5 Plaatswaarde |
![]() |
5.1 Wat is Plaatswaarde |
5.2.1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren |
De Romeinen hadden geen plaatswaarde per getal maar per cijfer. IV is 4 en VI is 6. De I (een) links van V (vijf) moet je aftrekken van V omdat hij links van de V staat. De Romeinen schreven het getal 8888 zo: MMMMMMMMDCCCLXXXVIII 8888 met Romeinse cijfers. Verbeelding 1. | Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.
|
![]() De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren. Verbeelding 2. |
![]() De schrijfwijze van de getallen van de Maya’s. Verbeelding 3. |
5.2.2 Plaatswaarde rekenkundig |
De huidige rekenmeester heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel verborgen ónder de rechter buren. Dus bij twaalf staat de 0 van 10 onder de 2. | Bij getallen geeft de plaats van het cijfer ook de werkelijke waarde van het cijfer aan. De 2 in 21 staat niet voor 2 eenheden maar voor 2 tientallen. Daardoor worden getallen veel compacter, passen ze beter in de oogfixatie en belasten ze minder het werkgeheugen. Ook zijn daardoor oplossingsmethoden als staartdelingen en onder elkaar zetten bij vermenigvuldigen veel eenvoudiger. Geniaal. Maar helaas ... |
5.2.3 Plaatswaarde taalkundig |
De taalmeester noteert de Latijnse letters in woorden lineair. De plaats van een letter betekent alleen dat je deze letter uit moet spreken ná de linker, de voorgaande. |
Bij het rekenen is dat anders.
Overigens zijn er ook rekenmeesters die getallen van links naar rechts lezen. definiëren ronde getallen als getallen met een of meer nullen aan het eind. |
De taalmeester zou twaalf met cijfers schrijven als 102 of 210. | Zeg dus minstens even tegen de kinderen: Je ziet hier weliswaar nog 102 maar we schrijven dat korter als: 12 die 2 zetten we gewoon op de nul. Deze wijze van noteren is uitermate geniaal en handig maar niet zo vanzelfsprekend, leert de geschiedenis. |
Letters in een woord zijn betekenisloos. Het woord meer bedoelt grotere hoeveelheid maar heeft minder letters dan het woord minder dat het tegenovergestelde betekent: kleinere hoeveelheid Dik is niet 10 keer meer dan ik. Masar ik heeft helemaal niets met Dik te maken. | Cijfers hebben wel betekenis. Een getal met meer cijfers geeft altijd een grotere hoeveelheid aan dan een getal met minder cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10. |
Getallen gaan van rechts naar links, woorden van links naar rechts. In onze Arabische getallen lopen de cijfers dus ook van rechts naar links. Rechts eenheden dan links daarvan tientallen, etc.
De leesrichting van getallen is omgekeerd aan de richting van woorden. Verwarrend eigenlijk. De slimmerik zal dus denken dat 21 staat voor twaalf. 3=1+2=2+1=3 mag je van links naar rechts en van rechts naar links lezen. Maar ik ga betekent wat anders dan ga ik. De twee in 21 en 12 is dezelfde twee met dezelfde betekenis. Maar de letter e in de naam Leo heeft niet dezelfde betekenis als dezelfde letter e in de naam Loe(wietje). |
Volgorde in telwoorden Bij de telwoorden bepalen taalkundige wetten de volgorde (eenentwintig maar honderdeen). De klank oe is één klank met twee betekenisloze letters maar 12 is weliswaar ook één bepaald getal maar met twéé betekenisvolle cijfers. Sommige telwoorden hebben maar één lettergreep en suggereren één niet-samengestelde getal, bijvoorbeeld 10, 11 en twaalf. Maar het zijn samengestelde getallen. Twaalf is één lettergreep maar de betekenis is tweeledig, namelijk 1 tiental en nog 2 eenheden. Het veel voorkomende antwoord is 4 op de stip bij de som: 1+.=3, is dus heel begrijpelijk. Er staat een plus dus je moet optellen en de uitkomst moet op de punt. |
Structuur van telwoorden Het telwoord tien is één simpel woord en ook nog één-lettergrepig woord. Taalkundig geen enkele indicatie voor twee elementen. Net als de woorden voor de andere hoeveelheden onder 10. Het getal tien bestaat uit twéé rekenkundige 'woorden', namelijk 1 voor tien en 0 voor de eenheden. Het telwoord tien geeft die rekenkundige structuur niet weer. Dat geldt ook voor 11, 12 en 13. We zijn er nog niet. Je zegt tweehonderd maar weer niet eenhonderd. Onhandige en complexe telwoordentaal. En dat voor zoiets complex en essentieels als plaatswaarde. |
5.3 Plaatswaarde in het leerproces |
|
Meestal plaatst men Rekenend optellen vóór Breken naar 10.
