6 Breken naar 10

Breek met aanvullen en met breken

Hoofdstuk 6 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen?

6.1 Het Breken naar 10

6.1.1 Wat is Breken naar 10

Breken naar 10 is het opbreken van één term om van de andere term een tiental te maken. Sommen met een tiental zijn gemakkelijk. Dus 8+5=8+2+3=13. In het onderwijs meestal aangeduid als inwisselen om 10.

6.1.2 Breken naar 10 geschiedenis?

Tot groep 4 redt een kind zich nog wel tellend op de vingers of met de ogen.

Breken naar 10 confronteert het kind voor het eerst met het echte, geniale, decimale getallensysteem. Heel wat anders dan het simpele, seriële Iene, miene, mutte. tellend 'rekenen'.

6.2 Breken naar 10 in het leerproces

6.2.1 Voorwaarde: stipgroepen tot 10 herkennen

Een noodzakelijke voorwaarde is dat het kind stipgroepen tot 10 herkent zonder tellen. Wanneer het kind nog telt dan is er minder mentale ruimte om de splitshandeling te zien.

6.2.2 Voorwaarde: nul

In de Iene, miene, mutte. wereld is 10 gewoon een cijfer als elk ander: toevallig twee tekens voor een getal. Net als eo: toevallig twee tekens voor een klank. Maar de 1 en de 0 van 10 zijn niet toevallig.

En die nul is eigenlijk een hele rare is te lezen in een vorige hoofdstuk Nul.

Mijn ervaring is dat kinderen vrij gemakkelijk met nul kunnen rekenen als je ze de betekenis en het gebruik uitlegt.

Het getal 10 is een 2-d element uit het honderdveld. Als de kinderen nog tellen dan zitten ze nog in het lijnrekenen. Je kunt je afvragen of splitsen de goede methode is om te gaan veldrekenen.

6.2.3 Voorwaarde: aftrekken

Het hangt er een beetje vanaf hoe je de leerstappen ordent, maar bij sommige spitsmethoden is vlot kunnen aftrekken wel handig. Als het kind nog op zijn vingers telt dan is er mogelijk te weinig mentale ruimte om de splitsmethode ook nog uit te voeren.

6.2.4 Voorwaarde: aanvullen tot 10

Een deelhandeling van het breken naar 10 is aanvullen tot 10. Wanneer het kind dat goed kan, dan is er meer mentale ruimte vrij voor het breken.

6.2.5 Voorwaarde: plaatswaarde

Gebruikelijk is direct na Tellend optellen (H.2) te beginnen met Breken naar 10. Immers, na 9 ga je over 10 heen en krijg je dus sommen die over 10- gaan.

Echter, wanneer je 10 introduceert alsof je neus bloedt dan denken kinderen terecht dat 10 net zo is als 9: één symbool voor een hoeveelheid. Net als eo een klank is met toevallig twee letters. De rekenmeester moet dan niet gek opkijken wanneer het Breken maar niet wil lukken. Je kunt alleen boven 9 efficiënt rekenen wanneer je Nul en Plaatswaarde begrijpt. Dat Nul en Plaatswaarde voorwaarden zijn vóór Breken, is niet het enige argument om breken na Plaatswaarde te zetten.

Plaatswaarde is op verschillende wijzen goed te verbeelden.
Met plaatswaarde (en nog zonder Ruilen) kunnen kinderen van groep 4 sommen met zeer grote getallen goed maken. Dit geeft veel zelfvertrouwen. Uiteraard moet de rekenmeester dan wel sommen met Ruilen nog niet aanbieden. Dat is wel lastig voor de rekenmeester wanneer de rekenmethode en de toetsen dat niet doen.
Bij het maken van sommen met zeer grote getallen rekenen de kinderen zeer vaak deelsommen onder 10 uit. Bij Plaatswaarde sommen is een nevenvangst het automatiseren van sommen onder tien.
De vraag is wel of de kinderen het nut van breken inzien. Waarom zou je bij 9+3 de tweede term breken in 1 en 2? Gewoon tellen is sneller, eenvoudiger en minder riskant. Eigenlijk wordt het Breken pas interessant bij 15+6. Maar dat kan je ook goed oplossen zonder Breken, namelijk: 15+5=20, +1=21. Zeker als je Plaatswaarde goed beheerst. Oh ja, je hebt dan als rekenmeester sluw de volgende leerstap op de horizont gezet: Ruilen van 10.
Tot nu toe was het rekenen tamelijk eenvoudig, tellen en hoeveelheden bepalen. Met Breken naar 10 gaat het voor het eerst om een abstracte procedure betaande uit meer stappen. Je kunt je afvragen of kinderen in deze denkfase daar al aan toe zijn. Door Plaatswaarde voor Breken te zetten kunnen de kinderen wennen aan rekenen zonder tellen. Verder zijn de kinderen wat ouder als Breken aan de orde is.
Er zijn rekenmeesters de de onderschatting van de complexiteit een een som als 7+5 ’de vloek van kennis’ noemen
(in tekst).
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverijpica.nl.
Pag. 177.
Geen link.

