plaatswaarde

  6 Plaatswaarde  

www.humanefficiency.nl/rekenen/plaatswaarde.php 

 Onthul de verborgen nul

Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen.		  
132 Pagina’s.
111 Afbeeldingen van handelingen.
190 Index entries
79 Referenties.
76 Alternatieven voor
onduidelijke rekenwoorden.

Met klik naar inhoudsopgave.


  6.1 Wat is Plaatswaarde?   


6.2.1 Van Maya’s, via Romeinen naar Arabieren

De Romeinen hadden geen plaats­waarde per getal maar per cijfer. IV is 6 en VI is 4. De I (een) rechts van V (vijf) moet je aftrekken van V. De Romeinen schreven het getal 8888 als in afbeelding: 41.
MMMMMMMMDCCCLXXXVIII
Het getal 8888 met Romeinse cijfers

Afbeelding 41.
Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden.
  • De Romeinen hebben 5 x meer tekens nodig dan wij en met ons de Arabieren. Dat is veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwer en veel kijkwerk voor de ogen van de lezer
    (§ 10.2.1)

    Klik voor meer over: oogfixatieveld

    .
  • Een regelmaat van het getal is niet te zien. In het Romeinse MMMMMMMMDCCCLXXXVIII is in ons Arabische systeem gewoon 8888.
De systemen van de Maya’s en de Egyptenaren waren nog ingewikkelder.


De getallen van de Egyptenaren

Afbeelding 42.
   
    Het getal 79 in het schrift van de Maya’s

Afbeelding 43.

6.3.2 Plaatswaarde nu

Aanvankelijk konden eigenlijk alleen genieën met de getalsystemen rekenen. Rond 1200 kwam Leonardo da Pisa met het huidige systeem waarmee rekenmeesters beter konden rekenen. Rond 1600 kwam Willem Bartjens het volk uitleggen hoe te rekenen. Vandaag kunnen basis­school­kinderen rekenen. Ons plaats­waarde­systeem heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: De nullen van de tienen staan rechts van het cijfer maar ze zijn wel verborgen ónder rechter buur. Dus bij 12 staat de 0 van 10 onder de 2. Dat zijn minder regels dan de taal nodig heeft voor het combineren van letters tot woorden.



  6.4 Plaatswaarde in het leerproces   

Plaatswaarde en tientalligheid is moeilijk voor kinderen. Wanneer tientalligheid een rol speelt dan zakt de performance flink. In groep 4 is 5+5 is geen probleem maar 6+6 en 5+6 ineens wel:

Over 10 gaan is een grote stap
5+5: 100% goed, 4 s., 0% weet niet, 36 opgaven, 18 kk., gr.4.
6+6: 72% goed, 13 s., 0% weet niet, 18 opgaven, 18 kk., gr.4.
5+6: 61% goed, 12 s., 0% weet niet, 18 opgaven, 18 kk., gr.4.
Dat die 6+6 flink lager scoort dan 5+5 is begrijpelijk en leerzaam. Die 5+5 profiteert nog van 5+5 vingers. Maar vooral ook dat 5+5 niet echt over 10 gaat. Die 6+6 heeft het ongeluk dat hij wél over 10 gaat. Dat betekent kennelijk nogal wat
(6.3.2

Klik voor meer over: plaatswaardenu

).
  • Bij tien is er niet één cijfer in de uitkomst maar er zijn twee.
  • De combinatie van die twee cijfers is anders dan sommige combinaties van letters. De oe, ui, eu zijn twee toevallige letters voor één klank. Maar bij het rekenen zijn 12, 32, etcetera, twee niet-toevallige cijfers voor één getal maar twee cijfers voor twee getallen.
  • Bij telwoorden is het omgekeerd: min of meer één woord met één klank maar twee betekenissen, bijvoorbeeld bij tien. Bovendien is de 1 in de uitkomst niet 1 maar 10.
  • Het gesproken telwoord voor de uitkomst, twaalf dus, zegt niets over die 1 en die 2 van de uitkomst.
    (§ 6.6.2

    Klik voor meer over: twaalf

    ).
Hier staat Plaatswaarde in het leerproces vóór
§ 7

Klik voor meer over: breken

Breken (’splitsen om 10’). De overwegingen daarvoor staan bij Breken, § 7.


  6.5 Hoe toon je Plaatswaarde?  

De afbeeldingen voor aantallen boven 9 moeten niet alleen voldoen aan de eisen die golden voor de afbeeldingen voor aantallen onder 10. De afbeeldingen moeten ook tientalligheid en plaatswaarde tonen. Er zijn verschillende middelen waarmee je plaatswaarde kunt tonen.

6.5.1 Passen losse blokjes, MAB, vingerbeelden en getallenlijn bij plaatswaarde?

Met maar 10 vingers kun je plaats­waarde niet tonen met vingerbeelden. Tenzij je ingewikkeld gaat doen met twee paar handen.
  Het getal 9 met vingerbeelden

Afbeelding 44.
MAB heeft een tien­tallige structuur. De tien-, honderd- en duizend­tallen zijn zichtbaar. Maar de plááts van de eenheden, tientallen en duizendtallen in het getal, die toont MAB niet. MAB kan dichter bij plaats­waarde komen dan vingerbeelden. Het kind moet dan wel zelf de eenheden, tienen, etc. op de juiste plaats leggen. MAB toont ook nul niet.

De getallenlijn plaatst de getallen lineair op een rij. De getallenlijn toont plaatswaarde niet, net als Iene, Miene, mutte. Ook de getallenlijn heeft meestal geen nul.
MAB

Afbeelding 45.

6.5.2 Past geld bij plaatswaarde?

Geld sluit aan bij de kindrealiteit. Net als MAB toont geld plaatswaarde niet en zijn de uit te voeren handelingen omslachtig. Daardoor kan het kind het overzicht verliezen.
  • Als je geld gebruikt leg dan aanvanke­lijk de losse euromunten óp de nul van de tien die op het biljet staat. Je toont dan dat de eenheden op de 0 van de 10 staan.
  • Leg verder de tientjes op de korte kant zodat de bedragen liggen zoals de getallen en cijfers staan wanneer je de termen onder elkaar zet. Dus in de rechter kolom de centen, dan in de kolom links de dubbeltjes en zo verder.

Losse euro’s óp de nul van de tien

Afbeelding 46.

6.5.3 Passen stipgroepen bij plaatswaarde?

Met stipgroepen kun je plaatswaarde afbeelden. Aanvanke­lijk enigszins achteloos als in afbeelding 47. Vraag geen uitkomsten maar zet het kind aan het denken. Zeg tegen het kind gewoon:
  • Wat zie je?
  • Wat is het aantal groene?
  • Welk aantal stippen kunnen er in het hok van de blauwe stippen?
  • Welke opgave is dit?
  • Hoeveel is 10+7?
Als je die vragen sluw stelt dan heb je kans dat tellers zelf bedenken dat 10+7 ’gewoon’ 17 is. Sticker eventueel achteloos de opgave in cijfers er onder.

