Hoofdstuk 9 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 9 Getalkennis  

 

Realiteit beheersen met getallen



Rekenen is aantalsrelaties zo ordenenen dat je onzichtbare werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn met abstract aantallen. Zijn zijn er evenveel kinderen als snoepjes. Maar dat kunnen ook grafisch verbeelde ingewikkelde aantalrelaties zijn, zoals een analoge klok, een hypotheek of inflatie.
   





 9.1 Wat is Getalkennis 


9.1.1 Realistisch rekenen?

Er is Realistisch rekenen. ’Realisme’ is populair als het gaat om het verbeelden van complexe informatie. Zo tonen ontwerpers informatie op schermen graag met realistische plaatjes. noot 1). De realiteit die je níét ziet, kan wel eens meer inzicht geven, dan de realiteit die je wel ziet.Dat geldt ook voor het verbeelden van aantalrelaties met ’realistische’ plaatjes. Verbeelding van aantalrelaties in een ’realistisch’ plaatje, maakt de som niet eenvoudiger maar maakt er een zoekplaatje van Naast realistische verbeeldingen van aantallen zijn er ook realistische verwoordingen van aantalrelaties in ’reëel’ verhaaltje. Het is nog maar de vraag of die verhaaltjes leiden tot een vereenvoudiging of tot een taaltombola .


9.1.2 Traditioneel rekenen?

Het Traditioneel rekenen is een reactie op Realistisch rekenen. Een betere woordkeus voor traditioneel rekenen, was misschien geweest Instamprekenen of Stimulus Respons rekenen. Tegenwoordig kan een psycholoog zich niet meer vertonen op de instamproute (). Dus hier niet traditioneel rekenen. Willem Bartjens (1604) kun je toch wel traditioneel noemen. Maar Bartjens kwam juist veel met realistische verhaalsommen en verhaaltjessommen zijn dan weer realistisch.



 9.2 Met veldrekenen  

Voor de psych­ologie zijn ’Realistisch’ en ’Traditioneel’ moeilijk te vertalen in psychologische en neurologische processen. Die vertaalproblemen gelden minder voor ’veld­rekenen’. Met getallen kun je objecten op verschillende manieren ordenen. Een heel eenvoudige ordening, zoals een lijn met twee hoeveel­heids­punten: Het blauwe schoteltje heeft meer snoepjes dan het groene schoteltje. Verder een complexere ordening, zoals een getallenlijn. Nog complexer twee getallenlijnen loodrecht op elkaar voor een (honderd)veld. En nog veel complexer: drie (honderd)velden loodrecht op elkaar zoals het MAB-1000-blok en zoals 3-d-plaatsbepaling (GPS).

Rekenen is dus aantalrelaties verbeelden en verwoorden met punten, lijnen en velden. Dat is alles.


9.2.1 Puntkennis

Ten eerste moet er kennis zijn van hoeveel­heids­eigen­schappen die een object kan hebben, zoals een kleur, een dikte, een lengte en een gewicht. Die kennis is eigenlijk vooral woordkennis: weten hoe een eigenschap heet. Ook De slimste mens. spelletjes horen tot deze vorm van eenvoudige kennis. Daarbij gaat het eigenlijk niet om slimheid (intelligentie) maar om zeer eenvoudige kennis die je ook veel bij dieren ziet. Rekenvoorwaarden bestaan vooral uit dit soort puntenkennis ). Het stimulus-Response leren en conditioneren van de Amerikaanse psycho­logie is een voorbeeld van puntkennis (Geef poot.). De Amerikanen dachten aanvankelijk zelfs dat alle kennis puntkennis was. Toen er nog regelmatig kerncentrales ontploften omdat computers niet wisten wat zij moesten doen bij bepaalde problemen en omdat de operators het eigenijk ook niet wisten, analyseerde de Deense psycholoog Rasmussen hoe mensen denken als ze met iets heel ingewikkelds bezig zijn. De eerste kennisstap, de puntkennis, noemt hij skills. Je moet wel weten op welk knopje je moet drukken om de kern­centrale uit te zetten Rekenen wordt ook wel opgevat als puntkennis. De reken­meester gaat dan memoriseren, oefenen en herhalen om de kennis in de geheugen­lade­kast te krijgen ).


