De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren
Verbeelding 25.
 |
Het getal 79 in het schrift van de Maya’s Verbeelding 26. |
|
De Romeinen hadden geen plaatswaarde per getal maar per cijfer. IV is 6 en VI is 4. De I (een) rechts van V (vijf) moet je aftrekken van V. De Romeinen schreven het getal 8888 zo: | Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.
|
|
De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren Verbeelding 25. |
|
5.2.2 Plaatswaarde rekenkundig |
| Aanvankelijk konden eigenlijk alleen genieën met de getalsystemen rekenen ). Rond 1200 kwam het huidige systeem waarmee intelligenten konden rekenen en rond 1600 kwam Willem Bartjens het gewone volk uitleggen hoe te rekenen. Vandaag kunnen basisschoolkinderen rekenen. Althans, zouden ze moeten kunnen rekenen. | Ons systeem heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel verborgen ónder de rechter buren. Dus bij twaalf staat de 0 van 10 onder de 2. | Bij getallen geeft de plaats van het cijfer ook de werkelijke waarde van het cijfer aan. De 2 in 21 staat niet voor 2 eenheden maar voor 2 tientallen. Dit maakt getallen veel compacter en daardoor passen de getallen beter in het oogfixatieveld. Dat geeft ook minder belasting voor het werkgeheugen. Verder zijn daardoor sluwe oplossingsmethoden mogelijk als onder elkaar optellen en staartdelingen. Geniaal. Maar je moet het wel weten. Anders krijg je 10+2=102 of 3 of 21. |
|
1)
Vorm en betekenis Het aantal letters in een woord is betekenisloos. Het woord meer bedoelt grotere hoeveelheid maar heeft minder letters dan het woord minder dat het tegenovergestelde betekent: een kleinere hoeveelheid. Dik is niet 10 keer meer dan ik. Maar ik heeft helemaal niets met Dik te maken. | Bij geschreven getallen hebben dat soort vormkenmerken wél betekenis. Een getal met meer cijfers geeft altijd een grotere hoeveelheid aan dan een getal met minder cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10. |
| 2)
De schrijfrichting van de cijfers |
| De taalmeester noteert de Latijnse letters en woorden van links naar rechts. Bij het rekenen is dat anders. Arabieren schrijven van rechts naar links. Dus het ligt voor de hand getallen ook van rechts naar links te lezen. Rekenkundig is daar ook wel wat voor te zeggen. Eenheden heb je zeker en miljarden, die links staan, heb je niet altijd. | Getallen schrijven en typen doet de taalmeester anders dan de Arabier, namelijk zoals hij ook letters noteert: van links naar rechts. Als de taalmeester een getal zegt, dan weet je eigenlijk nooit met welke positie de taalmeester zal beginnen: eerst met de eenheden, bijvoorbeeld achttien of de eenheden als laatste ). |
| 4)
Verkortingen en verlengingen De taalmeester is een rijger. Hij maakt ijskoud en onnozel nieuwe letters door twee letters achter elkaar te zetten voor één klank (au,oe,ui). De taalmeester zou twaalf met cijfers schrijven als 102 of 210. | De rekenmeester is systematischer en sluwer. Hij verkort geschreven getallen door de tientallige waarde geen eigen teken te geven maar een eigen plaats. Zeg dus minstens even tegen de kinderen: Je ziet hier weliswaar nog 10(+)2 maar we schrijven niet 102 zoals je zou denken. We schrijven 12, die 2 zetten we gewoon óp de nul. Een beetje raar wel, dat verstoppertje spelen. Maar het is ook uitermate geniaal en handig. |
|
Dus: Al met al, een inconsistente en complexe telwoordentaal die de tientalligheid niet weerspiegelt ). |
5.3 Plaatswaarde in het leerproces |
Hier staat Plaatswaarde vóór het Breken (’splitsen om 10’).
