getal_kennis

9 Getalkennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/getal_kennis.php

Aantalrelaties beheersen met lijnen en velden

Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona.

9.1 Welke Getalkennis?

Hoe kun je aantallen beheersen?

9.1.1 Realistisch rekenen?

Freudenthal benadrukte in

1973

het belang van wiskunde in de werkelijkheid. De werkelijkheid is volgens hem zelfs de ruggengraat van de wiskunde. Dit leidde toen tot Realistisch rekenen. ’Realisme’ is ook populair als het gaat om het tonen van complexe informatie. Zo tonen ontwerpers informatie op schermen graag met realistische plaatjes.

Dat is psychologisch gezien riskant (

noot 1

). Verder is het soms juist de onzichtbare wereld die interessant is.

Ook bij het leren rekenen is er Realistisch rekenen. Zo kun je het rekenen realistisch tonen zoals in afbeelding 97.

De opgave 27+18 realistisch

De lastige breek om 10 handeling of de lastige ruilhandeling met 10 eenheden is niet te zien en niet te lezen (7+8=(7+3)+5). De visuele afstand tussen de op te tellen getallen is groot.

Afbeelding 97.

Dát realitsisch rekenen geeft decoratie en irrelevante context. Decoratie en context kan gemakkelijk op zich zelf staan. Er is dan geen relatie met de getallen en de handelingen daarmee. Die context is niet nodig om de opgave te begrijpen en uit te rekenen, zoals

Schmeier (2019)

terecht opmerkt. Je leukt een opgave gewoon op met toevallige realistische plaatjes. De context en de decoratie legt niet uit en stuurt de handelingen niet. Dit realisme is overigens begrijpelijk omdat de psychologie zijn kennis niet bruikbaar voor ontwerpers geformuleerd heeft

(Verhoef, 2009).

Een risico van dat soort realisme is dan dat de ogen en de hersenen het zo druk hebben met het verwerken van alle irrelevante informatie, dat er onvoldoende capaciteit over is om te zien waar het eigenlijk om gaat en om de rekenopgave te maken.

Het realisme dat Freudenthal bedoelde, is omgekeerd. De voorbeelden die hij gaf toonden onderliggende algemene wiskundige principes waarmee je schijnbaar verschillende maar wiskundige gezien identieke situatie kan begrijpen en beheersen.

Het gelijke wiskundige principe is vaak niet zichtbaar door het gebruik synoniemen. Hier staan zo’n 26 voorbeelden van onderliggende principes in de ’kindrealiteit’.

9.1.2 Traditioneel rekenen?

De praktijk zag dat realistisch opleuken van het rekenen toch niet zo zitten. Het Traditioneel rekenen was de reactie. Dat werd wel ingevuld als: Instamprekenen

(§ 10.4.1).

9.2 Rekenen als veldkennis

Voor de psychologie zijn ’realistisch’ en ’traditioneel’ moeilijk te vertalen naar psychologische handelingen en neurologische processen. Bovendien is het voor de psychologie lastig dat realistisch en traditioneel rekenen niet precies aangeven, om welke kennis het eigenlijk gaat. Daarom eerst de vraag: Wat is die Getalkennis nu eigenlijk?

Nu zijn getallen en rekenen bedenksels van de mens. De geschiedenis van de getallen toont dus hoe getalkennis geëvolueerd is en wat getallen eigenlijk zijn. Daarom hier veel geschiedenis van de getallen.

Verder is er natuurlijk de cognitieve psychologie. Met name de cognitief ontwikkelingspsycholoog Piaget heeft met zijn kennisleer goed gekeken hoe de ontwikkeling van getalbegrip bij kinderen verloopt

(Piaget, 1970).

9.2.1 Past puntkennis bij getallen?

Bij kinderen begint de ontwikkeling van getalkennis met de rekenvoorwaarden (§ 1). Bij de Rekenvoorwaarden gaat het vooral om de woordenschat voor hoeveelheden (meer, minder, etc.). Dat soort (woord)kennis heet hier puntkennis. Daarbij gaat het om woorden die te maken hebben met hoeveelheden en nog niet om precieze hoeveelheden: rekenen met aantallen.

