Hoofdstuk 5 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 aug. 2022.

5 Plaatswaarde

Onthul de verborgen nul

Decimale plaatswaarde is voor volwassenen zo logisch, handig en vanzelfsprekend dat ze eigenlijk niet beter weten. Het duurde duizenden jaren voor slimme rekenmeesters decimale plaatswaarde ontwierpen. Het is dus begrijpelijk dat kinderen plaatswaarde niet zomaar begrijpen.

5.1 Wat is Plaatswaarde

5.2.1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren

De Romeinen hadden geen plaatswaarde per getal maar per cijfer. IV is 4 en VI is 6. De I (een) links van V (vijf) moet je aftrekken van V omdat hij links van de V staat. De Romeinen schreven het getal 8888 zo:

MMMMMMMMDCCCLXXXVIII

Het getal 8888 met Romeinse cijfers

Verbeelding 26.

Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.

De Romeinen hebben 5 x meer tekens nodig dan wij en de Arabieren. Veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwers en veel kijkwerk voor de ogen van de lezers
(zie § 8.3.2)

Klik voor meer over: oogfixatieveld

.
Het getal 8 888 past gemakkelijk in het oogfixatieveld en is dus in één oogopslag geheel zichtbaar. De Romeinen moeten drie of vier keer kijken en dan in werkgeheugen samenvoegen. Ga daar maar eens een staartdeling mee maken.
Een regelmaat van het getal is niet te zien. In het Arabische systeem gewoon 4 achten.

De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren

Verbeelding 27.

De schrijfwijze van de getallen van de Maya’s

Verbeelding 28.

5.2.2 Plaatswaarde rekenkundig

De huidige rekenmeester heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel verborgen ónder de rechter buren. Dus bij twaalf staat de 0 van 10 onder de 2.

Bij getallen geeft de plaats van het cijfer ook de werkelijke waarde van het cijfer aan. De 2 in 21 staat niet voor 2 eenheden maar voor 2 tientallen. Dit maakt getallen veel compacter, passen ze beter in de oogfixatie en belasten ze minder het werkgeheugen. Ook zijn daardoor oplossingsmethoden als staartdelingen en onder elkaar zetten bij vermenigvuldigen veel eenvoudiger. Geniaal. Maar helaas ...

5.2.3 Plaatswaarde taalkundig

De taalmeester noteert de Latijnse letters in woorden lineair. De plaats van een letter betekent alleen dat je deze letter uit moet spreken ná de linker, de voorgaande.

Bij het rekenen is dat anders.

Arabieren schrijven van rechts naar links dus het ligt voor de hand getallen ook van rechts naar links te lezen.

Van den Heuvel-Panhuizen, et al. (2009)

Schrijven en intypen doen we dan weer van links naar rechts.
Bij de taalmeester weet je eigenlijk nooit met welke positie hij zal beginnen.

Erg onhandig deze volgorde-hutspot. Vooral als je twee tegengestelde systemen tegelijk moet leren (volgorde van letters in woorden en cijfers voor rekenen). Vooral als je ook nog maar zeven jaar bent.

De taalmeester zou twaalf met cijfers schrijven als 102 of 210.

Zeg dus minstens even tegen de kinderen: Je ziet hier weliswaar nog 102 maar we schrijven dat korter als: 12 die 2 zetten we gewoon op de nul. Deze wijze van noteren is uitermate geniaal en handig maar niet zo vanzelfsprekend, leert de geschiedenis.

Letters in een woord zijn betekenisloos. Het woord meer bedoelt grotere hoeveelheid maar heeft minder letters dan het woord minder dat het tegenovergestelde betekent: kleinere hoeveelheid Dik is niet 10 keer meer dan ik. Maar ik heeft helemaal niets met Dik te maken.

Cijfers hebben wel betekenis. Een getal met meer cijfers geeft altijd een grotere hoeveelheid aan dan een getal met minder cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10.

Getallen gaan van rechts naar links, woorden van links naar rechts. In onze Arabische getallen lopen de cijfers dus ook van rechts naar links. Rechts eenheden dan links daarvan tientallen, etc. De leesrichting van getallen is omgekeerd aan de richting van woorden. Verwarrend eigenlijk.

De slimmerik zal dus denken dat 21 staat voor twaalf. 3=1+2=2+1=3 mag je van links naar rechts en van rechts naar links lezen. Maar ik ga betekent wat anders dan ga ik. De twee in 21 en 12 is dezelfde twee met dezelfde betekenis. Maar de letter e in de naam Leo heeft niet dezelfde betekenis als dezelfde letter e in de naam Loe(wietje).

