Leren rekenen met de computer Op deze pagina: 1 Volgens Bartjens 2 Computer als leerboek 3 Computer zegt dat de uitkomst fout is 4 Computer geeft hulp 5 Nadelen 6 Computer als onderwijzer 7 Onderwijzer als mens Meer cognitieve psychologie en rekenen    Een eerdere versie verscheen in: Jeugd in school en wereld, 1983. De inhoud is nog actueel. Laatste update: december 2020.    Leonard Verhoef, ontwerpt complexe apparaten en systemen waarmee mensen moeten denken en handelen. Geen designer maar psycholoog. Na de studies onderwijskunde en toegepaste experimentele psychologie ontwikkelde Dr. Leonard Verhoef zich van onderzoeker van het denken, ontwerper van human efficient systemen naar een toepasser van psychologische kennis. Hij laat zien hoe het leven en werken kan zijn van de automobilist, de OV-reiziger, de schipper, de treinmachinist, de vluchter, de rekenmeester en voor professionals die complexe systemen besturen als treindienst-, wegverkeersleiders en process controllers. Hoe gaat dat nu, hoe zou dat volgens de cognitieve psychologie zou moeten gaan en hoe gaat dat dus in de toekomst. Met klik naar: CV Contact    1 Volgens Bartjens Hoe veel is 3 maal 363? Merkt: stelt 363 voor U, en de 3 daar men mede vermeren wil, recht onder deze letste 3 die aan de rechterhand staat, zegt 3 maal 3 is 9, die zet beneden 't streepken onder 3, en zijn 9 enen, dan multipliceert de tweede letter 6, 't welk tienen zijn, met 3 komt 18 tienen, of 180; zet 8 voor de 9 enen, en behoud 1 die tien tienen is ofte honderd in gedenken. Multipliceert de eerste 3 welk 3 honderden zijn, met drie, komt 9 honderd, telt een honderd, (die, in uwe memorie is) daar toe komt 10, die zet voor 8 komt 1089, als volgt: 363 3 ____ mlt. 1089 Op deze wijze leerde meester Bartjens rond 1600 kinderen rekenen. Door de uitvinding van de boekdrukkunst kon ieder, als hij dat wilde, uit Bartjens leerboek Cijfferinghe zelf leren rekenen. Toen zulke leerboeken verschenen heeft men zich misschien afgevraagd of onderwijzers overbodig zouden worden. Waarschijnlijk niet want de stapjes van Willem waren geen leerstappen maar stappen in het algoritme. Deze vraag kwam in 1983 terug bij de uitvinding van de computer. Die vraag is gemakkelijk te beantwoorden als je het verschil weet tussen een computer en een onderwijzer. 2 Computer als leerboek De prijzen van computers dalen en de prijzen van papier stijgen. Als dit zo nog even doorgaat dan is een computer binnenkort misschien goedkoper dan een leerboek en schrift. Behalve economen zijn ook leerlingen, onderwijzers en onderzoekers tevreden over het gebruik van een computer op school. Dit bleek uit een onderzoek van de Vrije Universiteit van Amsterdam (zie bijvoorbeeld de Volkskrant van 3 april 1982). Om te laten zien hoe een computer een leerboek kan vervangen zullen we eens wat dieper in gaan op de denkstappen van die computer eigenlijk natuurlijk van de programmeur) en volgen daarvoor een computer-rekenlesje over de som 7x216.Reacties van een computer op een leerling die zegt:7x216=1446 Fout, we doen het in stapjes. 7x200=1400 Goed 7x16=108 Fout, we doen het in stapjes 7x10=70 Goed 7x6=42 Goed 70+42=112 Goed dus 7x16=112 Goed 1400+112=1512 Goed, dus 7x216=1512 Net als Willem 421 jaar geleden, geeft ook de computer de stapjes van het algoritme en geen stapjes in het leerproces. Naar top. 3 Computer zegt dat de uitkomst fout is Een van de geheimen van de computers is volgens een onderwijzer die computerlesjes gebruikt dat hij het kind direct confronteert met de fout die het maakt en inderdaad, de computer zegt: Fout, we doen het in stapjes. Deze computer geeft dus aan dat er een fout gemaakt is. Hij geeft echter niet aan wat het kind nu precies fout gedaan heeft. Wat dit betreft, wijkt deze computer niet af van een gewoon leerboek, bijvoorbeeld dat van Willem Bartjens uit 1607, waarin je ook kunt zien dat de uitkomst fout is. Ook wijkt de computer niet af van die rekenmachientjes van enkele tientjes die lachen als een kind een goede uitkomst geeft en huilen bij een foute uitkomst. Naar top. 4 Computer geeft hulp Een ander verschil tussen een leerboek en een computer kan zijn dat een computer beter hulp kan geven. Laten we de eerste hulpstap van die computer eens bekijken (2x700=). Waarom begint de computer met deze stap? 2x700 is een gemakkelijke som die