9.2.2 Past puntenkennis bij getallen?

De volgende stap op de getalkennisladder is niet meer woordenschat maar het maken van een hoeveelheidsvergelijking: Welke is meer/zwaarder/donkerder etc. Het gaat dan om twéé punten die een hoeveelheid van een bepaalde eigenschap hebben.

9.2.3 Past volgordelijnkennis bij getallen?

Als je drie punten hebt, dan kun je die punten op lijn zetten, een volgordehoeveelheidslijn dus. Het linker punt is minder dan de volgende. Afbeelding 98 toont wel dat de volgende haas groter is dan de vorige maar hóéveel een volgende haas groter is dan de vorige, ja dát weet je niet.

Volgordelijn, ordening op basis van hoeveelheid

Afbeelding 98.

Het rekenonderwijs kent de volgordelijn als de getallenlijn en de telwoorden rij. Verder kent het rekenonderwijs het lijnen van handelingen in algoritmen, bijvoorbeeld voor het rijgen bij breken en bij optellen met plaatswaarde. Je kunt op een volgordelijn niet zien dat er een punt op de lijn ontbreekt. Je weet ook niet hoe groot het ontbrekende punt moet zijn.

9.2.4 Past aantallijnkennis bij getallen?

Bij volgordegetallen weet je dat het volgende getal meer is dan het vorige (afb. 98). Hoeveel meer dat weet je niet. De eerste en de tweede zijn niet samen evenveel als de derde. Bij aantalgetallen weet je wel hoeveel het volgende getal meer is dan het vorige (afb. 99). Een en twee is evenveel als drie. Met aantallijnen kun je dus wel gaan rekenen. Dit cruciale en lastige verschil tussenv volgorde en aantal komt uitvoerig aan de orde in

§ 4.1

Aantallijn,
ordening op basis van aantal

Afbeelding 99.

Voor het woord aantallijn zijn in de realiteit vele synoniemen in gebruik. Om aan te sluiten bij de kindrealiteit en om het begrip aantallijn aan te brengen is het goed te onthullen dat die verschillende woorden gewoon verbergen dat het allemaal aantallijnen zijn.

Ganzenbord en Mens-erg-je-niet zijn lijnspelen. Het zijn namelijk lijnen met ganzen en lijnen met pionnen. Het zijn psychologisch eigenlijk dus geen bord/veldspelen.
Lengtelijnen zijn:
Stok (textielmeetstok op de markt).
Kilometer (Een kilometer is niet één meter zoals meter suggereert, maar het is een lijn met 1000 meters.) . Verder is de kilometer geen opmeter van kilo’s maar 1 000 meters. De kilometerteller meet de kilo’s overigens niet en telt ze ook niet maar berekent de snelheid. Oh ja, het woord voor duizend is dan ineens kilo.
Lat (meetlat).
Liniaal.
Lint (meetlint).
Maat (rolmaat).
Meet (rolmaat maar meetlint).
Centimeter (In de naaikist van oma. Let op, het is er niet één maar het zijn 100 centimeters.).
Tijdlijnen zijn:
Klok.
Wijzerplaat (En wel een nogal ingewikkelde lijn: niet één rechte lijn maar twéé ronde lijnen op elkaar. Een voor de uren en een voor de minuten.).
Digitale klok.
Loper (zandloper).
Wekker. (Een urenbellijn).
Gewichtslijnen zijn: brug (weegbrug) en schaal (weegschaal).
En dan hebben we verder nog:
Pas (waterpas).
Thermometer. Let op, dit is niet 100 cm maar een opmeter.).
Roos. (Geen bloem maar kompasroos of een schietschijfroos op een dartboard.)

Best lastig eigenlijk allemaal. Niet zozeer het begrip aantallijn maar die verschillende woorden daarvoor. Maar de grootste verdienste van de wiskunde is de aantallenwereld beheersbaar maken met zijn flexibiliteit

(Freudenthal, 1973).

Daarom is het nodig de kinderen te laten zien dat er veel woorden zijn die eigenlijk allemaal getallenlijnen zijn.