Bij 7+5=10+2 is nul betrokken. In hoofdstuk Nul zagen we dat om deze rare snuiter duizenden jaren oorlog is.

6.2.6 Voorwaarde: nog niet met ruilen van 10 begonnen

Met Breken naar 10 en Ruilen van 10 zijn oplossingen voor sommen waarbij de eenheden van een optelsom meer dan 10 zijn of de eenheden van een aftreksom een negatief getal geven. Breken naar 10 wordt toegpast bij sommen met een uitkomst onder 20. Dat ligt voor de hand wanneer de grootte van de getallen de indeling van de leerstof bepaalt. Ruilen van 10 komt dan later aan de orde, bij sommen met een uitkomst boven 20. Gebruikelijke woorden zijn splitsen om 10 of aanvullen tot 10 en inwisselen. Dus ...

Euh ..., Breken maar gewoon helemaal overslaan?

6.3 Hoe verbeeld je Breken naar 10

Aard van de kennis

Breken naar 10 (8+5=8+2+3). De dakjes zijn minder 'talig' en meer beeldend dan het rijgen. De tekening van de dakjes verbeelden de uit te voeren handelingen. Het woord dakje geeft de vorm van de verbeelding aan, niet de aard van de handeling. De term breken doet dat wel.

6.3.1 Met dakjes Met dakjes	6.3.2 Met stippen

De relaties tussen 8, 10, 1, 3 en 2 zijn binnen een oogopslag, in het oogfixatieveld en permanent zichtbaar. Het oog kan de som zelf 'uitrekenen'. Het werkgeheugen en mentale handelingen zijn niet nodig. De hersenen kunnen op hun gemak kijken wat er toch allemaal gebeurt. Nul is eigenlijk niets en wordt daarom vaak niet getoond, bijvoorbeeld op dobbelstenen en op dominostenen. Maar in het decimale getallensysteem en de bijhorende notatie heeft nul wel een functie. Verbeelding van 'niets' is dus psychologisch gezien essentieel. Dit kan met lege ringen waar stippen in passen. Dan is nul en niets zonder woorden verbeeld. Verder verbeelden de lege plaatsen dan het eerste deel van de spitsing om bij 10 te komen. Door de eenheden en tientallen verschillende kleuren tegen blijft de splitsing zichtbaar. Eventueel kan het de aanvuling tot tien van de tweede term afwijkende kleuring tonen, bijvoorbeeld een verloop van de eenhedenkleur naar de tientallen kleur. De splitsingshandeling moet compact getoond worden zodat deze in de oogfixatie past.

Bij breken naar 10 draait alles om 10. Die tien moet dus goed gevisualiseerd worden. Bijvoorbeeld met een veld waar 2x5 stippen op passen.

Mijn ervaring is dat het aanleren van breken tot 10 voor rekenmeesters erg lastig is. Mijn twijfels begonnen met kinderen die uitstekend kunnen optellen tot 100 maar breken tot 10, neen, dat kreeg ik er niet in. Wat gek. Het is me eerlijk gezegd nooit echt gelukt.

En dan nog tot slot. Heel opmerkelijk. Mij is gebleken dat tellers verbeeldingen van breken naar 10 snel leren uitreken zonder te tellen. Je zou denken dat transfer naar de somformule dan een fluitje van een cent is. Niet dus.

