plaatswaarde Hoofdstuk 5 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 dec. 2022.

 5 Plaatswaarde  

 

Onthul de verborgen nul



Decimale plaatswaarde is zo logisch, handig en vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal dat systeem is. Het is dus begrijpelijk dat rekenmeesters plaatswaarde vergeten uit te leggen. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons decimale plaatswaarde systeem rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor kinderen plaatswaarde doorhebben.
   





 5.1 Wat is Plaatswaarde 


5.2.1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren

De Romeinen hadden geen plaats­waarde per getal maar per cijfer. IV is 6 en VI is 4. De I (een) rechts van V (vijf) moet je aftrekken van V. De Romeinen schreven het getal 8888 zo:

MMMMMMMMDCCCLXXXVIII
Het getal 8888 met Romeinse cijfers

Verbeelding 24.
Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.
  • De Romeinen hebben 5 x meer tekens nodig dan wij en de Arabieren. Veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwer en veel kijkwerk voor de ogen van de lezer .

  • Een regelmaat van het getal is niet te zien. In het Arabische systeem is MMMMMMMMDCCCLXXXVIII gewoon 4 achten.
De systemen van de Maya’s en de Egyptenaren waren nog ingewikkelder.





De schrijfwijze van de getallen van de Egyptenaren

Verbeelding 25.
   
    De schrijfwijze van de getallen van de Maya’s

Verbeelding 26.


5.2.2 Plaatswaarde rekenkundig

De reken­meester heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: Zijn nullen staan rechts maar wel verborgen ónder de rechter buren. Dus bij twaalf staat de 0 van 10 onder de 2. Bij getallen geeft de plaats van het cijfer ook de werkelijke waarde van het cijfer aan. De 2 in 21 staat niet voor 2 eenheden maar voor 2 tientallen. Dit maakt getallen veel compacter, daardoor passen de getallen beter in het oogfixatieveld en daardoor is er minder belasting voor het werkgeheugen. Ook zijn daardoor sluwe oplossings­methoden mogelijk als onder elkaar optellen en staartdelingen. Geniaal. Maar je moet het wel weten. Anders krijg je 10+2=102.


5.2.3 Plaatswaarde taalkundig

Er zijn veel verschillen tussen de regels voor de plaats van cijfers in getallen en de plaats van letters in woorden. Dat is verwarrend, zeker wanneer je beide systemen tegelijk leert.

1) Vorm en betekenis

De letters in een woord zijn betekenisloos. Het woord meer bedoelt grotere hoeveelheid maar heeft minder letters dan het woord minder dat het tegenovergestelde betekent: een kleinere hoeveelheid. Dik is niet 10 keer meer dan ik. Maar ik heeft helemaal niets met Dik te maken.


Bij geschreven getallen hebben dat soort vormkenmerken wél betekenis. Een getal met meer cijfers geeft altijd een grotere hoeveelheid aan dan een getal met minder cijfers. 100 is 10 keer meer dan 10.

2) De schrijfrichting van de cijfers

De taal­meester noteert de Latijnse letters en woorden van links naar rechts. Bij het rekenen is dat anders. Arabieren schrijven van rechts naar links. Dus het ligt voor de hand getallen ook van rechts naar links te lezen. Rekenkundig is daar ook wel wat voor te zeggen. Eenheden heb je zeker en miljarden, die links staan, heb je niet altijd.


Getallen schrijven en typen doet de taal­meester anders dan de Arabier, namelijk zoals hij ook letters noteert: van links naar rechts. Als de taalmeester een getal zegt, dan weet je eigenlijk nooit met welke positie de taal­meester zal beginnen: eerst met de eenheden, bijvoorbeeld achttien of de eenheden als laatste, bijvoorbeeld honderdeen. Bij achttien zegt hij nooit acht en tien. Bij eenentwintig weer wel. Bij honderdeen zegt hij soms ook honderd en een.
Daar komt nog bij dat je bij rekenprocedures soms links en rechts kunt beginnen, bijvoorbeeld bij 123+456. Links beginnen is handig wanneer je de uitkomst in moet typen. Soms moet je rechts beginnen, bijvoorbeeld bij 456+789 en bij vermenigvuldigen. Bij staartdelingen moet je weer links beginnen.

3) Met richting van 10-tallen en 1-en

Bij de telwoorden bepalen taalkundige wetten de volgorde (eenen­twintig maar honderdeen). De klank oe is één klank met twee betekenisloze letters maar 12 is weliswaar ook één bepaald getal maar met twéé betekenisvolle cijfers. Twaalf is één lettergreep maar de betekenis is tweeledig, namelijk 1 tiental en nog 2 eenheden. Het veel voorkomende antwoord is 4 op de stip bij de som: 1+.=3, is in deze volgordetombola dus heel begrijpelijk. Er staat een plus dus je moet optellen en de uitkomst moet op de punt.