9.2.2 Puntenkennis

De volgende stap op de getallenkennisladder is: twéé objecten op een rij zetten op basis van hun hoeveelheid. Gewoon hoeveel­heids­verge­lijking: Welke is meer/zwaarder/donkerder etc. Puntenkennis is ook eenvoudige kennis en is een rekenvoor­waarde ).


9.2.3 Lijn- en veldkennis

Het rekenonderwijs is lijn-gericht, onder andere met een focus op de getallenlijn. De getallen zelf en de psycho­logie zijn meer veld­-gericht, onder andere met het 100-veld en het oogfixatieveld ). Rekenen ook zien als veld­kennis is minder gebruikelijk en daardoor ongemakkelijk. Bovendien werpt het veld­enken mogelijk meer licht op het teltrauma ). Daarom hier lijnkennis en de veld­kennis scherp naast elkaar.


1) Wat is lijnkennis

Na Puntenkennis wordt het lastig. Eerst komt er dan Lijnkennis: getallen op een rij zoals op de getallenlijn en een lineaal.


Lijnverbeelding de getallen, getallenlijn

Verbeelding 70.


Bij de rekenvoorwaarden staan de objecten nog op een hoeveel­heids­lijn (groot, groter, grootst).Je zit nog in de rekenvoorwaarden, de de hoeveelheden en niet in de aantallen ). De lijn is nog een lijn waarop de punten oplopend verschillen van hoeveelheid. Je weet dan overigens niet of groot en groter even groot is als grootst.

Dan komt er een grote getalknal. De punten op de lijn verschillen niet alleen in hoeveelheid. Ze verschillen ook volgens een vaste máát van hoeveelheid. De lijn verandert van een hoeveelheidslijn in een aantallijn. Nu is 1 plus 2 wél 3. Het rekenen verandert van volgorderekenen in aantalrekenen. En optellen verandert van Tellend optellen in Rekenend optellen. Dit is een onduidelijk maar voor het rekenen en de psycho­logie een zeer groot verschil. Daarom hier enigszins spastisch altijd duidelijk tellend of rekenend optellen en hoeveelheidsgetal of aantalgetal.

2) Wat is veld­kennis

Na Aantallijnkennis komt er weer een grote knal. De verwoording van die knal is: veld­kennis: twee aantallijnen loodrecht op elkaar. De verbeelding van dat veld is simpel: een 100-veld en een grafiek.


Die knal kwam onder andere met het getallengenie Descartes. Hij berekende waar een kanonskogel zou ontploffen en zette dat in een grafiek. Met dat veld kon hij ingewikkelde onzichtbare, interacterende, kwantatieve kogelbaanbepalers ordenen, beheersen en verbeelden. Dát is rekenen. Dát moeten kinderen leren. Gewoon het 100-veld ) en de sommentabel.


3) Andere woorden voor lijnkennis

Lijnkennis heeft voor de reken­­meester meer alibi’s.
Een algoritme geeft geen inzicht. Soms is dat geen probleem zoals bij het afstemmen van zenders van een televisie. Maar dit voordeel heeft ook nadelen. Als de maker of de gebruiker van een algoritme een fout maakt, dan staat de gebruiker met lege handen. Als je op weg naar Parijs één van de duizenden afslagen in het algoritme mist, kom je nooit meer in Parijs.