het kind waarschijnlijk wel kan. Uit de foute uitkomst lijkt al dat het kind aardig in de buurt van 1400 zit. Ik zou bij deze fout daarom beginnen met 7x6. De kans dat daar de fout zit is vrij groot want volgens de foute uitkomst van het kind komt uit 7x6 een getal dat op een 6 eindigt. Vreemd is dat het kind verderop 7x6 wel goed doet. Ik kan de foute uitkomst tenminste op geen enkele manier verklaren. Bij 7x6 zit dus in ieder geval een fout en dat is een goede reden om daar dan mee te beginnen. Er is echter nog een andere reden om het kind met 7x6 te laten beginnen: bij het vermenigvuldigen onder elkaar wordt er ook begonnen met 7x6. En het is een goede zaak de hulpstappen zoveel mogelijk te laten lijken op de stapjes zoals het kind ze uiteindelijk ook moet uitvoeren. Wat de hulp betreft wijkt deze computer dus naar mijn idee ook niet zoveel af van een goed leerboek waarin bij elke vraag hoort te staan waar de goede oplossingsmethode te vinden is. In plaats van allerlei deelstapjes in een willekeurige volgorde aan te bieden en zonder verder verband achter elkaar op te schrijven, zou de computer overigens de stapjes ook in dezelfde volgorde kunnen nemen en op dezelfde wijze kunnen opschrijven, als in de methode die het kind uiteindelijk moet leren. Bijvoorbeeld:     16   7   x--------   7x6= 42   7x10= 70   7x200= 1400   +-----------------   1512   Maar dit is niet de enige manier om kinderen die 7x216 niet goed kunnen oplossen te helpen. Willem en de computer focussen op het juist uitvoeren van de procedure, het algoritme. Met klik naar: Het algoritme leren of leren algoritmiseren Het kruispuntenmodel an het OW & OC (noot 1) geeft het kind ook inzicht in het vermenigvuldigen en het nut van tabellen. 4e stadium:37x56 37x56 10   10   10   10   10   6     10x 100 100 100 100 100 60 = 560 10x 100 100 100 100 100 60 = 560 10x 100 100 100 100 100 60 = 560 7x 70 70 70 70 70 42 = 350               + 42                 2072 5e stadium:37x56 37x56         50 6     30x 1500 180 = 560 7x 350 142 = 560       + 42         2072 Naar top. 5 Nadelen Het nadeel van methoden die inzicht geven is dat het vinden van een antwoord in het begin wat langer duurt. Maakt het kind met het rijtje sommen niet snel genoeg af dan is het een rekenprobleem. Rekenmoeders gaan dan de sommen er instampen. De uitkomsten komen er op den duur misschien wel in Met klik naar: Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden maar het noodzakelijke inzicht niet. wel emotionele problemen. Leren kan alleen door een verbinding te leggen met elementen die al in de hersenen aanwezig zijn. Dat geld ook voor een ’ zwakke’ rekenaar. Het ligt dus voor de hand kennis die de leerling van het rekenen heeft te gebruiken voor die verbindingen. Ties (2+2, 3+3, etc) leren kinderen gemakkelijk. Dus: 2+2=4 (dat weet ik) 2+3=,2+2=4 (dat weet ik), dus een erbij, 2+3=5 Desnoods verstopt de leerkracht inzichtelijk rekenen listig in de stamprijtjes, herhaalt hij dat rijtje tot het kwartje valt en geeft eventueel subtiel of expliciet verbale ondersteuning. Zo kan de leerkracht een vingerteller de associatieve wet leren met rijtjes als: 5+2= 2+5= 4+3= 3+4= Daarna kan de leerkracht kinderen tot splitsen rond tien verleiden met rijtjes als: 7+5= 3+2= 7+3= 7+5= 7+5=7+3+2 gevisualiseerd. Met een computer moet meer mogelijk zijn dan met een leerboek. Een computer is een nieuw middel en een ander middel dan een leerboek en een computer moet men dan ook niet gebruiken als een leerboek. Invoering van de computer op school moet niet alleen bestaan uit het vervangen van papier door een beeldscherm en pen door toetsenbord. In 1983 was al bekend hoe dit vervangen zou moeten gaan. Naar top. 6 Computer als onderwijzer Reageren op kind Een leerboek kan niet zoals een onderwijzer reageren op wat een kind zegt. En bij reageren denk ik niet aan reacties als: Fout, probeer het nog een keer.. Een dergelijke reactie doet mij altijd denken aan een chirurg die tegen een patiënt met buikpijn zegt: U heeft een blindedarmontsteking, probeert u eens beter te worden. Menselijker is een onderwijzer die uitzoekt wat voor fout het kind eigenlijk gemaakt heeft en vervolgens deze fout herstelt. Een probleem daarbij is dat de onderwijzer wel moet weten: 1. Wat voor fouten een kind kan maken. 2. Hoe je te weten kunt komen wat voor fout dit kind maakte. 