psychologie_kennis

  10 Psychologie­kennis  

www.humanefficiency.nl/rekenen/psychologie_kennis.php 

 De psychologie bederft je feestje

Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen?		  
132 Pagina’s.
111 Afbeeldingen van handelingen.
190 Index entries
69 Referenties.
76 Alternatieven voor
onduidelijke rekenwoorden.

Met klik naar inhoudsopgave.


  10.1 Welke psychologiekennis?  

In het rekenonderwijs zit weinig psychologie. Dat is wel begrijpelijk. De psychologie heeft zijn kennis voor ontwerpers niet zo begrijpelijk geformuleerd
(Verhoef, 2009).
Verhoef, L.W.M. (2009). Why designers can ’t understand their users. Developing a systematic approach using cognitive psychology. Utrecht: Human Efficiency.

Geen link.

Heb je als ontwerper bovendien iets moois opgeleukt en ontworpen dan komt de psycholoog met vervelende vragen als:
  • Hoe zet je hem aan?
  • Wat is het?
  • Wat heb ik er aan?
  • Hoe zet ik hem uit?
  • Wat is het eigenlijk?
Bovendien zijn er verschillende visies op wat rekenen is. Het vorige hoofdstuk ging over wat rekenen nu eigenlijk is: realistisch of traditioneel. Ook voor de psychologie zijn er verschillende visies op wat psychologie nu eigenlijk is. Die psycho­logische visies bepalen hoe je kinderen leert rekenen. Dus eerst de hoek waaruit hier de psychologische wind waait.
1) De Amerikanen

In de VS probeerde de Stimulus-Response-psychologie de black box ’mens’ te begrijpen door kwanti­ficering van in- en outputs. De Ameri­kanen dachten aanvankelijk dat alle kennis dat soort puntkennis was
(§ 9.2.1)

Klik voor meer over: puntkennis

. Gewoon koppelingen leren:
  • Baas zegt Geef poot
  • Hond: Tilde toevallig zijn poot op.
  • Baas: Geeft koekje.
  • Hond denkt: Hé, ze geeft me dan een koekje.
  • Hond denkt: Die moet ik even onthouden.
 Leren rekenen is dus:
  • Ze zegt 1+1= ...
  • Ik zei toevallig twee want het liedje is een, twee, drie, etc.
  • Hé, ze geeft me dan een krul en een plakplaatje.
  • Die moet ik even onthouden.
Om te weten wat denken is voer je dan als psycholoog gewoon uitvoerige statistische analyses uit op antwoorden en reactietijden. Europa nam deze aanpak over.
Parkman & Groen (1971)
Parkman, J.M. & Groen, G.J. (1971). Temporal aspects of simple additions and comparison. In: Journal of Experimental Psychology, vol. 89, p. 333-342.

Geen link.

onderzochten zo uitvoerig het optellen en aftrekken. Je ziet die psychologie tegenwoordig wel in toetsen en bij het instampen van opgaven
(§ 10.4.1

Klik voor meer over: instampen

). In de VS was de beoordeling van het gedrag dus productgericht en kwantitatief. De toenmalige Schie­damse Rekentest bepaalde het aantal fouten dat het kind maakte en de reactietijd
(Heesen et al. 1971).
Heesen, H., Strellitski, D & Wissel, A. van der. (1971). Schiedamse Rekentest. Wolters-Noordhoff.

Geen link.

Klaar is Kees.		 De norm voor de beoordeling is groeps­statistiek: (gemiddelden, percentielen, geslaagd, gezakt, andere school). Deze aanpak past toevallig ook bij klassikaal onderwijs. En de psycholoog vond dat prima. Gewoon flink rekenen met fouten en reactie­tijden.

 

De scores van een productgerichte aanpak zijn ook wat de cultuur vraagt, namelijk:
In al deze gevallen is het de cultuur die bepaalt hoe het onderwijs de gestelde doelen moet bereiken (
Hoe mensen dachten, denken en gaan denken. Een superbrein hebben we al maar die bedreigt onze cultuur. Bepaalt de cultuur of bepaalt het brein zelf hoe het gaat denken? Hoe krijgt de mens meer control over zijn emotie, zijn ratio en zijn cultuur.

Met klik naar: Hoe mensen dachten, denken en gaan denken

noot 1). Het belang­rijkste verschil is dat de test nu een toets heet. 		Een gevolg van de productgerichtheid is dat kinderen denken: Bekijk het maar met je ’slimme’ meerlingen, één-er-bij’s, omdraaiers en breken om 10. Ik blijf gewoon op mijn vingers tellen. Dan weet ik zeker dat ik altijd en eenvoudig een goede uitkomst krijg. Dat is wat jullie willen, een goede uitkomst. Vooral niet experi­menteren met nieuwe maar handiger handelingen en mogelijk wat beginners­fouten. Vooral bij gehoorzame 'pleasers' kun je deze strategie zien, 'intelligent' of niet
(§ 4.2.1

Klik voor meer over: tellend blijven optellen

).

Liever goed geteld op de vingers dan slim gerekend met een foutje.
2) De Sovjets en de Utrechters

De 'Utrechtse rekenschool' begon bij School­pedagogiek (Bijl, Teunissen en
Koster, 1975,
Koster, K.B., (1975). De ontwikkeling van het getalbegrip op de kleuterschool. Een onderzoek naar de effekten van enkele trainingsprobramma's. Groningen: Verenigde Reproduktie Bedrijven.
Pag. 2.
Geen link.

RUU). Van Parreren van het psychologisch Labora­torium (RUU) keek niet naar de VS-psychologie maar naar de handelings­psycho­logie in de Sovjet-Unie
(Van Parreren, 1981).
Parreren, C.F. van, (1981). Onderwijs­proceskunde, Leerpsychologie en onderwijs 5. In: Parreren, C.F. van, Groningen: Wolters-Noordhoff.

Geen link.

Op de School advies­dienst van Utrecht ontwikkelde Nelissen een rekenmethode. Ook was er contact met Freudenthal (RUU, IOWO, nu Freudenthal instituut,
Van Eerde, 1996).
Eerde, H.A. van, (1996). Kwantiwijzer. Diagnostiek in reken-wiskundeonderwijs. Tilburg: Zwijssen.

Geen link.

 Onder leiding van Van Parreren is geprobeerd de handelings­psycho­logie uit te werken met een focus op het leren rekenen. Juist het leren rekenen leent zich goed voor het ontwikkelen van een handelings­aanpak.
Nadat het optellen en aftrekken in Utrecht enigszins in kaart gebracht was
(Van Eerde & Verhoef, 1978)
Eerde, H.A.A. van & L.W.M. Verhoef, (1978). Analyse van het optellen en aftrekken op de basisschool. Pedagogische Studiën. Vol, 55, pag. 354 - 367.