Plaatswaarde voorbereiden met stipgroepen

Afbeelding 47.
De tientallige stipgroepen kun je eventueel geleidelijk aan op de gebruikelijke getallenlijn stickeren (afb. 48).
   Plaatswaarde met getallenlijn en stipgroepen

Afbeelding 48.
Na aantallen tot en met 20 kun je tientalligheid met stippen eventueel preciezer tonen, zoals in afbeelding 49. Eventueel sticker je zo ’n afbeelding aan de getallenlijn.
    52 met stipgroepen

Afbeelding 49.

6.5.4 Past het 100-veld bij plaatswaarde?

Het 100-veld is min of meer uitgevonden door het getallen­genie Decartes in 1637. Het verhaal gaat dat hij ziek was en wilde weten hoe hij de plaats van een vlieg op het plafond kon vastleggen. Dat kan uitstekend met een 100-veld bedacht hij toen. Voor het leren rekenen is het 100-veld bruikbaar omdat het tientalligheid, plaatswaarde en nul goed kan tonen. Bovendien kunnen kinderen er al vroeg mee werken en ze vinden het leuk.
1) Kleur en het 100-veld
De psychologie weet inmiddels namelijk veel over kleurwaarneming.
  • De kolommen voor 5-tallen en tientallen zijn op het 100-veld iets donkerder. Met een donkerder achtergrond ontstaat een markering waarmee het oog zich kan oriënteren en een nauwkeurige oogsprong maken. Markering van de kolom voor de tientallen is echter niet nodig. Naar de tientallen kan het oog ook zonder helderheids­verschil goed springen. Het is immers de laatste kolom.

Een 100-veld

Afbeelding 50.
  • De markering van de kolom voor de 5-tallen met helderheid, werkt niet goed omdat de helderheid per kleur verschilt. Verder neemt de waarneembaarheid van kleur zeer snel af als de kleur verder van het fixatiepunt ligt
    (§ 10.2.1

    Klik voor meer over: oogvriendelijk

    ). Markering moet juist vanuit het fixatiepunt goed zichtbaar zijn om structuur van de getallen te zien en om een nauwkeurige oogsprong te kunnen maken.
  • Op een metrokaartje gebruik je kleur om de lijnen te herkennen. Maar op een dambord zijn de vakjes zwart of wit en hebben ze niet alle kleuren van de regenboog.
Hoe kun je nu op een 100-veld, tientalligheid tonen met kleur.
  • Kleur kun je goed gebruiken om de 1-en en de 10-en te herkennen in de structuur van de getallen. In het 99-veld (afb. 51) is dat met blauw en groen gedaan. De ogen zeggen dan tegen de hersenen: Hum, op de regels staan steeds de linker cijfers in blauw en in de kolommen zijn de rechter cijfers steeds groen. Door kleur alleen te gebruiken voor 10-en en 1-en is het effect van kleur groter.
  • Een kleur tonen is verder concreter dan een verhaal over tientallen en eenheden. Je kunt gemakkelijker met het kind communiceren: Groen bij groen en blauw bij blauw.
  • De kleuren sturen verder wat tegen bij spiegelen.
 
   Een 99-veld dat nul toont

Afbeelding 51.

www.rekenhaas.nl/p01.php



Met klik naar deze opgaven.


  • Met iets meer ruimte tussen de 4- en de 5-tallen en tussen de 40-ers en de 50-ers ontstaat een wit kruis. De ogen kunnen zich met dit kruis oriënteren in het veld. Het kruis heeft geen kleur maar wel voldoende helder­heids­contrast. Als het oog linksonder is, dan kan het oog het kruispunt zien. Eén trefzekere oogsprong is dan mogelijk. Daarbij helpt, zoals reeds gezegd, dat de gevoeligheid van het oog voor helder­heids­verschil vermeerdert direct buiten het oogfixatieveld. De markering bij 5 snippert verder de tafel van 5 de hersenen in.
Dat over kleur op het 100-veld. Er is meer.
2) De regels op een 100-veld

De bovenste regel op het 100-veld loopt van 1 tot 10.
  • Hoort de 10 wel op de regel van de 1-en? Hij ziet er heel anders uit. 10 lijkt meer op 11 dan op 9. Hetzelfde geldt ook voor 100 en 99. Als een kind op nummer 50 woont moet hij dan drukken op liftknopje 4?
  • 50 komt pas na 49, na het ingewikkelde ruilen van 10-eenen voor 1-tien. Een nieuwe regel laat zien dat er wat ingewikkeld gebeurd is. In de klas zeg je: Je mag met de lift één verdieping hoger (lager) als je 10 huisnummers ruilt voor een tiental.
  • Je kunt tientalligheid niet vertellen met: op elke verdieping wonen dezelfde -tigers
  • Op het 99-veld (afb. 51), heeft elk 10-tal een eigen regel. Net als de kamernummers in een lift van een hotel. Net als bij de taal: als je 20 jaar oud bent dan ben je geen tiener. Houd dus ook op het 99-veld gewoon alle gelijke -tigers bij elkaar op hun eigen regel. Maar ja, een 99-veld is wel heel raar. Klopt. Dat komt door die rare nul.
3) De route op het 100-veld
Het getal 1 staat meestal linksboven en het hoogste getal 100, staat meestal rechtsonder. Dat is ook het geval bij het 100-veld van afbeelding 50, de 100-velden van
Selter & Zannetin (2021)
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in de Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer
Pag. 113.
Met klik naar de literatuurlijst.

en die van Heuvel-Panhuizen (2009).
Heuvel-Panhuizen, M. van den, K. Buys & A. Treffers. (2009). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Groningen: Noordhoff Uitgevers.
Pag. 113.
Met klik naar de literatuurlijst.

De getallen lopen dan van linksboven naar rechtsonder. Dat is de lijn van de geschreven taal. We zijn echter aan het rekenen.

Wat is de lijn van de getallen? De route die aantallen nemen in de (kind)realiteit is meestal omgekeerd: onder de lage getallen en boven de hoge getallen.
  • Precies zoals de huisnummers in een flat.
  • Ook zoals in grafieken die later aan de orde komen. Een grafiek is gewoon een 100-veld met nul linksonder.
  • Ook trouwens in de woorden. Veel is altijd hoog en boven: huizenhoge verwachtingen, scores, getallen en golven. Het is boven Jan, bovenkast, bovenste beste, boven water en ook het hoogste getal. Een kind zegt een berg snoepjes, niet een kuil snoepjes.
  • Omgekeerd is in de taal ’weinig’ ook ’onder’: onder de streep, -water, -gronds, -kant, de maat, etc.
4) De nul en het 100-veld

Een 100-veld toont de rol van nul niet goed. Die rol is beter te zien op een 99-veld
(Kaplan, 2000,
Heuvel-Panhuizen, M. van den, K. Buys & A. Treffers. (2009). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Groningen: Noordhoff Uitgevers.

Met klik naar de literatuurlijst.

