Analyse van het optellen en aftrekken op de basisschool,

Naar de meer toegepaste en minder wetenschappelijke versie van dit artikel.

Met dank aan de leden van de stuurgroep, de studentassistenten, de secretaresse van he projekt en de scholen voor hun waardevolle opmerkingen en medewerking.

Verschenen in: Pedagogische Studiën 1978 (55) 345-367
Met kleine redactionele wijzigingen in deze online versie.
Contact

Samenvatting

Dit artikel is het resultaat van onderzoek naar het leren rekenen binnen het door de stichting voor onderzoek van het onderwijs gesubsidiëerde projekt kwantiwijzer (SVO-projekt 0327). In de inleiding wordt kort ingegaan op de doelen van dit projekt en de opvattingen omtrent diagnostiek.

Vervolgens wordt een overzicht gegeven van de bestaande kwalitatieve en kwantitatieve onderzoeken en testen op het gebied van het optellen en aftrekken op de basisschool. Hierop volgt een beschrijving van de drie onderzoeken waar de analyse van het optellen en aftrekken, zoals dat geobserveerd werd, op gebaseerd is. Deze analyse beschrijft de handelingen aan de hand van de verkortingen die plaatsvinden door herstrukturering van opgaven op grond van de eigenschappen van het getallensysteem. Daarbij komen aan de orde: kommutativiteit, tientalligheid en inwisselen en het positiestelsel. Tenslotte wordt in de diskussie aangegeven wat mogelijke oorzaken zijn van stagnaties bij het rekenen, voorzover deze in het onderwijs zijn gelegen.

1. Kwantiwijzer

De Kwantiwijzer is een diagnostisch instrumentarium waarmee men aan kan wijzen waar het onderwijsleerproces aan moet sluiten bij het opereren met hoeveelheden (kwantiteiten) en welke van belang geachte handelingen het kind kan uitvoeren. Het instrumentarium is bedoeld voor de kleuterschool en de onderbouw van de basisschool. Het zal gebruikt kunnen worden voor individuele hulp aan leerlingen en voor de evaluatie van gegeven onderwijs en van bestaande en experimentele leergangen. Een eerste experimentele versie van dit kwantiwijzer­instrumentarium zal eind 1978 beschikbaar komen en bestaan uit: klassifikatie, seriatie, konservatie, meten, ruimtelijke oriëntatie, getallen­reken­handelingen en een vragenlijst voor de leerkracht. De term diagnostisch vatten wij op volgens de omschrijving die Rispens hiervan geeft: ‘in een diagnostische toets probeert men te achterhalen waarom een bepaald gedeelte van de instruktie gemist wordt: op welke vaardigheden wordt daarin een beroep gedaan, welke kennis en kunde wordt verondersteld aanwezig te zijn’ (Rispens, 1973, 7). verder zegt Rispens dat er in een diagnostische toets ook opgaven aan de orde komen die in bestaande methoden niet voorkomen omdat ze bekend verondersteld worden of omdat men meent dat ze maar van zeer beperkte betekenis zijn. Een ander belangrijk aspekt dat Rispens onderscheidt bij diagnostisch onderzoek is d uitslag in termen van voor de leerkracht relevante instruktie. In de kwantiwijzer zal dit voorlopig gerealiseerd worden door verwijzing naar bestaande methoden en materialen. In een later stadium zal ook aandacht besteed worden aan het ontwikkelen van ontbrekende methoden en materialen. Deze werkzaamheden dienen ons inziens gebaseerd te zijn op een geëxpliciteerde theorie van het leren rekenen. Daarom werken we aan zo'n theorie. Daarin is de wiskunde (welke inhouden) en de leerpsychologie (hoe verloopt het leerproces) geëxpliciteerd en geïntegreerd.
Naar top.

2 Bestaande onderzoeken en testen

2.1 Indeling

Wij zouden de bestaande rekenonderzoeken en testen in twee groepen verdelen.
  Ten eerste onderscheiden wij de niet-kwalitatief psychologische onderzoeken en testen. Hierbij zijn de aftreksommen ingedeeld op grond van formele kenmerken van de som, zoals bijvoorbeeld optellen of aftrekken, gewone som, puntsom of redaktiesom, grootte van de getallen. Deze kenmerken zijn niet ontleend aan een vakinhoudelijke analyse van de leerstof. Een vakinhoudelijke analyse zou naar ons idee eigenschappen en de struktuur van het getallenstelsel. Behalve op grond van formele kenmerken worden de opgaven ook wel ingedeeld op grond van de empirische moeilijkheidsgraad, of de reaktietijd. Het is ook mogelijk om op grond van ervaring de verwachte moeilijkheidsgraad te schatten. Deze gegevens zijn slechts bruikbaar om het algemene rekennivo te bepalen. Ten tweede onderscheiden wij de kwalitatief psychologische onderzoeken en testen. Hierbij gaat het om een psychologische analyse van het oplossingsproces. Zo'n analyse beschrijft de deelhandelingen die bij het oplossen van rekenopgaven verricht worden.
Naar top.

2.2 Niet-kwalitatief psychologische onderzoeken en testen

2.2.1. SDAT
Schonell en Schonell hebben een aantal testen ontworpen (Schonell Diagnostic Arithmetic Tests( die ze zelf diagnostisch noemen. Een gelangrijk doel van de SDAT is het duidelijk aangeven van welke aard de moeilijkheden bij een kind zijn, welke lacunes er bestaan en wat de oorzaken zijn van de achtderstand in een bepaald gebied (Schonell en Schonell 1958, 113).


Daartoe wordt het aantal goede antwoorden en de benodigde hoeveelheid tijd om de sommen op te lossen vergeleken met het gemiddelde voor de leeftijdsgroep waar het geteste kind toe behoort. De feitelijke foutenanalyse moet, begrepen wij, door de proefleider zèlf gedaan worden. In de test worden slechts enkele voorbeelden van outen gegeven. Deze hebben echter voornamelijk betrekking op vergissingen.



Het werk van Schonell en Schonell is erg uitgebreid, het omvat het cijferen van de basisschool. Weliswaar wordt aandacht besteed aan aanvullende opgaven en oorzaken van stagnaties, maar een geëxpliciteerde theorie van het leren rekenen ontbreekt volledig en de meeste uitspraken worden op geen enkele wijze gefundeerd.
2.2.2. Schiedamse Rekentoets

Bij het onderzoek van rekenprestaties op de basisschool wordt in Nederland over het algemeen gebruik gemaakt van de in 1967 gekonstrueerde Schiedamse Rekentoets (SRT). Deze test is bedoeld om de beheersing van de traditionele rekenstof in het basisonderwijs te meten en om bij kinderen met leermoeilijkheden een duidelijke uitspraak te kunnen doen over de ernst van de achterstand (Heesen e.a. 1967, 1968). In de handleiding staat expliciet vermeld dat de test niet is bedoeld als een specifiek instrument ter opsporing van oorzaak en achtergronden van gevonden lacunes (Heesen e.a. 1971, 9).


Alhoewel de SRT overeenkomt met de SDAT zijn de auteurs veel bescheidener over de mogelijkheden van hun test. De samenstellers hebben gestreefd naar een zo volledig mogelijke inventarisatie van de rekenstof van het gasisonderwijs en sluiten expliciet aan op traditionele leerstof (Heesen e.a. 1967, 490 en 1971, 9) op op deze wijze zo goed mogelijk aan te sluiten bij de meest gangbare leerplannen en methoden.

