';
1 Twee rijen met vijf vingers
1.1 De getallen
De structuur van de twee handen en de vijf vingers sluit goed aan bij de tientallige structuur van de getallen. Dus die twee rijen vingers tonen 5+5=10 goed. Ook de structuur 5+4=5+5-1=10 kunnen de vinger motorisch eenvoudig en visueel goed tonen. Tot zover zijn vingerbeelden wat de getallen betreft prima. Maar we zagen al eerder dat vingerbeelden voor andere getalstructuren onhandig zijn.
Vooral als je motorisch nog onhandig bent.
Als als er voor elke term een hand is, zoals bij 5+4 dan gaat het zien van de uitkomst nog wel. Maar wanneer een term over een hand heen loopt, zoals bij 4+3 dan krijg je interpretatieproblemen: welke vingers horen bij de eerste term, welke bij de tweede term en wat is de uitkomst? Bovendien kan een vinger een dubbelfuctie krijgen: de vinger kan een te tellen eenheid zijn maar ook een aanwijzer voor het tellen. Slimmeriken lossen dat probleem wel op door met hun neus te tellen. De belangrijkste en de meest ingewikkelde structuur tonen de vingers niet: plaatswaarde en tientallig inwisselen.
Komen 5 en 4 elkaar tegen dan heb je ....
Afbeelding 1.
1.2 De ogenHet woord 'beeld' klinkt sympathiek, zeker in de abstracte wereld van de getallen.
Maar een beeld is volgens het woordenboek iets 3-dimensionaal, eventueel 2-dimensionaal
(Geerts & Heestermans, 1984).
Een vingerbeeld met twee rijen vingers is eigenlijk een 1-dimensionale rij. Dus niet een echt 'beeld', althans volgens het woordenboek.
2 Twee rijen kralen op een telraamTelramen zijn motorisch eenvoudiger dan vingerbeelden en de te tellen eenheden staan netjes op een rij.
2.1 De getallenHet in Nederland gebruikelijke telraam voor onder 10 (afb. 2) heeft twee rijen kralen. Opmerkelijk is dat dit telraam sommen tot 10 en óók sommen boven 10 tegelijk mogelijk maakt. Maar de getallen en de rekenhandelingen tot 10 verschillen nogal sterk van die boven 10. Boven 10 wordt het aanzienlijk moeilijker door tientalligheid en plaatswaarde. Die essentie toont dit telraam niet.
|
Een 2x(5+5) telraam
Afbeelding 2. |
2.2 De vingersHet artikel
Automatiseren met telraam en getallenlijn
gaat in op de vingervriendelijkheid van kralen.
2.3 De ogenAantallen meer dan 4 zijn niet meer subitizabel, zeker niet wanneer de aantallen op een rij staan
(
noot 1)
Je kunt met groupitising grotere aantallen toch in een keer waarnemen, bijvoorbeeld met 3x3 structuren. Als je dan toch een telraam met meer staven wilt, groepeer dan niet 2x(2x5) maar om 3 (afb. 3). Je zit dan mooi tussen de goed subitizabel rij met 3 kralen en de net niet subitizable rij van 5 in. Verder snipper je stiekem de tafel van 3 naar binnen.
Op deze wijze is ook duidelijk wat vermenigvuldiger is en wat de vermenigvuldigde is. Kraalgroepen van 3 zijn duidelijk, zichtbaar en concreet verwoordbaar: Wie ziet drie 3-lingen (van 3 kralen)? En natuurlijk: Zet een kring om elke 3-ling. Dat woordje -ling is overigens
een interessante voor het getalbegrip. |
Bij kralen per 3 is directe interpretatie van aantallen tot 10 op een lijn mogelijk
Afbeelding 3.
|
2.4 Het denkenBij een telraam met twee staven kan het kind met de eerste term beginnen in vier hoeken (links boven, rechts boven, links onder en rechts onder). Voor rechtshandigen ligt rechts onder voor de hand. Daarna zijn er voor de tweede term drie hoeken over. Ook kan voor de tweede term van dezelfde stang als die van de eerste term genomen worden. Dubbele staven verwarren niet alleen de tientalligheid maar verdubbelen ook het richtingsprobleem.
