Leren automatiseren met de getallenlijn.

Hoe kan je met een telmiddel als de getallenlijn voorkomen dat kinderen tellend blijven optellen?

In groep 2 leren de kinderen eerlijk delen, gelijk maken en wegen (Van Galen & van Os, 2025). In groep 3 gaat het niet meer om hoeveelheden maar om precieze hoeveelheden: aantallen. Vervolgens komt het 'echte' rekenen, namelijk het samenvoegen van twee aantallen: rekenen met getallen. Het onderwijsdoel is dat het kind de sommen niet tellend optelt maar geautomatiseerd heeft. Dit automatiseren gaat in vier stappen.

Leonard Verhoef
Contact

font size goed?

De eerste stap omvat de 2-ling-sommen namelijk: 2+2, 3+3, 4+4 en 5+5.
Daarna volgen de sommen waarbij 1 bijgeteld wordt: 4+1, 5+1 etc.
Ingewikkelder zijn de omdraaiers: 3+6=6+3=, 6+1=7, 6+2=8, 6+1=9.
Ook ingewikkeld zijn de bijna-2-ling-sommen (5+4=4+4+1).

1 De 2-ling-som

2-ling-sommen als 2+2, 3+3, 4+4 en 5+5 zijn bijzonder.

Mensen vinden symmetrische vormen al 500 000 jaar aantrekkelijk (Van den Brink, 2025).
In de kindwerkelijkheid zijn er veel concrete 2-lingen prominent aanwezig, zoals 2-ling kinderen en huisdieren, benen en poten van mensen, dieren, meubels en de wielen van voertuigen. Er zijn ook 6-linen zoals de zes poten van een insect en 8-lingen zoals de acht poten van een spin. Tien is gewoon een 10-ling.
Bij een 2-ling-som hoeft een kind maar twee getallen te onthouden.

De statistieken tonen dat 2-ling-sommen snel geautomatiseeerd zijn (tabel 1). Toon je de zijkant van een voertuig waarop maar de helft van de wielen te zien zijn dan geeft 72% van de 'rekenzwakken' in groep 3 het goede even antwoord.

Op de getallenlijn zijn 2-ling-structuren niet goed te zien onder andere doordat de twee hoeveelheden niet tegelijk in het oogfixatieveldpassen. Telt het kind met de getallenlijn dan is de 2-ling-structuur ook niet te horen. Met afbeelding 1 kan het kind zonder woorden de 2-ling-structuur zelf ontdekken.

Tabel 1: Leerstappen leren automatiseren tot 10

2-ling-sommen:	88% goed,	4 s.,	0% weet niets,	106		opg.
x+1= som	71% goed,	6 s.,	0% weet niets,	7		opg.
1-erbij-som	67% goed,	6 s.,	0% weet niets,	21		opg.
omdraai-som	56% goed,	10 s.,	3% weet niets,	207		opg.
bijna-2-ling-som	57% goed,	10 s.,	5% weet niets,	79		opg.

Deze statitieken zijn gebaseerd op de data van verschillende onderzoeken bij tientallen 'zwakke rekenaars' uit groep 3 en 4, van twee scholen en gedurende vijf schooljaren.

In de klas zijn 2-ling-sommen in het begin van groep 3 belangrijk.

Ten eerste zijn het de eerste sommen zijn die kennelijk als vanzelf en zonder tellen geautomatiseerd lijken te zijn.
2-ling-sommen laten het kind daarom ook zien dat rekenen niet een soort Iene, miene, mutte aftelrijmpje is. Rekenen is puzzelend de gemakkelijkste oplossing zoeken. Soms zit de oplossing al in je hoofd (geautomatiseerd). Is dat niet het geval dan moet je de uitkomst bedenken.
Dat bedenken van een bijna-2-ling-som kan vanuit een 2-ling-som. Vervolgens kan dat bedenken geautomatiseerd worden.

Geleidelijke opbouw even getalstructuren

Afbeelding 1.

