nul

5 Nul

www.humanefficiency.nl/rekenen/nul.php

Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets

Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

5.1 Wat is Nul?

Kaplan (2000)

beschrijft hoe rekenmeesters honderden jaren lang om nul gevochten hebben. Dankzij die gevechten weten we nu dat die nul een rare maar cruciale snuiter is. Het boek van Kaplan zou eigenlijk verplicht moeten zijn voor rekenmeesters. De 251 pagina’s gaan alleen over nul. Ze verwarren je steeds meer.

Nul is niets maar door nul kan plus en min oneindig veel zijn. Dat geldt ook voor nu. Ook nu is een nul waardoor heden en verleden oneindig zijn. Tja, hoe leg je dat een achtjarige uit?

Lees Kaplan, dan weet je hoe het is, te leren rekenen zonder een goede uitleg van nul.

Maar ja, de cultuur zwijgt nul liever dood zegt

Nieder (2019).

Hij zou wel eens gelijk kunnen hebben. Zo ontbreekt nul op de gebruikelijke getallenlijn, het gebruikelijke 100-veld

(§ 7.2.1

§ 6.5.4

), de meeste telramen, MAB en in de telwoorden

(§ 6.6.2

). In geschreven getallen is de nul van 10 verstopt onder 1-en. Verder is zijn naam onduidelijk en een vertaalfout.

Nieder maakt het verhaal nog erger met onderzoek waaruit zou blijken dat basisschoolleerkrachten eigenlijk niet begrijpen wat nul is. Amerikaanse leerkrachten, dat wel. Het wordt nog erger. Uit onderzoek zou verder blijken dat bijen nul wél begrijpen.

Al met al is het begrijpelijk dat de praktische Romeinen die nul ook maar vergaten. Zij rekenden zonder nul. MMM is gewoon 3000. Ook Archimedes deed zijn geniale rekenwerk zonder nul

(Kaplan, 2000).

Zo'n 4000 jaar geleden rekenden Babylonisch handelaren met een systeem dat veel lijkt op dat van ons (afb. 36). Maar meestal zonder de nul te gebruiken. Ze kwamen dan ook regelmatig in de war. Net als onze kinderen die zonder goede uitleg niet kúnnen weten of 10+2 nu 102, 30, 12 of 3 is. Dat weet het kind pas als je de mysteries van nul onthult.

Rekenhulp Babylonische handelaren

Afbeelding 36.
Bron:
noot 1
Rekenhulp Babylonische handelaren. https://henkreuling.nl/geschiedenis_vh_getal/Een%20geschiedenis%20van%20het%20getal%20-%20Module%20voor%20vwo%20wisC%20-%20V1.0%20-%20rlg.pdf
.

5.2 Nul in het leerproces?

Nul moet al vrij snel aan de orde komen, eigenlijk al bij de getallen 10, 11, 12, etc. Vooral ook omdat dubbele cijfers in getallen anders werken dan dubbele letters in woorden.

De dubbelletter oe heeft twee letters voor één klank. De 10 heeft ook één klank maar dan weer twee cijfers voor twéé getallen. Het cijfer een is voor de 10-en en het cijfer nul is voor het aantal 1-en. Als je oe omdraait naar eo dan klinkt eo niet als een omgedraaide oe. Als je 10 omdraait naar 01 dan draaien de aantallen voor de 1-en en 10-en wél om. Ingewikkeld allemaal, vooral die taal.

Interessant is dat je met een nul sneller klaar bent met het schrijven en lezen van getallen. Kijk maar naar de Romeinse getallen

(§ 6.6.2)

. Voor tellers is verder interessant dat je bij 10+9 die 9 gewoon óp de 0 kan doen. Je hoeft dan niet te tellen. Zo is nul een belangrijke eerste snipper om plaatswaarde te begrijpen.

Er is meer. Als je de 9 op de 0 van 10 kan zetten dan kan die 9 ook op de nul van 80 zetten. En ook op de 0 van de 1-en van 100. Als je 100 000 hebt, op welke nul komt dan de 2 van 200? Geen probleem die grote getallen. Sterker nog, zonder grote getallen wél een probleem. Het kind kan dan namelijk plaatswaarde niet begrijpen.

