breken 24 Jun

16 Splitsen om 10

Breek met splitsen



Voor Chinese kinderen is 10+3 is gewoon tiendrie. Chinese kinderen breken dan zonder dat het ze geleerd is
(Miller et al. 2005).
Miller, K.F., Kelly, M. & Zhou, X. (2005). Learning Mathematics in China and the United States. Cross-Cultural Insights into the Nature and Course of Preschool MathematicaL Development. In: Campbell: Handbook of mathematical cognition. Pag. 163-178

Met klik naar de literatuurlijst.

Campbell, J. (2005). Handbook of mathematical cognition. New York and Hove: Psychological Press.

Met klik naar de literatuurlijst.

Er lijkt een verschil tussen het rekenen bij Betul en bij mij. Ik heb daar naar gekeken. Voor alle kinderen geldt dat ze splitsen om 10 (8+5=8+2+3) moeiijk vinden en niet altijd een goede uitkomst geven. Dat zal Betul duidelijk merken. Ook dat het moeilijk is dat aan te leren. Wat dat betreft rekenen de kinderen dus inderdaad ‘slecht’. Dat splitsen om 10 is inderdaad (te) moeilijk. Dat staat ook zeer duidelijk in de literatuur. Het is ook erg moeilijk goed te krijgen is mijn ervaring. Daardoor ontstaat ook de indruk dat die kinderen niet goed kunnen rekenen. Voor Imran, Narma en Younes is dat naar mijn idee zeker niet zo. Narma splitsen om 10: 8+5=8+2+3 en zo: 30 okt 18% goed 16,6 sec. 15/Apr 50% goed 16,7 sec. Na 5 maanden, regelmatige splitslessen van mij (en van Betul?) eigenlijk geen vooruitgang (reactietijd). Terwijl Narma geen slechte rekenaar is en daar veel belangstelling voor heeft. Ingewikelder sommen doen deze kinderen gewoon wel goed. Heel goed soms. Het is vaak ook een opluchting voor ze, te zien dat zij niet gek zijn en dat ze wel kunnen rekenen. Mijn idee is daarom niet doordrammen, het lukt je toch niet. Dat blijkt ook uit mijn data (zie Narma). Het frustreert de kinderen en het is niet nodig om verder te gaan met plaatswaarde (12+13= ). Sterker nog, plaatswaarde begrijpen is nodig om te kunnen splitsen om 10. Met Denise ben ik hier ook tegenaan gelopen. Op de Margriet, hetzelfde verhaal. Mijn voorstel is dus om door te gaan met plaatswaarde, dat gaat prima. Tussendoor en en passant wat splitsen om 10 doen. Als blijkt dat ze daar aan toe zijn dan doordrukken. Narma begint het bijvoorbeeld een beetje te begrijpen en heeft zelf!!! een variant bedacht. Imran, 15 april 24 Automatiseren onder 10 ok. 92% goed 2,0 s. 0% wn. Voorloopnullen doet ze goed: 23+143 Heel lastig. Splitsen om 10: weet ze volgens mij niet altijd hoe te doen. Volgens mij raadt ze dan. 8+5=15. Met stippen gaat het splitsen om 10 prima. Volgende keer: plaatswaarde, voorloopnul en breken. Narma 15 april 24 Vind grote getallen erg leuk. Younes, 15 april 24 Splitsen over 10 loopt minder goed, zie boven Kent alle tafels tot 25 Kan goed met munten rekenen. Vindt geld interessant.
+
 Haas duwt één blauwgroene stip naar de blauwe bak

Afbeelding 1.
Met ballen gaat dat breken om 10 goed. Maar er was geen transfer van breek­opgaven met ballen naar de opgaven met cijfers. De kinderen waren boven­dien de opgaven met cijfers gewend. De opgaven met ballen kenden ze niet of nauwelijks. Ondanks deze nadelen voor de ballen, scoorden de ballen beter.