§ 5.1

Klik voor meer over: nul

). Op 100-velden is de 0 er alleen bij de tientallen. Je kunt niet anders. Maar ja, als hij zo raar en cruciaal is, moet je hem dan maar verbergen of moet je hem juist tonen zoals op het 99-veld?
  • Ten eerste is nul op het 99-veld te zien waar hij woont: vóór 1. In de klas zeg je: Hij heeft geen grijs vlak, hij heeft immers geen aantal. Die plaats is leeg. Nul is een dakloze in de hal van de getallenflat.
  • Met kleur voor tientallen is ook in de eerste kolom de rol van nul bij de hele tientallen beter zichtbaar.
  • Ook toont het 99-veld de blauwe voor­loop­nul op de plek van de tientallen (geheel links onder). Je kunt overwegen om de getallen tot 9 allemaal een voor­loop­nul te geven
    (§ 5.4.2

    Klik voor meer over: voorloopnul

    ). Eventueel dim je die voor­loop­nul voor de 1-en wat.
  • En waar woont 100? Op het 100-veld ’gewoon’ rechts naast 99, net als de 10 rechts naast 9. Hoort hij daar? Of woont 100 gewoon boven 90, net als 10 boven 0 woont?
  • Op het 99-veld hebben die nullen van 100 het goed bekeken. Zíj zijn geen aantallozen zoals de eenheden-nul in de hal maar vormen een ménage trois in een groot en kleurrijk penthouse op het dak van de getallenflat. Maar dat penthouse ligt wel op een rare plaats. Het penthouse valt wel buiten het vierkant van het veld. Hoort dit apparte­ment dan niet linksonder als eerste bij het vólgende 100-veld, bij het volgende flatgebouw? Eigenlijk is die 100 van de tweede flat gelijk aan 00 van de eerste flat. Die 00 telt ineens weer wel mee. Je gaat naar een ander 100-veld, een andere flatgebouw, een andere MAB-plak, naar een andere dimensie.
Dus ...
Ja, ingewikkeld misschien allemaal. Klopt. Nul is een hele rare en cruciale snuiter. Misschien moet je juist daarom nul níét onder het veld vegen maar hem ook op het veld tonen, daar waar hij zijn cruciale rol speelt.

Door de nul op een 100-veld te tonen kunnen de hersenen van de kinderen de fratsen van nul ontmaskeren.

5) Past het 100-veld de kinderen?

De kinderen vinden het 100-veld ook leuk en kunnen er goed mee overweg. Zelfs wanneer de kinderen nog niets weten van nullen, 10-en, 1-en en van plaatswaarde. Zonder eye-tracking apparatuur zie je aan de bewegingen het denken van het kind. Scant het goed geluk of sturen plaatswaarde het oog efficiënt. Je kunt wat sturen met: een verdieping hoger/lager, woont boven/onder, woont naast en zo. Je ziet het kind tientalligheid ontdekken Oh, die woont op dezelfde lijn als de blauwe 5. Blijft het kind scannen dan is het misschien nog niet zo ver. Je kunt het 100-veld vervolgens ook gebruiken voor velddenkles met vragen als: Welke oplossingen zijn er, welke is handig?
  • Maakt het kind geen gebruik van de tientallige structuur laat het kind die structuur dan ontdekken door horizontaal (binnen een 10-tal) of verticaal (gelijken 1-en) te vragen, zoals een vierkant of een trap. Je noemt het getal, het kind klikt of kleurt op de vakjes en geleidelijk verschijnt er een figuurtje, een vierkant, een rondje of een gezicht. Je kunt het ook omdraaien: het kind noemt het getal (van zijn figuurtje) en een ander klikt op het getal en moet raden welk figuurtje tevoorschijn komt.

De tafel van 5 op het 99-veld

Afbeelding 52.
  • Knip het 100-veld in 100-stukjes, gooi die in een doos en laat het kind het 100-veld leggen.
  • Kwartetten: Wie heeft het eerst een hele rij of kolom van een tiental vol? Mag ik van jou van de dertigers de vier?
  • Ezeltje prik: met blinddoek, zonder zichtbaar 100-veld. Voor bolle­bozen: Ezeltje prik op zijn kop (het 100-veld). Of 90° gedraaid.
  • Bingo: jij noemt een getal en de kinderen zetten een kruis in dat hokje. Wie ziet het eerst wat voor figuurtje het wordt?.
  • Maak de tafels op het 100-veld. Welke tafel is dit?
  • Maak een 100-veld met getallen op magneetstickers van verschillende kleur op de deur van een kast. De Paashaas, de knecht van Sinterklaas of de conciërge kan de getallen dan gemakkelijk door elkaar gooien. Je zegt dan: Ik zie, ik zie wat jij niet ziet en het klopt niet.
  • Het 100-veld is ook het fundament voor lastige onderwerpen als: getallen boven de 100 en 1000, grafieken, tafels, tijd en kalender, maten en gewichten, veldbordspelen als Boter kaas en eieren, dammen, schaken en vooral ook de lastige analoge klok (afb. 53).
Zo toon je de grootste verdienste van de wiskunde, namelijk zijn flexibiliteit
(Freudenthal, 1973).
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 75.
Met klik naar de literatuurlijst.


  Een 100-veld-achtige verbeelding van de analoge klok
Slaap- en
schooltijd ingevuld
.

Afbeelding 53.

Deze ingevulde dagagenda:

www.rekenhaas.nl/d1p.php



Met klik naar deze opgaven.



Lege in te vullen dagagenda:

www.rekenhaas.nl/d1p.php



Met klik naar deze opgaven.


6.5.5 Past de lusabacus bij plaatswaarde?

De meest rechtse staaf van de lusabacus (afb. 54) is voor de 1-en. De 1-en zijn nog te zien als afzonder­lijke kralen. De volgende staaf links is voor de 10-en en zo verder.

  De gebruikelijke lusabacus

Afbeelding 54.
  103 op de gebruikelijke lusabacus.

Afbeelding 55.

6.5.6 Passen termen naast elkaar bij plaatswaarde?

Je kunt de termen van opgaven náást elkaar noteren of onder elkaar. De gebruikelijke terminologie is overigens wat lastig. Zo gebruikt men voor naast elkaar en onder elkaar termen als: cijferend, tabel­larisch en koloms­gewijs rekenen en althans in Duitsland: Schriftliches Rechnen
(Selter & Zannetin, 2021,
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in de Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer

Met klik naar de literatuurlijst.

Geerts, G. & Heestermans, H. (1984), Van Dale groot woordenboek der Nederlandse taal.Utrecht/ Antwerpen: Van Dale Lexicografie.

Met klik naar de literatuurlijst.

noot 1
De gebruikelijke terminologie is wat lastig.
  • De rijg- en de kolommethode mengt men ook wel (Treffers, Noteboom & de Goeij, 2009).
  • Bij kolomsgewijs rekenen worden de getallen gesplitst in plaatsgetallen en tel je de getallen per plaats op. De handelingen worden wel per ’virtuele kolom’ uitgevoerd. Verbaal werkt het kind dan per kolom en visueel werkt het kind dan in een lijn.
  • In sommige rekenmethoden betekent cijferend rekenen: termen onder elkaar. Het woord ’cijferen’ betekent volgens het woordenboek rekenen niet een bepaald soort oplossingsmethode (Geerts & Heestermans, 1984).
  • Bij Selter & Zannetin, (2021) heet onder elkaar dan Schriftliches Rechnen.
Treffers, A., Noteboom, A. & de Goeij, E., (2009). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In: van den Heuvel_Panhuizen, Buys & Treffers, 2009.
Pag. 65.
Met klik naar de literatuurlijst.

Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica.
Pag. 28.
Met klik naar de literatuurlijst.
Pag. 177.
).
1) Wat is termen náást elkaar?

Het is gebruikelijk in groep 5 te beginnen met de termen naast elkaar. Ook in de literatuur ligt daar de focus. De deelhandelingen worden vervolgens ook weer in een lijn naast elkaar uitgeschreven (rijgen, afb. 57). Dat rijgen kan dan op verschillende manieren.

  Termen naast elkaar

Afbeelding 56.
  Rijgen

Afbeelding 57.
2) Wat is termen ónder elkaar?

   22.105
+  7.880
= . . . .
De vraag is eigenlijk niet: Moet je termen naast elkaar of onder elkaar noteren? De vraag is: Wanneer ga je termen onder elkaar noteren? Gelijk aan het begin, dus al bij 10+2. Of uiteindelijk wanneer de termen zo groot zijn dat naast elkaar en het bijhorende rijgen niet meer kan. Ook vermenig­vuldigen en staart­delen is lastig naast elkaar.
Meestal begint men met termen naast elkaar
(Vugt & Wösten, 2009,
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
Pag. 148.
Met klik naar de literatuurlijst.

Milikowski 2019).
Milikowski, M. (2019). Dyscalculie en rekenproblemen. 20 obstakels en hoe ze te nemen. Amsterdam: Boom uitgevers.

Met klik naar de literatuurlijst.

Een verantwoording is er meestal niet. De onder elkaar methode krijgt aandacht bij
Schmeier, (2019)
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica.
Pag. 92, 1k31.
Met klik naar de literatuurlijst.

en bij Selter & Zannetin (2021).
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in de Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer

Met klik naar de literatuurlijst.

Maar ook daar is er geen verantwoording. Willem Bartjens
(1604)


Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.

Met klik naar de literatuurlijst.

zette de termen onder elkaar (afb. 58). Al gelijk aan het begin en zelfs bij het optellen van getallen onder 10. Maar ja, zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger. Daar zijn rekenfouten dodelijk.
  Willem Bartjens noteerde zelfs 1-en onder elkaar

Afbeelding 58.
3) Past de notatiewijze de getallen?

Naast elkaar toont de termen, de uitkomst en de tekens op een 1D-lijn
(§ 9.2.3, afb.

Klik voor meer over: lijnkennis

58). De getallen hebben echter een meer-dimensionale structuur, een nD-structuur. Gemakshalve houden we het hier even op de 2D-structuur van de getallen tot 100. Met naast elkaar negeer je de geniale uitvinding van Leonardo da Pisa uit 1200.
4) Passen de notatiewijze in het oogfixatieveld?

Naast elkaar en ook rijgen, heeft een lijnbeeld terwijl het oog­fixatie­veld cirkelvormig is. Dat past niet zoals in afbeelding 59 te zien is. Bij naast elkaar is een deel van de vorige opgave, op de vorige regel en een deel van de volgende opgave, op de volgende regel, te zien in het oogfixatieveld. Maar de actuele opgave, de tussen­handelingen en de uitkomst zijn níét te zien. Het oog kan dan ook de fout in afbeelding 59 niet zien. Naast elkaar veronder­stelt dat mensen spleetkijkers zijn. Mensen zijn echter veldkijkers.
§ 10.2.1

Klik voor meer over: oogvriendelijk
  Welke opgave ziet het oog?

Afbeelding 59.
Bij rijgen zijn verder oogsp­rongen dus nodig om de hele opgave en de tussenhandelingen te zien. Door weinig markering in de lijn van cijfers en tekens, kan het oog gemak­kelijk naar het verkeerde cijfer springen. Het kind moet goed weten welke 1-en en welke 10-en bij elkaar horen want ze staan niet bij elkaar. Je toont dus niet hoe het zit en wat je wilt leren.
Oogsprongen bij rijgen

Afbeelding 60.

Uit de statistieken blijkt dat opgaven met termen naast elkaar voor maximaal 71% rekenvaardigheid meten en voor de rest meten zij onder andere nauwkeurig waarnemen en belasting van het werkgeheugen.

5) Past de notatiewijze de taal?

Naast elkaar is zoals tekst in de taal gesproken en gehoord. Vervolgens dus ook zoals geschreven en gelezen. Dat kan gewoon niet anders. Om dan rekenopgaven óók maar zo te schrijven is een voorbeeld van het horseless carriage syndrome
(de Wilde, 2000,
Wilde, R. de, (2000). De voorspellers. een kritiek op de toekomstindustrie. Amsterdam: De Balie.

Met klik naar de literatuurlijst.

noot 2
Horseless carriage syndrome: Je ontwerpt iets niews maar precies zo als het oude. Je houdt daardoor nadelen van het oude en profiteert niet van de voordelen van het nieuwe. Je vindt bijvoorbeeld de auto uit en gaat zitten op een zadel en sturen met leidsels.
). Naast elkaar past de taal uitstekend. In het rekenonderwijs is taal dominant én verwarrend. Maar het gaat hier niet om taal en ook niet om 1D-inhoud maar om getallen en die zijn 2D.

Naast elkaar is toch een een beetje dammen op een Ganzenbord.

6) Past de notatiewijze het werkgeheugen?

Het werkgeheugen is bij onder elkaar nodig om de informatie per oog­sprong vast te houden. Staan de termen onder elkaar dan is vrijwel alle informatie beschikbaar in het oogfixatieveld en is het werk­geheugen eigenlijk niet nodig (afb. 61). Mogelijk kan zelfs het oog een fout dan wel opmerken. Bij onder elkaar komt het resultaat van een deel­handeling direct op de plaats van de uitkomst. Dit voordeel voor het werkgeheugen is nog groter wanneer de deel­handelingen over 10 gaan. Je moet dan 10-tallen onthouden. Bij onder elkaar is het eenvoudiger een geheugensteun op de plaats van de uitkomst te zetten.

4 oogsprongen, geen werkgeheugenbelasting

Afbeelding 61.

www.rekenhaas.nl/p81.php



Met klik naar deze opgaven.

7) Past de notatiewijze de hersenen?

De evolutie en de hersenen hebben geen voorkeur voor lijn­afbeeldingen en lijstjes met handelingen (lijnkennis,
§ 10.7.2

Klik voor meer over: lijndenken

). De evolutie en de hersenen hebben een voorkeur voor velden zoals tabellen waarin informatie die tegelijk nodig is vlak bij elkaar staat
(§ 10.7.3

Klik voor meer over: velddenken

).		 De handelingen bij naast elkaar zijn meestal een vorm van rijgen:
12+34=10+30+2+4=40+6=36. Het rijgen is bijna letterlijk een instructie voor lijndenkers als computers. Machines als metafoor voor psychologische processen, dat is verdacht was al eerder de conclusie.
8) Past de notatiewijze het kind?

Een vergelijking tussen opgaven met naast elkaar notatie met dezelfde opgaven met onder elkaar geeft de volgende resultaten.

Plaats van de termen:
naast: 53% goed, 42 s., 40% weet niet, 137 opgaven, 9 kk., gr.4.
onder: 82% goed, 25 s., 0% weet niet, 214 opgaven, 9 kk., gr.4.