 

De opgaven die bedoeld zijn voor het begin van de basisschool zijn gekozen op formele ekenmerken van de som en geordend naar moeilijkheidsgraad. Omdat de SRT vooral bedoeld is om de ernst van de eventuele achterstand aan te geven, volstaat men met een kwantitatieve vergelijking van de prestaties van het kind met zijn jaargenoten. Het uitgangspunt van de normen voor de SRT is een analyse van bestaande rekenmethoden (van voor 1967) en het oordeel van onderwijsauthoriteiten (voornamelijk enkele inspekteurs) Heesen e.a. 1971, 12).

 

2.2.3. Analytische rekenproeven

Voor de leerlingen van de Polyvalente Beroepsschool ontwierpen Swinnen en Vanden Berghe (1970, 1973) analytische rekenproeven. Daarmee kan men lacunes lokaliseren en beschrijven. De proeven geven aan welke taken het kind wel en welke taken het kind nog niet kan oplossen. Gemeten wordt inzicht in de natuurlijke getallen en het tientallig stelsel (positiewaarde, struktuur van elk natuurlijk getal en rij der natuurlijke getallen).


Swinnen en Vandenberghe noemen hun proeven analytisch omdat de term diagnotisch zou suggereren dat men een diagnose zou kunnen stellen. Daarvoor is volgens Swinnen en Vandenberghe vaak ook individueel diagnostisch onderzoek nodig waarbij men probeert de denk- en werkwijze van een leerling vast te stellen; daarbij kunnen de analytische rekenproeven uitgangspunt vormen.


De analytische rekenproeven verschillen op enkele punten met ons werk. Allereerst wordt het individueel diagnostisch onderzoek bij Swinnen en Vandenberghe nauwelijks uitgewerkt terwijl daar bij ons juist het accent op ligt. Ten tweede gaan Swinnen en Vandenbeerghe bij het opstellen van de opgaven uit van het traditionele rekenen. Wij zijn, zoals wij hiervoor al aangaven, van meningdat er pas sprake is van diagnostisch onderzoek wanneerook opgaven aan de orde komen die niet in de bestaande leergangen behandeld worden maar wel van belang zijn.

2.2.4 Pump-projekt

In het begin van de jaren zeventig is Lundgren in Zweden begonnen met een analyse van het rekenen. Uitgangspunt daarbij is het werk van Dahllöf en Lundgren die een onderwijstheorie (theory on teaching) ontwikkelden waarin de relatie tussen randvoorwaarden, onderwijsproces en leerresultaat aangegeven wordt (van Dam 1976, 7).

 

De analyse van het rekenen resulteerde in een diagnostische rekentest waarmee het rekenproces beschreven kan worden, de leerkracht geholpen kan worden en waarmee een theoretisch onderwijsmodel getoetst kan worden (Kilborn en Lundgren 1975, Johansson in Kilborn 1975). Daarbij wordt uitgegaan van een hiërarchie met als dimensies de formele kenmerken van de som (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) en de grootte van de getallen (zie voetnoot 1).

 

Met de skores kan bepaald worden welke kennis gemist wordt, wat de konsekwenties voor het onderwijs zijn en welke leerlingen extra onderwijs nodig hebben. Dit alles wordt echter slechts beschreven in termen van formele kenmerken van de opgave.

Voetnoot 1
De hiërarchie van het Pump-projekt is in Nederland gevalideerd door het Cito (zie Van Dam, Deventer en Leenheer 1977).

2.2.5. Verder onderzoek

Verder kunnen wij onderzoeken noemen waarbij kwantitatieve psychologische analyses gemaakt zijn. Suppes (1969) heeft bijvoorbeeld door middel van variantie-analytisch onderzoek faktoren vastgesteld die bepalend zijn voor de moeilijkheidsgraad van een som. Hij vond dat puntsommen moeilijker zijn dan gewone sommen, dat de puntsom iets gemakkelijker is wanneer de punt op de plaats van de tweede term staat dan wanneer de punt op de plaats van de eerste term staat en dat de rekensnelheid afhankelijk is van de grootte van de onbekende term.

 

Dumont, Hamers en Ruijssenaars (1977) gaven onlangs een verslag van een faktor-analytisch onderzoek naar de samenhang van technisch en begrijpend rekenen met enkele intelligentietaken. Zij vinden en samenhang tussen rekenprestaties (met name SRT) en intelligentietaken. Dit soort onderzoek is ons inziens weinig vruchtbaar en wel om de volgende redenen. Wanneer men inzicht in oorzaken van rekenstoornissen wil verkrijgen geven korrelationele verbanden alléén te weinig informatie. Hiermee vindt men immers geen causale verbanden, die bij stoornissen juist essentieeel zijn. Daarvoor zijn ook kwalitatieve onderzoeksmethoden noodzakelijk. Bovendien leveren korrelationele verbanden geen enkele praktische bijdrage aan het verhelpen (remediëren) van rekenstoornissen. Tenslotte  merken wij op dat het intelligentiebegrip erg omstreden is.

 

Andere onderzoekers proberen inzicht te krijgen in het oplossen van sommen door al dan niet met behulp van elektronische apparatuur reaktietijden te meten. Dit soort onderzoek is bedoeld om door de onderzoeker veronderstelde kognitieve processen aan te tonen op grond van tijdmetingen (bijvoorbeeld Groen en Parkman 1972, Svenson 1975).

2.2.6. Beperkingen van niet-kwalitatief psychologisch onderzoek

Bovengenoemde onderzoeken en testen geven een analyse van de rekenopgaven of de uitkomsten. De indelingskriteria zijn meestal ontleend aan kenmerken van de opgave. De skores geven aan hoe ver het kind met het rekenen gevorderd is, welke soort opgaven het kind kan oplossen.


De meeste auteurs merken zelf al op dat een diagnose die aangeeft wat de oorzaak van de stagnaties is en waar het onderwijsleerproces moet aansluiten niet mogelijk is.


Deze testen zijn dan ook niet diagnostisch in de betekenis die wij er in navolging van Rispens en van Swinnen en Vandenberghe aan geven. Om een dergelijke diagnose toch te kunnen stellen, is het naar ons idee nodig te beschikken over psychologisch onderzoek op basis van een geëxpliciteerde theorie van het leren rekenen. Men kan dan namelijk aangeven waar het leerproces gefaald heeft, welke voor het leerproces relevante handelingen niet beheerst worden èn hoe het onderwijs moet aansluiten.
Naar top.

2.3 Kwalitatief psychologisch onderzoek

Bij kwalitatief psychologisch onderzoek naar de rekenhandelingen van het kind gaat het niet zozeer om de formele kenmerken van de opgave of de statistisch gegevens van de oplossingen (moeilijkheidsgraad, reaktietijd), maar om de wiskundige kenmerken van de opgave.Daarom dient men bij een degelijke analyse uit te gaan van de eigenschappen van het getallensysteem.

