4 Denkend optellen

Door denken gaan kinderen rekenen

Optellen tot 10 maar niet met je vingers, niet met je ogen maar door te redeneren met de eigenschappen van de getallen.

rekenen, getalllen, basisschool, optellen, getalbegrip

www.humanefficiency.nl/rekenen/
denkend_optellen.php
ISBN:9789080842304
05 Dec 23
©

4.1 Wat is Denkend optellen?
4.2 Denkend optellen in het leerproces
4.3 Hoe toon je Denkend optellen?
      1 Passen passen meerlingen bij denkend optellen?
      2 Passen stippen met omdraaiers bij denkend optellen?
      4 Passen stippen met 1-erbij-opgaven bij denkend optellen?
4.4 Hoe vertel je Denkend optellen?
      1 Past het woord meerling?
      2 Past het woord 1-erbij?
4.5 Denkend optellen en denken?
      1 Past een omdraaier bij denkend optellen?
      2 Past 1-erbij bij denkend optellen?
      3 Past een opgaventabel bij denkend optellen?

4.1 Wat is Denkend optellen?

De vorige hoofdstukken bespraken het bepalen van een aantal, door tellen of door het patroon van het aantal te herkennen. Dit hoofdstuk gaat vooral over optellen. Maar dan zónder tellen en eigenlijk ook zonder visuele ondersteuning. Je rekent dan door met de eigenschappen van de getallen te redeneren. Die redeneerhandelingen verkorten zich dan steeds meer. Dát is dus automatiseren. Je rekent dus in je hoofd. Dat is een ander proces dan memoriseren.

4.2 Denkend optellen in het leerproces

Het woord aantalgetal staat niet in het woordenboek

(Geerts & Heestermans, 1984).

Maar aantalgetallen bestaan wel. Daar draait eigenlijk zelfs alles om. Een aantalgetal is een precieze hoeveelheid volgens een gelijke maat (kardinaliteit). De stap van visuele optelpatronen herkennen naar abstracte getalregels toepassen is nogal groot. Gelukkig is het wel mogelijk die getalregels te visualiseren. Met leerbladen en tafelstickers kunnen de kinderen deze regels zelf ontdekken.

Die eigenschappen van aantalgetallen ontstaan doordat het volgende getal 1 meer is dan het vorige getal. Dat is bij volgordegetal niet zo. Daarom is het verschil tussen aantalgetal en volgordegetal zo belangrijk. Dáárdoor is 2 dus 2 maal zoveel als 1 en daardoor is 1+2=3. En 5+4=9 want 4+4=8, en dan nog een erbij. Nu kunnen dieren redelijk omgaan met hoeveelheden maar aantalgetal snappen ze niet

(Nieder, 2019).

Voor de duidelijkheid nog even de verschillen tussen volgordegetal en aantalgetal.

De ploeg die twee doelpunten scoorde, heeft tweemaal meer doelpunten dan de ploeg die maar één doelpunt scoorde.
In een nieuwbouwwijk met 100 huizen even breed, ligt huisnummer 50 op de helft.
Een man van 2 meter is tweemaal langer dan een kind van 1 meter.
Als de psychologie IQ als aantal-getal zou kunnen meten, dan zou wel eens kunnen blijken dat de vrouw met een volgorde-IQ van 100, dat nu gebruikelijk is, in werkelijkheid een aantal-IQ van 51 heeft.

4.3 Hoe toon je Denkend optellen?

Met kijkend optellen kan het kind zuiver visueel door patroonherkenning aantallen tot 10 optellen. Noem het desnoods intuïtief. (Tel)woorden en redeneringen zijn in principe niet nodig.

Bij denkend optellen is het kind zich wél bewust van de expliciete redenering. Dat is overigens nogal wat voor een achtjarige. Die redeneringen zijn met name omdraaiing van termen (2+6=6+2) en 1-erbij (4+5=4+4+1).

4.3.1 Passen passen meerlingen bij denkend optellen?

Een meerling is een opgave met 2 gelijke termen, 4+4 bijvoorbeeld. Meestal noemt men dat een 2-ling-som. Meerlingen zijn geen echte eigenschappen van getallen maar meer een toevallige overeenkomst. Wel opmerkelijk is dat meerlingen de eerste opgaven zijn die kinderen en apen automatiseren (4+4, 5+5)

(Nieder, 2019).

. Meerlingen zij zo een eerste stap naar het aantalgetal en weg van het volgordegetal, weg van het tellen. Het alfabet en Iene, miene, mutte hebben geen meerlingen.