2.5 Het OostenIn het Oosten gebruiken rekenmeesters meer staven op een telraam dan in Nederland (afb. 4). Hun telraam heeft voor de eenheden ook één staaf maar die staaf heeft een x+5 structuur. Niet horizontaal maar verticaal in overeenstemming met plaatswaarde. Eén bovenkraal staat voor 5 en met de onderkralen kunnen daar de aantallen 1, 2, 3 of 4 toegevoegd worden. Daardoor krijgen alle getallen een eigen markant visueel beeld. Overigens ook een markant motorisch beeld voor de vingerspieren. De ogen en de vingers zitten elkaar daarbij bovendien niet in de weg zoals bij de vingerbeelden. Maar ja, zo'n Chinees telraam krijg je er natuurlijk niet door. Is er misschien ook een andere mogelijkheid?
|
Een Oosterse telraam met markante visuele en motorische beelden voor aantallen tot 10
Afbeelding 4.
|
3 Twee rijen eieren
Eierdozen hebben ook 2 rijen van 5. Ze gaan er met name bij de Duitsers in als koek
(Selter & Zannetin, 2021).
De concrete werkelijkheid voor mentale handelingen met abstracte objecten is populair maar ook wel wat
riskant.
Hoe ziet de psychologie die eierdoos?
 Een fysieke rekeneierdoos
Afbeelding 5.
3.1 De getallen-
Het telraam en de getallenlijn tonen óók de eenheden tot 10 die niet meedoen met de som. Maar bij 1+2 eieren zijn er géén 7 overige eieren in de doos te zien. Je ziet 7 lege plaatsen in de doos. Daardoor is er bij dozen minder verwarring over de uitkomst. Alles wat je ziet is de uitkomst. Bovendien is de relatie met 10 goed te zien. Dat alles is een groot voordeel van de dozen.
-
In de supermarkt is 2x5 handiger dan bijvoorbeeld een rij van 10. Maar voor het rekenen wil je geen rijen van 5. Die kun je niet met één oogopslag direct te interpreteren zoals in afbeelding 2 te zien is.
-
De plaats van het echte ei in de doos en in de pan maakt niet uit. Bij het rekenen maakt die plaats wel uit omdat die de structuur van de som en de structuur van de getallen bepaalt.
3.2 De vingers
Je verplaatst de eieren voorzichtig één voor een naar de pan. Voor aantallen waar je mee rekent, ligt dat anders. Het liefst tik je de eieren van een term met een minimaal vingertikje op hun plaats. Op het oosterse telraam gaat dat simsalabim tikken prima zagen we al. Zo goed zelfs dat akkoordaanslagen mogelijk zijn
(
noot 2)
Door die snelheid is er minder belasting van het werkgeheugen en de vingers kunnen het denken beter bijhouden. En belangrijk is dat het kind dan niet één voor één tellend rekent. Maar ja, probeer dat tikken maar eens als je met een eierdoos voor de klas staat:- In een hand de eierdoos.
- Je houdt de doos schuin zodat de kinderen de eieren kunnen zien (en de eieren er gemakkelijk uit kunnen vallen).
- En dan met één tikje simsalabim vier eieren naar de rechter kant van de doos (en voor de kinderen naar links).
3.3 De ogen
Voor de supermarkt moet de afstand tussen de eieren niet te klein zijn. Je hebt dan minder kans op breuk. Bij het rekenen wil je dat de eieren juist dicht bij elkaar liggen zodat er meer tegelijk in het oogfixatieveld te zien zijn. Verder wil je aantalstructuren kunnen tonen, bijvoorbeeld met kleur voor de relatie 4+3=7=5+2. Dat is met fysieke eieren wel mogelijk maar ook wel een heel gedoe.
3.4 Het denkenBij tekst is de lees- en de ooghandelingsrichting eenvoudig: altijd van links naar rechts. In de keuken is de richting van de handelingen ook duidelijk: van de doos naar de pan. Maar bij de rekeneierdoos blijven de eieren in de doos. Eierdozen sturen de route van de rekenhandelingen niet.
Je kunt elk ei als eerste of als laatste pakken. Welke rekeneieren je pakt en waar deze terecht komen maakt wél uit voor het aantalbeeld en de interpretatie. Verder kun je met de eierdoos uit meer routes kiezen, net als bij het telraam. Waar begin je dus met de eerste term? Rechts onder als je rechts bent. Die kant is het dichts bij de positie van de rechterhand. Of begin je links. Of begin je boven zodat je hand in de lucht hengelt. Of begin je onder zodat je polssteun hebt? Waar ga je vervolgens verder met de tweede term? De doos stuurt het kind niet naar eieren voor de volgende optelhandeling. Een aantal van deze problemen kun je voorkomen als je de eierdoos op papier zet zoals de Duitsers slim doen (afb. 7,
Selter & Zannetin, 2021).
|
Een papieren rekeneierdoosAfbeelding 6.
|
Tja, die eierdozen. Is er misschien ook iets anders?