2.3.1. Stahl

Een van de onderzoeken van Stahl (1975, 297) had betrekking op het optellen en aftrekken tot 100. Het bestaande leerplan in de DDR voor klas 2 onderscheidt achtereenvolgens vier stappen waarbij rekening gehouden werd met de grootte van de tweede term en het overbruggen. Stahl merkt daarover o dat de abstraktie van de essentiële gemeenschappelijke kenmerken pas mogelijk wordt na behandeling van de laatste stap. Voor een optimale organisatie van het leerproces is het volgens hem echter nodig de leerlingen juist van te voren met alle delen van de oriënteringsbasis (zie noot 2) vertrouwd te maken. Deze moet volgens Stahl in elk geval omvatten:


  1. kennis over de eigenschappen van rekenoperaties (kommutativiteit, associativiteit).
  2. Kennis over de samenhang tussen operaties (aftrekken als omkering van optellen).
  3. Kennis over de volgorde van de natuurlijke getallen en over het tientallig positiestelsel.

 

De effektiviteit van deze uitgangspunten werd in zijn onderzoeken bewezen.
We zien dat Stahl, zij het op beperkte schaal, een leerpsychologische terminologie hanteert. Vanuit het leerpsychologische concept ‘oriënteringsbasis’komt hij tot een andere analyse van het rekenen dan de wijze waarop dit rekenen in het leerplan van de DDR geanalyseerd wordt.

2.3.2 Kwantiwijzeronderzoek

In dit artikel zullen wij proberen een kwalitatief psychologische analyse te geven van de rekenhandelingen die wij bij de kinderen geobserveerd hebben. Hierbij hebben wij de theorie van Gal’perin als leerpsychologisch beschrijvingskader gekozen. Voor het vakinhoudelijke aspekt van het optellen en aftrekken maken wij gebruik van de eigenschappen van het getallensysteem.
Noot 2 Wij gebruiken het begrip oriënteringsbasis hier voorlopig bij gebrek aan een beter begrip. Wij zijn ons ervan bewust dat het begrip nog onvoldoende uitgewerkt is. De meest recente informatie over de oriënteringsbasis konden we vinden in Nelissen, Vuurmans en Wolters (1977, 50). Bij het opstellen van de oriënteringsbasis moet volgens Gal’perin gelet worden op logische, psychologische en kreatieve aspekten, op vakinhouden en uitzonderingsgevallen.
Naar top.

3. Onderzoeksopzet

3.1. Ontwikkelings­onderzoek

De gegevens voor deze analyse zijn ontleend aan die onderzoeken die in het kader van dit projekt verricht zijn in de periode van januari 1976 tot en met juni 1977.

 

Eerst vond er een ontwikkelings­onderzoek plaats waaraan door 36 kinderen van 6 kleuter-en 6 basisscholen werd deelgenomen. De verdeling van de kinderen was als volgt:
6 jongste kleuters (4-jarige ‘bijdehandjes’)
12 oudste kleuters (5- en 6-jarige ‘gemiddelde’ leerlingen)
12 eerste klassers (‘gemiddelde’ leerlingen)
4 tweede klassers (slechte  rekenaars)

 

Aan deze kinderen werd individueel drie maal met een tussenpoos van telkens zes weken éénzelfde verzameling items afgenomen. Deze items zijn afkomstig uit een door ons samengestelde itembank, die opgaven bevat op het gebeid van klassifikatie, seriatie, konservatie, meten, getallen en ruimtelijke oriëntatie. Het doel van dit onderzoek was vooral na te gaan hoe de prestaties op enkele van belang geachte operaties zich ontwikkelen in de loop van het onderzoek. Het accent lag vooral op ontwikkelings­psychologische voorwaarden voor het leren rekenen. Dit onderzoek liep van januari tot en met mei 1976.

Naar top.

3.2 Korrelationeel onderzoek

Ten tweede is er in november 1976 een korrelationeel onderzoek verricht waaraan 42 tweedeklassers van acht scholen deelnamen. Op deze scholen werden vier verschillende rekenmethoden gebruikt: elke methode werd door twee scholen gebruikt.

Elke klasseleerkracht werd gevraagd zes kinderen te selecteren: twee leerlingen die over de hele linie zwak zijn, twee leerlingen die alleen met rekenen zwak zijn, terwijl de andere vakken voldoende of goed waren en twee leerlingen die over de hele linie goed zijn.
Niet elke klas bevatte 2 van de boven beschreven leerlingen, daardoor is de N van elke groep niet 16 (maar 14 leerlingen die over de hele linie zwak zijn, 12 leerlingen die alleen met rekenen zwak zijn en 16 leerlingen die over de hele linie goed zijn).

Aan deze groepen werden in een gestandaardiseerde situatie de hierboven (3.1) genoemde onderdelen van de itembank voorgelegd met daarbij nog het onderdeel regelvinden en een aantal sommen.

Dit onderzoek werd gedaan omdat gebleken was dat ontwikkelings-psychologische voorwaarden alléén een te enge basis waren voor een diagnostisch instrumentarium. Daarom werd in dit onderzoek ook op anderegebieden (onder andere rekenen en algemene gedragskenmerken) gezocht naar verschillen tussen goede en slechte rekenaars.

Naar top.

3.3 Klinisch onderzoek

Ten derde is er in mei en juni 1977 een klinisch onderzoek gedaan om de knelpunten bij slechte rekenaars die in het korrelationeel onderzoek naar voren gekomen waren, nader te onderzoeken. Het onderzoek was gericht op het vinden van de oorzaken van stagnaties én op de konstruktie van opgaven waarmee de oorzaak hiervan efficiënt vastgesteld zou kunnen worden. Het klinisch onderzoek vond plaats bij 32 kinderen met rekenproblemen uit de onderbouw van de basisschool.

Van acht scholen waar onderzoek gedaan is, zijn er per school door de klasseleerkracht maximaal 4 kinderen aangewezen die problemen hadden met rekenen. Op de acht scholen werden in totaal 5 verschillende methoden gebruikt. Uit de eerste klas werden 11, uit de tweede klas 16 en uit de derde klas 5 kinderen onderzocht. De gemiddelde leeftijd was 8;4 jaar.

Tijdens het onderzoek was de proefleider vrij een keuze te maken uit alle items van de itembank. Ook nieuwe ter plekke beachte vragen en opgaven mochten aan de orde komen. Indien één zitting niet voldoende was om tot konklusies te komen, dan kon een tweede onderzoek gedaan worden.

Na het onderzoek moest de onderzoeker zijn veronderstellingen over de oorzaken van de problemen en de wijze waarop het kind geholpen zou kunnen worden, expliciteren in een onderzoeksverslag. Hij kon daarbij gebruik maken van het schriftelijke schoolwerk van het kind en het op de band opgenomenverslag van de gang van zaken tijdens het onderzoek. Alle verslagen werden besproken met de leerkracht. Acht verslagen werden vergeleken met de onderzoeksverslagen van dezelfde kinderen die gemaakt waren door medewerkers van een SBD. Tenslotte werden handelwijze van de proefleider en de konklusies die hij getrokken had, geëvalueerd in de stuurgroep van het project.

De handelingen die wij hierna beschrijven, zijn onderscheiden op grond van een uitvoerige analyse van de drie onderzoeken.

Bij de analyse werd gezocht naar relevante handelingen; deze werden gedefinieerd en vervolgens werd nagegaan hoe vaak deze handelingen voorkwamen. Doordat de handelingen vaak pas in de loop van de onderzoeken aan de onderzoekers duidelijk werden en geformuleerd konden worden, was het niet altijd mogelijk alle reakties eenduidig te skoren. Daarom kwamen er veel missing skores voor en spreken we in dit verslag vaak slechts van ‘een aantal’ of ‘enkele kinderen’.

