getal_kennis Hoofdstuk 9 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 dec. 2022.

 9 Getalkennis  

 

Aantalrelaties beheersen met lijnen en velden



Rekenen is aantalsrelaties zo ordenenen dat je de wereld begrijpt, vooral de onzichtbare werelden. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn met abstract aantallen. Zijn zijn er evenveel kinderen als snoepjes. Maar dat kunnen ook grafisch verbeelde ingewikkelde aantalrelaties zijn, zoals de tijd, een hypotheek of inflatie.
   





 9.1 Wat is Getalkennis 


9.1.1 Realistisch rekenen?

Er is Realistisch rekenen. ’Realisme’ is populair als het gaat om het verbeelden van complexe informatie. Zo tonen ontwerpers informatie op schermen graag met realistische plaatjes. noot 1). De realiteit die je níét ziet, kan wel eens meer inzicht geven, dan de realiteit die je wel ziet. Ook bij het rekenen is een verbeelding van getalkennis met ’realistische’ plaatjes riskant ). Dat bleek ook riskant voor ’realistische’ verwoordingen van aantalrelaties.


9.1.2 Traditioneel rekenen?

Het Traditioneel rekenen is een reactie op Realistisch rekenen. Een betere woordkeus voor traditioneel rekenen, was misschien geweest Instamprekenen of Stimulus Respons rekenen. Tegenwoordig kan een psycholoog zich niet meer vertonen op de instamproute ). Dus hier niet traditioneel rekenen. Willem Bartjens (1604) kun je toch wel traditioneel noemen. Maar Bartjens kwam juist veel met realistische verhaalsommen en verhaaltjessommen zijn dan weer realistisch.. Een beetje verwarrend allemaal.



 9.2 Met veldrekenen  

Voor de psych­ologie zijn ’Realistisch’ en ’Traditioneel’ moeilijk te vertalen in psychologische en neurologische processen. Die vertaalproblemen gelden minder voor ’veld­rekenen’. Met getallen kun je objecten op verschillende manieren ordenen. Een heel eenvoudige ordening is een lijn met daarop punten voor de volgorde getallen, de getallenlijn.Verder een complexere ordening, zoals een getallenlijn. Een volgende stap is twee getallenlijnen loodrecht op elkaar. Dan heb je een (honderd)veld maar ook een grafiek en oppervlak. En dan nog veel complexer: drie (honderd)velden loodrecht op elkaar zoals het MAB-1000-blok en zoals 3-d-plaatsbepaling (GPS).

Rekenen is dus aantalrelaties verbeelden en verwoorden met punten, lijnen en velden. Dat is alles.


9.2.1 Puntkennis

Ten eerste moet er kennis zijn van hoeveel­heids­eigen­schappen die een object kan hebben, zoals een kleur, een dikte, een lengte en een gewicht. Die kennis is eigenlijk vooral woordkennis: weten hoe een eigenschap heet. Ook De slimste mens. spelletjes horen tot deze vorm van eenvoudige kennis. Daarbij gaat het eigenlijk niet om slimheid (intelligentie) maar om zeer eenvoudige kennis die je ook bij dieren ziet. Rekenvoorwaarden bestaan vooral uit dit soort puntenkennis ). Het stimulus-Response leren en conditioneren van de Amerikaanse psycho­logie is een voorbeeld van puntkennis (Geef poot.). De Amerikanen dachten aanvankelijk zelfs dat alle kennis puntkennis was. Toen er nog regelmatig kerncentrales ontploften omdat computers niet wisten wat zij moesten doen bij bepaalde problemen en omdat de operators het eigenijk ook niet wisten, analyseerde de Deense psycholoog Rasmussen hoe mensen denken als ze met iets heel ingewikkelds bezig zijn. De eerste kennisstap, de puntkennis, noemt hij skills. Je moet wel weten op welk knopje je moet drukken om de kern­centrale uit te zetten Rekenen wordt ook wel opgevat als puntkennis. De reken­meester gaat dan memoriseren, oefenen en herhalen om de kennis in de geheugen­lade­kast te krijgen ).


9.2.2 Puntenkennis

De volgende stap op de getalkennisladder is: twéé objecten op een rij zetten op basis van hun hoeveelheid. Gewoon hoeveel­heids­verge­lijking: Welke is meer/zwaarder/donkerder etc. Rekenvoorwaarden dus. ).


9.2.3 Lijn- en veldkennis

Als je meer punten hebt, dan heb je een lijn, een getallenlijn dus ). Getalkennis is meer veldkennis zoals het honderdveld en grafieken ). Ook de psychologische tools van de mens zijn typische veld-tools, zoals het oogfixatieveld, het werkgeheugen en het netwerk van neuronen in de hersenen. Rekenen is dus ’veldwerk’ en de mens heeft veldtools. Dat komt goed uit. Zou je zeggen.