Het telwoord tien is één simpel woord en ook nog eens een één-lettergrepig woord. Taalkundig is er geen enkele indicatie dat er twee elementen zijn, namelijk eenheden en tientallen. Maar het getal tien bestaat wel uit twéé rekenkundige 'woorden', namelijk 1 voor tien en 0 voor de eenheden. Het telwoord tien geeft die rekenkundige structuur niet weer. Dat geldt ook voor de telwoorden voor 11, 12 en 13. We zijn er nog niet. Je zegt tweehonderd maar weer niet eenhonderd.

4) Verkortingen en verlengingen

De taal­meester is een rijger. Hij maakt ijskoud en onnozel nieuwe letters door twee letters achter elkaar te zetten voor één klank (au,oe,ui). De taal­meester zou twaalf met cijfers schrijven als 102 of 210.


De reken­meester is systematischer en sluwer. Hij verkort geschreven getallen door de tientallige waarde geen eigen teken te geven maar een eigen plaats. Zeg dus minstens even tegen de kinderen: Je ziet hier weliswaar nog 10(+)2 maar we schrijven niet 102 zoals je zou denken. We schrijven 12, die 2 zetten we gewoon óp de nul. Een beetje raar wel, dat verstoppertje spelen. Maar het is ook uitermate geniaal en handig.

Dus:

Al met al, een inconsistente en complexe telwoordentaal die de tientalligheid niet weerspiegelt.



 5.3 Plaatswaarde in het leerproces 

 
Hier staat Plaatswaarde vóór het Breken (’splitsen om 10’).
  • Plaatswaarde is eenvoudiger te leren, onder andere doordat een ’plaats’ per definitie concreter is dan het breken om 10.
  • Plaatswaarde is voor de vingerteller rendabel. 0+8=8, dus leg de 8 gewoon op de 0
  • Plaats­waarde is eenvoudig te verbeelden en aan te leren. Wanneer je sommen geeft die niet over een tiental gaan dan zijn plaats­waardesommen als 123+456 eigenlijk niets anders dan drie sommen met een uitkomst onder 10. Geen enkel probleem. Zeker niet wanneer je de termen onder elkaar zet ). Die fun en die eenvoud is op dit moment belangrijk omdat de kinderen op dit moment het veilige vingertellen los moeten laten. Beheersing van plaats­waarde geeft tellers een boost en fun: Ik kan het wel! en Ik ben geen teller meer!, zo is mijn ervaring.
  • Die fun wordt nog groter omdat met plaatswaarde ook sommen met hele grote getallen aan de orde moeten komen en kunnen komen en ook ). En dat is nog meer fun!
  • Bijvangst bij plaats­waarde met grote getallen is, dat het automatiseren blijft doorsnipperen . Immers 123+456 is niets anders dan 3 maal een som met een uitkomst die niet over een tiental heen gaat.

Dus ...

Eerst Plaats­waarde en dan, eventueel, het volgende hoofdstuk Breken.


 5.4 Hoe verbeeld je Plaatswaarde  


5.4.1 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn


5.4.2 Met losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn

  • De getallenlijn plaatst de getallen lineair op een rij. Net als Un, dun, dip. De getallenlijn toont geen veld (zie § 3.3.3). Dus ook een plaats­waarde.

  • Met maar 10 vingers kun je plaats­waarde niet met vingerbeelden verbeelden. Tenzij je ingewikkeld gaat doen met twee paar handen.
Het getal 9 met vingerbeelden

Verbeelding 27.

  • MAB-materiaal kan dichter bij plaats­waarde komen dan de getallenlijn. Het heeft een tientallige structuur. Tot 1000. De tien-, honderd- en duizend­tallen zijn zichtbaar.
Maar wáár de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal staan, dat toon MAB niet. Ook nul toont MAB niet. De herhaling van tientalligheid naar links (steeds 10 x meer) en naar rechts (steeds 10x minder) is niet te zien. Plaatswaarde zit niet in MAB gebakken. Het kind moet zef de eenheden, tienen, etc. op de juiste plaats leggen.
MAB

Verbeelding 28.

