psychologie_kennis Hoofdstuk 8 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 dec. 2022.

 8 Psychologiekennis  

 

Kijken, praten, leren en denken van het kind



Hoe kijkt, praat, leert en denkt het kind over en met getallen?
   





8.1 Welke psychologiekennis

 

8.1.1 In de VS

In de VS was het de Stimulus-Response-psychologie die door kwantificering van in- en outputs probeerde de black box ’mens’ te begrijpen. Je voert gewoon uitvoerige statistische analyses uit op antwoorden en reactietijden. Europa nam deze aanpak over. Je ziet die psychologie nog wel terug in toetsen en bij instampen van sommen.
  

8.1.2 De Sovjets en de Utrechters

De 'Utrechtse rekenschool' begon bij Schoolpedagogiek (Bijl en Teunissen, RUU). legde met van Parreren van het psychologisch Laboratorium (RUU) een link van de Russische handelingspsychologie . De handelingspsychologie ziet de mens niet als een black box maar als een doelgericht handelend wezen. De basis van het denken is de materiële handeling. Een mens leert mentale (hoofd-) reken­handelingen door te beginnen met materiële optelhandelingen Er zijn motorische, visuele, verbale, geheugen- en mentale handelingen met concrete blokjes maar ook handelingen met abstracte begrippen zoals getallen. De mens voert deze handelingen uit met zijn de spieren, de ogen, het taalvermogen en de hersenen. De handelingspsychologie is kwalitatief. Geen foutpercentages en gemiddelden maar handelingen: Hoe doe je het?

Ook kwam er contact met Freudenthal (RUU, IOWO, nu Freudenthal instituut, Op de School adviesdienst van Utrecht ontwikkelde Nelissen een rekenmethode. Nadat het optellen en aftrekken in Utrecht min of meer in kaart gebracht was werd de Kwantiwijzer door Onderwijssociologie (Erasmus Universiteit) geïmplementeerd Dit boek past in de traditie van de Utrechtse onderwijskunde en de Utrechtse toegepaste cognitieve psychologie


1) De beoordeling in de VS

In de VS was de beoordeling van het van het gedrag productgericht en kwantitatief. De toenmalige Schiedamse Rekentest bepaalde het aantal fouten dat het kind maakte en de reactietijd. De norm voor de beoordeling is groepsstatistiek: (gemiddelden, percentielen, geslaagd, gezakt, andere school). Deze aanpak past bij groepsonderwijs (klassikaal onderwijs). Erg gemakkelijk voor de psycholoog, gewoon flink rekenen.

Dat is ook wat het volk, met name politici en ouders, willen: goede uitkomsten, hoe dan ook. Het is dus heel begrijpelijk dat veel kinderen denken: Bekijk jij het maar reken­meester met je ’slimme’ tweelingen, één-er-bij’s en omdraaiers. Ik blijf gewoon tellend optellen met mijn vingers dan weet ik zeker dat ik eenvoudig een goede uitkomst krijg. Dat is wat jullie willen, een goede uitkomst en vooral niet experimenteren met handige methoden en mogelijk wat beginnersfouten. Vooral bij gehoorzame 'pleasers' kun je dat zien, 'intelligent' of niet. Die productgerichtheid en de bijhorende toetserij vergroot mogelijk het tel-trauma ). Men heeft liever dat het kind goed telt dan dat het kind fout rekent.

  
2) De beoordeling in Utrecht

Voor de handelingspsychologie is de norm voor de beoordeling niet de groep maar het doel van de handeling: Is dit een handige manier om het doel te bereiken? Dan geldt: Liever fout gerekend dan goed geteld.

Analyseren en beoordelen van handelingen in een leerproces is lastig. Het onderwijs en de test­psycho­logie moesten erg wennen aan die Utrechts aanpak. Misschien is het eigenlijk nooit echt goed van de grond gekomen. Onder leiding van Van Parreren is de handelings­psycho­logie uitgewerkt met de focus op het leren rekenen. Dit werd geconcretiseerd in de diagnostische ’test’ de Kwantiwijzer

Een hele sluwe naam. Het woordje test met al zijn klassieke connotaties konden gebruikers er daardoor niet achter plakken.

3) Het resultaat in de VS

De getallen van een productgerichte aanpak komen de maatschappij goed uit. De maatschappij wil weten:
noot 1).

  4) Het resultaat van Utrecht

De meester weet wel dat een kind ’zwak’ is. Bij de Utrechtse aanpak en in dit boek ligt de focus op: Waar zit dit kind nu in het leerproces en wat is de volgende stap waar de reken­meester dit kind toe moet verleiden. Of het kind u goed of slecht rekent. Geen idee.t



8.2 Vermaterialiseren van handelingen

Het woord 'handeling' kun je op verschillende manieren opvatten. hanteren de omschrijving van het dagelijks spraakgebruik: met de handspieren concrete objecten manipuleren. 5 blokjes en 4 blokjes Tellend optellen is een materiele handeling. In de handelingspsycho­logie gaat het niet alleen om concrete objecten maar ook om abstracte objecten zoals getallen. Verder gaat het niet alleen om spierhandelingen maar ook om visuele, taal, geheugen en mentale handelingen Met de vingers tien kralen op de staaf van de eenheden inwisselen voor één kraal op de staaf van de tientallen,is een materiele handeling. Zeggen Een (tiental) onthouden. bij het optellen van 89+5, dat is dezelfde handeling maar dan verbaal.



8.3 Verbeelden van handelingen

Visualisering moet. Een leerboek zonder plaatjes kan niet. De conclusie is dan dat er kabouters en paddenstoelen in het rekenboek moeten. Dat is riskant zagen we in Ook zegt men wel: Een plaatje zegt meer dan 1000 woorden. Als dat zo is, waarom zegt men het dan, zou je zeggen. En waarom praten die rekenmeesters dan zoveel? En waarom hebben ze dan een voorkeur voor lijnverbeeldingen als getallen en rijgen ). Plaatjes zijn duidelijk geen lijnen maar velden. Veldverbeeldingen kan prima bij het rekenen ).