Naar top.

4. Verkorting van de oplossings­procedure door herstrukturering van de opgave

4.1. Algemeen

Voor beschrijving van de handelingen die wij bij de kinderen observeerden, hebben wij gebruik gemaakt van de theorie van Gal’perin. Aan een handeling zijn volgens Gal’perin de volgende parameters te onderscheiden (Gal’perin, 1969, 250; Van Parreren en Carpay 1972, 37 en Van Parreren 1973):


  1. nivo van de handeling. Een handeling kan op verschillende nivo’s uitgevoerd worden. In Van Parreren en Carpay (1972, 38) worden het materiële, het verbale en het mentale nivo genoemd. Bovendien kan het perceptie nivo onderscheiden worden.
  2. mate van verkorting. Een handeling zal in het begin van het leerproces erg uitvoerig zijn maar zich later gaan verkorten.
  3. mate van generalisatie. De mate van generalisatie geeft aan in hoeverre een handeling op verschillende situaties kan worden toegepast (wendbaarheid).
  4. mate van beheersing.

Voor de beschrijving van de door ons geobserveerde handelingen hebben wij de verkorting als uitgangspunt gekozen omdat deze parameter het meest duidelijk naar voren kwam. Het verkortingsproces speelt volgens de Sovjetpsychologie een belangrijk rol in het leerproces (van Parreren 1977, 4). Gal’perin spreekt van een verkorte handeling wanneer niet meer alle deelhandelingen volledig worden uitgevoerd, maar verkort zijn, zodat bepaalde schakels worden overgeslagen of slechts vluchtig aangeduid (Van Parreren en Carpay 1972, 38). Dit is slechts één vorm van verkorten van het oplossingsproces, namelijk het versnellen van een bepaalde serie handelingen. Van Parreren (1977, 4) onderscheidt minstens drie verschillende vormen van verkortingen.Deze zijn: verkorting bij perceptuele klassifikatie (onmiddellijk zien dat twee objekten in een bepaald opzicht gelijk zijn, na een fase waarin de objekten uitgebreid met elkaar vergeleken werden), vermindering van het aantal kontrolepunten dat vooral plaatsvindt bij motorische vaardigheden (bijvoorbeeld autorijden) en ten derde verkorting door ontdekking van een kortere weg tot het doel, inzichtelijke verkorting (bijvoorbeeld het verkorten van het optellen van hoeveelheden zoals boven beschreven). Het is vooral deze derde vorm die wij hier zullen beschrijven. In de meeste gevallen ontstaat deze verkorting doordat het probleem, de opgave of onderdelen daarvan op een bepaalde manier gestruktureerd of geherstruktureerd worden zodat de opgave eenvoudiger, verkort opgelost kan worden.
Bij het rekenen kunnen deze verkortingen bereikt worden door de opgave te herstruktureren op basis van eigenschappen van het getallensysteem. Kennis van deze eigenschappen maakt deel uit van de oriënteringsbasis      voor het toepassen van deze verkortingen. Bij het leren optellen en aftrekken wordt aanvankelijk geteld bij het oplossen van sommen. Deze teloperaties worden weliswaar verkort maar deze verkortingen zijn slechts beperkt en leiden niet tot de gewenste oplossingsmethoden. Dit geldt wel voor verkortingen door herstructurering van de opgave op basis van eigenschappen van ons getallensysteem. Voor het oplossen van optel- en aftreksommen gaat het dan om de volgende eigenschappen: kommutativiteit, tientalligheid (met name het inwisselsysteem) en het positiestelsel. Deze eigenschappen vormen dan ook het uitgangspunt voor de beschrijving van de verschillende geobserveerde handelingen. Na een korte omschrijving van elke eigenschap zullen de verschillende handelingen die de kinderen uitvoerden bij het hanteren van deze eigenschappen beschreven worden. Tenslotte zullen volledig verkorte handelingen beschreven worden.

4.2.1 Fase in het tellen als oplossingmethode

Wanneer het kind de volgorde relaties en het aantalaspekt van de getallen (resp. ordinaliteit en kardinaliteit) heeft leren kennen, kan het kind opgaven leren oplossen door middel van tellen (zie noot 3).

De telmethoden zijn aanvankelijk nog zeer uitgebreid en materieel van aard, maar worden allengs korter. De handelingen die wij bij de kinderen observeerden, wanneer zij telden bij het uitrekenen van sommen, kunnen wij in de volgende fasen indelen.

 

Aftellen:
Optellen van groepen van voorwerpen door de eenheden van beide termen één voor één af te tellen. De opgave 4+2  wordt, nadat groepjes van voorwerpen zijn gemaakt, als volgt uitgevoerd: ‘1,2,3,4 – 5,6 is 6’ (het – teken geeft de overgang naar de tweede term aan).

Bijtellen met voorwerpen
Optellen van groepen voorwerpen, waarbij alleen de tweede term wordt bijgeteld. Wij spreken van ‘bijtellen’ in navolging van Davydov. De opgave 4+2 wordt , nadat groepjes van voorwerpen zijn gemaakt, als volgt uitgevoerd: ‘4+2=4,-5,6 is 6’.

Het aftellen en het bijtellen met materiaal werden tijdens het klinische onderzoek alleen bij eersteklasers geobserveerd.  Van de negen eersteklassers ware er nog zes die deze oplosingsprocedures hanteerden.

Bijtellen zonder voorwerpen
Optellen waarbij de eerste term als één geheel en abstrakt opgevat wordt en de tweed term bijgeteld wordt. Hierbij wordt het oplossingsproces dus niet meer zoals in de vorige fasen begonnen met het materialiseren van beide termen. Het bijtellen van de tweede term wordt slechts ondersteund door op een of andere konkrete wijze het aantal getelde eenheden wordt bijgehouden. Bij de opgave 4+2 zegt het kin ‘4’, steeds dan 2 vingers op en telt door ‘5,6 is 6’.
Overigens is bij deze fase niet precies vast te stellen in welke mate kinderen materiële sturen zoeken bij het bijtellen van de tweede term. Wij gaan hier in de volgende paragraaf verder op in.

Bij het aftrekken zien wij een analoge fasering als bij het optellen. Het aftellen zien wij wanneer de eerste term gematerialiseerd wordt met voorwerpen, de hoeveelheid van de tweede term geteld en eraf gehaald wordt en de resterende hoeveelheid ‘afgeteld’wordt. Een verkorting ontstaat wanneer er tegelijkertijd met het afhalen van de blokjes teruggeteld wordt. Dit terugtellen (bij optellen ‘bijtellen’). Wordt weer verder verkrot wanner het zonder voorwerpen wordt gedaan. Een variant hierop is het aftrekken door middel van doortellen (bijvoorbeeld: 15-12= … 13,14,15 =3).

Het terugtellen leverde veel problemen op: zeven van de 11 eersteklassers en vier van de 16 tweede klassers (allen uit het klinisch onderzoek) konden niet terugtellen vanaf 15.