Geen link.

werd de Kwantiwijzer door Onder­wijs­sociologie (Erasmus Uni­versi­teit) geïmplementeerd
(Van den Berg et al., 1992).
Berg, W. van den, Eerde, D. van; Jong, R., (1992). Kwantiwijzer voor leerkrachten [1992-1996]. Tilburg: Zwijsen.

Geen link.

 Dit boek past in de traditie van de Utrechtse ’rekenschool’ en de Utrechtse toegepaste cognitieve psychologie
(Verhoef, 2009).
Verhoef, L.W.M. (2009). Why designers can’t understand their users. Developing a systematic approach using cognitive psychology. Utrecht: Human Efficiency.

Geen link.

Wat houdt die hande­lings­psycho­logie nu in? De handeling­spsycho­logie ziet de mens niet als een black box maar als een doelgericht hande­lend wezen. De basis van het denken is de materiële handeling. Een mens leert mentale (hoofd-) reken­handelingen door te beginnen met gevisualiseerde mentale optel­handelingen
(Parreren & Carpay, 1972).
Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. (1972). Sovjetpsychologen aan het woord, Leerpsychologie en onderwijs 2. In: Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. Groningen: Wolters-Noordhoff NV.

Geen link.

 Er zijn motorische, visuele, verbale, geheugen- en mentale reken­handelingen met concrete blokjes maar ook handelingen met abstracte begrippen zoals getallen. De mens voert deze handelingen uit met zijn de spieren, de ogen, het taal­vermogen en de hersenen. Je stuurt die handelingen met woordelijke uitleg en afbeeldingen. Freudenthal had het niet zo op psychologen maar met van de handelingspsycholoog van Parreren heeft hij jarenlang de Kwantiwijzer begeleid. Het actieve van de handeling en het goed kijken naar het rekenende kind sprak hem waarschijnlijk wel aan
(1973).
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.

Geen link.
Pag. 57, 110.
Het woord 'handeling' kun je opvatten
Vugt & Wüsten (2009)
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers. Pag. 91

Geen link.

Een materiële handeling is dan 5 blokjes en 4 blokjes tellend optellen.

Blokjes en tellen, dat is dan de stereotype uitleg van een materiële handeling. Of dat blokjes tellen een materiële versie is van het mentale rekenen is overigens nog maar de vraag. Ook is het nog maar de vraag of je het leren rekenen moet beginnen met (materiële) optelhandelingen.
Voor de handelingspsychologie is de norm voor de beoordeling van de handeling niet de statistiek van de groep maar het doel van de handeling: Zijn dit goede handelingen om het doel te bereiken? De reactietijd is bij het aanvankelijk rekenen dan interessanter dan een goed antwoord. De reactietijd verraadt de methode: ’dom ’ tellend optellen of ’slim ’ rekenend optellen.

Liever slim maar fout gerekend dan goed op de vingers geteld.

Het analyseren en beoordelen van hande­lingen in een leerproces is wel lastiger dan een computer groeps­statis­tieken met goed/fout te laten berekenen. Misschien is die handelings­aanpak voor het rekenen mede daarom eigenlijk nooit echt goed in het onderwijs gekomen. Het onder­wijs en de test­psycho­logie moesten ook erg wennen aan die aanpak. Het schuurt ook tussen traditio­nele toets­psychologie en de handelings­psychologie. Dat is hier tussen de regels wel te lezen. Die schuurpunten tasten overigens wel de begrips­validiteit van de toets aan, zo leert de testbijbel
De psycho­logische test van Drenth (1968)


Drenth, P. (1968). De psycho­logische test. Een inleiding in de theorie van de psycho­logische test en zijn toepassingen. Arnhem: Van loghum Slaterus. Eerste druk 1966.

Geen link.

al 57 jaar. Ook als je testen ineens toetsen gaat noemen zijn die validi­teits­problemen er nog
(De Groot & van Naerssen, 1969).
De Groot, A.D., R.F. van Naerssen, (1969). Studietoetsen construeren, afnemen, analyseren. Den Haag: Mouton.

Geen link.



  10.2 Hoe toon je handelingen?  

Visualisering moet. Een leerboek zonder plaatjes kan niet. De conclusie is dan dat er kabouters en padden­stoelen in het rekenboek moeten. Maar waarom zitten er zoveel teksten in het reken­onderwijs? En waarom heeft het reken­onderwijs dan een voorkeur voor verbale lijn­handelingen als en rijgen en visuele lijnhandelingen met de getallenlijn, telramen, termen naast elkaar
(§ 9.2.3

Klik voor meer over: lijnkennis

)? Dat visualisering moet staat niet ter discussie. Hoe je moet visualiseren is kennelijk lastig.

Een plaatje zegt meer dan 1000 woorden.
Oh ja.
Waarom zeg je dat dan?
In dit hoofdstuk dus niet zozeer dát je afbeeldingen moet hebben maar hoe je getalkennis oogvriendelijk afbeeldt. Dat is af te leiden uit de wijze waarop het oog, de taal, het geheugen en de hersenen werken. Dat is dus toegepaste cognitieve psychologie
(Verhoef, 2009).
Verhoef, L.W.M. (2009). Why designers can ’t understand their users. Developing a systematic approach using cognitive psychology. Utrecht: Human Efficiency.

Geen link.

Psychologisch is er niet zoveel verschil tussen een operator die met zijn ogen en hersenen ziet dat zijn kern­centrale het niet meer snapt. Het zijn in principe precies dezelfde ogen en hersenen als die van een kind dat onbegrijpelijke getallen ziet. 		Bovendien is de kennis van kerncentrales en getallen nogal hard. De kennis is logisch en de emotie is er niet zo in geïnteres­seerd.

De psycholoog heeft het geluk dat als je niet naar hem luistert,
je ongelukken krijgt en vooral ook dodelijke ongelukken.

 


10.2.1 Met een pasvorm voor het oog

1) Het hele blikveld

Het totale bereik van het netvlies is zo’n 140° (afb. 101). Kortom, de ogen zijn veldkijkers. Het hele oogveld moet immers bewust in het veld van de werkelijkheid zoeken Waar hangt rijp fruit? en vooral ook: Beweegt er daar wat rechtsonder? Je moet in je ooghoek kunnen zien dat er een tijger of een auto aankomt. Het aantal receptoren neemt weliswaar af naar de zijkant van het blikveld maar de gevoeligheid voor beweging neemt juist toe. Voor het rekenen is die periferie van het blikveld echter niet zo belangrijk.