Nu is het inderdaad wel zo dat de hersenen inmiddels miljoenen jaren meer ervaring hebben in het verwerken van visuele informatie dan in het verwerken van verwoorde informatie. De ogen zijn in die tijd onvoorstelbaar handig geworden. Als een zevenjarige problemen heeft met het visuele en ruimtelijke werkgeheugen dan is de kans op problemen bij rekenen en wiskunde ook groot zo blijkt Het belang van verbeelding voor het leren is niet het probleem. Lastig is zijn de vragen wát te verbeelden en hoe oog- en hersenvriendelijkheid te verbeelden Niet een plaatje omdat het moet maar een plaatje dat wat in de hersenen doet. Copy paste een werkelijkheid is een gemakkelijk antwoord wanneer het gaat om wat je in de werkelijkheid niet ziet, zoals getalsrelaties. noot 2).


8.3.3 Oogvriendelijk met kind­realiteit

’Realistisch rekenen’ toont realiteit die niet noodzakelijk is voor de rekenhandeling. Realistisch rekenen geeft veel irrelevante context en decoratie. Zoals terecht opmerkt. Heel veel pixels en heel weinig informatie.

Met getalkennis moet het kind zijn wereld kunnen ordenen. Het rekenen moet de gétalkennis dus in de realiteit van het kind tonen. Dit boek geeft 6 voorbeelden van ’kind­realiteit’.

De som 27+18 realistisch
De zeer lastige breek om 10 handeling of de zeer lastige ruilhandeling met 10 eenheden is niet te zien en niet te lezen (7+8=(7+3)+5).

Verbeelding 66.


8.3.4 Oogvriendelijk met een goede pasvorm voor het oogfixatieveld

Hoe maak je nu een oog- en hersenvriendelijke verbeelding? Vroeger vouwde de mens zich om apparaten heen. Nu bouwen ontwerpers van auto’s en cockpits controls om de mens heen. De meest gebruikte controls liggen in het handbereikveld. Zo is er ook een ’oog-bereik-veld’.

Op het netvlies ligt in het centrum, rond het fixatiepunt een ovaal veld met zeer veel receptoren. Let wel een veld, geen lijn. Het aantal receptoren neemt af naar de zijkant van het blikveld. Het oogfixatieveld heeft een afmeting van 5°. Daarmee kan een mens ongeveer 8 letters redelijk lezen en pakweg 5 letters per kant kan een mens redelijk raden. Informatie in het oogfixatieveld is bewust aanwezig en hoeft niet in het werkgeheugen.

De periferie van het oogveld is ook cirkelvormig maar breder, zo’n 170°. Het hele oogveld wordt gebruik voor bewust zoeken Waar hangt rijp fruit? en om naderend gevaar te detecteren: Beweegt er daar wat rechts onder? Het oogfixatieveld identificeert: Ah, ja, het is een rijpe appel. of Ja, het is een hongerige aanstormende tijger.
In het centrum van het netvlies liggen meer receptoren dan in de periferie. Daardoor is de informatie scherp te zien in het oogfixatieveld.

Verbeelding 67.

Wanneer informatie buiten het oogfixatieveld nodig, dan is dan moet die informatie opgemerkt worden, geïdentificeerd worden als ’nodig’ en in het werkgeheugen geplaatst worden. Staat in een verbeelding van een rekenhandeling noodzakelijke informatie dus buiten het oogfixatieveld dan kan deze de rekenaar dus ontgaan. Daarom moet bijvoorbeeld het streepje voor Eén tiental onthouden. vlakbij of zelfs liever nog óp de uitkomst staan. Vergeten is dan bijna onmogelijk omdat je niet naar het plafond kijkt als je schrijft.
Tien onthouden, noteren vlak bij de uitkomst

Verbeelding 68.

Langwerpige verbeeldingen passen niet goed in het cirkelvormige oogfixatieveld. Dat geldt voor lijnverbeeldingen zoals de getallenlijn en rij­gmethoden . Grofweg 75% van het oogfixatie­veld blijft dan onbenut. Als je de ogen met lijnen laat werken dan is het een beetje alsof je zand niet schept met je hand maar met je pink. Niet handig.Een rommelige rij van 6 kinderen moet je tellen. Als er in een net vierkant van 4x4 kinderen één kind ontbreekt dan zie je dat zonder tellen in 233 milliseconden. Ronde stippen hebben een groot visueel oppervlak. Ze hebben een veelvoud van het aantal pixels dat cijfers hebben. Daardoor zijn ze ook waarneembaar wanneer ze iets buiten het oogfixatieveld liggen. Verder zijn stippen niet gebonden aan een lijn zoals een getallenlijn en kralen op een telraam. Je kunt zo het stippatroon goed passen in het cirkelvormige oogfixatieveld. Verder geeft kleur nog een de mogelijkheid om in de stippen getal­patronen te verbeelden. Tot slot geeft een lege stip, een ring, een goede verbeelding van de nul, die rare cruciale snuiter ). Met stippen is zo de nul eenvoudiger te verbeelden dan op de getallenlijn en met telramen. Kortom met stippatronen kun je getallen zeer oogvriendelijke verbeelden ).

Alle informatie om 8+5=8+2+3=13 met breken om 10 uit te rekenen is in het oogfixatieveld aanwezig

Verbeelding 69.


8.3.5 Oogvriendelijk met markante patronen

Mensen kunnen zeer goed gezichts­uit­drukkingen waarnemen en interpreteren. Na 3 maanden reageert een baby al op een bekend gezicht Zie je niet snel genoeg aan het gezicht van de leider dat hij boos begint te worden dan heb je minder kans op overleven. Niet alleen mensen overigens. Schapen bijvoorbeeld ook. Schapen willen zich niet vergissen tussen een witte schapenkop en een witte wolvenkoop. Ook zij kunnen goed patronen herkennen en weten precies welk gezicht bij de kudde hoort. Dus heeft een evolutie van miljoenen jaren een oog gebouwd dat complexe figuren zeer goed kan waarnemen en voor een deels zelfs geïnterpreteerd naar de hersenen stuurt. Het herkennen van complexe, oog- en hersenvriendelijk ontworpen stippatronen moet een zevenjarige dus wel aankunnen. Let wel, het gaat hierbij om 2D-veld-patronen en niet om 1D-lijn-patronen als reeksen en lijnen.

En dat herkennen gaat snel, binnen 233 milliseconden. Ook wanneer het patroon ingewikkeld is en delen van het patroon zich wat in de periferie van het oogfixatieveld bevinden. Die snelheid heeft wel een prijs. Die snelheid komt namelijk mede door partial identification. Het oog kijkt maar met een half oog. Het oog accepteert onvolledige informatie. Ah ik zie het al.
Ook neurologen hebben partial identification in de hersenen zien gebeuren Om de herinnering sneller en efficiënter naar de verschillende neuronen te krijgen gooien de hersenen ijskoud en zonder overleg, delen van de waarneming weg Partial identification zorgt er ook voor dat kinderen niet opmerken dat de volgende som geen plussom meer is maar een minsom is. Niet doen dus.