3. Hoe je die fouten kunt herstellen. Laten we eens bekijken hoe een onderwijzer of een computer er achter kan komen wat het kind denkt bij het uitrekenen van een som. Een onderwijzer kan natuurlijk gewoon vragen: Hoe heb je het gedaan? Deze vraag zal vaak al veel duidelijk maken maar soms ook niet. Een computer kan wel vragen hoe het kind de opgave opgelost heeft maar hij zal het antwoord voorlopig nog wel niet zo goed kunnen begrijpen. Gelukkig voor de kinderen die niet zo goed kunnen vertellen hoe ze de som opgelost hebben en gelukkig voor de computer zijn er meer mogelijkheden om erachter te komen wat het kind denkt. Ontcijferen wat het kind denkt Jan antwoordt op 2+7= met 9. Wat nu? Computer denkt: De uitkomst is wel goed maar ik moet wel even weten welke methode hij toegepast heeft want sommige methoden zijn erg onhandig of leiden later tot problemen. Jan heeft 5 seconden over de som gedaan, in die tijd kan hij gewoon 7 bij 2 geteld hebben maar als hij handig geweest, is verwisselt hij eerst de getallen (2+7=7+2) zodat hij maar 2 hoeft bij te tellen (noot 2). Laat ik eens nagaan of Jan de getallen verwisselt. De computer toont een som waarbij het verwisselen van de getallen en kortere oplossing geeft. De computer vraagt Jan hoeveel 3+6 is. Jan antwoordt na 5 seconden: 9. De computer denkt: Jammer nou, weer 5 seconden. Nu weet ik nog niets. Wacht maar ik ga het anders doen, gewoon wat grotere getallen geven dan wordt de reactietijd zeker lang als hij de getallen niet eerst verwisselt.Computer: 3+15= Jan 8 Computer denkt: He, wat gek, tien te weinig hij vergeet kennelijk de tien, even onthouden en zo uitzoeken het met de tientallen bij Jan zit. Maar onder tussen weet ik nog steeds niet of Jan nu de getallen verwisselt. Wacht maar, ik ga het nog anders doen. Computer vraagt vol verwachting: Jan bij welk getal ben je begonnen? Jan: 5 Computer denkt: Hee, weer die 10 vergeten. Hij heeft verder het eerst aan het tweede getal gedacht, waarschijnlijk dus het eerste getal bij het tweede getal geteld. Voor de zekerheid nog even op een andere manier controleren. Computer: 4+7= Jan: 11 Computer denkt: Zo, nu snel de som van het scherm af en vragen of Jan de som nog weet. De computer vraag Jan:Jan, ik ben de som vergeten, weet jij nog welke het was? Wanneer jan 7+4 antwoordt dan denkt de computer: Zie je wel, hij heeft de getallen verwisseld. Gelukkig hoef ik nu de onderwijzer niet te vragen of hij Jan vraag hoe hij het gedaan heeft. Deze reactie van computer en kind zijn niet verzonnen maar gebaseerd op vele gesprekken met kinderen over sommen. Over 2+7 is zelfs nog meer te vertellen dan we hier gedaan hebben. Bijvoorbeeld wat er gedaan kan worden als blijkt dat het kind de getallen niet verwisselde. Voor deze en nog vele andere wetenswaardigheden over het leren rekenen van kinderen verwezen we in de vorige eeuw naar SVO-project Kwantiwijzer (noot 3). Een belangrijk verschil tussen computers en leerboeken is dat een computer op allerlei manieren kan reageren op het kind. Daarbij denk ik niet zozeer aan simpele reactie zoals: Jan probeer het nog eens een keer, dat zo nodig 10 keer herhaald wordt zoals een kind met computerervaring vertelde. Daarbij denk ik aan een manier van reageren waarbij het de computer duidelijk wordt hoe het kind een som oplost en waarbij vervolgens aan het kind duidelijk gemaakt wordt hoe het een som eventueel beter kan oplossen. Rond 2020 konden we verwijzen naar de computer die inmiddels verteld is hoe hij dat moet doen. Computer analyseert het leerproces. Met klik naar het maken van een analyse. In het onderwijs is het leerproces vastgelegd in leer-jaar-boeken. Directe bijsturing van het leerproces is daarbij niet mogelijk maar afhankelijk van de leerkracht. De beheersing van alle leerprocessen van alle leerling is voor een leerkracht niet te doen. Daarom krijgt de leerling na enige tijd alleen te horen: Fout, opnieuw. Dat opnieuw kan betrekking hebben op de gemaakte som of op het hele leerjaar. Een computer die beschikt over een goed leerproces kan zeker, gedetailleerd en onmiddellijk bijsturen. Het behaviourisme heeft laten zien dat onmiddellijke bijsturing het meest effectief is. Met de hedendaagse technieken kan het jaar-klassen-denken vervangen worden door een nu-in-het-leerproces-denken. Meer voorbeelden nu-denken