<
Optellen boven 20, inwisselen, tientalligheid en plaatswaarde

De mens heeft een zeer logisch en handig getallensysteem ontwikkeld. Dat duurde duizenden jaren. Het is zo logisch en vanzelfsprekend dat het uitleggen heel moeilijk blijkt.

Met de juiste visualiseringen en terminologie kunnen zevenjarigen het getallensysteem in enkele weken en zonder veel problemen begrijpen.






Het probleem

Velen realiseren zich niet dat het huidige getallensysteem het resultaat is van revolutionaire en geniale ontdekkingen.Genieën hebben er duizenden jaren over gedaan voordat het huidige perfecte systeem gevonden was.Het lijkt dus begrijpelijk dat het voor zevenjarigen moeilijk is die ontwikkeling in pakweg 800 uur te doen. Let wel: lijkt.


1 Splitsen naar 10

1.1Wat is splitsen naar tien

Nadat het kind ontdekt heeft dat optellen iets anders is dan het met je vingers opzeggen van een rijtje als Iene, miene, mutte. (kardinaliteit) is de volgende ontdekking tientalligheid. Een eerste en eenvoudige leerstap naar tientalligheid is splitsen naar tien (7=5=7+3+2=12).Voor de (vinger)tellende rekenaar is splitsen naar tien aantrekkelijk omdat hij maar tien vingers heeft en uitkomsten boven 10 niet zonder meer kan berekenen. Als je splitst naar tien dan hoef je niet meer te tellen.

1.2 Hoe vertel ik dat een zevenjarige?

De slimmen en creatieven tellen gewooon hun tenen mee en onthouden volle handen gewoon op hun neus. Zo krijgen ze eenvoudig uitkomsten voor alle sommen onder 20. De rekenmeester kan deze slimmerikken verleiden tot splitsen naar tien door te laten zien dat splitsen naar tien leidt tot minder telwerk. Daarvoor is een sluwe visualisatie van getallen rond 10 nodig. Deze visualisering toont in één oogopslag, zonder tellen, de relatie tussen 8, 2 en 10. De rekenmeester vraagt niet hoeveel stippen er zijn. Dan wordt er immers geteld. Hij vraagt eerst achteloos te kijken. Vervolgens zegt hij Wat zie je? Die vraag geeft een kijkje in de hersenen van het kind. Antwoorden als Een blauwe toren op zijn kop tussen twee grasveldjes. zijn natuurlijk goed maar daar gaat het hier even niet om. Twee dobbelstenen. is al meer in de richting. Hoe dan ook, op tafel moet komen: De som 2+8=10. De visualisering is compact. In een óógopslag (oogfixatie) te zien en tellen is niet nodig. De ógen tellen (subitizing) na enige oefening met dobbelsteen groeperingen en de hersenen kijken toe. Noem het desnoods visueel instampen. Het kind ziet dus dat getallen(rij) veel meer is dan een rijtje als Iene, miene, mutte.
 
De visualisering werkt ook naar het tiental toe.

• Dergelijke visuele reken-'spelletjes' passen het kind waarschijnlijk beter dan de mentale verbaal geformuleerde opdrachten als Hoeveel is 8+2? En denk erom, niet op je vingers anders wordt het nooit wat met jou!

• Tot slot nog een laatste nogal confronterened argument dat pleit voor dit soort sommen.
   sDe lusabacus visualiseert de splitshandeling 8+5=8+2+3=13.
 
Ten eerste moet het kind het doel van de splitsing begrijpen: Splitsen is gemakkelijker dan tellen. Heeft kind kind alleen de klok horen luiden dan splitst het kind maar wat: 22+6, 6 in 4 en 2 en die moet je uitrekenen. of 7+5=21.Daarna moet het kind de drie stappen (goed) uitvoeren. Het kind snapt de procedure. Geeft het kind af en toe een foute uitkomst dan is er geen sprake van een rekenbegripsfout maar van een concentratie- of een werkgeheugen­misser. De oplossing ligt dan daar en niet bij het rekenen. Meer gaan rekenen lijkt mij niet de oplossing. De oplossing ligt dan bij concentratie en werkgeheugen en niet bij het rekenen. Vaak is zijn deze fouten aan de uitkomst te zien: 17+5=20.
Naar top.



