Hoofdstuk 5 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 5 Plaatswaarde  

 

Onthul de verborgen nul



Decimale plaatswaarde is zo logisch, handig en vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal dat systeem is. Maar het duurde duizenden jaren voor slimme rekenmeesters decimale plaatswaarde ontwierpen. Het is dus begrijpelijk dat rekenmeesters plaatswaarde vergeten en kinderen plaatswaarde niet begrijpen.
   





 5.1 Wat is Plaatswaarde 


5.2.1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren

De Romeinen hadden geen plaats­waarde per getal maar per cijfer. IV is 4 en VI is 6. De I (een) links van V (vijf) moet je aftrekken van V omdat hij links van de V staat. De Romeinen schreven het getal 8888 zo:

MMMMMMMMDCCCLXXXVIII

Het getal 8888 met Romeinse cijfers

Verbeelding 27.
Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.
  • De Romeinen hebben 5 x meer tekens nodig dan wij en de Arabieren. Veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwer en veel kijkwerk voor de ogen van de lezer .

  • Het getal 8 888 past gemakkelijk in het oogfixatieveld en is dus in één oogopslag geheel zichtbaar. De Romeinen moeten drie of vier keer kijken en dan die drie delen in werkgeheugen samenvoegen. Ga daar maar eens een staartdeling mee maken.

  • Bij dat kijken waren ook de hersenen nodig. Het cijfer 4 kunnen de ogen nog wel als 4 naar de hersenen sturen. Maar 15 zien en weten dat dat 4 is, dat is erg moeilijk voor de ogen.

  • Een regelmaat van het getal is niet te zien. In het Arabische systeem is MMMMMMMMDCCCLXXXVIII gewoon 4 achten.



De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren

Verbeelding 28.
   
   
De schrijfwijze van de getallen van de Maya’s

Verbeelding 29.

5.2.2 Plaatswaarde rekenkundig

De huidige reken­meester heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel verborgen ónder de rechter buren. Dus bij twaalf staat de 0 van 10 onder de 2. Bij getallen geeft de plaats van het cijfer ook de werkelijke waarde van het cijfer aan. De 2 in 21 staat niet voor 2 eenheden maar voor 2 tientallen. Dit maakt getallen veel compacter, passen ze beter in de oogfixatie en belasten ze minder het werkgeheugen. Ook zijn daardoor sluwe oplossingsmethoden mogelijk als onder elkaar bij optellen en staartdelingen. Geniaal.


5.2.3 Plaatswaarde taalkundig


1) Vorm en betekenis

Letters in een woord zijn betekenisloos. Het woord meer bedoelt grotere hoeveelheid maar heeft minder letters dan het woord minder dat het tegenovergestelde betekent: kleinere hoeveelheid. Dik is niet 10 keer meer dan ik. Maar ik heeft helemaal niets met Dik te maken.


Bij geschreven getallen hebben dat soort vormkenmerken wel betekenis. Een getal met meer cijfers geeft altijd een grotere hoeveelheid aan dan een getal met minder cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10.

2) De schrijfrichting van de cijfers

De taal­meester noteert de Latijnse letters en woorden van links naar rechts. Bij het rekenen is dat anders. Arabieren schrijven van rechts naar links. Dus het ligt voor de hand getallen ook van rechts naar links te lezen. Rekenkundig is daar ook wel wat voor te zeggen. Eenheden heb je zeker en miljarden, die links staan, heb je niet altijd.


Getallen schrijven en typen doet de taal­meester anders dan de Arabier, namelijk zoals hij ook letters noteert: van links naar rechts. Als hij telwoorden zegt dan weet je eigenlijk nooit met welke positie de taal­meester zal beginnen: eerst met de eenheden, bijvoorbeeld achttien of de eenheden als laatste, bijvoorbeeld honderdeen. Bij achttien zegt hij nooit acht en tien. Bij honderdeen zegt hij soms ook honderd en een.


3) Volgorde in telwoorden

Bij de telwoorden bepalen taalkundige wetten de volgorde (eenen­twintig maar honderdeen). De klank oe is één klank met twee betekenisloze letters maar 12 is weliswaar ook één bepaald getal maar met twéé betekenisvolle cijfers. Twaalf is één lettergreep maar de betekenis is tweeledig, namelijk 1 tiental en nog 2 eenheden. Het veel voorkomende antwoord is 4 op de stip bij de som: 1+.=3, is in deze volgordetombola dus heel begrijpelijk. Er staat een plus dus je moet optellen en de uitkomst moet op de punt.



