5 Plaatswaarde

Een geniaal idee: verberg nul


Hoofdstuk 5 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Decimale plaatswaarde is voor volwassenen zo logisch, handig en vanzelfsprekend dat ze eigenlijk niet beter weten. Het duurde duizenden jaren voor slimme rekenmeesters decimale plaatswaarde ontwierpen. Het is dus begrijpelijk dat kinderen plaatswaarde niet zomaar begrijpen.



5.1 Wat is Plaatswaarde



5.2.1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren

De Romeinen hadden geen plaatswaarde per getal maar per cijfer. IV is 4 en VI is 6. De I (een) links van V (vijf) moet je aftrekken van V omdat hij links van de V staat. De Romeinen schreven het getal 8888 zo:

MMMMMMMMDCCCLXXXVIII

8888 met Romeinse cijfers.
Verbeelding 1.
Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.
  • De Romeinen hebben 5 x meer tekens nodig dan wij en de Arabieren. Veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwers en veel kijkwerk voor de ogen van de lezers.
  • Het getal 8 888 past gemakkelijk in het oogfixatieveld en is dus in één oogopslag geheel zichtbaar. De Romeinen moeten drie of vier keer kijken en dan in werkgeheugen samenvoegen. Ga daar maar eens een staartdeling mee maken.
  • Een regelmaat van het getal is niet te zien. In het Arabische systeem gewoon 4 achten.



De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren.
Verbeelding 2.
   

De schrijfwijze van de getallen van de Maya’s.
Verbeelding 3.



5.2.2 Plaatswaarde rekenkundig

De huidige rekenmeester heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel verborgen ónder de rechter buren. Dus bij twaalf staat de 0 van 10 onder de 2. Bij getallen geeft de plaats van het cijfer ook de werkelijke waarde van het cijfer aan. De 2 in 21 staat niet voor 2 eenheden maar voor 2 tientallen. Daardoor worden getallen veel compacter, passen ze beter in de oogfixatie en belasten ze minder het werkgeheugen. Ook zijn daardoor oplossingsmethoden als staartdelingen en onder elkaar zetten bij vermenigvuldigen veel eenvoudiger. Geniaal. Maar helaas ...



5.2.3 Plaatswaarde taalkundig

De taalmeester noteert de Latijnse letters in woorden lineair. De plaats van een letter betekent alleen dat je deze letter uit moet spreken ná de linker, de voorgaande. Bij het rekenen is dat anders.
Erg onhandig deze volgorde-hutspot. Vooral als je twee tegengestelde systemen tegelijk moet leren (volgorde van letters in woorden en cijfers voor rekenen). Vooral als je ook nog maar zeven jaar bent.

De taalmeester zou twaalf met cijfers schrijven als 102 of 210.Zeg dus minstens even tegen de kinderen: Je ziet hier weliswaar nog 102 maar we schrijven dat korter als: 12 die 2 zetten we gewoon op de nul. Deze wijze van noteren is uitermate geniaal en handig maar niet zo vanzelfsprekend, leert de geschiedenis.

Letters in een woord zijn betekenisloos. Het woord meer bedoelt grotere hoeveelheid maar heeft minder letters dan het woord minder dat het tegenovergestelde betekent: kleinere hoeveelheid Dik is niet 10 keer meer dan ik. Masar ik heeft helemaal niets met Dik te maken.Cijfers hebben wel betekenis. Een getal met meer cijfers geeft altijd een grotere hoeveelheid aan dan een getal met minder cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10.

Getallen gaan van rechts naar links, woorden van links naar rechts. In onze Arabische getallen lopen de cijfers dus ook van rechts naar links. Rechts eenheden dan links daarvan tientallen, etc. De leesrichting van getallen is omgekeerd aan de richting van woorden. Verwarrend eigenlijk.

De slimmerik zal dus denken dat 21 staat voor twaalf. 3=1+2=2+1=3 mag je van links naar rechts en van rechts naar links lezen. Maar ik ga betekent wat anders dan ga ik. De twee in 21 en 12 is dezelfde twee met dezelfde betekenis. Maar de letter e in de naam Leo heeft niet dezelfde betekenis als dezelfde letter e in de naam Loe(wietje).

Volgorde in telwoorden

Bij de telwoorden bepalen taalkundige wetten de volgorde (eenentwintig maar honderdeen). De klank oe is één klank met twee betekenisloze letters maar 12 is weliswaar ook één bepaald getal maar met twéé betekenisvolle cijfers. Sommige telwoorden hebben maar één lettergreep en suggereren één niet-samengestelde getal, bijvoorbeeld 10, 11 en twaalf. Maar het zijn samengestelde getallen. Twaalf is één lettergreep maar de betekenis is tweeledig, namelijk 1 tiental en nog 2 eenheden. Het veel voorkomende antwoord is 4 op de stip bij de som: 1+.=3, is dus heel begrijpelijk. Er staat een plus dus je moet optellen en de uitkomst moet op de punt.

Structuur van telwoorden

Het telwoord tien is één simpel woord en ook nog één-lettergrepig woord. Taalkundig geen enkele indicatie voor twee elementen. Net als de woorden voor de andere hoeveelheden onder 10. Het getal tien bestaat uit twéé rekenkundige 'woorden', namelijk 1 voor tien en 0 voor de eenheden. Het telwoord tien geeft die rekenkundige structuur niet weer. Dat geldt ook voor 11, 12 en 13. We zijn er nog niet. Je zegt tweehonderd maar weer niet eenhonderd. Onhandige en complexe telwoordentaal. En dat voor zoiets complex en essentieels als plaatswaarde.