9.2.5 Past veldkennis bij getallen?

Niet de biologische evolutie maar de mens zelf maakte de volgende sprong in de evolutie van de hoeveelheidskennis. Het getallengenie Descartes kwam met een voltreffer: het kardinale stelsel

(Bos & van Ruler, 2010).

Zet twee aantalgetallenlijnen loodrecht op elkaar en je hebt een 100-veld

(§ 6.5.4

Als je twee aantalgetallenlijnen loodrecht op elkaar zet dan toon je duidelijk de 2D structuur waar de getallen tot 100 goed in passen en waarin hun kenmerken duidelijk te zien zijn. In zo’n veld kun je verder een goede afbeelding maken van allerlei getalsrelaties als tientalligheid, plaatswaarde, breken om 10, ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental en vermenigvuldigen. En, niet te vergeten van nul. Met lijnafbeeldingen zoals de (volgorde)getallenlijn is dat lastiger.

In de realiteit zijn er aantallijnen maar ook aantalvelden. Ook bij aantal verbergen synoniemen vaak dat het gewoon om een aantalgetallenveld gaat. Ook hiervoor geldt dat je de aantalgetallenvelden in de kindwerkelijkheid moet onthullen. Zo kunnen de kinderen begrip krijgen van een aantalgetallenveld als hulpmiddel bij het ordenen van aantallen in de realiteit. Er zijn allerlei hoeveelheidsvelden in de kindwerkelijkheid.

100-veld.
Analoge kmh-teller.
Grafieken.
Heuristische overzichten.
Lusabacus.
MAB-100-plak.
Onder elkaar zetten van op te tellen termen.
Oppervlak.
Plattegrond met realistische afstanden.
Tijd (minuten/uren/, dagen/week/maand, tijdgrafiek), veldklok (een 100-veld als klok).
Veld(bord)spelen: Boter-kaas-en-eieren, dammen, schaken en Stratego.
Vermenigvuldigen natuurlijk.

Best lastig eigenlijk allemaal. Niet zozeer een aantalveld maar die verschillende woorden daarvoor. Net als voor lijnen geldt ook voor velden dat de grootste verdienste van de wiskunde is de aantallenwereld beheersbaar maken met zijn flexibiliteit

(Freudenthal, 1973).

Daarom is het nodig de kinderen te laten zien dat er veel verschillende woorden zijn voor eigenlijk hetzelfde: een aantalveld.

Deze tellers, overzichten, vlakken, gronden, bladen, tabellen, patronen, platen en borden, het zijn allemaal velden waarmee je een werkelijkheid ordent. Het woord verschilt maar het zijn allemaal gewoon twee aantallijnen in een hoek van 90°. Net als het 100-veld. Deze aantalvelden zou je dus tegelijk of vlak na de introductie van het 100-veld aan de orde kunnen stellen. Je onderwijst dan niet zozeer het trucje van het 100-veld maar het onderliggende ’velddenken’ van Descartes en de flexibiliteit van de wiskunde van

Freudenthal (1973).

Met dat velddenken kunnen kinderen aantalwerkelijkheden herkennen. De volgende stap is natuurlijk zelf een werkelijkheid in een aantalveld ordenen. Bijvoorbeeld de kinderen van de klas op een 100-veld met horizontaal de leeftijdlijn en verticaal de lengte van het kind. Of een honderdveld met daarop de adressen van de kinderen. Een plattegrond dus. Of een eerste stap van het 100-veld naar het klokkijken (afb. 100).

Klok(100-)veld

Afbeelding 100.

www.rekenhaas.nl/d1p.php

Met klik naar deze opgaven.

uren
minuten
school

slapen

Leeg urenveld, kleurplaatversie:
www.rekenhaas.nl/pictures/
urenveld_dag_leeg.jpg

9.2.6 Past veldenkennis bij getallen?

Na 2D wordt rekenen echt leuk. In de eerste plaats natuurlijk de getallen boven 99. Maar ook het lastige klokkijken en de kalender zijn ingewikkelde getalsrelaties in de kindrealiteit. Maar je kunt die ingewikkelde getalsrelaties goed beheersen als combinaties van (100-)velden. Het aantal rijen en kolommen verschil soms een beetje. Dat is alles.