Het telwoord tien is één simpel woord en ook nog één-lettergrepig woord. Taalkundig geen enkele indicatie voor twee elementen. Net als de woorden voor de andere hoeveelheden onder 10. Het getal tien bestaat uit twéé rekenkundige 'woorden', namelijk 1 voor tien en 0 voor de eenheden. Het telwoord tien geeft die rekenkundige structuur niet weer. Dat geldt ook voor 11, 12 en 13. We zijn er nog niet. Je zegt tweehonderd maar weer niet eenhonderd. Onhandige en complexe telwoordentaal. En dat voor zoiets complex en essentieels als plaats­waarde.

4) Verkortingen en verlengingen

De taal­meester is een rijger. Hij maakt ijskoud en onnozel nieuwe letters door twee letters achter elkaar te zetten voor één klank (au,oe,ui). De taal­meester zou twaalf met cijfers schrijven als 102 of 210.


De reken­meester is systematischer en sluwer. Hij verkort geschreven getallen door de tientallige waarde geen eigen teken te geven maar een eigen plaats. Zeg dus minstens even tegen de kinderen: Je ziet hier weliswaar nog 10(+)2 maar we schrijven niet 102 zoals je zou denken. We schrijven 12, die 2 zetten we gewoon óp de nul. Een beetje raar wel, dat verstoppertje spelen. Maar het is ook uitermate geniaal en handig.

Dus:

Kinderen kunnen in verwarring komen doordat onsystematische inconsistente regels van de taal, de systematische en consistente getallen verwoorden.



 5.3 Plaatswaarde in het leerproces 

 
Met plaats­waarde kan de vingerteller sneller 10+8 uitrekenen dan tellend. Maar dan moet hij nul en plaats­waarde wel begrijpen.plaats­waarde geeft tellers een boost en fun: Ik kan het wel! en Ik ben geen teller meer!, zo is mijn ervaring. plaats­waarde dus met zorg aanbieden. Moeilijk is dat, niet zo is mijn ervaring.

Volgorde van leerstappen:
gebruikelijk

  
volgorde hier

Automatiseren/memoriseren/instampen  H. 3 Rekenend optellen
Breken naar 10 (inwisselen om 10)  H. 4 Nul
Sommen boven 20.  H. 5 Plaatswaarde
Ruilen van 10 (inwisselen).  H. 6 Breken naar 10 (eventueel)
    H. 7 Ruilen van 10


In het onderwijs komt Rekenend optellen meestall vóór Breken naar 10. Immers, het is slimmer 8+5 te berekenen door de 5 te breken in 2 en 3 en zo 10 te krijgen, dan 5 op de vingers bij 8 te tellen. Mij is gebleken dat Breken om 10 voor sommige kinderen lastig is. Hoe komt dat?
  • Waarom zou je als teller bij 9+2, 9+3 of 9+4 gaan breken om 10. Gewoon (vinger) tellen is veel sneller, concreter, minder werkgeheugenbelasting, minder risico op een fout, kortom aanzienlijk minder gedoe. Zelfs voor een som als 9+8.

  • De truc van breken om 10 is dat je een som met 10 krijgt. Die sommen zijn gemakkelijk, omdat 0+2 gemakkelijk is. Maar dan moet je wel plaats­waarde en nul begrijpen. Dus dat bij 10+3 de 3 gewoon op de 0 komt. Plaats­waarde dus.

  • De vorige rekenhandelingen waren tamelijk goed verbeeldbare en eenvoudige één-stapsprocedures (omdraaien, een-erbij-een-eraf). Bij breken gaat het eigenlijk voor het eerst om twéé stappen.

  • Ook het tamelijk abstracte en moeilijk te verbeelden inwisselen speelt hier een rol.

  • En dan, tot slot, mijn ervaring is dat het breken om 10 voor sommige kinderen erg moeilijk is. Er zijn kinderen die uitstekend uit het hoofd optellen tot 100 maar breken om 10 niet begrijpen. Je moet je afvragen of je kinderen met het label ’rekenprobleem’ en verknocht aan de veilige (vinger)telmethode wakker moet schudden met zo iets ingewikkelds als het breken terwijl plaats­waarde aanzienlijk eenvoudiger is. Er zijn reken­meesters van naam die de onderschatting van de complexiteit een som als 7+5 ’de vloek van kennis’ noemen


Dus ...