5.3 Plaatswaarde in het leerproces

Volgorde van leerstappen:
gebruikelijk

  
volgorde hier

Automatiseren/memoriseren/instampen  3 Rekenend optellen
Breken naar 10 (inwisselen om 10)  4 Nul
Sommen boven 20.  5 Plaatswaarde
Ruilen van 10 (inwisselen).  6 Breken naar 10 (eventueel)
    7 Ruilen van 10


Meestal plaatst men Rekenend optellen vóór Breken naar 10. Waarom hier Breken naar 10Rekenend optellen
  • Waarom zou je als teller bij 9+2, 9+3 of 9+4 gaan breken om 10. Gewoon (vinger) tellen is veel sneller, concreter, minder werkgeheugenbelasting, risico op een fout en aanzienlijk minder gedoe. Zelfs 9+8 is tellend optellen minder mentale en werkgeheugen handelingen dan 9+8=9+1+7=10+9. Als een kind een paar keer rijtje laat doen als:
    9+5=
    9+6=
    9+7=
    De stap naar 8+x= is dan klein.
    Dat je de som uit kunt rekenen door gewoon één van de tweede term af te trekken. Dat is eenvoudiger dan het breken om 10 gedoe met bijvoorbeeld dakjes.

  • Boven 20 begint het eventueel interessant te worden omdat tellen het werkgeheugen dan sterk belast en de uitvoering lang duurt, bijvoorbeeld bij 59+8 en natuurlijk bij 8+59. Je zou kunnen zeggen, als je dan wil breken om 10, doe het dan met die sommen. Maar om die sommen uit te kunnen voeren moet je plaatswaarde en ook ruilen van 10 eenheden begrijpen. Dus plaatswaarde eerst.

  • Maar sommen boven 20 zijn in het leerproces van het reguliere onderwijs op dit moment nog niet aan de orde. En daarmee vervalt het nut van breken om 10.

  • De kinderen komen op dit moment net uit de fase van Rekenend optellen Daarbij hebben ze het ’echte’ rekenen (rekenend optellen) ontdekt. Voornamelijk nog onder 10 en goed visueel ondersteund met bij bijvoorbeeld dobbelsteenstippatronen. Plaatswaarde is dan een betere volgende stap. Plaatswaarde is, per definitie, eenvoudiger en een veld te visualiseren. Wanneer je ruilen van 10 vermijdt, kun je met kinderen uit groep 3 gemakkelijk sommen met termen boven miljoenen maken. Zo zal nog blijken. Dat is fun.

  • De truc van breken om 10 is dat je een som met 10 krijgt, bijvoorbeeld 9+3=10+2. Gemakkelijk, omdat 0+2 gemakkelijk is. Maar dan moet je wel weten dat 9+3 niet 93 is of 10+2=102 zoals de taalmeester onderwijst maar dat je de 2 óp de 0 moet zetten. Plaatswaarde dus.

  • Inwisselen is een tamelijk abstracte handeling die ook moeilijk te visualiseren is. Plaatswaarde is minder abstract, is een visuele eigenschap en is goed te visualiseren. Je automatiseert sommen onder 10

    Deelhandelingen bij plaatswaarde zijn namelijk sommen onder 10. Bij 123+456 moet het kind achtereenvolgens 3+6, 2+5 en 1+4 uitrekenen.


Bijvangst bij plaatswaarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren).

En dan, tot slot, mijn ervaring is dat het breken om 10 voor sommige kinderen erg moeilijk is. Er zijn kinderen die uitstekend uit het hoofd optellen tot 100 maar breken om 10 niet begrijpen.

Grote getallen

Als je plaatswaarde in het leerproces vóór breken om 10 zet, dan kun je eerder sommen met grote getallen doen. De vraag is niet of het kan. Het antwoord is eigenlijk dat het moet. Psychologisch gezien gaat immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling. De handelingen met grote getallen is gelijk aan de handelingen met kleine getallen. Rekenkundig gezien gaat het niet om de grootte van de getallen maar om de systematiek. Ook die is gelijk. Bij 10+2 komen de twee eenheden op de rechtste nul. Bij 1 000 000+1 ook. Wel tot miljoenen, zeker als je de termen onder elkaar zet. Je kunt de miljoenen ook naast elkaar zetten, zoals in de onderbouw gebruikelijk. De kinderen maken dan gemakkelijk visuele en werkgeheugen fouten. De rekenmeester trouwens ook. Je kunt de fun er in houden door de kinderen te vragen hoe je die fouten kunt voorkomen.


De rekenmeester moet wel even zo sluw zijn alleen sommen te geven waarbij nog geen eenheden voor tien geruild moeten worden. Kunnen die kinderen zich die grote getallen niet voorstellen. Nou, ik ook niet. Ook fun is de vraag: Wat is het grootste getal? Zo is mij gebleken.


Met plaatswaarde goed verbeeld is optellen eenvoudig.
Verbeelding 4.
De psychologische handelingen bij termen onder elkaar:

... zijn voor een groepdrieër identiek aan de handelingen bij de termen naast elkaar:

4+4=
5+2=
3+3=
4+2=
3+1=
2+1=
1+2=


Met plaatswaarde oog-onvriendelijk verbeeld is optellen lastig.
Verbeelding 5.
Ook voor de groepdrieër met 'rekenproblemen' zijn de handelingen identiek en de som dus geen probleem.


Het grote verschil is dat de eerste aanbieding fun is, zo is mij gebleken.

De denk- en rekenkundige ontwikkeling is verder

Kan helemaal niet dat inwisselen, zeggen denkpsychologen. De zevenjarige begint net met theoretiseren over wat buiten zijn perceptuele kennis valt. Dat geldt niet, althans minder, voor plaatswaarde. Plaatswaarde is per definitie eenvoudiger dan breken om 10. Plaats(waarde) is per definitie visueel. Plaatswaarde is ook eenvoudig te verbeelden.


