag hoe hij het gedaan heeft. Deze reaktie van computer en kind zijn niet verzonnen maar gebaseerd op vele gesprekken met kinderen over sommen. Over 2+7 is zelfs nog meer te vertellen dan we hier gedaan hebben. Bijvoorbeeld wat er gedaan kan worden als blijkt dat het kind de getallen niet verwisselde. Voor deze en nog vele andere wetenswaardigheden over het leren rekenen van kinderen verwijzen we naar SVO-project Kwantiwijzer (noot 3).
  • Een belangrijk verschil tussen computers en leerboeken is dat een computer op allerlei manieren kan reageren op het kind. Daarbij denk ik niet zozeer aan simpele reaktie zoals: Jan probeer het nog eens een keer, dat zonodig 10 keer herhaald wordt zoals een kind met computerervaring vertelde. Daarbij denk ik aan een manier van reageren waarbij het de computer duidelijk wordt hoe het kind een som oplost en waarbij vervolgens aan het kind duidelijk gemaakt wordt hoe het een som eventueel beter kan oplossen.
    In het onderwijs is het leerproces vastgelegd in leer-jaar-boeken. Directe bijsturing van het leerproces is daarbij niet mogelijk maar afhankelijk van de leerkracht. De beheersing van alle leerprocessen van alle leerling is voor een leerkracht niet te doen. Daarom krijgt de leerling na enige tijd alleen te horen: Fout, opnieuw. Dat opnieuw kan betrekking hebben op de gemaakte som of op het hele leerjaar. Een computer die beschikt over een goed leerproces kan zeker, gedetailleerd en onmiddellijk bijsturen. Het behaviourisme heeft laten zien dat onmiddellijke bijsturing het meest effectief is. Met de hedendaagse technieken kan het jaar-klassen-denken vervangen worden door een nu-in-het-leerproces-denken.
    Meer voorbeelden nu-denken

    Naar top.

    Onderwijzer als mens

    We hebben slechts twee van de goede methoden om 2+7 op te lossen laten zien. Er zijn meer goede methoden en er zijn ook meer optelsommen. Behalve optelsommen zijn er ook aftreksommen, sommen met breuken en sommen met procenten om nog maar even bij het traditionele rekenen te blijven. Bovendien hebben we het hier alleen gehad over de vraag wat doet het kind eigenlijk als het een som goed uitrekent en niet over wat er allemaal aan de hand kan zijn als de uitkomst fout is en ook niet over de volgende vraag namelijk hoe leer je een kind de gewenste methode. Behalve rekenen moeten onderwijzers kinderen ook leren lezen, schrijven en tekenen ook om weer nog maar even bij enkele traditionele vakken te blijven. Dit overdenkend vraag ik me wel af of je onderwijzers al die kennis in computers moet laten stoppen, zoals dat wel gebeurt. De tijd dat een onderwijzer naast het lesgeven zelf een reken- of leesmethode kon schrijven is naar mijn idee wel voorbij. Ik vraag me zelfs af hoe je alles dat bekend is en nog bekend worden over leren optellen, rekenen, lezen etc. in de hoofden van onderwijzers kunt stoppen. Daarmee komen we op een belangrijk verschil tussen computers en onderwijzers: Computers kun je gemakkelijker volstoppen met erg veel informatie dan onderwijzers. Voor onderwijzers moet dit erg aantrekkelijk zijn. Want wanneer zij zich bijvoorbeeld voor het leren rekenen en lezen gesteund weten door een goed geprogrammeerde computer dan kunnen zij zich meer richten op de belangrijker en ook moeilijkere zaken zoals de sociale, creatieve en emotionele ontwikkeling van het kind.
    Noten
    1. Met toestemming van het OV&OC overgenomen uit de leerplanpublikatie van december 1975. Zie ook de recentere publikatie: A. Dekker, H. ter Heege en Al. Treffers: Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens wiskobas. Utrecht; OV & OC 1982. OV&OC: Vakgroep Onderzoek Wiskunde Onderwijs Computercentrum (voorheen IOWO: Instituut voor Ontwikkeling van het wiskunde Onderwijs), Tiberdreef 4, 3561 GG Utrecht.

    2. Ter verduidelijking: bij 2+7 is het tellen vanaf 7 dus 8 9 veel minder telwerk dan tellen vanaf 2 dus 3 4 5 6 7 8 9.

    3. SVO projekt Kwantiwijzer, sektie onderwijssociologie, Erasmus Universiteit, Postbus 1738, 3000 DR Rotterdam. Het project is inmiddels beëindigd.
    Naar top.


    Meer denkpsychologie voor het leren rekenen.


    x
    ContextTitle




    Leren rekenenleren tellen rekenen optellen en aftrekken op de basisschool

    Leren rekenenrekenonderwijs optellen aftrekken basisschool computer diagnostiek remedial teaching

    Leren rekenengraphics for quantitative data next generation

    Leren rekenenleren rekenen optellen aftrekken basisschool nieuwe intelligentie algoritme

    Leren rekenentoekomst onderwijs leren lezen rekenen supermarkt

    Naar top.



    Behalve psychologie voor leren rekenen ook psychologie voor:
           


               


                


                   


                 


         


           


       


    Naar top.


    Zoeken in humanefficiency.nl



    Contact

    +31 (653) 739 750
    Parkstraat 19
    3581 PB Utrecht
    Nederland

    leonardverhoef@gmail.com
    Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.
    Naar top.