Eerst plaats­waarde en dan Breken.
Er zijn meer overwegingen om snel met plaats­waarde te beginnen. Plaats­waarde is eenvoudig te verbeelden en aan te leren. Wanneer je sommen geeft zonder Ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental dan zijn plaats­waardesommen als 123+456 eigenlijk niets anders dan drie sommen met een uitkomst onder 10. Geen enkel probleem. Zeker niet wanneer je de termen onder elkaar zet . Die fun is op dit moment belangrijk omdat de kinderen op dit moment het veilige vingertellen los moeten laten. Voor de kinderen is het fun. Zulke grote sommen kunnen uitrekenen. Bijvangst bij plaats­waarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren).



 5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde  


5.4.1 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn

  • De getallenlijn plaatst de getallen lineair op een rij. Net als Un, dun, dip. De getallenlijn toont geen veld (zie § 3.3.4). Dus ook een plaats­waarde.

  • Met maar 10 vingers kun je plaats­waarde niet met vingerbeelden verbeelden. Tenzij je ingewikkeld gaat doen met twee paar handen.

Het getal 9 met vingerbeelden

Verbeelding 30.

  • MAB-materiaal kan dichter bij plaats­waarde komen dan de getallenlijn. Het heeft een tientallige structuur. Tot 1000. De tien-, honderd- en duizend­tallen zijn zichtbaar.
Maar wáár de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal staan, dat toon MAB niet. Ook nul toont MAB niet. De herhaling van tientalligheid naar links (steeds 10 x meer) en naar rechts (steeds 10x minder) is niet te zien. Plaatswaarde zit niet in MAB gebakken. Het kind moet zlef de eenheden, tienen, etc. op de juiste plaats leggen.

MAB

Verbeelding 31.


5.4.2 Met stipgroepen

Door stipgroepen sluw te positioneren kan de verbeelding plaats­waarde voorbereiden.


Plaatswaarde voorbereiden met stipgroepen

Verbeelding 32.

Zeg tegen het kind gewoon:
  • Wat zie je?
  • Hoeveel groene?
  • Hoeveel stippen kunnen er in?
  • Hoeveel is 9+3?
  • Welk getal hoort er onder?


5.4.3 Met staafsteun op de lusabacus

Een lusabacus heeft een staaf met kralen voor 20 eenheden, links daarvan een staaf met 20 kralen voor de tientallen en zo verder. Daarmee verbeeldt de lusabacus plaats­waarde goed. Met de vaste stangen dwingt de lusabacus plaats­waarde af. De waarde van de stangen zou je bij de stang kunnen zetten. Bij de kralen voor de enen zou de één stip kunnen plaatsen voor de waarde. Bij de kralen voor de tienen passen nog net 10 stippen op een kraal. Op de kralen voor de honderden zou je 100 kunnen schrijven.





Plaats­waarde op een demo-lusabacus. De (onderliggende) eenheden zijn nog verbeeld met stippen of nullen.

Verbeelding 33.



Plaatswaarde op de gebruikelijke lusababacus. De (onderliggende) eenheden zijn niet meer verbeeld, net als bij de geschreven getallen.

Verbeelding 34.

5.4.4 Met het 100-veld


5.4.5 Met plaatssteun door onder elkaar zetten

Een gebruikelijke methode voor sommen boven 20 is rijgen. Een andere methode is de termen onder elkaar zetten. Wat zijn nu de verschillen?


5.4.6 Met termen náást elkaar

12+34=10+30+2+4=40+6=36

De termen van de som naast elkaar. De op te tellen cijfers staan uit elkaar. Deze verbeelding noemt men ook wel rijgen.
   
5.4.7 Met termen ónder elkaar
  12
+34
=36

De getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar. Deze veld­verbeelding noemt men ook wel tabellarisch. Hier heet dat een veld­-methode.


5) Aard van de verbeelding en van de getalkennis
Náást elkaar is een 1-d-lijnverbeelding zoals de getallenlijn, tekst en het ganzenbord . Naast elkaar verbeeldt met de zwakte van taal (de lineaire structuur) een sterke 2-d-getallen-structuur.

Bij teksten bepaalt een praktisch argument de overgang naar een nieuwe regel. De regel is vol. Bij teksten zet je de letters van twee regels niet netjes onder elkaar.

 

Bij onder elkaar is plaats­waarde verbeeld door kolommen, rechts de 1-en, links daarvan 10-en en zo verder. Onder elkaar is een 2-d-veld­verbeelding zoals het 100-veld en het dambord .

Bij termen onder elkaar komt er een nieuwe regel om de eenheden, tientalle, etc. onder elkaar te krijgen.


6) Generaliseerbaarheid naar grote getallen
Grote getallen zijn met rijgen niet op te tellen. Vermenigvuldigen en staartdelen met rijgen kan ook niet.