Verdeling van receptoren over het netvlies

Afbeelding 101.
2) Het oogfixatieveld

Aanvankelijk vouwde de mens zich om apparaten heen. Nu vouwen ontwerpers van auto’s en cockpits controls om de mens heen. De meest gebruikte controls liggen in het handbereikveld. Zo is er ook een ’oog-bereik-veld’: het oog­fixatie­veld. Dit veld ligt in het centrum van het netvlies. Het is een cirkel met zeer veel receptoren (afb. 101,
Krech, et al., 1968).
Krech, D., Crutchfield, R.S. & Livson, N. (1969). Elements of psychology. New York: Alfred A. Knopf inc.

Geen link.

 Het oog­fixatie­veld heeft een afmeting van 10°-15°. De mens richt het oog­fixatie­veld op objecten die hij nader wil onderzoeken. Het oog­fixatie­veld identificeert: Ah, ja, het is een rijpe appel of Ja, het is inderdaad een hongerige aanstormende tijger. Goed gezien periferie!
Met het oogfixatieveld kan een mens ongeveer 12 - 18 letters tekst waar het oog op fixeert lezen en deels raden. Het oog ziet ook de letters een regel hoger. Maar ja, die heeft het oog al gelezen en zijn nu niet meer relevant. Het oog ziet dus ook letters van een regel lager. Maar ja, die zijn pas bij de volgende regel relevant. Van alle letters die het oog kan zien is grofweg 30% relevant. Kortom het lijnvormige schrift past niet zo goed in het cirkelvormige oog­fixatie­veld.

Waarom kun je niet zien dat dit figuur niet kan?

Afbeelding 102.
 Het effect van essentiële informatie buiten het oogfixatieveld is te zien in het onmogelijke lijn­vormige figuur van afbeelding 102. Afbeelding 103 toont hetzelfde figuur maar verkleint zo dat de figuur wel in het oogfixatieveld past. Dan is onmiddellijk te zien waarom afbeelding 102 niet kan. Dat gebeurt dus ook me lange rekenafbeeldingen zoals telramen en getallenlijnen.
(§ 2.3.3

Klik voor meer over: telraam

). Rekenhandelingen met die middelen passen niet in het oogfixatieveld. Je moet dus wel gaan tellen.

Hier kun je wel zien waarom afbeelding 102 niet kan

Afbeelding 103.
Voor het rekenen is vooral van belang dat nood­zake­lijke informatie ín het oog­fixatie­veld aanwezig is. Anders ’zie’ je de kortere handeling niet.

Een lijnverbeelding van getalkennis

Afbeelding 104.
Het oog­fixatie­veld is cirkelvormig dus een cirkelvormig ontwerp past het oog goed. Met stippen kun je het cirkel­vormige oog­fixatie­veld goed vullen. Daar komt nog bij dat stippen zelf veel oppervlak hebben maar toch op een klein oppervlak gecombi­neerd kunnen worden. Het kritische detail is dus groot, groter dan bij priegelige letters. De lees­afstand tot stippen is daardoor ook groot. Je kunt met het ontwerp van stippen dus ook wel een beetje buiten het oog­fixatie­veld gaan. En kinderen met nog niet ontdekt slecht zicht, die hebben daar bij het stiprekenen dan geen last van. In afbeelding 105 is te zien hoe je iets ingewikkelds als 8+5=8+2+3=10+3=13 goed binnen één oog­fixatie­veld kunt afbeelden.

Alle informatie om 8+5=8+2+3=13 met breken om 10 uit te rekenen is in het oog­fixatie­veld aanwezig

Afbeelding 105.

www.rekenhaas.nl/b41.php



Met klik naar deze sommen.


10.2.2 Met markante kenmerken

De ogen en de hersenen zijn verder ook al miljoenen jaren zeer geïnteresseerd in afwijkingen van patronen. Anders dan normaal betekent immers: Mogelijk gevaar. Toen kerncentrales nog wel eens ontploften door menselijke fouten kwamen psychologen vrij snel met het voorstel om afwijkingen in het proces ook afwijkend te tonen.
Je kunt een afwijkende waarde laten opvallen door de fysieke waarde nul niet, zoals gebruikelijk, links onder te plaatsen maar door de gewenste waarde op 12 uur te zetten (het set point, afb. 106). Afwijkingen ziet het oog dan onmiddellijk.
    Welke koelwaterpomp functioneert niet goed?

Afbeelding 106.
In een veld kun je verder gemak­kelijker afwijkingen ontwerpen dan op een lijn. De stip in het midden van dobbelsteen 5, die staat niet in het gelid en maakt het patroon markant (afb. 107). Je kunt zelfs niet niet zien dat het vijf kralen zijn. Ook kun je stippenpatronen in een veld beeldender verwoorden. Zo kun je zeggen bij het aantal 5: Dat is 5 want hij heeft een stip in het midden van zijn lijf. Bij een getallenlijn is het moeilijker dit soort rijmpjes te maken.
    Kijk naar de stippen maar kijk niet wat het aantal is

Afbeelding 107.
Ook bij een rij van met kralen ligt dat anders. Een stip die er niet hoort, kun je zo maar over het hoofd zien, zoals in afbeelding 108.
    Twee rijen met 5 blauwe kralen?

Afbeelding 108.

 


10.2.3 Met patronen

1) De hoofdprijs

Zie je niet snel genoeg aan het gezicht van de leider dat hij boos begint te worden dan heb je minder kans op overleven. Een schaap wil zich niet vergissen tussen een schape­kop en een wolvenkop. Ook schapen kunnen goed patronen herkennen en weten precies welke schapenkop bij zijn kudde hoort. Kinderen trouwens ook. Na 3 maanden reageert een baby al op een bekend gezicht
(Mussen et al., 1970).
Mussen, P.H., Conger, J.J. & Kagan, J., (1970). Child Development and Personality. New York, etc.: Harper International. Pag. 221.

Geen link.