Bij grote getallen zijn de verschillen groter.
Opgave: 1 234 354+2 112 324, termen:
naast:10% goed, 109 s., 80% weet niet, 10 opgaven, 11 kk., gr.4.
onder:75% goed, 26 s., 0% weet niet, 20 opgaven, 11 kk., gr.4.
Voor de kinderen was de onder elkaar notatie overigens ongebruikelijk.
9) Past onder elkaar in de klas?

Grote getallen zijn met naast elkaar niet op te tellen. Vermenig­vuldigen en staartdelen kan ook alleen met de termen naast elkaar. Je zult op een gegeven moment wel om moeten. Je kunt je afvragen waarom je dan niet gelijk onder elkaar gaat. Vooral als je het belangrijk vindt altijd dezelfde methode aan te bieden.

De opgave van afbeelding 62 ziet er heel moeilijk uit maar is natuurlijk heel eenvoudig. Het zijn gewoon 7 erbij-opgaven onder de 10. Maar voor de vingerteller is het een opgaven uit groep 6. Dat is fun. Die opgave kan een ’rekenzwakke’ teller uit groep vier, zo blijkt uit de statistiek. En passant automatiseert de teller misschien de 7 erbijopgaven. Nog meer fun krijg je als je de teller zijn grote opgave zelf met een rekenmachine laat controleren. En tot slot natuurlijk de opgave met een grote krul erbij mee naar huis.
m  htd hte
1  2 3 4  3 5 4
+ 2  1 1 2  3 2 4
=    

Gewoon 7x een rekenopgave met uitkomst onder 10

Afbeelding 62.

www.rekenhaas.nl/p122p.php



Met klik naar deze opgaven.

Met onder elkaar kun je een tellend kind ook allerlei andere rekenhandelingen ’zelf’ laten ontdekken, zoals Eén-erbij-opgaven (afb. 63). Doordat alle cijfers die voor de handeling nodig zijn zeer dicht bijelkaar staan en in het werkgeheugen komen, kunnen de hersenen van het kind de gewenste handeling ontdekken. Even aangenomen dat je je mond kunt houden en de ontdekking niet verklapt.
  htd hte
3  3 3 5  4 4 3
+ 3  4 3 4  4 3 3
=    
   Eén-erbij-opgave zelf ontdekken

Afbeelding 63.
Rekenmethoden noteren de termen bij opgaven onder 100 vaak naast elkaar. Leer­krachten vinden het dan lastig om de kinderen de opgaven ook onder elkaar aan te bieden. Het gaat echter slechts om twee notatie­wijzen en niet om verschillende reken­handelingen. De rekenhandelingen blijven gelijk: 1-en bij eenen en 10-en bij tienen. De kinderen zijn overigens wel gewend dat een tekst zo maar op de volgende regel verder gaat. Bij het lezen gaat dat ook zo. Mij is gebleken dat tellers, met deze twee notatie­wijzen tegelijk géén moeite hebben. Geef de kinderen plomp­verloren, zonder introductie de opgaven onder elkaar. Een enkel kind zegt dan: Hé, wat is dat? Voldoende is dan vaak de uitleg: Ja dat vindt de rekenhaas gemakke­lijker. Dit blijkt ook uit de statistieken.

6.5.7 Past kleursturing bij plaatswaarde?

Je kunt plaats­waarde­handelingen ook sturen door elke plaats een eigen kleur te geven. De cijfers krijgen de kleur van hun 10-tal-plaats en ook de plaats in de uitkomst krijgt zijn kleur (afb. 64). De kleur versterkt het bij elkaar horen van de 10-en en van de 1-en in de termen en in de uitkomst. Ook wanneer de cijfers van de 10-en en de 1-en niet direct bij elkaar staan zoals bij termen naast elkaar. Verder stuurt kleur de ogen naar de juiste plaats. De kans op verhaspeling van 10-en en 1-en en de kans op spiegelen verkleint.
12 +34=     
Kleursturing voor 10-en en 1-en, termen naast elkaar

Afbeelding 64.

www.rekenhaas.nl/p124p.php



Met klik naar deze opgaven.

Met kleuren praat je verder ook gemakkelijker met het kind dan met de woorden 10-en en 1-en. Je kunt zeggen: Er zit een foutje in (de kolom van) de groenen. Je hoort kinderen dan ook zeggen: Eerst de groenen. Ook wanneer alle cijfers zwart zijn. Ook wanneer je er niet bij staat. Ook wanneer ze enkele weken geleden pas gehoord hebben van de kleuren. Ook wanneer ze in de tussentijd weer zoals gebruikelijk zonder kleur werkten.
12
+34
=
Kleursturing voor 10-en en 1-en, termen onder elkaar

Afbeelding 65.

www.rekenhaas.nl/p122p.php



Met klik naar deze opgaven.


Passen de kleuren de kinderen?
Termen:
zwart:71% goed, 31 s., 44% weet niet, 180 opgaven, 9 kk., gr.4.
gekleurd:71% goed, 32 s., 56% weet niet, 171 opgaven, 9 kk., gr.4.
Dus . . .

Kleursturing lijkt overigens vooralsnog geen effect te hebben. De opgaven met kleursturing kwamen echter altijd vóór de opgaven met zwarte cijfers. In de zwarte cijfers kan dus ook een leereffect van kleur zitten.

6.5.9 Past een voorloopnul (01) bij plaatswaarde?

Voorloopnullen passen plaatswaarde goed. De voorloopnul toont de lastige handeling met 0-tienen. Zie voor meer over de voorloopnul
§ 5.4.2

Klik voor meer over: voorloopnul

.


  6.6 Hoe vertel je Plaatswaarde?  


Lastiger dan het afbeelden van plaatswaarde zijn de woorden voor plaatswaarde, met name de telwoorden.


6.6.1 Past het woord plaatswaarde bij plaatswaarde?

Het woord plaatswaarde is meer kindertaal dan het gebruikelijke woord positiestelsel of, wat je ook wel hoort is ’getalbegrip’.

6.6.2 Passen de telwoorden plaatswaarde?

In een vorige paragraaf ging het om de plaats van de 10-en op papier. Nu gaat het om de 10-en de 1-en in de wóórden, de telwoorden dus. Het opzeggen van de telwoordenrij is voor kinderen geen probleem. Maar het begrijpen is lastiger.
1) Past het woord tien het aantalgetal 10?

Tot tien zijn de telwoorden eenvoudig: één woord voor één aantal. Maar met tien verandert er veel. Het telwoord tien verbergt de schat van de getallen. Die schat is de tientalligheid. Daarmee kan je slim spelen met getallen. Maar hoe kan je dat spel leren als de telwoorden tien­tallig­heid verbergen? Je hoort bij tien maar één woord. Dat ene woord staat wel voor twee aantallen. Namelijk een aantal voor 1-tien en een aantal voor 10-eenen. Daar komt nog bij dat het aantal 10 in de kind­werkelijk­heid soms dubbeltje heet, een tiener niet tien is maar een leeftijd heeft tussen 10 en 20, tienen een meervoud van tien is maar tien­tallen en -tig ook. Maar tienen zeg je eigenlijk nooit. Alleen eigenlijk als je een heel goed rapport hebt. Verder heeft het woord tiende twee betekenissen. Oh ja, een tientje is niet één tiende maar is evenveel als tien.
Gek zou je ervan worden. Niet van 10 maar van die woorden daarvoor. We nemen hier daarom geen enkel risico en schrijven tien zoveel mogelijk als 10.