Volgorde in telwoorden

Bij de telwoorden bepalen taalkundige wetten de volgorde (eenentwintig maar honderdeen). De klank oe is één klank met twee betekenisloze letters maar 12 is weliswaar ook één bepaald getal maar met twéé betekenisvolle cijfers. Sommige telwoorden hebben maar één lettergreep en suggereren één niet-samengesteld getal, bijvoorbeeld 10, 11 en twaalf. Maar het zijn samengestelde getallen. Twaalf is één lettergreep maar de betekenis is tweeledig, namelijk 1 tiental en nog 2 eenheden. Het veel voorkomende antwoord is 4 op de stip bij de som: 1+.=3, is dus heel begrijpelijk. Er staat een plus dus je moet optellen en de uitkomst moet op de punt.

Structuur van telwoorden

Het telwoord tien is één simpel woord en ook nog één-lettergrepig woord. Taalkundig geen enkele indicatie voor twee elementen. Net als de woorden voor de andere hoeveelheden onder 10. Het getal tien bestaat uit twéé rekenkundige 'woorden', namelijk 1 voor tien en 0 voor de eenheden. Het telwoord tien geeft die rekenkundige structuur niet weer. Dat geldt ook voor 11, 12 en 13. We zijn er nog niet. Je zegt tweehonderd maar weer niet eenhonderd. Onhandige en complexe telwoordentaal. En dat voor zoiets complex en essentieels als plaatswaarde.

5.3 Plaatswaarde in het leerproces

Volgorde van leerstappen: gebruikelijk		volgorde hier

Automatiseren/memoriseren/instampen		H. 3 Rekenend optellen
Breken naar 10 (inwisselen om 10)		H. 4 Nul
Sommen boven 20.		H. 5 Plaatswaarde
Ruilen van 10 (inwisselen).		H. 6 Breken naar 10 (eventueel)
		H. 7 Ruilen van 10

Meestal plaatst men Rekenend optellen vóór Breken naar 10. Waarom hier Breken naar 10 ná Rekenend optellen?

Waarom zou je als teller bij 9+2, 9+3 of 9+4 gaan breken om 10. Gewoon (vinger) tellen is veel sneller, concreter, minder werkgeheugenbelasting, risico op een fout en aanzienlijk minder gedoe. Zelfs 9+8 is tellend optellen minder mentale en werkgeheugen handelingen dan 9+8=9+1+7=10+9. Laat een kind een paar keer rijtje laat doen als:

9+5=
9+6=
9+7=

Sluw werkblad om te leren breken naar 10

Verbeelding 29.

www.rekenhaas.nl/b51p.php

De stap naar 8+x= is dan klein.Dat je de som uit kunt rekenen door gewoon één van de tweede term af te trekken. Dat is eenvoudiger dan het breken om 10 gedoe met bijvoorbeeld dakjes.

Boven 20 is breken om 10 eventueel interessant omdat tellen het werkgeheugen dan sterk belast en de uitvoering lang duurt, bijvoorbeeld bij 59+8 en natuurlijk bij 8+59. Je zou kunnen zeggen, als je dan wil breken om 10, doe het dan met die sommen. Maar om die sommen uit te kunnen voeren moet je plaatswaarde en ook ruilen van 10 eenheden begrijpen. Dus plaatswaarde eerst.
Maar sommen boven 20 zijn in het leerproces van het reguliere onderwijs op dit moment nog niet aan de orde. En daarmee vervalt het nut van breken om 10.
De kinderen komen op dit moment net uit de fase van Rekenend optellen Daarbij hebben ze het ’echte’ rekenen (niet tellen maar rekenen). Voornamelijk nog onder 10 en goed visueel ondersteund met bij bijvoorbeeld dobbelsteenstippatronen. Plaatswaarde is dan een betere volgende stap. Plaatswaarde is, per definitie, eenvoudiger en goed te verbeelden zullen we zien. Wanneer je ruilen van 10 eenheden vermijdt, dan kun je met kinderen uit groep 3 gemakkelijk sommen met termen boven miljoenen maken. Zo zal nog blijken. Dat is fun.
De truc van breken om 10 is dat je een som met 10 krijgt, bijvoorbeeld 9+3=10+2. Gemakkelijk, omdat 0+2 gemakkelijk is. Maar dan moet je wel weten dat 9+3 niet 93 is of 10+2=102 zoals de taalmeester onderwijst. Je moet de 2 óp de 0 zetten. Plaatswaarde dus.
Inwisselen is een tamelijk abstracte handeling die ook moeilijk te visualiseren is. Plaatswaarde is minder abstract, is een visuele eigenschap en is goed te verbeelden zoals we nog zullen zien.

Deelhandelingen bij plaatswaarde zijn namelijk sommen onder 10. Bij 123+456 moet het kind achtereenvolgens 3+6, 2+5 en 1+4 uitrekenen.
Bijvangst bij plaatswaarde is dat het kind sommen onder tien oefent (en automatiseert door min of meer incidenteel leren).
En dan, tot slot, mijn ervaring is dat het breken om 10 voor sommige kinderen erg moeilijk is. Er zijn kinderen die uitstekend uit het hoofd optellen tot 100 maar breken om 10 niet begrijpen.