 De evolutie heeft dus voor zoogdieren in miljoenen jaren wijselijk een oog gebouwd dat complexe patronen zeer goed kan waarnemen en die voor een deel zelfs geïnterpreteerd naar de hersenen stuurt. Dat herkennen van een patroon gaat snel, binnen 233 milliseconden hebben de ogen het wel gezien. Ook wanneer het patroon ingewikkeld is en delen van het patroon zich wat in de periferie van het oog­fixatie­veld bevinden.
2) De kostprijs

Die snelheid van de waarneming heeft wel een prijs. Psychologen kunnen moeilijk een vinger krijgen achter dat soort complexe, razendsnelle en onzicht­bare processen. Ze worden daarbij ingehaald door niet-psycho­logen die dan komen met een term als intuïtief. Bijvoorbeeld intuïtieve gebruiks­vriende­lijk­heid. Dat klinkt heel sympa­thiek maar is moeilijk concreet te maken. Het volk weet niet dat intuïtief meestal gewoon betekent: Er is geen rekening gehouden met psychologische kennis (noot 2).De eerste fase van de ontwikkeling van het getalbegrip noemt Freudenthal overigens ook
(1973)
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 243.
Geen link.

de intuïtieve operatie. Daarbij gaat het om intuïtief wiskundige kennis. Hij maakt dat overigens wel concreet met voorbeelden van wiskundig correct handelen van kinderen. Die kinderen handelen wiskundig correct zonder dat ze de handeling geleerd hebben en zonder dat zij de handeling kunnen verwoorden. Ook hier rapporteren wel wiskundige handelen dat psychologisch lastig te verklaren is. Bijvoorbeeld bij kijkend optellen en het breken. Kinderen kunnen dat breken wel met stippen maar niet met cijfers. Hoe dan ook, dat soort kennis waar de psychologie moeilijk grip op krijgt, zou dus wel eens de (visuele) patroon­her­kenning kunnen zijn. Met die termen kunnen ontwerpers wel wat.
3) De kostprijs voor het rekenen

Die snelheid van de waarneming heeft wel een prijs: partial identification. Het oog kijkt maar met een half oog. Het oog accepteert onvol­ledige informatie. Ah ik zie het al, het zal wel een rijtje van 5 kralen zijn. Neurologen hebben die partial identification ook in de hersenen zien gebeuren
(Rasmussen et al., 2015).

Rasmussen, A. , Zuccac, R., Johansson, F., Jirenheda, D., & Hesslowa, G. (2015). Purkinje cell activity during classical conditioning with different conditional stimuli explains central tenet of Rescorla­Wagner model. Pnas, November 10, 2015 doi: 10.1073/pnas.1516986112.

Meer, click en ga naar: Pukinje cell activity

Om de herinnering sneller en efficiënter naar de verschillende neuronen te krijgen, gooien de hersenen dus ijskoud en zonder overleg, delen van de waarneming weg
(Rasmussen et al., 2015).
Rasmussen, A. , Zuccac, R., Johansson, F., Jirenheda, D., & Hesslowa, G. (2015). Purkinje cell activity during classical conditioning with different conditional stimuli explains central tenet of Rescorla­Wagner model. Pnas, November 10, 2015 doi: 10.1073/pnas.1516986112.

Geen link.

Partial identification leidt dan ook tot onge­lukken
(Reason, 2009).

Reason, J., (2009). Human error. Cambridge: University Press.

Geen link.

Partial identification zorgt er ook voor dat kinderen niet opmerken dat de volgende opgave géén erbij-opgave meer is maar een eraf-opgave is. Erbij-opgaven en eraf-opgaven moet je dus niet door elkaar plaatsen zou je zeggen. Zeker niet in een toets. Je wilt reken­vaardig­heid meten en niet partial identification. Als je het toch doet, presenteer het kleine visuele kritische detail dan opvallend (afb. 109).
    Toon kritische details opvallend

Afbeelding 109.

Als je rekenvaardigheid wilt meten meng erbij- en erafopgaven dan niet.

Dus ...

Een stippenpatroon van complexe getalsrelaties als 8+5=8+2+3=10 moet het oog dus wel kunnen herkennen. Zonder te tellen. Zeker wanneer het patroon oogvriendelijk is en wanneer het werkgeheugen niet belast wordt.

10.2.4 Met kleur

Kleur heeft vaak een decoratieve rol. Een jonge psycholoog vroeg eens aan een kerncentrale-psycholoog waarom zijn schermen in kleur waren. De kerncentrale-psycholoog glimlachte. Hij wist: Ah een vakgenoot. Hij antwoordde: Als we naar zwart-wit kijken en het volk thuis heeft een kleuren-tv dan hebben ze geen vertrouwen in de veiligheid van de kerncentrale. Vraag een psycholoog niet hoe je kleur moet gebruiken. He spoils the party. De psychologie weet inmiddels namelijk veel over kleur­waarneming. Zo hoor je vaak dat een nadeel van kleur is dat de kleurenblinden de informatie dan niet kunnen zien. Om te beginnen is het aantal ’echte ’kleurenblinden maar 0,003%. Zij zien alleen grijstinten.
Met ’kleurenblind’ wordt meestal mensen met een kleurendefect. Zo ziet 1% van de mannen het verschil tussen groen en rood niet goed. Dat probleem is redelijk op te lossen door ervoor te zorgen dat er voldoende helderheidsverschil is. Verder helpt een extra kodering, bijvoorbeeld het rode stoplicht altijd boven te plaatsen.
Naast kleur zijn er overigens wel meer waar­nemings­fysio­logische kenmerken van het keurenzien dan alleen ’kleuren­blindheid ’. Hier ligt de focus op de vraag: hoe gebruik je kleur?
  • Kleur dient vaak voor decoratie. Het moet ’bekken’ hoor je wel in de wereld van het design.
  • Kleur kun je ook gebruiken om termen te onder­scheiden bij stipopgaven en het leggen van een relatie tussen termen in aantallen en termen in cijfers (afb. 110).
    Sturen met kleur

Afbeelding 110.

Gebruik je kleur om te bekken of om te begrijpen?

  • Met kleur kun je ook goed 100-den, 10-en en 1-en in getallen onderscheiden. Groen bij groen is concreter en met kleur visueel sterker dan Tel de tientallen bij elkaar.
12
+34
=
Kleursturing voor 10-en en 1-en, termen onder elkaar

Afbeelding 111.

www.rekenhaas.nl/p122p.php



Met klik naar deze sommen.

 



  10.3 Hoe vertel je de handelingen?  

De vorige paragrafen over waarneming hadden dus goed nieuws voor het leren rekenen. Wat kan de psychologie zeggen over de taal.

10.3.1 Past taalpsychologie

1) Past de taal de getallen volgens de evolutie?

Het waarnemen van de mens heeft een trial and error ontwerpgeschiedenis van zo’n 7 miljoen jaar. De woord­taal daarentegen gebruiken mensen hooguit zo’n 50 000 jaar schat taalhistoricus
Smits (2009).
Smits, R. (2009). Dageraad. Hoe taal de mens maakte. Nieuw Amsterdam Uitgevers: Amsterdam.
Pag. 173
Geen link.