 

Grote getallen optellen en aftrekken kan ook op deze wijze. Hoe groot de getallen ook zijn. Verder is onder elkaar toepasbaar bij vermenigvuldigen en staartdelen. Mogelijk dat ook dáárom grote getallen in het huidige onderwijs pas later aan de orde komen. Er zijn argumenten om grote getallen eerder aan te bieden .


7) Oogvriendelijkheid
De oogvriendelijkheid van termen naast elkaar is laag. Er zijn meer oogsprongen en oogfixaties nodig (zie § 8.3.4).

Verder verhogen de oogsprongen de kans op spiegelen (12 schrijven en 21 bedoelen.

7 oogsprongen en werkgeheugen belasting

Verbeelding 35.
 

De oogvriendelijkheid van naast elkaar is hoog, alles kan in vier oogfixaties.

De eenheden van de eerste termen en van de tweede term zijn in het oogfixatieveld zichtbaar en zou het oog al direct kunnen herkennen (uitrekenen) of indirect bijvoorbeeld als een een-erbij-som. Ook de uitkomst past in het oogfixatieveld. Een eventuele fout zou ook het oog al kunnen herkennen. Mocht er toch nog mentaal gerekend moeten worden dan zijn de twee termen in het oogfixatieveld een geheugensteun daarbij. Verder verkleint onder elkaar de kans op spiegelen (12 schrijven en 21 bedoelen.

4 oogsprongen, geen werkgeheugenbelasting

Verbeelding 36.


8) Werkgeheugenvriendelijkheid
Er is belasting van het werkgeheugen (zie § 8.5.3).
 

Het werkgeheugen eigenlijk niet nodig.

9) Denkvriendelijkheid
De evolutie en de hersen hebben geen voorkeur voor dit soort lijn-methoden (zie § 9.2.3).
 

De evolutie en de hersenen hebben een voorkeur voor dit soort veld­-methoden (zie § 9.2.3).

Dus:

De kans op niet-rekenkundige fouten: hoog (visuele mismatches, oogsprongfouten, werkgeheugenfouten, afleiding) . Lastig is dat de toetsmaker deze fouten uit de scores moet vissen. Doet hij dit niet dan is de score een hutspot van reken(begrips)fouten en waarneemfouten De toets is niet valide.
 

De kans op niet-rekenkundige fouten bij onder elkaar is laag. De validiteit van de toets is hoger.


Het onderwijs wil niet graag twee methoden door elkaar geven. Mij is gebleken dat rekenende optellers, eventueel met 'rekenproblemen', met deze twee methoden tegelijk géén moeite hebben. Ik geef kinderen plomp­verloren, zonder introductie sommen onder elkaar. Een enkel kind zegt: Hé, wat is dat? Ik leg dát niet uit maar zeg gewoon met een stalen gezicht: Ja dat vindt de rekenhaas gemakkelijker. De kinderen zijn wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. De taal­meester doet dat ook.

Willem Bartjens

Overigens was een kolomnist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werk­geheugen­fouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand.

5.4.8 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellen

De rijg- en de kolommethode mengen reken­meesters ook wel Ook spreken reken­meesters wel over cijferend optellen wanneer je de tussen­stappen niet in de tabel uitschrijft. De uitkomst van elke kolom schrijf je dan direct op.


  

Willem Bartjens was een kolomnist.

Verbeelding 37.

Bron: Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.


5.4.9 Met kleursteun

Je kunt plaats­waarde ook verbeelden door plaats een kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun positie en ook de plaats in de uitkomst krijgt zijn kleur.

  • De kleur versterkt het bij elkaar horen van tientallen en eenheden van de termen en de uitkomst. Ook wanneer de cijfers van de tientallen of eenheden niet direct bij elkaar staan zoals bij naast elkaar.

  • Verder stuurt kleur wat waar moet komen te staan. De kans op verhaspeling van tientallen en eenheden verkleint daardoor.
12
+34
=

Kleursteun voor tientallen en eenheden.

Verbeelding 38.

  • Kleuren praten gemakkelijker met het kind dan tientallen en eenheden. Je hoort kinderen dan ook zeggen: Eerst de groenen. Ook wanneer alle cijfers zwart zijn.

  • Tot slot communiceren kleuren gemakkelijker met het kind dan met de abstracte woorden tientallen en eenheden, bijvoorbeeld: Er zit een klein foutje in (de kolom van) de groenen.




 5.5 Hoe verwoord je Plaatswaarde  


5.5.1 Met het woord plaatswaarde

Hier het woord plaatswaarde omdat dit woord meer kindertaal is, dan het woord positiestelsel.