Grote getallen

Als je plaatswaarde in het leerproces vóór breken om 10 zet, dan kun je eerder sommen met grote getallen doen. De vraag is niet of het kan. Het antwoord is eigenlijk dat het moet. Psychologisch gezien gaat immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling. De handelingen met grote getallen is gelijk aan de handelingen met kleine getallen. Rekenkundig gezien gaat het niet om de grootte van de getallen maar om de systematiek. Ook die is gelijk.

Bij 10+2 komen de twee eenheden op de rechtste nul. Bij 1 000 000+1 ook. Wel tot miljoenen, zeker als je de termen onder elkaar zet. Je kunt de miljoenen ook naast elkaar zetten, zoals in de onderbouw gebruikelijk. De kinderen maken dan gemakkelijk visuele en werkgeheugen fouten. De rekenmeester trouwens ook. Je kunt de fun er in houden door de kinderen te vragen hoe je die fouten kunt voorkomen.

De rekenmeester moet wel even zo sluw zijn sommen te geven zonder ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental Kunnen die kinderen zich die grote getallen niet voorstellen. Nou, ik ook niet. Eigenlijk denken we nog steeds: Een, twee, drie, veel. Ook fun is de vraag: Wat is het grootste getal? Zo is mij gebleken.

Met plaatswaarde goed verbeeld is optellen eenvoudig

Verbeelding 30.

www.rekenhaas.nl/p122p.php

De psychologische handelingen bij termen onder elkaar zijn voor een groepdrieër identiek aan de handelingen bij de termen naast elkaar. Ook voor de groepdrieër met 'rekenproblemen' zijn de handelingen identiek en de som dus geen probleem. Het grote verschil is dat onder elkaar fun is, en naast elkaar sloom, zo is mij gebleken.

4+4=
5+2=
3+3=
4+2=
3+1=
2+1=
1+2=

Met plaatswaarde oog-onvriendelijk verbeeld, is optellen lastig

Verbeelding 31.

5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde

5.4.1 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn

De getallenlijn plaatst de getallen lineair op een rij. Net als Un, dun, dip. De getallenlijn toont geen veld (zie § ).
Met maar 10 vingers kun je plaatswaarde niet met vingerbeelden verbeelden. Tenzij je ingewikkeld gaat doen met twee paar handen.

Het getal 9 met vingerbeelden

Verbeelding 32.

MAB-materiaal komt dichter in de buurt dan de getallenlijn. Het heeft een tientallige structuur. Tot 1000. In eerste instantie is een voordeel dat de eenheden van een tiental zichtbaar blijven. Ook de tientallen en zelfs de honderdtallen zijn zichtbaar.

Maar waar de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal staan toon MAB niet. Ook nul toont MAB niet. De herhaling van tientalligheid naar links (steeds 10 x meer) en naar rechts (steeds 10x minder) is niet te zien. Plaatswaarde zit niet in MAB gebakken (Multibase Arithmetic Blocks). Je moet de eenheden en tientallen op de juiste plaats leggen.

MAB

Verbeelding 33.

Verbeelding 34.

Zeg tegen het kind gewoon:

Wat zie je?
Hoeveel groene?
Hoeveel stippen kunnen er in?
Hoeveel is 9+3?
Welk getal hoort er onder?

5.4.2 Met staafsteun op de lusabacus

Een lusabacus heeft een staaf met kralen voor 20 eenheden, links daarvan een staaf met 20 kralen voor de tientallen en zo verder. Daarmee verbeeldt de lusabacus plaatswaarde goed.

Met de vaste stangen dwingt de lusabacus plaatswaarde af. De waarde van de stangen zou je bij de stang kunnen zetten. Bij de kralen voor de enen zou de één stip kunnen plaatsen voor de waarde. Bij de kralen voor de tienen passen nog net 10 stippen op een kraal. Op de kralen voor de honderden zou je 100 kunnen schrijven.

Plaatswaarde op een demo-lusabacus. De (onderliggende) eenheden zijn nog verbeeld met stippen of nullen.

Verbeelding 35.

Plaatswaarde op de gebruikelijke lusababacus. De (onderliggende) eenheden zijn niet meer verbeeld, net als bij de geschreven getallen.

Verbeelding 36.

5.4.3 Met het 100-veld

De uitvinder van het honderdveld is min of meer het getallengenie Descartes. Hij kwam met het kardinale stelsel. Een 100-veld waarbij de afstanden tussen de punten gelijk zijn (optelbaar zijn). Met zijn 'honderdveld' kon hij afstanden, kogelgewicht en hoek van het kanon optellen en de resultaten in tabellen en grafieken zetten. Met zo’n tabel kon de kanonnier dan rationeel op een vakje uit het honderdveld van de vijand richten. Dat was niet alleen nauwkeuriger maar vroeg ook minder kruit, ervaring en ’gevoel’. Dan verlies je het wel wanneer je als vijand met een meetlint (getallenlijn) je kanon richt.