Verder is de ontwikkeling van de taal niet zozeer gestuurd door de min of meer logisch werkende biologische evolutie maar vooral ook door de meer emotie­gedreven cultuur. Oei.
2) Past de taal de getallen volgens de filosofie?

De grootste filosoof van de vorige eeuw is Wittgenstein. Hij ging filosofie studeren om zijn denken te bevrijden van de hekserij van de taal
(Keizer, B., 2021).
Keizer, B., (2021). Leven en werk van Ludwig Wittgenstein. Amsterdam: Boom. Pag. 25. Een NRC-bespreking van dit boek: nrcwebwinkel.nl/leven-en-werk-van-ludwig-wittgenstein

Geen link.

Hij was ook een paar jaar leerkracht. Op een basisschool. Het zal toch niet waar zijn? Rekenproblemen omdat de taal de kinderen behekst met worden. Oei.
Een inspirator van Wittgenstein ging nog een stapje verder. Frege draaide het om. Hij maakte een rekentaal die de woordtaal kon vervangen. We zouden dan praten zoals we rekenen en onzin zou dan beter zichtbaar zijn. Tot zo ver de taalfilosofen. Snel weg daar.
Ontstaan rekenproblemen doordat de taal het rekenen behekst?
3) Past de taal de getallen volgens de taalpsychologie?

Er waren aanvankelijk psycho­logen die dachten dat denken, en dus rekenen, gewoon snel praten was. Zij consta­teerden dat er bij het rekenen minimale activiteit was in de stem­banden. Instampen van sommen zou dus wel psycho­logisch verantwoord zijn! Maar deze Sapir-Whorf hypothese is nu wel geschiedenis
(Clark, & Clark, 1977).
Clark, H.H. & Clark, E.V. (1977). Psychology and language. An introduction to Psycholinguistics. New York: Harcourt Brace Jovanovich inc.
Pag. 554.
Geen link.

Bij de cognitieve ontwikkelingspsycholoog Piaget
(1969)
Piaget, J. (1969). Zes psychologische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.
Pag. 107.
Geen link.

is de gedachte zelfs omgekeerd. De taal is ondergeschikt aan het denken en de motoriek.
4) Past de taal de getallen volgens de neurologie?

We kunnen nu beter in de hersenen kijken dan vroeger. Dan zie je dat woordtalen van de mens, gebruik maken van de linker hersenen, de groeven van Sylvius
(Clark, & Clark, 1977).
Clark, H.H. & Clark, E.V. (1977). Psychology and language. An introduction to Psycholinguistics. New York: Harcourt Brace Jovanovich inc.

Geen link.

Het rekenen daarentegen speelt zich vooral af aan de voorkant, de prefrontale cortex. Voor rekenen gebruiken we andere hersenen dan voor taal
(Nieder, 2019).
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Pag. 223.
Geen link.

 Kennelijk dacht de evolutie: Zo, dat rekenen is een heel andere koek dan taal. Het rekenen is een hele logische redeneer koek. Dat past niet links in het hoofd bij de toch niet zo logisch werkende taalhersenen. Ik stop dat rekenen maar ergens anders in. Dat voorhoofd kan ik nog wel wat naar voren uit­bouwen. Slim van de evolutie. Taal is heel wat anders dan rekenen.
5) Past de taal de getallen volgens het werkgeheugen?

Verder heeft taal geen iegen ’oog­fixatie­veld’. Taal gebruikt het werk­geheugen. Taal heeft het werk­geheugen hard nodig. Helaas is dat werk­geheugen een nogal chaotisch vergiet.
(§ 10.4.3).

Klik voor meer over: werkgeheugen



Niet alleen de taal heeft het werk­geheugen nodig. Ook het leren heeft het werk­geheugen ook hard nodig. En ten derde hebben ook de reken­handelingen het werk­geheugen nodig.
6) Past de taal het rekenonderwijs?

Freudenthal
(1973)
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.

Geen link.
Pag. 56.
had het niet zo op luisteren naar wiskunde lessen. Het zou dus zo maar eens kunnen zijn dat de verwoordingen van de getal­kennis hier en daar in het reken­onderwijs niet optimaal zijn.		 Dat blijkt hier uit de 76 rekenwoorden waarbij twijfels zijn over de duidelijkheid of zelfs de juistheid van het woord. De kampioen onduidelijkheid is nota bene het woord tellen en een goede tweede is nota bene het woord getal met meer meestal niet gespecificeerde verschillende betekenissen (noot 3).
Waarom zijn rekenwoorden onduidelijk? Dat is niet zo moeilijk.
  • Het is onhandig een woord dat het kind kent, te vervangen door een woord dat het kind niet kent. Het is een veld, precies als het honderdveld, maar ze noemen het een grafiek/analoge klok, etc.
  • Het is psychologisch gezien onhandig woorden te gebruiken waar het kind een ander woord gebruikt zoals spitsen om 10 zeggen terwijl kinderen breken zouden zeggen. Ook zullen kinderen eerder ruilen (10-eenen voor 1-tien) zeggen dan inwisselen.
  • Er zijn er 26 synoniemen geteld. Als die er zijn, gebruik dan aanvankelijk één, liefst het meest juiste en het meest logische woord. Daarna zeg je iets van: Maar ja, ze noemen hem ... Zijn de kinderen nog onvoldoende aangepast dan heb je kans dat ze zelf komen met een duidelijk woord dat de getalkennis precies verwoordt. Zeg dan iets van: Ja, Leila, een tweetje dat is heel slim. Maar ja, ze noemen hem nu eenmaal meestal één-tweede of een half en die schrijven ze overigens zo ½ en ook wel zo 0,5 en ook wel zo 50%.
  • De telwoorden verhaspelen de volgorde van 1-en en 10-en: (negentien maar tweehonderd en een
    (§ 6.6.2

    Klik voor meer over: telwoord

    ).
  • Verder verwoorden de telwoorden plaatswaarde niet. Telwoorden geen overigens geen telwoorden maar aantalwoorden zoals we zagen.
  • Er zijn woorden die de handeling beschrijven die je niet wilt (tellen zeggen maar rekenen bedoelen,
    § 4.2.1

    Klik voor meer over: tellendblijvenoptellen

    ).
  • Verder kan het gebruik van homoniemen verwarren. Op Tenerife leidde zo'n homoniem mede tot een ongeluk dat ruim 500 vlieg­tuig­passagiers het leven kostte
    (Raad voor de luchtvaart, 1979,
    Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF

    Geen link.

    noot 4).
Dit alles over onduidelijke woorden geldt overigens niet alleen voor de kinderen maar ook voor de taal voor de reken­meester. Woorden zijn de tools van de rekenmeester. Zonder scherpe woorden is het denken, praten, lezen en schrijven over rekenen lastig. Maar die scherpe woorden zijn overigens ook lastig. Die scherpe woorden wijken dan weer af van de gebruikelijke, mogelijk onduidelijke woorden. Nog lastiger kan het worden wanneer ook nog de achter­liggende gedachten over getallen en psychologie afwijken van de gebruikelijke gedachten. Best lastig allemaal, die woorden dan.
Dus ...
Misschien zijn die 14 suggesties hier om maar je mond te houden zo gek nog niet. Misschien moet je eigenlijk niet alleen rekenles geven maar ook rekentáálles.