Boven ging het om de plaats van de termen in de verbeelding op papier. De ene optie is rijgen, de termen en de tussenresultaten gerijgd op een regel zoals de taal. De andere optie is tabellarisch, de termen onder elkaar in een tabel zoals de 2-d-structuur van de getallen (tot 100).
Nu gaat het om de plaats van de cijfers in de verwoording in de telwoorden. Er is de taalkant met de volgorde waarin 1-heden en 10-tallen in de telwoorden staan. En er is een rekenkundige volgorde: links beginnen met eenheden en zo verder naar links.


5.5.2 Met een voorloopnul (01)

Voorloopnullen (01) vullen de lege posities links van de cijfers, je schrijft dus niet 1 maar 01. Puur rekenkundig gezien zou je voorloopnullen moeten schrijven(001) want een spatie is geen cijfer. Maar getallen zonder voorloopnul lezen, schrijven en typen gemakkelijker. Overigens niet voor computers. Jaren geleden begrepen computers niet dat een spatie vóór een getal hetzelfde is als een nul. Daarom tonen ICT-ers nu getallen nog steeds wel met voorloopnullen. Een gelukje voor de reken­meester. Dit vereenvoudigt de uitleg van plaats­waarde. Die voorloopnul zit in de kinderrealiteit, vóór de uren en minuten op het digiboard. Bij een som als 12+3 is het weglaten van de voorloopnul eigenlijk onjuist. Er staat dan 1 + spatie. Een spatie is geen getal, dus 10+spatie kun je niet optellen. Ook de ’achterloopnul’ van de 10 van 12 is verborgen onder de 2. Al met al riskant om de nul dubbel te verbergen bij de eerste som waar deze rare snuilter twee maal een cruciale rol speelt in het getallenspel.

Om de systematiek van plaats­waarde duidelijk te tonen kun je aanvankelijk even voorloopnullen tonen. De deelhandeling optellen van tientallen is dan niet spatie plus 2 tientallen maar nul tientallen plus twee tientallen. Voorloopnullen verduidelijken overigens niet alleen plaats­waarde bij optellen maar verduidelijken ook digitaal klokkijken. Mooie bijvangst. Het is mij gebleken dat kinderen geen moeite met voorloopnullen hebben. Je kunt eventueel gewoon zeggen: Ja dat is een beetje computertaal, kijk maar hier. (wijs naar bijvoorbeeld de tijd op je telefoon of het digiboard). Anders snappen computers het niet. Een voordeel van het gebruik van voorloopnullen is dat de reken­meester onmiddellijk ziet dat het kind plaats­waarde niet begrijpt. Het kind haalt dan 01 en 10 door elkaar.


5.5.2 Met pilotentaal

Je kunt één verhaspelingsronde verminderen door kinderen aan het eind van de berekening de uitkomst niet te laten uitspreken maar te laten opschrijven. Als dat niet kan, dan kun je pilotentaal spreken. Als piloten de telwoorden van taal­meesters zouden gebruiken dan zouden er meer vliegtuigen neerstorten Dus, piloten noemen vlucht kl 123 gewoon Flight one, two, three. Moet een kind een getal verwoorden en verwart het kind gemakkelijk de cijfers, laat het dan gewoon ’Pilotentaal’ spreken. Als je het piloten­verhaal goed opdist, dan maak je fun van fouten.


5.5.4 Met uitleg van telwoorden


10) Eerste telwoord: 10

Ui zijn twee tekens voor één klank en iu zijn twee tekens voor twéé klanken.


Bij de reken­meester is dat anders:
10 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (een tiental en tien eenheden).
01 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (nul tientallen en nul tientallen).

Als je de (voorloop)nul hier wél toont dan verduidelijk je de tientallige structuur. Is die structuur duidelijk dan kan de voorloopnul weg.

11) Volgende telwoord: 11

Wat denkt een zevenjarige als je elf zegt? Dat is eenvoudig, namelijk: Ah, wat leuk, er doen ook elfjes mee.


De reken­meester moet dan toch even uitleggen dat elf een homoniem is: één woord met twee verschillende betekenissen. Elf is niet de grote broer van elfje maar eigenlijk een op (de nul van) tien. Maar ja, de taalmeester noemt hem elf. Elf is oud Noors. Elf woont ook niet in het bos, zoals je misschien van een oude Noor verwacht, maar achter de 10.