Een aantal kinderen uit onze onderzoeken dat de bijtelmethode hanteerde, bleek dit zonder inzicht te doen. Deze kinderen maakte ‘startfouten’.  Hierbij maakt het kind geen sprong vooruit, maar start met het noemen van het getal dat de hoeveelheid van de eerste term aangeeft: ‘18+5 is 5 erbij doen, bij 18 beginnen, 18,19,20,21,22 is 22’.
Dit soort fouten kan men soms ook alleen op grond van de uitkomst (schriftelijke gegevens) vaststellen. De uitkomst is dan één lager dan de juist uitkomst. Het aantal startfouten dat de tweedeklassers in het klinische onderzoek maakten, is opmerkelijk: van de 13 kinderen die tellen als oplossingsmethode hanteerden, maakten er vier startfouten. Uit het maken van een startfout blijkt dat het kind geen juist inzicht in de optelling (aftrekking) heeft, het kind hanteert het tellen zuiver als verbaal telproces, maar weet niet precies op welke materiële handeling dit gebaseerd is.

Loster (1975, 116) wijst er in dit verband op dat er bij het leren rekenen meer aandacht besteed zou meten worden aan het reekskarakter van de getallenrij, waarbij het optellen in de vorm van volwaardig bijtellen zou kunnen aansluiten.
Wanneer de tweede term et grootst is, wordt de termen omgedraaid en wordt de kleinste bij de grootste geteld. De kommutatieve wet houdt in dat de som van een optelling niet verandert wanneer de volgorde  waarin de termen opgeteld worden verandert (a+b=b+a). Vooral wanneer een som door middel van bijtellen opgelost wordt, kan van deze et handig gebruik gemaakt worden. We observeerden dit bij een klein aantal kinderen. Zo draaide een kind de termen om (5=2 in plaats van 2+5) omdat hij van de juf geleerd had dat dit mocht. Een aantal kinderen bleek deze wet echter niet toe te passen, hetgeen bijvoorbeeld bleek uit hun lange reactietijd bij een som als 2+7. De 7 werd er dan kennelijk bijgeteld.

Wanneer de kommutatieve wet niet wordt toegepast, blijkt dat het kind de opteloperatie niet volledige begrijpt.
Noot 3
Bovendien onderscheidt Freudenthal (1973) behalve het ordinale getal (counting number) en het kardinaal getal  (numerosity number) ook nog het meetgetal (de maat van grootheden), het rekengetal (een getal dat door een bepaalde rekenkundige of algebraïsche bewerking wordt bepaald) en het getal als nummer (bijvoorbeeld paragraaf 2, kind 12).

4.2.2. Optellen en aftrekken met steun

Uit onze drie onderzoeken is gebleken dat de kinderen die volgens de leerkracht problemen hebben met het rekenen, vrijwel allemaal een materiële steun nodig hebben bij he oplossen van sommen door middel van aftellen. Et lijkt ons goed daar dieper op in te gaan. De meest gebruikte methode is natuurlijk het tellen op de vingers. Daarbij verschilt de mate van interiorisatie. Sommige kinderen steeken hun vingers bij het tellen duidelijk op en raken ze soms ook aan met de vingers van de andere hand; dit is de meest uiterlijke vorm van tellen op de vingers.


Er zijn echter ook kinderen die alleen maar naar hun vingers hoeven te kijken; dit zou men een perceptuele handeling kunnen noemen. De mate van interiorisatie zal mede afhankelijk zijn van de houding van de leerkracht ten aanzien van het optellen met de vingers. Tijdens de verschillende onderzoeken durfden veel kinderen niet te laten zien dat ze op hun vingers telden, vaak omdat ze het niet mochten van de leerkracht of omdat ze het kinderachtig vonden. Deze kinderen hielden hun handen onder tafel of achter hun rug (er schijnen zelfs kinderen te zijn die hun tenen bij het tellen gebruiken). Het is dan erg moeilijk vast te stellen of ze nu wel of niet hun vingers gebruiken bij het tellen.


Te lang gebruiken van de vingers bij het rekenen wijst erop dat het kind niet in staat is de sommen anders uit te rekenen. Dit dient opgevat te worden als een waarschuwing in de richting van het onderwijs. Het op de vingers tellen dient dan ons inziens echter niet verboden te worden. Door het verbod wordt het op de vingers tellen alleen maar onzichtbaarder en ontstaan er onlustgevoelens.

We observeerden een aantal opvallende fouten bij het tellen op de vingers. Zo ware er kinderen die na het uitrekenen van de som de tand van hun vingers niet konden interpreteren: wanneer zij bijvoorbeeld twee vingers overhielden, wisten zij niet of de uitkomst 2 of 8 was. Ook konstateerden wij bij enkele kinderen dat zij een verkeerd aantal vingers opstaken. Zo stak een kind bij het uitrekenen van de opgave 4-3 vijf vingers op, haalde er drie weg en gaf als antwoord 2. Beter dan het verbieden van het tellen op de vingers lijkt het ons om kinderen die te lang op hun vingers blijven tellen, oplossingmethoden en hulpmiddelen aan te bieden die voor het kind minstens even aantrekkelijk zijn en die het verkortingsproces stimuleren. Wij komen hier nog op terug. Overigens gebruiken volwassenen hun vingers ook wel bij het tellen. Bijvoorbeeld wanneer de elementen van de te tellen hoeveelheid niet direkt waarneembaar zijn maar één voor één uit ons geheugen opgezocht moeten worden (bijvoorbeeld wanneer men telt hoeveel medewerkers er bij een projekt werken). Omdat het zoekproces het denken te zwaar belast, heeft men voor het onthouden van het aantal gevonden elementen materiële steun nodig.

Er bleken ook kinderen te zijn die andere hulpmiddelen gebruikten dan hun vingers. Ze zette een jongen bij het maken van een optelsom eerst evenveel puntjes neer als de tweede term. Bij het doortellen werden deze één voor één aangeraakt zodat hij wist wanneer hij most stoppen (proefleider: ‘4+3=?’, kind schrijft op: 4+3=7 (met drie puntjes boven het ‘is’teken)). Een ander kind tikte bij het doortellen met zijn pen op tafel. Dit tikken ging niet willekeurig maar in bepaalde figuren: als hij bijvoorbeeld 8 moest bijtellen, tikte hij 2 groepjes van 4 tikken die een vierkant vormden. Ook observeerden we bij één eersteklaser en één tweedeklasser de volgende ‘verbale’ methode: proefleider: ‘17+4=?’, kind, ‘17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit’. Er was ook een kind dat vertelde dat ze tijdens het tellen de hoeveelheden in groepjes verdeelde. De opgave 84-6 werd dan opgelost door er telkens 3 af te halen: ‘6 is 3+3; 84-6=83,82,81 en dan nog een keer 80, 79, 78’. Ook zijn er kinderen die tijdens het bijtellen van grote getallen tientallen ‘in hun hoofd’ op ‘op hun neus’ bewaren.
De hierboven genoemde voorbeelden vormden uitzonderingen, de meeste kinderen zochten steun bij hun vingers.
In onze onderzoeken observeerden wij naast de hierboven omschreven fouten de volgende telfouten. Bij sommen met hoge getallen konden sommige kinderen helemaal nog niet tellen. Verder werden er regelmatig telfouten gemaakt bij het overbruggen van het tiental, met name bij het terugtellen. Bijvoorbeeld: ‘84-6=83, 82, 81, 70, 69, 68’ of ’65+5= 66, 67, 68, 69, 90,. In een onderzoek van Ippolitiva (1971) kwam deze kategorie van fouten ook heel duidelijk naar voren. Zij vond dat bij kinderen met een tijdelijke achterstand in de psychische ontwikkeling veel fouten veroorzaakt werden doordat kinderen niet over het tiental hen konden gaan.<

4.2.3 Tellen en leren optellen en aftrekken

In Tabel 1 staat een overzicht van het aantal kinderen dat alléén telmethoden hanteerde bij het oplossen van de sommen. Hieruit blijkt zonder meer dat veel kinderen die rekenproblemen hebben, tellen altijd als oplossingsmethode gebruiken.