  4) Andere woorden voor veld­kennis

Ook veld­kennis komt de reken­meester tegen in andere woorden.
  • Reken­meesters en psychologen spreken van heuristiek. Min of meer het tegenovergestelde van een algoritme. De Russische Mr. algoritme Landa, had ook in de gaten dat je er met alleen algoritmen niet komt. Nog geen twee jaar na zijn algoritme-bijbel kwam hij met een bijbel over heuristieken in het onderwijs Heuristieken zijn algemener, breder toepasbaar en kunnen leiden tot verschillende oplossingen. Een oplossing is niet gegarandeerd. Een voorbeeld van een heuristische regel is: Zoek een som die erop lijkt en waarvan je de uitkomst wél weet (5+4=, 4+4=8, +1=9).
  • In het rekenonderwijs noemt men veld­kennis wel ruimte (meetkunde). Hier kiezen we vooror de term veld. Bij het ruimte-onderwijs ligt het accent op 2- en 3-d-meetkunde met kegels en cylinders. Daarbij gaat het om gebogen velden. Gebogen velden zijn heel lastig. Kinderen kunnen er niet mee rekenen en kunnen de kind­realiteit ook niet echt vereenvoudigen. Aan de gebruikelijke cylindervormige 1-liter maatbeker is moeilijker te zien dat het om 1000 cl gaat, dan aan een MAB-1000-achtige kubus-vormige maatbeker. Die rechthoekige velden (zoals MAB) zijn ook een goede verbeelding van de 10-tallige getalkennis. Hier voorlopig alleen rechthoekige ruimtes/velden zoals gewone grafieken. En dan tot slot. Ruimte houdt op bij 3-e. Voor de getallen zou het dan ophouden bij 1000. Bij n-d wordt echter het juist echt interessant.

De begrippen lijnen(assen) en velden(grafieken) zijn zowel concreter als algemener toepasbaar. Zo is een telraam en een 100-­veld niet direct meetkunde maar het zijn wel velden. De termen lijn en veld zijn ook goede voorlopers voor de ingewikkelder velden uit de kind­realiteit als oppervlaktematen, grafieken, het analoge klokveld en de kalender. Het vermenigvuldigen laat zich ook goed verbeelden als veld.


5) Voorbeelden van lijnkennis

Hét voorbeeld van een lijnverbeelding is natuurlijk de getallenijn. Deze is al uitvoerig aan de orde gekomen in . Andere voorbeelden zijn:
  • Iene, miene, mutte.
  • 1-ste , 2-de, 3-de, 4-de (volgordegetallen).
  • Lijnspelen als Ganzenbord en Mens erg je niet.
  • Het alfabet.
  • Tellend optellen (h. 2).


  6) Voorbeelden van veldkennis:

Hét voorbeeld van een rekenveld­kennisverbeelding is natuurlijk het 100-veld ) en de 100-MAB-plak. Andere voorbeelden zijn:
  • De analoge klok is moelijk aan kinderen uit te leggen. De analoge klok is ook een veld­verbeelding, net als het 100-veld. Analoog klokkijken is moeiiljk door de verhaspeling van lijnen en velden. De uren- en de minutenlijn zijn geen rechte lijn maar een kromme lijn. En die kromme líjn vormt ook nog eens een véld; een cirkel. Dat kan helemaal niet, een lijn die ook een veld is. Dat is tovenarij.

    Bovendien vormen de urenlijn en de minutenlijn niet sámen een veld zoals bij het 100-veld wel het geval is. Verder zijn het urenveld­ en de minutenveld op elkaar geplakt. We hebben het dan nog niet over de seconden, die elke seconden verspringen en daardoor zeer opvallend zijn. Het veld­rekenen suggereert als oplossing de kinderen eerst een ’normaal’ rechthoekig urenveld­ te tonen. Gewoon precies zoals het 100-veld­ dat het kind al kent ( noot 2).

Klokveld, tijden ingevuld, uren en minuten eigen kleur

Verbeelding 74.

Klokveld, slaap- en
schooltijd ingevuld
Opzet gelijk aan die van het 100-veld.

Verbeelding 75.


Deze ingevulde dagagenda:

Lege in te vullen dagagenda:


Dus ...

De sommentabel, het 100-veld, MAB, de analoge klok, veld­bordspelen, de kalender, plattegronden allemaal hetzelfde. Allemaal net als het 100-veld: twee aantallijnen in een hoek van 90°. Allemaal ook kind­realiteit. Makkie, zou je zeggen. Deze andere aantalvelden zou je dus tegelijk of vlak na het 100-veld aan de orde kunnen stellen. Laten we maar zeggen, theoretisch, althans, voorlopig.