12) Volgende telwoord: 12

Eenmaal door het verhaal over elf in de fabeltjes­realiteit gezet zou een kind kunnen denken dat die 12 gewoon twee feeë met een spraakgebrek zijn. Je kunt dan eventueel mee fantaseren en zeggen dat 12 een wolf is, die onder de twee een een nul verborgen heeft. En, nu komt het mysterie: Die nul is niet niets want de wolf is een toverwolf. De wolf maakt de 1 maar liefst 10 keer zo groot. Gelukkig voor de reken­meester, zit het kind nog in de fabeltjes­fase en slikt het dit soort onzin.


Is het kind al uit de fabeltjes­fase dan zal het misschien zeggen: Twee een of twee tien. Fout zegt de Nederlandse taal­meester. De grootvader van het telwoord twaalf heette namelijk twee-lif en zijn overgrootvader heette twee-blijft. Zijn over­over­groot­vader was een Noor en heette twee die overblijft (left). Als je twaalf hebt dan blijven er namelijk twee over omdat je maar tien vingers hebt.

De Russische taal­meester spreekt geen oud Noors maar zegt 'gewoon': 2 op 10. Heel goed zegt de psycho­loog want de twee komt visueel ook op de nul van 10. Kinderen met een taalachterstand Nederlands, kunnen hier in het voordeel zijn. Slavische en Arabische reken­meesters hebben niet zulke rare woorden als elf en twaalf maar zeggen gewoon wat het is: Een op tien. of zo iets. Misschien kan dan een kind met een taalachterstand Nederlands zijn klasgenoten met Nederlands als moedertaal uitleggen hoe het zit.

13) Volgende telwoord: 13

Dertien en veertien gaan nog wel. Vijftien en verder zijn rekenkundig perfect. De volgorde van de eenheden en tientallen is rekenkundig onhandig. Vijftien is misschien en logischer kandidaat voor 50 dan vijftig. Dat was ooit ook zo. In het Germaans betekende tig tiental. Bij de tachtig staat tig er niet alleen achter maar staat tig er ook nog voor (de letter t). Ook wat onhandig zou je als rekenmeesster zeggen.


Germaans gaan praten als je iets moeiijks uit wilt leggen (tientalligheid en plaats­waarde) terwijl er een goed Nederlands alternatief voor tig is, namelijk tien. Misschien toch even uitleggen aan de kinderen: tig betekent tien.
 
14) Telwoorden voor 10-tallen

Hoe zit het met de telwoorden voor de tientallen. Eenvoudig, tenminste in het Nederlands en het Engels. Niet in het Frans. Daar heet tachtig vier maal twintig. Nou ja, eenvoudig in het Nederlands en het Engels? Wel komt er in het Nederlands na 20 ineens het tussenvoegsel en tussen de eenheden en de tientallen. Niet in het Engels maar daar verandert na 20 ineens de volgorde van eenheden en tientallen.
De regels van de reken­meester zijn eenvoudig: elk cijfer links is tien maal meer waard dan zijn rechter buurman.

Dus ...

De taal­meester maakt een flinke hutspot van de verwoording plaats­waarde. Het spiegelen (12 ipv 21) van kinderen toont hoe de taalmeester denkt. Spiegeluitkomsten zouden in toetsen dus goed gerekend moeten worden. Een rekentoets is immers geen taaltoets.


5.5.4 Met réchts beginnen

De taal­meester leert dat je links begint met lezen. Je ziet dan ook dat kinderen bij sommen met termen onder elkaar ook links beginnen. Dat is geen probleem zolang je 10-eenheden niet hoeft te ruilen. In principe kan het meestal ook wel als je wel moet ruilen. Maar in Nederland doen we dat niet. Dus rechts met de eenheden beginnen. Verder is links beginnen is niet handig bij 12+456. Je krijgt dan gemakkelijk als uitkomst 576. Ook bij 12+459 kun je beter rechts beginnen omdat je dan de 10 van 2+9 gelijk bij de 70 en de 50 kunt tellen.


Wat is de orde in de volgorde?
Reken uit: 123+45
De rekenvolgorde rechts naar links:3+5, 2+4 en 1+0.
Normaal gaat de taalmeester van links naar rechts.123 + 43 (de volgorde van letters.)
Maar bij getallen gaat hij even niet van links naar rechts maar,
euh ja, euh niet van links naar rechts.
132 + 43 (de volgorde van de telwoorden.)
De uitkomst volgens de taalmeester is:1, 8, 6.
De volgorde bij schrijven/typen is:1, 6, 3.