6.4 Hoe verwoord je Breken naar 10

6.4.1 Met het woord rijgen

De stappen van de oplossing achter elkaar uitschrijven. 12+34=10+30+2+4, etc. Niet de termen onder elkaar zetten bijvoorbeeld. Rijgen beschrijft meer het aaneensluiten (van handelingen) dan de rekenhandelingen zelf.Verder heeft rijgen toch meer weg van het instrueren van een computer of rekenmachine dan het instrueren van de hersenen van een achtjarige. Verder past breken beter bij getallenlijn en honderdveld. De strook van de tweede term moet vrijwel letterlijk in twee lijnstukken gebroken worden.

6.4.2 Met het woord breken

Splitsen om 10 is op zich een correct woord maar nogal abstract en niet een woord dat kinderen spontaan zouden gebruiken. Datzelfde geldt ook voor inwisselen van tien. Je ziet ook dat kinderen die twee methoden verwarren. Temeer daar de twee methoden voor hetzelfde probleem zijn. Breken naar 10 is plastischer en meer kindertaal dan splitsen. Andere verwoordingen zijn:

Maak er even 10 van.
Pikken De blauwe haas pikt er 2 van de groene haas want hij vindt sommen met 10 gemakkelijk. Na afpikken zijn er 2 over

De procedure laat zich als volgt verwoorden: Sak:
Som
Afpakken (van 2e term om tot 10 te komen).
Klaar (is Kees, want sommen met 10 zijn gemakkelijk).

6.5 Hoe vermentaliseer je Breken naar 10

6.5.1 Met 9+8 beginnen

De som 9+2 kun je oplossen met breken naar 10. Maar voor de rekenmeester twee woorden gezegd heeft, heeft het kind al geteld: 9, 10 ,11.

Bij sommen met een grotere tweede term 7+9 ligt dat anders. Dan is het voor de teller wél de moeite om te breken. Dus beginnen met 9 als tweede term, dan 8, dan 7, etc.

6.5.2 Met een tabel

Bij breken naar 10 moet het kind voor het eerst een plan met 3 stappen uitvoeren. Het moet de stappen kennen en het kind moet begrijpen waarom je die stappen moet nemen (Maak er een som met 10 van, die zijn makkelijk.

De tabelmethode plaatst visuele en verbale steun in een tabel. Voor de liefhebbers hierbij de psychologische verantwoording. De verbale steun van de totale procedure is: De blauwe haas pikt groene korrels van de groene haas omdat hij sommen met 10 gemakkelijker vindt.

Steun 1: De visuele steun van de achtervolgens te nemen stappen zijn de stappen die elk een eigen regel hebben in de tabel. Elke regel een stap, van boven naar beneden.

Steun 2: Door de tabelvorm kunnen de getallen vlak bij elkaar staan zodat er geen belasting van het werkgeheugen is en de relaties zichtbaar zijn.

Steun 3: Aan het begin van de regel staat een verbale geheugensteun voor de handeling op die regel: Som noteren, afpikken, klaar is kees.

Steun 4: De achtervolgens te nemen stappen zijn de stappen hebben aan het begin van de regel die elk een eigen regel hebben in de tabel. Elke regel een stap, van boven naar beneden.

Steun 5: Elke te nemen handeling wordt verder visueel getoond met een leeg gekleurd vlak. Alle gekleurde vlakjes moeten gevuld worden. Overigens zie je wel dat kinderen gaan verkorten en vakjes leeg laten. Prima uiteraard, mits de rest goed verloopt.

Steun 6: Het gebruik van kleur is visueler en concreter dan het gebruik van de abstracte woorden tien(tal), eenheid en term. De blauwe haas pakt 2 korrels van de groene om het blauwe hok vol te krijgen.

Steun 7: Twee kritische foutgevoelige stappen worden verbaal ondersteund met een tekst in hun gekleurd vlak: Afgepikt en Over

Steun 8: In de procedure draait alles om 10, uiteraard. Het centrale punt, 10, is vooringevuld. Het tiental wordt daarom zo getoond dat zonder tellen te zien is dat het er 10 zijn en hoeveel er ontbreken.