Het honderdveld is per definitie een veld. Het is een veldverbeelding met op de ene as tientallen en op de andere as eenheden

(zie § 9.2.4)

. Je kunt dan mentaal redeneren en rekenen op twee dimensies. Net als bij boter-kaas-eieren, dammen, kaartlezen, eventueel zonder kaart navigeren in een onbekende stad en natuurlijk navigeren in het twee dimensionaal vlak van de decimale getallen tot 100. Dat is rekenen. Heel wat anders dan lineair vísueel ooghinkelen op de gatellenlijn. Maar dat is een ander verhaal

Je hebt traditionele honderdvelden en sluwe honderdvelden. Op een sluw honderdveld is cognitief psychologie toegepast.

(zie § 8.5.7)

5.4.4 Een gebruikelijk 100-veld Een gebruikelijk 100-veld Verbeelding 37.		5.4.5 Een sluw 100-veld Een sluw 100-veld Verbeelding 38. www.rekenhaas.nl/p.php Met klik naar deze sommen.

1) Kleur op het gebruikelijk 100-veld De psychologie weet inmiddels veel over kleurwaarneming. Kleur wordt vaak decoratief gebruikt. Sommige cijfers worden slecht leesbaar doordat een donker cijfer op een donkere achtergrond komt. De gekleurde achtergrond is opvallender door kleur én door meer oppervlak. Daardoor vallen de getallen weg. De ogen seinen dan naar de hersenen: Ah, hier hebben jullie een soort regenboog. De kolommen voor vijftallen en tientallen zijn hier iets donkerder. Met markering kan de lezer zich oriënteren en een nauwkeurige oogsprong maken. Markering van de kolom voor de tientallen is niet nodig. Die tientallen zijn zonder helderheidsverschil voor het oog ook wel eenvoudig te . Het is de laatste kolom. Markering van de kolom voor de vijftallen met helderheid werkt niet goed omdat de helderheid van de kleuren verschilt. Verder neemt de kleurwaarneming zeer snel af, van het oogfixatiepunt terwijl markering juist vanuit de periferie van het oog waargenomen moet kunnen worden voor een nauwkeurige oogsprong.		2) Kleur op een sluw 100-veld Een belangrijk element van de getallen zijn de tientallen, blauw verbeeld en de eenheden, groen verbeeld. De ogen zeggen dan tegen de hersenen: Hum, op de regels steeds hetzelfde cijfers en in de kolommen ook steeds hetzelfde cijfer. Een kleur is verder concreter dan de termen tientallen en eenheden. De rekenmeester kan gemakkelijker met het kind communiceren (Je vergeet een groene.) Je hoort kinderen bij het rekenen ook in zichzelf zeggen Eerst de groenen samen. Kleur voorkomt dolen binnen getallen tussen tienen en enen (12+3=42). Net als op een kaartje met metrolijnen. Die lijnen zet je ook niet op een dambord met vakjes in alle kleuren van de regenboog. Met een wit kruis kunnen de ogen zich oriënteren in het veld. Het kruis heeft geen kleur maar wel voldoende helderheidscontrast. Als het oog linksonder is, dan het oog het midden zien en daar met één sprong naar toe. De gevoeligheid van het oog voor helderheidsverschil neemt toe naar de periferie. De markering zit verder bij de vijf zodat de tafel van 5 sluw binnensluipt. Dat over kleur. Er is meer.

3) De regels op het gebruikelijke 100-veld
De eerste regel op een gebruikelijk honderdveld loopt van 1 tot 10.

Maar dan krijg je de 10 wel bij de 1 tot en met 9. Hoort hij daar wel? Hij ziet er heel anders uit. 10 lijkt meer op 11 dan op 9. Hetzelfde geldt ook voor 100 en 99. De letter au zet je in hret alfabet toch ook niet achter de letter a. Als een kind op nummer 50 woont moet hij dan drukken op liftknopje 4?
Je mist met 50 op de regel van 40, een goede verwoording en verbeelding van het lastige ruilen van 10: Je mag met de lift één verdieping hoger (lager) als je 10 huisnummers ruilt voor een tiental.
Het verschil tussen 9 en tien is groot: die rare nul duikt op, er is plaatswaarde en je moet ruilen van 10-eenheden voor 1-tiental.

5) De regels op een sluw 100-veld

Alle tientallen hebben een eigen regel, net als in een lift. Net als bij de taalmeester. Als je 20 jaar oud bent dan ben je geen tiener. Een dubbeltje is een andere munt dan een cent.