Misschien had Wittgenstein toch gelijk toen hij schreef dat de taal de geest behekst.

Dat was het telwoord tien. Nu nog die nul bij de cijfer voor 10. Die nul is een hele vreemde maar cruciale snuiter
(§ 5.1,

Klik voor meer over: nul

Kaplan, 2000).
Kaplan, R., (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.
Pag. 58
Geen link.

Die nul moet je dus wel even uitleggen. 		Dat was de tien in cijfers. Nu de vraag hoe het aantal tien af te beelden. Nul kralen op de staaf van een telraam zetten is wat lastig. Bovendien kan het oog het getalbeeld van tien kralen en zelfs het beeld van vijf kralen op een rij niet in één keer herkennen, zoals in afbeelding 66 te zien is.

    Alleen als je telt, kun je zien dat je een rij van 5 kralen niet in een oogopslag kunt zien

Afbeelding 66.

Met stippatronen kun je de rol van nul in 10 wel tonen (afb. 66). Je krijgt dan een getalbeeld dat het oog in 233 milliseconden herkent en vrijwel geïnterpreteerd aan de hersenen doorgeeft. Ook de lusabacus toont de nul in 10 goed. Net als bij tante Leila: Daar heb je de Lange
(§ 3.1

Klik voor meer over: tanteleila

).
  10 getoond met stippen

Afbeelding 67.
2) Past het woord elf het aantalgetal 11?

Het telwoord elf is net als tien ook maar één woord waarin je tien­tallig­heid niet hoort. Dat geeft ruimte aan de fantasie van het kind. Elf? Ah, wat leuk, er doen ook elfjes mee hoorde ik een kind ooit zeggen. Buig die sprook­jes­wereld van het kind om naar de realiteit van tien­tallig­heid van de getallen­wereld. Voort­schrijdende schema­tisering noemt rekenmeester Treffers dat ombuigen
(1995).
Treffers, A. & Blij, F. van der. (1985). Rekenen, wiskunde. Den Haag: Distributiecentrum Overheidspublikaties.

Geen link.
Buig het misverstand in de klas bijvoorbeeld zo om: Elf is niet de grote broer van Elfje. Als je elf snoepjes hebt en elke vinger krijgt één snoepje dan blijft er één snoepje over omdat je maar tien vingers hebt. Eén left zeiden de oude Noren dan
(De Vries, 1967).
Vries, J. de, (1967). Etymologisch woordenboek. Waar komen onze woorden vandaan? Utrecht: Het Spectrum.

Geen link.

 Elf woont ook niet in het bos, zoals je misschien van een oude Noor verwacht, maar naast de tien. Maar ja, ze noemen dat aantal ook elf.

Leerpsychologisch gezien is het niet zo handig om precies op het moment dat je iets tamelijk ingewikkelds introduceert aan een zevenjarige, ineens over te gaan op Oudnoors.


De cijfers 11 vertellen duidelijk hoe het zit met tientalligheid dan met het telwoord elf. Net als bij 10. Verwarrend is dan wel dat in de kind­werkelijk­heid op sommige klokken de tekens 11 niet staan voor elf maar voor twee. In de klas dus: Die elf is géén tweeling (1+1) maar een sluw leger. Het lijkt een leger van 2 maar onder de groene 1 zit nog sluw de nul van tien verborgen. Het is dus eigenlijk een leger van 1+10. Of zo iets dan.

Het aantal 11 is ook goed te tonen als een stip­patroon (afb. 68). Net als bij 10. De eenheden en de tientallen plaats je natuurlijk zoals je ze ook met cijfers schrijft. Dat is gemakkelijker wanneer je de stippen verticaal zet. Geef de 1-en en de 10-en ook een eigen kleur. Hiermee verklein je de kans op uitkomsten als 12+3=6 (1+2+3=6). De fantasie van het kind doet de rest: Ik neem gewoon groen in mijn ogen hoorde ik eens een wijsneus zeggen. Slavische reken­meesters vertellen geen sprookjes. Hun telwoord voor elf is gewoon letterlijk Een op tien. Praat over blauwe en groene stippen maar niet over grijze stippen. Noem de grijze stippen lege ringen.

1 2
Het aantal 12 getoond met stippen

Afbeelding 68.

3) Past het woord twaalf het aantalgetal 12?

Ook twaalf is weer één woord voor twee begrippen. Net als bij 10 en 11. Verder net als overigens het synoniem dozijn. Dat geeft ook weer ruimte aan de fantasie van het kind. Zo vertelde een kind eens: Twaalf? Twaalf is gewoon een bekakt Nederlandssprekende elfjestweeling. Buig dat soort sprookjes in de klas tijdig om naar tien­tallig­heid: Die twaalf is een wolf, die onder de twee een nul verborgen heeft. En, nu komt het grote getallen­geheim: Die nul is niet niets, want de wolf is een ttwolf, een tien­tover­wolf. De wolf maakt de groene 1 maar liefst 10 keer zo groot. Dus 12 is eigenlijk 10+2. Allemaal onzin natuurlijk maar reken­kundig gezien is het correct en psychologisch gezien onthouden mensen dat soort onzin
(§ 10.3.4

Klik voor meer over: rijm

).

Voor twaalf geldt ook weer dat de cijfers 12 tientalligheid beter tonen dan het telwoord twaalf. Bovendien is met cijfers extra sturing mogelijk. Naast kleur kun je de nul eenheden van tien ook tonen als een schaduw ónder het cijfer van de twee eenheden (afb. 69).


Een kind dat nog niet beïnvloed is door de teltaalcultuur zal waarschijnlijk gewoon de regels van de taal volgen. Het meervoud van 10 is dan tienen en 20 is dan tweetienen, eventueel te verkorten tot tweeten. Tiens met een meervouds s zou ook kunnen volgens de regels van het Nederlands.

Dus bij zeventien kun je aanvankelijk gewoon in de klas nog even jullie eigen tel­woorden­geheim­taal spreken:

17= zeven op de nul van tien. Dan de nul van tien inslikken:
17= zeven op de nul van tien. En dan op inslikken.
17= zeven op de nul van tien.
Je kunt dat op de nul van tien ook tonen met stip­opgaven. Je deponeert gewoon sluw achter­een­volgens wat 10+x-opgaven in stippen via het oogfixatieveld in het werkgeheugen van het kind (afb. 71). Mét de uitkomst natuurlijk. Anders gaat het kind tellen in plaats van rekenen. Ook vallen er geen telwoorden. Die telwoorden vullen het werkgeheugen maar met onzin.
Je houdt vooral je mond. Je vraagt hooguit een beetje Wat zie je? De hersenen associëren zoals gebruikelijk als een idioot alles wat in het oog­fixatie­veld, het werk­geheugen en het lange­termijn­geheugen zit aan elkaar. Op een gegeven moment hoor je hier en daar in de klas vol vingertellers: Verrek, 10+7 is gewoon 17. Het kind ontdekt het zélf. Dát is fun. Dat is wat Freudenthal
(1973)
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 110 o.a.
Geen link.

bedoelt met actief leren rekenen.

