Een pilot studie naar de invloed van hoeveelheidspatronen op het optellen geeft ook enig licht (
noot 1). ’Rekenzwakke’ kinderen van groep 3 kregen varianten van sommen met een uitkomst onder 11 in de vorm van ballen, cijfers en combinaties van cijfers en ballen (afb. 2).
Uitgangspunt daarbij is: Liever fout gerekend dan goed geteld. We kijken daarom vooral naar de reactietijden.
| |
https://research.rug.nl/nl/publications/automatisering-van-basale-rekenkennis-en-het-ontstaan-van-rekenpr
breken komt voor plaatswaarde
Er is een groot verschil tussen optellen tot en met 10 en optellen over 10 heen. De performance van de kinderen
bij opgaven onder tien (5+4, 4+5) en opgaven die over 10 gaan (6+6 en 5+6) laten dat zien.
4+5 en 5+4: 91% goed, 9 sec., 3.5% weet niet, 1316 opgaven, 44 kinderen van gr. 3&4.
Over 10 heen: 67% goed, 13 sec.
Dat geldt ook voor de relatief eenvoudige meerling- en 1-erbijopgaven (6+6 en 5+6).
|
Uit: (uitzoeken) rekenend.xls controleer die
zie ook rekenend_over 10 en bre23 en baltot10
Opgaven onder 11
| 5+4: | 98% goed, | 8 s., | 0% weet niets, | 54 opg., | 18 | 4 | | 4+5: | 100% goed, | 6 s., | 0% weet niets, | 18 opg., | 18 | 4 | | 5+5: | 100% goed, | 4 s., | 0% weet niets, | 36 opg., | 18 | 4 | | Opgaven over 10 | | 6+6: | 72% goed, | 13 s., | 0% weet niets, | 18 opg., | 18 | 4 | | 5+6: | 61% goed, | 12 s., | 0% weet niets, | 18 opg., | 18 | 4 |
|
breken .1 in het leerproces |
Als het kind nog volgorde-denkt en telt dan is over 10 gaan bij 5+6 geen probleem.
Gewoon ééntje verder tellen. Net als van 8 naar 9. De opgave 5+6/6+5 is voor het kind verder mogelijk eenvoudig omdat het een 'bijna tweeling' opgave is.
Die zijn al bij het automatiseren onder 10 aan de orde geweest. Kortom, de opgave 5+5 is gewoon 10 en eenvoudig: (
98% goed en 3.7 sec., gr. 3&4).
En bij 5+6 moet je gewoon ééntje meer tellen, pakweg 2 seconden meer teltijd. Zou je zeggen.
Vreemd is wel dat er bij 10 en 11 twee cijfers voor één getal zijn.
Maar bij het lezen heb je ook twee letters voor één klank, zoals bij de klank ui. De letters zijn immers op. Bij de getallen zijn de cijfers niet op maar gaat het om tientalligheid en plaatswaarde.
Ook de telwoorden reppen niet van tientalligheid en plaatswaarde. Aan tien is ook niet te horen dat wijst op tientalligheid. En bij 30 is ook niet. De 3 zit verborgen onder der en 10 verbergt zich onder tig.
Echter, tellers hebben voor 5+6 niet pakweg 2 seconden méér nodig maar
0.0
seconden. Ook het aantal goede antwoorden is minder:
98%.
Dat is toch wel gek. Het lijkt er op dat de kinderen wél in de gaten hebben dat er bij 10 wat aan de hand is.
En de getallenlijn die toch zo'n jaar lang aan de muur hangt, heeft die het in de gaten? Hoe dan ook, hoe los je dat op?
|
Gebruikelijk is na het automatiseren tot tien te beginnen met splitsen. Dat is logisch want je gaat over 10 heen. Er zijn wel wat voorwaarden waar het kind aan moet voldoen. Voor splitsen om 10 moet je tientalligheid, plaatswaarde en de rol van nul daarbij begrijpen.
-
Het kind moet vlot kunnen aanvullen tot 10.
- Het voordeel van splitsen om 10 is, dat je een opgave met 10 krijgt. De deelhandeling 0+x is gemakkelijk en sneller dan tellen. Maar dan moet je wel begrijpen dat bij 10+5 de 5 gewoon óp de nul van tien komt. Bij lezen is dat niet zo.