5.3 Hoe toon je Nul?

Bij nul heb je al problemen met de eenvoudige vraag: Hoe toon je nul?

Hoe toon je niets?

5.3.1 Past een getallenlijn en het 100-veld bij nul?

Als de nul zo belangrijk en zo bijzonder is, moet er dan geen nul ergens op de getallenlijn?

(§ 7.2.1

). Als hij daar hoort waar moet hij staan en hoe? Toch toch niet zoals op toetsenborden, na 9? Is hij een plek die telt of een grenspaal die er alleen staat. Moet de nul ook niet op het 100-veld

(§ 6.5.4.

)? En zo ja, hoe en waar? Interessant is ook de analoge klok. De analoge klok toont nul als 0, 12, 24 en soms gewoon niet.

De nul op een getallenwaslijn

Afbeelding 37.

5.3.2 Past leeg bij nul?

Rond het jaar 500 hadden Indiase rekenmeester het al over leeg wanneer ze nul bedoelden

(Kaplan, 2000).

Het romantische verhaal is dat rekenmeesters vroeger op zand rekenden met steentjes. Uiteraard op het strand. Als er voor een plaats geen steentjes waren (geen 1-en dus), dan zat er een kuiltje (een rondje) in het zand en was die plaats leeg.

Ons woord nul komt van het Latijnse nulla, nihil dat in het Latijn leegheid betekent. Nulla werd niet vertaald en bleef nul. Daardoor verdween de betekenis namelijk: leeg. Bij 10 betekent 0: deze plek is leeg, er zijn namelijk geen 1-en.

Als je getallen met concreet materiaal toont, moet je dus 'een lege plaats' kunnen tonen. Losse blokjes, telramen, dobbelstenen, de gebruikelijke getallenlijn en het gebruikelijke 100-veld tonen geen nul.

Op de getallenlijn en het 100-veld kun je de nul wel plaatsen daar waar hij hoort

(§ 6.5.4

). Op de stippatronen hier is de nul ’aanwezig ’ door een ring die een lege plaats toont (afb. 39). Ook de lusabacus toont met een lege staaf de nul.

103, op de lusabacus

Afbeelding 38.

De stipgroepen hier, tonen lege ringen. Daardoor is het paradoxale mogelijk. Je kunt het niets, het aantal van nul zoals in afbeelding 39. Noem die ringen natuurlijk geen stippen en geef ze geen kleur. Die grijze stippen zijn namelijk stippen die er niet zijn, het zijn ríngen waar stippen in kunnen.

Nul 1-en van 10 getoond met ringen voor stippen

Afbeelding 39.

5.4 Hoe vertel je Nul?

5.4.1 Past het woord leeg bij nul?

Bij het tónen van nul moet je dus opletten, ook bij het woord nul moet je opletten. De nul was er dan wel, maar het teken was er nog lang niet. Ook stond hij nog lang niet in de getallen. Rond 1200 realiseerde de Italiaan Leonardo da Pisa de vrede. Na vele systemen bestudeerd te hebben viel bij hem de nul bij plaatswaarde op zijn plaats: het begrip, het woord daarvoor, het teken en de plaats van nul in de geschreven getallen.

Nu de introductie nog. Die nul was nieuw. Je moest nul en alles daarbij maar begrijpen. De nul was Saraceens, dus zwarte magie en ook nog eens niet-christelijk. En handige handelaren kon die nul gemakkelijk veranderen in 6 of 9. Het volk moest daar natuurlijk niets van hebben. Maar gelukkig kon zelfs het volk de uitvinding van dit geniale wiel niet stoppen.

5.4.2 Past de voorloopnul bij nul?

Voorloopnullen (01) vullen de lege plaatsen links van de cijfers, je schrijft dus niet 1 maar 01. Puur rekenkundig gezien zou je voorloopnullen moeten schrijven want een spatie is geen cijfer. Waarom zou je overigens achterloopnullen wel schrijven zoals de 0 van 10, en voorloopnullen niet? Getallen zonder voorloopnul lezen, schrijven en typen is natuurlijk wel veel minder werk. Jaren geleden begrepen computers niet dat een spatie vóór een getal, hetzelfde is als een nul. Nu begrijpen computers dat wel maar ICT-ers nog niet altijd. Daarom staan op schermen vaak nog voorloopnullen. Gelukkig maar. De rol van nul bij plaatswaarde is voor het kind begrijpelijker wanneer je de (voorloop)nul aanvankelijk niet stiekem weglaat.