2 Plaatswaarde


2.1 Wat is plaatswaarde?

Decimale plaatswaarde is nu voor ons zeer vanzelfsprekend. Dat is het helemaal niet. De Romeinen hadden geen plaatswaarde per getal maar per cijfer. IV is 4 en VI is 6. De Romeinen schreven het getal 8888 zo:MMMMMMMMDCCCLXXXVIII

• 5 x meer tekens dan wij en de Arabieren nodig hebben. Veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwers en veel kijkwerk voor de ogen van de lezers.

• Niet in één oogopslag geheel zichtbaar. Drie of vier keer kijken en dan in werkgeheugen samenvoegen. Ga daar maar eens een staartdeling mee maken.

• Een systematiek van het getal is niet goed te zien. In dit geval gewoon 4 achten.

Hetzelfde geldt voor de rekenmeesters van de Egiyptenaren en de Mays's. En zo gek waren die inmiddels overleden rekenmeester nog niet.
Alleen al het lezen van getallen van deze toch vaak geniale oude rekenmeesters geeft een zware belasting voor de ogen en het werkgeheugen. Wij weten via de psychologie nu wel van visuele en werkgeheugen belasting. Heel begrijpelijk dat onze zevenjarigen daar wat moeite mee hebben.

Die moeite wordt groter omdat de kinderen het rekenen van groep 3 uitstekend doorlopen kunnen met hun ordinale Iene, miene, mutte. methoden. Ook de vingerteller kan de opgave uitstekend oplossen zonder plaatswaarde en inwisselen: gewoon twee verder bijtellen. Het kind krijgt geen weet van plaatswaarde en inwisselen en daar krijgt dan de rekenmeester weer geen weet van.

2.2 Hoe vertel ik plaatswaarde een zevenjarige?

Hoe leg je een zevenjarige plaatswaarde uit. Heel eenvoudig, gewoon niet. Laat het zien. Bijvoorbeeld door getallen tot 10 al listig in een tientallig kader te plaatsen. Zeg tegen het kind gewoon:
Wat zie je?
Hoeveel groene?
Hoeveel stippen kunnen er in?
Hoeveel is 8+2?
 
En dan een volgende stap. Zonder woorden maar tienen en enen wel weer listig geplaatst. Zeg tegen het kind gewoon:
Goh, wat is dit nou?
Welke sommen zie je?
Hoeveel is 8+4?
Hoe kan je dat uitrekenen zonder te tellen?
Zegt een slimmerik: dat is samen 92.
Ja dat is een forse fout. Van de rekenmeester. Die heeft het rekenniveau van het kind fors onderschat.

2.2. 1 Eerst maar de telwoorden

Letters in een woord zijn betekenisloos maar cijfers in een getal niet. Een lang woord is niet meer dan een kort woord maar een getal met veel cijfers is wel meer dan een getal met weinig cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10 maar Dik is niet 10 keer meer dan ik. Ik heeft helemaal niets met Dik te maken. Dit zijn grote verschillen en moet je het kind wel even uitleggen. Vooral als de kinderen tegelijk ook leren lezen en over 10 heen gaan. Taal is lineair. We kunnen maar een klank tegelijk uitspreken. Ons Latijnse schrift is dus ook lineair en loopt van links naar rechts. Arabieren schrijven van rechts naar links. In onze Arabische getallen lopen de cijfers dus ook van rechts naar links. Rechts eenheden dan links daarvan tientallen, etcetera. De leesrichting van getallen is omgekeerd aan de richting van woorden. Verwarrdend eigenlijk. De slimmerik zal dus denken dat 21 staat voor twaalf. Hoe zit het met de telwoorden? En als de getallen gesproken worden bepaalt het toeval de volgorde (eenentwintig maar honderdeen). Bij het rijgen noteer je een strakke volgorde van links naar rechts en daarbinnen spring je soms terug. Nu is precies die links - rechts volgorde in de rekentaal wat problematisch. De problemen en de oplossingen beginnen bij de tien. Het telwoord tien is één simpel woord, ook nog één-lettergrepig woord. Net als de woorden voor de andere hoeveelheden onder 10. Het getal tien is bestaat uit twéé rekenkundige 'woorden', namelijk 1 voor tient en nul voor eenheden. Het telwoord tien geeft die rekenkundige structuur niet weer. Onhandig voor zoiets essentieels en complex.