-
Bovendien zie je dat kinderen splitsen om 10 en inwisselen van 10-eenen voor 1-tien verwarren. Beide zijn nogal abstracte handelingen. Het zijn bovendien verschillende handelingen voor min of meer hetzelfde probleem (over 10 gaan). Ook de woorden zijn woorden die kinderen niet spontaan zouden gebruiken. Mogelijk zouden de woorden breken om 10 en ruilen van 10 duidelijker voor de kinderen.
-
Dan is er nog een stap. Bij 10+3 moet de drie nog vertaald worden in der. Dat geldt ook voor 14.
En hoe moet je uitleggen dat elf 'gewoon' 10+1 is en twaalf is 'gewoon' 10+2.
Voor Chinese kinderen is die stap er niet. 10+3 is gewoon tiendrie. Chinese kinderen splitsen dan zonder splitsen onderwezen is
|
1)
Waarom zou je?
Het splitsen om 10 is dus best ingewikkeld. Zeker voor een kind dat door automatiseren net van het tellen af is. Splitsen is ook heel wat anders dan automatiseren. Waarom zou je als geroutineerde teller bij 9+2, 9+3 of 9+4 gaan splitsen om 10? Gewoon (vinger)tellen is veel sneller, concreter, minder werkgeheugenbelasting en er is minder risico op een fout. Dat geldt ook wel voor een opgave als 9+8. -
Je moet kind beslissen welke term je breekt. Je kunt natuurlijk tegen het kind zeggen altijd de tweede term te splitsen. Bij 7+9 breek je dan 9 in 3 en 6. Dat is een lastige handeling.
-
Er is niet alleen de keuze van de te splitsen term maar ook de keuze van de methode. Voor de opgave 8+7 zijn er twee methoden. Je kunt splitsen (8+7=8+2+5) maar je kunt ook uitgaan van een tweelingsom. Die heeft het kind officieel al gehad bij het optellen tot 10. Met tweelingen heb je ook weer twee mogeljkheden (8+7=7+5+1 of 8+7=8+8-1 of 7+7+1). Het kind kan in de war raken wanneer een goede methode ontdekt heeft en het onderwijs voor dezelfde som met een andere methode komt. het de ene methode begint te ontdekken terwijl de andere methode onderwezen wordt.
Typerend is het verhaal van de 'rekenzwakke' Leila uit groep 4 had geen idee welke klepel bij welke klok hoorde. Ze was zo slim niet te gaan tellen maar het toch te proberen. Maar 18% van de splitsopgaven onder 20 ging goed 12 sec. per opgave. Tegelijkertijd rekent ze opgaven als 54+45 allemaal goed uit. Bij doorvragen zegt ze: Er zitten dan zoveel getallen in mijn hoofd. Dat klopt. Dat zijn er minstens 4. Met alleen al 4 getallen zit het werkgeheugen al redelijk vol. Aangenomen dat je weet welke getallen je moet hebben.
Je kunt je afvragen of je kinderen, eventueel ook de ’rekenzwakken’, die inmiddels verknocht zijn aan de veilige zeer concrete telhandelingreflex, wakker kunt en wakker moet schudden met zo iets ingewikkelds als het splitsen om 10. Als je begint met plaatswaarde dan leren de kinderen bovendien dat rekenen niet Iene, miene, mutte-achtig tellend optellen is. Dat is een belangrijke voorwaarde voor tellers. Oh, nu snap ik het. Rekenen is oplossen van puzzels.
|
|
Kunnen kinderen van groep 4 wel leren splitsen? Daar zijn meningen over.
|
|
Dat is toch wel duidelijke taal. Snel dus naar de vraag hoe je splitsen om 10 kan onderwijzen.
|
.2
Welke materialen voor splitsen?
|
Er zijn verschillende materialen waarmee je splitsen om 10 kunt onderwijzen.-
Rijgen.
-
De getallenlijn.
-
Dakjes.
-
De getallenlijn.
-
De lusabacus.