  • Een voordeel van geld is dat geld aansluit bij de kindrealiteit. Bovendien is het goed tientalligheid op verschillende wijze te tonen. Net als MAB verbeeldt geld plaatswaarde niet en zijn de uit te voeren handelingen omslachtig. Daardoor kan het kind het overzicht verliezen.
Als je geld gebruikt leg dan aanvankelijk de losse euromunten óp de nul van de tien die op het biljet staat. Je verbeeld dan dat de eenheden op de 0 van de 10 staan. Leg verder de tientjes op de korte kant zodat de bedragen liggen zoals de getallen en cijfers staan wanneer je de termen onder elkaar zet. Leg het geld neer zoals bij het onder elkaar zetten. Dus in de rechter kolom de centen, dan in de kolom links van de centen de dubbeltjes en zo verder. Schep verder geen verwarring door niet-decimale ruilmogelijkheden voor te leggen (Eén 5 €-biljet=5 losse €-munten.). Gun het kind de fun die ruilingen zelf te ontdekken.
Losse euro’s óp de nul van de tien

Verbeelding 29.


5.4.3 Met stipgroepen

Door stipgroepen sluw te positioneren kunen stipgroepen plaats­waarde voorbereiden.




    Plaatswaarde voorbereiden met stipgroepen

Verbeelding 30.



Zeg tegen het kind gewoon:
  • Wat zie je?
  • Hoeveel groene?
  • Hoeveel stippen kunnen er in het hok van de blauwe stippen?
  • Hoeveel is 9+3?
  • Welke som is dit?

Eventueel kun je plaatswaarde en tientalligheid nog verder verbeelden met stipgroepen.
    Plaatswaarde met stipgroepen

Verbeelding 31.


5.4.4 Met het 100-veld



5.4.5 Met staafsteun op de lusabacus

De lusabacus heeft één staaf met kralen voor 20 eenheden, links daarvan een staaf met 20 kralen voor de tientallen en zo verder. Met de vaste stangen verbeelden plaats­waarde.


  103 op de lusabacus.

Verbeelding 32.


Als extra steun zou je de decimale waarde van de stangen bij de stang kunnen zetten. Ook kun je de waarde op de kralen zetten. Bij de kralen voor de enen zou de één stip kunnen plaatsen voor de waarde.
  Plaatswaarde op de gebruikelijke lusababacus. De eenheden zijn nog verbeeld met stippen of getallen op de kralen

Verbeelding 33.


5.4.6 Met plaatssteun met onder elkaar

Je kunt de termen van sommen naast elkaar plaatsen of onder elkaar. Wat zijn nu de verschillen?


5.4.7 Met termen náást elkaar

12+34=10+30+2+4=40+6=36

De termen van de som naast elkaar. Deze verbeelding noemt men ook wel rijgen. Er zijn verschillende varianten van rijgen.
   
5.4.8 Met termen ónder elkaar
  12
+34
=36

De getallen en de deelhandeling van een som staan ónder elkaar. Deze verbeelding noemt men ook wel tabellarisch.


1) Aard van de verbeelding en van de getalkennis

Náást elkaar is een 1d-lijnverbeelding zoals de getallenlijn, tekst en het ganzenbord .
 

Bij onder elkaar staan de cijfers van de getallen juist ónder elkaar. Zo staan de cijfers met gelijke plaatswaarde in dezelfde kolom en dicht bij elkaar. Onder elkaar is een 1d-veld­verbeelding zoals het 100-veld en het dambord .

Bij termen onder elkaar komt er een nieuwe regel om de eenheden, tientallen, etc. onder elkaar te krijgen.


2) Generaliseerbaarheid naar grote getallen

Grote getallen zijn met naast elkaar niet op te tellen. Vermenigvuldigen en staartdelen kan ook met de termen naast elkaar.
 

Grote getallen optellen kan kan onder elkaar. Hoe groot de getallen ook zijn. Verder is onder elkaar toepasbaar bij vermenigvuldigen en staartdelen. Mogelijk dat ook dáárom grote getallen in het huidige onderwijs pas later aan de orde komen.


3) Oogvriendelijkheid

Er zijn veel oogsprongen en oogfixaties nodig (zie § 8.3.4). Daardoor is de kans op niet-rekenkundige fouten hoog (visuele mismatches, oogsprongfouten, werkgeheugenfouten, afleiding) .

Lastig is dat de toetsmaker deze fouten uit de scores moet vissen. Doet hij dit niet dan is de score een hutspot van reken­(begrips)­fouten en waarneemfouten

7 oogsprongen en werkgeheugen belasting

Verbeelding 34.


