nul


4.1 Wat is Nul

beschrijft hoe ­genieën honderden jaren lang om nul gevochten hebben. Dankzij die gevechten weten we nu wat je met nul moet. Het boek van Kaplan zou eigenlijk verplicht moeten zijn voor reken­meesters.bDe 251 pagina’s verwarren je steeds meer. De rekenmeester kan zo zelf eens voelen hoe het is, te leren rekenen zonder een goede uitleg van nul.

Maar ja, de cultuur zwijgt nul liever dood zegt Hij zou wel eens gelijk kunnen hebben. Zo ontbreekt nul op de gebruikelijke getallenlijn en het gebruikelijke 100-veld ( en ). Zijn naam is een vertaalfout. In getallen wordt hij verstopt onder eenheden, tientallen, etc. Nieder maakt het verhaal nog erger door te verwijzen naar onderzoek waaruit blijkt dat basisschoolleerkrachten eigenlijk niet begrijpen wat nul is. Amerikaanse leerkrachten, dat wel. Het wordt nog erger. Uit onderzoek zou verder blijken dat bijen nul wél begrijpen.

Al met al is het begrijpelijk dat de praktische Romeinen die nul ook maar vergaten. Zij rekenden zonder nul. MMM is gewoon 3000. Ook Archimedes deed zijn geniale rekenwerk zonder nul Zo'n 4000 jaar geleden rekenden Babylonisch handelaren met een systeem dat veel lijkt op dat van ons. Maar meestal zonder de nul te gebruiken. Ze kwamen dan ook regelmatig in de war. Net als onze kinderen die zonder goede uitleg niet kunnen weten of 10+2 nu 102, 30, 12 of 3 is. Dat weet je pas als de reken­meester het mysterie van nul vertelt. Stel die nul goed voor aan de kinderen. Het is een hele rare snuiter. Probeer nul maar eens op een getallenwaslijn te hangen.


De nul op een getallenwaslijn


Verbeelding 31.

Rekenhulp Babylonische handelaren


Verbeelding 32.

Bron: noot 1.



4.2 Nul in het leerproces

In principe moet nul al vrij snel aan de orde komen, namelijk bij de getallen 10, 11, 12, etc. Vooral ook omdat dubbele cijfers in getallen anders werken anders dan dubbele letters in woorden. De oe van de taal­meester heeft twee letters voor één klank. De 10 van de reken­meester echter, heeft twee cijfers voor twéé getallen. De een is voor de tientallen en de nul is voor de eenheden. Als je oe omdraait naar eo dan draait de klank niet om. Als je 10 omdraait naar 01 dan draaien de aantallen voor de eenen en tienen wél om. Interessant is dat je met een nul sneller klaar bent met het schrijven en lezen van getallen. Kijk maar naar de Romeinse getallen . Voor tellers is verder interessant dat je bij 10+9 die 9 gewoon óp de 0 kan doen. Je hoeft dan helemaal niet te tellen. Het houdt niet op. Als je de 9 op de 0 van 10 kan zetten dan kan die 9 ook op de nul van 80 zetten. En ook op de 0 van 100. Als je 100 000 hebt, op welke nul komt dan de 2 van 200? Geen probleem die grote getallen. Sterker nog, zonder grote getallen wél een probleem. Het kind kan dan namelijk de plaats­waarde­systematiek niet begrijpen.



4.3 Hoe verbeeld je Nul


4.3.1 Met leeg

Het woord nul is eigenlijk een vertaalfout. Het betekent niet ’niks’ maar een lege plaats. Bij 10 betekent 0: deze plek is leeg er zijn namelijk geen eenheden. Het romantische verhaal is dat reken­meesters vroeger op zand, liefst op het strand natuurlijk, rekenden met steentjes. Als er voor een plaats geen steentjes waren, dan zat er een kuiltje (een rondje) in het zand en was die plaats leeg. De verbeelding waar de reken­meester voor kiest moet dus 'iets' leegs kunnen kunnen tonen. Losse blokjes, telramen en dobbelstenen hebben van zichzelf geen nul. De lusabacus toont de nul met een lege lus.
103, op de lusabacus

Verbeelding 33.

De stipgroepen hier tonen nul met lege ringen. Die 'leegheid' masseert de ogen sluw naar het snel herkennen van een verbeelding voor 10 en daarmee vermentaliseren van structuren rond 10. Negen is gewoon: tien plaatsen (ringen) met een lege plaats (lege ring).


4.3.2 Met een getallenlijn, het 100-veld en de klok

Als de nul zo belangrijk en zo bijzonder is, hoort hij dan niet op de getallenlijn ). Als hij daar hoort waar en hoe? Is hij daar als een plek die telt of als een paal die er alleen staat (noot 2).

Moet hij ook niet op het 100-veld ). En zo ja, hoe en waar?

Interessant is ook de analoge klok. Daar wordt hij getoond als 0, 12, 24 en soms gewoon niet .


4.4 Hoe verwoord je Nul


4.4.1 Met de voorloopnul

Om te beginnen is het gedoe met nul voor het kind begrijpelijker wanneer de reken­meester de nul niet stiekem weglaat.
  • Schrijf wanneer je plaatswaarde introduceert aanvankelijk dat er géén tientallen zijn. Die plaats is leeg. Schrijf dus: 12+03.
  • Die voorloopnul is bovendien handig bij Plaatswaarde wanneer termen onder elkaar staan ).
  • Leg ook een relatie met het dagelijkse 'realistische' (computer)leven: Kijk maar op het digiboard, computers doen het ook zo. (Wijs naar de hele uren bij de tijdsaanduiding, meestal rechtsonder). Die voorloopnul is verder een eerste snipper voor digitaal klokkijken. En dat is fun voor het kind. Je kunt dan op het digiboard zien of het speelkwartier al bijna begint.
Die voorloopnul ontmaskert ook kinderen die plaatswaarde niet begrijpen of zich daar gemakkelijk bij vergissen. Die kinderen verwarren 10 en 01.
12
+04
=
Voorloopnulsteun
voor het optellen
van tientallen en eenheden.

Verbeelding 35.



4.4.2 Met leeg

Rond 500 hadden Indiase reken­meester het al over leeg wanneer ze nul bedoelden Ons woord nul komt van het Latijnse nulla, nihil dat in het Latijn leegheid betekent. De eerste min of meer duidelijke naam voor nul, plaatst rond het jaar 500. Die naam was, vertaald in het Nederlands: leeg. Het begrip nul was er. Helaas werd het duidelijke leeg door taalmeesters foutief vertaald in het onduidelijke nul. De nul was er, maar het teken nog lang niet. Ook zijn rol in de geschreven getallen was er nog lang niet. In 1200 realiseerde de Italiaan Fibonacci de definitieve vrede. Na vele systemen bestudeerd te hebben viel bij hem alles op zijn plaats: het begrip, het woord daarvoor, het teken en zijn de plaats van nul in de geschreven getallen. De introductie was nog een hele klus. Die nul was nieuw. Je moest het maar begrijpen. De nul was Saraceens, dus zwarte magie en ook nog eens niet-christelijk. En handige handelaren kon die nul gemakkelijk veranderen in 6 of 9. Het volk moest daar natuurlijk niets van hebben. Maar gelukkig kon zelfs het volk de uitvinding van dit geniale wiel niet tegenhouden.



4.5 Hoe vermentaliseer je Nul  


4.5.1 Met ónder nul

Misschien moet de reken­meester eerlijk ook het negatieve verhaal vertellen. Niet alleen de positieve getallen en eventueel nul. Ook moet hij vertellen wat er onder nul zit. De taal­meester heeft op dat moment ook al lange negatieve waarden in de kind­realiteit onthult.Zo kent het kind negatieve tijdsbepalingen: eergisteren, gisteren, net, zo, te vroeg, geleden en natuurlijk lang heel lang geleden. Het kind kent nul in tijdsbepalingen: vandaag/nu (nul), start. Je bent 7 jaar maar voor je geboren werd waren er ook al jaren. Hoeveel jaar ben je ouder dan de oudere broer? Hoe laat is het om 1 uur min 2 uur. De nulde verdieping en knopje -1 van de kelder zijn de onderste liftknopjes. Die zitten meestal op kindooghoogte. Vervang eventueel het woord min door geleend. Onthul onder welke synoniemen de taalmeester negatieve waarden verbergt.

Maar er zijn ook meer getalsmatige negatieve waarden in de kind­realiteit. Je kunt lenen en sparen. En als je met 2-0 verloren hebt dan heb je toch eigenlijk gewonnen met -2. Tijdens een koude winter is onder nul aan de orde van de dag bij de vele dagelijkse praatjes. Ja als het vriest dan heb je geen/nul water meer. De analoge thermometer is dan gewoon even de getallenlijn. Links van de getallenlijn is er niet niets maar nul. En links van nul zijn er nog oneindig veel negatieve getallen. Deze begrippen zijn ook eenvoudig te verbeelden, gewoon de getallenlijn 180° draaien. Verder zijn er eenvoudige sommen als: vandaag-1 dag = ... (noot 3). Overigens, ook de reken­meester heeft het ongemerkt al over negatieve getallen. Bij de som 3-2 is 2 een negatief getal. Je kan ook zeggen: 3+(-1). Bij aftrekken boven 10 krijgt het kind ook te maken met negatieve getallen. Bij 13-5 is een deelhandeling wel 3-5. Sluwerikken maken handig gebruik van het halve verhaal van de rekenmeester door gewoon boven nul te blijven: 12-5=13 (5-2 is namelijk 3). observeerden dat boven nul blijven vele malen bij het aftrekken onder 1000. Ook observeerden zij kennelijke bollebozen die hun eigen oplossing hadden voor het onder nul gaan.

Dus ...

Als reken­meester kun je niet om nul heen. En negatieve getallen in de onderbouw? Misschien zo gek nog niet. Desnoods een keertje met bollebozen proberen.



Voetnoten:



1) Rekenhulp Babylonische handelaren. https://henkreuling.nl/geschiedenis_vh_getal/Een%20geschiedenis%20van%20het%20getal%20-%20Module%20voor%20vwo%20wisC%20-%20V1.0%20-%20rlg.pdf

2) Een eigen plek voor nul op de getallenlijn met 0 er in, of alleen een nul zonder vakje, of een soort grenspaal?

3) vandaag-1 dag = gisteren

Dit hoofdstuk

4.1 Wat is Nul
4.2 Nul in het leerproces
4.3 Hoe verbeeld je Nul
      1 Met leeg
      2 Met een getallenlijn, het 100-veld en de klok
4.4 Hoe verwoord je Nul
      1 Met de voorloopnul
      2 Met leeg
4.5 Hoe vermentaliseer je Nul  
      1 Met ónder nul

Andere hoofdstukken



Literatuur:


Kaplan, R., (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Kaplan, R., (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.
Kaplan, R., (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.
Kaplan, R., (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.
Müller, G.N., Selter, C. & E. C. Wittmann (eds.) (2012).Zahlen, Muster und Structuren., Spielräume für aktives Lernen und üben. Stuttgart: Ernst Klett Verlag.
Hengartner, E. & C. Studer, (2012).Strategien beim Subtrahieren driestelliger Zahlen. In: Müller et al. 2012. Zahlen, Muster und Structuren., Spielräume für aktives Lernen und üben.
asdf