|
|
Dus ... Eerst Plaatswaarde en dan, eventueel, het volgende hoofdstuk Breken. |
5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde5.4.1 Met geld, losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn |
|
 Het getal 9 met vingerbeelden Verbeelding 27. |
| Maar de plaats van de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal, dat toon MAB niet. Ook nul toont MAB niet. De eindeloze herhaling van tientalligheid naar links (steeds 10 x meer) en naar rechts (steeds 10x minder) is niet te zien. Plaatswaarde zit dus niet in MAB gebakken. Het kind moet zef de eenheden, tienen, etc. op de juiste plaats leggen. |  MABVerbeelding 28. |
| Als je geld gebruikt leg dan aanvankelijk de losse euromunten óp de nul van de tien die op het biljet staat. Je verbeeld dan dat de eenheden op de 0 van de 10 staan. Leg verder de tientjes op de korte kant zodat de bedragen liggen zoals de getallen en cijfers staan wanneer je de termen onder elkaar zet. Dus in de rechter kolom de centen, dan in de kolom links van de centen de dubbeltjes en zo verder. Schep verder geen verwarring door niet-decimale ruilmogelijkheden voor te leggen (Eén 5 €-biljet=5 losse €-munten.). Gun het kind de fun die ruilingen zelf te ontdekken. | 
Losse euro’s óp de nul van de tienVerbeelding 29. |
| Eventueel kun je plaatswaarde en tientalligheid nog verder verbeelden met stipgroepen. |
|
5.4.4 Met staafsteun op de lusabacusDe lusabacus heeft één staaf met kralen voor 20 eenheden, links daarvan een staaf met 20 kralen voor de tientallen en zo verder. De vaste stangen verbeelden plaatswaarde. |
|
| Als extra steun zou je de decimale waarde van de stangen bij de stang of op de kralen kunnen zetten. |
|
| Je kunt de termen van sommen naast elkaar plaatsen of onder elkaar. Gebruikelijk is onder elkaar zoals bij rekeningen, in spreadsheets, in tabellen, bij staartdelingen, bij vermenigvuldigen en plaatsbepaling. Ook en Descartes zetten de termen onder elkaar. | Rekenmethoden zetten termen naast elkaar wanneer achtjarigen sommen moeten leren uitrekenen. Daar zullen dus wel goede redenen voor zijn. |
 Gebruikelijke presentatie van termen in sommen Verbeelding 34. |
|
5.4.6 Met termen náást elkaar 12+34=36 De termen van de som staan naast elkaar. | 5.4.7 Met termen ónder elkaar 12 +34 =36 De getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar. Deze verbeelding noemt men ook wel tabellarisch. |
| 1)
Aard van de verbeelding en van de getalkennis Náást elkaar is een 1d-lijnverbeelding zoals de getallenlijn, tekst en het ganzenbord . Bij termen naast elkaar komt er een nieuwe regel wanneer de regel vol is. | Bij onder elkaar staan de cijfers van de getallen juist ónder elkaar. Zo staan de cijfers met gelijke plaatswaarde in dezelfde kolom en dicht bij elkaar. Onder elkaar is een 2d-veldverbeelding zoals het 100-veld en het dambord . Bij termen onder elkaar komt er een nieuwe regel om de eenheden, tientallen, etc. onder elkaar te krijgen. |
|
2)
Generaliseerbaarheid naar grote getallen Grote getallen zijn met naast elkaar niet op te tellen. Vermenigvuldigen en staartdelen kan ook met de termen naast elkaar. | Grote getallen optellen kan kan onder elkaar. Hoe groot de getallen ook zijn. Verder is onder elkaar toepasbaar bij vermenigvuldigen en staartdelen. |
3)
Pasvorm
Welke som ziet het oog?Verbeelding 35. | De oogvriendelijkheid van onder elkaar is hoog, de hele som pas in één oogfixatie. Per deelhandeling staan alle cijfers en ook wel de uitkomst in één oogfixatieveld. De eenheden van de eerste term en die van de tweede term, zijn in het oogfixatieveld zichtbaar en zou het oog al direct kunnen ontdekken (uitrekenen) of indirect bijvoorbeeld als een een-erbij-som. Ook de uitkomst past in het oogfixatieveld.