Steun 9: Terugval naar visueel is mogelijk door kind of rekenmeester door aanvankelijk ook nog stippen steun te geven. Het kind en de rekenmeester kunnen daar gemakkelijk op terugvallen.

Steun 10: De transformatie van de eenheden van de tweede term die naar de eerste term gaan is gevisualiseerd met een kleuring die overloopt van groen naar blauw. Bij een presentatie op een scherm gaan die stippen daadwerkelijk naar de eerste term.

Steun 11: Doelen zijn:het kind zich zelf (verbaal) sturen, de rekenmeester kan zien waar het fout gaat de rekenmeester en het kind kunnen communiceren.

Uit de verwoording en de verbeelding van de breek-procedure blijkt dat deze nogal uitvoerig is. Dat is op zich al een probleem wanneer de moet rekenen zonder de verbeelde procedure. De kinderen maken twee soorten breek-fouten.

Verkeerde deel bijtellen: 8+5=12.
45+8=43, Tweede splitsdeel (2) goed bijgeteld, maar eerste spliltsdeel (5) en eenheden eerste term (5) vergeten.

Maximale steun bij het breken naar 10.

6.5.3 Met steun te verminderen

Het uitvoerige breken naar 10 met verbale en visuele steun moet verkort worden. Dit kan door geleidelijk aan steeds meer steun weg te laten. Overigens zal het kind uit zichzelf ook stappen gaan overslaan.

Een probleem bij uitvoerige splitsprocedures is de plaatsing van de delen van de gesplitste tweede term. Waar moet de 2 en de 3 bij 8+5 naar toe? Als het kind zegt: 12 dan heeft het de delen van de tweede term verwisseld. Hoe langzamer het kind de procedure uitvoert, hoe langer de delen in het werkgeheugen aanwezig moeten zijn. Hoe groter dan de kans op verwisseling.

Om de kans op verwarring tussen de twee getallen van de gesplitste term wordt zo lang mogelijk verbale steun gegeven met het woord over (nadat er van de tweede term wat afgepikt is om 10 te krijgen).

Alle steun.
Terugval naar visuele stippen
door kind of rekenmeester
is mogelijk.

Minder steun, o.a. geen stippen.

Nog minder steun, o.a. geen stappen.

6.5.4 Een term breken naar 10

Voetnoten:

Getallen, kinderen en psychologie

Inhoudsopgave Met klik naar: de volledige inhoudsopgave.
Fase 1:	Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige twee olifanten en tien muizen. Vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen aan de slag gaat moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde eigenschap gaat. Met klik naar meer over: Rekenvoorwaarden	Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
Fase 2:	Tellend optellen Zesjarigen leren veel rijtjes, vooral als liedjes. Vaak zijn het liedjes met onzinnige woorden. Tellend optellen is voor het kind gewoon het rijtje woordjes opzeggen. Misschien aanvankelijk ook wel onzinnig. Niks nadenken. Geen enkel probleem. Dat gaat heel lang goed. Tot de uitkomst meer dan 30 is. Met klik naar meer over: Tellend optellen	Door tellen blijven kinderen tellen
Fase 3:	Rekenend optellen Heel vreemd dat kinderen tot in groep 5 blijven vingertellen. Ook begrijpelijk dat ze dat doen. Ook niet erg, dat vingertellen. Als je het wil oplossen dan is dat ook niet moeilijk. Met klik naar meer over: Rekenend optellen	Hoe kom je van dat vingertellen af
Fase 4:	Nul Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, in getallen ook niet vóór enen. Meestal is hij verstopt, onder de enen. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Met klik naar meer over: Nul	Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
Fase 5:	Plaatswaarde Met klik naar meer over: Plaatswaarde	Een geniaal idee: verberg nul
Fase 6:	Breken naar 10 Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Met klik naar meer over: Breken naar 10	Breek met aanvullen en met breken
Fase 7:	Ruilen van 10 Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10 wel uitleggen. Met klik naar meer over: Ruilen van 10	Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
Fase 8:	Psychologiekennis Met klik naar meer over: Psychologiekennis	Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
Fase 9:	Getalkennis Met klik naar meer over: Getalkennis	Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.