Verder verhogen de oogsprongen de kans op spiegelen: 12 schrijven en 21 bedoelen.
  • De taalmeester zegt dan: Goed. Hij leert kinderen immers letters achtereenvolgens op te lezen.
  • De rekenmeester zegt hopelijk: Oei, foutje. Ik heb plaatswaarde niet goed uitgelegd.
  • De toets zegt, niet gestoord door enige kennis van het leren rekenen: Fout. Maar dat is fout. Fout van de toets. De toets moet zeggen: Beste rekenmeester, jij of je methode hebben plaatswaarde niet goed uitgelegd. Zet de termen eens onder elkaar.
  • En het kind? Nou dat weet daar wel raad mee. De som 123+456= gaat nog wel goed. Maar, zoals een goede rekenaar betaamt, denkt 40% van groep 3: Beste rekenmeester, bekijk het even met je zeer oogonvriendelijk vormgegeven sommen naast elkaar. Ik zoek wel een andere methode. En de som 1234+5678 krijgt als uitkomst: 36. Gewoon: Nou: 1+2+3 .... etc.
 

De oogvriendelijkheid van onder elkaar is hoog, alles kan in vier oogfixaties. Per deelhandeling staan alle cijfers en ook wel de uitkomst in één oogfixatieveld.

De eenheden van de eerste term en die van de tweede term, zijn in het oogfixatieveld zichtbaar en zou het oog al direct kunnen ontdekken (uitrekenen) of indirect bijvoorbeeld als een een-erbij-som. Ook de uitkomst past in het oogfixatieveld.
  • Een eventuele fout zou ook het oog al kunnen ontdekkken.
  • Verder verkleint onder elkaar de kans op spiegelen (12 schrijven en 21 bedoelen).
  • Mocht er toch nog mentaal gerekend moeten worden dan zijn de twee termen in het oogfixatieveld een geheugensteun daarbij.
  • Deze voordelen worden groter als de getallen groter worden.


4 oogsprongen, geen werkgeheugenbelasting

Verbeelding 35.


4) Werkgeheugenvriendelijkheid

Er is belasting van het werkgeheugen (zie § 8.5.4).
 

Het werkgeheugen is eigenlijk niet nodig.

5) Denkvriendelijkheid

De evolutie en de hersenen hebben geen voorkeur voor dit soort lijn-methoden (zie § 9.2.3.1).
 

De evolutie en de hersenen hebben een voorkeur voor dit soort veld­-methoden (zie § 9.2.3.2).


6) Statistics

Alle sommen:

Termen naast elkaar: 41% goed en 33 sec, n=155 sommen, groep 3.
Termen onder elkaar: 43% meer goed en 0.8 x sneller, n=168 sommen, groep 3.

Som: 1 234 354+2 112 324
Termen naast elkaar: 10% goed en 58 sec, n=12 sommen, groep 3.
Termen onder elkaar: 75% meer goed en 0.6 x sneller, n=12 sommen.

Rekenmethoden noteren de termen bij sommen onder 100 vaak naast elkaar. Rekenmeesters vinden het dan lastig om de kinderen de sommen ook onder elkaar aan te bieden. Als één notatiemethode zo belangrijk is, noteer de termen dan zoals het in de realiteit ook gebeurt: onder elkaar, namelijk bij vermenigvuldigen, staartdelingen en de kassabon. Verder gaat het om twee notatiemethoden. De methode blijft gelijk: eenheden bij eenheden en tientallen bij tientallen. Mij is gebleken dat rekenende optellers, eventueel met 'rekenproblemen', met deze twee methoden tegelijk géén moeite hebben. De kinderen krijgen plomp­verloren, zonder introductie sommen onder elkaar. Een enkel kind zegt: Hé, wat is dat? Voldoende is dan vaak de uitleg: Ja dat vindt de rekenhaas gemakkelijker. De kinderen zijn wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. De taal­meester doet dat overigens ook.

Willem Bartjens

Overigens was een kolomnist. Hij zette de termen onder elkaar, zelfs bij het optellen van alleen eenheden. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Met teveel waarneem- en werk­geheugen­fouten leidt de berekende koers je schip niet naar Indië en je kogel niet naar de vijand.

5.4.9 Met kolomsgewijs rekenen en cijferend optellen

De rijg- en de kolommethode mengen reken­meesters ook wel Ook spreken reken­meesters wel over cijferend optellen wanneer je de tussen­stappen niet in de tabel uitschrijft. De uitkomst van elke kolom schrijf je dan direct op.


  
  Willem Bartjens was een kolomnist.

Verbeelding 36.

Bron: Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.


5.4.10 Met kleursteun

Je kunt plaats­waarde ook verbeelden door plaats een kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun positie en ook de plaats in de uitkomst krijgt zijn kleur.