1) Wat is lijnkennis

Na Puntenkennis wordt het lastig. Eerst komt er dan Lijnkennis: zoals de getallenlijn.

 
2) Wat is veld­kennis

Niet de evolutie maar de mens zelf maakte de volgende sprong in getalkennis. Het getallengenie Descartes kwam met een voltreffer: het kardinale stelsel . Twee aantallijnen loodrecht op elkaar. De verbeelding van dat veld is simpel: een 100-veld ).

Daardoor kon Descartes precies uitrekenen waar een kogel terecht zou komen gegeven kogelgewicht, hoeveelheid buskruit en hoek van het kanon. Dat zette hij in tabellen. Met die tabellen kon ook een onervaren kanonnier een kogel in het juiste vakje van het 100-­veld van de vijand krijgen. Om zo iets met lijndenken of ’gevoel’ voor elkaar te krijgen is heel wat lastiger. En, ook interessant als het gaat om lijnkennis, is de volgende toevoeging van Descartes: Een veelheid van regels [lijndenken] komt vaak voort uit de onervarendheid van de leraar. Oei.



3) Andere woorden voor lijnkennis

Voor de rekenmeester kan het lastig zijn dat lijnkennis meer alibi’s heeft.
Al die lijntjes geven geen inzicht. Soms is dat geen probleem zoals bij het afstemmen van zenders van een televisie. Maar dit voordeel heeft ook nadelen. Als de maker of de gebruiker van zo’n lijntje een fout maakt, dan staat de gebruiker met lege handen. Als je op weg naar Parijs één van de tientallen afslagen in je routelijntje mist, kom je niet in Parijs.


 
4) Andere woorden voor veld­kennis

Ook veld­kennis verbergt zich achter synoniemen.
  • Reken­meesters en psychologen spreken van heuristiek. Min of meer het tegenovergestelde van een algoritme. De Russische Mr. algoritme Landa, had ook in de gaten dat je er met alleen algoritmen niet komt. Nog geen twee jaar na zijn algoritme-bijbel kwam hij met een bijbel over heuristieken in het onderwijs Heuristieken zijn algemener, breder toepasbaar en kunnen leiden tot verschillende oplossingen. Maar een oplossing is niet gegarandeerd. Een voorbeeld van een heuristische regel is: Zoek een som die erop lijkt en waarvan je de uitkomst wél weet (5+4=, 4+4=8, +1=9).
  • In het rekenonderwijs noemt men veld­kennis wel ruimte (meetkunde). Bij het ruimte-onderwijs ligt het accent op 2D en 3D-meetkunde met kegels en cylinders. Daarbij gaat het ook om gebogen velden. Gebogen velden zijn heel lastig. Kinderen kunnen er niet mee rekenen en kunnen hun kind­realiteit er ook niet echt mee vereenvoudigen. Hier dus voorlopig alleen rechthoekige velden. Oh ja, die maatbeker voor 1 liter voor kinderen moet natuurijk geen cylinder zijn maar een MAB-1000-achtige kubus-vormige maatbeker.

Ruimte houdt op bij 3D. Maar eerlijk gezegd begint het na 3D pas echt leuk te worden. In de eerste plaats natuurlijk de getallen boven 999. Maar ook het lastige klokkijken en de kalender is gewoon nD.



5) Toepassing van lijnkennis

Voor het rekenen is een typisch voorbeeld van een lijnverbeelding natuurlijk de getallenlijn en een typisch voorbeeld van een lijnverwoording het rijgen ).
 
6) Toepassing van veldkennis:


Na een 2D-veld volgt natuurlijk het 3D- en het nD-veld. Dat krijgen kinderen al bij het klokkijken. Dus ...

De sommentabel, het 100-veld, de MAB-100-plak, de analoge klok, veld­bordspelen, de kalender, plattegronden allemaal hetzelfde. Allemaal net als het 100-veld: twee aantallijnen in een hoek van 90°. Allemaal ook kind­realiteit. Makkie, zou je zeggen. Van deze andere aantalvelden zou je dus tegelijk of vlak na het 100-veld snippers kunnen laten vallen. Je onderwijst dan niet zozeer deze toepassingen maar het onderliggende ’velddenken’.



7) Oogvriendelijkheid van een lijnverbeelding

Mensen kijken niet door een brievenbus naar de wereld. Het oogveld is cirkelvormig ). Slechts een deel van een (getallen)lijn past dus in het oogfixatieveld. Het grootste deel ligt er buiten.

Lijnverbeelding van getalkennis

Verbeelding 72.




