voorwaarden 18 Jun

Rekenvoorwaarden   0

Nog geen ondertitel voor breken



  . Wat zijn ?  

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van kennis. Het gaat om de betekenis van hoeveel­heids­woorden. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen. Hier heet dat puntkennis ). Een psycho­logische sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. De leer­achter­stand bij sommige kinderen moest wegge­werkt worden met ’compen­satie program­ma's’ Daarbij lag de focus op lees- en reken­voor­waarden.Rond 1969 ontstond zo het tv programma Sesam­straat in de VS. Sinds 1976 is Sesam­straat ook in Neder­land. Dit op voor­spraak van de denk­ontwikke­lings­psycho­loog Dolf Kohnstamm.

  .1 Hoe toon je ?  

Lastig van de eigenschap ’aantal’ is dat aantal zelf eigenlijk niet te zien is. Aantal is alleen te zien via een andere waarneembare eigen­schap. Aantal is verder een eigen­schap van een groep objecten en niet zo zeer van één object. Hoe moet je dat dan aan het kind uitleggen? De eerst stap is dus eigen­schappen herkennen. Kleur en vorm zijn eigen­schappen die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet-visueel waar­neem­bare eigen­schappen als gewicht, hardheid (van materiaal) en ruwte gaan wel. En tijdens de muziekles zijn er verschillen in volume en toonhoogte.De vragen aan het kind zijn dan: Heeft het object de eigen­schap? Is het blokje rood of is het niet rood? Leg de rode bij elkaar.

.1.1 Passen taartpunten en stippen?

Taartpunten en de stippen tonen de essentie van aantal getal goed (n+1, het volgende aantal is één meer dan het vorige). Maar de overgang van visueel rekenen met bijvoorbeeld stippen naar abstract rekenen met symbolen blijkt lastig. Dat geldt ook voor de koppeling van aantal naar cijfer. Er is namelijk geen enkele rationele of irrationele koppeling. Theoretisch kún je het dan eigenlijk niet onthouden De koppeling kan je leggen, bijvoorbeeld door een aantal stippen te laten vervloeien in het cijfer zoals in afbeelding 1 ter illustratie geprobeerd is. Allicht zijn er ook betere, Sesamstraat-achtige vervloeiingen te bedenken.


Groepering verschilt, aantal blijft gelijk

Afbeelding 1.

Wel moet je eigenlijk voorkomen dat het kind gaat tellen en ). Voorkom verder dat het kind denkt dat aantal een bepaalde vorm is. Inzicht in aantal ontstaat door de aantallen te tonen met verschillende objecten met hetzelfde aantal Naast stippen bijvoorbeeld taartpunten en wielen zoals in afbeelding 2. In en in staat waarom hier de keuze valt op taartpunten en stippen.


Bouw de afbeeldingen van de aantallen zorgvuldig op.
  • Toon aanvankelijk steeds de zelfde configuratie zodat het kind dit aantal zonder tellen direct interpreteert.
  • Daarna voorzichtig dezelfde configuratie maar dan gedraaid of gespiegeld. Gaat dat goed (zonder tellen) dan afwijkende patronen.
  • Varieer later de configuraties geleidelijk in onregelmatige patronen.
  • Daarna kun je ook andere eigenschappen verieren zoals kleur en vorm van de objecten (niet alleen stippen). Verder natuurlijk ook afmeting.
Ga niet te snel. Probeer het zo te doen dat de kinderen niet gaan tellen. Hang alles eventueel onder de getallenlijn (afb. 3).). Zo voorkom je dat het kind denkt dat aantal een bepaalde configuratie is. Wanneer het kind de aantallen direct (en zonder tellen!) herkent kan het kind hoeveel­heden vergelijken: Welke bak heeft de meeste stippen, blauw of groen? Ook heb je dan een zuivere hoeveelheidsvraag die niet verstoord wordt door taal en waarneming.
     9
 
     9
 
     9
 
Groepering verschilt, aantal blijft gelijk

Afbeelding 3.

Dus ...

Toon aantal en cijfer in elkaar vervloeid. Identificeer ze niet door te tellen maar gewoon door te herkennen.

  .2 Hoe vertel je ?  

.2.1 Past vergelijken van hoeveelheid?

Na het kennen en benoemen van eigen­schap­pen komt het verge­lijken van de hoeveel­heid die twee objecten van een eigenschap hebben. Meestal is dat met verge­lijkende trap (meer en minder). Welke is groter, langer, roder, etc.