Plaatswaarde vóór breken om 10 heeft verder het voordeel dat het denken van kind bij breken om 10 verder ontwikkeld is en beter begrijpen.


Ook zal het kind beter begrijpen dat rekenen niet een lineair liedje is als Iene, miene, mutte. maar een leuk spel met regels waarmee je ingewikkelde problemen creatief, eenvoudig en desnoods op je eigen wijze, kunt oplossen. Plaatswaarde gaat er in als koek bij het kind dat rekenend tellen ontdekt heeft, zo is mijn ervaring.



5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde

Plaatswaarde is veldkennis. Een geschreven getal is een veld met rechts een lijn voor eenheden, links daarvan een lijn voor tientallen en zo verder. De verbeelding van getallen boven 10 moet dus zo zijn dat die lijnen van het plaatswaarde-veld zichtbaar zijn.


5.4.1 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn

  • De getallenlijn plaatst de getallen lineair op een rij. Net als Un, dun, dip. De getallenlijn toont geen veld (zie § ).

  • Met maar 10 vingers kun je plaatswaarde niet met vingerbeelden verbeelden. Tenzij je ingewikkeld gaat doen met twee paar handen.

Het getal 9 met vingerbeelden.
Verbeelding 6.
  • MAB-materiaal komt dichter in de buurt dan de getallenlijn. Het heeft een tientallige structuur. Tot 1000. In eerste instantie is een voordeel verder dat de eenheden van een tiental zichtbaar blijven. Ook de tientallen en zelfs de honderdtallen zijn zichtbaar.
Maar waar de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal staan toon MAB niet. Ook nul toont MAB niet. De herhaling van tientalligheid naar links (steeds 10 x meer) en naar rechts (steeds 10x minder) is niet te zien. Plaatswaarde zit niet in MAB gebakken (Multibase Arithmetic Blocks). Je moet de eenheden en tientallen op de juiste plaats leggen..

MAB
Verbeelding 7.



5.4.2 Met stipgroepen

Stipgroepen kunnen tientalligheid goed tonen. Stipgroepen kunnen plaatswaarde tonen wanneer de rekenmeester de groepen van 10 listig volgens plaatswaarde toont.Die plaatsing heeft de rekenmeester goed in de hand wanneer de groepen op papier of op een beeldscherm staan. Verder kan de rekenmeester subtiel al eerder met plaatswaarde beginnen door stipgroepen volgens plaatswaarde te plaatsen.




Verbeelding 8.

Zeg tegen het kind gewoon:
  • Wat zie je?
  • Hoeveel groene?
  • Hoeveel stippen kunnen er in?
  • Hoeveel is 9+3?
  • Welk getal hoort er onder?



5.4.3 Met staafsteun op de lusabacus

MAB. De lusabacus verbeeldt plaatswaarde goed. Een lusabacus heeft een staaf met kralen voor 20 eenheden, links daarvan een staaf met 20 kralen voor de tientallen en zo verder. Tien op een staaf worden achter een schot geschoven en geruild tegen een kraal van de staaf links.Plaatswaarde is goed zichtbaar op de lusabacus.


Verbeelding 9.
Plaatswaarde op een demo-lusabacus. De (onderliggende) eenheden zijn nog verbeeld met stippen of nullen.

Plaatswaarde op de gebruikelijke lusababacus. De (onderliggende) eenheden zijn niet meer verbeeld, net als bij de geschreven getallen.
Verbeelding 10.



5.4.4 Met het 100-veld

Getallengenie Descartes kwam met het kardinale stelsel. Met zijn 'honderdveld' kon hij afstanden, kogelgewicht en hoek van het kanon optellen en de resultaten in tabellen zetten. Met de tabel kon de kanonnier dan rationeel richten. Dat was niet alleen nauwkeuriger maar vroeg ook minder kruit, ervaring en ’gevoel’.

De getallenlijn is geen veld maar het honderdveld is wel, per definitie. De ordening van de getallen komt overeen met de kenmerken van het tientallig plaatswaarde systeem. Horizontaal staan de lijnen van de eenheden en verticaal staan de lijnen van de tientallen.
  • Dit honderdveld heeft sluw ook nog extra oriëntatie (bewegwijzering): een lege smalle kolom voor vijf-vouden.

  • Verder hebben tientallen en eenheden van dit honderdveld een eigen kleur. Dit voorkomt dolen binnen getallen tussen tienen en enen. Verder toont de kleur de lijnen van eenheden en tientallen.

  • De nul is een rare (zie § ) Dat is goed te zien op dit honderdveld.

  • Je kunt méntaal navigeren: 19? AH die moet helemaal rechts staan. Bij de getallenlijn moet je vísueel navigeren: een oogsprong naar rechts en hopen dat je niet te ver gesprongen bent.

  • Het honderdveld toont wat er bij 100 gebeurt.

  • Met het honderdveld is de stap naar tabellen, oppervlak en klokkijken klein.

Een honderdveld met markante punten.
4+5=? Eerste rij links daar staat de 4. Rechts daarvan, naast het smalle lege hok wonen altijd de 5-hazen. De laatste haas woont op nummer 5. Dus 4+5=9.
Verbeelding 11.


Verbeelding 12.
De rekenmeester noemt de nummers, het kind klikt op de nummers en op het scherm verschijnt een figuurtje, bijvoorbeeld een gezicht. Je kunt het ook omdraaien: het kind noemt het nummer (van zijn tekening) en de rekenmeester klikt op het cijfer. Ook kun je de rekenmeester vervangen door een ander kind. Mijn ervaring is dat kinderen dit leuk vinden. Je kunt dit ook al doen wanneer kinderen breken om 10 nog moeten leren.