 
8) Oogvriendelijkheid van een veldverbeelding

Het kan zijn dat alle elementen van een rekenhandeling in het oogfixatieveld passen, zoals bij sommen met termen onder elkaar. In een veld zijn de relaties naar links, naar rechts, naar onder en naar boven het fixatiepunt zichtbaar. Het 100-veld en sommentabellen vallen grotendeels buiten het oogfixatieveld. Dan moet het fixatiepunt verschuiven. Na een verschuiving worden andere getallen zichtbaar maar wel met dezelfde relaties ).


9) Verwoording van het begrip lijn

Overigens is de (hoeveelheids)getallenlijn één verbeelding van lijnkennis. Onthul dat de taal­meester het onderliggende principe van getallenlijnen verbergt achter steeds andere nog onbekende woorden. Allemaal andere woorden voor hetzelfde: een lijn getallen.
  • Lengtelijnen noemt de taal­meester:
    Stok (tekstielmeetstok op de markt).
    Kilometer (Een kilometer is niet één meter zoals meter suggereert, maar het zijn 1000 meters.) . Verder meet de kilometer geen kilo’s. De kilometerteller meet ze niet maar berekent de snelheid.
    Verder is duizend soms ineens kilo.
    Lat (meetlat).
    Liniaal.
    Lint (meetlint).
    Maat (rolmaat).
    Meet (rolmaat maar meetlint).
    Centimeter (In de naaikist van oma. Let op, het is er niet één maar het zijn 100 centimeters.).
  • Tijdlijnen noemt de taal­meester:
    Klok.
    Wijzerplaat (En wel een nogal ingewikkelde lijn: niet één rechte lijn maar twee ronde lijnen naast elkaar.).
    Digitale klok.
    Loper. (zandloper).
    Wekker. (Een urenbellijn).
  • Gewichtslijnen noemt hij: brug (weegbrug) en schaal (weegschaal).
  • En dan hebben we verder nog:
    Pas (waterpas).
    Thermometer. Let op, dit is niet 100 cm maar een opmeter.).
    Roos. (Geen bloem maar kompasroos of een schietschijfroos.)
    Score. (Testscore).
Deze getallenlijnen kunnen dus bij het Tellend rekenen aan de orde komen. Als je uit wilt gaan van kind­realiteit dan móéten ze misschien daar aan de orde komen. Sommigen van die lijnen misschien zelfs wel eerder, bij voorwaarden en meten ).

 
10) Verwoording van het begrip veld

Voor veld heeft de taal­meester ook synoniemen.
Bord (spel).
Grafiek.
Plaat (wijzer).
Plak, (MAB-100 plak).
Ruimte.
Tabel.



11) Werkgeheugenvriendelijkheid van lijnverbeeldingen
Een lijnverbeelding toont weinig informatie in het oogfixatieveld. Het oog moet meer maals fixeren en het werkgeheugen moet de waargenomen informatie beschikbaar houden. Dat geldt voor de verbeelding van de getallenlijn; je moet bijvoorbeeld tellen. Dat geldt ook voor een lijnverwoording zoals het rijgen. Je moet bijvoorbeeld onthouden welke stappen je gehad hebt. Bij optellen met termen naast elkaar, staan de eenheden niet bij elkaar in het oogfixatieveld en moet je deze dus in het werkgeheugen optellen.<

 
12) Werkgeheugenvriendelijkheid van veldverbeeldingen
  • Een veld heeft meer oppervlak dan een lijn. Er kan dus meer informatie in het oogfixatieveld.
  • Bovendien is het eenvoudiger de informatie in een veld oogvriendelijk te tonen dan in een lijn. Het kleinste veld heeft immers ruimte en de grootste lijn eigenlijk niet.


13) Verkortbaarheid van lijnverbeeldingen

Een lijnprocedure is per definitie niet te verkorten. Er is maar één route. Je kunt alleen de stappen sneller zetten.
 
14) Verkortbaarheid van veldverbeeldingen

In een veld zijn de mogelijke routes zichtbaar.
  • Op het 100-veld kun je lukraak visueel scannen en hopen dat je het gezochte getal snel vindt. Maar je kunt ook met 10-talligheid navigeren.
  • Een som in een sommentabel kun je op je vingers uitrekenen maar je kunt ook handig rekenen ).


