. Wat zijn ?

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van kennis. Het gaat om de betekenis van hoeveelheidswoorden. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen. Hier heet dat puntkennis

(§

). Een psychologische sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. De leerachterstand bij sommige kinderen moest weggewerkt worden met ’compensatie programma's’

(Iben, 1971).

Daarbij lag de focus op lees- en rekenvoorwaarden.

Rond 1969 ontstond zo het tv programma Sesamstraat in de VS. Sinds 1976 is Sesamstraat ook in Nederland. Dit op voorspraak van de denkontwikkelingspsycholoog Dolf Kohnstamm.

.1 Hoe toon je ?

Lastig van de eigenschap ’aantal’ is dat aantal zelf eigenlijk niet te zien is. Aantal is alleen te zien via een andere waarneembare eigenschap. Aantal is verder een eigenschap van een groep objecten en niet zo zeer van één object. Hoe moet je dat dan aan het kind uitleggen? De eerst stap is dus eigenschappen herkennen. Kleur en vorm zijn eigenschappen die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet-visueel waarneembare eigenschappen als gewicht, hardheid (van materiaal) en ruwte gaan wel. En tijdens de muziekles zijn er verschillen in volume en toonhoogte.

De vragen aan het kind zijn dan: Heeft het object de eigenschap? Is het blokje rood of is het niet rood? Leg de rode bij elkaar.

.1.1 Passen taartpunten en stippen?

Taartpunten en de stippen tonen de essentie van aantal getal goed (n+1, het volgende aantal is één meer dan het vorige). Maar de overgang van visueel rekenen met bijvoorbeeld stippen naar abstract rekenen met symbolen blijkt lastig.

Dat geldt ook voor de koppeling van aantal naar cijfer. Er is namelijk geen enkele rationele of irrationele koppeling. Theoretisch kún je het dan eigenlijk niet onthouden

(§ ).

De koppeling kan je leggen, bijvoorbeeld door een aantal stippen te laten vervloeien in het cijfer zoals in afbeelding 1 ter illustratie geprobeerd is. Allicht zijn er ook betere, Sesamstraat-achtige vervloeiingen te bedenken.

Groepering verschilt, aantal blijft gelijk

Afbeelding 1.

Wel moet je eigenlijk voorkomen dat het kind gaat tellen

(§

). Voorkom verder dat het kind denkt dat aantal een bepaalde vorm is. Inzicht in aantal ontstaat door de aantallen te tonen met verschillende objecten met hetzelfde aantal

(§ ).

Naast stippen bijvoorbeeld taartpunten en wielen zoals in afbeelding 2. In

en in

staat waarom hier de keuze valt op taartpunten en stippen.

Zelfde aantal, andere objecten

Afbeelding 2.

Bouw de afbeeldingen van de aantallen zorgvuldig op.

Toon aanvankelijk steeds de zelfde configuratie zodat het kind dit aantal zonder tellen direct interpreteert.
Daarna voorzichtig dezelfde configuratie maar dan gedraaid of gespiegeld. Gaat dat goed (zonder tellen) dan afwijkende patronen.
Varieer later de configuraties geleidelijk in onregelmatige patronen.
Daarna kun je ook andere eigenschappen verieren zoals kleur en vorm van de objecten (niet alleen stippen). Verder natuurlijk ook afmeting.

Ga niet te snel. Probeer het zo te doen dat de kinderen niet gaan tellen. Hang alles eventueel onder de getallenlijn (afb. 3).). Zo voorkom je dat het kind denkt dat aantal een bepaalde configuratie is. Wanneer het kind de aantallen direct (en zonder tellen!) herkent kan het kind hoeveelheden vergelijken: Welke bak heeft de meeste stippen, blauw of groen? Ook heb je dan een zuivere hoeveelheidsvraag die niet verstoord wordt door taal en waarneming.

Groepering verschilt, aantal blijft gelijk

Afbeelding 3.

Dus ...

Toon aantal en cijfer in elkaar vervloeid. Identificeer ze niet door te tellen maar gewoon door te herkennen.

.2 Hoe vertel je ?

.2.1 Past vergelijken van hoeveelheid?

Na het kennen en benoemen van eigenschappen komt het vergelijken van de hoeveelheid die twee objecten van een eigenschap hebben. Meestal is dat met vergelijkende trap (meer en minder). Welke is groter, langer, roder, etc.

Dieren hebben met dergelijke hoeveelheidsverschillen geen probleem blijkt uit onderzoek

(Nieder, A., 2019).

Apen vallen een andere groep apen alleen aan wanneer hun aantal 1,5 maal dat van de tegenstanders is. Guppy’s gaan bij gevaar naar de grootste groep. Daar is de kans op overleven groter.

Ook kinderen hebben geen moeite met hoeveelheidsverschillen. Hoeveelheidsverschillen zien zij al op 50-urige leeftijd

(Nieder, A., 2019).

Althans met hoeveelheidsverschillen. Wel overigens met de woorden. Wat is nu groter, een lange man of een dikke man.

.2.2 Passen meer dan 2 objecten?

Na meer/minder vergelijken van twee groepen volgt het vergelijken van méér dan twee objecten: groot, groter, grootst.

In de taal heet dat overtreffende trap. Bij het rekenen heet dat seriatie of ordinaliteit. Kinderen zeggen wel: Ik wil nog meer. Hier heet dat volgorde. Tegen kinderen zeg je: Leg maar op volgorde (van grootte) (afb. 4).

