breken

7 Breken naar 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/breken.php

Breek met splitsen en ook met breken

Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen?

7.1 Breken naar 10 in het leerproces

Gebruikelijk is na Tellend optellen te beginnen met Breken. Op zich is dat logisch want je gaat over 10 heen. Maar logisch is wat anders dan psychologisch.

Zo kun je je afvragen waarom je als geroutineerde teller bij 9+2, 9+3 of 9+4 zou gaan breken om 10? Gewoon (vinger)tellen is veel sneller, concreter, minder werkgeheugenbelasting en er is minder risico op een fout. Ook voor een opgave als 9+8.
Verder moet je beslissen welke term je breekt. Je kunt natuurlijk tegen het kind zeggen altijd de tweede term te breken. Bij 7+9 breek je dan 9 in 3 en 6. Dat is een lastige handeling. Het is gemakkelijker de eerste term, de 7, te breken in 1 en 6. Je hebt officieel immers omdraaiers al gehad (2+7=7+2). Kiezen uit mogelijke oplossingen is velddenken en velddenken is ’menselijk’
(§ 10.7.3

Klik voor meer over: velddenken

). Dat geldt ook voor de ’rekenzwakken’.
Het voordeel van breken om 10 is, dat je een opgave met 10 krijgt. De deelhandeling 0+x is gemakkelijk. Maar dan moet je wel plaatswaarde en nul begrijpen.
Ook moet het kind vlot kunnen aanvullen tot 10.
Je kunt je afvragen of je kinderen, eventueel ook de ’rekenzwakken’, inmiddels verknocht aan de veilige telhandelingenreflex, wakker moet schudden met zo iets ingewikkelds als het breken.

Plaatswaarde is aanzienlijk eenvoudiger dan breken. Met plaatswaarde kunnen ’rekenzwakken’ van groep 3 en 4, opgaven met zeer grote getallen goed maken

(§ 6.5.6

). Dat geeft zelfvertrouwen. Dat is precies wat vingertellers nodig hebben wanneer ze afscheid moeten nemen van de tellend optellen reflex.

Het breken met de gebruikelijke getallenlijn is moeilijk te tonen en uit te voeren
§ 7.2.1

Klik voor meer over: getallenlijn

.
Er zijn kinderen die uitstekend uit het hoofd optellen tot 100. Maar breken om 10, dat begrijpen ze niet.
Met plaatswaarde leren de kinderen bovendien dat rekenen niet tellend optellen is. Oh, nu snap ik het. Rekenen is leuke moeilijke puzzels oplossen.
Blijkt het kind breken om tien te kunnen dan weet je overigens nog niet of dit komt doordat je het kind dat breken net geleerd hebt of omdat hij inmiddels plaatswaarde begrijpt en dus ook breken.

Van tellend optellen naar breken is een forse denksprong. Die sprong gaat van lijndenken

(§ 10.7.2

) met Ganzenbord, Iene miene mutte, naar velddenken met dammen. Het heeft honderdduizenden jaren geduurd voor de mens geleidelijk aan overging van lijndenken naar velddenken

(§ 10.7.3

). Het is dus niet zo verwonderlijk dat zevenjarigen die sprong niet zo maar even maken. Dit blijkt ook wel uit de de performance:

Statistieken
Opgaven onder 11

5+4:	98% goed,	8 s.,	0% weet niet,	54 opgaven,	18 kk., gr.	4.
4+5:	100% goed,	6 s.,	0% weet niet,	18 opgaven,	18 kk., gr.	4.
5+5:	100% goed,	4 s.,	0% weet niet,	36 opgaven,	18 kk., gr.	4.
Opgaven over 10
6+6:	72% goed,	13 s.,	0% weet niet,	18 opgaven,	18 kk., gr.	4.
5+6:	61% goed,	12 s.,	0% weet niet,	18 opgaven,	18 kk., gr.	4.

Er zijn rekenmeesters van naam, die nogal duidelijk zijn over dat breken. Er vallen dan woorden als:
’beangstigend voor het kind’ (Alloway & Alloway, 2013)
Alloway T, & R. Alloway, (2013). The Working Memory Advantage. Train Your Brain to Function. New York etc: Simon & Schuster paperbacks.
Pag. 81.
Met klik naar de literatuurlijst.

en ’de vloek van kennis’ (Schmeier, 2019).
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverijpica.nl.
Pag. 177.
Met klik naar de literatuurlijst.