Waarom hier Breken naar 10 ná Rekenend optellen
|
| Bijvangst bij plaatswaarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren). En dan, tot slot, mijn ervaring is dat het breken om 10 voor sommige kinderen erg moeilijk is. Er zijn kinderen die uitstekend uit het hoofd optellen tot 100 maar breken om 10 niet begrijpen. |
Grote getallen Als je plaatswaarde in het leerproces vóór breken om 10 zet, dan kun je eerder sommen met grote getallen doen. De vraag is niet of het kan. Het antwoord is eigenlijk dat het moet. Psychologisch gezien gaat immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling. De handelingen met grote getallen is gelijk aan de handelingen met kleine getallen. Rekenkundig gezien gaat het niet om de grootte van de getallen maar om de systematiek. Ook die is gelijk. Bij 10+2 komen de twee eenheden op de rechtste nul. Bij 1 000 000+1 ook. Wel tot miljoenen, zeker als je de termen onder elkaar zet. Je kunt de miljoenen ook naast elkaar zetten, zoals in de onderbouw gebruikelijk. De kinderen maken dan gemakkelijk visuele en werkgeheugen fouten. De rekenmeester trouwens ook. Je kunt de fun er in houden door de kinderen te vragen hoe je die fouten kunt voorkomen. | De rekenmeester moet wel even zo sluw zijn alleen sommen te geven waarbij nog geen eenheden voor tien geruild moeten worden. Kunnen die kinderen zich die grote getallen niet voorstellen. Nou, ik ook niet. Ook fun is de vraag: Wat is het grootste getal? Zo is mij gebleken. |
![]() Met plaatswaarde goed verbeeld is optellen eenvoudig. Verbeelding 4. |
De psychologische handelingen bij termen onder elkaar: ... zijn voor een groepdrieër identiek aan de handelingen bij de termen naast elkaar: 4+4= 5+2= 3+3= 4+2= 3+1= 2+1= 1+2= Met plaatswaarde oog-onvriendelijk verbeeld is optellen lastig. Verbeelding 5. |
Het grote verschil is dat de eerste aanbieding fun is, zo is mij gebleken. |
De denk- en rekenkundige ontwikkeling is verder Kan helemaal niet dat inwisselen, zeggen denkpsychologen. De zevenjarige begint net met theoretiseren over wat buiten zijn perceptuele kennis valt. Dat geldt niet, althans minder, voor plaatswaarde. Plaatswaarde is per definitie eenvoudiger dan breken om 10. Plaats(waarde) is per definitie visueel. Plaatswaarde is ook eenvoudig te verbeelden. | Plaatswaarde vóór breken om 10 heeft verder het voordeel dat het denken van kind bij breken om 10 verder ontwikkeld is en beter begrijpen. | Ook zal het kind beter begrijpen dat rekenen niet een lineair liedje is als Iene, miene, mutte. maar een leuk spel met regels waarmee je ingewikkelde problemen creatief, eenvoudig en desnoods op je eigen wijze, kunt oplossen. Plaatswaarde gaat er in als koek bij het kind dat rekenend tellen ontdekt heeft, zo is mijn ervaring. |
5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde |
5.4.1 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn |
| ![]() Het getal 9 met vingerbeelden. Verbeelding 6. |
| Maar waar de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal staan toon MAB niet. Ook nul toont MAB niet. De herhaling van tientalligheid naar links (steeds 10 x meer) en naar rechts (steeds 10x minder) is niet te zien. Plaatswaarde zit niet in MAB gebakken (Multibase Arithmetic Blocks). Je moet de eenheden en tientallen op de juiste plaats leggen.. | ![]() MAB Verbeelding 7. |
5.4.2 Met stipgroepen |
Stipgroepen kunnen tientalligheid goed tonen. Stipgroepen kunnen plaatswaarde tonen wanneer de rekenmeester de groepen van 10 listig volgens plaatswaarde toont. | Die plaatsing heeft de rekenmeester goed in de hand wanneer de groepen op papier of op een beeldscherm staan. Verder kan de rekenmeester subtiel al eerder met plaatswaarde beginnen door stipgroepen volgens plaatswaarde te plaatsen. |
![]() Verbeelding 8. |
|
Zeg tegen het kind gewoon:
|
5.4.3 Met staafsteun op de lusabacus |