Volgorde, ordening van meer objecten op grootte

Afbeelding 4.

Voor hoeveelheidsverschil is er ook het achtervoegsel tje. Maar helemaal eenduidig is tje niet.

Waarom heet een zak met grote snoepjes een zak met snoepjes en niet een zak met snoepen?
Is een tientje minder dan tien euro?
Het woord kleintje zegt twee keer klein maar is geen overtreffende trap. Dat is kleinste min of meer wel.
En een tweetje is geen kleine twee, bijvoorbeeld een half maar gewoon een hele twee.
En een grootje (oma) is meestal juist een klein persoon.

.2.3 Passen woorden bij hoeveelheden?

Ook met (tel)woorden kan je aantal en cijfer koppelen. Daarbij gaat het overigen niet om hoeveelheids’woorden, die zijn te lastig zullen we nog zien. Gewoon onzinrijm is prima

(§ ).

Iene, miene, mutte gaat er ook in als koek Zeg gewoon iets van:

En dit is een ..., eventueel nog: een .... wieler. En dan is dat een .... [vijfstipper.]
Deze heet vijf want hij heeft een stip in het midden van zijn lijf.
Heb je een een-eiige tweeling in de klas of op school dan vraag je natuurlijk: En Leila, wat voor ling ben jij? Misschien kun je wel zeggen: Leila, jullie poes had toch jonge poesjes gekregen? Wat voor ling is dat?
Dit is zes want het is een halve ronde fles.
Dit is tien want je kunt geen lege ring meer zien.
En die trein die lacht, hij heeft geen 4 wielen maar ...
En hooguit: Ja 6 komt na 5.
Een tafel, een stoel, een poes en een klavertje vier hebben er allemaal ....?

Dus ...

Vraag niet ongespecificeerd: Wat is meer? maar vraag naar aantal. Evenveel stippen? of Waar zijn de meeste stippen?

.3 en denken

.3.1 Passen abstracte hoeveelheden?

Tot verbazing van psychologen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een ’fout’ antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen (afb. 5). Bij die vraag gaat het om behoud van hoeveelheid: het abstracte aantal verandert niet, ook al heeft een groep concreet veel blauw.

Begrijpt het kind hoeveelheidsbehoud niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantalgetalbegrip. Dan kun je nog niet gaan rekenen volgens de klassieke cognitieve psychologie en dan met name volgens een van de grootsten Piaget.

Psychologen noemen het begrijpen van hoeveelheidsbehoud conservatie

(Piaget, 1969).

De psychologen vroegen meestal Wat is meer? Je moet natuurlijk wel duidelijk vragen naar het aantal stippen. Het juiste antwoord op de traditionele conservatievraag is eigenlijk: Dat kan ik nog niet weten want je hebt me nog niet duidelijk uitgelegd wat aantal is. Hoe dan ook, het kind moet dit taalspelletje wel begrijpen. Pikant is overigens dat apen geen last van die taalspelletjes hebben en ook geen problemen hebben met deze opgaven

(Nieder, 2019).

Zijn er meer
blauwe of groene
stippen?

Afbeelding 5.

Freudenthal

(1973)

geloofde daarom niet zo in dat soort experimenten. Hij kwam, zoals wel vaker, met een zeer uitvoerige en scherpe wiskundige analyse van dat soort hoeveelheidswoorden

(1984).

Zijn betoog lijkt wat op: directe interpretatie

(§

). Mensen praten niet over hoeveelheidsschalen en over een fysiek aantalgetal op die schaal. De rijlesinstructeur zegt niet: Je rijdt 50 km/h en zelfs niet Je rijdt te hard. Hij geeft direct vanuit een bepaalde interpretatie van de snelheid de uit te voeren handeling: Langzamer! of Remmen. En dat alles bovendien in één woord. Nu is dat dus: Remmen (er steekt een kind over). Vroeger was dat Rennen, wolven! Zo heeft de evolutie ons gebouwd en kijken we dus ook naar aantallen.

Als je een operator vraagt wat de temperatuur van het koelwater is, dan is het antwoord: Ik ga een pomp bijzetten.
Als je een machinist vraagt hoe hard hij rijdt dan zegt hij: Deze pikt het als je 3km/h te hard rijdt. Die vertraging rijd ik er dus wel uit.
De schoonmaker zegt niet: Hoeveel mensen zitten er in de zaal? De schoonmaker zegt: Is de zaal (al) leeg (kan ik beginnen met schoonmaken)?
De presentator zegt niet: Hoeveel mensen zitten er in de zaal? De presentator zegt: Is de zaal vol en kan ik beginnen met mijn lezing?
We zeggen niet de naam van de schaal, bijvoorbeeld inhoud maar een bepaalde waarde: Wat is het volume? Willen we naar vol dan vragen we: Hoe vol is hij? Maar het antwoord kan zijn: Hij is leeg. Willen we naar leeg dan vragen we: Is hij al leeg?

Lengte is helemaal een potje. Breedte is ook een lengte. En hoogte en diepte trouwens ook. En of een lengte nu een breedte of een diepte hangt af van je standpunt.

Niet alleen de woorden zijn trouwens een potje maar visueel is het dat ook. Net als vijfjarigen conserveren volwassenen lengte ook niet altijd. Je kunt hun directe lengte interpretatie gemakkelijk op het verkeerde been zetten (afb. 6).

Is de blauwe lijn langer dan de groene lijn?

Afbeelding 6.
(