Markante patronen blijven herkenbaar ook wanneer een deel van de informatie ergens verloren gaat. Maar partial identification kan tot ongelukken leiden De ogen en de hersenen zijn al miljoenen jaren zeer geïnteresseerd in afwijkingen in patronen. Anders dan normaal dat betekent Mogelijk gevaar. In een veld kun je gemakkelijker afwijkingen maken dan op een lijn. De stip in het midden van dobbelsteen 5, die staat niet in het gelid en maakt het patroon markant. De ogen en de hersenen zullen die stip niet gemakkelijk laten verdwijnen.



 8.4 Verwoorden van handelingen  


8.4.1 Getalkennis

In dit boek is rekenen werken met velden ). Velden zijn 2D en laten zich eenvoudig verbeelden. Taal is 1D, een lijn. Getalkennis overbrengen met taal is dus misschien toch wel een beetje een platvis in een paling proppen. Verder is het ’oogfixatieveld’ van de taal het werkgeheugen. Niet bepaald een sterke tool ). Bovendien heb je bij leren het werkgeheugen nodig en bij rekenen ook.


8.4.2 Taalpsychologie

De grootste filosoof van de vorige eeuw is Wittgenstein. Hij ging filosofie studeren om zijn denken te bevrijden van de hekserij van de taal Hij was ook een paar jaar leerkracht. Op een basisschool. Het zal toch niet waar zijn? Rekenproblemen omdat de taal­meester de kinderen behekst. Een inspirator van Wittgenstein ging nog een stapje verder. Frege draaide het om. Hij probeerde een rekentaal te maken die de woordtaal kon vervangen. We zouden dan praten zoals we rekenen en onzin zou dan beter zichtbaar zijn. Tot zo ver de taalfilosofen. Snel weg daar.

Het waarnemen heeft een trial and error ontwerpperiode van zo’n 7 miljoen jaar. Een woordtaal gebruiken mensen hooguit 100 000 jaar. Verder is de ontwikkeling van de taal niet zozeer gestuurd door de biologische evolutie maar ook door de cultuur. Niet bepaald een geniale ontwerper, die cultuur.

Het zou dus kunnen zijn dat de verwoordingen van de getalkennis hier en daar niet optimaal is. Behalve de ontstaansgeschiedenis van taal tellen we in dit boek 86 rekenwoorden uit de onderbouw die wat de getalkennis of de psychologiekennis, onduidelijk of zelfs fout zijn.
Woorden die ongelukkig zijn:

De reken­meester moet niet alleen getalkennisles geven maar ook rekentaalles. In dit boek wordt 22 maal gesuggereerd dat de rekenmeester zijn mond moet houden. De verwoordingen in dit boek proberen voor kinderen duidelijk te zijn. Daarom wijkt de verwoording soms af van de woorden die in het rekenonderwijs gebruikelijk zijn. Dat is natuurlijk lastig voor de rekenmeester. Een voordeel is wel dat de rekenmeester ook eens weet hoe het kind zich voelt in die rekentaaltombola.


8.4.3 Taal en de hersenen

Er waren aanvankelijk zelfs psycho­logen die dachten dat denken, en dus rekenen, gewoon snel praten was. Zij constateerden dat er bij het rekenen minimale activiteit was in de stembanden. Instampen zou dus wel psycho­logisch verantwoord zijn! Overigens zou je op werkbladen dan wel sommen moeten geven met een uitkomst achter het is-teken. Maar deze Sapir-Whorf hypothese is nu wel geschiedenis Recenter definieert Gal’perin automatisering ook als een in wezen verbaal proces. Maar door verkorting en vergaande beheersing verdwijnen de verbale elementen (in: Van

We kunnen nu veel beter in de hersenen kijken dan toen. Dan zie je dat woordtalen van de mens, gebruik maken van de linker hersenen, de groeven van Sylvius Het rekenen speelt zich vooral af aan de voorkant, de prefrontale cortex. Voor rekenen gebruiken we andere delen van de hersenen dan voor taal Kennelijk dacht de evolutie: Zo, dat rekenen is een heel andere koek dan taal. Een logische koek. Dat past niet links bij woordtalen. Ik stop rekenen maar ergens voorin. Dat voorhoofd kan ik nog wel wat naar voren uitbouwen.


8.4.4 Verwoorden vóór of ná verbeelden?

De meeste leerpsycho­logische theorieën plaatsen visuele handelingen vóór verbale handelingen. De gedachte is dat tekst meer op denken lijkt dan een plaatje.Gal’perin doet dat niet en legt er zelfs veel nadruk op de verbaliserinng van de handeling vóór het verbeelden van de handeling aan te bieden Zijn stelling is dat je verbaal, de handelingen precieser kunt omschrijven dan visueel. Verder kan er visueel veel mis gaan. Dat laatste is waar. Dat blijkt hier ook uit de oogvriendelijkheid van rekenmaterialen . Maar er kan met woorden ook veel misgaan is hier te lezen.


8.4.5 Verhaaltjessommen

Willem Bartjens (1604) kwam al met verhaaltjesommen ( noot 4). Heel begrijpelijk. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger en daar moet je veel rekenen. Bartjens kwam met realistische sommen als: Na een plundering moet de kapitein 34 kazen en 5 paarden verdelen over .... Later kregen verhaalsommen het positieve frame van ’verhaaltjes’ en ’realistisch’. onderzocht die sommen in 1978 en concludeert dat verhaaltjes­sommen weinig effect hebben, veel onderwijstijd kosten en dat het wel erg moeilijk is een goed verhaaltje te maken. En dan tot slot. Na het basisonderwijs komt de algebraïsche methode aan de orde. Met die methode zijn verhaalsommen goed op te lossen. Sommen in een verhaal, misschien vooral verdwaal in de taal.