Verder kun je blindemannetje spelen. Wijs 19 aan, 90, etc. De rekenmeester kan dan zien of het kind de structuur begrijpt.

Het is gebruikelijk het 100-veld te tekenen van linksboven naar rechtsonder. Van linksboven naar rechtsonder is de route van de taalmeester. Dus rekenkundig gezien verdacht. Rekenkundig maakt het niet uit of naar boven de getallen groter of kleiner worden maar voor het rekenonderwijs wel. Temeer daar getallen oplopend van beneden naar boven ’realistischer’ is.

  • Het nulpunt onder, is in overeenstemming met het gebruik in de realiteit dat hoger meer is.

  • Ook eventuele realistische verbeeldingen passen dan beter (een hoge toren of een stapel kralen op de lusabacus, bijvoorbeeld). Je hoeft de toren dan niet op zijn kop te tekenen.

  • De stap naar grafieken is dan kleiner. In grafieken is meer meestal hoger.

  • De stap naar negatieve getallen en ook wel aftrekken (tot onder nul) is dan kleiner. Onder nul is onder de streep. Ook kom je rekenkundig en grafisch beter uit, wanneer beide assen negatief worden.


  • Voor de tellers is zo'n hazenflat met een creatieve rekenmeester geen probleem maar fun. Zo is mijn ervaring. Zelfs wanneer de kinderen nog nooit gehoord hebben van nullen, tienen, enen en plaatswaarde.Gewoon figuurtje maken door lijntje te verbinden. Druk op de knoppen 11,122,13,23,33,32,31,21. Er ontstaat dan een vierkantje. Voor de bollebozen: Welke getallen krijg je een gezichtje? Goed opgelost? Dan nog een keer, blind, zonder zichtbaar honderdveld. Knip het 100-veld in 100-stukjes, gooi die in een doos en laat het kind de puzzel maken.



    5.4.5 Met plaatssteun door onder elkaar zetten

    Er zijn twee methoden om sommen boven 20 aan te leren. De gebruikelijke methode is de lijn-methode rijgen: . Verder is er de veld-methode onder elkaar zetten. Wat zijn nu de verschillen?


    5.4.6 Met termen náást elkaar

    Met termen náást elkaar


    12+34=10+30+2+4=40+6=36
    5.4.7 Met termen ónder elkaar
      12
    +34
    =36
    • De getallen en de deelhandeling van een som staan naast elkaar: 12+34=10+30+2+4=40+6=36. Vaank rijgen genoemd. In tegenstelling tot termen onder elkaar. Lijnverbeelding, zoals tekst en ganzenbord. Taal is lineair en een dimensionaal. Het getallensysteem is tot 100 tweedimensionaal en daarna n-dimensionaal. Het is wat vreemd de zwakte van taal (de lineaire structuur) te gebruiken om de sterkte van de getallen (de kolomstructuur) uit te leggen
    • De getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar:
        12
      +34
      =36. Vaak tabellarisch genoemd. In tegenstelling tot termen naast elkaar Veldverbeelding, zoals als een tabel en dammen. Met kolommen gaat de som direct de hersenen in. Dat gaat via één oogfixatie van 5° en 233 milliseconden en zonder processing in het werkgeheugen. Niet lineair zoals bij een computer maar parallel, alles tegelijk. Als je lineair eerst een kwartier gaat bessen plukken en daarna een kwartier gaat kijken of er wilde dieren aankomen, dan sterf je uit.

      Wel wat belasting voor de rekenmeester overigens. Hij moet wel weten van oogbewegingen en werkgeheugen. En hij moet een goede visualisering maken of kiezen. Liefst een animatie van de rekenhandelingen. De verbale communicatie met het kind is daarentegen eenvoudiger bij rijgen: Kijk maar eens. Wat gebeurt er? Gebruik eventueel teksten als: De nul die is een spook die achter alle enen dook.
    • Gebruikelijk in onderbouw wanneer het systeem nog niet goed begrepen wordt
    • Gebruikelijk in bovenbouw. Opmerkelijk: als er gerekend moet worden dan gaan de getallen meestal onder elkaar: in de boekhouding, op rekeningen, op salarisstroken, in spreadsheets en bij procedures om grote getallen op te tellen, af te trekken, te delen en te vermenigvuldigen.
    • Bij teksten bepaalt een praktisch argument de overgang naar een nieuwe regel. De regel is vol. Bij teksten zet je de letters niet netjes onder elkaar. Waarnemingspsychologisch gezien ongewenst want dat maakt woorden minder goed leesbaar. Maar ja, de typemachines konden ooit niet anders.
    • Bij termen onder elkaar zetten is het argument voor een nieuwe regel: er komt nu een heel ander maar gelijkwaardig element: de tweede term. Bij getallen heeft het netjes onder elkaar zetten van de getallen per cijfer een psychologische zin. De eenheden en de tientallen komen dan netjes zeer dicht bij elkaar te staan.
    • Niet te doen als het ingewikkeld wordt, bijvoorbeeld grote getallen, vermenigvuldigen en staartdelen.
    • Grote getallen, vermenigvuldigen en staartdelen geen probleem.
    • Lineair, niet zoals dimensionale structuur van het getallensysteem en de schrijfwijze van getallen (plaatswaarde).
    • Dimensionaal zoals getallen bijvoorbeeld de schrijfwijze van getallen (plaatswaarde), het honderdveld en grafieken.
    • Verbeelding: getallenlijn, bruikbaarheid diskutabel, zie . Een beetje als dammen op een ganzenbord.
    • Verbeelding: honderdveld, goed bruikbaar (zie: § 5.4.4). Als dammen op een dambord.
    • Oogvriendelijkheid: laag, er zijn meer oogfixaties nodig (zie § 8.3.2).