2.2.2 De plaats van de cijfers

Het cijfer 1 betekent altijd één en heeft geen synoniemen. Dat is bij telwoorden anders. Een slimmerik zou als telwoord voor 12 bijvoorbeeld kiezen twee-een. Van rechts naar links, natuurlijk en dan 2-eenheden en 1-tiental. Fout zegt de taalmeester. 12 betekent twaalf. De rekenmeester moet dus wel even uitleggen dat het twee-een is maar we noemen hem twaalf. De grootvader van het telwoord twaalf heette namelijk twee-lif en zijn overgrootvaderheette twee-blijft. Zijn overovergrootvader was een Noor en heette twee die overblijft. Als je twaalf hebt dan blijven er namelijk twee over omdat je maar tien vingers hebt. 15 heet weer normaal vijftien. Laat eventueel de slimmerik een tabel maken met telwoorden voor tienvingerigen en voor twaalfvingerigen. Heb je gelijk de tafel van 12 te pakken. Handig als het kind te zijner tijd in de verpakkingsindustrie gaat werken. Tip: gebruik de letters a tot en met k voor de eenheden tot 12. De eventuele 'hoogbegaafden' kun je een paar uur zoet houden door ze een tabel te laten maken met een vertaling van de telwoorden voor tienvingerigen naar zestigvingerigen. Te zijner tijd is dat handig bij het berekenen van tijden en koersen. Tip: gebruik de 26 kleine letter van het alfabet, de 26 hoofdletters en wat cijfers of leestekens voor de 60 eenheden.

Tot zover de telwoorden tot 20.
 
Hoe zit het met de telwoorden voor de tientallen. Eenvoudig, tenminste in het Nederlands en het Engels. Niet in het Frans. Daar heet tachtig vier maal twintig. Nou ja, eenvoudig in het Nederlands en het Engels? Wel komt er in het Nederlands na 20 ineens het tussenvoegsel en tussen de eenheden en de tientallen. Niet in het Engels maar daar verandert na 20 ineens de volgorde van eenheden en tientallen. De regels van de rekenmeester zijn eenvoudig: een nul achter een cijfer betekent: maal tien.

2.2.3 De volgorde van de cijfers

Volgorderegels voor woorden zijn anders dan voor getallen. 3=1+2=2+1=3 mag je van links naar rechts en van rechts naar links lezen. Maar ik ga betekent wat anders dan ga ik. Het antwoord 4 op de stip bij 1+.=3 is dus heel begrijpelijk. De twee in 21 en 12 is dezelfde twee met de zelfde betekenis. Maar de letter e in de naam Leo heeft niet dezelfde betekenis als dezelfde letter e in de naam Loe(wietje). Genoeg over de volgorde van tientallen en eenheden in de (reken)taal. Bij teksten bepaalt een praktisch argument de overgang naar een nieuwe regel. De regel is vol. Bij onder elkaar zetten is het argument voor een nieuwe regel: er komt nu een heel ander maar gelijkwaardig element: de tweede term. Bij teksten zet je de letters niet netjes onder elkaar. Waarnemingspsychologisch gezien ongewenst want dat maakt woorden minder goed leesbaar. Maar ja, de typemachines konden ooit niet anders. Bij getallen heeft het netjes onder elkaar zetten van de getallen per cijfer een psychologische zin. De eenheden en de tientallen komen dan netjes zeer dicht bij elkaar te staan. Goed. Tot zover de plaatswaarderegels van de taalmeester. De rekenmeester heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel ónder de rechter buren. Als een kind zeg: 12+3=eenvijf dan moet de meester dat goed rekenen. Ook vijfeen moet hij eigenlijk goed rekenen. Zegt het kind vier twee dan heeft hij iets fout gedaan. Hieronder staat wat de rekenmeester fout heeft gedaan.