Is de taal een oplossing voor rekenproblemen of een oorzaak?

 


10.3.2 Past eerst tonen en dan vertellen bij het leren?

De meeste leerpsycho­logische theorieën plaatsen visuele hande­lingen vóór verbale handelingen. De gedachte is dat tekst meer op denken lijkt dan een plaatje. Gal’perin doet dat niet en benadrukt dat de verbalisering van de handeling vóór het visueel tonen van de handeling moet komen
(Parreren & Carpay, 1972).
Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M., (1972). Sovjetpsychologen aan het woord. Leerpsychologie en onderwijs 2. Groningen:Wolters-Noordhoff NV.Pag. 54, 71.

Geen link.

Zijn stelling is dat je met woorden, de handelingen preciezer kunt omschrijven dan met beelden. Verder kan er visueel veel mis gaan. Dat laatste is waar. Dat blijkt hier ook uit de oog­vriende­lijk­heid van rekenmaterialen. Maar er kan met woorden ook veel misgaan is hier te lezen.

10.3.3 Past de verhaalopgave bij leren?

Willem Bartjens (1604) kwam al met verhaal­opgaven (noot 5). Heel begrijpelijk. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger en daar moet je veel rekenen. Bartjens kwam met voor die tijd realistische opgaven als: Na een plundering moet de kapitein 34 kazen en 5 paarden verdelen over .... Je kunt je afvragen of dat type opgaven nog aansluiten bij de huidige kindrealiteit.
Later kregen verhaalopgaven het positieve frame van ’verhaal’ en ’realistisch’. De Belgische verhaal­opgave­professor
Verschaffel (2022)
Verschaffel, L., (2022). Veertig jaar onderzoek over vraagstukken en contextopgaven: wat hebben we geleerd? Panama conferentie, 30 juni - 1 juli 2022, Zeist.

Geen link.

concludeert na ruim 30 jaar grondig onderzoek dat verhaal­opgaven weinig effect hebben, veel onderwijstijd kosten en dat het wel erg moeilijk is een goede verhaal­opgave te maken. En dan tot slot. Na het basis­onderwijs komt de algebraïsche handelingen aan de orde. Zo zijn verhaal­opgaven goed op te lossen
(Wolters, 1978).
Wolters, W., (1978). Van rekenen naar algebra.

Geen link.

Psychologisch zijn verhaal­opgaven misschien vooral: Zoek de rekenopgave in onduidelijke woorden en taalconstructies en minder: Bereken slim de uitkomst van duidelijke getallen.

10.3.4 Past rijm bij leren?

De hersenen zijn een netwerk dat als een idioot verbanden legt. Met rijm kun je vork in de mond legt met de vraag: York, York, York, soep eet je met een ... De associaties van de taal­hersenen zijn sterker en sneller dan de redeneerhersenen die weten dat je soep met een lepel eet. Zo kun je ook met rijm een goede uitkomst in de oren (afb. 112) en zo in het werkgeheugen leggen. Er is dus niets voorgezegd, er is niet geteld maar de (taal)hersenen van het kind hebben de som wel mede opgelost.
  • Zo is een rekenrijmpje toch weer een snipper die samen met andere snippers ergens in het leerproces een lichtje kan doen branden
    (§ 10.5.2

    Klik voor meer over: snipper

    ).
  • Hoe afwijk­ender en hoe gekker de tekst, hoe beter. Afwijkingen vinden de hersenen interessant hebben we al eerder gezien.
  • Het beste is natuurlijk een rijmende tekst die de uit te voeren handeling beschrijft. Maar ja, krijg dat maar eens voorelkaar.
  • En tot slot kun je met rijm het kind van tellen afhouden.
Dus:

Tja, die rekentaal. Evolutionair gezien is taal toch nog een brabbelende sterk emotie en cultuur gestuurde baby. Dat kun je niet zeggen van de getalkennis. Toch lijkt de taal de baas over de rekenwoorden. Het is toch een beetje de omgekeerde wereld. Om de rekentaal te begrijpen moet je getalkennis hebben. Het lijkt er zo op dat niet taal een voorwaarde is voor rekenen maar dat rekenen een voorwaarde is om rekentaal te kunnen begrijpen.

Een rekenmeester lijkt toch wel een beetje op een Chinese leraar Engels, die alleen Chinees spreekt.


  10.4 Hoe leer je handelingen?  


De vorige paragrafen over taal hadden dus duidelijk nieuws voor het rekenen. Nu het leren. Hoe het leren verloopt is niet zo moeilijk. Voor psychologen althans. Voor psychologen is het wel lastig dat veel volk goed over dat leren nagedacht heeft. Daar gaan we dus eerst doorheen.

10.4.1 Past instampen en oefenen bij leren?

Oefenen, herhalen, memoriseren, instampen en herhalen, tot het kind de goede uitkomst geeft. Dát is een theorie van het volk. Oefening baart kunst is er ook zo een. De veronder­stelling is dat als je een handeling vaak uitvoert, de hande­ling opge­slagen wordt in de biblio­theek: het lange­termijn­geheugen
(Schmeier, 2019).
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica.
Pag. 20, 172, 180.
Geen link.

Klaar is meester Kees. Zo is dat. Euh, oh ja?		 Een verantwoording voor instampen is dat het geheugen een ladekast is waar je informatie instampt. In die geheugen­lade­kast­metafoor zitten wat curiosa.
  • Op zich is het curieus dat je moet stampen in een lade die leeg is. Zoveel herinneringen hebben kinderen niet en onthouden kunnen kinderen over het algemeen goed.
  • Verder is het curieus dat opgaven die tientallen malen in kinderen gestampt zijn, er maar niet inkomen. Dat blijkt. Stampen doe je immers als het op de normale wijze niet lukt. Wat paradoxaal allemaal.
  • Als het geheugen een ladekast is, hoe komt het dan dat je je eigen naam niet uit de lade kan krijgen?
Metaforen voor psycho­logische processen zetten de amateur vaak op het verkeerde been. Dat is de conclusie van de psycho­logen
Vroon & Draaisma (1985).
Vroon, P. & Draaisma, D., (1985). De mens als metafoor Over vergelijkingen van mens en machine in filosofie en psycho­logie. Baarn: Ambo.