      Verbeelding 13.
    • Oogvriendelijkheid: hoog, alles kan in één oogfixatieveld.


      Verbeelding 14.
    • Werkgeheugenvriendelijkheid: laag, werkgeheugen nodig.
    • Werkgeheugenvriendelijkheid hoog: werkgeheugen niet nodig (zie § ).
    • Kans op niet-rekenkundige fouten: hoog (werkgeheugenfouten, visuele mismatches, oogsprongfouten).
    • Kans op niet-rekenkundige fouten: laag.


    Het onderwijs wil niet graag twee methoden door elkaar geven. Mij is gebleken dat rekenende optellers, eventueel met het stempel 'rekenprobleem', daar géén moeite mee hebben. Ik geef kinderen plomp­verloren, zonder introductie sommen onder elkaar. Een enkel kind zegt: Hé, wat is dat? Ik leg dát niet uit maar zeg gewoon met een stalen gezicht: Ja dat vindt de rekenhaas gemakkelijker. De kinderen zijn wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. De taalmeester doet dat ook. Hij moet wel, want anders valt zijn tekst van het papier.

    Willem Bartjens

    Overigens was een kolomnist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden.

    Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werk­geheugen­fouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand.



    Willem Bartjes was een kolomnist.
    Verbeelding 15.

    Bron: Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.

    Teregulov
    (in Parreren & Carpay, 1972).
    rapporteert dat een tabellarische weergave tot een effectiever leerproces bleek te leiden dan een weergae in de vorm an doorlopende tekst.


    5.4.8 Met kleursteun

    Je kunt plaatswaarde ook visualiseren door de plaatsen een kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun positie en de plaats waar cijfers van de uitkomst krijgen een kleur.
    • De kleur versterkt het bij elkaar horen van tientallen en eenheden van de termen en de uitkomst. Ook wanneer de cijfers van de tientallen of eenheden niet direct bij elkaar staan. Bijvoorbeeld bij rijgen.

    • Verder stuurt kleur wat waar moet komen te staan. De kans op verhaspeling van tientallen en eenheden verkleint daardoor.

    • Bovendien is kleur een verbeelding die het kind eenvoudiger kan verbaliseren en mentaliseren dan de woorden tientallen en eenheden. Je hoort kinderen dan ook zeggen: Eerst de groenen. Ook wanneer alle cijfers zwart zijn.

    • Tot slot communiceert de rekenmeester met kleuren gemakkelijker met het kind dan met de abstracte woorden tientallen en eenheden, bijvoorbeeld: Er zit een klein foutje in (de kolom van) de groenen. Bij ongekleurde sommen hoor je kinderen wel fluisteren: Eerst groen.
    12
    +34
    =

    Kleursteun voor tientallen en eenheden.
    Verbeelding 16.



    5.4.9 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellen

    De rijg- en de kolommethode mengen rekenmeesters ook wel. Ook spreken rekenmeesters wel over cijferend optellen wanneer de tussenstappen niet in de tabel uitgeschreven worden. De uitkomst van elke kolom wordt direct opgeschreven.


    5.4.10 Met spelletjes





    5.5 Hoe verwoord je Plaatswaarde



    5.5.1 Met het woord plaatswaarde

    Het woord plaatswaarde is meer kindertaal dan het woord positiestelsel.


    5.5.2 Met voorloopnullen (01)

    Voorloopnullen vullen de lege posities links van de cijfers, dus niet 1 maar 01.Puur rekenkundig gezien zou je voorloopnullen moeten schrijven(001) want een spatie is geen cijfer. Maar getallen zonder voorloopnul lezen, schrijven en typen gemakkelijker. Overigens niet voor computers. Jaren geleden begrepen computers niet dat een spatie voor een getal hetzelfde is als een nul. Daarom tonen computers nu gelukkig getallen nog met voorloopnullen. Gelukkig voor de rekenmeester want deze realiteit vereenvoudigt de uitleg van plaatswaarde.Om de systematiek van plaatswaarde duidelijk te tonen kun je aanvankelijk even voorloopnullen tonen. De deelhandeling optellen van tientallen is dan niet spatie plus 2 tientallen maar nul plus twee tientallen. Voorloopnullen verduidelijken overigens niet alleen plaatswaarde bij optellen maar verduidelijken ook digitaal klokkijken. Mooie bijvangst. Het is mij gebleken dat kinderen geen moeite met voorloopnullen hebben. Je kunt eventueel gewoon zeggen: Ja dat is een beetje computertaal, kijk maar hier. (wijs naar bijvoorbeeld de tijd op je telefoon). Anders snappen computers het niet. Een voordeel van het gebruik van voorloopnullen is dat onmiddellijk zichtbaar wordt wanneer kinderen plaatswaarde niet begrijpen. Ze halen dan 01 en 10 door elkaar.



    5.5.2 Met pilotentaal

    Je kunt één verhaspelingsronde verminderen door kinderen aan het eind van de berekening de uitkomst niet te laten uitspreken maar te laten opschrijven. Als dat niet kan dan kun je pilotentaal spreken. Als piloten de telwoorden van taalmeesters zouden gebruiken dan zouden er meer vliegtuigen neerstorten.Dus, piloten noemen vlucht kl 123 gewoon Flight one, two, three. Moet een kind een getal verwoorden en verwart het kind gemakkelijk de cijfers laat hem dan gewoon ’Pilotentaal’ spreken. Als je het pilotenverhaal goed opdist, dan maak je fun van fouten.