Om de overgang van telmethode naar verkorte oplossingsmethode soepeler te laten verloren, zal hieraan in het onderwijs en in de diagnostiek meer aandacht besteed moeten worden. Dit knelpunt wordt ons inziens te weinig gesignaleerd omdat zoals wij hiervoor al opmerkten, bestaande toetsen en onderzoeken op het gebied van het rekenen bijna uitsluitend gericht zijn op de oplossingen (uitkomsten van de sommen) en niet op de oplossingsmethoden.

 

Het vasthouden aan telmethoden bij het oplossen van sommen wordt ons inziens door twee faktoren veroorzaakt.

Ten eerste wordt er te weinig goed gestructureerd materiaal aangeboden. Daardoor wordt het verkorting (abstractie-)proces belemmerd en ontstaan er ongewenste oplossingsmethoden.
Voorbeelden zijn de bovengenoemde ver doorgevoerde systemen die kinderen ontwikkeld hebben om ook moeilijke sommen op te kunnen lossen met aftellen. Bij het leren rekenen is de mate waarin het te tellen materiaal (vingers, blokjes, kralen al dan niet op een telraam) gestructureerd is, van belang. Gestruktureerd materiaal heeft het voordeel dat er sneller mee gewerkt kan worden . De struktuur van de vingers heeft bijvoorbeeld het voordeel dat je onmiddellijk weet dat een hand vijf vingers bevat. Het aantal vijf hoeft dus niet volledig afgeteld te worden (een van de nadelen van de vingers is echter dat er maar tien van zijn).



Ten tweede kregen wij duidelijk de indruk dat kinderen erg bang waren een fout antwoord te geven. Dit bleek bij kinderen die omslachtige telmethoden bleven toepassen, terwijl ze bij andere opgaven of na het geven van een klein beetje hulp wel in staat bleken te zijn verkorte oplossingsmethoden te hanteren.
 
Schoolprestaties
volgens leerkracht

Klas

Korr.
ond.

Klinisch
ond.

Aantal

n

Onvoldoende in rekenen

1

 


X

11=100%

11

Onvoldoende in rekenen

2

 


X

10=63%

16

Onvoldoende in rek.+taal.

2

X

 


8=62%

13

Onvold. In rekenen

2

X

 


10=91%

11

Goed in rek.+taal

2

X

 


2=15%

13

Onvoldoende in rekenen

3

 


x

2=40%

5

 

 


 


 


 


69

Naar top.

4.3 Tientalligheid en inwisselen

Het getallensysteem dat wij hanteren, kent een tientallig inwisselsysteem, dat wil zeggen bij elke tien kan worden ingewisseld. Tien énen worden ingewisseld voor één tien en tien tienen voor één honderd. Het tientallig inwisselsysteem en vooral het inwisselen volgens éénzelfde systematiek, maakt het toepassen van eenvoudige oplossingsprocedures voor moeilijke opgaven mogelijk. Het ontbreken van eenzelfde systematiek bij het inwisselen ziet men bij diverse andere systemen. Men denke bijvoorbeeld aan de manier waarop de tijd wordt ingedeeld (een jaar =12 maanden, een maand =± 30 etmalen, een etmaal =24 uur enz), of aan het oude Engelse muntstelsel (1 pond=20 shilling, 1 shilling =12 pennies). Binnen het notatiesysteem van de tijd en het oude Engelse muntstelsel funktioneert bovendien het tientallig getalstelsel. In ons rekenonderwijs vindt men deze eigenschappen terug in het ‘splitsen van een getal in tientallen en eenheden’. Uit onze observaties bij diverse typen opgaven bleek echter dat de meeste kinderen die volgens de leerkracht problemen hebben met het rekenen, het splitsen in tientallen en eenheden niet toepassen. Van de kinderen uit het korrelationeel onderzoek die volgens de leerkracht goed kunnen rekenen, past het overgrote deel het splitsen wel toe (zie tabel 2). Een aantal kinderen splitsen in onze onderzoeken wel, maar deed dit niet inzichtelijk. Dit bleek uit fouten tegen het positiestelsel (zie volgende paragraaf). Een voorbeeld van het niet inzichtelijk omgaan met tientallen en eenheden zou men bij de volgende oplossing kunnen veronderstellen. De som 14+15 werd in blokken neergelegd: twee staven van tien in elkaar geschoven blokjes, een staaf van vier en een staaf van vijf blokjes. Eerst worden de staven van tien afgeteld (tien, twintig, …). De resterende negen blokjes worden er dan bij opgeteld als ware het tientallen (…., dertig, veertig, enz.).
Naar top.

4.4. Positiestelsel

Een van de eigenschappen van ons notatiesysteem voor getallen is het positiestelsel. Hierbij gaat het erom dat de positie van een cijfer de waarde van een getal mede bepaalt. Het cijfer zes betekent in het getal 16 zes eenheden en in het getal 61 zes tientallen. Alhoewel onze afspraken met betrekking tot de positiewaarde erg vanzelfsprekend lijken, zijn deze niet in alle notatiesystemen zo eenvoudig als in het onze (zie bijvoorbeeld IOWO 1977, 89). Al sinds de oudheid bevatte het Romeinse notatiesysteem naast de afspraak over de volgorde van de eenheden tientallen enz. (zoals bij ons) ook afspraken met betrekking tot de interpretatie van bepaalde kombinaties binnen deze volgorde. De Egyptenaren hanteerden wel het tientallig getalstelsel maar geen positiestelsel voor het noteren van getallen. Daardoor ware er voor het noteren van een getal meer verschillende cijfers nodig dan in ons notatiesysteem. Bij de Maya’s zien we weer een ander positiestelsel. Zij  noteerden niet zoals wij van links naar rechts, maar van boven naar beneden achtereenvolgens eenheden, vijftallen en twintigtallen. Zie figuur 1. Figuur 1, cijfers van de Maya’s
getallen systeem van de maya's
  Tabel 2. Aantal kinderen dat het inzichtelijk splitsen van geatllen en tientallen en eenheden toepast

Schoolprestaties
volgens leerkracht

Klas

Korr.
Ond.

Klinisch
Ond.

Aantal

n

Onvoldoende in rekenen

1

 

X

0=0%

10

Onvoldoende in rekenen

2

 

X

6=37%

16

Onvoldoende in rek.+taal.