2.2.4 Methode 1: rijgen

In is te lezen dat veel rekenmeesters rijgers zijn.
Overigens was een kolumist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werk­geheugen­fouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand. De rijgmethode kan vrijwel onveranderd elke programmeertaal in. Een computer kan niets anders dan rijgen (lineair werken). Best wel gek ook kinderen zo te programmeren, vind ik dan.
Voor mij persoonlijk is de doodsklap voor gerijg toch wel de analyse van handelingen. Maar ja, ik ben psycholoog. Visuele en werk­geheugen­handelingen bij het uitrekenen van de gemakshalve eenvoudige som 12+34 staan hier naast.Nogal ingewikkeld en chaotisch. Klopt. Dat bedoel ik dus. Er is ook nog een andere methode: kolommen.

2.2.5 Methode 2: kolommen

Naast rijgers heb je ook kolomisten. Zij zetten de getallen onder elkaar in kolommen: In groep zes schakelt het onderwijs over op onder elkaar. Termen termen onder elkaar
 12
+34
_____
36

Optellen doen we echter van rechts naar links eerst de eenheden en dan de tientallen. Immers de eenheden kunnen samen wel eens meer dan tien zijn en dan hoef je het tiental van de eenheden korter te onthouden.
Bij vermenigvuldigen en delen onder elkaar gaan we weer van links naar rechts met de eenheden als laatste. Opmerkelijk: als er gerekend moet worden dan gaan de getallen meestal onder elkaar: in de boekhouding, op rekeningen, op salarisstroken, in spreadsheets en bij procedures om grote getallen op te tellen, af te trekken, te delen en te vermenigvuldigen.
Willem Bartjes was een kolumist.
 
Behalve dan bij het leren rekenen.

Taal is lineair en een dimensionaal. Het getallensysteem is tot 100 tweedimensionaal en daarna n-dimensionaal. Het is wat vreemd de zwakte van taal (de lineaire structuur) te gebruiken om de sterkte van de getallen (de kolomstructuur) uit te leggen.

Met kolommen gaat de som direct de hersenen in. Dat gaat via één oogfixatie van 5° en 233 milliseconden en zonder processing in het werkgeheugen. Niet lineair zoals bij een computer maar parallel, alles tegelijk. Als je lineair eerst een kwartier gaat bessen plukken en daarna een kwartier gaat kijken of er wilde dieren aankomen, dan sterf je uit.
Wel wat belasting voor de rekenmeester overigens. Hij moet wel weten van oogbewegingen en werkgeheugen. En hij moet een goede visualisering maken of kiezen. Liefst een animatie van de rekenhandelingen. De verbale communicatie met het kind is daarentegen eenvoudiger bij rijgen: Kijk maar eens. Wat gebeurt er? Gebruik eventueel teksten als: De nul die is een spook die achter alle enen dook.
Visuele en werk­geheugen­handelingen bij het uitrekenen van 12+34 met kolommen.

 
Probeer maar eens uit te rekenen: 12 + 37 + 18 + 53 + 42 + 12 + 37 + 18 + 53 + 42 =

en nu:


12
37
18
53
42
12
37
18
53
42
=

 
• Met kolommen verminderen de visuele handelingen. De handelingen die er zijn kunnen Het kind zal zelf gewoon bepaalde vakjes niet meer invullen. De kleuren kunnen verdwijnen. Een volgende stap is dan de kleuren weg (nog niet de vakken) en daarna de tussen­berekening niet opschrijven maar wel een geheugensteun voor de tientallen uit de opgetelde eenheden.
 