	1	2
+	0	4
=

Voorloopnulsturing
voor het optellen
van 10-en en 1-en

Afbeelding 40.

www.rekenhaas.nl/p122p.php

Met klik naar deze opgaven.

Gelukkig begrijpen ICT’ers niet dat een spatie nul betekent.

Het blijkt dat kinderen geen moeite hebben met voorloopnullen. Je kunt eventueel gewoon een link leggen met de kindrealiteit: Ja dat is een beetje computertaal, kijk maar hier (wijs naar bijvoorbeeld de tijd op een scherm). Anders snappen computers het niet.

Het gebruik van voorloopnullen heeft wat voordelen.

Wanneer je plaatswaarde introduceert, schrijf dan aanvankelijk dat er géén 10-en zijn. Die plaats is leeg. Schrijf dus: 12+03.
Die voorloopnul is bovendien handig bij plaatswaarde wanneer de termen onder elkaar staan
(§ 6.5.6

Klik voor meer over: onderelkaar

, afb. 40).
Ook bij rijgen is een voorloopnul handig en eigenlijk ook logisch: 12+03=10+00+2+3.
De voorloopnul is eigenlijk ook nodig bij het over 10 gaan. Je moet dan Een (tiental) onthouden. Dat is nogal moeilijk te begrijpen. Verwarrend is dat je soms géén tiental moet onthouden als je niet over het tiental gaat. Het kind doet het dan toch. Dan krijg je: 123+45=178. Om de verwarring te voorkomen en het begrip van het inwisselen te verhogen kun je dan met een voorloopnul zeggen en eventueel noteren: Nul tientallen onthouden.
Die voorloopnul is een eerste snipper voor digitaal klokkijken. En dat is fun voor het kind. Je kunt dan op het digiboard zien of de pauze al bijna begint.
Een voordeel van voorloopnullen is dat je vroeg ziet dat je plaatswaarde niet goed uitgelegd hebt. Het kind haalt dan 01 en 10 door elkaar.

5.4.3 Past nul bij de kindertaal?

In de kindrealiteit komt nul overigens op verschillende manieren voor. Bij tijdsbepalingen: vandaag, start, geboren worden en natuurlijk nu. Je hebt gezinnen met 0-lingen, 1-lingen, meerlingen en geen 2-lingen, etc.

§ 4.3.4

). De wiskunde kan deze varianten aan met een begrip: nul. Dat is dus een voorbeeld van zijn grootste verdienste: flexibiliteit

(Freudenthal, 1973).

5.5 Nul en denken

5.5.1 Past ónder nul bij nul?

Misschien moet je de kinderen ook eerlijk het hele verhaal vertellen. Niet alleen de positieve aantalgetallen en nul maar ook wat er ónder nul verborgen zit. Negatieve waarden zitten ook in de kindrealiteit. De kinderen kennen al woorden voor negatieve waarden.

Zo begrijpen de kinderen lang heel lang geleden en andere negatieve tijdsbepalingen als: eergisteren, gisteren, net, te vroeg, ... geleden.
Je bent 7 jaar maar voor je geboren werd waren er ook al jaren. Hoeveel jaar ben je ouder dan je broer? Ha, ha, min 2 twee jaar want hij is ouder. Hoeveel jaar was je toen je oudere broer geboren werd.
Hoe laat is het om 1 uur min 2 uur.
Hoe heet de verdieping onder de eerste verdieping. En de verdieping daar onder? Wat staat er dan op het liftknopje van die onderste verdieping?
De kinderen weten wat lenen betekent.
Zo hoorde ik een bolleboos eens uitleggen dat hij Met -2 gewonnen had.
Tijdens een koude winter is onder nul aan de orde van de dag bij de vele dagelijkse praatjes. Ja als het vriest dan heb je geen/nul water meer. Je hebt ook een analoge thermometer in de winter (een getallenlijn dus). Als je dat in de winter doet sluit je aan bij de kindrealiteit.
Links van de getallenlijn is er niet niets maar nul. En links van nul zijn er nog oneindig veel negatieve getallen. Deze begrippen zijn ook eenvoudig te tonen door de getallenlijn 180° te draaien. De negatieve getallen schrijf je dan in de klas gewoon even op zijn kop. Je houdt je mond tot een slimmerik ontdekt dan je dan niet weet of je er nu 8 hebt of juist 8 tekort komt. Tja, hoe lossen we dat op? is de denkopgave dan.