Als je elke dag van de week op een A4-je zet (afb. 100) en je doet er een nietje door dan heb je al 3D. Als je elke week aan een waslijn hangt heb je 4D, een maand. Als je de maandwaslijnen onder elkaar hangt heb je 5D, een jaar. Als je de verjaardagen van de kinderen, Sinterklaas en de vakanties aangeeft heb je de tijdsrealiteit van het kind met een tijdsgetallenlijn beheersbaar gemaakt.

In het rekenonderwijs noemt men veldkennis en velden kennis wel ruimte (meetkunde). Bij het ruimte-onderwijs ligt het accent op 2D en 3D-meetkunde met kegels en cilinders.

Daarbij gaat het ook om gebogen velden. Gebogen velden zijn heel lastig. Kinderen kunnen er niet mee rekenen en kunnen hun kindrealiteit er ook niet echt mee vereenvoudigen. Dit meetkundige ’ruimte’ denken leidt ook tot een cinder-vormige 1 liter maatbeker. Vanuit het ’veld’denken met rechthoeken kom je echter op een rechthoekig 3D-veld, een MAB-blok. Zo’n blok toont de 1 000 centiliter van de liter beter. Verder houdt die schoolmeetkunde op bij 2D terwijl juist 3D interessant is.

De analoge klok is nogal ingewikkeld doordat deze 3D toont (uren, minuten, seconden) met drie ronde (niet rechthoekige) velden die bovendien nog eens op elkaar geplakt zijn. Je zou het analoge klokkijken misschien moeten beginnen met rechthoekige velden in een 3D ruimte. Beginnen met een 2D dagveld met uren en minuten (afb. 101) en dan op de een of ander manier de seconden als derde dimensie. Bijvoorbeeld als MAB:

Op de x-getallenlijn 60 seconden.
Op de y-getallenlijn 60 minuten.
Op de z-getallenlijn, de 24 uren.

Je kan die dimensies afbeelden in hout, zoals MAB. Je kunt nD natuurlijk ook afbeelden als een animatie op een scherm.

Dus ...

Mathematical activity is [...] an activity of organizing fields of experience
(Freudenthal, 1973).
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 123.
Met klik naar de literatuurlijst.

Het volgende hoofdstuk vertelt wat de ogen, de taal, het werkgeheugen en de hersenen vinden van dat veld-gedoe.

Voetnoten:


1)	Realisme in design. www.humanefficiency.nl/icon_design/werkelijkheid.php

Andere hoofdstukken

0 Voorwoord Meer: klik en ga naar: Voorwoord	www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwoord.php
1 Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen? Meer: klik en ga naar: Rekenvoorwaarden	www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwaarden.php
2 Tellend optellen Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes. Meer: klik en ga naar: Tellend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/tellend_optellen.php
3 Kijkend optellen Tellen op de vingers is populair. Vreemd eigenlijk. De ogen kunnen veel beter tellen en rekenen. Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/kijkend_optellen.php
4 Denkend optellen Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is heel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan. Meer: klik en ga naar: Denkend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/denkend_optellen.php
5 Nul Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Meer: klik en ga naar: Nul	www.humanefficiency.nl/rekenen/nul.php
6 Plaatswaarde Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen. Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde	www.humanefficiency.nl/rekenen/plaatswaarde.php
7 Breken naar 10 Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen? Meer: klik en ga naar: Breken naar 10	www.humanefficiency.nl/rekenen/breken.php
8 Ruilen van 10 Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. ,Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de ,kindrealiteit. Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10	www.humanefficiency.nl/rekenen/ruilen.php
9 Getalkennis Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona. Meer: klik en ga naar: Getalkennis	www.humanefficiency.nl/rekenen/getal_kennis.php
10 Psychologiekennis Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen? En hoe kunnen getallen het kind leren denken? Meer: klik en ga naar: Psychologiekennis	www.humanefficiency.nl/rekenen/psychologie_kennis.php
11 Statistieken De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’). Meer: klik en ga naar: Statistieken	www.humanefficiency.nl/rekenen/statistieken.php
12 Literatuur Meer: klik en ga naar: Literatuur	www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur.php
13 Index Meer: klik en ga naar: Index	www.humanefficiency.nl/rekenen/index_tot_alfabetisch.php

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.

9 Getal­kennis