Wanneer het doel niet zozeer is sommen maken maar getalstructuren begrijpen dan moeten alle sommen van een even getal tegelijk getoond worden. Dus bij het even getal 6:

3+3=6
6-3=3
twee 3-lingen is samen 6: 2x3-lingen=6 (kinderen).

2 De +1-som

Na begrip van aantal kunnen de kinderen aantallen samenvoegen. De eenvoudigste samenvoeging is +1 . De samenvoeging x+1 lijkt eenvoudig. Zelfs tellend optellen is bijna een geautomatiseerde handeling. De +1-som kan de getallenlijn binnen het oogfixatieveld tonen. Het is gewoon het volgende getal.

Een getallenlijn en het oogfixatieveld

Afbeelding 2.

De +1 sommen zijn daarom gemakkelijk. Er is ook geen mentale en werkgeheugen belasting als het kind de som tellend uitrekent. Maar x+1= sommen als 5+1= blijken moeilijker dan 2-ling-sommen: 17% minder goed en 2.1 sec. langere reactietijd. Mogelijk moeten de kinderen nog wennen aan de abstracte notatie met symbolen.

3 Omdraai-som

Bij een omdraai-som draait het kind de termen om, dus 3+6=6, +1=7, +1=8, +9=9 (commutatieve wet). Dat omdraaien scheelt alleen veel telwerk als de tweede term veel groter is dan de eerste term. Waarom zou je voor die paar sommen moeilijk doen? Maar het is wel een abstracte operatie die bijvoorbeeld bij het lezen niet mag. Een pen is niet nep. Dat het een abstracte operatie is dat is in de statistieken te lezen. Het aantal goed is met 56% het laagste en de reactietijd is met 970 sec. een van de hoogste. Met afbeelding 3 kan het kind die wet zonder woorden zelf ontdekken. Omdraaien van termen verkort het tellen maar brengt automatiseren niet dichterbij. Er wordt nog steeds geteld. Maar de omdraai-truc laat wel zien dat rekenen niet alleen tellen is maar puzzelen.

4 De bijna-2-ling-som

De 2-ling-som en de +1-som zijn niet echt rekenensommen. Ook de omdraai-som zal aanvankelijk gewoon een truc zijn. Het echte abstracte mentaal handelen met aantalle begint eigenlijk pas bij de bijna-2-ling- som. De statistiek toont ook dat bij die sommen de rekenvaardigheid minder is. Hoe sluit de gebruikelijke getallenlijn (afb. 3) aan bij wat de evolutie gebouwd heeft? De focus van de evolutie is herkennen van het beeld van gevaar: Ah, een tijger!. De evolutie heeft dus in 25 miljoen jaar een oogfixatieveld gebouwd waar een 2D-beeld van een tijger goed in past (van den Brink, 2025). 500 000 jaar geleden gaven mensen voorwerpen al symmetrische vormen. De gebruikelijke getallenlijn is echter geen 2D-beeld maar een 1D-beeld; een lijn. Zo'n lijn vult het oogfixatieveld slecht (afb. 3).

5+4=5+5-1=10

De getallenlijn toont dus volgordegetallen (rangtelwoorden) en die kun je niet optellen. Bij het rekenen gaat het om aantalgetallen, die je wél kunt optellen.
Verder ziet het kind de volgorde van abstracte cijfers en geen concrete aantallen.

In de klas is een oplossing de aantallen er bij te zetten (afb.3). Wel uiteraard zo het aantal én het oogfixatieveld ligt en in een patroon dat het óóg in één oogopslag kan identificeren. Zonder tellen maar met inkleuren ontdekt het kind zelf de structuur van de bijna-2ling-getallen.

Geleidelijke opbouw oneven getalstructuren
Het kind geeft de witte vlakken de kleur van de rand.

Afbeelding 3.