15) Hersenvriendelijkheid van lijnkennis

Wat vinden de hersenen van dat lijndenken. De aanvankelijke voorkeur voor lijnkennis veranderde onlangs, zo’n 100 000 jaar geleden. Het volgende zou gebeurd kunnen zijn. Een jager met verminderde senso­motorische vaardigheden krijgt zijn speer maar niet door de huid van een wilde kip. Hij wordt gedegradeerd tot vuistbijlhakker. Na 1000 vuistbijlen hakken verloopt het hakken geheel automatisch. De te bewerken steen past gemakkelijk in zijn oogfixatieveld. Zijn werkheugen is compleet leeg. Hij mag niet meer jagen dus die frustratie in zijn hersenen verandert zijn waarneming. Die frustratie dringt voortdurend in zijn werkgeheugen. Hij hakt en ... een scherp pijlvormig afslagsel komt via zijn oogfixatieveld in zijn werkgeheugen. Verrek, wat is dat afslagsel een mooie scherpe punt. Die krijgt ik vast wél door de huid van een kip. Doordat een gefrustreerde vuistbijlhakker na 700 000 jaar verder kijkt dan zijn lijn, het hakalgoritme, breed is wordt is het kipspiezen gemakkelijker en zo de kans op overleven groter.

Er gebeurde nog zo iets. De homo erectus klom uit de bomen en ging op de grond leven. Dat is nogal wat. Zijn leefgebied werd daardoor 10x zo groot. Dat betekende onder andere dat de mens niet meer met wat routes door zijn woudje kon lijnnavigeren maar dat hij 2-d moest veld­navigeren. Het voorhoofd had dus meer ruimte nodig en kwam naar voren. De mens werd een velddenker. Hij ging verder denken dan zijn lijntje breed is.


Prefrontale cortex neemt toe

Verbeelding 73.


 
16) Hersenvriendelijkheid van veld­kennis

Net als bij het oog ontwikkelden de hersenen zich ook van lijndenken naar veld­denken. De hersenen werden, naast eventueel, een lijn-tool ook een veld­-tool.
  • Tot zo’ conclusie kwam Rasmussen ook met zijn kerncentrales. Als die dreigen te ontploffen kun je met een algoritme nauwkeurig vaststellen op welk knopje je moet drukken. Maar met duizenden knopjes red je dat waarschijnlijk niet op tijd. Na rule based behaviour (lijnkennis) kwam hij met knowledge based behaviour (veld­kennis). De operators moeten een goed, psychologisch verantwoord overzicht hebben. Ze begrijpen dan wat er aan de hand is en dan is er kans dat de hersenen een associatie maken die de oplossing voor het probleem is.
  • Later kreeg men in de luchtvaart ook door, dat steeds meer regels om het laatste ongeluk te voorkomen, ertoe leidde dat piloten met problemen, zo druk waren met checklists binnen, dat ze de berg buiten niet zagen.
  • Opmerkelijk is verder dat hoeveelheden en ruimte in de hersenen sterk verbonden zijn


17) Dus lijnkennis ...

Het rekenonderwijs heeft een voorkeur voor lijnverbeeldingen en lijnprocedures zoals: de getallenlijn, tellend optellen, rijtje sommen stampen en dreunen, telramen, werkbladen met ongeordende sommen, rijgen bij breken en plaatswaarde en algoritmische procedures. noot 2). Cultuur wil control met regels.

Psychologie­kennnis leert dat de evolutie en de hersenen niet zoveel op hebben met lijnmethoden ) en de mens voorzag van veldtools.

 
18) Dus veldkennis ...

Veldkennis is lastig voor een (reken)cultuur. De cultuur heeft minder controle.

Getalkennis is veldkennis en moet dus verbeeld en verwoord worden als veld. De belangrijkste getalkennis: tientalligheid en plaatswaarde laat zich uitstend verbeelden in velden als: 100-MAB-plak, 100-veld, grafieken, heuristische procedures. lusabacus, oppervlak, onder elkaar zetten, rekenend optellen, sluwe leerbladen, somtabellen, stipveld­en, tijd (minuten/uren/, dagen/week/maand, tijdgrafiek), veld­klok (een veld als het 100-veld) en veld­spelen (boter-kaas-eieren, dammen, schaken)

Bovendien hebben de hersenen een voorkeur voor veld­methoden en een voorkeur voor logische systemen. De hersenen ’onthouden’ niet maar redeneert terug hoe het in elkaar zou moeten zitten. Hoe logischer de het systeem, hoe eenvoudiger dat terugredeneren verloopt.

Dat hele optellen onder 100 zou voor de kinderhersenen geen trauma maar een fluitje van een cent moeten zijn.



 Andere hoofdstukken  


1 Rekenvoorwaarden

2 Tellend optellen

3 Rekenend optellen

4 Nul

5 Plaatswaarde

6 Breken naar 10

7 Ruilen van 10

8 Psychologiekennis

9 Getalkennis

10 Statistics

11 Literatuur

12 Index en woordenlijst


Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.







Voetnoten:

1) Realisme in design.
www.humanefficiency.nl/icon_design/werkelijkheid.php

2) Hoe mensen dachten, denken en gaan denken
www.humanefficiency.nl/psychologie/hoe_denken_mensen.php