Geen link.

Nog meer twijfels aan de metaforen voor psychologie zijn te lezen in:
Metaforen: valkuilen die niet opvallen (

Metaforen zijn riskant. Ze tonen iets bekends en concreets maar verbergen het abstracte en nieuwe waar het om gaat. Zijn metaforen een poor man’s tool of een wetenschappelijk te onderbouwen denk- en leermiddel?

Meer klik en ga naar: Metaforen zijn valkuilen die niet opvallen

noot 6) en in
Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden (

We zijn allemaal geheugenkampioen. Leren is namelijk niet info instampen, memoriseren en herhalen. Leren is ’slim’ en ook ’dom’ bestaande kennis linken aan nieuwe kennis in het fysiologische netwerk van de hersenen. Stampend onderwijs linkt niet aan bestaande kennis in de hersenen. Linkend onderwijs wel. Het leren (rekenen, vreemde taal, verkeersborden, etc.) verloopt dan snel, moeite- en foutloos.

Meer klik en ga naar: Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden.

noot 7).
Je kunt instampen onderbouwen door de geheugenpsycholoog Ebbing­haus te noemen.
Schmeier (2019)
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 182.

Geen link.

doet dat. Maar Ebbinghaus is inmiddels al ruim 100 jaar dood. Hij onderzocht aanvankelijk inder­daad het onthouden van een rij zinlóze letter­grepen. Dat zijn die in te stampen rekenopgave aanvankelijk ook.		Ebbinghaus begreep al heel snel dat je lijsten met zínvolle woorden moest onderzoeken. Die woorden leren mensen veel sneller. Zinvolle woorden kunnen de hersenen koppelen aan aanwezige kennis
(Deese, J., 1967).
Deese, J., (1967). General psycho­logy. Boston: Allyn and Bacon, Inc. Pag.220.

Geen link.

De hersenen zijn immers een grote kennis­koppel­machine
(§ 10.7

Klik voor meer over: denkhandeling

). Je zou kunnen zeggen dat Ebbinghaus juist zegt: Níét instampen maar de nieuwe kennis aansluiten bij bestaande kennis, bijvoorbeeld een opgave waar het kind de uitkomst wel van weet.
Bij instampen en oefenen horen werkbladen. Hoe zit het daar mee?
  • Wat als het kind een fout op een werkblad maakt? Opgaven die het kind niet beheerst zou je het kind eigenlijk niet moeten geven. De fout heeft de tijd om zich in de hersenen te nestelen. Krijg de fout er dan maar weer eens uit.
  • Bij een fout krijgt het kind een punt minder. Beter je best doen Leila. Leer Leila dat een uitstekend antwoord is: Weet ik niet hoor, dat heb je me nog niet goed uitgelegd.
    Werkblad, product gericht

Afbeelding 113.
  • Dat geldt ook voor opgaven die eerder op het werkblad al gemaakt zijn. Maakt het kind de opgaven twee keer fout dan is dat twee keer geen fun. Maakt het kind beide opgaven goed wat is dan de winst?
  • Verder is het wat vreemd om opgaven te gaan stampen zonder eerst werkbladen te geven mét de uitkomst. Die ’werk’­bladen zijn eigenlijk dus geen ’werk’­bladen maar ’toets’­bladen. Bij het leren van een vreemde taal geef je wél eerst een blad mét de goede ’uitkomst’. Daarna geef je pas werkbladen zonder de oplossing (afb. 114).
Een rijtje
met het goede antwoord:		Daarna een rijtje zonder het goede antwoord:
hond = dog  hond =...
kat = cat   kat=...
   Eerst het antwoord tonen, dan het antwoord toetsen

Afbeelding 114.
   Opgave van de week tafelbladsticker

Afbeelding 115.
www.humanefficiency.nl/rekenen/
pictures/stippen_5+x.png
  • Onhandig is dat op werkbladen opgaven met verschillende typen handelingen door elkaar staan. Bijvoorbeeld een gemakkelijke opgave als 3-1 staat naast een opgave als 9-4 die het kind met slimme en minder slimme handelingen goed opgelost kan hebben. Als je 9-4 vraagt, dan moet het kind 3-1 al beheersen.
  • Als alle opgaven op een werkblad één type handeling vragen en het kind beheerst die handeling niet dan is nakijken eenvoudig: vrijwel alle opgaven zijn fout. Als er hier en daar een foutje zit dan weet je dat de handeling beheerst wordt maar dat het kind zich af en toe nog vergist. Dit alles zie je dan zonder de sommen na te kijken in een oogfixatie van 233 milli­seconden.
Mogelijk geldt wat
Freudenthal (1973)
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.

Geen link.
Pag. 65.
zei, nogal scherp zoals wel vaker: De wiskunde die ze onderwijzen is de top van hun eigen kunnen. Eigenlijk zou je eerst ’leer’bladen moeten geven en daarna met werkbladen gaan toetsen. Ten minste als je nog niet zeker weet dat je leerbladen goed zijn. Je toetst dus niet het kind maar het leerblad. Een alternatief voor een werkblad is een leerblad
(§ 10.4.7

Klik voor meer over: leerblad

).

Toets de kinderen niet met een werkblad.
Toets of het leerblad werkt.

Dus ...

Het associëren, het instampen en het indreunen van opgaven is moeilijk psychologisch te onderbouwen. Dat geldt ook voor de bijhorende werkbladen.

10.4.2 Passen fouten bij leren?

Men zegt wel: Van je fouten moet je leren. En dan ook: Fouten laten zien dat je het probeert
(Schmeier, 2019).
Schmeier, M., (2019). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Uitgeverij Pica. Pag. 91.

Geen link.

Hier is de inter­pretatie dat jíj moet leren van de fouten van het kind. Zit de opgave in de zone van naaste ontwikkeling en maakt het kind de opgave goed, dan is het: Je leert zonder fouten
(§ 10.4.6

Klik voor meer over: zonevannaasteontwikkeling

).

Van je fouten moet je leren. Wie is je?

