Hoofdstuk 6 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 aug. 2022.

6 Breken naar 10

Breek met aanvullen en met breken

Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen?

Breken naar 10 is het opbreken van één term om van de andere term een tiental te maken. Sommen met een tiental zijn gemakkelijk. Dus 8+5=8+2+3=13. In het onderwijs meestal aangeduid als aanvullen tot 10.

Breken naar 10 confronteert het kind voor het eerst met het echte, geniale, decimale getallensysteem. Heel wat anders dan het lijntje Iene, miene, mutte. of wel tellend 'rekenen'.

6.1 Breken naar 10 in het leerproces

6.1.1 Voorwaarde: stipgroepen tot 10 herkennen

Een noodzakelijke voorwaarde is dat het kind stipgroepen tot 10 herkent zonder tellen. Wanneer het kind nog telt dan is er minder mentale ruimte om de breekhandeling te zien.

6.1.2 Voorwaarde: nul

In de Iene, miene, mutte. wereld is 10 gewoon een cijfer als elk ander: toevallig twee tekens voor een getal. Net als eo: toevallig twee tekens voor een klank. Maar de 1 en de 0 van 10 zijn niet toevallig.

En die nul is eigenlijk een hele rare is te lezen in een vorige hoofdstuk Nul. Mijn ervaring is dat kinderen vrij gemakkelijk met nul kunnen rekenen als je ze de betekenis en het gebruik uitlegt.

6.1.3 Voorwaarde: aftrekken een aanvullen

Het hangt er een beetje vanaf hoe je de leerstappen ordent, maar bij sommige spitsmethoden is vlot kunnen aftrekken wel handig. Als het kind nog op zijn vingers telt dan is er mogelijk te weinig mentale ruimte om de breekmethode ook nog uit te voeren.

Daarmee hangt samen het aanvullen. Een deelhandeling van het breken naar 10 is aanvullen tot 10. Wanneer het kind dat goed kan, dan is er meer mentale ruimte vrij voor het breken.

6.1.4 Voorwaarde: plaatswaarde

Gebruikelijk is direct na Tellend optellen (H.2) te beginnen met Breken naar 10. Immers, na 9 ga je over 10 heen en krijg je dus sommen die over 10 gaan.

Echter, wanneer je 10 introduceert alsof je neus bloedt, dan denken kinderen terecht dat 10 net zo is als 9: één symbool voor een hoeveelheid. Net als eo een klank is met toevallig twee letters. De rekenmeester moet dan niet gek opkijken wanneer het Breken naar 10 maar niet wil lukken. Je kunt alleen boven 9 efficiënt rekenen wanneer je Nul en Plaatswaarde begrijpt. Dat Nul en Plaatswaarde voorwaarden zijn vóór Breken, is niet het enige argument om breken na Plaatswaarde te zetten.

Plaatswaarde is op verschillende wijzen goed te verbeelden. Met plaatswaarde (en nog zonder Ruilen) kunnen kinderen van groep 4 sommen met zeer grote getallen goed maken. Dit geeft veel zelfvertrouwen. Uiteraard moet de rekenmeester dan wel sommen met Ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental nog niet aanbieden. Dat is wel lastig voor de rekenmeester wanneer de rekenmethode en de toetsen sommen met Ruilen en sommen zonder ruilen niet scheiden.
Bij het maken van sommen met zeer grote getallen rekenen de kinderen zeer vaak deelsommen onder 10 uit. Bij Plaatswaarde sommen is een nevenvangst het automatiseren van sommen onder tien.
De vraag is wel of de kinderen het nut van breken inzien. Waarom zou je bij 9+3 de tweede term breken in 1 en 2? Gewoon tellen is sneller, eenvoudiger en minder riskant. Breken is pas interessant bij 15+6. Maar dat kan je ook goed oplossen zonder Breken, namelijk: 15+5=20, +1=21. Zeker als je Plaatswaarde goed beheerst. Oh ja, je hebt dan als rekenmeester sluw de volgende leerstap op de horizon gezet: Ruilen van 10.
Tot nu toe was het rekenen tamelijk eenvoudig, tellen en hoeveelheden bepalen. Met Breken naar 10 gaat het voor het eerst om een abstracte procedure bestaande uit meer stappen. Je kunt je afvragen of kinderen in deze denkfase daar al aan toe zijn. Door Plaatswaarde vóór Breken te zetten kunnen de kinderen wennen aan rekenen zonder tellen. Verder zijn de kinderen wat ouder als Breken aan de orde is.
Er zijn rekenmeesters de onderschatting van de complexiteit een som als 7+5 ’de vloek van kennis’ noemen
(Schmmeier, (2019).
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverijpica.nl.
Pag. 177.
Geen link.