 Welke som ziet het oog? Verbeelding 36. |
| 4)
Werkgeheugenvriendelijkheid De oplossingsmethode bij naast elkaar is meestal rijgen: 12+34=10+30+2+4=40+6=36 Er zijn verschillende varianten van rijgen. Er is belasting van het werkgeheugen (zie § 8.5.4). Er zijn veel oogsprongen en oogfixaties nodig (zie § 8.3.4). Daardoor is de kans op niet-rekenkundige fouten hoog, zoalt: visuele mismatches, oogsprongfouten, werkgeheugenfouten en fouten door afleiding . Lastig is dat de toetsmaker deze fouten uit de scores moet vissen. Doet hij dit niet dan is de score een hutspot van reken(begrips)fouten en waarneemfouten 
7 oogsprongen en werkgeheugen belastingVerbeelding 37. | Het werkgeheugen is eigenlijk niet nodig.
|
| 5)
Denkvriendelijkheid De evolutie en de hersenen hebben geen voorkeur voor dit soort lijnmethoden ). | De evolutie en de hersenen hebben een voorkeur voor dit soort veldmethoden ). |
| 6)
Statistics Alle sommen: Termen naast elkaar: 41% goed, 30% weet niet en 33 sec, n=155 sommen, groep 3. Termen onder elkaar: 84% goed, % weet niet en 26 sec, n=168 sommen, groep 3. Som: 1 234 354+2 112 324 Termen naast elkaar: 10% goed, 50% weet niet en 58 sec, n=6 sommen, groep 3. Termen onder elkaar: 85% goed, 0% weet niet en 33 sec, n=0 sommen. Nu kan het natuurlijk zijn dat het kind plaatswaarde niet begrijpt en dat onder elkaar een trucje is. Maar dan wel een leerzaam trucje dat de juiste handelingen afdwingt. Meer van dat soort trucjes bijelkaar snipperen plaatswaarde de hersenen in ). |
| Rekenmethoden noteren de termen bij sommen onder 100 vaak naast elkaar. Rekenmeesters vinden het dan lastig om de kinderen de sommen ook onder elkaar aan te bieden. Overigens gaat het om twee notatiemethoden. De rekenmethode blijft gelijk: eenheden bij eenheden en tientallen bij tientallen. Mij is gebleken dat rekenende optellers, eventueel met 'rekenproblemen', met deze twee methoden tegelijk géén moeite hebben. | Geef je de kinderen plompverloren, zonder introductie sommen onder elkaar dan zegt een enkel kind: Hé, wat is dat? Voldoende is dan vaak de uitleg: Ja dat vindt de rekenhaas gemakkelijker. De kinderen zijn wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. De taalmeester doet dat immers ook. |
|
Willem Bartjens Overigens was een kolomnist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werkgeheugenfouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand. 5.4.8 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellenDe rijg- en de kolommethode mengen rekenmeesters ook wel Ook spreken rekenmeesters wel over cijferend optellen wanneer je de tussenstappen niet in de tabel uitschrijft. De uitkomst van elke kolom schrijf je dan direct op. |
|
| Je kunt plaatswaarde ook verbeelden door plaats een kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun positie en ook de plaats in de uitkomst krijgt zijn kleur. | De kleur versterkt het bij elkaar horen van tientallen en eenheden van de termen en de uitkomst. Ook wanneer de cijfers van de tientallen of eenheden niet direct bij elkaar staan zoals bij naast elkaar Verder stuurt kleur waar de cijfers moeten komen. De kans op verhaspeling van tientallen en eenheden verkleint daardoor. |
Verbeelding 40. |
Verbeelding 41. |
Met kleuren praat je gemakkelijker met het kind dan met de woorden tientallen en eenheden. Je hoort kinderen dan ook zeggen: Eerst de groenen. Ook wanneer alle cijfers zwart zijn. Je kunt zeggen: Er zit een klein foutje in (de kolom van) de groenen.
Kleursteun lijkt overigens vooralsnog geen effect te hebben. De sommen met kleursteun kwamen echter vóór de sommen met zwarte cijfers. In de zwarte cijfers kan dus ook een leereffect van kleur zitten.