Breken om 10 met:
cijfers: 65% goed, 9.6 s., 1% weet niets, 236 opg.,10 kk., gr. 4
ballen:89% goed, 10.0 s., 0% weet niets, 253 opg.,10 kk., gr.4
Een pilot studie naar de invloed van hoeveel­heids­patronen op het optellen geeft ook enig licht (). ’Rekenzwakke’ kinderen van groep 3 kregen varianten van sommen met een uitkomst onder 11 in de vorm van ballen, cijfers en combinaties van cijfers en ballen (afb. 2). Uitgangspunt daarbij is: Liever fout gerekend dan goed geteld. We kijken daarom vooral naar de reactietijden.
  
https://research.rug.nl/nl/publications/automatisering-van-basale-rekenkennis-en-het-ontstaan-van-rekenpr breken komt voor plaatswaarde Er is een groot verschil tussen optellen tot en met 10 en optellen over 10 heen. De performance van de kinderen bij opgaven onder tien (5+4, 4+5) en opgaven die over 10 gaan (6+6 en 5+6) laten dat zien.

4+5 en 5+4: 91% goed, 9 sec., 3.5% weet niet, 1316 opgaven, 44 kinderen van gr. 3&4.
Over 10 heen: 67% goed, 13 sec.
Dat geldt ook voor de relatief eenvoudige meerling- en 1-erbijopgaven (6+6 en 5+6).

Uit: (uitzoeken) rekenend.xls controleer die
zie ook rekenend_over 10 en bre23 en baltot10
Opgaven onder 11
5+4: 98% goed, 8 s., 0% weet niets, 54 opg.,184
4+5: 100% goed, 6 s., 0% weet niets, 18 opg.,184
5+5: 100% goed, 4 s., 0% weet niets, 36 opg.,184
Opgaven over 10
6+6: 72% goed, 13 s., 0% weet niets, 18 opg.,184
5+6: 61% goed, 12 s., 0% weet niets, 18 opg.,184

  .1 in het leerproces  


tellend_optellen_om10 begin
Als het kind nog volgorde-denkt en telt dan is over 10 gaan bij 5+6 geen probleem. Gewoon ééntje verder tellen. Net als van 8 naar 9. De opgave 5+6/6+5 is voor het kind verder mogelijk eenvoudig omdat het een 'bijna tweeling' opgave is. Die zijn al bij het automatiseren onder 10 aan de orde geweest.

Vreemd is wel dat er bij 10 en 11 twee cijfers voor één getal zijn. Maar bij het lezen heb je ook twee letters voor één klank, zoals bij de klank ui. De letters zijn immers op. Bij de getallen zijn de cijfers niet op maar gaat het om tientalligheid en plaatswaarde. Ook de telwoorden reppen niet van tientalligheid en plaatswaarde. Aan tien is ook niet te horen dat wijst op tientalligheid. En bij 30 is ook niet. De 3 zit verborgen onder der en 10 verbergt zich onder tig. Kortom, de opgave 5+5 is gewoon 10 en eenvoudig: (98% goed en 3.7 sec., gr. 3&4). En bij 5+6 moet je gewoon ééntje meer tellen, pakweg 2 seconden meer teltijd. Zou je zeggen.

Echter, tellers hebben voor 5+6 niet pakweg 2 seconden méér nodig maar 0.0 seconden. Ook het aantal goede antwoorden is minder: 98%. Dat is toch wel gek. Het lijkt er op dat de kinderen wél in de gaten hebben dat er bij 10 wat aan de hand is. En de getallenlijn die toch zo'n jaar lang aan de muur hangt, heeft die het in de gaten? Hoe dan ook, hoe los je dat op?




.1 Met pijlen
Een oplossing voor het over 10 gaan bieden pijlen op de getallenlijn (afb. 2).