6.1.5 Niet aan ruilen van 10 beginnen?

Met Breken naar 10 en Ruilen van 10 zijn oplossingen voor sommen waarbij de eenheden van een optelsom meer dan 10 zijn of de eenheden van een aftreksom een negatief getal geven. Breken naar 10 is in het onderwijs aan de orde bij sommen met een uitkomst onder 20. Dat ligt voor de hand wanneer de grootte van de getallen de indeling van de leerstof bepaalt.

Máár indelen op basis van de grootte van getalen zelf ligt niet zo voor de hand.

(zie § 8.5.5)

Ruilen van 10 komt dan later aan de orde, bij sommen met een uitkomst boven 20.

Dus ...

Euh ..., Breken maar gewoon helemaal overslaan?

6.2 Hoe verbeeld je Breken naar 10

6.2.1 Met de getallenlijn

Verbeelding van breken met twee brekende getallenlijnen

Verbeelding 46.

www.rekenhaas.nl/b9.php

6.2.2 Met stippen

Breken naar 10 met stippen

Verbeelding 47.

www.rekenhaas.nl/b41.php

Aard van de kennis

Breken naar 10 (8+5=8+2+3). De dakjes zijn minder 'talig' en meer beeldend dan het rijgen. De tekening van de dakjes verbeelden de uit te voeren handelingen. Het woord dakje geeft de vorm van de verbeelding aan, niet de aard van de handeling. De term breken doet dat wel.

De relaties tussen 8, 10, 1, 3 en 2 zijn binnen een oogopslag, in het oogfixatieveld en permanent zichtbaar. Het oog kan de som zelf 'uitrekenen'. Het werkgeheugen en mentale handelingen zijn niet nodig. De hersenen kunnen op hun gemak kijken wat er toch allemaal gebeurt. Nul is eigenlijk niets en toont men vaak niet, bijvoorbeeld op dobbelstenen en op dominostenen. Maar in het decimale getallensysteem en de bijhorende notatie heeft nul wel een functie. Verbeelding van 'niets' is dus psychologisch gezien essentieel. Dit kan met lege ringen waar stippen in passen. Dan is nul en niets zonder woorden verbeeld.

Verder verbeelden de lege plaatsen dan het eerste deel van de breuk om bij 10 te komen. Door de eenheden en tientallen verschillende kleuren tegen blijft de breuk zichtbaar.

Eventueel kan het de aanvulling tot tien van de tweede term afwijkende kleuring tonen, bijvoorbeeld een verloop van de eenhedenkleur naar de tientallen kleur. De breekhandeling moet compact verbeeld zijn, zodat deze in de oogfixatie past.

Mijn ervaring is dat het aanleren van breken tot 10 voor rekenmeesters erg lastig is. Mijn twijfels begonnen met kinderen die uitstekend kunnen optellen tot 100 maar breken tot 10, neen, dat kreeg ik er niet in. Wat gek. Het is me eerlijk gezegd nooit echt gelukt.

En dan nog tot slot. Heel opmerkelijk. Mij is gebleken dat tellers verbeeldingen van breken naar 10 snel leren uitreken zonder te tellen. Je zou denken dat transfer naar de somformule dan een fluitje van een cent is. Niet dus.

6.3 Hoe verwoord je Breken naar 10

6.3.1 Met het woord rijgen

Rijgen is de stappen van de oplossing achter elkaar uitschrijven. 12+34=10+30+2+4, etc. Niet de termen onder elkaar zetten bijvoorbeeld. Rijgen beschrijft meer het aaneensluiten (van handelingen) dan de rekenhandelingen zelf. Het is lijnkennis

(zie § 9.2.4)

Verder past breken beter bij de getallenlijn en het honderdveld. Het kind moet de strook van de tweede term vrijwel letterlijk in twee lijnstukken breken.

6.3.2 Met het woord breken

Splitsen om 10 is op zich een correct woord maar nogal abstract en niet een woord dat kinderen spontaan zouden gebruiken. Datzelfde geldt ook voor inwisselen van tien. Je ziet ook dat kinderen splitsen en inwisselen verwarren. Temeer daar de twee methoden voor hetzelfde probleem zijn. Breken naar 10 is plastischer en meer kindertaal dan splitsen.

6.4 Hoe vermentaliseer je Breken naar 10

6.4.1 Met dakjes

Breken naar 10 met
de dakjesmethode

Verbeelding 48.

De som 9+2 kun je oplossen met breken naar 10. Maar voor de rekenmeester twee woorden gezegd heeft, heeft het kind al geteld: 9, 10 , 11. Bij sommen met een grotere tweede term 7+9 ligt dat anders. Dan is het voor de teller wél de moeite om te breken. Dus beginnen met 9 als tweede term, dan 8, dan 7, etc. Maar een kind kan natuurlijk ook de commutatieve wet toepassen: 7+9=9+7, gewoon 1 er af, dus 16.