6) Nul en het gebruikelijke 100-veld

Nul is een hele rare snuiter

(Kaplan, 2000).

. Op het gebruikelijke honderdveld komt hij wel voor, maar min of meer toevallig. Een beetje als de letter u na de letter a omdat de letters op waren. (zie § 4.1).

8) Nul op een sluw 100-veld

Een sluw honderdveld toont nul daar waar hij een cruciale rol speelt. Het veld ziet er daardoor een beetje raar uit.

Hij staat op de juiste plaats, vóór 1.
Hij heeft geen grijs, geen hoeveelheid.
Bij 100, vlak boven 90, is goed te zien wat zijn rol is bij ruilen van 10 ná 99, er komt een nul, een tiental bij. Je gaat over naar een ander veld/dimensie/MAB-plak.
Je kunt ook zien dat een voorloopnul logisch is. Maar dat is een ander verhaal
(zie § 4.1)

Klik voor meer over: voorloopnul

.

9) De route op het 100-veld

Selter & Zannetin, 2021).

Heuvel_Panhuizen, 2009).

11) De route op een sluw 100-veld

Een sluw honderdveld volgt de route van de rekenmeester. Linksonder de lage getallen en rechtsboven de hoge getallen. Zoals bijvoorbeeld in een grafiek. Trouwens ook zoals bij de woorden van de taalmeester ’veel’ is altijd hoog en boven: (huizen) hoge verwachtingen, scores, getallen en golven. Een kind zegt een berg snoepjes, niet een kuil snoepjes. Een toren teken je niet op zijn kop. Als de zon op komt, dan gaat hij niet onder. Omgekeerd zit je ook goed: onder de streep, -water, -gronds, -kant, etc.

Omdraaien geeft een goede start bij andere verhalen:

Inhoudsmaten. Een liter is gewoon een combinatie van drie honderdvelden, net als een MAB-1000-blok. Een maatbeker vult zich niet van boven naar beneden.
Grafieken. Een grafiek is gewoon een 100-veld met nul linksonder.
Opmerkelijk. Zo ben je zonder dat je het merkte met je klas bij de negatieve getallen beland. Maar dat is een ander verhaal.
(zie § 4.5.1)

Klik voor meer over: negatievegetallen

.
Analoog klokkijken. Een rechthoekig klokveld is een aardige voorloper voor het ronde klokveld. -->

12) Sommen met het honderdveld

Kinderen kunnen goed met het honderdveld overweg en het ook leuk. Zelfs wanneer de kinderen niets weten van nullen, tienen, enen en plaatswaarde. Zonder eye-tracking apparatuur kan de rekenmeester aan hand- en cursorbewegingen zien of het kind visueel scant of met tientalligheid redeneert.

De rekenmeester noemt de nummers, het kind klikt of kleurt op de vakjes en er verschijnt een figuurtje, bijvoorbeeld een gezicht. Je kunt het ook omdraaien: het kind noemt het nummer (van zijn tekening) en een ander klikt op het cijfer.
Knip het 100-veld in 100-stukjes, gooi die in een doos en laat het kind de puzzel maken. Of ge ermee kwartetten: Wie heeft het eerst een hele rij of kolom van een tiental vol? Mag ik van jou van de dertigers de vier?
Kan het kind goed werken met het 100-veld. Dan Ezeltje prik, zonder zichtbaar honderdveld en op zijn kop (het honderdveld). Of 90° gedraaid.

Dus ...
Anders dan bij de getallenlijn, raakt het kind met het honderdveld wél uitgeteld.

5.4.6 Met plaatssteun door onder elkaar zetten

Er zijn twee methoden om sommen boven 20 aan te leren. De gebruikelijke methode is rijgen, een lijnmethode

(zie § 9.2.4)

. Verder is kun je de termen onder elkaar zetten, een veldmethode

(zie § 9.2.4)

. Wat zijn nu de verschillen?

5.4.7 Met termen náást elkaar 12+34=10+30+2+4=40+6=36		5.4.8 Met termen ónder elkaar 12 +34 =36

De getallen en de deelhandeling van een som staan naast elkaar: 12+34=10+30+2+4=40+6=36. Deze verbeelding noemt men ook wel rijgen. Het is een lijnverbeelding, zoals tekst en het ganzenbord. Maar dat is een ander verhaal. Het is wat vreemd de zwakte van taal (de lineaire structuur) te gebruiken om de sterkte van de getallen (de kolomstructuur) te verbeelden.		De getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar: 12 +34 =36. Deze veldverbeelding noemt men ook wel tabellarisch . De eenheden gaan via één oogfixatie van 5° en 233 milliseconden en zonder processing in het werkgeheugen in. De verbale communicatie met het kind is daarentegen eenvoudiger bij rijgen: Kijk maar eens. Wat gebeurt er? Gebruik eventueel verwoordingen als: De nul die is een spook die achter alle enen dook.