  • De kleur versterkt het bij elkaar horen van tientallen en eenheden van de termen en de uitkomst. Ook wanneer de cijfers van de tientallen of eenheden niet direct bij elkaar staan zoals bij naast elkaar.

  • Verder stuurt kleur wat waar moet komen te staan. De kans op verhaspeling van tientallen en eenheden verkleint daardoor.
12
+34
=
Kleursteun voor tientallen en eenheden.

Verbeelding 37.

  • Met kleuren praat je gemakkelijker met het kind dan met de woorden tientallen en eenheden. Je hoort kinderen dan ook zeggen: Eerst de groenen. Ook wanneer alle cijfers zwart zijn. Je kunt zeggen: Er zit een klein foutje in (de kolom van) de groenen.

Statistics
Cijfers zwart: 65% goed en 28 sec, n sommen:166, groep 3, n kinderen: 7.
Cijfers kleur: 64% goed en 30 sec, n sommen:157, groep 3.

Kleursteun lijkt overigens vooralsnog geen effect te hebben. De sommen met kleursteun kwamen echter vóór de sommen met zwarte cijfers. In de zwarte cijfers kan dus ook een leereffect van kleur zitten.

5.4.11 Met een voorloopnul (01)

Voorloopnullen (01) vullen de lege posities links van de cijfers, je schrijft dus niet 1 maar 01. Puur rekenkundig gezien zou je voorloopnullen moeten schrijven(001) want een spatie is geen cijfer. Maar getallen zonder voorloopnul lezen, schrijven en typen gemakkelijker. Overigens niet voor computers. Jaren geleden begrepen computers niet dat een spatie vóór een getal hetzelfde is als een nul. Daarom tonen ICT-ers nu getallen nog steeds wel met voorloopnullen. Een gelukje voor de reken­meester. Dit vereenvoudigt de uitleg van plaats­waarde. Die voorloopnul zit in de kinderrealiteit, vóór de uren en minuten op het digiboard. eigenlijk onjuist. Er staat dan 1 + spatie. Een spatie is geen getal, dus 10+spatie kun je niet optellen. Ook de ’achterloopnul’ van de 10 van 12 is verborgen onder de 2. Al met al riskant om de nul dubbel te verbergen bij de eerste som waar deze rare snuilter twee maal een cruciale rol speelt in het getallenspel.

Om de systematiek van plaats­waarde duidelijk te tonen kun je aanvankelijk even voorloopnullen tonen. De deelhandeling optellen van tientallen is dan niet spatie plus 2 tientallen maar nul tientallen plus twee tientallen. Voorloopnullen verduidelijken overigens niet alleen plaats­waarde bij optellen maar verduidelijken ook digitaal klokkijken. Mooie bijvangst. Het is mij gebleken dat kinderen geen moeite met voorloopnullen hebben. Je kunt eventueel gewoon zeggen: Ja dat is een beetje computertaal, kijk maar hier. (wijs naar bijvoorbeeld de tijd op je telefoon of het digiboard). Anders snappen computers het niet. Een voordeel van het gebruik van voorloopnullen is dat de reken­meester onmiddellijk ziet dat het kind plaats­waarde niet begrijpt. Het kind haalt dan 01 en 10 door elkaar.



 5.5 Hoe verwoord je Plaatswaarde  


5.5.1 Met het woord plaatswaarde

Het woord plaatswaarde is meer kindertaal is, dan het woord positiestelsel. Boven ging het om de plaats van de termen in de verbeelding op papier: termen naast of onder elkaar. Nu gaat om de plaats van van de 10-tallen en 1-en in de verwoording, de telwoorden.


5.5.2 Met telwoorden

De wonderbaarlijke wereld van de telwoorden.
Hoe elfjes, oude Noren en arabieren de rekenles verstieren.
1) Het telwoord 10

Tot en met 9 is er niets aan de hand. Tellen is gewoon als Iene, miene, mutte. Een rijtje onzinwoorden. Maar tien is de poort naar de onzichtbare en onhoorbare wonderlijke wereld van tientaligheid. Bij taal leren de kinderen dat het lidwoord de. gewoon d+e is. Maar bij de getallen is 12 níét gewoon 1+2 maar 10+2. En die nul is verstopt onder de 2. Onhoorbaar ook omdat je maar één lettergreep hoort maar ze zijn met zijn tweeën: eenheden en tientallen.


Je zou die nul van de eenheden ook zichtbaar kunnen maken door nul te noteren wanneer er nul tientallen zijn. Tijdens de introductie van 10 schrijf je 9 dus even als 09 01 zijn ook twee tekens voor twéé betekenissen (0 tientallen en 9 eenheden). Die voorloopnul is wel een hele vreemde én een hele belangrijke. Dat komt nog.