Dieren hebben met dergelijke hoeveel­heids­verschillen geen probleem blijkt uit onder­zoek Apen vallen een andere groep apen alleen aan wanneer hun aantal 1,5 maal dat van de tegenstanders is. Guppy’s gaan bij gevaar naar de grootste groep. Daar is de kans op overleven groter. Ook kinderen hebben geen moeite met hoeveel­heids­­verschillen. Hoeveel­heids­ver­schillen zien zij al op 50-urige leeftijd Althans met hoeveelheidsverschillen. Wel overigens met de woorden. Wat is nu groter, een lange man of een dikke man.

.2.2 Passen meer dan 2 objecten?

Na meer/minder vergelijken van twee groepen volgt het verge­lijken van méér dan twee objecten: groot, groter, grootst.In de taal heet dat overtreffende trap. Bij het rekenen heet dat seriatie of ordinaliteit. Kinderen zeggen wel: Ik wil nog meer. Hier heet dat volgorde. Tegen kinderen zeg je: Leg maar op volgorde (van grootte) (afb. 4).

      Volgorde, ordening van meer objecten op grootte

Afbeelding 4.

Voor hoeveelheidsverschil is er ook het achtervoegsel tje. Maar helemaal eenduidig is tje niet.
  • Waarom heet een zak met grote snoepjes een zak met snoepjes en niet een zak met snoepen?
  • Is een tientje minder dan tien euro?
  • Het woord kleintje zegt twee keer klein maar is geen overtreffende trap. Dat is kleinste min of meer wel.
  • En een tweetje is geen kleine twee, bijvoorbeeld een half maar gewoon een hele twee.
  • En een grootje (oma) is meestal juist een klein persoon.

.2.3 Passen woorden bij hoeveelheden?

Ook met (tel)woorden kan je aantal en cijfer koppelen. Daarbij gaat het overigen niet om hoeveel­heids’woorden, die zijn te lastig zullen we nog zien. Gewoon onzinrijm is prima Iene, miene, mutte gaat er ook in als koek Zeg gewoon iets van:
  • En dit is een ..., eventueel nog: een .... wieler. En dan is dat een .... [vijfstipper.]
  • Deze heet vijf want hij heeft een stip in het midden van zijn lijf.
  • Heb je een een-eiige tweeling in de klas of op school dan vraag je natuurlijk: En Leila, wat voor ling ben jij? Misschien kun je wel zeggen: Leila, jullie poes had toch jonge poesjes gekregen? Wat voor ling is dat?
  • Dit is zes want het is een halve ronde fles.
  • Dit is tien want je kunt geen lege ring meer zien.
  • En die trein die lacht, hij heeft geen 4 wielen maar ...
  • En hooguit: Ja 6 komt na 5.
  • Een tafel, een stoel, een poes en een klavertje vier hebben er allemaal ....?

Dus ...

Vraag niet ongespecificeerd: Wat is meer? maar vraag naar aantal. Evenveel stippen? of Waar zijn de meeste stippen?

  .3 en denken  

.3.1 Passen abstracte hoeveelheden?

Tot verbazing van psycho­logen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een ’fout’ antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen (afb. 5). Bij die vraag gaat het om behoud van hoeveelheid: het abstracte aantal verandert niet, ook al heeft een groep concreet veel blauw. Begrijpt het kind hoeveel­heids­behoud niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantal­getal­begrip. Dan kun je nog niet gaan rekenen volgens de klassieke cognitieve psychologie en dan met name volgens een van de grootsten Piaget.

Psycho­logen noemen het begrijpen van hoeveel­heids­behoud conservatieDe psycho­logen vroegen meestal Wat is meer? Je moet natuurlijk wel duidelijk vragen naar het aantal stippen. Het juiste antwoord op de traditionele conservatievraag is eigenlijk: Dat kan ik nog niet weten want je hebt me nog niet duidelijk uitgelegd wat aantal is. Hoe dan ook, het kind moet dit taal­spelletje wel begrijpen. Pikant is overigens dat apen geen last van die taal­spelletjes hebben en ook geen problemen hebben met deze opgaven

Zijn er meer
blauwe of groene
stippen?

Afbeelding 5.