7) Oogvriendelijkheid van een lijnverbeelding

De primaire taak van het oog is: Permanent opletten of er gevaar dreigt. Dus geen lijnwaarneming maar veld­waarneming: het veld overzien. Geen oogfixatielijn maar een cirkelvormig oogfixatieveld. Niet één oog maar twee, een voor het linker veld en een voor het rechter veld. Een (getallen)lijn past slechts voor een deel in de (oogfixatie)­cirkel en die cirkel is dan nog grotendeels leeg. Een beetje als de voet van Klein duimpje in de schoen van de reus: een deel van zijn voet past wel in de schoen van de reus en er is nog plaats over. Dat loopt niet handig en hard.


Lijnverbeelding van getalkennis: "Het volgende getal is het vorige getal +1."

Verbeelding 76.




  8) Oogvriendelijkheid van een veldverbeelding

Dat oogfixatieveld komt goed uit. Het oog is een veld­-tool. Concrete aantallen zijn goed concreet te verbeelden in een veld, bijvoorbeeld dobbesteenstippen. Abstracte aantallen in de vorm van cijfers, zijn ook goed te verbeelden in een veld, bijvoorbeeld het 100-veld.

De reken­meester moet wel sluw bepalen hoe hij dat veld ontwerpt. Zo zijn er bij het 100-veld en plaatswaarde nogal wat verbeeldings­varianten. De varianten verschillen in de mate waarin psychologie­kennis en getalkennis in het ontwerp toegepast is en zo het kind verleidt de nieuwe, gewenste handeling uit te voeren. De ogen en het werkgeheugen zitten eigenlijk een beetje verveeld te kijken wat er allemaal toch gebeurt. Maar de hersenen moeten, of ze nu willen of niet, de informatie koppelen aan kennis die in de hersenen aanwezig is. Daarbij zoeken de hersenen gevaar en structuren want dan wordt alles gemakkelijker. Ze vinden dan bijvoorbeeld: 5+4=9, want .... En het kind? Het kind zegt ineens Verrek ..... Dat is fun. Wel hopen dat de reken­meester even zijn mond weet te houden zodat het werkgeheugen zijn werk kan doen.


9) Verwoording van lijn

Overigens is de (hoeveelheids)getallenlijn één verbeelding van lijnkennis. In de kinderrealiteit zijn er meer getallenlijnen. Onthul dat de taal­meester andere getallenlijnen verbergt achter onbekende woorden.
  • Lengtelijnen noemt de taal­meester:
    Stok (tekstielmeetstok op de markt).
    Kilometer (Een kilometer is niet één meter zoals meter suggereert, maar het zijn 1000 meters.) . Verder meet de kilometer geen kilo’s. De kilometerteller meet ze niet maar berekent de snelheid.
    Verder is duizend ineens kilo.
    Lat (meetlat).
    Liniaal.
    Lint (meetlint).
    Maat (rolmaat).
    Meet (rolmaat maar meetlint).
    Centimeter (In de naaikist van oma. Let op, het is er niet één maar het zijn 100 centimeters.).
  • Tijdlijnen noemt de taal­meester:
    Klok.
    Wijzerplaat (En wel een nogal ingewikkelde lijn: niet één rechte lijn maar twee ronde lijnen naast elkaar.).
    Digitale klok.
    Loper. (zandloper).
    Wekker. (Een urenbellijn).
  • Gewichtslijnen noemt hij: brug (weegbrug) en schaal (weegschaal).
  • En dan hebben we verder nog:
    Pas (waterpas).
    Thermometer. Let op, dit is niet 100 cm maar een opmeter.).
    Roos. (Geen bloem maar kompasroos of een schietschijfroos.)
    Score. (Testscore).

Deze getallenlijnen kunnen dus bij het Tellend rekenen aan de orde komen. Als je uit wilt gaan van kind­realiteit dan móéten ze misschien wel bij het Rekenend optellen aan de orde komen. Misschien zelfs wel eerder ).

  10) Verwoording van veld

Voor veld heeft de taal­meester de volgende synoniemen.
Bord (spel).
Grafiek.
Plaat (wijzer).
Plak, (MAB-100 plak).
Ruimte.
Tabel.