8.4.6 Rijm

Je zou kunnen denken dat rijm een zinloze associatie is en niet werkt en geen inzicht geeft. Echter. De hersenen zijn een netwerk dat als een idioot verbanden legt. Je zegt vork als je snel antwoord op de vraag: York, york, york, soep eet je met een ....De associaties van de taalhersenen zijn sterker en sneller dan de redeneerhersenen die weten dat dit onzin is. Verder is een rekenrijmpje toch weer een snipper die samen met andere snippers ergens in het leerproces een lichtje kan doen branden ). Het beste is natuurlijk een rijmende tekst die de uit te voeren handeling beschrijft. Hoe afwijkender en hoe gekker de tekst hoe beter. Afwijkingen maken indruk op de hersenen hebben we al eerder gezien. Natuurlijk is rijmend rekenen een methode zonder inzicht. Maar goed, het is wel een oplossing voor het teltrauma want het kind telt in ieder geval niet. Voor het kind kan het ook fun zijn, eens van dat tellen af te raken.

Dus ...

Tja, die rekentaal. Evolutionair gezien toch nog een brabbelende baby. En die rekenmeester. Psychologisch gezien toch wel een soort een Chinese leermeester Engels, die alleen Chinees spreekt.Misschien moet de reken­meester voor de kinderen een rekentaalmeester zijn, die de kinderen leert de rekentaalwoorden die de taalmeester bedacht heeft te begrijpen. Misschien moet hij gewoon zijn mond houden en sluwe leerbladen geven ). Dat alles is ook handig voor kinderen met een ’taal achterstand’. Misschien is de taal wel geen oplossing voor rekenproblemen maar een oorzaak.



 8.5 Verkorten van handelingen 


8.5.1 Leren met instampen en oefenen

Oefenen, herhalen, memoriseren, instampen kun je reken­meesters horen zeggen. Oefening baart kunst is er ook zo een. De veronderstelling is dat veelvuldig oefenen, de kennis opslaat de bibliotheek; het lange­termijn­geheugen. Klaar is reken­meester Kees Zo is dat. Euh, oh ja? Een verantwoording voor instampen is dat het geheugen een ladekast is waar je informatie instampt. In die geheugenladekastmetafoor zitten wat curiosa.

  • Op zich is het curieus dat je moet stampen in een lade die leeg is. Zoveel herinneringen hebben kinderen niet en onthouden kunnen zo over het algemeen heel goed.

  • Verder is het curieus dat sommen die kinderen tientallen malen ingestampt zijn, er maar niet inkomen. Stampen doe je immers als het gewoon niet lukt. Om in de metafoor te blijven: misschien moet je niet stampen maar malen.

  • Als het geheugen een ladekast is, hoe komt het dan dat je je eigen naam niet uit de lade kan krijgen?
Nog meer twijfels aan de ladekastmetafoor zijn te lezen in: noot 5) en noot 6). Metaforen voor psycho­logische processen zetten de leek eigenlijk altijd op het verkeerde been, concludeerden de psycho­logen

Je kunt instampen ook onderbouwen door de geheugenpsycholoog Ebbinghaus te noemen. doet dat. Maar Ebbinghaus is inmiddels al ruim 100 jaar dood. Hij onderzocht aanvankelijk inderdaad het onthouden van een rij zinlóze lettergrepen. Dat zijn die in te stampen sommen aanvankelijk ook.Ebbinghaus begreep al heel snel dat je lijsten met zinvólle woorden moest onderzoeken. Die woorden leren mensen veel sneller. Zinvolle woorden kunnen de hersenen koppelen aan aanwezige kennis De hersenen zijn een grote kenniskoppelmachine. Je zou kunnen zeggen dat Ebbinghaus juist zegt: Níét instampen maar de nieuwe kennis aansluiten bij bestaande kennis, bijvoorbeeld die van de kind­realiteit.

De basis moet niet een instamp­proces zijn maar de verkorting van een uitvoerige handeling. Het keiharde standpunt van de hersenfysiologie en denkpsycho­logie staat lijnrecht tegenover dat van de associatieven, de instampers en de tafeldreuners.Een procesgerichte houding (Hoe heb je het gedaan, zou het ook anders kunnen?) is verder een forse stap naar een ’nieuwe intelligentie’ waar steeds meer behoefte aan lijkt te zijn. Juist het leren rekenen leent zich goed voor het ontwikkelen van zo’n nieuwe intelligentie.

Dus ...

Hoe dan ook, het blijft vreemd. Het onzinnige Un, dun, dip. gaat er in als koek maar het logische 5+4=9 niet. Hebben de kinderen de sommen nooit gehad? Neen. In groep 3 tot en met groep 5 toch wel tientallen keren. En kinderen met ’rekenproblemen’, komen met ouderhulp, ’bijles’, etcetera mogelijk zelfs op honderden keren. De kinderen hebben de sommen vaak gezien. En dat instampen werkt kennelijk niet. Anders heette het wel geen instampen. Het is lastig op te lossen, dat tel-trauma. Mischien stampt instampen het tellen er niet het rekenen.


8.5.2 Leren met slome werkbladen



  • Wat nu als het kind een fout maakt? Sommen die het kind niet beheerst zou je het kind eigenlijk niet moeten geven. De fout heeft de tijd om zich in de hersenen te nestelen. Krijg de fout er dan maar weer eens uit.
  • Maakt het kind op een sommenblad een fout dan krijgt het een punt minder. Beter je best doen Jantje. Leer het kind dat een uitstekend antwoord is: Weet ik niet hoor, dat heb je me nog niet goed uitgelegd. Zonder nakijken kan hij aan de niet gemaakte sommen zien wat nog uitleg nodig heeft.
  •     ’Sloom’ leerblad, product gericht.

    Verbeelding 70.
    • Verder is het wat vreemd om sommen te gaan stampen zonder eerst werkbladen te geven mét de uitkomst. Je krijgt dan boerenkool zonder boerenkool. De taal­meester geeft wel eerst een werkblad mét de uitkomst.

    • Die ’werk’bladen zijn dus geen ’werk’bladen maar ’toets’bladen. Maar je moet eerst ’leer’bladen geven en dan gaan toetsen. Ten minste als je nog niet zeker weet dat de leerbladen hun werk gedaan hebben.
    De taal­meester
    geeft eerst
    een rijtje
    met uitkomst:
    En daarna
    een rijtje
    zonder uitkomst:
    hond = dog  hond = . . .
    kat = cat   kat= . . .
    Eerst de te leren kennis tonen,
    daarna de geleerde kennis toetsen.

    Verbeelding 71.
    • Onhandig is dat op slome leerbladen sommen met verschillende oplossingswijzen door elkaar staan. Bijvoorbeeld een gemakkelijke som als 3-1 staat vrolijk naast een som als 9-4 die het kind op vele slimme en minder slimme wijzen goed opgelost kan hebben. Als je 9-4 vraagt, dan moet 3-1 bovendien allang een gepasseerd station zijn.