3+3: 89% goed, 6.3 s., 0% weet niets, 18 opgaven, 18 4
4+4: 100% goed, 3.5 s., 0% weet niets, 18 opgaven, 18 4
5+5: 100% goed, 4.2 s., 0% weet niets, 36 opgaven, 18 4

Waarom meerlingen eenvoudig zijn is niet helemaal duidelijk. Mogelijk omdat je maar twee getallen hoeft te onthouden: de term(en) en de uitkomst. De twee termen gelden voor het geheugen als één. Ook kan het Gestalt principe symmetrie een rol spelen.

1) Passen meerlingen in de klas?

Stickers van meerlingen kunnen aan de getallenlijn (afb. 56). Je hebt dan gelijk de tafel van 2 in de ogen en in de hoofden gesmokkeld.

Afbeelding van meerlingen

Afbeelding 56.
©
Gebruik voor niet
commerciële
doelen en met
bronvermelding
toegestaan.

4.3.2 Passen stippen met omdraaiers bij denkend optellen?

Een echte abstracte rekenhandelingen is de toepassing van de commutatieve wet: 2+7=7+2. In kindertaal: Met de grote beginnen (te tellen) mag of: Omdraaien (van termen) mag. In de taal mag dat omdraaien overigens niet: kap is niet hetzelfde als pak.

De omdraai’truc’ is voor de teller erg aantrekkelijk omdat dit telwerk scheelt. Niet eens zozeer bij 2+9. Maar wel bij 2+19 en ook bij 2+29. En de ’moeilijke’ 2+99 kun je dan met omdraaien ineens ook uitrekenen. Verder is de wet eenvoudig concreet te tonen. Ook is de omdraaier een eerste stap uit het tellend optellen .

Passen omdraaiers de kinderen?

	43% goed,	10.4 s.,	20% weet niets,	49 opgaven,	10	3
	81% goed,	10.7 s.,	2% weet niets,	90 opgaven,	10	4

Afbeelding 57 toont de omdraaier overtuigend. Laat het kind vertellen wat er gebeurt, dat voorkomt tellen. Bij kleine aantallen hoeft het kind niet te tellen want die zijn klein, goed gegroepeerd en passen binnen het oogfixatieveld.
Een draaiende omdraaier

Afbeelding 57.
Het kind ziet de omdraaiing en ziet ook dat het aantal van de uitkomst niet verandert. Het omdraaien is in de klas eenvoudig zonder woorden te tonen zoals de psychologie dat graag wil. Gewoon niets zeggen en afbeelding 58 een tijdje op het digiboard laten staan.
Laat het kind kijken naar de animatie van afbeelding 58.
Je kunt gewoon je mond houden en een sticker met een omdraaier aan de getallenlijn hangen (afb. 59).

9

Een omdraaier met
stippen aan
de getallenlijn

Afbeelding 59.

4.3.4 Passen stippen met 1-erbij-opgaven bij denkend optellen?

Vanuit meerlingen kan het kind de uitkomst van een 1-erbij-opgave afleiden. 5+4 is dan: 4+4 (weet ik)+1=5. Die 1-erbij-opgaven blijken nog lastig voor de kinderen. Je kunt je wel afvragen of een teller deze abstracte handeling kán begrijpen. Met 1-erbij weet je immers ook niet wat de uitkomst is van miene + miene en zeker niet van miene + miene + iene. Maar goed, dan eerst maar als truc. Als het kind maar niet telt.

Passen 1-erbij-opgaven de kinderen?
79% goed, 11 s., 38% weet niets, 48 opgaven, 10 3
73% goed, 12 s., 0% weet niets, 80 opgaven, 18 4

De 1-erbij-truc is in ieder geval wel goed af te beelden (afb. 60). Dus groen voor de meerlingen, één meerling donkergroen en de andere meerling lichtgroen. De ene stipo die overblijft blauw, dat is dus, die ene 1-ling.

Herkennen van 1-erbij patroon met aantal

Afbeelding 60.
©
Gebruik voor niet
commerciële
doelen en met
bronvermelding
toegestaan.

4.4 Hoe vertel je Denkend optellen?

Je kunt het denken van het kind sturen met afbeeldingen maar ook met woorden. Dat is overigens wel erg lastig

(§ ).

Vooral het kiezen van het juiste en het duidelijkste woord blijkt lastig.

4.4.1 Past het woord meerling?

Opgaven als 4+4 noemt men wel 2-ling-sommen of dubbel-sommen.