Er is dus een mistige woord cloud voor lijnkennis en voor veld­kennis. Zowel in de woorden voor de reken­meester als in de woorden voor het kind. Deze mistbanken vertroubelen het verschil tussen lijn en veld en leiden tot verhaspelingen van verbeeldingen en verwoordingen zoals veld­kennis onderwijzen alsof het lijnkennis is. Deze verhaspeling zou wel eens bij kunnen dragen aan het teltrauma.


11) Werkgeheugenvriendelijkheid van lijnkennis

Het uitvoeren van een lijn-taak belast het werkgeheugen. Je moet bijvoorbeeld onthouden welke stappen je gehad hebt. Vooral bij afwijken en afleiden is de kans op vergeten groot (Ja, dat zoek ik zo wel op hoor. of Ah, een appje.)

 12) Werkgeheugenvriendelijkheid van veld­kennis

Bij een goede verbeelding van de informatie in het oogfixatieveld, is er geen belasting van het werkgeheugen.

13) Verkortbaarheid van lijnkennis

Een lijnprocedure is per definitie niet te verkorten. Je kunt alleen de stappen sneller zetten. Zoals je bij een computerwizard alleen sneller op de next-knop kan drukken. Dat is geen leren. Een stap overslaan, twee stappen combineren of een stap later te doen, het kan niet. Doe je dat wel dan ben je geen algoritme aan het volgen maar een algoritme aan het maken. Je hebt inzicht. Dat is veld­kennis.

  14) Verkortbaarheid van veld­kennis

De verkorting van handelingen die treedt eigenlijk vanzelf op. Gewoon dezelfde type som geven maar met andere getallen. Bijvoorbeeld grote getallen. Niet verschillende type sommen door elkaar geven zoals slome werkbladen doen. Je ziet het kinderen doorkrijgen. Ze kijken op, ze kijken je aan en je begint allebei te lachen. Dat is fun. Gewoon slimme sommen en verder vooral je mond houden. Leer­psycho­logisch is een voordeel van een heuristiek dat je de handeling niet helemaal voorzegt. Het kind moet de laatste stap zelf zetten (zone van naaste ontwikkeling) . Dat kan met sluwe leerbladen die het kind de kennis zelf laat ontdekken. noot 3). Gewoon níéts zeggen. Het voordeel is wel dat de kinderen ’het’ goed doen en kennelijk zelf ontdekt hebben. Hoe ze het doen, ja dat weet je eigenlijk niet.


15) Hersenvriendelijkheid van lijnkennis

We zakken verder de psycho­logie in. Wat vinden de hersenen van dat lijndenken. De evolutie heeft de mens dus parallel-werkend gebouwd. Dus niet sequentieel zoals een computer. Een computer zou eerst een half uur gaan bessen zoeken en dan een half uur lang kijken of er geen tijgers aan komen. Neen, tijdens het bessen zoeken blijft het oog kijken of er geen tijgers aankomen. Het denken vond die rijtjes aanvankelijke prima, gewoon precies het rijtje aflopen. Zo’n 700 000 jaar lang bleef de mens precies volgens het algoritme van vader vuurstenen hakken

De aanvankelijke voorkeur voor lijnkennis veranderde onlangs, zo’n 100 000 jaar geleden. Het volgende zou gebeurd kunnen zijn. Een jager met verminderde senso­motorische vaardigheden krijgt zijn speer maar niet door de huid van een wilde kip. Hij wordt gedegradeerd tot vuistbijlhakker. Na 1000 vuistbijlen hakken verloopt het hakken geheel automatisch. De te bewerken steen past gemakkelijk in zijn oogfixatieveld. Zijn werkheugen is compleet leeg. Hij mag niet meer jagen dus de frustratie in zijn hersenen verandert zijn waarneming. Die frustratie dringt voortdurend in zijn werkgeheugen. Een scherp pijlvormig afslagsel komt via zijn oogfixatieveld in zijn werkgeheugen. Verrek, wat is dat afslagsel een mooie scherpe punt. Die gaat vast wél door de huid van een kip. Doordat een gefrustreerde vuistbijlhakker na 700 000 jaar verder kijkt dan zijn lijn, het hakalgoritme breed is, wordt de kans op overleven groter.