Freudenthal geloofde daarom niet zo in dat soort experi­menten. Hij kwam, zoals wel vaker, met een zeer uit­voerige en scherpe wiskundige analyse van dat soort hoeveel­heids­woorden Zijn betoog lijkt wat op: directe interpretatie ). Mensen praten niet over hoeveel­heids­schalen en over een fysiek aantalgetal op die schaal. De rijlesinstructeur zegt niet: Je rijdt 50 km/h en zelfs niet Je rijdt te hard. Hij geeft direct vanuit een bepaalde interpretatie van de snelheid de uit te voeren handeling: Langzamer! of Remmen. En dat alles bovendien in één woord. Nu is dat dus: Remmen (er steekt een kind over). Vroeger was dat Rennen, wolven! Zo heeft de evolutie ons gebouwd en kijken we dus ook naar aantallen.

  • Als je een operator vraagt wat de temperatuur van het koelwater is, dan is het antwoord: Ik ga een pomp bijzetten.
  • Als je een machinist vraagt hoe hard hij rijdt dan zegt hij: Deze pikt het als je 3km/h te hard rijdt. Die vertraging rijd ik er dus wel uit.
  • De schoonmaker zegt niet: Hoeveel mensen zitten er in de zaal? De schoonmaker zegt: Is de zaal (al) leeg (kan ik beginnen met schoonmaken)?
  • De presentator zegt niet: Hoeveel mensen zitten er in de zaal? De presentator zegt: Is de zaal vol en kan ik beginnen met mijn lezing?
  • We zeggen niet de naam van de schaal, bijvoorbeeld inhoud maar een bepaalde waarde: Wat is het volume? Willen we naar vol dan vragen we: Hoe vol is hij? Maar het antwoord kan zijn: Hij is leeg. Willen we naar leeg dan vragen we: Is hij al leeg?
  • Lengte is helemaal een potje. Breedte is ook een lengte. En hoogte en diepte trouwens ook. En of een lengte nu een breedte of een diepte hangt af van je standpunt.
  • Niet alleen de woorden zijn trouwens een potje maar visueel is het dat ook. Net als vijfjarigen conserveren volwassenen lengte ook niet altijd. Je kunt hun directe lengte interpretatie gemakkelijk op het verkeerde been zetten (afb. 6).
  • En dan tijd. Tijd die duurt. Maar we zeggen niet het duurt veel tijd maar tijd heeft dan ineens ook lengte. Met Het duurt lang bedoelen we stiekem Het duurt te lang, opschieten jij. We zeggen ook niet weinig tijd maar we zeggen stiekem: Het duurt maar even. Dus laat me nu even vertellen wat er aan de hand is.

Hoe dan ook, als je dit soort hoeveel­heids­behoud­-opgaven geeft, toon het aantal (stip­pen) zo dat je ziet wat het hoogste aantal is (afb. 5) . Vraag verder dus niet ongespecificeerd: Wat is meer? Maar specificeer: Welke kleur heeft de meeste stippen? Maar ja dat is dan weer een ingewik­kelde zin. Dan is er weer kans dat delen van de zin verloren gaan in de oren, in het werk­geheugen of in de hersenen ).

Dus ...

Wel lastig allemaal. Niet meer of minder maar al die woorden en de impliciete interpretaties daarvoor.

.3.2 Past meten?

heeft zeer uitvoerig onderzoek gedaan naar het voor­bereidend rekenen van kleuters. De conclusie van dat onderzoek is dat meten essentieel is om getallen te kúnnen optellen en (optel­baar­heid) te kunnen begrijpen. In Nederland kwam tot dezelfde conclusie. In de onderzoeken van Minskaja en Koster komen meten vóór optellen. De zes­jarigen vergelijken eerst objecten die ze niet kunnen zien omdat een van de twee hoeveel­heden achter een schot liggen. Met de maat kun je dan het aantal en daarmee het verschil bepalen. Die maat is dan geen volgordegetal maar een aantalgetal. Maar dat is het logische verhaal.

Nu een logisch verhaal. Het meten maakt verder de logische rol van het tellen voor bepaling van het aantal­getal duidelijk. Wanneer het kind deze hoeveel­heids­­vergelijkingen begrijpt, is het dicht bij een precieze aanduiding van hoeveelheid, namelijk aantal en getal. De gedachte is dat onvol­doende aandacht voor het meten wel eens bij zou kunnen dragen aan het tellend blijven optellen. Het optellen blijft dan Iene, miene, mutte. En er is dan geen aantal­getal­begrip.    En dan nu een psychologisch verhaal. Als je dus met lengte gaat meten dan zit je wel in de mistige lengte-woordenwolk. Freudenthal somt moeiteloos zo’n 6 synoniemen op voor lengte ). Verder moet je bij meten tellen. Dat tellen blijven kinderen dan doen, ook bij het optellen. Dán wil je echter dat kinderen rekenend optellen. Hierbij zou wel eens sprake kunnen zijn van wat Freudenthal didactische inversie noemt. Je moet niet onderwijzen zoals je het zelf achteraf bedacht hebt, bijvoorbeeld eerst leren tellen. Je moet onderwijzen zoals je dat zou doen met de kennis die je nu kunt hebben, bijvoorbeeld kennis van de psychologie. Het volgende hoofdstuk gaat daar op in.