-
Splitsen met getalbeelden.
|
.2.1
Past rijgen
Een zeer gebruikelijke methode is het rijgen: 8+5=8+2+3=10+3=13.
Past het rijgen de getallen?
Op een lijn is de relatie tussen de 4 getallen van het splitsen moeilijk weer te geven.
Past het rijgen de ogen?
De notatieroute van rijgen is een nette 1d, lineaire lijn van links naar rechts. Dat is de notatie van gesproken en geschreven woordtaal. De woordtaal kan niet anders. Maar de route van de handelingen en daarmee de ogen is bij splitsen anders. Deze loopt zigzaggend van links naar rechts min of meer zoals in afbeelding 2.
|
 | |
Oogroute bij optellen met rijgen
Afbeelding 2. |
|
|
|
Door de lijnvorm is verder een directe visuele interpretatie niet mogelijk. Het rijgbeeld (8+5=8+2+3=10) is niet in 233 milliseconden waar te nemen en te interpreteren. Ook de essentie van de getallen en de handeling, de aanvulling tot 10 springt er niet uit.
Een deel van het rijgbeeld valt buiten het oogfixatieveld. Daardoor is er meer belasting van het werkgeheugen. Bovendien zijn kritische details van de cijfers erg klein. Het oog ziet nauwelijks het verschil tussen 1 en 7.Ook leidt de lijnvorm niet tot afbeeldingen die met één concreet woord verwoordbaar zijn. De getallen, hun relaties en de uit te voeren handelingen worden abstract met symbolen weergegeven. Dat is niet handig als het om abstracte denkhandelingen gaat. Kinderen in groep 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten
Kinderen in groep 3 en 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming
(Mussen et al. 1970,
Piaget, 1969).
|
getallenlijn.2.2
De gebruikelijke getallenlijn |
 | |
Splitsen om 10 met dakjes
Afbeelding 3. |
|
|
Leeg, zie lijn pasvorm denken
|
De gebruikelijke lusabacus kan de structuren van de getallen bij het splitsen concreet en binnen het oogfixatieveld tonen. Zonder toelichting is snel te zien welke opgave afbeelding 4 toont. |
 |
Welke opgave is dit?
Afbeelding 4. |
|
stippen.2.4
Splitsen met getalbeelden |
|
Gerijgde getallen, de getallenlijn en dakjes zijn 1d-materialen die de getalstructuren en handelingen moeilijk kunnen tonen. Analoog aan het leren automatiseren van opgaven tot 10, kun je het splitsen tonen met aantalbeelden (afb. 5).
|
De haas duwt 2 blauwgroene overlopers naar de lege ringen in de blauwe bak.
Afbeelding 5. |
|
De opbouw kan als volgt verlopen.
Stap nul is automatiseren. Je moet begrijpen dat rekenen niet Iene, miene, mutte tellend optellen is maar een puzzel die je op verschillende manieren kunt oplossen.
Stap 1: De gemarkeerde overlopers worden verschoven
Concreet schuift de rekenhaas de blauwgroene overlopers van de groene naar de blauwe bak. De (blauw)groene overlopers staan dicht bij de lege ringen in de bak voor de blauwe ballen. Dus beide staan in het oogfixatieveld.
Je kunt de genoemde stappen natuurlijk uitleggen. Maar zo werkt directe interpretatie niet. Je kunt ook gewoon niets zeggen en het splitsen met stippen als een soort screensaver op het digiboard. Je zegt aanvankelijk natuurlijk niets. Na een tijdje vraag je:
Wat gebeurt er toch allemaal? Zet het kind aan het denken: Waarom doet die rekenhaas dat zo?
Welke stippen schuif jij? of Hoe splits jij of Ik maak er eerst even 10 van.