    • Als alle sommen op een werkblad één type handeling vragen en die handeling wordt niet goed beheerst dan zie je dat direct: vrijwel alle sommen zijn fout. Als er hier en daar een foutje zit dan weet je dat de handeling beheerst wordt maar dat het kind zich af en toe nog vergist. Je hoeft dan niet alles na te kijken.

    • Dat geldt ook voor sommen die eerder op het werkblad al gemaakt zijn. Maakt het kind de sommen twee keer fout dan is dat twee keer geen fun. Maakt het kind beide sommen goed wat is dan de winst?

    Waarom zijn slome werkblad populair in het onderwijs en op het Internet? Een antwoord is dat het (reken)onderwijs product-gericht is ( ). Toetsenmakers, ouders en ook politici willen een goede uitkomst achter =. Maakt niet uit hoe maar wel snel. Dat kan denkt het kind en gaat tellend optellen. Het kind weet dan zeker dat het zonder risico een goede uitkomst krijgt.

    Dus ...

    Gezien de kanttekeningen en voor de duidelijkheid noemen we de gebruikelijke werkbladen hier ’slome’ werkbladen. Tegenover slome werkladen staan sluwe leerbladen ).


    8.5.3 Leren zonder fouten

    Men zegt wel: Van je fouten moet je leren. En dan ook: Fouten laten zien dat je het probeert Daar zegt men meestal niet bij wie van wiens fouten moet leren. Wat nu als het kind een fout maakt? Sommen die het kind niet beheerst zou je het kind eigenlijk niet moeten geven. De fout heeft de tijd om zich in de hersenen te nestelen. Krijg de fout er dan maar weer eens uit.Hier is de interpretatie dat de reken­meester moet leren van de fouten van het kind. Zit de opgave in de zone van naaste ontwikkeling en maakt het kind de som goed, dan is het: Zonder fouten kun je leren.

    Een fout kan een vergissing zijn. Zo kan er een visuele mismatch zijn omdat de toetsmaker sommen naast elkaar zet in plaats van onder elkaar ). Het kind zou de som goed doen als de termen onder elkaar stonden. Een fout kan ook ontstaan zijn omdat de taal­meester een taaltombola gemaakt heeft van tientallen en eenheden. Het kind schrijft 21 maar bedoelt 12. Dat is eenvoudig te constateren. Niets aan de hand eigenlijk, houd gewoon je mond en reken de som goed. Of zeg gewoon Kijk eens goed. De fout kan ook een begripsfout zijn. De som zit dan niet in de zone van naaste ontwik­keling van het kind. De som was te moeilijk. Dán houdt de reken­meester natuurlijk ook zijn mond. Je zegt niet tegen een kind dat gestressed is omdat het een te moeilijke som moet uit rekenen: Fout! Het is onwaarschijnlijk dat het kind de som met die ’uitleg’ wel goed zal doen. Zeg iets neutraals: mooi en schakel terug, bijvoorbeeld naar een bijhorend sluw leerblad dat het kind mogelijk net wel aan kan.

    Een sluwe manier om kinderen de pas naar een foute rekenhandeling af te snijden is multiple choice. Vraag je 10+20 dan kunnen foute antwoorden zijn: 3, 12 en 21. Laat je het kind kiezen tussen: 20, 30, 40, dan zijn die veelvoorkomende foute antwoorden uitgesloten ).


    8.5.4 Leren met het werkgeheugen

    De ogen hebben een oogfixatieveld en de hersenen hebben ook zo iets: het werkgeheugen. Het werkgeheugen is de mentale focus. Onhandig is wel, dat het werkgeheugen eigenlijk een wat chaotisch vergiet is. (noot 7). Ook onhandig is dat er grofweg maar zo’n zeven elementen in passen.

    Het goede nieuws is dat het leven vereenvoudigt als je het werkgeheugen goed verzorgt Zij vinden zelfs ,dat het werkgeheugen een vak op school moet worden. Baddeley heeft het werkgeheugen fors op de psycho­logische kaart gezet. Blind valt nog wel te leven. Als het werkgeheugen niet meer werkt dan is leven wel erg moeilijk blijkt uit ziekten die het werkgeheugen aantasten. noot 8).

    Uit neurologisch onderzoek blijkt dat het werkgeheugen bij kinderen die rekenen inderdaad harder werkt dan bij volwassenen Ook blijkt dat discalculie samengaat met defecten in het werkgeheugen Om goed te kunnen rekenen heb je meer aan een goed werkgeheugen dan aan intelligentie Veel onderzoekers constateerden een verband tussen het werkgeheugen en rekenvaardigheid op jonge leeftijd en later Met een beter werkgeheugen is het ook gemakkelijker verbanden te zien. Het werkgeheugen is ook meer een ’veld’-tool waar je iets mee kunt maken en ontdekken. Intelligentie is meer een ’punt’-tool, weetjes. Er zijn dus vele redenen om het werkgeheugen zo min mogelijk te belasten.

    Wat moet de rekenmeester dus niet doen?
    • Het werkgeheugen vullen met ingewikkelde irrelevanten verbeeldingen zoals bij realistisch rekenen ).
    • Hetzelfde geldt voor verhaalsommen ).
    • Hij moet vooral zijn mond houden. Zijn teksten vullen het werkgeheuden en het effect van die teksten is twijfelachtig ).
    • Verder moet de rekenmeester geen stress veroorzaken. Door stress vermindert de performance van het werkgeheugen sterk. Het is dan wat vreemd om kinderen te vertellen dat je gaat toetsen. Dat verhoogt de stress. Dat vermindert de performance van het werkgeheugen. Je weet dan niet of je stress of rekenvaardigheid meet. Het is een beetje als: We gaan een hardloopwedstrijd doen. Op een sintelbaan. Doe je hardloopschoenen en je sokken maar uit. Je meet dan naast snelheid waarschijnlijk ook eeltdikte. Als je toch toetst, doe het dan heimelijk. Zeker als er sprake is van een teltrauma. Als het kind goed wil presteren kiest het voor de zekere tel-methode en gaat het niet experimenteren.
    • Zeg niet dat het kind een (begrips)fout maakt. De rekenhaas.nl zet bij een foute uitkomst van het kind ijskoud de goede uitkomst op het scherm. Verder zegt de rekenhaas niets, tegen het kind dan.
    Wat moet de rekenmeester dus wel doen? De reken­meester moet dus zorgen dat het werkgeheugen leeg blijft.