MAB. De lusabacus verbeeldt plaatswaarde goed. Een lusabacus heeft een staaf met kralen voor 20 eenheden, links daarvan een staaf met 20 kralen voor de tientallen en zo verder. Tien op een staaf worden achter een schot geschoven en geruild tegen een kraal van de staaf links.Plaatswaarde is goed zichtbaar op de lusabacus. | ![]() Verbeelding 9. | Plaatswaarde op een demo-lusabacus. De (onderliggende) eenheden zijn nog verbeeld met stippen of nullen. | ![]() Plaatswaarde op de gebruikelijke lusababacus. De (onderliggende) eenheden zijn niet meer verbeeld, net als bij de geschreven getallen. Verbeelding 10. |
5.4.4 Met het 100-veld |
5.4.5 Met plaatssteun door onder elkaar zettenEr zijn twee methoden om sommen boven 20 aan te leren. De gebruikelijke methode is de lijn-methode rijgen: . Verder is er de veld-methode onder elkaar zetten. Wat zijn nu de verschillen? |
5.4.6 Met termen náást elkaarMet termen náást elkaar12+34=10+30+2+4=40+6=36 |
5.4.7
Met termen ónder elkaar 12 +34 =36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Het onderwijs wil niet graag twee methoden door elkaar geven. Mij is gebleken dat rekenende optellers, eventueel met het stempel 'rekenprobleem', daar géén moeite mee hebben. | Ik geef kinderen plompverloren, zonder introductie sommen onder elkaar. Een enkel kind zegt: Hé, wat is dat? Ik leg dát niet uit maar zeg gewoon met een stalen gezicht: Ja dat vindt de rekenhaas gemakkelijker. De kinderen zijn wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. De taalmeester doet dat ook. Hij moet wel, want anders valt zijn tekst van het papier. |
Willem Bartjens Overigens was een kolomnist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werkgeheugenfouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand. | ![]() Willem Bartjes was een kolomnist. Verbeelding 15. Bron: Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004. |
5.4.8 Met kleursteun |
Je kunt plaatswaarde ook visualiseren door de plaatsen een kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun positie en de plaats waar cijfers van de uitkomst krijgen een kleur.
|
Kleursteun voor tientallen en eenheden. Verbeelding 16. |
5.4.9 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellenDe rijg- en de kolommethode mengen rekenmeesters ook wel. Ook spreken rekenmeesters wel over cijferend optellen wanneer de tussenstappen niet in de tabel uitgeschreven worden. De uitkomst van elke kolom wordt direct opgeschreven. |
5.4.10 Met spelletjes |
5.5 Hoe verwoord je Plaatswaarde |
|
Het woord plaatswaarde is meer kindertaal dan het woord positiestelsel. |
5.5.2 Met voorloopnullen (01) |
Voorloopnullen vullen de lege posities links van de cijfers, dus niet 1 maar 01.Puur rekenkundig gezien zou je voorloopnullen moeten schrijven(001) want een spatie is geen cijfer. Maar getallen zonder voorloopnul lezen, schrijven en typen gemakkelijker. Overigens niet voor computers. Jaren geleden begrepen computers niet dat een spatie voor een getal hetzelfde is als een nul. Daarom tonen computers nu gelukkig getallen nog met voorloopnullen. Gelukkig voor de rekenmeester want deze realiteit vereenvoudigt de uitleg van plaatswaarde. | Om de systematiek van plaatswaarde duidelijk te tonen kun je aanvankelijk even voorloopnullen tonen. De deelhandeling optellen van tientallen is dan niet spatie plus 2 tientallen maar nul plus twee tientallen. Voorloopnullen verduidelijken overigens niet alleen plaatswaarde bij optellen maar verduidelijken ook digitaal klokkijken. Mooie bijvangst. | Het is mij gebleken dat kinderen geen moeite met voorloopnullen hebben. Je kunt eventueel gewoon zeggen: Ja dat is een beetje computertaal, kijk maar hier. (wijs naar bijvoorbeeld de tijd op je telefoon). Anders snappen computers het niet. Een voordeel van het gebruik van voorloopnullen is dat onmiddellijk zichtbaar wordt wanneer kinderen plaatswaarde niet begrijpen. Ze halen dan 01 en 10 door elkaar. |
5.5.2 Met pilotentaal |