Overigens is tien geen telwoord maar een aantalwoord. Het rangtelwoord voor 10 is tiende. Rangtelwoord is een dubbelzegging. Gewoon rangwoord is al genoeg. Eventueel ranggetalwoord. Er zijn immers ook rangletterwoorden. Niet in het woordenboek maar wel in de taalwerkelijkheid. Maar dat even terzijde.
2) Het telwoord 11
Wat denkt een zevenjarige als je elf zegt? Dat is eenvoudig, namelijk: Ah, wat leuk, er doen ook elfjes mee. Elf is niet de grote broer van elfje maar eigenlijk een op (de nul van) tien. Maar ja, de taalmeester noemt hem ook elf.De reken­meester moet dan toch even uitleggen dat elf een homoniem is: één woord met twee verschillende betekenissen. Elf is een oude Noor. Als je er 11 hebt dan blijft er namelijk één vinger over omdat je maar tien vingers hebt. Een left. in het oud Noors. Elf woont ook niet in het bos, zoals je misschien van een oude Noor verwacht, maar achter de 10. Eigenlijk ook is elf niet een tweeling (1+1) maar een heel leger want het zijn er 10+1. Oud-noors gaan praten tegen zevenjarigen om iets heel moeilijks uit te leggen is leerpsychologisch gezien niet handig.

Slavische en Arabische reken­meesters vertellen geen sprookjes maar zeggen precies wat het is: Een op tien. of zo iets. Misschien kan dan een Slavisch of Arabisch kind aan zijn ’Nederlandse’ klasgenoten uitleggen hoe het zit. Gun die fun natuurlijk een kind met een ’taalachterstand’.

3) Het telwoord: 12

Eenmaal in de fabeltjes­realiteit gezet zou een zevenjarige kunnen denken dat die 12 gewoon twee feeën zijn met een spraakgebrek. Je kunt dan eventueel mee fantaseren en in de geest van Roodkapje en zeggen: Let op, niet alles is wat het lijkt. Die twaalf is een wolf, die onder de twee een nul verborgen heeft. En, nu komt het grote getallen­geheim: Die nul is niet niets want de wolf is een tientoverwolf. De wolf maakt de 1 maar liefst 10 keer zo groot. Gelukkig voor de reken­meester, zit het kind nog net in de fabeltjes­fase en slikt én onthoudt het kind dit soort onzin.


Is het kind al uit de fabeltjes­fase dan zal het misschien tegen 12 zeggen: Twee een of twee tien. De Nederlandse taalmeester zegt dan: Ha, ha, helemaal fout. 12 is de broer van 11 en heet twaalf.

4) De telwoorden 13 en verder

Dertien en veertien gaan nog wel. Vijftien en verder zijn rekenkundig perfect. Op dat moment speelt ook dat ’gewoon’ 17 is. Dus niet tellen maar die 7 dus óp de 0 van 10 deponeren. Verbeeld en verwoord dat ook. Dus bij zeventien aanvankelijk gewoon zeggen:
  • 17= zeven op de nul van tien. Dan nul van tien inslikken:
  • 17= zeven op de nul van tien. En dan op inslikken.
  • 17= zeven op de nul van tien
Heel normaal in de taal. Televisie werd zo TV en automobiel werd auto. Je leert kinderen zo dat rekenen niet tellen is maar slim puzzels oplossen. Je doorbreekt dan ook sneller het tellen en het teltrauma.

 
5) Telwoorden voor 10-tallen

Misschien toch even uitleggen aan de kinderen: tig betekent tien, eigenlijk maal tien. Germaans gaan praten als je iets moeiijks uit wilt leggen (tientalligheid en plaats­waarde) is psychologisch gezien niet zo handig. De -tig betekent in het Germaans tien. Je zegt vijftien maar vijf en twintig. Niet in het Engels maar daar verandert na 20 ineens de volgorde van eenheden en tientallen. Je zegt fifteen maar twenty five.

6) De volgorde van 10-tallen en 1-en
De Arabische schrijfrichting voor tekst én cijfers is van rechts naar links. De Westerse, Latijnse schrijfrichting voor wóórden is omgekeerd, van links naar rechts. Bij 15 zeggen we eerst de eenheden en bij 105 komen de eenheden als laatst. De taalmeester moet toch weten dan volgorde belangrijk is. Dat blok beton valt me op. is heel wat anders dan: Dat blok beton valt op me. Na 99 verandert de volgorde. De telwoordvolgorde bij 321 is 100-tallen, 1-en en dan 10-tallen.