    8.5.5 Leren met stapjes

    Elke leerideeën van en mastery learning van
    • Gagné spreekt over hierarchie. Je begint bij wat iedereen kan. Je moet volgens Gagné de leerstof ordenen op basis van de complexiteit van de handeling. 8+1 is eenvoudiger dan 8+5. Dus eerst sommen als 8+1 en dan sommen 8+5. Klaar is reken­meester Kees. De som 8+8 is echter zeer complex ). Je zult bijvoorbeeld eerst nul uit moeten leggen, plaatswaarde en eventueel breken om 10 en inwisselen.
    • Verder kan de reken­meester leerstof ordenen op basis van de empirische moeilijkheidsgraad. Maar dat is min of meer jezelf in de staart bijten. De empirische resultaten zijn namelijk het gevolg van het onderwijs. Geeft een handeling een probleem dan los je het probleem op door de handeling later in het leerproces te plaatsen. Je gaat het onderwijs niet veranderen. En maar hopen dat het kind inmiddels zo wijs geworden is, dat het dan wel snapt wat je bedoelt.
    Het probleem is niet dát je de leerstof op een rij moet zetten. Het probleem is hóé doe je dat. Gebruikelijk in het rekenonderwijs is grootte van de getallen, optellen en aftrekken.


    8.5.6 Leren met eerst kleine, dan grote getallen

    In het rekenonderwijs is het gebruikelijk leerstof in te delen op basis van de grootte van de getallen Pas na een of twee jaar komen de kinderen dan bij 1000.
    • Willem Bartjens begon gelijk met grote getallen. Op pagina 1 al tot 100 en op pagina 3 kwam hij met miljard
    • Nog verder terug in de tijd. Archimedes vond het na het getal 10 000 wel welletjes. Hij gaf die grote getallen geen namen als miljoen en miljard. Hij benoemde die grote getallen met een soort machten. Vervolgens ging hij met koningen in discussie over het aantal zandkorrels op dit strand, op al de stranden van de koning en op al de stranden van de wereld Archimedes kon zich die aantallen ook niet voorstellen. Maar hij kon ze wel berekenen en opschrijven.
    • Het argument tegen grote getallen is: Je moet kinderen geen grote getallen geven want 2 000 000 kunnen zij zich niet voorstellen. Nou ik ook niet. Alhoewel. Als je op één A4-velletje tien MAB-1000-kubussen zet, heb je het getal 10 000 verbeeldt. Met 10 velletjes en een nietje ben je al bij 100 000. Zo’n 1 000 000 getekende MAB-blokjes passen vast wel in een gang van de school. Vraag bollebozen eventueel hoeveel klaslokalen je daarmee kunt betegelen. Bepalen ze het proefondervindelijk, gaan ze uitgeknipte blokjes neerleggen of gaan ze rekenen? Als ze gaan rekenen dan kun je ze ook bezig houden met het volgende probleem. Wanneer zal een slak aankomt als hij kruipt naar een zwarte gat, hier 27 000 lichtjaar vandaan. Ik kan me dat niet voorstellen. Die berekening is verder aardige oefening voor inzicht in begrippen als eindeloos en oneindig. Desnoods alleen voor bollebozen. Inmiddels verbeeld je ook het vermenigvuldigen van tientallen.
    • Als je snel grote getallen aanbiedt dan verkleint het teltrauma. Grote getallen kun je niet meer tellend optellen.
    • Verder gaat het in de werkelijkheid niet om getallen. Getallen zijn een middel om aantallen te beheersen. Als je een machinist vraagt hoe hard hij rijdt dan zegt hij: Iets te hard. Ik wil de vertraging er uit rijden. Deze trein accepteert dat ik iets te hard rijdt. Of hij zegt: Te langzaam, ik loop vertraging op. Maar ik zit achter een goederentrein dus harder rijden heeft geenzin. Of hij zegt: De snelheid is goed. We komen op tijd en de snelheid is zuinig. Het juiste antwoord op de slakkenvraag is dus eigenlijk: Te ver, haalt hij nooit. of Wat een onzinvraag. Je lijkt Archimedes wel met zijn zandkorrels.
    • Het gaat niet om de grootte van de getallen. Het gaat om de systematiek. Als je alleen een onderdeel ziet dan begrijp je niet waar het om gaat. Als je alleen een wiel ziet dan kun je niet begrijpen wat een auto is. Grote getallen zijn geen probleem géén grote getallen, dát geeft problemen. Als je onder 20 blijft kunnen kinderen plaatswaarde niet begrijpen. Ze kunnen niet begrijpen dat je bij 10+8 niet hoeft te tellen. Die kan je gewoon op de nul leggen. Dus 10+1=12 en 1000+2 is ’ook’ 1002. Als 1 koe + 3 koeien = 4 koeien wat is er dan zo moeilijk aan dat 1 miljoen + 3 miljoen = 4 miljoen? De uitleg van het getallensysteem begint hier ijskoud in groep 4 juist met zeer grote getallen ).
    • Al sinds omstreeks 1800 begon de taal­meester met aap, noot, mies. Niet eerst met woorden met één letter, dan twee letters, dan drie letters, etc. Gewoon gelijk met woorden met vijf of meer letters. De globaal leesmethoden in plaats van eerst het alfabet leren. Nog steeds een goede methode. Tamelijk geniaal ook, ook psycho­logisch gezien, weten we nu.
    • En dan, tot slot, nog mooier. In dit boek staan 8 rekenproblemen die je kunt oplossen door sommen met grote getallen te geven.


    8.5.7 Leren met de zone van naaste ontwikkeling

    De Sovjetpsycho­loog Vygótskij introduceerde het begrip zone van naaste ontwikkeling. Opmerkelijk daarbij is, dat hij stelde dat je níét moet aansluiten bij waar het kind is maar je moet aansluiten waar het kind nét niet is De zone van naaste ontwikkeling houdt in dat de meester de kortere handeling niet vóór doet maar de leerstof zo aanbiedt dat het kind zelf de kortere handeling ontdekt. Het kind krijgt ook het idee dat het de verkorting zélf ontdekt heeft. Dat geeft fun. Die verkorting is niet een kortere tijd door sneller te werken. Een kortere weg betekent niet dat je harder gaat rijden. De verkorting is een ándere weg, bijvoorbeeld met minder stoplichten. Bij het rekenen is rekenend optellen korter dan tellend optellen. In dezelfde buurt zit: voort­schreidende schematisering van Treffers. De reken­meester buigt de oplossingen van het kind om in de oplossingen die de reken­meester wenst. Met een oogvriendelijk ontwerp stuurt de reken­meester de gewenste handeling via het oogfixatieveld het werkgeheugen van het kind in. Hier noemen we die visuele manipulaties steun.