Gaat er wat fout in deze volgordehutspot dan kan het kind niet rekenen. Je zou ook kunnen zeggen dat de Nederlandse taal­meester een chaoot is die niet kan rekenen. Zijn telwoorden zijn inconsistent en verbergen tientalligheid en plaats­waarde.Een kleine verandering in een situatie is een belangrijke oorzaak van fouten leert de veiligheidsbijbel al 32 jaar. Vooral wanneer in de situatie geautomatiseerde handelingen uitgevoerd moeten worden. Zoals dus bij het rekenen. Ga maar eens in een auto rijden waarin de gas- en de rempedaal verwisseld zijn.



 5.6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde  

Plaatswaarde met een uitkomst tot 100 geheel uit het hoofd (zonder papier voor geheugensteun) uitrekenen en de uitkomst verwoorden (met omwisselen naar de telwoordvolgorde), blijft lastig. Je kunt je afvragen of je kinderen daar wel lastig mee moet vallen. Daar komt nog een bedreiging bij: de volgende leerfase: Ruilen van 10-eenheden voor 1-tiental (38+13). Dat is pas echt een hele lastige. Is het kind net van zijn teltrauma af en begint het net lol te krijgen in rekenend optellen van zeer grote getallen, stort zijn getallenrealiteit weer in elkaar. Niet omdat het kind plaatswaarde niet begrijpt maar omdat het kind psychologisch gezien zeer begrijpelijke waarneemvergissingen maakt.


5.6.1 Met grote getallen

Snapt het kind nul en plaats­waarde een beetje, dan ijskoud en plompverloren, zonder wat te zeggen om te beginnen leg je op tafel:

 
Met wat kleur en onder elkaar is optellen geen probleem

Verbeelding 39.

En dan sluw, steeds links een kolom er bij. Om de rekenmethode te pleasen eventueel mengen met dezelfde sommen maar dan met de termen naast elkaar. Mijn ervaring is dat dit voor de kinderen geen enkel probleem is.
  
Met wat kleur en onder elkaar zijn grote getallen geen probleem en wel fun.

Verbeelding 40.

Mijn ervaring is dat deze sommen voor een ’rekenprobleem’ geen probleem maar fun. Kennelijk valt het kwartje en ziet het kind dat het zelfs sommen uit groep 6 kan. De sommen zijn ook niet moeilijk. Zeker niet wanneer de termen onder elkaar staan. Uiteraard moet de reken­meester wel zo sluw zijn dat hij sommen ruilen van 10 eenheden nog even verbergt. Met deze ene som bijvoorbeeld, rekent het kind zeven maal een som onder 10 uit. Een mooie bijvangst voor het rekenend optellen van deze sommen (automatiseren van sommen onder 20). Plaatswaarde is op deze wijze een makkie. De teller leert bovendien dat rekenen niet vingertellen is maar volgens regels een puzzel oplossen.

Grote getallen

Als je plaats­waarde in het leerproces vóór breken om 10 zet, dan kun je eerder sommen met grote getallen doen. Nu al grote getallen, ja dat kan. Zevenjarigen begrijpen immers ook:
2 koeien + 3 koeien= 5 koeien.
Waarom zouden zij dan niet kunnen begrijpen:
2 honderd + 3 honderd=5 honderd
of
2 miljoen + 3 miljoen=5 miljoen.of
10+20
100+200
1000+2000




Bij 10+2 komen de twee eenheden op de rechtste nul. Bij 1 000 000+1 ook. Wel tot miljoenen, zeker als je de termen onder elkaar zet.

Nu al grote getallen dat moet. Anders kun je plaats­waarde niet begrijpen. Psycho­logisch gezien gaat het immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling en de systematiek. De handelingen met grote getallen is gelijk aan de handelingen met kleine getallen.


Met plaats­waarde goed verbeeld is optellen eenvoudig

Verbeelding 41.
De psycho­logische handelingen bij termen onder elkaar zijn voor een groepdrieër identiek aan de handelingen bij de termen naast elkaar. Ook voor de groepdrieër met 'rekenproblemen' zijn de handelingen identiek en de som dus geen probleem. Het grote verschil is dat onder elkaar fun is, en naast elkaar sloom, zo is mij gebleken.
1234354+2112324=


Met plaats­waarde oog-onvriendelijk verbeeld, is optellen lastig

Verbeelding 42.