2

X

 

4=37%

13

Onvold. In rekenen

2

X

 

0=0%

11

Goed in rek.+taal

2

X

 

10=79%

13

Onvoldoende in rekenen

3

 

x

3=60%

5

 

 

 

 

 

68

 

 

 

 

 

 

  Het positiestelsel komt in het onderwijs slechts aan de orde bij het leren splitsen van een getal in tientallen en eenheden. We zagen dat er in de tweede klas nog fouten tegen de afspraken gemaakt worden, bijvoorbeeld 41+1=4+1+1=6. Bij bepaalde sommen moet men erop verdacht zijn dat de uitkomst die het kind geeft goed kan zijn, ondanks een fout tegen het positiestelsel. Bijvoorbeeld: 19-16=(1+9)-(1+6)=10-7=3.In het korrelationeel onderzoek observeerden wij dat van de zestien tweedeklassers die volgens de leerkracht geen problemen met rekenen hadden, tien kinderen getallen konden splitsen en dat geen van deze tien kinderen daarbij fouten maakten tegen de afspraken met het positiestelsel. Van de zestien tweedeklassers van het klinisch onderzoek – kinderen die volgens de leerkracht rekenproblemen hebben  - waren er zes kinderen die getallen konden splitsen. Van deze zes kinderen maakten echter drie kinderen nog positiestelselfouten. De verschillen tussen kinderen met en kinderen zonder rekenproblemen krijgen nog meer gewicht wanneer men bedenkt dat de kinderen zonder problemen aan het begin van het schooljaar (november) onderzocht werden. Alhoewel het in beide groepen om tweedeklassers gaat, is de tweede groep een half jaar verder in het onderwijs. Het is merkwaardig dat het positiestelsel en bovengenoemde fouten nauwelijks terug te vinden zijn in de niet-kwalitatief psychologische testen ne onderzoeken. Allen in het werk van Swinnen en Vandenberghe komt het begrip plaatswaarde voor, zij het voor oudere leerlingen.

Om kinderen inzicht te geven in het positiestelsel en met name kinderen die rekenproblemen hebben, zal hieraan bij het leren rekenen meer aandacht besteed moeten worden. Dit kan met hulpmiddelen die het positiestelsel duidelijk tot uitdrukking brengen. Wij denken bijvoorbeeld aan geldrekenen onder elkaar zetten (zie noot 4), de lusabakus (IOWO 1977) en MAB-materiaal (zie Figuur 2 en 3). Een veel voorkomende fout die wij observeerden, zijn cijferomwisselingen. Het omwisselen van cijfers (een-en-twintig lezen als er twaalf geschreven staat) kan een positiefout zijn. In een aantal gevallen was het moeilijk vast te stellen of de waarneming fout wat of dat er een positiefout gemaakt werd. Zo observeerden wij de volgende oplossing van de som 65+32=’60 die 5 erbij, dan 20 erbij, dan 3 erbij, 5 en 3 is 8, dan 88’. In dit geval is het niet duidelijk of het kind de 2 als twintig opvat omdat het de plaats van tientallen en eenheden omwisselt of omdat het bij het oplezen (in zichzelf) 23 in plaats van 32 heeft gelezen. Het omwisselen van cijfers kwam bij alle onderzochte groepen kinderen voor. De kinderen wisselden cijfers om bij het oplezen van een som, tijdens het uitrekenen van een som en ook bij het noteren van het antwoord. Overigens beschouwen wij een cijferomwisseling niet als een ernstige fout: de uitkomst van de som is weliswaar fout maar het kind kan best een goede oplossingsmethode hebben. Bovendien is ons gebleken dat de meeste kinderen zich herstelden nadat de proefleider gezegd had ‘kijk nog eens goed’. Voor cijferomwisselingen zijn verschillende verklaringen.
Noot 4
Enkele kinderen die wij onderzochten, beheerste de methode van het onder elkaar zetten. In de klas mochten zij deze methode achter niet toepassen, waarschijnlijk omdat ‘echt rekenen’te sterk geïdentificeerd wordt met ‘hoofdrekenen’.

telraam lusabacus rekenen


Figuur 2. De lusabacus

mab rekenmateriaal multi arithemtic blocks


Figuur 3. MAB-materiaal (Multi Arithemtic Blocks)
In de eerste plaats zou men een verband kunnen veronderstellen met omkeringen die kinderen van deze leeftijd maken bij het leren lezen en schrijven. Hierover is ons geen onderzoek bekend. Ten tweede kan men een verklaring zoeken in de volgorde waarin tientallen en eenheden in de Nederlandse telwoorden genoemd worden. In het Nederlands is het moeilijker dan in bijvoorbeeld het Engels of Frans om kinderen via het uitspreken van getallen de tientallen en eenheden te laten onderscheiden. Wij noemen tientallen en eenheden immers in een andere volgorde dan we ze schrijven. Hier moet in het onderwijs duidelijker op gewezen worden.
Naar top.

4.5. Verkortingen en herstrukturering in aansluiting op het splitsen in tientallen en eenheden

Wanneer er gesplitst wordt in tientallen en eenheden, vormt dit splitsen altijd een onderdeel van de totale oplossingsprocedure. In aansluiting op het splitsen in tientallen en eenheden bestaan er een aantal methoden om de rest van de oplossingsmethode te verkorten door herstructurering.

Een groot aantal van de kinderen die splitsen losten de rest van de opgave op door tellen, bijvoorbeeld: ‘14+38=10+30=20,30,40; 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52’. Deze oplossingsmethode kan verkort worden met de tientallige struktuur en inwisselen. Wij observeerden dat kinderen verschillende methoden toepasten om tot deze verkorting te komen.
Een veel toegepaste methode voor overbrugging van het tiental is het zogenaamde aanvullen of leegmaken van het tiental. Hierbij wordt de eenheid die opgeteld moet worden, gesplitst om tot het volgende tiental te komen (bijvoorbeeld 18+6: ‘eerst 2 erbij, toen 4 over, bij de 20 gedaan, 24’). In een aantal gevallen ontstaan er typische fouten, bijvoorbeeld 16+6=16+4+6=26. Het tiental wordt aangevuld mar de daarvoor gebruikte eenheden worden niet van de tweede term afgehaald. Een voorbeeld van deze methode is gevallen waarin een veel eenvoudiger methode gehanteerd kan worden, is: 65+32= ‘70+25=95 en nog 2=97’. Bij een aantal kinderen observeerden wij het gebruik van een oplossingsmethode voor het optellen en aftrekken van de eenheden bij sommen met grotere getallen die wel ‘analogieën’genoemd wordt. Deze kinderen zoeken in de totale som eerst een kleine, ‘analoge’som op die zij gemakkelijk kunnen oplossen. De moeilijke som wordt dan opgelost naar analogie (bijvoorbeeld 35+12:’5+2=7, dus 35+12=47’) Bij sommen met overbruggen wort dan een volgende oplossing gegeven: ‘35+6=5+6=11, dus 35+6=41’. Bij deze methode is het de bedoeling dat kinderen de analogiesommen zo snel mogelijk leren automatiseren. In sommige gevallen is het moeilijk bast te stellen of er al of niet sprake is geweest van het gebruik van een ‘analoge’ som. Wel wijst het gebruik van de werkwoorden ‘dus’ en ‘dan’ in deze richting.
Naar top.

4.6. Volledige verkorte handelingen, automatiseren

De meest verkorte handeling is de geautomatiseerde handeling. Gal’perin omschrijft automatisering als een in wezen verbaal proces dat door verkorting en vergaande beheersing zijn direkt herkenbare verbale karakter grotendeels verloren heeft ( Van Parreren en Carpay 1972, 59). Bij het automatiseren van sommen zijn er twee soorten interpretaties van het psychologische karakter van het leren  automatiseren.