    8.5.8 Leren met sluwe leerbladen

    ’Sluwe’ leerbladen concretiseren de zone van naaste ontwikkeling. Ze tonen alle noodzakelijke informatie binnen het oogfixatieveld en laten het kind daar handelingen mee uitvoeren die het kind al beheerst. De verkorte handeling is ook zichtbaar. Dit alles komt dus via het oogfixatieveld in het werkgeheugen. Bij sluwe leerbladen zie je die verkorting gebeuren. Vaak tot verbazing van het kind. En met fun. Het kind zegt ineens: Hee, dat is eigenlijk dezelfde. of Ja dat is dezelfde som maar gewoon één er bij. Geef het kind wel de tijd om dat te ontdekken. Houd vooral je mond.


    8.5.9 Leren met snippers


    Snipperen is hersenvriendelijk. De hersenen zijn geen ladekast waar je sommen instampt maar een netwerk dat de idiootste verbanden legt. Zo zijn ze, die hersenen. Het snipperen van leerstof is eigenlijk een sluw en bewust gebruik maken van wat van Parreren noemde incidenteel leren

    De conclusie voor de rekenmeester is: Versnipper de leerstof sluw over verbeeldingen in de verschillende leerfasen. En vooral natuurlijk ook: Wacht geduldig en houd je mond. Laat de hersenen van het kind zelf de getalkennis kortsluiten. Laat het kind zo zelf het lichtje aandoen zodat het zélf de geniale getalkennis in zijn werkgeheugen ziet. Een tweede conclusie is: Biedt leerstof niet op één manier aan maar op verschillende wijzen. Je hebt dan meer snippers die een verband hebben. Bijvoorbeeld termen naast elkaar zoals de methode wil maar ook termen onder elkaar zoals de ogen, de hersenen en de getallen willen. En de rekenmeester? Die is een soort Sluwe Piet die somsnippers strooit. Eerst in de klas, dan in de school noot 9).

    De noodzaak om leerstof versnipperd aan te bieden zou ook wel eens kunnen verklaren waarom het zo moeilijk is positieve effecten van training empirisch aan te tonen. De gegeven trainingen zouden wel eens te weinig snippers op het verkeerde moment aan kunnen bieden.

    Voor de onderbouwer is het kardinale getal met Rekenend optellen een mooi eindpunt. Voor de getalkennis is kardinaliteit het begin van het feest. Met de analoge klok kan het kind tijd beheersen en met grafieke complexe relaties tussen twee getallenlijnen. Dat is de basis voor complexere realiteiten zoals hypotheken en inflatie.



     8.6 Vermentaliseren van handelingen 


    Tja, het denken. Descartes, het getallengenie van Ik denk dus ik besta. geeft toe dat hij ook niet weet wat zijn denkende ik is Ook komt dat overeen met de huidige cognitieve psycho­logie die toch eigenlijk ook nog steeds niet weet wat intelligentie is Het goede nieuws is dat de hedendaagse neurologie veel vooruitgang heeft geboekt. Vast staat dat de hersenen bestaan uit pakweg 100 miljard verbonden neuronen. De hersenen zijn geen ladekast en zeker ook geen logiche redeneermachine. De hersenen zijn gewoon een associeermachine die als een idioot alles aan alles koppelt. Het resultaat is een (ongecensureerde) droom, onzin, een grap of een geniaal idee. Je zegt vork als je snel antwoord op de vraag: York, york, york, soep eet je met een .... De associaties van de taalhersenen zijn sterker en sneller dan de redeneerhersenen die weten dat dit onzin is.

    Lastig is dat de emotie de grootste vinger in die associatiepap heeft en de logica een heel klein pinknageltje. Een geluk voor het rekenen is dat de emotie niet zo geïnteresseerd is in getallen.
    Typerend is de ’ontdekking’ van . Zij schreven ruim 30 jaar na Baddeley een bijbel over het denken: The evolution of modern thinking. Een tamelijk doorwrochte weten­schappe­lijke zoektocht naar het denken van de mens. Tot hun eigen verbazing ontdekten ze dat het denken zich afspeelt in: ...
    het werkgeheugen.



    Voetnoten:



    1) Hoe mensen dachten, denken en gaan denken
    www.humanefficiency.nl/psychologie/hoe_denken_mensen.php

    2) Teken je de zichtbare werkelijkheid of de onzichtbare essentie?
    http://www.humanefficiency.nl/icon_design/werkelijkheid_title.php

    3)   Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife.
    http://www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PD

    4) De wat mistige wordcloud rond verhaaltjessommen omvat woorden als: (rijke) context sommen/ opgaven, realistisch rekenen, redactiesommen, verhaalsommen. En dan verbeeld of verwoord.

    5) Metaforen zijn valkuilen die niet opvallen
    http://www.humanefficiency.nl.psychologie/metaforen.php

    6) Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden.
    http://www.humanefficiency.nl/psychologie/leren_onthouden_instampen.php

    7) Het werkgeheugen wordt vaak vergeten
    www.humanefficiency.nl/psychologie/werkgeheugen.php

    8) Het werkgeheugen wordt vaak vergeten
    www.humanefficiency.nl/werkgeheugen.php

    9) Leren rekenen en therapie in de supermarkt
    https://www.humanefficiency.nl/rekenen/leren_rekenen_kassa.php

    Dit hoofdstuk

    8.1 Welke psychologiekennis 
          1 In de VS
          2 De Sovjets en de Utrechters
    8.2 Vermaterialiseren van handelingen
    8.3 Verbeelden van handelingen
          3 Oogvriendelijk
          4 Oogvriendelijk met een goede pasvorm voor het oogfixatieveld
          5 Oogvriendelijk met markante patronen

    8.4 Verwoorden van handelingen

          1 Getalkennis
          2 Taalpsychologie
          3 Taal en de hersenen
          4 Verwoorden vóór of ná verbeelden?
          5 Verhaaltjessommen
          6 Rijm

    8.5 Verkorten van handelingen

          1 Leren met instampen en oefenen
          2 Leren met slome werkbladen
          3 Leren zonder fouten
          4 Leren met het werkgeheugen
          5 Leren met stapjes
          6 Leren met eerst kleine, dan grote getallen
          7 Leren met de zone van naaste ontwikkeling
          8 Leren met sluwe leerbladen
          9 Leren met snippers