Eerst kleine, dan grote getallen?

Verder is het wel gebruikelijk de grootte van de termen geleidelijk aan op te bouwen. Dus eerst sommen tot 10, dan tot 20, etc.
Je kunt er ook voor kiezen na de introductie van 10 of 20 snel grotere getallen aan te bieden. Zoveel verschil is er niet tussen 10+2 en 12+34. Plaatswaarde wordt dan duidelijker. De sommen zijn ook niet moeilijk. Zeker niet wanneer de termen onder elkaar staan. Uiteraard moeten sommen waarbij inwisselen nodig is, nog even wachten.
 
Stipgroepen naast elkaar

Voor tientalligheid echt aan de orde komt, is het goed voor te sorteren op het plaatswaard. Blokjes, getallenlijnen en eigenlijk ook vingerbeelden doen dat niet.
Met stippen kun je dat doen door subtiel getallen boven 10 volgens plaatswaarde te tonen.
 
Lusabacus

Plaatswaarde zit in de lusabacus gebakken. Met de lusabacus kun je goed zien of het kind inwisselen begrijpt. Kinderen die inwisselen niet begrijpen zullen het getal 13 opzetten met 10 rode+3 blauwe kralen.
Die kinderen kun je met de lusabacus visueel de rekentaalafspraak van het inwisselen en plaatswaarde tonen en eventueel motorisch laten uitvoeren. Desnoods schrijf je het getal 10 op de gele kralen voor de tientallen.Materiële en visuele handelingen zijn met de lusabacus goed mogelijk. Het nadeel van de lusabacus is dat de handelingen uitvoerig zijn en lang duren. Het kind moet zijn aandacht dus lang bij de som houden.
Naar top.



3 Inwis­selen

3.3Wat is inwisselen

Na het splitsen naar 10 komt het inwisselen. En dat is lastiger dan de meeste rekenmeesters denken. Er zijn verschillende inwisselsystemen.

• Computers wisselen met hun enen en nullen al na een in en daarna wisselen ze nog een keer bij acht in.

• Tijd kent een ingewikkeld inwisselsysteem. Jaren inwisselen bij 365 is handig omdat je dan gelijk loopt met de seizoenen. Uren, minuten en seconden inwisselen bij 60 is handig omdat je dan een goede verdeling krijgt in een cirkel. 'Goed' betekent dat je niet te snel met breuken hoeft te werken. Overigens is er wel een decimaal tijdssysteem.

• Duimen, voeten en ellen(bogen) zijn wel handig om ongeveer te weten wat de lengtehoeveelheid is en om met je eigen lichaamsdelen de maat te kunnen nemen. Maar het rekent niet handig. Vooral niet wanneer je 4 Rijnlandse duimen, 3 Rijnlandse voeten en 9 Rijnlandse ellen stof gekocht hebt en moet uitrekenen hoeveel 1 Amsterdamse duim, 1 Amsterdamse voet en 1 Amsterdamse el moet kosten.
Een wat uitgebreid verhaal, dat inwisselen. Moeten we die zevenjarigen hier nu al mee lastig vallen?
Naar top.



 

3.4 Hoe vertel ik het een zevenjarige?

Het inwisselen laat zich op verschillende manieren concretiseren en visualiseren.
 
MAB blokken

MAB (Multibase Arithmetic Blocks) zijn zeer concreet. Eigenlijk te concreet. De essentie van inwisselen is dat je een hoeveelheid inruilt voor een ander element. MAB-blokken tonen niet splitsen om 10 en de oneindige herhaling naar links (10, 100, 1000, 10 000, etc.) en naar rechts (10; 1; 0,1; 0,01; etc.).
Ook het biedt het materiaal geen andere oplossingsmethoden dan tellen. De materiële handelingen die de kinderen uit moeten voeren zijn nogal uitvoerig en duren lang. Daardoor kan het kind de draad kwijt raken. Vooral als het kind zich moeilijk kan concentreren.
 