5 Literatuur

6 Meer over getallen, psychologie en leren rekenen

Rekenen in groep 3 en 4


		De fouten bij het telraam Is een 'slechte' telraamrekenaar 'rekenzwak', onhandig of geen van beide?		Sinds 1900 gebruikt het onderwijs in groep 3 het telraam met twee horizontale staven. Elke staaf heeft 10 kralen in twee kleuren. Bijna 125 jaar later zijn er in groep 4 nog kinderen die sommen onder 10 niet geautomatiseerd hebben en nog tellend uitrekenen. Is er wat mis met die kinderen. Of is er wat mis mat dat telraam? Hoe zit het met de getal-, vinger-, oog-, leer- en denkvriendelijkheid van dat telraam? Hier de eenvoudigste vraag: Is het telraam vingervriendelijk?

		Leren automatiseren met de getallenlijn. Hoe kan je met een telmiddel als de getallenlijn voorkomen dat kinderen tellend blijven optellen?		In groep 2 leren de kinderen eerlijk delen, gelijk maken en wegen (Van Galen & van Os, 2025). In groep 3 gaat het niet meer om hoeveelheden maar om precieze hoeveelheden: aantallen. Vervolgens komt het 'echte' rekenen, namelijk het samenvoegen van twee aantallen: rekenen met getallen. Het onderwijsdoel is dat het kind de sommen niet tellend optelt maar geautomatiseerd heeft. Dit automatiseren gaat in vier stappen.

		*Hoe leg je uit dat tien* betekent 1 0?** Wat moet het kind denken bij tien? 6 werkbladen		In groep 3 begint het rekenen met tellend optellen tot 10. Aanvankelijk tellen de kinderen met vingers, telraam en getallenlijn. Daarna tellen ze uit het hoofd. Dat tellend optellen gaat zo goed dat de kinderen blijven tellen, ook boven 10. Daardoor ontgaat het kind dat 10 voor het concept tien, twéé getallen zijn. Dus niet als bij oe: twéé tekens voor één klank. Toch krijgt het kind met tellend optellen een goede uitkomst. Niets aan de hand zal het kind denken. De geschiedenis en groep 3 en 4 leren wat anders.

		Hoe voorkom je zeeziekte bij de rekenles Hoe tonen telwoorden, geschreven getallen en de getallenlijn de tientallen? 8 werkbladen		De getallenlijn toont dat het volgende getal één meer is dan het vorige getal. Met gestapelde getallenlijnen ontdekt het kind zelf dat het volgende tiental 10 meer is dan het vorige. Dat kan al in groep 3.

Leren rekenen
		Leren rekenen met de computer		Niet alleen diagnostiek en ook niet alleen nakijken van sommen. Vooral ook de juiste handeling tonen en stiekem afdwingen. In: Jeugd in school en wereld, vol, 67, no 6, pag. 381-385.

		Het algoritme leren of leren algoritmiseren		Instampen van rekensommen houdt geen stand. Met leren rekenen naar nieuwe intelligentie. Met of zonder het onderwijs. Jeugd in school en wereld, 1986, vol. 70, no april, pag. 20-22.

		Leren rekenen en therapie in de supermarkt		Wanneer het onderwijs kinderen niet leert lezen en rekenen dan zouden de supermarkten dat misschien wel eens kunnen gaan doen. NRC, 4 mei 2006.

Getallen tonen aan mensen
		Presenting numbers to teachers, train drivers and travellers		Having so many similarities in human functions and tasks, for teachers, train drivers and travellers, shouldn't the interfaces for these professionals be similar, not only on a lower perceptual level (readability), but on a higher cognitive level too? In: Application of Information Design 2008, Mälardalen University, Eskilstuna and IIID,25-28 June 2008.

		Past and future of the presentation of quantitative data		Paper based traditional x, y, z-axis line graphics versus graphs using today’s technology to fit human perception, memory and thinking. Presented: DD4D, data designed for decisions, enhancing social, economic and environmental progress, a joint IIID and OECD conference, Paris, 18-20 June 2009.

		Vertrektijd is passé, leve de afteltijd Toon je reizigers de tijd van vertrek of de tijd tot vertrek?		Bussen- en treinenborden tonen in welke eeuw de vervoerder leeft: in de vorige papieren-eeuw waarin hij in jaren moest denken of in de huidige eeuw waarin hij dynamisch kan denken. In: OV-magazine, 2008, no 3, juli, pag. 26-27.

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.