    5.5.4 Met uitleg van telwoorden

    Hier boven ging het vooral om de volgorde van de cijfers in de telwoorden. Er zijn meer conflicten tussen de taalmeester en de rekenmeester.
    Eerste telwoord: 10

    Ui zijn twee tekens voor één klank en iu zijn twee tekens voor twéé klanken.


    Bij de rekenmeester is dat anders:
    10 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (een tiental en tien eenheden).
    01 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (nul tientallen en een 38eenheid).

    Volgende telwoord: 11

    Wat denkt een zevenjarige als je elf zegt? Dat is eenvoudig, namelijk: Ah, wat leuk, er doen ook elfjes mee.


    De rekenmeester moet dan toch even uitleggen dat elf een homoniem is (een woord met twee verschillende betekenissen). Die tweede betekenis is 1 plus 10, een tien eigenlijk maar de taalmeester noemt hem óók elf .

    Volgende telwoord: 12.

    Twee een of twee tien zal de slimmerik zeggen. Fout zegt de taalmeester. De grootvader van het telwoord twaalf heette namelijk twee-lif en zijn overgrootvader heette twee-blijft.


    Zijn overovergrootvader was een Noor en heette twee die overblijft (left). Als je twaalf hebt dan blijven er namelijk twee over omdat je maar tien vingers hebt. De Russische taalmeester spreekt geen oud Noors maar zegt 'gewoon': 2 op 10. Heel goed zegt de psycholoog want de twee komt visueel ook op de nul van 10. .

    Volgende telwoord: 13

    Dertien en veertien gaan nog wel. Vijftien en verder zijn rekenkundig perfect.


    De volgorde van de eenheden en tientallen is rekenkundig onhandig vijftien is misschien en logischer kandidaat voor 50 dan vijftig. Dat was ooit ook zo. In het Germaans betekende tig tiental. Bij de tachtig staat tig er niet alleen achter maar staat tig er ook nog voor (de letter t). Ook wat onhandig zou ja als rekenmeester zeggen. Germaans gaan praten als als het moeilijk worden (tientalligheid en plaatswaarde) terwijl er een goed Nederlands alternatief is, namelijk tien. Misschien toch even uitleggen aan de kinderen.

    Laat eventueel de slimmerik een tabel maken met telwoorden voor tienvingerigen en voor twaalfvingerigen. Heb je gelijk de tafel van 12 te pakken. Handig als het kind in de verpakkingsindustrie gaat werken. Tip: gebruik de letters a tot en met k voor de eenheden tot 12. Bollebozen kun je een paar uur zoethouden door ze een tabel te laten maken met een vertaling van de telwoorden voor tienvingerigen naar zestigvingerigen. Te zijner tijd is dat handig bij het berekenen van tijden en koersen. Tip: gebruik de 26 kleine letter van het alfabet, de 26 hoofdletters en wat cijfers of leestekens voor de 60 eenheden.

    Tot zover de telwoorden tot 20.
     
    Hoe zit het met de telwoorden voor de tientallen. Eenvoudig, tenminste in het Nederlands en het Engels. Niet in het Frans. Daar heet tachtig vier maal twintig. Nou ja, eenvoudig in het Nederlands en het Engels? Wel komt er in het Nederlands na 20 ineens het tussenvoegsel en tussen de eenheden en de tientallen. Niet in het Engels maar daar verandert na 20 ineens de volgorde van eenheden en tientallen. De regels van de rekenmeester zijn eenvoudig: een nul rechts een cijfer betekent: maal tien.



    5.5.4 Met réchts beginnen

    De taalmeester leert dat je links begint met lezen.Dat is niet handig bij 12+456. Je krijgt dan gemakkelijk als uitkomst 576. Ook bij 12+459 kun je beter rechts beginnen omdat je dan de 10 van 2+9 gelijk bij de 70 en de 50 kunt tellen.

    Dus ...

    De taalmeester maakt een flinke hutspot van plaatswaarde. Hieronder hoe de rekenmeester deze woordhutspot verteerbaar kan maken.
    Reken uit: 200+34
    Je rekent van rechts naar links:4, 3, 2.
    Van de taalmeester moet je zeggen:2, 4, 3.
    Je schrijft of typt van links naar rechts:2, 3, 4.
    Gaat er wat fout in deze volgordehutspot dan kan het kind niet rekenen. Je zou ook kunnen zeggen dat de taalmeester niet kan rekenen. Ze zijn inconsistent en verbergen tientalligheid en plaatswaarde. Een kleine verandering in de situatie is een belangrijke oorzaak van fouten leert de veiligheidsbijbel al 32 jaar. Vooral wanneer in de situatie geautomatiseerde handelingen uitgevoerd moeten worden. Zoals dus bij het rekenen. Ga maar eens in een auto rijden waarin de gas- en de rempedaal verwisseld zijn.

    Overigens zijn dit alleen de conflicten tussen taal- en rekenmeester over de volgorde van cijfers in plaatswaarde. In het totaal tellen we hier 57 van dat soort conflicten.



    5.6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde

    Met plaatswaarde kan de vingerteller sneller 10+8 uitrekenen dan tellend. Maar dan moet je nul en plaatswaarde wel begrijpen. Plaatswaarde gebruiken geeft tellers een boost en fun: Ik kan het wel! en Ik ben geen teller meer!, zo is mijn ervaring. Plaatswaarde met een uitkomst tot 100 geheel uit het hoofd (zonder papier voor geheugensteun) en verwoorden van de uitkomst (met omwisselen naar de telwoordvolgorde), blijft lastig. Je kunt je afvragen of je kinderen daar wel lastig mee moet vallen. Daar komt nog een bedreiging bij: de volgende leerfase: Inwisselen (38+13).