Je kunt dit ook visueel of desnoods intuïtief of beelddenken noemen. Ik zou het directe interpretatie noemen.
|
|
De woorden daarbij
De ondersteunende woorden moeten concreet zijn net als de afbeeldingen. Bij lijnpresentaties is dat lastig. Je kunt kiezen voor de blauwe bak (=10) met de een term. Het tot 10 aan te vullen aantal van de groene bak kun je de overlopers noemen. Of misschien de toverlopers (de ballen die naar 10 overlopen). De rest noem je de rest, de blijvers of de noverlopers (de ballen die niet naar 10 overlopen. | Dat zijn misschien wel vreemde woorden maar dat vinden de kinderen leuk. Het blijkt dat ze die woorden ook gebruiken. Juist doordat het vreemde woorden zijn worden ze verder gemakkelijk onthouden. Afwijkend en vreemd kan immers gevaarlijk zijn.
|
Stap 2: De ogen van het kind schuiven de gemarkeerde overlopers
Bij de volgende stap zijn er geen bewegingen. Nu schuift niet de haas de overlopers. Het oog van het kind schuift met een visuele handeling de overlopers naar de bak met blauwe ballen. Dit kan op papier, eventueel met een haas die duidelijk aan komt rennen zoals in afbeelding 6.
|
Stap 3: Geen markering van de overlopers
Vervolgens vervalt de blauwgroene overloopkleur en moet het kind een term zelf splitsen en de overlopers mentaal schuiven.
Stap 4: Van beeld naar symbolen
Een grote stap is het vervangen van het concrete aantal ballen door een abstract symbool namelijk een cijfer.
Afbeelding 6 legt die relatie. Kiest het kind voor het aantalbeeld dan ziet het ook het symboolbeeld van de gelijke som. Is het symboolbeeld nog niet geautomatiseerd dan kan het kind terugvallen op het aantalbeeld. Je kunt het tellen bemoeilijken door te gaan flitsen. Maar dat is riskant. Je maakt het moeilijker en dan zou het kind daarom wel eens kunnen gaan tellen. Dat kan het inmiddels goed.
Stap 5: Zelf handelen met symbolen
De overgang van concreet materiaal naar abstract materiaal (symbolen, met name cijfers) is altijd lastig. Afbeelding 6 toont hoe die overgang concrete hoeveelheden naar abstracte symbolen kunt tonen.
|
 | |
Een opgave van een leerblad splitsen
Afbeelding 6.
|
|
|
Leren kinderen splitsen met splitsbeelden?
De theorie zegt dus dat het wel erg moeilijk is kinderen in groep 4 te leren splitsen om 10. Het blijkt wel mogelijk materialen te ontwikkelen die de getallen en de handelingen passen. Hoe pakt dat alles nu in de praktijk uit? Wanneer je breekopgaven als in figuur 6, met de concrete bak-verwoording voorlegt dan krijg je de volgende resultaten.
Performance bij cijferopgaven voor en na de beeldlessen: | | Voor balles, cijferstest: | 66% goed, | 14.6 s., | 661% weet niets, | 10 opg., | 10 | kk, gr. 3&4 | | | Na balles, cijferstest: | 76% goed, | 11.86 s., | 841% weet niets, | 11 opg., | 11 | kk, gr. | | | Eerste baltest: | 55% goed, | 12.24 s., | 385% weet niets, | 7 opg., | 6 | kk., gr. | | | Laatste baltest: | 69% goed, | 9.36 s., | 620% weet niets, | 9 opg., | 9 | kk., gr. |
De kinderen leerden wél splitsen. Wat nu? Die directe interpretatie lijkt er te zijn want de reactietijd van balopgaven na balles is het laagst. Ondanks dat de kinderen geen getalbeeldles gehad hebben maar wel veel getalcijfer opgaven gemaakt hebben.
rijm.2.5
Past een leerblad
|
|
Een leerblad is een rij opgaven die steeds met dezelfde nieuw te leren handeling opgelost kunnen worden. Dit in tegenstelling tot het 'werkblad' met verschillende typen opgaven en verschillende typen handelingen. Het kind kan splitsen zelf ontdekken met een leerblad zoals afbeelding
7 en 8.
Hoe langer de ontdekking op zich laat wachten hoe groter de kans is dat het kind nog denkt dat rekenen lijndenken is en nog telt. Geef eventueel een duwtje met vragen als: Lees de uitkomsten eens op?
|
|
|
',$paragraaf,$file_naam);
$onduidelijk[$h1]=$onduidelijk[$h1]+1;
onduidelijk('Dakjesmethode.','splitsen.