Geld, met name centen en dubbeltjes

Dubbeltjes zijn wel een abstracte voorstelling van tientallen. De eenheden (centen) zijn niet meer zichtbaar zoals bij MAB.
Een voordeel van geld is dat je kunt aansluiten bij de wereld van het kind, bijvoorbeeld in de supermarkt. Het wachten is nog op de supermarkt die zijn voetbalplaatjes vervangt door 'reken'plaatjes op kinderproducten.
Lusabacus

De lusabacus toont duidelijk dat er ingewisseld moet worden. Een staaf mag maximaal 9 eenheden hebben dus 3 blauwe en 7 rode kralen moeten ingewisseld worden voor 1 gele tiental.
De inwisselhandeling kunnen de kinderen materieel uitvoeren en visueel zien. Eventuele fouten ziet de rekenmeester aan de handelingen met de kralen.
Naar top.



4 Nul

4.1Wat is nul?

Duizenden jaren maakten astronomen en priesters ingewikkelde berekeningen zonder de nul te gebruiken. De Romeinen kenden nul niet en hadden nul ook niet nodig: MMM is gewoon 3000.

In het Westen kwam nul in de 15de eeuw in gebruik.
Het is dus begrijpelijk dat volgens sommige kinderen 10+1=10 1. Dat is juist, maar alleen bij de taalmeester: lO+1=lol (fun). Rekentaalmisverstand nummer 1.Het is voorstelbaar dat een enigszins logisch denkende zevenjarige die geconfronteerd met deze woordenbrij denkt dat hij beland is in een chaotisch (getallen)systeem waarin je zonder nadenken gewoon alles maar uit je hoofd moet leren. Een beetje zoals bij lezen waarbij er in de letters en vaak ook in de woorden, weinig logica zit.Het omgekeerde is echter het geval. Het getallensysteem is zo logisch dat je vrijwel zonder leren alle rekenproblemen met wat redeneren kunt oplossen. Rekenwonders hebben echt niet de uitkomst van alle sommen die mogelijk zijn uit hun hoofd geleerd.

4.2 Hoe vertel ik dat een zevenjarige?

Om te beginnen is het gedoe met nul beter uit te leggen wanneer de rekenmeester optellingen onder elkaar zet.   10
  +2
=102
maar we schijven 12, dat is minder schrijf- en leeswerk.
Ook hier is er weer kans op een taal-rekenmisverstand (nummer: 2). De rekenmeester trekt de 1 en de 0 van tien samen tot één cijfer. Elf wordt dus niet 10 1 maar 11. De taalmeester doet het omgekeerde. De taalmeester schrijft één klank met twee letters, zoals ui, ei, etc.
Naar top.



5 Decimaal

5.1Wat is decimaal?

Een vierde geniaal idee is: wissel steeds bij hetzelfde aantal in. Dus niet zoals de Engelsen tot 1971 betaalden: 12 pence (niet 10) is 1 shilling, 20 shilling (niet 10 of eventueel weer 12) =1 pond. Hoeveel pond is 100 pence? dat was toen dus een lastige vraag? In Europa waren toen 100 centen 1 gulden, 1 mark of 1 frank. Hoeveel cent een gulden, mark of frank was, dat was een stomme vraag. Een Franse generaal was ooit nogal actief in héél Europa. Hij werd gek van de lokale duimen, voeten en ellen(bogen). Hij voerde het metrieke stelsel in met steeds inwisselen bij 10 (decimaal). Niemand minder dan Simon Stevin (1548-1620) heeft enkele decennia nog geprobeerd het metrieke decimale stelsel in Holland ingevoerd te krijgen. Maar ja, het systeem was Frans dus het volk moest daar niets van hebben. Het werd uiteindelijk in 1820 ingevoerd door de tamelijk autoritaire koopman koning Willem 1. Hij werd waarschijnlijk ook gek van het gereken voor zijn provinciale en Europese zaakjes.
 