Er gebeurde nog zo iets. De homo erectus klom uit de bomen en ging op de grond leven. Dat is nogal wat. Zijn leefgebied werd daardoor 10x zo groot. Dat betekende onder andere dat de mens niet meer met wat routes door zijn woudje kon lijnnavigeren maar dat hij 2-d moest veld­navigeren. Het voorhoofd had dus meer ruimte nodig en kwam naar voren.


Prefrontale cortex neemt toe

Verbeelding 77.


  16) Hersenvriendelijkheid van veld­kennis

Net als bij het oog ontwikkelden de hersenen zich ook van lijn-denken naar veld­denken. De hersenen zijn geen lijn-tool maar meer een veld­-tool.

17) Dus lijnkennis ...

Tellen is een lijnverwoording van de getalkennis: De volgende is eentje meer dan de vorige. De getallenlijn is de verbeelding daarbij. Tellen en de getallenlijn verwoorden en verbeelden niet andere aantalrelaties. Zeker de telwoorden doen dat niet. Ook verbeeldt de getallenlijn de geniale ontdekking van plaatswaarde niet.

Psychologie­kennnis leert dat de evolutie en de hersenen niet zoveel op hebben met lijnmethoden ). Tellend optellen en de bijhorende lijnverbeeldigen zouden wel eens een oorzaak van het teltrauma kunnen zijn .

  18) Dus veldkennis ...

Rekenend optellen is een veld­methode die de getallenlogica goed kan verwoorden en verbeelden. Rekenend optellen, verbeeld met bijvoorbeeld 100-veld en sommentabel, is visueel een veld dat de getallenlogica toont. Met name de logica van de tientalligheid. Bovendien hebben de evolutie en de hersenen als netwerk een voorkeur voor veld­methoden en een voorkeur voor logische systemen. De hersenen ’onthouden’ door terug te redeneren hoe het in elkaar zou moeten zitten. Hoe logischer de het systeem, hoe eenvoudiger dat terug redeneren verloopt. Dat hele optellen onder 100 zou voor de hersenen een fluitje van een cent moeten zijn.

Dit alles maakt het ook onwaarschijnlijk dat het teltrauma door de hersenen veroorzaakt wordt. Mogelijk is zelfs het omgekeerde aan de hand. veld­verbeeldingen van de getallen, zouden wel eens een therapie voor het teltrauma kunnen zijn .

Sommige mensen besloten toen ook ijskoud om naar Parijs te gaan. Niet voorzichtig eerst één berg over, dan twee, etc. Neen gelijk duizenden kilometers. Te doen met veld­kennis: Houd de zon in je rug en ongeveer 5° rechts, daarna de zon 45° links achter je houden. Dat red je niet met lijnkennis. Als je één van de duizenden afslagen mist, kom je nooit meer in Parijs.

Omstandigheden kunnen het gebruik van een algoritmen onmogelijk maken. Een staartdeling is lastig zonder pen en papier.
De kampioen navigeren bij dag, nacht, onder en boven water navigeert ook niet in lijnen. De rat navigeert in velden Ook groepsjagers als wolven en leeuwen kunnen in groepen alleen jagen met veld­kennis. Een verschil met de mens is, dat de mens zich bewust is van de veld­kennis en zich ook kan bewegen in een veld met abstracte kennis zoals een 100-­veld.

Niet de evolutie maar de mens zelf maakte ongeveer 100 000 jaar zelf de volgende sprong op de getallenladder. Het getallengenie Descartes werd geboren ten zuiden van Parijs. Hij kwam met een voltreffer: het kardinale stelsel . Hij verdeelde het veld in vakjes van gelijke grootte. Zeg maar een 100-­veld. Daardoor zijn niet alleen volgorde handelingen mogelijk zoals bij Tellend optellen (h. 2) maar ook een variatie aan relatiehandelingen zoals bij Rekenend optellen (h. 3). Daardoor kon Descartes precies uitrekenen waar een kogel terecht zou komen gegeven kogelgewicht, hoeveelheid buskruit en hoek van het kanon. Dat zette hij in tabellen. Met die tabellen kon ook een onervaren kanonnier een kogel in het juiste vakje van het 100-­veld van de vijand krijgen. Om zo iets met lijndenken of ’gevoel’ voor elkaar te krijgen is heel wat lastiger. En, ook interessant als het gaat om algoritmen, is de volgende toevoeging van Descartes: Een veelheid van regels [lijndenken] komt vaak voort uit de onervarendheid van de leraar. Oei.