    5.6.1 Met grote getallen

    Sinds omstreeks 1800 begon de taalmeester met aap, noot, mies. Woorden met vijf of meer letters. De globaal methoden in plaats van eerst het alfabet leren. Nog steeds een goede methode. Tamelijk geniaal ook, psychologisch gezien. En dan de rekenmeester omstreeks 2020. In het onderwijs is het wel gebruikelijk het leerproces te ordenen op basis van de grootte van de getallen, bijvoorbeeld tot 10, tot 20, tot 100 etc. Pas na een of twee jaar worden dat drie cijfers. Waarom doet de rekenmeester het anders dan de taalmeester?

    De oorzaak is dat met name de Amerikaanse leerpsychologie benadrukt dat je leerstof moet indelen. Ja natuurijk. Maar hoe dat moet, daar zijn de Amerikanen niet zo duidelijk over (zie § 8.5.5). Leren rekenen opbouwen via grootte van getallen lijkt heel logisch. Maar leren rekenen is geen puntkennis maar veldkennis. Het gaat niet om de getallen maar het gaat om veldkennis: het systeem van de getallen, het honderdveld. Plaatswaarde is zo’n systeem kenmerk. Een systeem is een herhaling van hetzelfde. Een systeemkenmerk kun je alleen leren en begrijpen als je meer situaties ziet van hetzelfde. Dus niet alleen 10+10 maar ook 100+100 en 1000+1000, etc. Je kunt Stundentakt (noot 1)(noot: 1) van het OV niet begrijpen als je weet dat de trein 10 over 11 vertrekt. Pas als je ziet dat er treinen vertrekken om 8:10, 9:10, 10:10 etc. snap je wat Stundentakt is . Overigens begon Willem Bartjens ook gelijk met grote getallen. Op pagina 1 al tot 100 en op pagina 3 kwam hij met miljard. Vervolgens ook vrij snel een uitbreiding naar links en naar rechts (millimeter, micron, kilo, mega en giga)? Of dat alleen voor de bollebozen.

    Toch wel gek.
    • Kunnen kinderen zich 2 000 000 niet voorstellen. Nou ik ook niet. Het gaat niet om de grootte van de getallen. Het gaat om de systematiek. 1 000 000 + 1 000 000 is gewoon 2 000 000, net zoiets als 1 koe + 1 koe en als 1+1. Hoe laat een slak aankomt wanneer hij kruipt naar een zwarte gat, hier 27 000 lichtjaar vandaan, dat kan ik me niet voorstellen. Maar ik kan het wel uitrekenen. Die berekening is verder aardige oefening voor inzicht in begrippen als eindeloos en oneindig. Desnoods alleen voor bollebozen.

    • Waarom wel tienduizend voor 10 000 maar niet niet tientien voor 100 en voor duizend 10x3 (zeg: 10 keer 3)?

    • Met de termen onder elkaar en in pilotentaal is de som 1 000 000 + 2 000 000 voor een vierdeklasser met 'rekenproblemen', geen enkel probleem, zo is mij gebleken. In tegendeel. Het 'rekenprobleem' uit groep 4 bazuint rond dat het sommen van groep 8 kan. Dat is fun.

    • Nou ja. Dat gelabel van hoeveelheden van de taalmeester is dat nou wel nodig. Archimedes vond het na 10 000 wel welletjes en benoemde grotere getallen als een soort machten. Vervolgens ging hij met koningen in discussie hoeveel zandkorrels er liggen op dit strand, op al de stranden van de koning en op al de stranden van de wereld Archimedes kon zich die aantallen ook niet voorstellen. Maar hij kon ze wel berekenen en opschrijven. Daar kun je ook bollebozen mee zoethouden.

    Dus ...

    Wat betekent dat nu in de praktijk. Nou heel eenvoudig. Snapt het kind nul en plaatswaarde een beetje dan ijskoud snel naar sommen als:



    Verbeelding 17.


    Mijn ervaring is dat deze som voor een ’rekenprobleem’ geen probleem maar fun is. Kennelijk valt het kwartje en ziet het kind dat het zelfs sommen uit groep 6 kan. De sommen zijn ook niet moeilijk. Zeker niet wanneer de termen onder elkaar staan. Uiteraard moet de rekenmeester wel zo sluw zijn dat hij sommen met inwisselen nog even niet toont. Met deze ene som bijvoorbeeld, rekent het kind zeven maal een som onder 10 uitrekent. Een mooie bijvangst voor het rekenend optellen van deze sommen (automatiseren).


    Plaatswaarde is op deze wijze een makkie. Het leert de teller dat rekenen niet vingertellen is maar volgens regels een puzzel oplossen. Dat alles is een goed startpunt voor de volgende, tamelijk lastige stap:


    conflict: 19
    fun: 7
    fun_min: 0
    index: 24

    Woordtellingen naar kop:
    $n_woord_conflict_tot=$n_woord_conflict_tot+19;//plaatswaarde
    $n_woord_fun_tot=$n_woord_fun_tot+7;//plaatswaarde
    $n_woord_fun_min_tot=$n_woord_fun_min_tot+0;//plaatswaarde
    $n_woord_grotegetallen_tot=$n_woord_grotegetallen_tot+1;//plaatswaarde
    $n_woord_index_tot=$n_woord_index_tot+24;//plaatswaarde
    $n_woord_kindrealiteit_tot=$n_woord_kindrealiteit_tot+0;//plaatswaarde
    $n_woord_verbeelding_boek[5]=17;$n_woord_verbeelding_tot=$n_woord_verbeelding_tot+17;//plaatswaarde