staart boek php
conflict: 16
fun: 5
fun_min: 2
index: 29

Woordtellingen naar kop:
$n_woord_conflict_tot=$n_woord_conflict_tot+16;//plaatswaarde
$n_woord_fun_tot=$n_woord_fun_tot+5;//plaatswaarde
$n_woord_fun_min_tot=$n_woord_fun_min_tot+2;//plaatswaarde
$n_woord_grotegetallen_tot=$n_woord_grotegetallen_tot+3;//plaatswaarde
$n_woord_index_tot=$n_woord_index_tot+29;//plaatswaarde
$n_woord_mondhouden_tot=$n_woord_mondhouden_tot+0;//plaatswaarde
$n_woord_kindrealiteit_tot=$n_woord_kindrealiteit_tot+1;//plaatswaarde
$n_woord_teltrauma_tot=$n_woord_teltrauma_tot+0;//plaatswaarde
$n_woord_verbeelding_boek[5]=42;

conflict: 79
fun: 8
fun_min: 8
index: 217
grotegetallen: 7
mondhouden: 7
teltrauma: 12
Verbeeldingen tot: 0
n woord verbeelding boek 1:6 i: 6
n woord verbeelding boek 2:12 i: 18
n woord verbeelding boek 3:27 i: 39
n woord verbeelding boek 4:25 i: 52
n woord verbeelding boek 5:42 i: 67
n woord verbeelding boek 6:52 i: 94
n woord verbeelding boek 7:60 i: 112
n woord verbeelding boek 8:68 i: 136
n woord verbeelding boek 9:76 i: 152
Index:
Plaatswaarde.Plaatswaarde is ... § 5.2.2
Onder elkaar.Maakt sluwe oplossingen mogelijk. § 5.2.2
Twaalf.Rekenkundig gezien eigenlijk 'een (op de nul van) tien'. Zeg wel dit tegen de kinderen en: Maar we noemen hem twaalf. § 5.2.3
Breken naar 10.Ook wel genoemd: De vloek van de kennis. § 5.3
Grote getallen.En plaatswaarde. § 5.3
Incidenteel leren.Bijvangst bij plaatswaarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren). § 5.3
MAB.Multibase Arithmetic Blocks. § 5.4.1
Lusabacus.Lusabacus en plaatswaarde. § 5.4.3
Naast elkaar. De termen van de som naast elkaar. De op te tellen cijfers en hunb som staan uit elkaar. Deze verbeelding noemt men ook wel rijgen ( 12+34=10+30+2+4=40+6=36). § 5.4.6
Onder elkaar.De termen staan onder elkaar. De op te tellen cijfers en hun som staan bij elkaar in een kolom.
  12
+34
=36. Vaak tabellarisch genoemd. In tegenstelling tot termen naast elkaar (rijgen). § 5.4.7
Grote getallen.En termen onder elkaar plaatsen. § 5.4.7
Grote getallen.Niet doen omdat dit met rijgen niet kan. § 5.4.7
Spiegelen.Door rijgen. § 5.4.7
Spiegelen.Voorkomen met onder elkaar. § 5.4.7
Toets.Niet valide als plaatswaarde(begrips)fouten en waarneemfouten niet uitgefilterd zijn. § 5.4.7
Positiewaarde.Zie plaatswaarde § 5.5.1
Voorloopnul.Voorloopnullen (01) vullen de lege posities links van de cijfers, je schrijft dus niet 1 maar 01. § 5.5.2
Kindrealiteit.Voorloopnul op het digiboard. § 5.5.2
Tien.Het woord. Discrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. § 5.5.4
Voorloopnul.Wel tonen bij uitleg. § 5.5.4
Elf.Het woord. Discrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. § 5.5.4
Twaalf.Het woord. Discrepantie tussen taal en rekenen. Eén lettergreep voor twee rekenkundige begrippen: eenheden en tientallen. § 5.5.4
Kindrealiteit.Turkse telwoorden. § 5.5.4
Kindrealiteit.Russische telwoorden. § 5.5.4
Vijftien.Het kind zou kunnen denken vijf (van/maal) tien dus 50. § 5.5.4
Spiegelen.12 schrijven maar 21 bedoelen. § 5.5.4
Grote getallen.En onder elkaar. § 5.6.1
Grote getallen.Vroegtijdig introduceren. § 5.6.1

29 n woord index

  Nog niet beschikbaar

9 Getalkennis Nog niet beschikbaar


Literatuur:


Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverijpica.nl.
Drenth, P. (1968). De psycho­logische test. Een inleiding in de theorie van de psycho­logische test en zijn toepassingen. Arnhem: Van loghum Slaterus. Eerste druk 1966.
Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.
Treffers, A., Noteboom, A. & de Goeij, E., (2009). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In: van den Heuvel_Panhuizen, Buys & Treffers, 2009.
Van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Eds.), (2009). Kinderen Leren Rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen Bovenbouw Basisschool.
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 177.
Reason, J. (2009). Human Error. Cambridge, etc: Cambridge University Press. (Eerste druk 1990.)