Bij teksten bepaalt een praktisch argument de overgang naar een nieuwe regel. De regel is vol. Bij teksten zet je de letters niet netjes onder elkaar. Waarnemingspsychologisch gezien ongewenst want dat maakt woorden minder goed leesbaar. Maar ja, de typemachines konden ooit niet anders.

Bij termen onder elkaar zetten is het argument voor een nieuwe regel bij termen onder elkaar: er komt nu een heel ander maar gelijkwaardig element: de tweede term. Bij getallen heeft het netjes onder elkaar zetten van de getallen per cijfer een psychologische zin. De eenheden en de tientallen komen dan netjes zeer dicht bij elkaar te staan.

Niet te doen bijvoorbeeld grote getallen, vermenigvuldigen en staartdelen.

Grote getallen, vermenigvuldigen en staartdelen geen probleem.

Een lijnverbeelding en niet, niet een veldverbeelding zoals de structuur van het getallensysteem en de schrijfwijze van getallen (plaatswaarde). De basis is getallenlijn. Die is op zich al discutabel
(zie § )

Klik voor meer over: getallenlijn

. Een beetje als dammen op een ganzenbord.

Een veldverbeelding zoals de getallen, de schrijfwijze van getallen (plaatswaarde), het honderdveld en grafieken. Als dammen op een dambord.

Oogvriendelijkheid: laag, er zijn meer oogsprongen en oogfixaties nodig (zie § 8.3.2).

7 oogsprongen en werkgeheugen belasting

Verbeelding 40.

Ook bij onder elkaar is plaatswaarde per definitie verbeeld door kolommen, rechts de 1-en, links daarvan 10-en en zo verder.
Verder is hier plaatswaarde verbeeld met kleur, bijvoorbeeld groen voor 1-en en de plaats waar de 1-en in de uitkomst moeten komen. Hetzelfde met blauw voor 10-en. Oogvriendelijkheid: hoog, alles kan in vier oogfixaties.

4 oogsprongen, geen werkgeheugen belasting

Verbeelding 41.
www.rekenhaas.nl/p81.php

Met klik naar deze sommen.

Werkgeheugenvriendelijkheid: laag, werkgeheugen nodig (zie § 8.5.3).

Werkgeheugenvriendelijkheid hoog: werkgeheugen niet nodig.

Kans op niet-rekenkundige fouten: hoog (werkgeheugenfouten, visuele mismatches, oogsprongfouten)
(zie § 8.3.1)

Klik voor meer over: oogvriendelijkheid

.

Oogvriendelijkeheid: hoog. Kans op niet-rekenkundige fouten: laag.

Het onderwijs wil niet graag twee methoden door elkaar geven. Mij is gebleken dat rekenende optellers, eventueel met het stempel 'rekenprobleem', daar géén moeite mee hebben.

Ik geef kinderen plompverloren, zonder introductie sommen onder elkaar. Een enkel kind zegt: Hé, wat is dat? Ik leg dát niet uit maar zeg gewoon met een stalen gezicht: Ja dat vindt de rekenhaas gemakkelijker. De kinderen zijn wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. De taalmeester doet dat ook. Hij moet wel, want anders valt zijn tekst van het papier.

Willem Bartjens

Overigens was

Willem Bartjens (1604)

een kolomnist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werkgeheugenfouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand.

5.4.9 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellen

De rijg- en de kolommethode mengen rekenmeesters ook wel.

(Treffers, Noteboom & de Goeij, 2009).

Ook spreken rekenmeesters wel over cijferend optellen

(Schmeier, 2019)

wanneer je de tussenstappen niet in de tabel uitschrijft. De uitkomst van elke kolom schrijf je dan direct op.

Willem Bartjes was een kolomnist.

Verbeelding 42.
Bron: Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.

5.4.10 Met kleursteun

Je kunt plaatswaarde ook verbeelden door plaats een kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun positie en ook de plaats in de uitkomst krijgt zijn kleur.

De kleur versterkt het bij elkaar horen van tientallen en eenheden van de termen en de uitkomst. Ook wanneer de cijfers van de tientallen of eenheden niet direct bij elkaar staan. Bijvoorbeeld bij rijgen.
Verder stuurt kleur wat waar moet komen te staan. De kans op verhaspeling van tientallen en eenheden verkleint daardoor.
Bovendien is kleur een verbeelding die het kind eenvoudiger kan verbaliseren en mentaliseren dan de woorden tientallen en eenheden. Je hoort kinderen dan ook zeggen: Eerst de groenen. Ook wanneer alle cijfers zwart zijn.
Tot slot communiceren kleuren gemakkelijker met het kind dan met de abstracte woorden tientallen en eenheden, bijvoorbeeld: Er zit een klein foutje in (de kolom van) de groenen. Bij ongekleurde sommen hoor je kinderen wel fluisteren: Eerst de groenen.