5.5.2 Met telwoorden7) Het spiegeltrauma
8) Spiegelingen voorkomen | ||||||||||||
Hoe moet de rekenmeester en het kind nu met deze volgordehutspot leven?
|
|
Dus Misschien een wat verwarrend verhaal over telwoorden. Nou, zo zullen de kinderen zich ook voelen. En dat is nog maar het begin van het rekenen. | Het goede nieuws is dat het rekenen zelf een fluitje van een cent is. Althans, als je de juiste woorden gebruikt. |
5.6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde |
| Bepaalde fouten tonen dat het kind plaatswaarde niet begrijpt. |
|
| Overigens zijn deze fouten wel zeer goed nieuws. In de eerste plaats betekenen deze fouten dat het kind geen teller meer is maar snapt dat je een handige procedure moet zoeken. Het kind heeft alleen de klok horen luiden maar de rekenmeester moet nog vertellen waar de klepel hangt. | Het is belangrijk dit goede nieuws vast te houden in verband met de volgende leerstap: Ruilen van 10-eenheden voor een 10-tiental (38+13). Dat is pas echt een hele lastige. Is het het kind net van het tellen af en wordt rekenen met plaatswaarde leuk, stort zijn rekenrealiteit weer in elkaar door het ruilen met tienen. Laat het kind genieten van plaatswaarde, onder andere met optellen van hele grote getallen. |
| Direct wanneer de meeste sommen met een uitkomst onder 10 vlot gaan zou je al sommen met grote getallen kunnen geven. Plaatswaarde kun je eigenlijk alleen begrijpen als je ook met grote getallen rekent. Psychologisch gezien gaat het immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling en de systematiek. De handelingen met grote getallen is gelijk aan de handelingen met kleine getallen. Snapt het kind nul en plaatswaarde een beetje, dan ijskoud en plompverloren, zonder wat te zeggen leg je de termen onder elkaar op tafel ). |
|
|
En dan sluw, steeds links een kolom er bij. Om de rekenmethode te pleasen eventueel afwisselen met dezelfde sommen maar dan met de termen naast elkaar. Mijn ervaring is dat dit voor tellers geen enkel probleem is. De rekenmeester weet natuurlijk dat 1234+4321 heel eenvoudig 4 sommen onder de 10 zijn. Maar de teller weet dat niet. De tientaligheidssnippers komen bij zo elkaar. De teller kan sommen uit groep 6. Dat is fun. Dat geeft routine. Sommen onder 10 worden geautomatiseerd. Laat de teller zijn grote som zelf met een rekenmachine controleren. Nog meer fun. |
|
| Met dit soort sommen kun je een teller ook allerlei rekenhandelingen anders dan tellen, ’zelf’ laten ontdekken, zoals Eén-erbij-sommen. Doordat alle cijfers die voor de handeling nodig zijn zeer dicht bijelkaar staan en in het werkgeheugen komen, kunnen de hersenen van het kind de gewenste handeling ontdekken. Even aangenomen dat de rekenmeester zijn mond kan houden. Die kans wordt nog vergroot door de handeling te herhalen. |
|
| Een eenvoudige verbeelding van plaatswaarde is een optelling met de termen onder elkaar, hele tientallen, grote getallen, kleur en multiple choice. Met multiple choice maak je eventuele fouten antwoorden onmogelijk. Het kind kan dan eigenlijk geen foute kant op. Het aantal (plaatswaarde) fouten is laag en de fun is hoog. |
Zo moeilijk is het rekenen met hele tientallen overigens ook niet. Zevenjarigen begrijpen: 2 koekjes + 3 koekjes= 5 koekjes. Waarom zouden zij dan niet kunnen begrijpen: 2 honderd + 3 honderd=5 honderd of 2 miljoen + 3 miljoen=5 miljoen. Etcetera. Bij 10+2 komen de twee eenheden op de rechtste nul. Bij 1 000 000+1 ook. |
Hele, grote tientallen tonen plaatswaarde Verbeelding 45. Statistics Hele 10-en van 10 - 9 000 000 optellen: % goed en sec, n= sommen, kinderen, groep 3. De gemaakte fouten betroffen meestal vergissingen zoals een nul te veel of te weinig. |