Je kunt het breken ook minder gewicht geven. Je kunt breken aan kinderen presenteren als Kijk eens, zo kan het ook. Je kunt dan hopen dat breken een snipper is die hier en daar het tientalligheidslichtje doet branden. Ga gewoon verder, bijvoorbeeld met plaatswaarde dus. Probeer het eventueel later nog eens.

Als breken niet lukt, ga er dan niet hardnekkig mee door.
Ga niet door met inprenten dat het kínd een ’rekenprobleem’ is.
Het bréken zou wel eens het probleem kunnen zijn.

Dus ...

Er zijn veel vraagtekens bij dat breken. Als je met de kinderen gaat breken dan is er het ook nog de vraag wanneer je het doet: vóór of ná plaatswaarde.

7.2 Hoe verbeeld je Breken naar 10?

7.2.1 Past de getallenlijn bij breken?

Het is lastig het breken met de getallenlijn af te beelden. De gebroken lijnen passen niet in het oogfixatieveld. Het is niet zeker of de timing van de dynamiek in de pas lopen met de timing van het denken van het kind. De opgave is nauwelijks te zien. Afbeelding 62 toont een poging voor breken bij 7+9 met de getallenlijn.

Still van een dynamische verbeelding van breken met de getallenlijn
Welke opgave is dit?

Afbeelding 62.

www.rekenhaas.nl/b9.php

Met klik naar deze opgaven.

7.2.2 Past de lusabacus bij breken?

De gebruikelijke lusabacus kan de structuren van de getallen bij het breken goed tonen. Zonder toelichting is te zien welke opgave afbeelding 63 toont.

Breken met de lusabacus

Afbeelding 63.

7.2.3 Passen stippen het bij breken?

1) Passen stippen de getallen?

Net als de lusabacus kunnen de stippatronen het breken goed tonen (afb. 64). De lege plaatsen bij blauw 10 is het aanvullen tot 10. Ook de overlopers zijn duidelijk te zien en blijven te zien door hun blauw-groene kleur.

Still van de verbeelding van
breken met stipgroepen

De haas duwt één blauw-groene stip naar de 9 blauwe stippen.

Afbeelding 64.

www.rekenhaas.nl/b41.php

Met klik naar deze opgaven.

Het oog ziet in afbeelding 64 het stippatroon van 9+2=9+1+1 en ’weet ’ dan ook de uitkomst. Het stippenpatroon van 9+2 komt meer maal in de ogen en het oog leert dit patroon steeds beter herkennen. Stippatronen zijn een veldverbeelding

(§ 9.2.6

). De ogen zijn veldkijkers en die houden dus wel van zulke veldverbeeldingen

(§ 10.2.1

). Je kunt dit ook intuïtief noemen.

2) Passen brekende stippatronen de ogen?

Een goede opgave om mee te beginnen is 9+2 overigens niet. De opgave 8+7 is beter .

Breken loont voor de teller.
De opgave is moeilijk door de hoge getallen maar in het stippatroon van afbeelding 65 dringt de breekhandeling op. De performance bij deze opgave is ook slecht. Dat blijkt uit de performance bij de vergelijkbare opgave 8+9.
Er is in afbeelding 65 veel te ontdekken. Maar er staat gewoon 3x hetzelfde.

8+7, tafelsticker
en kleurplaat

Afbeelding 65.
www.rekenhaas.nl/pictures/sticker_8+7.png

8+9:

44% goed,

21 s.,

6% weet niet,

18 opgaven,

18 kk., gr.

3) Passen brekende stippatronen het denken?

Net als de ogen houden de hersenen wel van velden, het zijn immers echte velddenkers

(§ 10.7.3

). Ze zijn dan vrij om zélf een oplossingsroute te kiezen. Een veldverbeelding toont namelijk ook andere rekenhandelingen dan tellen. Zo kun je de opgave 8+7 (afb. 65) uitrekenen door twee groen-blauwe stippen naar links te schuiven (dus 8+2 in blauw en 5 in groen overhouden). Je kunt ook 3 blauwe stippen naar rechts schuiven.

Het werkgeheugen is bij dit patroon niet nodig. Ook tonen de stippen duidelijk de uitkomst. De timing van de video is niet kritisch omdat de oorspronkelijke patroon zichtbaar blijft. De hersenen kunnen op hun gemak en in hun eigen tempo in het lege werkgeheugen zien wat er toch allemaal gebeurt.

4) Past een brekend stippatroon de kinderen?

Wanneer je breekopgaven als in figuur 65 en in rijm

(§ 7.3.3

) voorlegt dan krijg je de volgende resultaten.