	1	2
+	3	4
=

Kleursteun voor tientallen en eenheden.

Verbeelding 43.

www.rekenhaas.nl/p122p.php

5.5 Hoe verwoord je Plaatswaarde

5.5.1 Met het woord plaatswaarde

Het woord plaatswaarde is meer kindertaal dan het woord positiestelsel.

5.5.2 Met voorloopnullen (01)

Voorloopnullen vullen de lege posities links van de cijfers, dus niet 1 maar 01. Puur rekenkundig gezien zou je voorloopnullen moeten schrijven(001) want een spatie is geen cijfer. Maar getallen zonder voorloopnul lezen, schrijven en typen gemakkelijker. Overigens niet voor computers. Jaren geleden begrepen computers niet dat een spatie voor een getal hetzelfde is als een nul. Daarom tonen computers nu getallen nog wek met voorloopnullen. Gelukkig voor de rekenmeester want deze realiteit vereenvoudigt de uitleg van plaatswaarde.

Om de systematiek van plaatswaarde duidelijk te tonen kun je aanvankelijk even voorloopnullen tonen. De deelhandeling optellen van tientallen is dan niet spatie plus 2 tientallen maar nul tientallen plus twee tientallen. Voorloopnullen verduidelijken overigens niet alleen plaatswaarde bij optellen maar verduidelijken ook digitaal klokkijken. Mooie bijvangst.

Het is mij gebleken dat kinderen geen moeite met voorloopnullen hebben. Je kunt eventueel gewoon zeggen: Ja dat is een beetje computertaal, kijk maar hier. (wijs naar bijvoorbeeld de tijd op je telefoon). Anders snappen computers het niet. Een voordeel van het gebruik van voorloopnullen is dat de rekenmeester onmiddellijk ziet dat het kind plaatswaarde niet begrijpen. Het kind haalt dan 01 en 10 door elkaar.

5.5.2 Met pilotentaal

Je kunt één verhaspelingsronde verminderen door kinderen aan het eind van de berekening de uitkomst niet te laten uitspreken maar te laten opschrijven. Als dat niet kan dan kun je pilotentaal spreken. Als piloten de telwoorden van taalmeesters zouden gebruiken dan zouden er meer vliegtuigen neerstorten

Dus, piloten noemen vlucht kl 123 gewoon Flight one, two, three. Moet een kind een getal verwoorden en verwart het kind gemakkelijk de cijfers laat hem dan gewoon ’Pilotentaal’ spreken. Als je het pilotenverhaal goed opdist, dan maak je fun van fouten.

5.5.4 Met uitleg van telwoorden

Boven ging het vooral om de volgorde van de cijfers in de telwoorden. Er zijn meer conflicten tussen de taalmeester en de rekenmeester.

Eerste telwoord: 10

Ui zijn twee tekens voor één klank en iu zijn twee tekens voor twéé klanken.

Bij de rekenmeester is dat anders:
10 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (een tiental en tien eenheden).
01 zijn twee tekens voor twéé betekenissen (nul tientallen en nul tientallen).

De (voorloop)nul hier wél tonen verduidelijkt de tientallige structuur. Is die structuur duidelijk dan kan de voorloopnul weg.

Volgende telwoord: 11

Wat denkt een zevenjarige als je elf zegt? Dat is eenvoudig, namelijk: Ah, wat leuk, er doen ook elfjes mee.

De rekenmeester moet dan toch even uitleggen dat elf een homoniem is (een woord met twee verschillende betekenissen). Die tweede betekenis is 1 plus 10, een tien eigenlijk maar de taalmeester noemt hem óók elf, net als een elfje.

Volgende telwoord: 12

Eenmaal door elf in de fabeltjesrealiteit gezet zou een kind kunnen denken dat die 12 gewoon één fee met een spraakgebrek is. Hoe zou het kind op het idee kunnen komen dat die 12 een wolf is die onder de twee een een nul verborgen heeft. Een, nu komt het mysterie, die nul is niet niets want die nul maakt die 1 maar liefst 10 keer zo groot. Gelukkig voor de rekenmeester, zit het kind nog in de fabeltjesfase en slikt het dit soort onzin.

Is het kind al uit de fabeltjesfase dan zal het misschien zeggen: Twee een of twee tien. Fout zegt de Nederlandse taalmeester. De grootvader van het telwoord twaalf heette namelijk twee-lif en zijn overgrootvader heette twee-blijft. Zijn overovergrootvader was een Noor en heette twee die overblijft (left). Als je twaalf hebt dan blijven er namelijk twee over omdat je maar tien vingers hebt.