    conflict: 57
    fun: 10
    fun_min: 4
    index: 90
    grotegetallen: 0
    Verbeeldingen tot: 20
    Index:
    plaatswaardePlaatswaarde is ... §5.2.2 plaatswaarde
    grote getallenEn plaatswaarde. §5.2.3 plaatswaarde
    twaalfRekenkundig gezien eigenlijk 'een (op de nul van) tien'. Zeg wel dit tegen de kinderen en: Maar we noemen hem twaalf. §5.2.3 plaatswaarde
    incidenteel lerenBijvangst bij plaatswaarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren). §5.3 plaatswaarde
    grote getallenVroegtijdig introduceren. §5.3 plaatswaarde
    MABPlaatswaarde zit niet in MAB gebakken (Multibase Arithmetic Blocks). Je moet de eenheden en tientallen op de juiste plaats leggen. §5.4.1 plaatswaarde
    lusabacusLusabacus en plaatswaarde. §5.4.3 plaatswaarde
    honderdveldHet honderdveld verbeeldt plaatswaarde goed. Het honderdveld heeft markante visuele punten: elk honderdveld heeft: links, rechts, boven, onder en midden. Dat is al vier maal meer oriëntatie dan een getallenlijn. De getallenlijn stopt en gaat eventueel naar een nieuwe regel omdat hij tegen een muur aanloopt. Net als bij de taalmeester: regel vol, dan naar de volgende regel. Het honderdveld neemt een nieuwe regel omdat er een tiental vol is. §5.4.4 plaatswaarde
    nulOp het honderdveld. §5.4.4 plaatswaarde
    blindBlindemannetje spelen op het 100-veld. §5.4.4 plaatswaarde
    realistisch rekenenEen omgedraaid honderdveld is realistischer §5.4.4 plaatswaarde
    bolleboosBlind navigeren op het 100-veld. §5.4.4 plaatswaarde
    naast elkaarDe getallen en de deelhandeling van een som staan naast elkaar: 12+34=10+30+2+4=40+6=36. Vaak rijgen genoemd. In tegenstelling tot termen onder elkaar. §5.4.6 plaatswaarde
    onder elkaarDe getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar:
      12
    +34
    =36. Vaak tabellarisch genoemd. In tegenstelling tot termen naast elkaar. §5.4.6
    plaatswaarde
    positiewaardeHet woord plaatswaarde is meer kindertaal dan het woord positiestelsel. §5.5.1 plaatswaarde
    voorloopnulVoorloopnullen vullen de lege posities links van de cijfers, dus niet 1 maar 01. §5.5.2 plaatswaarde
    tien, het telwoordDiscrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. §5.5.4 plaatswaarde
    elf, het telwoordDiscrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. §5.5.4 plaatswaarde
    twaalf, het telwoordDiscrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. §5.5.4 plaatswaarde
    vijftien, het telwoordJe zou kunnen denken vijf (van/maal) tien dus 50. §5.5.4 plaatswaarde
    bolleboosZoethouden met zestalligstelsel. §5.5.4 plaatswaarde
    bolleboosZoethouden met zeer grote en zeer kleine getallen. §5.6.1 plaatswaarde
    bolleboosZoethouden met oneindigheid. §5.6.1 plaatswaarde
    bolleboosZoethouden met hele grote getallen. §5.6.1 plaatswaarde

    24 n woord index

    Dit hoofdstuk

    5 Plaatswaarde

    5.1 Wat is Plaatswaarde

          1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren
          2 Plaatswaarde rekenkundig
          3 Plaatswaarde taalkundig

    5.3 Plaatswaarde in het leerproces


    5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde

          1 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn
          2 Met stipgroepen
          3 Met staafsteun op de lusabacus
          4 Met het 100-veld
          5 Met plaatssteun door onder elkaar zetten
          6 Met termen náást elkaar
          8 Met kleursteun
          9 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellen
          10 Met spelletjes

    5.5 Hoe verwoord je Plaatswaarde

          1 Met het woord plaatswaarde
          2 Met voorloopnullen (01)
          3 Met pilotentaal
          4 Met uitleg van telwoorden
          5 Met réchts beginnen

    6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde

          1 Met grote getallen

    Andere hoofdstukken


    1 Rekenvoorwaarden

    2 Tellend optellen

    3 Rekenend optellen

    4 Nul

    5 Plaatswaarde

    6 Breken naar 10

    7 Ruilen van 10

    8 Psychologiekennis Nog niet beschikbaar

    9 Getalkennis Nog niet beschikbaar


    Literatuur:


    Van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Eds.), (2009). Kinderen Leren Rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen Bovenbouw Basisschool.
    Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.
    Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M., (1972). Sovjetpsychologen aan het woord. Leerpsychologie en onderwijs 2. Groningen:Wolters-Noordhoff NV.
    Treffers, A., Noteboom, A. & de Goeij, E., (2009). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In: van den Heuvel_Panhuizen, Buys & Treffers, 2009.
    Van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Eds.), (2009). Kinderen Leren Rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen Bovenbouw Basisschool.
    Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 177.
    Reason, J. (2009). Human Error. Cambridge, etc: Cambridge University Press. (Eerste druk 1990.)
    Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
    Beckers, D., & M. Kool. (2004). Willem Bartjens De Cijfferinghe (1604). het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren.
    Kaplan, R. (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.



    Voetnoten:

    1) 1) Duitse woord ’uurritme’. Elk uur een maal op dezelfde minuut.

    Getallen, kinderen en psychologie

    Fase 1:Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
    Fase 2:Door tellen blijven kinderen tellen
    Fase 3:Hoe kom je van dat vingertellen af
    Fase 4:Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
    Fase 5:Een geniaal idee: verberg nul
    Fase 6:Breek met aanvullen en met breken
    Fase 7:Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
    Fase 8:Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
    Fase 9:Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.




    +31 (653) 739 750
    Parkstraat 19
    3581 PB Utrecht
    Nederland

    leonardverhoef@gmail.com
    Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.