Dat meten met een gelijke maat is overigens wel logisch maar misschien wel niet psycho­logisch. Mensen zonder de Westerse reken­cultuur, zoals in de Amazone en kinderen, hanteren geen n+1 schalen maar logaritmische schalen Dat geldt trouwens ook voor dieren. Logaritmisch inzoomen vereenvoudigt de directe interpretatie en verhoogt zo de kans op overleven
Vraag een kind maar eens een plattegrond te maken of een tekening van zijn vader. Het gezicht is belangrijker dan de schoenen. Het gezicht wordt dus logaritmisch groter. Bij het leren rekenen moet deze slimme natuurlijke schaling van het kind plaats maken voor de simpele gebruikelijke kardinale n+1 schaling..
   Een vijfjarige schaalt logaritmisch: het belangrijkste wordt groter afgebeeld

Afbeelding 7.



Dus ...



Bij de voorwaarden kun je een accent leggen op de traditionele cognitieve psychologie en focussen op lastige hoeveelheidswoorden. Je kunt ook het accent leggen op directe interpretatie van aantal en de kinderen duidelijk maken wat aantal is (inzicht).



Voetnoten:
1) Neen, de blauwe lijn is niet langer dan de groene lijn.
De groene lijn is ook niet langer dan de blauwe lijn.
2) Synoniemen voor lengte zijn:breedte, hoogte, dikte, afstand, breedte (latitude) en diepte.


Index


Inhoud


Literatuur
Iben, G., (1971). Kompensatorische Erziehung. Analysen Amerikanischer Programme. München: Juventa Verlag.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Piaget, J. (1969). Zes psycho­logische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.
Piaget, J. (1969). Zes psycho­logische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Freudenthal, H. (1984). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel.
Minskaja, G.I., (1977). De vorming van het getal­begrip gebaseerd op het leren van relaties tussen grootheden. In Parreren en Nelissen, Rekenen.
Parreren, C.F. & Nelissen, J.M.C., (1977). Rekenen. Teksten en Analyses Sovjetpsycho­logie 2. Groningen: Wolters-Noordhof.
Koster, K.B., (1975). De ontwikkeling van het getal­begrip op de kleuterschool. Een onderzoek naar de effekten van enkele trainningsprogramma's. Groningen: Verenigde Reproduktie Bedrijven.
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.


Woordtellingen naar boek_statistics:
$afbeelding[]=7;//voorwaarden
$cultuur[]=1;//voorwaarden
$denkenleren[]=0;//voorwaarden
$fout[]=1;//voorwaarden
$fun[]=0;//voorwaarden
$fun_min[]=0;//voorwaarden
$grotegetallen[]=0;//voorwaarden
$homoniem[]=0;//voorwaarden
$index[]=0;//voorwaarden
$kindrealiteit[]=0;//voorwaarden
$leerblad[]=0;//voorwaarden
$mondhouden[]=0;//voorwaarden
$onduidelijk[]=2;//voorwaarden
$snipper[]=0;//voorwaarden
$synoniem[]=1;//voorwaarden
$tellen[]=1;//voorwaarden
$tellentherapie[]=0;//voorwaarden
$truc[]=0;//voorwaarden
$toets[]=0;//voorwaarden

afb. cult. denk. fout fun fun- gr.get. hom. ind. kind. leerb. mond ond. sni. syn. tel. tel.t toe. truc.
1  Reken­voor­waarden101000050002011000
28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3
2  Tellend optellen443001024010112134200 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 3  Kijkend optellen2100001297087703010 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 4  Denkend optellen06220112964471140002 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 5  Nul23710101970112200000 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 6  Plaatswaarde08301506053403291130030 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 7  Splitsen om 101100110140421000000 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 8  Ruilen van 1044401002431319070001 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3 9  Getal­kennis13000002050017010000 28 43 130 21 5 13 4 311 34 11 30 114 13 45 10 4 16 3