Je kunt één verhaspelingsronde verminderen door kinderen aan het eind van de berekening de uitkomst niet te laten uitspreken maar te laten opschrijven. Als dat niet kan dan kun je pilotentaal spreken. Als piloten de telwoorden van taalmeesters zouden gebruiken dan zouden er meer vliegtuigen neerstorten. | Dus, piloten noemen vlucht kl 123 gewoon Flight one, two, three. Moet een kind een getal verwoorden en verwart het kind gemakkelijk de cijfers laat hem dan gewoon ’Pilotentaal’ spreken. Als je het pilotenverhaal goed opdist, dan maak je fun van fouten. |
5.5.4 Met uitleg van telwoorden |
Eerste telwoord: 10 Ui zijn twee tekens voor één klank en iu zijn twee tekens voor twéé klanken. | Bij de rekenmeester is dat anders: 10 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (een tiental en tien eenheden). 01 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (nul tientallen en een 38eenheid). |
Volgende telwoord: 11 Wat denkt een zevenjarige als je elf zegt? Dat is eenvoudig, namelijk: Ah, wat leuk, er doen ook elfjes mee. | De rekenmeester moet dan toch even uitleggen dat elf een homoniem is (een woord met twee verschillende betekenissen). Die tweede betekenis is 1 plus 10, een tien eigenlijk maar de taalmeester noemt hem óók elf . |
Volgende telwoord: 12. Twee een of twee tien zal de slimmerik zeggen. Fout zegt de taalmeester. De grootvader van het telwoord twaalf heette namelijk twee-lif en zijn overgrootvader heette twee-blijft. | Zijn overovergrootvader was een Noor en heette twee die overblijft (left). Als je twaalf hebt dan blijven er namelijk twee over omdat je maar tien vingers hebt. De Russische taalmeester spreekt geen oud Noors maar zegt 'gewoon': 2 op 10. Heel goed zegt de psycholoog want de twee komt visueel ook op de nul van 10. . |
Volgende telwoord: 13 Dertien en veertien gaan nog wel. Vijftien en verder zijn rekenkundig perfect. | De volgorde van de eenheden en tientallen is rekenkundig onhandig vijftien is misschien en logischer kandidaat voor 50 dan vijftig. Dat was ooit ook zo. In het Germaans betekende tig tiental. Bij de tachtig staat tig er niet alleen achter maar staat tig er ook nog voor (de letter t). Ook wat onhandig zou ja als rekenmeester zeggen. Germaans gaan praten als als het moeilijk worden (tientalligheid en plaatswaarde) terwijl er een goed Nederlands alternatief is, namelijk tien. Misschien toch even uitleggen aan de kinderen. |
Laat eventueel de slimmerik een tabel maken met telwoorden voor tienvingerigen en voor twaalfvingerigen. Heb je gelijk de tafel van 12 te pakken. Handig als het kind in de verpakkingsindustrie gaat werken. Tip: gebruik de letters a tot en met k voor de eenheden tot 12. |
Bollebozen kun je een paar uur zoethouden door ze een tabel te laten maken met een vertaling van de telwoorden voor tienvingerigen naar zestigvingerigen.
Te zijner tijd is dat handig bij het berekenen van tijden en koersen. Tip: gebruik de 26 kleine letter van het alfabet, de 26 hoofdletters en wat cijfers of leestekens voor de 60 eenheden. Tot zover de telwoorden tot 20. |
Hoe zit het met de telwoorden voor de tientallen. Eenvoudig, tenminste in het Nederlands en het Engels. Niet in het Frans. Daar heet tachtig vier maal twintig. Nou ja, eenvoudig in het Nederlands en het Engels? Wel komt er in het Nederlands na 20 ineens het tussenvoegsel en tussen de eenheden en de tientallen. Niet in het Engels maar daar verandert na 20 ineens de volgorde van eenheden en tientallen. | De regels van de rekenmeester zijn eenvoudig: een nul rechts een cijfer betekent: maal tien. |
5.5.4 Met réchts beginnen |
De taalmeester leert dat je links begint met lezen. | Dat is niet handig bij 12+456. Je krijgt dan gemakkelijk als uitkomst 576. Ook bij 12+459 kun je beter rechts beginnen omdat je dan de 10 van 2+9 gelijk bij de 70 en de 50 kunt tellen. |
Dus ... De taalmeester maakt een flinke hutspot van plaatswaarde. Hieronder hoe de rekenmeester deze woordhutspot verteerbaar kan maken.