    8.6 Vermentaliseren van handelingen


    Andere hoofdstukken



    Literatuur:


    Koster, (1975). De ontwikkeling van het getalbegrip op de kleuterschool. Een onderzoek naar de effekten van enkele trainingsprobramma's. Groningen: Verenigde Reproduktie Bedrijven.
    Parreren, C.F. van, (1981). Onderwijs­proceskunde, Leerpsychologie en onderwijs 5. In: Parreren, C.F. van, Groningen: Wolters-Noordhoff.
    Zinchenko, V.P. & Gordon, V.M. (1981). Methodological Problems in the psychological Analysis of Activity. In: Zinchenko, V.P. & Gordon, V.M. , pag. 72-133.
    Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M. (1972). Sovjetpsychologen aan het woord, Leerpsychologie en onderwijs 2. In: Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M.Groningen: Wolters-Noordhoff NV.
    Eerde, H.A. van, (1996). Kwantiwijzer. Diagnostiek in reken-wiskundeonderwijs. Tilburg: Zwijssen.
    Eerde, H.A.A. van, & L.W.M. Verhoef, (1978). Analyse van het optellen en aftrekken op de basisschool. Pedagogische Studiën. Vol, 55, pag. 354 - 367.
    Berg, W. van den, Eerde, D. van; Jong, R., (`1992).Kwantiwijzer voor leerkrachten [1992-1996]. Tilburg: Zwijsen.
    Verhoef, L.W.M. (2009). Why designers can’t understand their users. Developing a systematic approach using cognitive psychology. Utrecht: Human Efficiency.
    Berg, W. van den, Eerde, D. van; Jong, R., (1992). Kwantiwijzer voor leerkrachten [1992-1996]. Tilburg: Zwijsen.
    Vroon, P. (1980). Intelligentie. Over het meten van een mythe en de politieke, sociale en onderwijskundige gevolgen. Baarn: Ambo.
    Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
    Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M. (1972). Sovjetpsycho­logen aan het woord Leerpsycho­logie en onderwijs. Groningen: Wolters-Noordhoff NV.
    Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
    Verhoef, L.W.M. (2009). Why designers can’t understand their users. Developint a systematic approach using cognitive psycho­logy. Utrecht: Human Efficiency.
    Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 177.
    Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 22.
    Mussen, P.H., Conger, J.J. & Kagan, J., (1970). Child Development and Personality. New York, etc.: Harper International. Pag. 221.
    Rasmussen, A. , Zuccac, R., Johansson, F., Jirenheda, D., & Hesslowa, G. (2015). Purkinje cell activity during classical conditioning with different conditional stimuli explains central tenet of Rescorla­Wagner model. Pnas, November 10, 2015 doi: 10.1073/pnas.1516986112.
    Keizer, B., (2021). Leven en werk van Ludwig Wittgenstein. Amsterdam: Boom. Pag. 25. Een NRC-bespreking van dit boek: nrcwebwinkel.nl/leven-en-werk-van-ludwig-wittgenstein
    Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF
    Clark, H.H. & Clark, E.V. (1977). Psychology and language. An introduction to Psycholinguistics. New York: Harcourt Brace Jovanovich inc.
    Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M. (1972). Sovjetpsychologen aan het woord Leerpsychologie en onderwijs. Groningen: Wolters-Noordhoff NV.
    Clark, H.H. & Clark, E.V. (1977). Psychology and language. An introduction to Psycholinguistics. New York: Harcourt Brace Jovanovich inc.
    Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
    Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M., (1972). Sovjetpsychologen aan het woord. Leerpsychologie en onderwijs 2. Groningen:Wolters-Noordhoff NV.
    Wolters, W., (1978). Van rekenen naar algebra.
    Verschaffel, L., (2022). Veertig jaar onderzoek over vraagstukken en contextopgaven: wat hebben we geleerd? Panama conferentie, 30 juni - 1 juli 2022, Zeist.
    Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica.
    Vroon, P. & Draaisma, D., (1985). De mens als metafoor Over vergelijkingen van mens en machine in filosofie en psycho­logie. Baarn: Ambo.
    Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 182.
    Deese, J., (1967). General psycho­logy. Boston: Allyn and Bacon, Inc. Pag.220.
    Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 91.
    Alloway T, & R. Alloway, (2013). New York etc: Simon & Schuster paperbacks.
    Baddeley, A., (1987). Working memory. Oxford: Oxford University Press.
    Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
    Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
    Alloway T, & R. Alloway, (2013). New York etc: Simon & Schuster paperbacks. Pag. 79 en 80
    De Vita, Chiara, Costa, H.M., Tomasette, C. & Passolunghi, M.C. (2021). The contributions of working memory domains and processes to early mathematical knowledge between preschool and first grade.
    Psychological Research https://doi.org/10.1007/s00426-021-01496-4
    Koster. K.B., (1975). De ontwikkeling van het getalbegrip op de kleuterschool. Een onderzoek naar de effekten van enkele trainingsprobramma's. Groningen: Verenigde Reproduktie Bedrijven.
    Ausubel D.P. (1963). The psycho­logy of meaningful verbal learning. New York/London:Grune & Stratton.
    Block, J.H. 1971 Mastery Learning Theory and Practice New York etc. Holt, Rinehart and Winston Inc.
    Gagné, R.M. (1973). The conditions of learning. London etc: Holt, Rinehart & Winston.
    Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
    Beckers, D., & M. Kool. (2004). Willem Bartjens De Cijfferinghe (1604). het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren.
    Kaplan, R. (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.
    Parreren, C.F. van, & Carpay, J.A.M., (1972). Sovjetpsycho­logen aan het woord. Leerpsycho­logie en onderwijs 2. Groningen:Wolters-Noordhoff NV.
    Parreren, C.F. van. (1968). psychologie van het leren. Deel I, verloop en resultaten van leerprocessen. Arnhem: Van Loghum Slaterus.
    Jong, S. de. (2022). Descartes nam de angst voor wetenschap weg. NRC wetenschap. 23 juli 2022.
    Vroon, P. (1980). Intelligentie. Over het meten van een mythe en de politieke, sociale en onderwijskundige gevolgen. Baarn: Ambo.
    Coolidge, F. & Wynn, T. (2018). The Rise of Homo sapiens. The Evolution of Modern Thinking. Oxford: University Press. Pag. 177 en 280.
    asdf