4 De twee rijen stippen, kwadraatbeelden
4.1 De getallen Net als de eierdozen hebben de kwadraatbeelden (afb. 7) twee rijen
(Van Eerde & van den Berg, 1993).
Daarmee zijn kwadraatbeelden iets meer een 2d-beeld dan dubbele lijnen zoals het 2x(2x5) telraam en de eierdoos. Ook heeft elk getal altijd hetzelfde aantalbeeld.
|
Kwadraatbeelden
Afbeelding 7.
|
4.2 De ogen Het beeld toont vooral de rekenkundige kwadraatstructuur. Daardoor is het aantal 4 en daarmee ook het aantal 5 direct herkenbaar. De stippen wat kleiner dan nodig. De aantalbeelden zijn niet zo markant. Alle oneven aantallen hebben rechtsboven hetzelfde uitsteeksel op dezelfde plaats. Daardoor leveren ze ook geen markante concrete verwoordingen op. De oneven aantallen lijken wat op een auto met een verkeerd gemonteerde trekhaak of een omgevallen stoel. Veel meer concreets is er in de kwadraatbeelden niet te zien. Het voor de getallen en de ogen cruciale aantal 5 is onvoldoende onderscheidend in de beelden. Opmerkelijk is dat de beelden in de leesrichting liggen en niet in de hoeveelheidsrichting staan. Daardoor is ook het aantalverschil tussen de beelden moeilijker te zien.
4.3 De kinderenDe auteurs hebben ook onderzocht of de kwadraatbeelden leiden tot automatisering. Helaas. Neen dus. Een mogelijke oorzaak is volgens de auteurs het ontbreken van inbedding van de kwadraatbeelden in het onderwijs. Dat is inderdaad een van de vele nogal vele moeilijk op te lossen onderzoektechnische en onderwijskundige
problemen bij dit soort onderzoek.Tja, dat waren dus de kwadraatbeelden. Is er misschien ook iets anders?
5 Tientalkaders
Dé man van subitizing,
Clements (1999),
stelt ten frames voor (afb. 8). Voor gebruik in de klas is dit uitvoerig uitgewerkt op
twinkl.nl
Het is duidelijk te merken dat Clements een psycholoog is.
- Hij laat zich niet misleiden door de
werkelijkheiden
metaforen.
- Het gebruikelijke telraam, de eierdozen en de kwadraatbeelden liggen maar de tens frames die staan. Daarmee sorteert hij voor op plaatswaarde. Bovendien is splitsen om 10 zo beter te verbeelden dan met de getallenlijn (afb. 8).
-
De stippen zijn niet klein zoals bij de dobbelstenen en de kwadraatbeelden maar hebben de maximale afmeting.
Tientalkaders
Afbeelding 8.
|
6 Wat nu
We hebben nu dubbele lijnen voor het automatiseren onder 10 getoetst aan de eisen van de getallen en de psychologie. Het blijven lijnen en de ogen zijn geen brievenbussen maar patrijspoorten. Ook zijn de 'beelden' niet markant. In het volgende verhaal is de vraag dus of
'echte' beelden beter zijn voor het leren automatiseren dan dubbele lijnen.
|
Noten
Noot 1: Subitizing is het direct herkennen van aantallen tot en met 5. Boven 4 is dat moeilijk. Dit herkennen gaat zonder te tellen en zonder te kunnen tellen.
Noot 2: Bij een akkoordaanslag druk je twee toetsen tegelijk in.
LiteratuurBerg, W. van den & Eerde, H.A.A. van, (1993). De veerkracht van het rekenrek. Tijdschrift voor nascholing van het reken-wiskundeonderwijs.
Geerts, G. & Heestermans, H. (1984), Van Dale groot woordenboek der Nederlandse taal. Utrecht/ Antwerpen: Van Dale Lexicografie.
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in der Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer.
Meer psychologie voor getallen en leren rekenen';
Contact Leonard Verhoef
+31 (653) 739 750 Parkstraat 19 3581 PB Utrecht Nederland
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.
Naar top. |