Overigens zijn dit alleen de conflicten tussen taal- en rekenmeester over de volgorde van cijfers in plaatswaarde. In het totaal tellen we hier 57 van dat soort conflicten. |
5.6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde |
Met plaatswaarde kan de vingerteller sneller 10+8 uitrekenen dan tellend. Maar dan moet je nul en plaatswaarde wel begrijpen. Plaatswaarde gebruiken geeft tellers een boost en fun: Ik kan het wel! en Ik ben geen teller meer!, zo is mijn ervaring. | Plaatswaarde met een uitkomst tot 100 geheel uit het hoofd (zonder papier voor geheugensteun) en verwoorden van de uitkomst (met omwisselen naar de telwoordvolgorde), blijft lastig. Je kunt je afvragen of je kinderen daar wel lastig mee moet vallen. Daar komt nog een bedreiging bij: de volgende leerfase: Inwisselen (38+13). |
5.6.1 Met grote getallen |
Sinds omstreeks 1800 begon de taalmeester met aap, noot, mies. Woorden met vijf of meer letters. De globaal methoden in plaats van eerst het alfabet leren. Nog steeds een goede methode. Tamelijk geniaal ook, psychologisch gezien. | En dan de rekenmeester omstreeks 2020. In het onderwijs is het wel gebruikelijk het leerproces te ordenen op basis van de grootte van de getallen, bijvoorbeeld tot 10, tot 20, tot 100 etc. Pas na een of twee jaar worden dat drie cijfers. Waarom doet de rekenmeester het anders dan de taalmeester? |
De oorzaak is dat met name de Amerikaanse leerpsychologie benadrukt dat je leerstof moet indelen. Ja natuurijk. Maar hoe dat moet, daar zijn de Amerikanen niet zo duidelijk over (zie § 8.5.5). Leren rekenen opbouwen via grootte van getallen lijkt heel logisch. Maar leren rekenen is geen puntkennis maar veldkennis. Het gaat niet om de getallen maar het gaat om veldkennis: het systeem van de getallen, het honderdveld. Plaatswaarde is zo’n systeem kenmerk. Een systeem is een herhaling van hetzelfde. Een systeemkenmerk kun je alleen leren en begrijpen als je meer situaties ziet van hetzelfde. Dus niet alleen 10+10 maar ook 100+100 en 1000+1000, etc. Je kunt Stundentakt (noot 1)(noot: 1) van het OV niet begrijpen als je weet dat de trein 10 over 11 vertrekt. Pas als je ziet dat er treinen vertrekken om 8:10, 9:10, 10:10 etc. snap je wat Stundentakt is . | Overigens begon Willem Bartjens ook gelijk met grote getallen. Op pagina 1 al tot 100 en op pagina 3 kwam hij met miljard. Vervolgens ook vrij snel een uitbreiding naar links en naar rechts (millimeter, micron, kilo, mega en giga)? Of dat alleen voor de bollebozen. |
Toch wel gek.