 

Het automatiseren kan men zien als associatief leren. Hiermee korresondeert het uit het hoofd leren van sommen in het traditionele rekenen waarin uitsluitend rijtjes met sommen in symbool vorm voorkomen. De voorstanders van deze instampmethode konden zich baseren op leerpsychologieën die minder algemeen van toepassing zijn dan aanvankelijk gedacht werd (met name stimulus-respons theorie).



Wij verstaan onder automatiseren het maximaal verkorten van een handeling die oorspronkelijk uitvoerig was. Deze omschrijving sluit aan bij het ontstaan van automatisering. De basis moet niet allen het geheugen zijn (instampproces) maar de verkorting van een uitvoerige handeling. Een geautomatiseerde handeling moet dus niet alleen snel maar ook bewust voltrokken kunnen worden en gegeneraliseerd zijn.

In onze onderzoeken was het meestal gemakkelijk vast te stellen of het kind de som geautomatiseerd had of niet. Dit bleek namelijk uit de reactietijd en uit zichtbaar aftelgedrag. Alleen wanneer de tweede term klein was (bijvoorbeeld 5+2), is automatisering moeilijk vast te stellen. De eerste klassers uit het klinisch onderzoek bleken bijna nog geen enkel som geautomatiseerd te hebben. De tweede klassers hadden over het algemeen een paar eenvoudige sommen geautomatiseerd, zoals bijvoorbeeld 5+3, 4+5. De geautomatiseerde handelinge bleken in een aantal gavallen echter niet wenbaar (gegeneraliseerd). Een aantal kinderen dat bepaalde sommen geautomatiseerd had, loste dezelfde sommen op met tellen wanneer deze een deelhandeling van de totale oplossingsprocedure vormden. Bij het uitrekenen van ingewikkelde sommen bleek het niet geautomatiseerd hebben van sommen onder de tien een knelpunt. Het oplossingsproces duurt dan te lang en bestaat uit te veel deelhandelingen. Daardoor neemt de kans op fouten toe, onder andere doordat het werkgeheugen te zwaar belast wordt.

Wij konkluderen dat het automatiseren van eenvoudige sommen noodzakelijk is om het oplossingsproces soepel te laten verlopen. Deze automatsering dient ons inziens, niet tot stand te komen door een instamproces maar door een verkortingsproces waarbij dan tevens meer geprofiteerd kan worden van incidenteel leren.

Het analyseren en synthetiseren van getallen dient een belangrijke plaats in te nemen bij het leren automatisering. Hiervoor bestaan voldoende aantrekkelijke materialen (eenvoudige telramen, dobbelstenen en dominostenen) en lesjes (bijvoorbeeld ‘busproblemen’ in Wiskobas, IOWO, 1975a en b).
Naar top.

Slotwoord

Diagnostisch onderzoek dient dus te resulteren in relevante instructie voor de leerkracht. Bovendien moet er een expliciete theorie van het leren rekenen zijn, dat wil zeggen een theorie waarin leerpsychologisch een wiskundige aspekten geïntegreerd zijn. Alhoewel de ontwikkeling van die theorie binnen de Kwantiwijzer nog in een beginstadium is, menen wij dat stagnaties (leerstoornissen) vooral door het onderwijs veroorzaakt worden (zie ook Nelissen 1977).

Doordat bij de kinderen geen juiste oriënteringsbasis aangebracht was, bleven ze steken in telprocedures en waren ze niet in staat verkorte oplossingsprocedures te hanteren. Zij hadden de eigenschappen van het getallensysteem, die verkortinge van de oplossingsprocedure mogelijk maakt niet geleerd. Zowel Davydov als Gal’perin hebben er al op gewezen dat er geen interiorisatieproces zal optreden wanneer het systeem voor de oriënteringsbasis ontbreekt (Nelissen, Vuurmans en Wolters 1977,50).

.
Een andere oorzaak van rekenproblemen ligt ons inziens in het ontbreken van een juiste wijze van aanpak. Tijdens de verschillende onderzoeken viel het alle proefleiders op dat de kinderen een uitkomst van een opgave zo snel mogelijk wilden geven, zelfs al wisten zij in sommige gevallen dat de uitkomst fout was. Dit is ons inziens verklaarbaar als men weet dat het kriterium voor ‘goed rekenen’ vaak het aantal opgeloste sommen is. Het gaat bij het rekenen dan om de uitkomsten en niet om het zoeken naar een handige oplossingsprocedure.

Verder bleken de onderzochte kinderen bijna nooit kontrolehandelingen uit te voeren. Een eenmaal opgeschreven uitkomst werd niet meer nagerekend tenzij de proefleider hierom vroeg. Soms begrepen de kinderen de funktie van de kontrole zelfs niet en  bleven bij hun eenmaal gegeven uitkomst, ook al bleek dit bij het narekenen fout te zijn.

Gal’perin (in Nelissen, Vuurmans en Wolters 1977, 55) acht het uitvoeren van een kontrolehandeling een essentiële  ondersteuning, vooral ook om inzicht te krijgen in de relatie tussen de handelingen op verschillende nivo’s (materieel, verbaal, mentaal). Het ontbreken van dit inzicht bij de kinderen bleek uit het niet kunnen materialiseren van een formule som en andersom. Zowel het denken over een wijze van aanpak als het uitvoeren van een kontrolehandeling zijn een mate van bewustheid waarmee de handeling wordt uitgevoerd. Karpova en Ataninja (Gal’perin in Nelissen, Vuurmans en Wolters 1977, 55 konstateerden een samenhangtussen deze drie faktoren. Uit hun onderzoeken bleek dat de mate van bewustheid sterk samenhangt met een juiste en volledige oriënteringsbasis.

De leerpsychologische begrippen worden in de kwantiwijzer geoperationaliseerd zodat meer systematisch onderzoek hiernaar mogelijk wordt.
Tenslotte menen wij niet alleen dat meer kinderen met minder moeite kunnen leren optellen en aftrekken maak ook, dat, onder verwijzing naar het werk van het IOWO leren optellen en aftrekken leuk kan zijn.
Noot 5

Met dit notatiesysteem bedoelen wij behalve de cijfers vooral ook de symbolen +, - en =. In onze onderzoeken bleek inzicht in de betekenis van deze symbolen vaak te ontbreken. Zo wordt het = teken niet opgevat als ‘is evenveel als’ maar 'hier achter komt het antwoord van de som'. Vaak wordt ook geen rekening gehouden met de plaats van deze symbolen. De problemen met puntsommen zijn hier ons inziens grotendeels op terug te brengen. De kinderen zien twee getallen en voeren klakkeloos de operatie uit die het symbool aangeeft. Bij de som 3+.=7 is het antwoord dan 10.


Meer denkpsychologie voor het leren rekenen.


x
ContextTitle




Leren rekenenleren tellen rekenen optellen en aftrekken op de basisschool

Leren rekenenrekenonderwijs optellen aftrekken basisschool computer diagnostiek remedial teaching

Leren rekenengraphics for quantitative data next generation

Leren rekenenleren rekenen optellen aftrekken basisschool nieuwe intelligentie algoritme

Leren rekenentoekomst onderwijs leren lezen rekenen supermarkt

Naar top.



Behalve psychologie voor leren rekenen ook psychologie voor:
       


           


            


               


             


     


       


   


Naar top.


Zoeken in humanefficiency.nl



Contact

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.
Naar top.