5.2 Hoe vertel ik dat een zevenjarige?

De les voor de rekenmeester is dus: Zo vanzelfsprekend is het decimale stelsel niet. Vertel het de kinderen met zorg. Temeer omdat die tientalligheid het kind gemakkelijk kan ontgaan. Temeer omdat de taalmeester veel roet in de getallen gooit. Vooral creatieve en slimme kinderen kunnen tellend prima tienen halen met sommen tot 20 en zelfs 40. En voor de rekenmeester geldt misschien: Wat ingewikkeld allemaal, niet zeuren maar stampen. Je kunt je ook afvragen of decimalen en (getallen met een komma) en procenten niet een betere introductie zijn voor breuken dan een totaal nieuwe schrijfwijze (½ en ¾).
Naar top.


6 Vertél ik het een zevenjarige?

Het probleem was dat kinderen tellend blijven optellen. Tellen is hard mentaal werken: de telwoordenrij opzeggen, de twee termen onthouden, weten wanneer te stoppen en geen startfouten maken. Dit harde mentale werken kan vereenvoudigd worden door de ogen zoveel mogelijk rekenwerk te laten doen. Bij een oogvriendelijke presentatie kunnen de ogen die taken uitvoeren. Zo kunnen de ogen goed, zelfs zonder te tellen de hoeveelheid bepalen. Mits de hoeveelheid zich oogvriendelijk toont. En dan de taal. De woordtaal en de rekentaal zijn niet consistent. Bovendien wint de woordtaal meestal. Daar komt nog bij dat mensen en zeker zevenjarigen niet zo talig zijn. Taal kan het rekenen wel ondersteunen maar dan moet dat wel rekentaal zijn en niet woordtaal. En het lange­termijn­geheugen? Ook niet nodig. De strakke logica van het getallensysteem zorgt ervoor dat de sommen niet onthouden hoeven te worden maar altijd gereconstrueerd kunnen worden.
Het kan dus wel, rekenen zonder vingertellen door zevenjarigen. Zelfs vrijwel zonder het werkgeheugen en de hersenen. Wat moeten die hersenen dan nog doen? Nou, gewoon wat de hersenen altijd doen: kijken, wetmatigheden en patronen ontdekken zodat de waarneming de volgende keer nog sneller verloopt. En de rekenmeester? Wat moet die doen? Dit alles zo opschrijvend begin ik me eerlijk gezegd steeds meer af te vragen of het misschien beter is een of twee jaartjes te wachten met leren rekenen. Eerst maar beginnen met leren lezen?

Willem Bartjens begon ook niet met zevenjarigen. Hij begon met ambitieuzen die koopman of kapitein wilden worden om kosten en koersen te berekenen voor de net opgerichte VOC.

Later beginnen met rekenen? Niet haalbaar heet dat. We gaan het leren rekenen niet afstemmen op de psychologie van de mens.
Gelukkig zijn kinderen erg slim en leren ze wel rekenen, desnoods uiteindelijk, desnoods zonder onderwijs.
Naar top.


7 Hoe vertel ik het de lezer?

Vergelijk nu eens taal en rekenen.

TaalRekenen


• De taal is een complex, onsystematisch systeem van grammaticaregels mét hun uitzonderingen. Per taal toch wel duidenden regels volgens Het mag zelfs een taaltje meer zijn.


• Bij het optellen en aftrekken tot 100 zit je niet in de duizenden. Met de regels voor kardinaliteit, inwisselen bij 10, plaatswaarde en de nul ben je er toch wel. Geen uitzonderingen.


Uitzonderingen moet je allemaal afzonderlijk leren.


• De hersenen houden van systematiek. Ze kunnen dan met weinig regels veel problemen oplossen.


• Drie- tot zesjarigen leren zonder onderwijs en zonder visualiseringen die moedertaal.


• Zes- tot achtjarigen hebben kennelijk voor het leren rekenen 410 uur intensief en rijk gevisualiseerd rekenonderwijs nodig.


• Wat taal lastiger maakt is dat de taal veranderlijk is. Enkele tientallen kilometers of jaren verder en de taal is al anders. Ik kan de taal van een Chinees niet verstaan maar eigenlijk ook niet de taal van mijn Nederlandse collega Willem Bartjens die 400 jaar geleden rekenles gaf.


