4 Nul

Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets

Hoofdstuk 4 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, in getallen ook niet vóór enen. Meestal is hij verstopt, onder de enen. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

4.1 Het getal Nul

4.1.1 Van Babyloniers naar Romeinen

Kaplan (2000)

beschrijft hoe genieën honderden jaren lang over nul gevochten hebben. Dankzij die gevechten weten wij nu hoe het zit. Het boek van Kaplan zou eigenlijk verplicht moeten zijn voor rekenmeesters. De duizenden jaren en 251 pagina’s creëren bij de lezer steeds meer verwarring over nul. De rekenmeester voelt zelf eens, hoe een achtjarige zich voelt tijdens de rekenles.

De Romeinen rekenden zonder nul. MMM is gewoon 3000. Ook Archimedes deed zijn geniale rekenwerk zonder nul

(Kaplan, 2000).

Zo'n 4000 jaar geleden rekenden Babylonisch handelaren met een systeem dat veel lijkt het onze. Maar meestal zonder de nul te gebruiken. Ze kwamen dan ook regelmatig in de war. Net als onze kinderen die zonder goede uitleg niet kunnen weten of 10+2 nu 102, 30, 12 of 3 is. Dat weet je pas als de rekenmeester je dat vertelt. Stel die nul goed voor aan de kinderen. Het is een hele rare snuiter.

Rekenhulp Babylonische handelaren.
Verbeelding 1. (noot 1)

Bron: noot: .

4.1.2 Nul, verkeerd vertaald

Rond 500 hadden Indiase rekenmeester het al over leeg wanneer zij nul bedoelden

(Kaplan, 2000).

Ons woord nul komt van het Latijnse nulla, nihil dat in het Latijn leegheid betekent. Maar de Romeinen gebruikten nul niet bij het schrijven van getallen.

4.2 Nul in het leerproces

In principe moet nul aan de orde komen bij de introductie van het schrijven van de getallen 10, 11, 12, etc. Vóór Plaatswaarde. Cijfers in getallen werken anders dan letters in woorden. De oe van de taalmeester heeft twee letters voor één klank. De 10 van de rekenmeester echter, heeft twee cijfers voor twéé getallen. De een is voor de tientallen en de nul is voor de eenheden. Als je oe omdraait naar eo dan draait de klank niet om. Als je 10 omdraait naar 01 dan draaien de aantallen voor de eenen en tienen wél om.

Interessant is dat je met een nul sneller klaar bent met het schrijven en lezen van getallen. Kijk maar naar de Romeinse getallen. Voor tellers is verder interessant dat je bij 10+9 die 9 gewoon óp de 0 kan doen. Je hoeft helemaal niet te tellen. Het houdt niet op. Als je de 9 op de 0 van 10 kan zetten dan kan die 9 ook op de nul van 80 zetten. En ook op de 0 van 110. Als je 100 000 hebt, op welke nul komt dan de 2 van 200? Geen probleem die grote getallen.

4.3 Hoe verbeeld je Nul

4.3.1 Met leeg

In onze getallen betekent nul niet ’niks’ maar een lege plaats. Bij 10 betekent 0: deze plek is leeg er zijn namelijk geen eenheden. De verbeelding waar de rekenmeester voor kiest moet dus 'iets' leegs kunnen kunnen tonen. Losse blokjes en dobbelstenen hebben van zichzelf geen nul.

De lusabacus toont de nul met een lege lus.

103, op de lusabacus.
Verbeelding 2.

De stipgroepen die de Rekenhaas gebruikt staan in lege ringen. Die 'leegheid' masseert de ogen sluw naar het snel visueel herkennen van de hoeveelheid tien en het vermentaliseren van structuren rond 10. Acht is gewoon tien plaatsen (lege ringen) met twee nog niet bezet (ringen die leeg zijn).

Stipegroepen, zo gepositioneerd dat zij voorbereiden op plaatswaarde.
Verbeelding 3.

Bovendien staan de stipgroepen op hun korte zijde zodat er compatibiliteit is met de schrijfwijze van de getallen.

4.3.2 Met een getallenlijn

Als de nul zo belangrijk en zo bijzonder is, hoort hij dan niet op de getallenlijn? Is hij daar als een plek die telt of als een paal die er alleen staat. (noot 2)

4.3.3 Met een honderdveld

Getallenlijnen tonen nul vaak niet. Dat is wel begrijpelijk. De getallenlijn wordt gebruikt om te tellen en je begint niet bij nul te tellen. Maar na 9 verschijnt de nul ineens wel op de getallenlijn.

Het honderdveld kan de juiste aard van de nul tonen.

De hele tientallen staan bijelkaar in één kolom. Zichtbaar is dat de hele tienen, nul eenheden hebben.
Na 99 komt er een nul bij. Net als na 9.
De nul staat er wel, maar hij telt niet mee. Hij heeft geen hoeveelheid, geen grijs vakje en geen bruine rekenhaas.

Honderdveld met ook nul.
Verbeelding 4.

4.4 Hoe verwoord je Nul

4.4.1 Met de voorloopnul

Om te beginnen is het gedoe met nul voor het kind begrijpelijker wanneer de rekenmeester de nul soms niet stiekem weglaat, bijvoorbeeld bij 12+3. Schrijf aanvankelijk 12+03. Leg ook een relatie met het dagelijkse 'realistische' (computer)leven: Kijk maar op het digiboard, computers doen het ook zo. Die voorloopnul ontmaskert ook kinderen die plaatswaarde niet begrijpen of zich daar gemakkelijk bij vergissen. Die kinderen verwarren 10 en 01.

Die voorloop nul is tevens een begin voor digitaal klokkijken. En dat is fun voor het kind. Je kunt dan op het digiboard zien of het speelkwartier al bijna begint. Verder is die voorloopnul handig bij Plaatswaarde wanneer termen onder elkaar staan.

4.4.2 Met leeg

De eerste min of meer duidelijke naam voor nul, plaatst

Kaplan (2000)

rond het jaar 500. Die naam was, vertaald in het Nederlands: leeg. Bij het rekenen met steentjes in het zand kon je aan het lege kuiltje zien dat die plaats leeg was. De nul was er, maar het teken nog lang niet en ook zijn rol in de geschreven getallen nog lang niet. In 1200 realiseerde de Italiaan Fibonacci de definitieve vrede. Na vele systemen bestudeerd te hebben viel bij hem alles op zijn plaats: het begrip, het woord daarvoor, het teken en zijn plaats in de geschreven getallen.

De introductie was nog een hele klus. Die nul was nieuw. Je moest het maar begrijpen. De nul was Saraceens, dus zwarte magie en ook nog eens niet-christelijk. En handige handelaren kon die nul gemakkelijk veranderen in 6 of 9. Het volk moest daar natuurlijk niets van hebben.

4.4.3 Met de schrijfwijze

Er zijn nogal wat verschillen tussen de schrijfgewoonten van de taalmeester en de schrijfgewoonten van de rekenmeester. Meldt die verschillen aan de kinderen.

Kinderen moeten begrijpen dat 12 niet net zo iets is als oe; gewoon toevallig twee tekens voor één klank. Bij 12 gaat het om twee tekens voor twéé getallen. Bovendien verbergt het linker getal (de 10) zich voor de helft onder het rechter getal voor de 2 eenheden.
De taalmeester schrijft 10+2 als 102. De rekenmeester schrijft 12. Dat is minder schrijf-, lees- en rekenwerk. De rekenmeester trekt de 1 en de 0 van tien samen tot één cijfer. Elf wordt dus niet 10 1 maar 11.
De taalmeester doet het omgekeerde. De taalmeester schrijft één klank met twee letters, zoals ui, ei, etc. Leg ook deze taalconventie uit: Het is dus tien (plus) een maar we noemen hem elf.
Bij de taalmeester is d+e=de. Bij de rekenmeester is 1+0=10, fout.
Bij de taalmeester is l0+l=l0l (het Nederlandse woord voor fun). Bij de rekeneester is dat fout en is 11 het goede antwoord.

Bij de rekenmeester komt het twee-cijferige 10 na 9.
Bij de taalmeester komt het twee-letterige au niet na z.
Sterker nog, de au staat helemaal niet in het alfabet.
Waarom was ik in mijn eerste jaar nul jaar?

4.5 Hoe vermentaliseer je Nul

4.5.1 Met ónder nul

Die nul is een rare snuiter. Vaak verborgen maar regelmatig duikt hij op uit het niets. Misschien moet de rekenmeester nul voor de hersenen beter zichtbaar maken door hem in zijn getalsmatige ’context’ te plaatsen, door onder nul te gaan. De taalmeester heeft op dat moment ook al negatieve waarden in de kindrealiteit onthult:

Tijdsbepalingen: lang heel lang geleden, geleden, eergisteren, gisteren, vandaag/nu (nul), morgen, overmorgen, toekomst. Jij bent 7 jaar maar voor jij geboren werd waren er ook al jaren. Hoe laat is het om 1 uur min 2 uur.
Plaatsbepalingen: terug, hier (nul), verder, nog verder, heel ver. Onder, op (nul), boven de grond/water. Achteruit rijden, stop, vooruit rijden.

Maar er zijn ook meer getalsmatige negatieve waarden in de kindrealiteit. Je kunt lenen en sparen. En als je met 2-0 verloren hebt dan heb je toch eigenlijk gewonnen met -2. Tijdens een koude winter is onder nul aan de orde bij de vele dagelijkse het weerpraatjes. Ja als het vriest dan heb je geen/nul water meer. De analoge thermometer is dan gewoon even de getallenlijn. Links van de getallenlijn is er wél wat, namelijk nul en negatieve getallen. Voor een ’realistische’ rekenmeester Deze begrippen zijn ook eenvoudig te verbeelden, als lijnen, zoals een getallenlijn. En eenvoudig te verwoorden als sommen: vandaag-1 dag = ... (noot 3)

Ruilen van 10, bij aftrekken is lastig te onderwijzen. Sluwerikken lossen het over nul heen gaan op, door gewoon boven nul te blijven: 12-5=13 (5-2 is namelijk 3). Wat moet je anders als de rekenmeester negatieve getallen ondergronds houdt.

Overigens ook de rekenmeester heeft het al over negatieve getallen maar hij heeft het mogelijk niet in de gaten. Bij de som 3-2 is 2 een negatief getal. Je kan ook zeggen: 3+(-1). Bij aftrekken boven 10 krijgt het kind ook te maken met negatieve getallen. Bij 13-5 is een deelhandeling wel 3-5. Zwijgt de rekenmeester over negatieve getallen dan drijf hij het kind de fout in. En in de winter op de buitenvensterbank een getallenlijn (alias thermometer) met een schoteltje water dat laat zien dat het vriest.

Dus ...

Negatieve getallen in de onderbouw, misschien zo gek nog niet. Desnoods een keertje met bollebozen proberen.

Als rekenmeester kun je niet om nul heen. Pas als kinderen weten wat voor geniale rare snuiter die nul is, kun je verder. Verder met boven de negen, met aftrekken over 10 heen door breken en met volgende leerfase

5 Plaatswaarde

Voetnoten:

1) Rekenhulp Babylonische handelaren.
https://henkreuling.nl/geschiedenis_vh_getal/Een%20geschiedenis%20van%20het%20getal%20-%20Module%20voor%20vwo%20wisC%20-%20V1.0%20-%20rlg.pdf)

2) Een eigen plek op de getallenlijn met 0 er in of alleen een nul zonder vakje, of een soort grenspaal?

3) vandaag-1 dag = gisteren

Getallen, kinderen en psychologie

Inhoudsopgave Met klik naar: de volledige inhoudsopgave.
Fase 1:	Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige twee olifanten en tien muizen. Vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen aan de slag gaat moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde eigenschap gaat. Met klik naar meer over: Rekenvoorwaarden	Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
Fase 2:	Tellend optellen Zesjarigen leren veel rijtjes, vooral als liedjes. Vaak zijn het liedjes met onzinnige woorden. Tellend optellen is voor het kind gewoon het rijtje woordjes opzeggen. Misschien aanvankelijk ook wel onzinnig. Niks nadenken. Geen enkel probleem. Dat gaat heel lang goed. Tot de uitkomst meer dan 30 is. Met klik naar meer over: Tellend optellen	Door tellen blijven kinderen tellen
Fase 3:	Rekenend optellen Heel vreemd dat kinderen tot in groep 5 blijven vingertellen. Ook begrijpelijk dat ze dat doen. Ook niet erg, dat vingertellen. Als je het wil oplossen dan is dat ook niet moeilijk. Met klik naar meer over: Rekenend optellen	Hoe kom je van dat vingertellen af
Fase 4:	Nul Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, in getallen ook niet vóór enen. Meestal is hij verstopt, onder de enen. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Met klik naar meer over: Nul	Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
Fase 5:	Plaatswaarde Met klik naar meer over: Plaatswaarde	Een geniaal idee: verberg nul
Fase 6:	Breken naar 10 Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Met klik naar meer over: Breken naar 10	Breek met aanvullen en met breken
Fase 7:	Ruilen van 10 Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10 wel uitleggen. Met klik naar meer over: Ruilen van 10	Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
Fase 8:	Psychologiekennis Met klik naar meer over: Psychologiekennis	Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
Fase 9:	Getalkennis Met klik naar meer over: Getalkennis	Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.

Literatuur

Index en woordenlijst

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.