Het woord 2-lingsom voor opgaven als 2+2 is verwarrend want 2 + 2 is geen 2-ling maar de opgave toont twee 2-lingen. Zo is 4+4 niet een 2-ling maar het zijn twee 4-lingen. Het juiste woord is eigenlijk meerling. Volgens het woordenboek is een meerling een aantal nakomelingen uit één dracht. Niet alleen 2-lingen maar dus ook 3- en 4-lingen.
Meerlingen komen voor in de kindrealiteit. Ten eerste natuurlijk als 2-lingen maar je kunt gemakkelijk een relatie leggen met huisdieren die meer dan 2 jongen hebben. Zo zijn er verder veel dubbele lichaamsdelen en elk normaal voertuig heeft meer-lingen (wielen dus). Zitten de 20 kinderen in de klas in groepjes van 4 dan is 5 meerlingen een dagelijkse realiteit. Of misschien wel 4½ 4-lingen als er 18 kinderen in de klas zitten.
Bovendien komen er nog lastige meerlingen aan zoals maal, keer en vermenigvuldigen.
Verder ben je met het woord meerling af van het probleem of je bij 4x3 nu 4 zitplaatsen met 3 poten of 3 zitplaatsen met 4 poten hebt? Zeg aanvankelijk gewoon 3x4-lingen. Die lingen, ja dat kunnen dan keukenstoelpoten, kinderenpoten of kittenpoten zijn.
Openbaar voor het kind dat de taal ’meerlingen’ vaak achter een ander woord verbergt.
-tje (Een één - tweetje bij het voetballen.
Een paar(tje), met zijn tweeën of tweetjes.
Dubbel(spel), (artisten)duo.
Een huisnummer met de toevoeging bis en een (fiets)tandem.
Ook voor 3-lingen, 4-lingen, 5-lingen, etc.-lingen zijn er synoniemen.

Interessant is ook dat er 0-lingen zijn. Niet in het woordenboek maar wel in de getallenwereld en in de kindwerkelijkheid, bijvoorbeeld die 4 lege tafeltjes in de hoek. Introduceer de 0-ling eventueel met de denkvraag: Hoeveel kinderen heeft een moeder met een 1-ling en een moeder met een 0-ling?

4.4.2 Past het woord 1-erbij?

De 1-erbij-handeling is goed te verwoorden vanuit meerlingen. Moedervijf heeft 5 kinderen waarvan twee 2-lingen en een 1-ling. Je hebt dan een concrete verwoording voor de aantalstructuur 5. Die kun je bovendien eenvoudig afbeelden (afb. 61).

1-erbij: 3+3+1=6+1

Afbeelding 61.

Het woord 1-erbij-opgave is overigens ongebruikelijk. Maar met 1-erbij zeg je duidelijk wat het kenmerk is van deze opgaven. Een van de termen is namelijk 1 meer dan de andere term. En 1-erbij is verder de uit te voeren handeling, namelijk bij de uitkomst van een opgave die je weet (4+4) 1-erbij doen.

Maak deze opgaven eventueel spannend met: Wat is de geheime opgave die bij deze 1-erbij-opgave hoort? Maak er een denkopgave van: Weet je nog een andere gemakkelijke som bij 8+7 (7+7+1 en 8+8-1)? Misschien wel 8+7=8+2+7-2? Met stippen is dat gemakkelijk te zien en te verwoorden (Welke stippen schuif jij?

4.5 Denkend optellen en denken?

Instampen, memoriseren en werkbladen zijn gebruikelijke methoden om optelopgaven te 'leren'oplossen. Paragraaf

§ 10.3.1

gaat daar dieper op in.

Bij het leren rekenen gaat het niet om dit soort puntkennis: zoals het koppelen van het juiste Nederlandse woord aan het woord daarvoor in een vreemde taal

(§ 9.2.1)

. Bij het leren rekenen gaat het ook niet om lijnkennis zoals volgordegetal en tellen

(§ 9.2.2

Bij het leren rekenen gaat het om veldkennis

(§ 10.5.3

). Dat is het vinden van een oplossing voor een rekenopgave. Dat is dus niet herinneren maar vinden (heuristiek,

). Dat zelf ’vinden’ en gebruiken van omdraaiers, van 1-erbij en van n+1 kan met leerbladen

(§ 10.3.8).

4.5.1 Past een omdraaier bij denkend optellen?

Afbeelding 62 is een voorbeeld van een niet visueel maar denkend. Belangrijk is dat het opgavepaar binnen het oogfixatieveld staat

(§ 10.1.2

). Het kind ziet dan beide opgaven en beide uitkomsten tegelijk.