Dus...

Het rekenonderwijs heeft een voorkeur voor lijnverbeeldingen en lijnprocedures zoals: de getallenlijn, tellend optellen, rijtje sommen stampen en dreunen, telramen, werkbladen met ongeordende sommen, rijgen bij breken en plaatswaarde en algoritmische procedures. Niet bij de getallen, de evolutie, de waarneming en bij de hersenen. Uit psychologische kennis komt een voorkeur voor veld­verbeeldingen en veld­procedures zoals: stipveld­en, onder elkaar zetten, rekenend optellen, 100-veld, sluwe leerbladen, lusabacus, somtabellen, veld­klok (een veld als het 100-veld) en heuristische procedures. Deze veld­verbeeldingen en veld­procedures passen bij de getallen, de evolutie, de waarneming en de wijze waarop de hersenen werken.


9.2.4 Veldenkennis

Met veldenkennis is complexe informatie eenvoudig te verbeelden. Dat begint natuurlijk met 3-d.veld­kennis is nog duidelijk 2-d. De volgende stap is eenvoudig, gewoon meer velden . N-d-verbeeldingen. Rekenen is dus gewoon spelen met velden van aantallijnen. Je zou het veld­rekenen kunnen noemen.


veld­enkennis in de kind­realiteit
  • Het MAB-duizendblok is een goede verbeelding van de 3-d-structuur van getallen tot 1000.

    De tijd in uren, minuten en seconden kun je in een MAB-1000-blok verbeelden. Misschien iets voor de bollebozen. Als vervolg op de analoge grafiekklok. Op de x-getallenlijn 24 doosjes voor de uren. Op de y-getallenlijn 60 doosjes voor de minuten, of ga inwisselen, 12 doosjes met in elk doosje 5 minutenlucifers. Op de z-getallenlijn 7 doosjes voor de dagen van de week.

  • Als je een MABblok maakt van 60 seconden breed, 60 minuten hoog en 12 of 2x12 uur diep dan heb je een goede 3-d-verbeelding van de analoge klok. De gebruikelijke analoge klok is lastig omdat hij geen 3 rechthoekige velden maar 3 cirkelvelden heeft, omdat deze 3 velden op elkaar geplakt zijn en omdat niet helemaal duidelijk is wat verleden (onder nul), heden (nul) en toekomst is.

  • De samengestelde inhoudsmaten die in groep 5 op het programma staan zijn 3-d. Inhoud is een veldenmaat die ontstaat door drie lijnmaten te vermenigvuldigen: lengte, hoogte en diepte. Lijnkennis (tellen), veld­kennis (rekenen en vermenigvuldigen) en veld­enkennis lopen op in complexiteit. Lengte is eenvoudiger dan oppervlak en oppervlak is eenvoudiger dan inhoud. Toch worden deze drie kennistypen tegelijk aangeboden en niet op het moment dat het type kennis aan de orde is. Opmerkelijlk in dit verband is ook dat maatbekers een ronde cylindervorm hebben. Dat is gemakkelijk voor de reken­meester die ze moet maken. Maar de ronde verbeelding verbergt de 3 rechte lijnen van de 3-dimensies. De verbeelding van 3-d-inhoudsmaten zou de vorm van een MAB-achtige kubus moeten hebben.

  • Je kunt je afvragen of je leerstof niet meer vanuit dimensionaliteit moet opbouwen. Dus eerst lijnen zoals getallenlijn en dan ook 1-dimensionale maten als lengte en gewicht. Daarna velden en veld­maten zoals grafieken, 100-­veld, oppervlak, analoge klok (eenvoudige grafiek versie), vermenigvuldigen en km/h. Daarna 3-d-maten zoals getallen boven 100, inhoudsmaten. Daarna weer n-d-verbeeldingen.