• Rekenen is onafhankelijk van plaats en tijd. Voor de Chinees, Bartjens en mij is 1+2 drie. Ook de schrijfwijze is gelijk.
 
Je zou denken dat optellen en aftrekken tot 100 dus een fluitje van een cent moet zijn voor die zevenjarigen. Dat blijkt niet zo te zijn, is mijn ervaring. Per klas zijn er altijd wel drie leerlingen die dat niet redden. Mijn ervaring is dat die drie kinderen uitstekend Nederlands spreken. Hoe komt het toch dat kinderen een eigenlijk onleerbaar systeem als een taal, op zeer jonge leeftijd en moeiteloos leren. Zijn zij ouder dan geeft een simpel zeer simpel logisch systeem zonder uitzonderingen wel problemen. Naast complexiteit, hersenvriendelijkheid, leeftijd en veranderlijkheid is er nog een verschil tussen taal en rekenen. Kinderen leren hun moedertaal zonder onderwijs.
Naar top.


Meer denkpsychologie voor het leren rekenen:

Leren rekenen

Leren rekenenrekenonderwijs optellen aftrekken basisschool computer diagnostiek remedial teaching

Leren rekenenleren rekenen optellen aftrekken basisschool nieuwe intelligentie algoritme

Leren rekenentoekomst onderwijs leren lezen rekenen supermarkt

Leren rekenen

Leren rekenen

Leren rekenen

Naar top.



Behalve psychologie voor leren rekenen ook psychologie voor:

ICT



x Invoer Morsesleutel Toekomst        multidimensionaal graphic   







Public design



 NS treinkaart automaat b100 betalen openbaar vervoer NS treinkaart automaat b8060 betalen openbaar vervoer  IMO international maritime organisation muster station sign plattegrond IKEA water vaar verkeersbord maximaal hoogte water vaar verkeersbord maximaal drie dik aanleggen water vaar verkeersbord maximale doorvaart hoogte 3 meter experimenteel vertrektijden bord openbaar vervoer structuur openbare ruimten experimenteel vertrektijden bord openbaar vervoer atb etcs snelheidsbeheersing aandacht trekken water vaar verkeersbord verboden aanleggen water vaar verkeersbord maximale hoogte water vaar verkeersbord verboden 3 dik aanleggen met meer schepen trein vertrektijd perron NS CTA OV openbaar vervoer betalen ov-chipkaart toekomst grafische bestemmingen lijst metro ondergrondse lijn  structuur hoefijzer winkelcentrum 







Icon/sign design



  3-d, perspectief,drie-dimensionaal verkeersbord toekomst parkeerverbod verkeersbord toekomst verboden inhalen verkeersbord toekomst maximum snelheid bepaalde 







Psychologie



helderheid voor betrouwbaarheid hersenen limgisch systeem en cortex aandacht trekken en aandacht sturen gebruik van de kleuren rood oranje en geel gevoeligheid van het oog voor kleuren humunculus mensmetafoor een mens in de zaadcel 







Toekomst volgens psychologie

          







Leren rekenen

leren rekenen basisschool MAB rekenblokken toekomst onderwijs leren lezen leren rekenen supermarkt leren rekenen basisschool tellen op de vingers aftellen leren rekenen vleksom puntsom rekenonderwijs basisschool tientallig stelsel tellen op de vingers rekenonderwijs basisschool computer diagnostiek remedial teaching graphics for quantitative data next generation 







Hogesnelheidstrein (ERMTS)

  ERMTS hoge snelheidstrein hsl ATB experimenteel interface voor machinist ERMTS high speed train control driver mmi ERMTS hoge snelheidstrein hsl ATB experimenteel interface voor achinist ERMTS hoge snelheidstrein hsl ATB experimenteel interface voor achinist 







Wetenschappelijke verantwoording

 









Naar top.


Contact


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.
Naar top.