|
Dus ... Wat betekent dat nu in de praktijk. Nou heel eenvoudig. Snapt het kind nul en plaatswaarde een beetje dan ijskoud snel naar sommen als: ![]() Verbeelding 17. | Mijn ervaring is dat deze som voor een ’rekenprobleem’ geen probleem maar fun is. Kennelijk valt het kwartje en ziet het kind dat het zelfs sommen uit groep 6 kan. De sommen zijn ook niet moeilijk. Zeker niet wanneer de termen onder elkaar staan. Uiteraard moet de rekenmeester wel zo sluw zijn dat hij sommen met inwisselen nog even niet toont. Met deze ene som bijvoorbeeld, rekent het kind zeven maal een som onder 10 uitrekent. Een mooie bijvangst voor het rekenend optellen van deze sommen (automatiseren). | Plaatswaarde is op deze wijze een makkie. Het leert de teller dat rekenen niet vingertellen is maar volgens regels een puzzel oplossen. Dat alles is een goed startpunt voor de volgende, tamelijk lastige stap: |
plaatswaarde | Plaatswaarde is ... §5.2.2 | plaatswaarde |
grote getallen | En plaatswaarde. §5.2.3 | plaatswaarde |
twaalf | Rekenkundig gezien eigenlijk 'een (op de nul van) tien'. Zeg wel dit tegen de kinderen en: Maar we noemen hem twaalf. §5.2.3 | plaatswaarde |
incidenteel leren | Bijvangst bij plaatswaarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren). §5.3 | plaatswaarde |
grote getallen | Vroegtijdig introduceren. §5.3 | plaatswaarde |
MAB | Plaatswaarde zit niet in MAB gebakken (Multibase Arithmetic Blocks). Je moet de eenheden en tientallen op de juiste plaats leggen. §5.4.1 | plaatswaarde |
lusabacus | Lusabacus en plaatswaarde.
![]() | plaatswaarde |
honderdveld | Het honderdveld verbeeldt plaatswaarde goed. Het honderdveld heeft markante visuele punten: elk honderdveld heeft: links, rechts, boven, onder en midden. Dat is al vier maal meer oriëntatie dan een getallenlijn. De getallenlijn stopt en gaat eventueel naar een nieuwe regel omdat hij tegen een muur aanloopt. Net als bij de taalmeester: regel vol, dan naar de volgende regel. Het honderdveld neemt een nieuwe regel omdat er een tiental vol is. §5.4.4 | plaatswaarde |
nul | Op het honderdveld. §5.4.4 | plaatswaarde |
blind | Blindemannetje spelen op het 100-veld. §5.4.4 | plaatswaarde |
realistisch rekenen | Een omgedraaid honderdveld is realistischer §5.4.4 | plaatswaarde |
bolleboos | Blind navigeren op het 100-veld. §5.4.4 | plaatswaarde |
naast elkaar | De getallen en de deelhandeling van een som staan naast elkaar: 12+34=10+30+2+4=40+6=36. Vaak rijgen genoemd. In tegenstelling tot termen onder elkaar. §5.4.6 | plaatswaarde |
onder elkaar | De getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar: 12 +34 =36. Vaak tabellarisch genoemd. In tegenstelling tot termen naast elkaar. §5.4.6 | plaatswaarde |
positiewaarde | Het woord plaatswaarde is meer kindertaal dan het woord positiestelsel. §5.5.1 | plaatswaarde |
voorloopnul | Voorloopnullen vullen de lege posities links van de cijfers, dus niet 1 maar 01. §5.5.2 | plaatswaarde |
tien, het telwoord | Discrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. §5.5.4 | plaatswaarde |
elf, het telwoord | Discrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. §5.5.4 | plaatswaarde |
twaalf, het telwoord | Discrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. §5.5.4 | plaatswaarde |
vijftien, het telwoord | Je zou kunnen denken vijf (van/maal) tien dus 50. §5.5.4 | plaatswaarde |
bolleboos | Zoethouden met zestalligstelsel. §5.5.4 | plaatswaarde |
bolleboos | Zoethouden met zeer grote en zeer kleine getallen. §5.6.1 | plaatswaarde |
bolleboos | Zoethouden met oneindigheid. §5.6.1 | plaatswaarde |
bolleboos | Zoethouden met hele grote getallen. §5.6.1 | plaatswaarde |
Van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Eds.), (2009). Kinderen Leren Rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen Bovenbouw Basisschool.
Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.
Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M., (1972). Sovjetpsychologen aan het woord. Leerpsychologie en onderwijs 2. Groningen:Wolters-Noordhoff NV.
Treffers, A., Noteboom, A. & de Goeij, E., (2009). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In: van den Heuvel_Panhuizen, Buys & Treffers, 2009.
Van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Eds.), (2009). Kinderen Leren Rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen Bovenbouw Basisschool.
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 177.
Reason, J. (2009). Human Error. Cambridge, etc: Cambridge University Press. (Eerste druk 1990.)
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
Beckers, D., & M. Kool. (2004). Willem Bartjens De Cijfferinghe (1604). het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren.
Kaplan, R. (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.