  • Er zijn ook n-d-spellen zoals set, 3-d- boter-kaas-eieren.

  • Voetballers als Johan Cruyff zijn geniaal omdat zij op n-velden tegelijk spelen. Natuurlijk is er de 2d-grasmat maar er is ook een motorisch veld (Kan ik de bal op zijn schoen krijgen waar de schoen zal zijn als de bal aankomt?)

Dus ...

Eén veld:
  • 2-dimensionaal.
  • Bord (dam-, en schaak-).
  • Getallen tot 99.
  • Grafiek (2-d).
  • Oppervlakte (cm2, dm2, m2).
  • Plak (100-MAB-plak.
  • Plaat (wijzerplaat met uren plus minuten).
  • Tijd (uren plus minuten).
  • Veld (100-, speel-, sportveld).


Drie velden, idem:
  • 3-d-dimensionaal.
  • grafieken.
  • Blok (1000-MAB-blok).
  • Kubiek (inhoudsmaten, cm3, dm3, m3).
  • Getallen boven 99.
  • Plaat (wijzerplaat met uren, minuten en seconden).
  • Tijd (uren pus minuten plus seconden).


Meer dan 3 velden idem:
  • n-dimensionaal.
  • Getallen boven 10 000.
  • Tijd (seconden, minuten, uren, dagen, weken, maanden, jaren).
Allemaal verschillende woorden voor ’veld’ maar allemaal één veld met twee (getallen)lijnen loodrecht op elkaar. Allemaal verschillende woorden voor ’3-velden/ 3-d’ maar allemaal 3 velden met voor elk veld twee (getallen)lijnen loodrecht op elkaar.

Allemaal eenvoudige verbeeldingen van complexe getalsrelaties. Snap je er een dan snap je ze allemaal.

Allemaal verschillende woorden voor ’n-velden maar allemaal n-velden met voor elk veld twee (getallen)lijnen loodrecht op elkaar.

Allemaal eenvoudige verbeeldingen van complexe getalsrelaties. Snap je er een dan snap je ze allemaal.

Deze terminologische oefening lijkt wel op muggenzifterij. Dat klopt. Bij getallen gaat het om zuiverheid en abstractie. Ontdaan van alle context. Daarom is het systeem zo bruikbaar. Bruikbaar om kinderen te laten zien dat klokkijken, kalender, maten en ook getallen eenvoudig zijn: niet ingewikkelder dan het 100-veld: twee aantallijnen loodrecht op elkaar. Op dezelfde wijze krijg je de 6-d-snelheids­beheersing­informatie van voertuigen, eenvoudig via het oogfixatieveld de hersenen van een bestuurder in.
De km-teller van de toekomst: Een technische teller van kilometers of informatie voor het denken van de bestuurder bij het uitvoeren van zijn speed control taak. Vooral bij de zelfrijdende auto is het in de gaten houden van de techniek van belang.

Klik voor meer daarover.

Speed control, bijvoorbeeld voor de bestuurder van een zelfrijdende auto.
De bestuurder ziet geen getallen maar grafisch de relaties tussen vijf dimensies: de huidige snelheid, de toegestane snelheid, de afstand tot het doel, het remvermogen en de aandacht die nodig is

Verbeelding 78.


 Andere hoofdstukken  




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.







Voetnoten:

1) Realisme in design.
www.humanefficiency.nl/icon_design/werkelijkheid.php

2) Het probleem van de klokkenmakers was echter dat zij werkten met ronde radertjes en ronde wijzerplaten. Dus maakten ze van de rechte x-as voor de uren een cirkel en dat deden ze ook met de rechte y-as voor de minuten. Bovendien ontstond zo een compacte verbeelding die goed in het cirkelvormige oogfixatieveld past.

3) List-, bedrog- en intimidatie-psychologie
http://www.humanefficiency.nl/psychologie/list_bedrog_intimidatie.php