   Met pijlen over 10 gaan

Afbeelding 2.
  Met pijlen over 10 gaan

Afbeelding 3.
Goed nieuws is dat de psychologie wel weet hoe pijlen werken. De pijlen zijn abstracte symbolen. Met pijlen ga je dus iets abstracts (tientalligheid, plaatswaarde, inwisselen) uitleggen met abstracte symbolen. De voorkeur van de leerpsychologie is: Leg iets abstracts uit met concréét materiaal. De cognitieve ontwikkelingspsychologie zegt ook zo iets.
psychologie_kennis_denken_mussen begin
Het denken van zeven- en achtjarigen is volgens de cognitieve ontwikkelingspsychologie sterk afhankelijk van de waarneming
psychologie_kennnis_mussen_denken eind
Er zijn verder wat harde cijfers. Geef je volwassenen een verkeersbordencursus, daarna een examen en na het slagen toestemming om te gaan autorijden dan zien die volwassenen de geleerde borden regelmatig in de praktijk. Klaar is Kees zegt het CBR. Maar het blijkt dan dat 78% van die gediplomeerde ervaren automobilisten niet begrijpt wat het bord met pijlen van afbeelding 4 betekent

Wat betekent dit bord?

Afbeelding 4.
78% fout
n: 67
  Wat betekent dit bord?

Afbeelding 5.
Dus liever geen abstracte symbolen als pijlen voor de kinderen. Al met al is het dus ook heel begrijpelijk dat de 'rekenzwakke' leerling van afbeelding 4 niet kiest voor de pijlen maar voor de methode die de ervaren teller goed kent en die jij niet wilt: tellen.


.2 Zonder pijlen
Het kan ook zonder pijlen. Geef je proefpersonen een bord dat cognitief psychologisch uitgemillimeterd is (afb. 6) dan krijg je zónder cursus, examen en praktijkervaring 56% meer goede antwoorden dan met het gebruikelijke bord mét cursus, mét examen en mét ervaring. Met name bij kinderen. Met name ook bij borden voor ingewikkelde en gevaarlijke situaties zoals spookrijden De volgende vraag is natuurlijk: Kun je met cognitief een psychologisch uitgemillimeterd materiaal ook beter inzicht geven in het over 10 gaan? Ja, dat kan.

verkeersbord veiligheid toekomst psychologie
Experimenteel ontwerp

Afbeelding 6.
78% goed
n: 49

  
Experimenteel ontwerp

Afbeelding 7.

tellend_optellen_om10 eind
Gebruikelijk is na het automatiseren tot tien te beginnen met splitsen. Dat is logisch want je gaat over 10 heen. Er zijn wel wat voorwaarden waar het kind aan moet voldoen. Voor splitsen om 10 moet je tientalligheid, plaatswaarde en de rol van nul daarbij begrijpen.

1) Waarom zou je?

Het splitsen om 10 is dus best ingewikkeld. Zeker voor een kind dat door automatiseren net van het tellen af is. Splitsen is ook heel wat anders dan automatiseren. Waarom zou je als geroutineerde teller bij 9+2, 9+3 of 9+4 gaan splitsen om 10? Gewoon (vinger)tellen is veel sneller, concreter, minder werk­geheugen­belasting en er is minder risico op een fout. Dat geldt ook wel voor een opgave als 9+8.
  • Je moet kind beslissen welke term je breekt. Je kunt natuurlijk tegen het kind zeggen altijd de tweede term te splitsen. Bij 7+9 breek je dan 9 in 3 en 6. Dat is een lastige handeling.
  • Er is niet alleen de keuze van de te splitsen term maar ook de keuze van de methode. Voor de opgave 8+7 zijn er twee methoden. Je kunt splitsen (8+7=8+2+5) maar je kunt ook uitgaan van een tweelingsom. Die heeft het kind officieel al gehad bij het optellen tot 10. Met tweelingen heb je ook weer twee mogeljkheden (8+7=7+5+1 of 8+7=8+8-1 of 7+7+1). Het kind kan in de war raken wanneer een goede methode ontdekt heeft en het onderwijs voor dezelfde som met een andere methode komt. het de ene methode begint te ontdekken terwijl de andere methode onderwezen wordt. Typerend is het verhaal van de 'rekenzwakke' Leila uit groep 4 had geen idee welke klepel bij welke klok hoorde. Ze was zo slim niet te gaan tellen maar het toch te proberen. Maar 18% van de splitsopgaven onder 20 ging goed 12 sec. per opgave. Tegelijkertijd rekent ze opgaven als 54+45 allemaal goed uit. Bij doorvragen zegt ze: Er zitten dan zoveel getallen in mijn hoofd. Dat klopt. Dat zijn er minstens 4. Met alleen al 4 getallen zit het werkgeheugen al redelijk vol. Aangenomen dat je weet welke getallen je moet hebben.
Je kunt je afvragen of je kinderen, eventueel ook de ’rekenzwakken’, die inmiddels verknocht zijn aan de veilige zeer concrete tel­handeling­reflex, wakker kunt en wakker moet schudden met zo iets ingewikkelds als het splitsen om 10. Als je begint met plaatswaarde dan leren de kinderen bovendien dat rekenen niet Iene, miene, mutte-achtig tellend optellen is. Dat is een belangrijke voorwaarde voor tellers. Oh, nu snap ik het. Rekenen is oplossen van puzzels.
Kunnen kinderen van groep 4 wel leren splitsen? Daar zijn meningen over.
Dat is toch wel duidelijke taal. Snel dus naar de vraag hoe je splitsen om 10 kan onderwijzen.