De Russische taalmeester spreekt geen oud Noors maar zegt 'gewoon': 2 op 10. Heel goed zegt de psycholoog want de twee komt visueel ook op de nul van 10.

Kinderen met een taalachterstand Nederlandse kunnen hier in het voordeel zijn. Russische en Turkse rekenmeesters hebben niet zulke rare woorden als elf en twaalf maar zeggen gewoon wat het is: Een op tien. of zo. Misschien kan dan een kind met een taalachterstand Nederlands uitleggen hoe het zit.

Volgende telwoord: 13

Dertien en veertien gaan nog wel. Vijftien en verder zijn rekenkundig perfect. De volgorde van de eenheden en tientallen is rekenkundig onhandig. Vijftien is misschien en logischer kandidaat voor 50 dan vijftig. Dat was ooit ook zo. In het Germaans betekende tig tiental. Bij de tachtig staat tig er niet alleen achter maar staat tig er ook nog voor (de letter t). Ook wat onhandig zou je als rekenmeesster zeggen. Germaans gaan praten als je iets moeiijks uit wilt leggen (tientalligheid en plaatswaarde) terwijl er een goed Nederlands alternatief voor tig is, namelijk tien. Misschien toch even uitleggen aan de kinderen: tig betekent tien.

Hoe zit het met de telwoorden voor de tientallen. Eenvoudig, tenminste in het Nederlands en het Engels. Niet in het Frans. Daar heet tachtig vier maal twintig. Nou ja, eenvoudig in het Nederlands en het Engels? Wel komt er in het Nederlands na 20 ineens het tussenvoegsel en tussen de eenheden en de tientallen. Niet in het Engels maar daar verandert na 20 ineens de volgorde van eenheden en tientallen.

De regels van de rekenmeester zijn eenvoudig: elk cijfer links is tien maal meer waard dan zijn rechter buurman.

5.5.4 Met réchts beginnen

De taalmeester leert dat je links begint met lezen.

Dat is niet handig bij 12+456. Je krijgt dan gemakkelijk als uitkomst 576. Ook bij 12+459 kun je beter rechts beginnen omdat je dan de 10 van 2+9 gelijk bij de 70 en de 50 kunt tellen.

Dus ...

De taalmeester maakt een flinke hutspot van plaatswaarde.

5.6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde

Met plaatswaarde kan de vingerteller sneller 10+8 uitrekenen dan tellend. Maar dan moet je nul en plaatswaarde wel begrijpen. Plaatswaarde gebruiken geeft tellers een boost en fun: Ik kan het wel! en Ik ben geen teller meer!, zo is mijn ervaring.

Plaatswaarde met een uitkomst tot 100 geheel uit het hoofd (zonder papier voor geheugensteun) en verwoorden van de uitkomst (met omwisselen naar de telwoordvolgorde), blijft lastig. Je kunt je afvragen of je kinderen daar wel lastig mee moet vallen. Daar komt nog een bedreiging bij: de volgende leerfase: Inwisselen van 10 eenheden(38+13). Begint het kind net lol te krijgen in rekenend optellen, stort zijn getallenwereld weer in elkaar.

5.6.1 Met grote getallen

Snapt het kind nul en plaatswaarde een beetje, dan ijskoud en plompverloren, zonder wat te zeggen om te beginnen leg je op tafel:

Met wat kleur en onder elkaar is optellen geen probleem

Verbeelding 44.

www.rekenhaas.nl/p122p.php

En dan sluw, steeds links een kolom er bij. En eventueel mengen met dezelfde sommen maar dan met de termen naast elkaar. Mijn ervaring is dat dit voor de kinderen geen enkel probleem is. Wel krijg je met onder elkaar meer foute uitkomsten. Dat zijn overigens geen rekenfouten maar maar visuele mismatches door de oogonvriendelijke presentatie

(zie § 8.3.0)

Met wat kleur en onder elkaar zijn grote getallen geen probleem en wel fun.

Verbeelding 45.

www.rekenhaas.nl/p122p.php

Mijn ervaring is dat deze som voor een ’rekenprobleem’ geen probleem maar fun is. Kennelijk valt het kwartje en ziet het kind dat het zelfs sommen uit groep 6 kan. De sommen zijn ook niet moeilijk. Zeker niet wanneer de termen onder elkaar staan. Uiteraard moet de rekenmeester wel zo sluw zijn dat hij sommen ruilen van 10 eenheden nog even verbergt. Met deze ene som bijvoorbeeld, rekent het kind zeven maal een som onder 10 uit. Een mooie bijvangst voor het rekenend optellen van deze sommen (automatiseren van sommen onder 20).

Plaatswaarde is op deze wijze een makkie. Het leert de teller dat rekenen niet vingertellen is maar volgens regels een puzzel oplossen. Dat alles is een goed startpunt voor de volgende, tamelijk lastige stap.