   
+ =
    10 + 7 = 17
Tonen van 7 op de nul van 10

Afbeelding 71.

Of dat op de nul van tien nu een truc is of niet, de bijvangst is groot. Met op de nul van tien druk je een groot probleem van de onderbouw de kop in, vóór het probleem opduikt.

Uiteindelijk ontdekken de kinderen: Optellen, dat is niet wat het woord zegt: téllen, net als Iene, Miene, mutte. Optellen is rékenen: slim gebruik maken van de eigenschappen van de getallen.

5) Past het woord twintig het aantalgetal 20?

Die Oudsaksische twin voor twintig daar is nog wel mee te leven. Het is net zo iets als de twee in 12 die ineens twa heet. Vreemd is wel dat het woord voor 15 vijftien is maar dat er bij het woord voor 25 ineens en tussen komt. En dan die -tig, waar komt die toch vandaan?
  • Die tig is Oudgermaans voor tien. Overigens is -tig ook gebruikelijk in het hedendaags Nederlands maar dan niet als meervoudsvorm voor tien in telwoorden maar gewoon voor veel, vermoedelijk heel veel maar niet meer dan 100. Als tig tientallen betekent, zou je overigens misschien tiggen of tigs moeten zeggen.
  • Een gezonde suffix voor tientallen zou volgens de taalhistoricus
    Smits (2009)
    Smits, R. (2009). Dageraad. Hoe taal de mens maakte. Nieuw Amsterdam Uitgevers: Amsterdam.
    Pag. 99.
    Geen link.

    dus tienig zijn.
  • Een andere suggestie die hij voor 10 geeft is eenig (een tien dus.).
  • Waarom heet 25 trouwens vijfentwintig en niet vijfentweetien(en).
  • Of voor 55 gewoon vijfvijften, een verkorting van vijf op de nul van vijf tienen.
Twintig met cijfers is gewoon, logisch en rekenkundig correct volgens het plaatswaarde systeem, namelijk 20. Tientallen kun je op verschillende manieren rekenkundig correct afbeelden (afb. 72).

   Afbeeldingen van tientallen

Afbeelding 72.

Erg onhandig is wel dat de telwoorden tien, elf en twaalf de ingewikkelde en abstracte tientalligheid verbergen, precies op het moment dat het kind die wereld binnenkomt.


6.6.3 Past de volgorde van 10-en en 1-en bij plaatswaarde?

We zijn nog niet klaar met die telwoorden. Er is ook nog de volgorde van de 10-en en de 1-en. De volgorde van woorden in een zin zijn belangrijk. Er is een groot verschil tussen een betonblok dat je opvalt en een blok dat op je valt. Ook bij het rekenen is de volgorde van 1-en en 10 belangrijk. Lastig is wel dat die volgorde in telwoorden verschilt.
  • Het volgordeprobleem ontstaat onder andere doordat we het Arabisch schrift mengen met het Latijnsschrift. De Arabische schrijfrichting voor tekst én ook voor cijfers is van rechts naar links. De Westerse, Latijnse schrijfrichting voor wóórden is omgekeerd, van links naar rechts.
  • Bij de telwoorden wisselt de volgorde van 10-en en 1-en zagen we al.
  • Bij plaatswaarde met termen onder elkaar werken kinderen spontaan van links naar rechts, de leesrichting dus. Je kunt dat aanvankelijk laten gaan om het voor de kinderen eenvoudig te houden. Maar wanneer je over 10 gaat dan moet je van rechts naar links werken. In verband met ruilen van 10-eenen voor 1-tien.
  • Bij vermenigvudigen en delen begin je overigens weer links.
  • Bij het noteren en typen van getallen werk je ook van links naar rechts.
Bij het ontwerpen van apparatuur is het een doodzonde als je inconsistent bent in de wijze waarop de gebruiker een geautomatiseerde handeling moet uitvoeren. De volgorde gaspedaal rempedaal in auto’s is altijd gelijk. Het gebruik van telwoorden is ook een geautomatiseerde handeling. Maar ja, een consistentie volgorde van 10-en en 1-en voor telwoorden en in de schrijfwijze, krijg dat er maar eens door.

Het is dus zeer begrijpelijk dat kinderen gaan spookrijden met 10-en en 1-en
(12 schrijven of zeggen en 21 bedoelen, spiegelen).

Wat te doen met spiegelingen in de klas?
  • Als je snel naar getallen boven 99 gaat dan verdwijnt het spiegelen veelal.
  • Wat ook helpt is zeggen: Kijk eens goed. Maar ja dat is nadat het kwaad geschied is.
  • Ook helpt het als de termen onder elkaar staan en niet naast elkaar. Verder door 10-en en 1-en in woord en beeld een kleur te geven.
  • Laat het kind zien wat voor tombola de taal van 10-en en de 1-en gemaakt heeft. Een verwisseling is niet een fout van het kind maar van de taal. Je zou uit kunnen leggen waarom. Dat is dan een aardig levenslesje over taal en denken.

    De denkles voor kinderen is: Woorden, houd ze goed in de gaten. Soms verbergen woorden meer dan ze zeggen.

  • Verwisselingen zijn vaak incidentele vergissingen. Je kunt dan ook gewoon niets zeggen. Als er sprake is van een plaatswaarde­begrips­fout dan is er meestal een hele rij uitkomsten fout. Dan houd je natuurlijk ook je mond en leg je plaatswaarde nog een keer uit. Maar dan wel beter.
    Bij een verwisseling moet een toets dus bepalen of het kind plaatswaarde begrijpt. Is de uitkomst gespiegeld dan zou je moet de uitkomst goed moeten rekenen.

6.6.4 De telwoorden passen plaatswaarde niet

De telwoorden tonen plaatswaarde en tientalligheid niet. Voor de tweetalige teller is de tel­woorden­taal­tombola twee maal zo groot.

Toetsen moeten meten of kinderen plaatswaarde begrijpen en niet of de telwoorden plaatswaarde begrijpen.



  6.7 Plaatswaarde en denken  


6.7.1 Past multiple choice bij plaatswaarde?

Met multipe choice kun je fouten uitsluiten en zo goede handelingen afdwingen (afb. 73).


   3 000 000
+ 2 000 000
=
       10 00         20 00         30 00         40 00         50 00         60 00         70 00         80 00         90 00 

   100 000     200 000     300 000     400 000     500 000     600 000     700 000     800 000     900 000 

1 000 000  2 000 000  3 000 000  4 000 000  5 000 000  6 000 000  7 000 000  8 000 000  9 000 000 

Multiple choice voorkomt foute handelingen en dwingt zo de juiste handeling af

Afbeelding 73.

www.rekenhaas.nl/p5.php

ui, oe etc. zijn letters met, toevallig twee toevallige tekens. Je zou ook kunnen schrijven iu en eo.
12, 34 etc. zijn getallen met met twee cijfers. Maar je kunt niet zomaar schrijven 21 en 43. Dit moet je kinderen wel even duidelijk maken, bijvoorbeeld met deze sommen. Als je plaats bepaalt waarde begrijpt dan maakt de grootte van het getal niet uit. Grote getallen tonen plaatswaarde. Daarom deze sommen.