Zeg niet: Kijk de uitkomst is steeds gelijk. Houd je mond. Gun het kind zelf de ontdekking en wacht tot het kind zegt: Ha, ha, dat is gewoon hetzelfde. Stel vervolgens de denkvraag. Ja, heel slim. En waarom is dat zo?Dat is rekenen, dat is fun, dat is denken. Stuur eventueel een beetje met: Lees alle uitkomsten eens achter elkaar op.

3+1=
1+3=

2+5=
5+2=

6+3=
3+6=

Leerblad voor
omdraaiers

Afbeelding 62.

http://www.rekenhaas.nl/r5.php

Naar deze opgaven

4.5.2 Past 1-erbij bij denkend optellen?

Met een leerblad (afb. 63) kun je het kind de 1-erbij-handeling zelf laten ontdekken. Let wel, de eerste opgave van een paar heeft al een uitkomst. Dit geeft minder belasting en fouten en dit vergroot zo de kans dat het kind de handeling ontdekt.

1+1=2

1+2=

2+2=4

2+3=

3+3=6

3+4=

4+4=8

4+5=

etcetera.

Een leerblad voor Eén-erbij-opgaven

Afbeelding 63.

4.5.3 Past een opgaventabel bij denkend optellen?

De opgaventabel van afbeelding toont eigenlijk niet één getallenlijn maar bestaat uit twéé lijnen loodrecht op elkaar. Dat is een eerste snipper naar een 2D-veld. Die 2D-velden komen bij het rekenen aan de orde bij het (aantal)getallen-100-veld, bij plaatswaarde, bij de analoge klok, bij oppervlak en landkaarten. Ook in de kindrealiteit komen 2D-velden voor: Boter kaas en eieren, een dambord en een schaakbord. Dit veldafbeelden en dit velddenken met getallen komt nog uitvoerig aan de orde

(§ 10.5.3

Ook de omdraaiers zijn te zien. Laat het kind de omdraaiers verbinden.
Laat het kind de meerlingen een eigen kleur geven.
Ook zijn er regelmatigheden in de diagonalen van meerlingen en Eén erbij opgaven (1+2=3, 2+3=5, 3+4=7).
Bij 5+4 zijn dat onder anderen: 5+4=10-1=9 en 5+4=4+4+1=9.

Op een gegeven moment zie je het kind ’doorbreken’ op een zo’n tabel: Verrek, het is er steeds één meer. Kijkt het kind verder dan zijn neus breed is dan kan het de 1-erbij-handeling ontdekken. He, de volgende is gewoon steeds 1 meer. En dan natuurlijk de denkvraag: Heel slim ontdekt! Hoe komt dat?

1+1=	1+2=	1+3=	1+4=	1+5=	1+6=
2+1=	2+2=	2+3=	2+4=	2+5=	2+6=
3+1=	3+2=	3+3=	3+4=	3+5=	3+6=
4+1=	4+2=	4+3=	4+4=	4+5=	4+6=
5+1=	5+2=	5+3=	5+4=	5+5=
6+1=	6+2=	6+3=	6+4=

Aantalgetal zichtbaar in een opgaventabel

Afbeelding 64.

Een opgaventabel toont een veldkenmerk van getallen

(§ 10.5.3

, afb. 64). De regelmaat in de opgaven en de uitkomsten komen dus via het oogfixatieveld in het werkgeheugen. De opgaven en de uitkomsten moeten dus dicht bij elkaar staan. Veldkennis en veldmethoden zijn een andere soort getalkennis dan lijnkennis zoals tellen. Een opgavenveld als in afbeelding 64 toont ook dat er méér richtingen zijn. De kennis is niet alleen horizontaal: De rechter is één meer dan de linker, zoals bij de getallenlijn. De kennis is ook verticaal.

Opgaventabellen zijn fun, zo is mij gebleken. Het kind heeft autonomie want het kan zelf opgaven kiezen. Er valt van alles te ontdekken. Met het invullen verschijnt iets moois, iets dat klopt. Houd je mond. Gun het kind ’zelf’ de fun van die ontdekkingen.

Lukt het niet. Houd dan nog steeds je mond. Geef geen uitleg. Plak de opgavenjtabel op het tafeltje van het kind. Vraag het kind elke dag één opgave (zonder tellen) uit te rekenen. De ogen zien dan op een gegeven moment de n+1 patronen.

Andere hoofdstukken

0 De hoek waar deze wind uit waait

1 Rekenvoorwaarden

2 Tellend optellen

3 Kijkend optellen

4 Denkend optellen

5 Nul

6 Plaatswaarde

7 Breken om 10

8 Ruilen van 10

9 Getalkennis

10 Psychologiekennis

11 Statistieken

12 Literatuur

13 Index

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.