  .2 Welke materialen voor splitsen?  

Er zijn verschillende materialen waarmee je splitsen om 10 kunt onderwijzen.
  • Rijgen.
  • De getallenlijn.
  • Dakjes.
  • De getallenlijn.
  • De lusabacus.
  • Splitsen met getalbeelden.

.2.1 Past rijgen

Een zeer gebruikelijke methode is het rijgen: 8+5=8+2+3=10+3=13.

Past het rijgen de getallen?
Op een lijn is de relatie tussen de 4 getallen van het splitsen moeilijk weer te geven.
Past het rijgen de ogen?

De notatieroute van rijgen is een nette 1d, lineaire lijn van links naar rechts. Dat is de notatie van gesproken en geschreven woordtaal. De woordtaal kan niet anders. Maar de route van de handelingen en daarmee de ogen is bij splitsen anders. Deze loopt zigzaggend van links naar rechts min of meer zoals in afbeelding 8.

  Oogroute bij optellen met rijgen

Afbeelding 8.

  • Door de lijnvorm is verder een directe visuele interpretatie niet mogelijk. Het rijgbeeld (8+5=8+2+3=10) is niet in 233 milliseconden waar te nemen en te interpreteren.
  • Ook de essentie van de getallen en de handeling, de aanvulling tot 10 springt er niet uit.
  • Een deel van het rijgbeeld valt buiten het oog­fixatie­veld. Daardoor is er meer belasting van het werkgeheugen.
  • Bovendien zijn kritische details van de cijfers erg klein. Het oog ziet nauwelijks het verschil tussen 1 en 7.
  • Ook leidt de lijnvorm niet tot afbeeldingen die met één concreet woord verwoordbaar zijn.
  • De getallen, hun relaties en de uit te voeren handelingen worden abstract met symbolen weergegeven. Dat is niet handig als het om abstracte denkhandelingen gaat. Kinderen in groep 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten Kinderen in groep 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten

    Tooltiptekst:
    Mussen, P.H., Conger, J.J. & Kagan, J., (1970). Child Development and Personality. New York, etc.: Harper International.
    Eind tooltiptekst.

  • .2.2 De gebruikelijke getallenlijn

      Splitsen om 10 met dakjes

    Afbeelding 9.


    tellend_optellen_getallenlijn_denken begin
    Concreter dan het rijgen en de dakjes is de getallenlijn. De getallenlijn verleidt het kind tot de vorige leerfase: tellend optellen. Dat tellend optellen is nu net het probleem. Zoals reeds gezegd denken kinderen in groep 4 nog intuďtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten (Mussen et al. 1970). Dat zal zeker gelden voor tellers die nog denken dat rekenen gewoon Iene miene mutte is. Toch toont de getallenlijn (afb. 14) breken om 10 met abstracte symbolen. Namelijk symbolen voor de ingewikkelde breekhandelingen en de aantalrelaties. Ook de pijlen voor de handelingen zijn abstracte en riskante symbolen. Afbeelding 10 toont hoe men dat splitsen om 10 met de getallenlijn onderwijst.