Met klik naar deze opgaven.


Passen deze sommen met hele 10-en de kinderen?
79% goed, 10 s., 1% weet niet, 324 opgaven, 11 kk., gr.4.
 De gemaakte fouten betroffen meestal vergissingen zoals telfouten en een nul te veel of te weinig.



6.7.2 Passen grote getallen bij plaatswaarde?
Direct wanneer de meeste opgaven met een uitkomst onder 10 vlot gaan, zou je al opgaven met grote getallen kunnen geven. Plaatswaarde kun je namelijk eigenlijk alleen begrijpen als je ook met grote getallen kennis maakt. Psycho­logisch gezien gaat het immers niet om de grootte van de getallen maar om de aard van de handeling en de systema­tiek. De plaats­waarde­handelingen met grote getallen zijn gelijk aan de plaats­waarde­hande­lingen met kleine getallen. Meer over snel beginnen met grote getallen in:
§ 10.4.5

Klik voor meer over: grotegetallen

.
m  htd hte
1  2 3 4  3 5 4
+ 2  1 1 2  3 2 4
=    
Gewoon plompverloren 7x een rekenopgave met uitkomst onder 10

Afbeelding 74.

www.rekenhaas.nl/p122p.php



Met klik naar deze opgaven.

Zo moeilijk is het rekenen met grote hele tientallen overigens ook niet. Zevenjarigen begrijpen:

2 koekjes + 3 koekjes= 5 koekjes.
Waarom zouden zij dan niet kunnen begrijpen:
2 honderd + 3 honderd=5 honderd
of
2 miljoen + 3 miljoen=5 miljoen.

Geef je geen grote getallen dan gaan de kinderen gewoon weer over op het natuurlijke ANS: 1, 10, 100 en daarna is alles miljoen (Approximate Number System.).
Bij opgaven met grote getallen het wel moeilijk bijhouden welke tientallen je gehad hebt. Dit is met name lastig wanneer de termen naast elkaar staan. Maak daar een denkles van en vraag hoe je dat probleem op kan lossen. Er zijn verschillende goede oplossingen. Met post-its kan het kind dan zijn visuele en mentale focus sturen door delen van de opgave te bedekken (afb. 75).
   Sturing van de focus met post-its

Afbeelding 75.

6.7.3 Passen fouten bij plaatswaarde?

Plaatswaardefouten zijn:
  • Er verdwijnen dan tientallen: 13+16=19.
  • Er verdwijnen eenheden: 13+23= ik haal 3+2 weg dan 1+4=5, nog een nul erbij =50.
  • Het kind past plaatswaarde niet toe: 12+14=206.
Deze fouten zijn overigens goed nieuws. In de eerste plaats betekenen deze fouten dat het kind geen teller meer is maar snapt dat je een handige rekenhandelingen moet zoeken. Het kind heeft alleen de klok horen luiden maar je moet het kind nog even vertellen waar ze de klepel gehangen hebben.
Is het kind net van het tellen af en is rekenen met hele grote getallen leuk, stort zijn rekenrealiteit weer in als je te snel gaat ruilen met tienen. Laat het kind routine opbouwen en genieten van plaatswaarde, onder andere met het optellen van hele grote getallen. De verschillende plaats­waarde­trucjes leiden op een gegeven moment tot inzicht in plaatswaarde. Bovendien is het kind inmiddels ouder. Het zal dan wijzer zijn en ook het rekenen beter begrijpen. Mogelijk is het daardoor beter in staat het ingewikkelde inwisselen te begrijpen.

Voetnoten:
1) De gebruikelijke terminologie is wat lastig.
  • De rijg- en de kolommethode mengt men ook wel (Treffers, Noteboom & de Goeij, 2009).
  • Bij kolomsgewijs rekenen worden de getallen gesplitst in plaatsgetallen en tel je de getallen per plaats op. De handelingen worden wel per ’virtuele kolom’ uitgevoerd. Verbaal werkt het kind dan per kolom en visueel werkt het kind dan in een lijn.
  • In sommige rekenmethoden betekent cijferend rekenen: termen onder elkaar. Het woord ’cijferen’ betekent volgens het woordenboek rekenen niet een bepaald soort oplossingsmethode (Geerts & Heestermans, 1984).
  • Bij Selter & Zannetin, (2021) heet onder elkaar dan Schriftliches Rechnen.


2)Horseless carriage syndrome: Je ontwerpt iets niews maar precies zo als het oude. Je houdt daardoor nadelen van het oude en profiteert niet van de voordelen van het nieuwe. Je vindt bijvoorbeeld de auto uit en gaat zitten op een zadel en sturen met leidsels.

3)Velen zullen niet direct zien dat de bovenste staaf 5 blauwe kralen heeft en de onderste staaf 6. Dit kun je alleen vaststellen door te tellen.


 Andere hoofdstukken  

0 Voorwoord



Meer: klik en ga naar: Voorwoord

www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwoord.php
1 Reken­voor­waarden

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen?

Meer: klik en ga naar: Reken­voor­waarden

www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwaarden.php
2 Tellend optellen

Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes.

Meer: klik en ga naar: Tellend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/tellend_optellen.php
3 Kijkend optellen

Tellen op de vingers is populair. Vreemd eigenlijk. De ogen kunnen veel beter tellen en rekenen.

Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/kijkend_optellen.php
4 Denkend optellen

Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is heel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan.

Meer: klik en ga naar: Denkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/denkend_optellen.php
5 Nul

Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

Meer: klik en ga naar: Nul

www.humanefficiency.nl/rekenen/nul.php
6 Plaatswaarde

Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen.

Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde

www.humanefficiency.nl/rekenen/plaatswaarde.php
7 Breken naar 10

Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen?

Meer: klik en ga naar: Breken naar 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/breken.php
8 Ruilen van 10

Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. ,Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de ,kindrealiteit.

Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/ruilen.php
9 Getal­kennis

Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona.

Meer: klik en ga naar: Getal­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/getal_kennis.php
10 Psychologie­kennis

Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen? En hoe kunnen getallen het kind leren denken?

Meer: klik en ga naar: Psychologie­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/psychologie_kennis.php
11 Statistieken

De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’).

Meer: klik en ga naar: Statistieken

www.humanefficiency.nl/rekenen/statistieken.php
12 Literatuur



Meer: klik en ga naar: Literatuur

www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur.php
13 Index



Meer: klik en ga naar: Index

www.humanefficiency.nl/rekenen/index_tot_alfabetisch.php


Leonard Verhoef
Leonard Verhoef: van onderzoeker van het denken naar ontwerper voor het denken in het dagelijks leven nu én in de toekomst. Ontwerpen voor computer- en webgebruikers, voor rekenmeesters en betalers, voor reizigers, vluchters en professionals op land-, spoor-, weg- en waterwegen.

Blijven onze superhersenen een limbische regelsslaaf in dienst van de cultuur (techniek, onderwijs en overheid)? Of gaat de prefrontale cortex heersen en maakt zijn supervermogen de dienst uit?
More, click and go to CV: Leonard Verhoef


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.