5.5.2 Past ónder nul bij aftrekken?

Bij de opgave 3-2 is 2 een negatief getal. Je kunt ook zeggen: 3+(-2). Bij het aftrekken over 10 heen krijgt het kind ook te maken met negatieve getallen. Bij 13-5 is een deelhandeling wel 3-5. Uitleg met onder nul ligt misschien meer voor de hand dan het toch wel onbegrijpelijke breken om 10.

Sluwerikken maken handig gebruik van je halve verhaal door gewoon boven nul te blijven: 12-5=13 (5-2 is namelijk 3).

Hengartner & Studer (2012)

observeerden dat boven nul blijven vele malen bij het aftrekken onder 1000. Ook observeerden ze kennelijke slimmeriken die hun eigen oplossing hadden voor het onder nul gaan.

Dus ...

Alles bij elkaar kun je misschien wel niet om nul heen. Misschien moet je ook negatieve getallen niet links laten liggen maar moet je ze gewoon links op de getallenlijn zetten.

Zo orden je de negatieve waarden in de kindrealiteit en de synoniemen die de taal heeft voor negatieve waarden. Verder maak je bepaalde rekenhandelingen begrijpelijk. Bovendien is begrip van nul een cruciale voorwaarden voor de volgende onthulling: plaatswaarde.

Voetnoten:


1)	Rekenhulp Babylonische handelaren. https://henkreuling.nl/geschiedenis_vh_getal/Een%20geschiedenis%20van%20het%20getal%20-%20Module%20voor%20vwo%20wisC%20-%20V1.0%20-%20rlg.pdf

Andere hoofdstukken

0 Voorwoord Meer: klik en ga naar: Voorwoord	www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwoord.php
1 Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen? Meer: klik en ga naar: Rekenvoorwaarden	www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwaarden.php
2 Tellend optellen Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes. Meer: klik en ga naar: Tellend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/tellend_optellen.php
3 Kijkend optellen Tellen op de vingers is populair. Vreemd eigenlijk. De ogen kunnen veel beter tellen en rekenen. Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/kijkend_optellen.php
4 Denkend optellen Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is heel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan. Meer: klik en ga naar: Denkend optellen	www.humanefficiency.nl/rekenen/denkend_optellen.php
5 Nul Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Meer: klik en ga naar: Nul	www.humanefficiency.nl/rekenen/nul.php
6 Plaatswaarde Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen. Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde	www.humanefficiency.nl/rekenen/plaatswaarde.php
7 Breken naar 10 Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen? Meer: klik en ga naar: Breken naar 10	www.humanefficiency.nl/rekenen/breken.php
8 Ruilen van 10 Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. ,Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de ,kindrealiteit. Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10	www.humanefficiency.nl/rekenen/ruilen.php
9 Getalkennis Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona. Meer: klik en ga naar: Getalkennis	www.humanefficiency.nl/rekenen/getal_kennis.php
10 Psychologiekennis Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen? En hoe kunnen getallen het kind leren denken? Meer: klik en ga naar: Psychologiekennis	www.humanefficiency.nl/rekenen/psychologie_kennis.php
11 Statistieken De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’). Meer: klik en ga naar: Statistieken	www.humanefficiency.nl/rekenen/statistieken.php
12 Literatuur Meer: klik en ga naar: Literatuur	www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur.php
13 Index Meer: klik en ga naar: Index	www.humanefficiency.nl/rekenen/index_tot_alfabetisch.php

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.