Behalve de volgordetombola van de taal, draait ook de rekenmeester de volgorde soms ook om.
  • Bij 12+456 moet je rechts beginnen. Anders krijg je als uitkomst 576.
  • Ga je over een tiental heen dan is rechts beginnen ook het handigst. Ook bij 12+459 kun je beter rechts beginnen omdat je dan de 10 van 2+9 gelijk bij de 70 en de 50 kunt tellen.
  • Bij optellingen die niet over 10 heen gaan maakt het niet uit. Je ziet dan ook dat kinderen bij sommen met termen onder elkaar automatisch ook links beginnen.
  • Bij vermenigvudigen en delen begin je links.

7) Het spiegel-trauma

Een kleine verandering in een situatie is een belangrijke oorzaak van fouten leert de veiligheidsbijbel al 32 jaar. Vooral bij geautomatiseerde handelingen. Ga maar eens in een auto rijden waarin de gas- en de rempedaal verwisseld zijn. Als je de volgorde van 10-tallen en 1-en voortdurend wisselt dan krijg je dus lees-, schrijf-, luister- praat- en invoerverwarringen. Die verwarringen zijn dus niet de schuld van het kind maar de schuld van het inconsistente volgordesysteem in verwoordingen.

8) Spiegelingen voorkomen

Hoe moet de rekenmeester en het kind nu met deze volgordehutspot leven?
  • Plaatswaarde is in principe eenvoudig. De linker buur is 10x meer. Dat is alles. Dus het telwoord voor 1 234 is: vier drietien(en) tweehonderd(en) eenduizend. Of, nog eenvoudiger: vier drie twee een. Door schade, schande en de veiligheidspsycholoog Reason, hebben piloten hun lesje wel geleerd. Piloten noemen vlucht kl 123 gewoon Flight one, two, three. Moet een kind een getal verwoorden en verwart het kind gemakkelijk de cijfers, laat het dan gewoon ’Pilotentaal’ spreken. Als je het piloten­verhaal goed opdist, dan maak je fun van fouten.
  • Je kunt spiegelingen ook uit de weg gaan door de getallen niet te laten opschrijven maar uitspreken. Opmerkelijk is dat kinderen met de telwoorden geen spiegelfouten maken. Mogelijk is een voordeel van het teltrauma dat de telwoorden er zo goed ingestampt worden dat verwisselingen niet plaatsvinden.
  • Verscherping van het onderscheid 10-tallen en 1-en kan ook helpen. Bijvoorbeeld door termen onder elkaar te plaatsen en niet naast elkaar. Verder door 10-tallen en 1-en een kleur te geven.
  • Als je snel naar getallen boven 99 gaat dan verdwijnt het probleem ook.
  • Wat ook helpt is: Kijk eens goed. Maar ja dat is nadat het kwaad geschied is. Maak het kind duidelijk dat een verwisselig geen ernstige fout is.
  • Je kunt ook niets zeggen en even controleren of het een visuele of verbale verwisseling is of een plaatswaardefout. Verwisselingen zijn vaak incidentele fouten. Plaatswaardefouten zijn systematisch. Je ziet dan een rijtje fouten achter elkaar. Niets zeggen over de fouten. Gewoon plaatswaarde uitleggen.
  • Toetsen moeten de rekenvaardigheid van kinderen toetsen en niet de rekenvaardigheid van de taalmeester. Bij een verwisseling moet een toets dus bepalen of het kind plaatswaarde begrijpt. Is dat het geval dan moet de som goed gerekend worden.

Dus

Misschien een wat verwarrend verhaal. Nou, voor de kinderen ook, die telwoorden. En dat is nog maar het begin van het rekenen. Het goede nieuws is dat het rekenen zelf een fluit van een cent is. Althans, als je de juiste woorden gebruikt.



 5.6 Hoe vermentaliseer je Plaatswaarde  

Het blijft lastig. Plaatswaarde met een uitkomst tot 100 geheel uit het hoofd (zonder papier voor geheugensteun) uitrekenen en de uitkomst verwoorden (met omwisselen naar de telwoordvolgorde). Je kunt je afvragen of je kinderen daar wel lastig mee moet vallen. Bepaalde fouten tonen dat het kind plaatswaarde niet begrijpt.
  • Verdwijnen van tientallen: 13+16=19.
  • Verdwijnen van eenheden: 13+23= ik haal 3+2 weg dan 1+4=5, nog een nul erbij =50.
  • Plaatswaarde niet toepassen: 12+14=204.

Overigens zijn deze fouten wel zeer goed nieuws. In de eerste plaats betekenen deze fouten dat het kind geen teller meer is maar snapt dat je een handige procedure moet zoeken. Het kind heeft alleen de klok horen luiden maar de rekenmeester moet nog vertellen waar de klepel hangt. Het is belangrijk dit goede nieuws vast te houden in verband met de volgende leerstap: Ruilen van 10-eenheden voor een 10-tiental (38+13). Dat is pas echt een hele lastige. Is het het kind net van het tellen af en wordt rekenen met plaatswaarde leuk, stort zijn rekenrealiteit weer in elkaar door het ruilen met tienen. Laat het kind genieten van plaatswaarde, onder andere met optellen van hele grote getallen.


5.6.1 Met grote getallen

Direct wanneer de meeste sommen met een uitkomst onder 10 vlot gaan zou je al sommen met grote getallen kunnen geven. Anders kun je plaats­waarde niet begrijpen. Psycho­logisch gezien gaat het immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling en de systematiek. De handelingen met grote getallen is gelijk aan de handelingen met kleine getallen. Snapt het kind nul en plaats­waarde een beetje, dan ijskoud en plompverloren, zonder wat te zeggen leg je op tafel:
  te
   1 0
+ 2 0
=
   Deze som plompverloren voorleggen.

Verbeelding 40.

En dan sluw, steeds links een kolom er bij. Om de rekenmethode te pleasen eventueel mengen met dezelfde sommen maar dan met de termen naast elkaar. Mijn ervaring is dat dit voor tellers geen enkel probleem is.

De rekenmeester weet natuurlijk dat 1234+4321 heel eenvoudig 4 sommen onder de 10 zijn. Maar de teller weet dat niet. De tientaligheidssnippers komen bij elkaar. De teller kan sommen uit groep 6. Dat is fun. Dat geeft routine. Sommen onder 10 worden geautomatiseerd. Laat de teller zijn grote som zelf met een rekenmachine controleren. Nog meer fun.
m  htd hte
1  2 3 4  3 5 4
+ 2  1 1 2  3 2 4
=    
   Gewoon 7x een som met uitkomst onder 10

Verbeelding 41.

Met dit soort sommen kun je een teller ook allerlei rekenhandelingen anders dan tellen, ’zelf’ laten ontdekken, zoals Eén-erbij-sommen. Doordat alle cijfers die voor de handeling nodig zijn zeer dicht bijelkaar staan en in het werkgeheugen komen, is de kans groot dat de hersenen de gewenste handeling zien. Die kans wordt nog vergroot door de handeling te herhalen. Even aangenomen dat de rekenmeester zijn mond kan houden.
m  htd hte
1  3 3 5  4 4 3
+ 1  4 3 4  4 3 3
=    
   Eén erbij som zelf ontdekken

Verbeelding 42.

Een eenvoudige verbeelding van plaatswaarde is een optelling met de termen onder elkaar, hele tientallen, grote getallen, kleur en multiple choice. Meet multiple choice vang je eventuele fouten antwoorden af. Het kind kan dan eigenlijk geen foute kant op. Het aantal (plaatswaarde) fouten is laag en de fun is hoog.


Zo moeilijk is het overigens niet. Zevenjarigen begrijpen:

2 koekjes + 3 koekjes= 5 koekjes.
Waarom zouden zij dan niet kunnen begrijpen:
2 honderd + 3 honderd=5 honderd
of
2 miljoen + 3 miljoen=5 miljoen.
Etcetera.
Bij 10+2 komen de twee eenheden op de rechtste nul. Bij 1 000 000+1 ook.


   3 000 000
+ 2 000 000
=
       10 00         20 00         30 00         40 00         50 00         60 00         70 00         80 00         90 00 

   100 000     200 000     300 000     400 000     500 000     600 000     700 000     800 000     900 000 

1 000 000  2 000 000  3 000 000  4 000 000  5 000 000  6 000 000  7 000 000  8 000 000  9 000 000 
Hele, grote tientallen tonen plaatswaarde

Verbeelding 43.

Statistics
Hele 10-en van 10 - 9 000 000 optellen: 79% goed en 10 sec, n=264 sommen, 9 kinderen, groep 3.
De gemaakte fouten betroffen meestal vergissingen zoals een nul te veel of te weinig.


 Andere hoofdstukken  


1 Rekenvoorwaarden

2 Tellend optellen

3 Rekenend optellen

4 Nul

5 Plaatswaarde

6 Breken naar 10

7 Ruilen van 10

8 Psychologiekennis

9 Getalkennis

10 Statistics

11 Literatuur

12 Index en woordenlijst


Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.







Voetnoten: