Hoofdstuk 9 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 dec. 2022.

getal_kennis

9 Getalkennis

Aantalrelaties beheersen met lijnen en velden

Rekenen is aantallen zo ordenenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona.

9.1 Welke Getalkennis

Hoe kun je getallen beheersen?

9.1.1 Realistisch rekenen

Je kunt getallen leren beheersen met Realistisch rekenen. ’Realisme’ is populair als het gaat om het tonen van complexe informatie. Zo tonen ontwerpers informatie op schermen graag met realistische plaatjes.

Dat is psychologisch gezien riskant (

noot 1). Verder is soms juist de onzichtbare wereld interessant.

Ook bij het leren rekenen is er Realistisch rekenen. Begrijpelijk want bij getallen gaat het vaak om relaties die je niet kunt zien. Zo kun je het rekenen realistisch tonen zoals in afbeelding 109.

De opgave 27+18 realistisch

De lastige breek om 10 handeling of de lastige ruilhandeling met 10 eenheden is niet te zien en niet te lezen (7+8=(7+3)+5). De visuele afstand tussen de op te tellen getallen is groot.

Afbeelding 109.

Realistisch rekenen brengt de realiteit in de rekenles. Realistisch rekenen geeft decoratie en context. Die context is overigens niet nodig om de opgave te begrijpen en uit te rekenen, zoals

Schmeier (2019)

terecht opmerkt.

Een risico is dan dat de ogen en de hersenen het zo druk hebben met het verwerken van alle informatie, dat er onvoldoende capaciteit over is om te zien waar het eigenlijk om gaat en om de rekenopgave te maken. Naast zichtbare realiteiten zijn er overigens ook realiteiten in de vorm van woorden die het kind buiten de klas hoort.

Je kunt het ook omdraaien. Je brengt dan niet de realiteit in het rekenen maar het rekenen in de realiteit. Daarbij gaat het niet alleen om de visuele realiteit zoals: Ah, dit is een getallenlijn aan de muur van de klas. Kindrealiteit is: Kijk, buiten op de kerktoren, daar staat ook een getallenijn (de klok). Hier 29 voorbeelden van deze interpretatie van de ’kindrealiteit’.

9.1.2 Traditioneel rekenen

De praktijk zag het realistische rekenen toch niet zo zitten. Het Traditioneel rekenen was de reactie. Dat werd wel ingevuld als: Instamprekenen

(§ ).

9.2 Rekenen is veldkennis

Voor de psychologie zijn ’realistisch’ en ’traditioneel’ moeilijk te vertalen naar psychologische handelingen en neurologische processen. Bovendien is het voor de psychologie lastig dat realistisch en traditioneel rekenen niet precies aangeven, om welke kennis het eigenlijk gaat. Daarom eerst de vraag: Wat is die Getalkennis nu eigenlijk?

Nu zijn getallen en rekenen bedenksels van de mens. De geschiedenis van de getallen toont dus hoe getalkennis geëvolueerd is en wat getallen eigenlijk zijn. Daarom hier veel geschiedenis van de getallen.

Verder is er natuurlijk de cognitieve psychologie. Met name de cognitief ontwikkelingspsycholoog Piaget heeft met zijn kennisleer goed gekeken hoe de ontwikkeling van getalbegrip bij kinderen verloopt

(Piaget, 1970).

9.2.1 Past puntkennis bij getallen?

Bij kinderen begint de ontwikkeling van getalkennis met de rekenvoorwaarden (§ 1). Bij de Rekenvoorwaarden gaat het vooral om de woordenschat voor hoeveelheden (meer, minder, etc.). Dat soort (woord)kennis heet hier puntkennis. Daarbij gaat het om hoeveelheden en nog niet om preciese hoeveelheden: getallen.

9.2.2 Past puntenkennis bij getallen?

De volgende stap op de getalkennisladder is niet meer woordenschat maar het maken van een hoeveelheidsvergelijking: Welke is meer/zwaarder/donkerder etc. Het gaat dan om twéé punten die een hoeveelheid van een bepaalde eigenschap hebben.

Puntkennis is nog steeds een rekenvoorwaarde. Je kunt met die kennis nog niet met getallen rekenen.

9.2.3 Past volgordelijnkennis bij getallen?

Als je drie punten hebt, dan kun je die punten op lijn zetten, een volgordehoeveelheidslijn dus. Het linker punt is minder dan de volgende. Hóéveel het volgende punt precies meer is dan de vorige, ja dat weet je niet. Afbeelding 110 toont wel dat de volgende haas groter is dan de vorige maar hóéveel een haas groter is dan de volgende, ja dát weet je niet.

Volgordelijn, ordening op basis van hoeveelheid

Afbeelding 110.

Het rekenonderwijs kent volgordelijnafbeeldingen als de getallenlijn en het tellen. Verder kent rekenonderwijs het lijnen van handelingen in algoritmen, bijvoorbeeld voor het rijgen bij breken en bij optellen met plaatswaarde.

9.2.4 Past aantallijnkennis bij getallen?

Een aantalgetallenlijn verschilt sterk van een volgordegetallenlijn. Als je een lijn met aantallen hebt dan weet je wél hoeveel het ene punt meer is dan het andere. Je kunt ook zien dat er een punt op de lijn ontbreekt. Je weet ook hoe groot het ontbrekende punt moet zijn.

Aantallijn,
ordening op basis van aantal

Afbeelding 111.

Met aantallijnen kun je dus wel gaan rekenen. Op een aantalgetallenlijn is 4 namelijk wél gelijk aan 2+2. Dit cruciale en lastige verschil tussen hoeveelheidsvolgorde en aantalvolgorde komt uitvoerig aan de orde in

§ 4.1

Voor het woord aantallijn zijn in de realiteit vele synoniemen in gebruik. Om aan te sluiten bij de kindrealiteit en om het begrip aantallijn aan te brengen is het goed te onthullen dat die verschillende woorden gewoon verbergen dat het allemaal aantallijnen zijn.

Ganzenbord en mens-erg-je-niet zijn lijnspelen. Het zijn namelijk lijnen met ganzen en lijnen met pionnen. Het zijn eigenlijk dus geen bord/veldspelen.
Lengtelijnen zijn:
Stok (textielmeetstok op de markt).
Kilometer (Een kilometer is niet één meter zoals meter suggereert, maar het is een lijn met 1000 meters.) . Verder is de kilometer geen opmeter van kilo’s maar 1 000 meters. De kilometerteller meet de kilo’s overigens niet en telt ze ook niet maar berekent de snelheid. Oh ja, het woord voor duizend is dan ineens kilo.
Lat (meetlat).
Liniaal.
Lint (meetlint).
Maat (rolmaat).
Meet (rolmaat maar meetlint).
Centimeter (In de naaikist van oma. Let op, het is er niet één maar het zijn 100 centimeters.).
Tijdlijnen zijn:
Klok.
Wijzerplaat (En wel een nogal ingewikkelde lijn: niet één rechte lijn maar twéé ronde lijnen op elkaar. Een voor de uren en een voor de minuten.).
Digitale klok.
Loper (zandloper).
Wekker. (Een urenbellijn).
Gewichtslijnen zijn: brug (weegbrug) en schaal (weegschaal).
En dan hebben we verder nog:
Pas (waterpas).
Thermometer. Let op, dit is niet 100 cm maar een opmeter.).
Roos. (Geen bloem maar kompasroos of een schietschijfroos op een dartboard.)

Best lastig eigenlijk allemaal. Niet zozeer een het begrip lijn maar die verschillende woorden daarvoor.

9.2.5 Past veldkennis bij getallen?

Niet de biologische evolutie maar de mens zelf maakte de volgende sprong in de evolutie van de getalkennis. Het getallengenie Descartes kwam met een voltreffer: het kardinale stelsel

(Bos & van Ruler, 2010).

Zet twee aantalgetallenlijnen loodrecht op elkaar en je hebt het 100-veld

(§ 6.5.4

Als je twee aantalgetallenlijnen loodrecht op elkaar zet dan toon je duidelijk de 2D structuur waar de getallen tot 100 goed inpassen en waarin hun kenmerken duidelijk te zien zijn (het 100-veld). In zo’n veld kun je verder een goede afbeelding maken van allerlei getalsrealaties als tweelingen, tientalligheid, plaatswaarde, breken om 10, ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental en vermenigvuldigen. En, niet te vergeten van nul. Met lijnafbeeldingen zoals de (volgorde)getallenlijn is dat lastiger.

In de realiteit zijn er aantallijnen maar ook aantalvelden. Ook bij aantal verbergen synoniemen vaak dat het gewoon om een aantalgetallenveld gaat. Ook hiervoor geldt dat je de aantalgetallenvelden in de kindwerkelijkheid moet onthullen. Zo kunnen de kinderen begrip krijgen van een aantalgetallenveld als hulpmiddel bij het ordenen van aantallen in de realiteit. Er zijn allerlei hoeveelheidsvelden in de kindwerkelijkheid.

100-veld.
Analoge kmh-teller.
Grafieken.
Heuristische overzichten.
Lusabacus.
MAB-100-plak.
Onder elkaar zetten van op te tellen termen.
Oppervlak.
Plattegrond met realistische afstanden.
Tijd (minuten/uren/, dagen/week/maand, tijdgrafiek), veldklok (een 100-veld als klok).
Veld(bord)spelen: Boter-kaas-en-eieren, dammen, schaken en Stratego.

Best lastig eigenlijk allemaal. Niet zozeer een aantalveld maar die verschillende woorden daarvoor.

Deze tellers, overzichten, vlakken, gronden, bladen, tabellen, patronen, platen en borden, het zijn allemaal velden waarmee je een werkelijkheid ordent. Het woord verschilt maar het zijn allemaal gewoon twee aantallijnen in een hoek van 90°. Net als het 100-veld. Deze aantalvelden zou je dus tegelijk of vlak na de introductie van het 100-veld aan de orde kunnen stellen. Je onderwijst dan niet zozeer het trucje van het 100-veld maar het onderliggende ’velddenken’ van Descartes.

Met dat velddenken kunnen kinderen aantalwerkelijkheden herkennen. De volgende stap is natuurlijk zelf een werkelijkheid in een aantalveld ordenen. Bijvoorbeeld de kinderen van de klas op een 100-veld met horizontaal de leeftijdlijn en verticaal de lengte van het kind. Of een honderdveld met daarop de adressen van de kinderen. Een plattegrond dus. Of een eerste stap van het 100-veld naar het klokkijken (afb. 112).

Klok(100-)veld

Afbeelding 112.

www.rekenhaas.nl/d1p.php

Met klik naar deze sommen.

uren
minuten
school
slapen

Leeg urenveld, kleurplaatversie:
www.rekenhaas.nl/pictures/
urenveld_dag_leeg.jpg

9.2.6 Past veldenkennis bij getallen?

Na 2D begint het rekenen echt leuk te worden. In de eerste plaats natuurlijk de getallen boven 99. Maar ook het lastige klokkijken en de kalender zijn ingewikkelde getalsrelaties in de kindrealiteit. Maar je kunt die ingewikkelde getalsrelaties goed beheersen als ze afgebeeld worden als combinaties van 100-velden. Het aantal rijen en kolommen verschil soms een beetje. Dat is alles. Met voor elke dag van de week een vel met afbeelding 112 heb je een 3D-weekagenda.

In het rekenonderwijs noemt men veldkennis en veldenkennis wel ruimte (meetkunde). Bij het ruimte-onderwijs ligt het accent op 2D en 3D-meetkunde met kegels en cylinders.

Daarbij gaat het ook om gebogen velden. Gebogen velden zijn heel lastig. Kinderen kunnen er niet mee rekenen en kunnen hun kindrealiteit er ook niet echt mee vereenvoudigen. Dit meetkkundige ’ruimte’ denken leidt ook tot een cylinder-vormige 1 liter maatbeker. Vanuit het ’veld’denken met rechthoeken kom je echter op een rechthoekig 3D-veld, een MAB-blok. Die toont de 1 000 centiliter van de liter beter.

Analoog aan MAB kun je zo de analoge klok afbeelden: Op de x-getallenlijn 24 doosjes voor de uren. Op de y-getallenlijn 60 doosjes voor de minuten, of ga inwisselen, 12 doosjes met in elk doosje 5 minutenlucifers. Op de derde lijn, de z-getallenlijn, zet je 7 doosjes voor de dagen van de week.

Dus ...

Rekenen is: een complexe aantalwerkelijkheid tonen, goed verwoorden en zelf ordenen met punten, lijnen en velden. Het volgende hoofdstuk vertelt wat de ogen, de taal, het werkgeheugen en de hersenen vinden van dat veld-gedoe.

Voetnoten: