4 Nul |
![]() |
4.1 Het getal Nul |
beschrijft hoe genieën honderden jaren lang over nul gevochten hebben. Dankzij die gevechten weten wij nu hoe het zit. Het boek van Kaplan zou eigenlijk verplicht moeten zijn voor rekenmeesters. De duizenden jaren en 251 pagina’s creëren bij de lezer steeds meer verwarring over nul. De rekenmeester voelt zelf eens, hoe een achtjarige zich voelt tijdens de rekenles. | De Romeinen rekenden zonder nul. MMM is gewoon 3000. Ook Archimedes deed zijn geniale rekenwerk zonder nul Zo'n 4000 jaar geleden rekenden Babylonisch handelaren met een systeem dat veel lijkt het onze. Maar meestal zonder de nul te gebruiken. Ze kwamen dan ook regelmatig in de war. Net als onze kinderen die zonder goede uitleg niet kunnen weten of 10+2 nu 102, 30, 12 of 3 is. Dat weet je pas als de rekenmeester je dat vertelt. Stel die nul goed voor aan de kinderen. Het is een hele rare snuiter. | ![]() Rekenhulp Babylonische handelaren. Verbeelding 1. (noot 1) |
4.1.2 Nul, verkeerd vertaald |
Rond 500 hadden Indiase rekenmeester het al over leeg wanneer zij nul bedoelden Ons woord nul komt van het Latijnse nulla, nihil dat in het Latijn leegheid betekent. Maar de Romeinen gebruikten nul niet bij het schrijven van getallen. |
4.2 Nul in het leerproces |
In principe moet nul aan de orde komen bij de introductie van het schrijven van de getallen 10, 11, 12, etc. Vóór Plaatswaarde. Cijfers in getallen werken anders dan letters in woorden. De oe van de taalmeester heeft twee letters voor één klank. De 10 van de rekenmeester echter, heeft twee cijfers voor twéé getallen. De een is voor de tientallen en de nul is voor de eenheden. Als je oe omdraait naar eo dan draait de klank niet om. Als je 10 omdraait naar 01 dan draaien de aantallen voor de eenen en tienen wél om. | Interessant is dat je met een nul sneller klaar bent met het schrijven en lezen van getallen. Kijk maar naar de Romeinse getallen. Voor tellers is verder interessant dat je bij 10+9 die 9 gewoon óp de 0 kan doen. Je hoeft helemaal niet te tellen. Het houdt niet op. Als je de 9 op de 0 van 10 kan zetten dan kan die 9 ook op de nul van 80 zetten. En ook op de 0 van 110. Als je 100 000 hebt, op welke nul komt dan de 2 van 200? Geen probleem die grote getallen. |
4.3 Hoe verbeeld je Nul |
4.3.1 Met leeg |
In onze getallen betekent nul niet ’niks’ maar een lege plaats. Bij 10 betekent 0: deze plek is leeg er zijn namelijk geen eenheden. De verbeelding waar de rekenmeester voor kiest moet dus 'iets' leegs kunnen kunnen tonen. Losse blokjes en dobbelstenen hebben van zichzelf geen nul. |
De lusabacus toont de nul met een lege lus. | ![]() 103, op de lusabacus. Verbeelding 2. |
De stipgroepen die de Rekenhaas gebruikt staan in lege ringen. Die 'leegheid' masseert de ogen sluw naar het snel visueel herkennen van de hoeveelheid tien en het vermentaliseren van structuren rond 10. Acht is gewoon tien plaatsen (lege ringen) met twee nog niet bezet (ringen die leeg zijn). | ![]() ![]() Stipegroepen, zo gepositioneerd dat zij voorbereiden op plaatswaarde. Verbeelding 3. | Bovendien staan de stipgroepen op hun korte zijde zodat er compatibiliteit is met de schrijfwijze van de getallen. |
|
|
Getallenlijnen tonen nul vaak niet. Dat is wel begrijpelijk. De getallenlijn wordt gebruikt om te tellen en je begint niet bij nul te tellen. Maar na 9 verschijnt de nul ineens wel op de getallenlijn. Het honderdveld kan de juiste aard van de nul tonen.