Performance bij opgaven met cijfers voor en na de lessen:

voor:	67% goed,	9.5 s.,	1% weet niet,	128 opgaven,	10 kk., gr.	4.
na:	63% goed,	9.7 s.,	2% weet niet,	106 opgaven,	10 kk., gr.	4.

De lessen lijken geen effect te hebben. Mogelijk is het effect zelfs negatief. Nadere analyse laat het volgende zien.

Er is wel een ander onverwacht en opvallend verschil. Breekperformance voor en na de lessen voor opgaven met stippen en voor dezelfde opgaven met cijfers toont wel een groot onverwacht verschil.


Cijfers:	65% goed,	9.6 s.,	1% weet niet,	233 opgaven,	10 kk., gr.	4.
Stippen:	89% goed,	10.0 s.,	0% weet niet,	253 opgaven,	10 kk., gr.	4.

De lessen hebben dus wel effect op het breken met stippen maar niet op het breken met sommen. De veronderstelling van Freudenthal

(1973)

dat kinderen 8+5 met het juiste materiaal intuitief zonder tellen kunnen oplossen lijkt dus wel te kloppen. In psychologische termen is breken tot 10 te moeilijk wanneer het materiaal geen directe interpretatie mogelijk maakt

(§ 10.6.2

). Stippatronen maken die interpretatie kennelijk wel mogelijk.

5) Passen brekende stippatronen in de klas?

In de klas kun je het volgende doen.

Toon afbeelding 64 en houd gewoon je mond.
Zet het breken met stippen als een soort screensaver een tijd op het digiboard.
Je vraagt hooguit: Wat gebeurt er toch allemaal?
Zet het kind aan het denken: Waarom doet die rekenhaas dat zo?
Welke stippen schuif jij?

7.3 Hoe vertel je Breken naar 10?

7.3.1 Past het woord breken bij breken?

Hier kiezen we voor het woord Breken naar 10. Gebruikelijk is te spreken van splitsen om 10. Het woord splitsen is wat abstract. Breken is meer kindertaal en is ook de handeling die je uitvoert met de getallenlijn, het 100-veld, met stippen en met getallen.

Je ziet ook dat kinderen breken om 10 en ruilen van 10 eenheden verwarren. Beide zijn nogal abstracte woorden die kinderen niet spontaan zouden gebruiken. Verder zijn het twee verschillende handelingen voor min of meer hetzelfde probleem (over 10 gaan). Je kunt (niet voor de kinderen) ook de oplossingswijze in het midden laten en spreken van automatiseren boven 10.

7.3.2 Passen de woorden vriendjes, verliefden en m&ms bij breken?

Een voorwaarde voor breken is aanvullen tot tien. Aanvulopgaven noemt men wel vriendjes- of verliefdenopgaven.

Deze woorden zijn wel beeldend maar het beeld toont niet het breken van een term om tien. Je zou die opgaven ook m&ms kunnen noemen: maak het makkelijk (met 10).

7.3.3 Past rijm bij breken?

Het breken kan je ook vertellen op rijm.

Bij 9 één groene vegen. Dan wordt blauw 10 en dan kun je de uitkomst gemakkelijk zien.
Acht die houdt van thee, dus veegt er twee.
En zie, zeven pakt er drie.

Of zo iets dan.

7.3.4 Past een hotelverhaal bij breken?

Als de stippen toch te abstract zijn kun je ze concreet verwoorden als: Eén hok (10-tal) heeft tien bedden (ringen). Er wonen 9 blauwe stippen. Er is dus één bed (ring) leeg. Als er drie logees komen, welk aantal moeten er dan in de schuur blijven slapen? Je kunt de stippen die naar de aan te vullen term gaan plastisch overlopers noemen.

7.4 Breken naar 10 en denken

7.4.1 Past rijgen bij breken?

Rijgen is het achter elkaar uitschrijven van de rekenhandelingen: 8+5=8+2+3=10+3=13. Rijgen is in overeenstemming met wat de cultuur wil. Er moeten in regels in woorden komen (algoritmen) die het gedrag beschrijven. Verder laat je met woorden zien dat dat gedrag een verstandige keuze is.

De psychologische werkelijkheid is vaak dat die mooie verhalen rationalisaties achteraf zijn van keuzen die onbewust ingegeven zijn door de emotie. Rijgen is een verbale lijnhandeling en daardoor onvriendelijk voor de ogen, voor het werkgeheugen en voor de hersenen

(§ 10.2.1

§ 10.3

). Ook is het moeilijk het rijgen visueel en met (stip)patronen af te beelden. Bovendien kiezen de hersenen vaak toch stiekem een andere route omdat die eenvoudiger is. Dat kan bijvoorbeeld zijn toch maar eerst de eenheden die samen 10 zijn optellen.

Dat rijgen lijkt verder wel een voorbeeld van didactische inversie

(Freudenthal, 1973).

Je moet niet onderwijzen zoals je het zelf geleerd hebt. Je moet onderwijzen zoals je dat zou doen met de kennis die je nu kunt hebben, zoals psychologische kennis. Psychologisch is het uitrekenen van opgaven waarschijnlijk meer iets van visuele of mentale patroonherkenning (heuristiek). Of iets van Freudenthal’s intuïtieve operaties.

7.4.2 Passen dakjes bij breken?

Het dakje is een symbool voor de uit te voeren breekhandeling (afb. 66). Het woord dakje geeft de vorm van de notatie aan, niet de aard van de handeling. De termen breken en de term knippen doet dat wel. Noem het dakje eventueel gewoon een schaar.

Breken naar 10 met de dakjesmethode

Afbeelding 66.

7.4.3 Passen leerbladen bij breken?

Het kind kan breken zelf ontdekken met afbeelding 67. Hoe langer de ontdekking op zich laat wachten hoe groter de kans is dat het kind nog denkt dat rekenen lijndenken is en nog telt. Zet het kind aan tot velddenken door te vragen: Lees de uitkomsten eens op?

9	+	8	=
9	+	7	=
9	+	6	=
9	+	5	=
9	+	4	=
9	+	3	=

19	+	8	=
19	+	7	=
19	+	6	=
19	+	5	=
19	+	4	=
19	+	3	=

29	+	8	=
29	+	7	=
29	+	6	=
29	+	5	=
29	+	4	=
29	+	3	=

Breken naar 10 met een leerblad

Afbeelding 67.

www.rekenhaas.nl/b51p.php

Met klik naar deze opgaven.

Een andere mogelijkheid is een opgaventabel (afb. 68). Het kind begint met een opgave waarvan het de uitkomst weet (bijvoorbeeld 5+5) en gaat dan naar de buren (altijd 1 meer of 1 minder).

Automatiseren <20 met Eén-erbij

Afbeelding 68.
www.rekenhaas.nl/
pictures/r1_sommentabel_tot20.png

7.4.4 Past onder nul gaan bij breken?

Je kunt het breken ook vanuit nul benaderen. Als je bij een lijn van 5, er 2 naar links schuift dan ga je dus onder nul. Die 2 moet je er dus wel weer bijtellen. Anders is het niet eerlijk.

Andere hoofdstukken

0 Voorwoord Meer: klik en ga naar: Voorwoord	www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwoord.php
1 Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen? Meer: klik en ga naar: Rekenvoorwaarden	www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwaarden.php
2 Tellend optellen Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes. Meer: klik en ga naar: Tellend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/tellend_optellen.php
3 Kijkend optellen Tellen op de vingers is populair. Vreemd eigenlijk. De ogen kunnen veel beter tellen en rekenen. Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/kijkend_optellen.php
4 Denkend optellen Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is heel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan. Meer: klik en ga naar: Denkend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/denkend_optellen.php
5 Nul Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Meer: klik en ga naar: Nul	www.humanefficiency.nl/rekenen/nul.php
6 Plaatswaarde Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen. Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde	www.humanefficiency.nl/rekenen/plaatswaarde.php
7 Breken naar 10 Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen? Meer: klik en ga naar: Breken naar 10	www.humanefficiency.nl/rekenen/breken.php
8 Ruilen van 10 Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. ,Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de ,kindrealiteit. Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10	www.humanefficiency.nl/rekenen/ruilen.php
9 Getalkennis Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona. Meer: klik en ga naar: Getalkennis	www.humanefficiency.nl/rekenen/getal_kennis.php
10 Psychologiekennis Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen? En hoe kunnen getallen het kind leren denken? Meer: klik en ga naar: Psychologiekennis	www.humanefficiency.nl/rekenen/psychologie_kennis.php
11 Statistieken De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’). Meer: klik en ga naar: Statistieken	www.humanefficiency.nl/rekenen/statistieken.php
12 Literatuur Meer: klik en ga naar: Literatuur	www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur.php
13 Index Meer: klik en ga naar: Index	www.humanefficiency.nl/rekenen/index_tot_alfabetisch.php

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.