| ![]() Honderdveld met ook nul. Verbeelding 4. |
4.4 Hoe verwoord je Nul |
4.4.1 Met de voorloopnul |
Om te beginnen is het gedoe met nul voor het kind begrijpelijker wanneer de rekenmeester de nul soms niet stiekem weglaat, bijvoorbeeld bij 12+3. Schrijf aanvankelijk 12+03. Leg ook een relatie met het dagelijkse 'realistische' (computer)leven: Kijk maar op het digiboard, computers doen het ook zo. Die voorloopnul ontmaskert ook kinderen die plaatswaarde niet begrijpen of zich daar gemakkelijk bij vergissen. Die kinderen verwarren 10 en 01. | Die voorloop nul is tevens een begin voor digitaal klokkijken. En dat is fun voor het kind. Je kunt dan op het digiboard zien of het speelkwartier al bijna begint. Verder is die voorloopnul handig bij Plaatswaarde wanneer termen onder elkaar staan. |
|
De eerste min of meer duidelijke naam voor nul, plaatst rond het jaar 500. Die naam was, vertaald in het Nederlands: leeg. Bij het rekenen met steentjes in het zand kon je aan het lege kuiltje zien dat die plaats leeg was. De nul was er, maar het teken nog lang niet en ook zijn rol in de geschreven getallen nog lang niet. In 1200 realiseerde de Italiaan Fibonacci de definitieve vrede. Na vele systemen bestudeerd te hebben viel bij hem alles op zijn plaats: het begrip, het woord daarvoor, het teken en zijn plaats in de geschreven getallen. | De introductie was nog een hele klus. Die nul was nieuw. Je moest het maar begrijpen. De nul was Saraceens, dus zwarte magie en ook nog eens niet-christelijk. En handige handelaren kon die nul gemakkelijk veranderen in 6 of 9. Het volk moest daar natuurlijk niets van hebben. |
4.4.3 Met de schrijfwijze |
Er zijn nogal wat verschillen tussen de schrijfgewoonten van de taalmeester en de schrijfgewoonten van de rekenmeester. Meldt die verschillen aan de kinderen. |
|
4.5 Hoe vermentaliseer je Nul |
4.5.1 Met ónder nul |
Die nul is een rare snuiter. Vaak verborgen maar regelmatig duikt hij op uit het niets. Misschien moet de rekenmeester nul voor de hersenen beter zichtbaar maken door
hem in zijn getalsmatige ’context’ te plaatsen, door onder nul te gaan. De taalmeester heeft op dat moment ook al negatieve waarden in de kindrealiteit onthult:
|
Maar er zijn ook meer getalsmatige negatieve waarden in de kindrealiteit. Je kunt lenen en sparen. En als je met 2-0 verloren hebt dan heb je toch eigenlijk gewonnen met -2.
Tijdens een koude winter is onder nul aan de orde bij de vele dagelijkse het weerpraatjes. Ja als het vriest dan heb je geen/nul water meer. De analoge thermometer is dan gewoon even de getallenlijn. Links van de getallenlijn is er wél wat, namelijk nul en negatieve getallen.
Voor een ’realistische’ rekenmeester
Deze begrippen zijn ook eenvoudig te verbeelden, als lijnen, zoals een getallenlijn. En eenvoudig te verwoorden als sommen: vandaag-1 dag = ...
(noot 3) Ruilen van 10, bij aftrekken is lastig te onderwijzen. Sluwerikken lossen het over nul heen gaan op, door gewoon boven nul te blijven: 12-5=13 (5-2 is namelijk 3). Wat moet je anders als de rekenmeester negatieve getallen ondergronds houdt. |
Dus ... Negatieve getallen in de onderbouw, misschien zo gek nog niet. Desnoods een keertje met bollebozen proberen. | Als rekenmeester kun je niet om nul heen. Pas als kinderen weten wat voor geniale rare snuiter die nul is, kun je verder. Verder met boven de negen, met aftrekken over 10 heen door breken en met volgende leerfase |
Voetnoten: 1) Rekenhulp Babylonische handelaren. https://henkreuling.nl/geschiedenis_vh_getal/Een%20geschiedenis%20van%20het%20getal%20-%20Module%20voor%20vwo%20wisC%20-%20V1.0%20-%20rlg.pdf) 2) Een eigen plek op de getallenlijn met 0 er in of alleen een nul zonder vakje, of een soort grenspaal? 3) vandaag-1 dag = gisteren |
Fase 1: | Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten | |
Fase 2: | Door tellen blijven kinderen tellen | |
Fase 3: | Hoe kom je van dat vingertellen af | |
Fase 4: | Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets | |
Fase 5: | Een geniaal idee: verberg nul | |
Fase 6: | Breek met aanvullen en met breken | |
Fase 7: | Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1 | |
Fase 8: | Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar. | |
Fase 9: | Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar. |