1) Een fout kan een vergissing zijn

Cijfers in getallen kan het kind verhaspelen omdat de toetsmaker opgaven naast elkaar zet in plaats van onder elkaar
(§ 6.5.6

Klik voor meer over: naastelkaar

). Het kind vergist zich door een slecht pasvorm, bijvoorbeeld als de termen naast elkaar staan.

Ga een kind niet toetsen om de kennis van de toegepaste psychologie van de toetsmaker te toetsen.

2) Een fout kan ook ontstaan door de taal

Als de taal een tombola gemaakt heeft van de tientallen en de eenheden in de telwoorden dan kan dat fouten veroorzaken
(§ 6.6.2

Klik voor meer over: telwoord

). 		Het kind schrijft 21 maar bedoelt 12. Dat is eenvoudig te constateren. Niets aan de hand eigenlijk, houd gewoon je mond en reken de opgave goed. Ook in de toets. Of zeg gewoon Kijk eens goed.
3) De fout kan ook een begripsfout zijn


Bij een begripsfout zit de opgave niet in de zone van naaste ontwik­keling van het kind. De opgave was te moeilijk. Dán houd je natuurlijk ook je mond. Je zegt niet tegen een kind dat gestrest is omdat jij een te moeilijke opgave geeft: Fout! Het is bovendien onwaar­schijnlijk dat het kind met die ’uitleg’ wel een goede uitkomst zal geven. Zeg iets neutraals: mooi en schakel terug, bijvoorbeeld naar een bijhorend leerblad met een stippen­patroon dat het kind mogelijk net wel aan kan.

4) Met fouten onmogelijk maken

Een manier om kinderen de pas naar een foute rekenhandeling af te snijden is multiple choice. Vraag je 10+20 dan kunnen foute antwoorden zijn: 3, 12 en 21. Laat je het kind met multiple choice kiezen tussen: 20, 30, 40, dan zijn die veel voor­komende foute antwoorden uitgesloten. De toets wordt dan overigens een leerblad.

10.4.3 Past het werkgeheugen bij leren?

1) Wat is het werkgeheugen?

De ogen hebben een oog­fixatie­veld en de hersenen hebben ook zo iets: het werk­geheugen. Het werk­geheugen is de mentale focus. Onhandig is wel, dat het werk­geheugen eigenlijk een wat chaotisch vergiet is.
Wat je werk­geheugen binnenkomt en wat er weer uitgaat, dat heb je zelf niet in de hand
Zonder werkgeheugen is een mens snel dood. Het werkgeheugen is niet zo zichtbaar als de handen en de ogen. Het werkgeheugen is vaak de oorzaak en de oplossing van hardnekkige ontwerp- en onderwijsproblemen.

Met klik naar: Het werk­geheugen wordt vaak vergeten

(noot 8). Ook onhandig is dat er grofweg maar zo’n zeven elementen in passen.
Baddeley
(1987)
Baddeley, A., (1987). Working memory. Oxford: Oxford University Press.

Geen link.

heeft het werk­geheugen fors op de psycho­logische kaart gezet. Blind valt nog wel te leven. Als het werk­geheugen niet meer werkt dan is leven wel erg moeilijk. Dat blijkt wel uit ziekten die het werk­geheugen aantasten.
2) Het werkgeheugen en rekenen

Uit neurologisch onderzoek blijkt boven­dien dat het werk­geheugen bij kinderen die rekenen, harder werkt dan bij volwassenen
(Nieder, 2019).
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Pag. 259.
Geen link.

Ook blijkt dat discalculie samengaat met defecten in het werk­geheugen
(Nieder, 2019).
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Pag. 273.
Geen link.

Om goed te kunnen rekenen heb je meer aan een goed werk­geheugen dan aan intelligentie concluderen Alloway & Alloway
(2013).
Alloway T, & R. Alloway, (2013). New York etc: Simon & Schuster paperbacks. Pag. 79 en 80

Geen link.

Veel onderzoekers constateerden een verband tussen het werk­geheugen en reken­vaardigheid op jonge leeftijd en later
(De Vita, 2021).
De Vita, Chiara, Costa, H.M., Tomasette, C. & Passolunghi, M.C. (2021). The contributions of working memory domains and processes to early mathematical knowledge between preschool and first grade. Psychological Research https://doi.org/10.1007/s00426-021-01496-4

Geen link.

Duidelijke taal allemaal.

Je moet het werkgeheugen niet vergeten.

Het goede nieuws is dat het leven vereenvoudigt als je het werk­geheugen goed verzorgt
(Alloway & Alloway, 2013).
Alloway T, & R. Alloway, (2013. New York etc: Simon & Schuster paperbacks.

Geen link.

De Alloways vinden zelfs, dat werk­geheugen­beheersing een vak op school moet zijn. Dat zou goed passen bij eventuele lessen: leren denken.
3) Wat past het werkgeheugen van het kind niet?

Wat moet je dus niet doen?
  • Je moet het werk­geheugen niet vullen met ingewikkelde irrelevanten afbeeldingen zoals bij realistisch rekenen
    (§ 9.1.1

    Klik voor meer over: realistischrekenen

    ). Hetzelfde geldt voor verhaalopgaven
    (§ 10.3.3

    Klik voor meer over: verhaalopgave

    ).
  • Je moet vooral je mond houden is hier de conclusie 14 maal. Je teksten vullen het werk­geheugen en de duidelijkheid van die teksten is bovendien twijfelachtig
    (§ 10.3

    Klik voor meer over: vertellen

    ).

    Hoe meer je praat hoe slechter het gaat.

  • Zeg niet dat het kind een (begrips)fout maakt. Waarom zou je de stres verhogen? Als een kind een foute uitkomst geeft op www.rekenhaas.nl dan zegt de rekenhaas niets maar zet hij ijskoud de goede uitkomst op het scherm. Wel informeert hij uiteraard de leerkracht.
  • Verder moet je geen stress veroorzaken. Door stress vermindert de performance van het werk­geheugen sterk. Het is dan ook wat vreemd om kinderen te vertellen dat je gaat toetsen. Dat verhoogt de stress. Dat vermindert de performance van het werk­geheugen. Dat is precies wat je niet wilt. Verder weet je dan niet of je stress of reken­vaardig­heid meet. Vooral niet wanneer er tijdsdruk is
    (De Groot & van Naerssen, 1969).
    De Groot, A.D., R.F. van Naerssen, (1969). Studietoetsen construeren, afnemen, analyseren. Den Haag: Mouton.

    Geen link.

    Zeker als er ook nog sprake is van een kind dat tellend blijft optellen. Als het kind goed wil presteren kiest het immers voor de zekere telhandelingen en gaat het niet experimenteren. Tellen is wat je juist niet wilt meten. Tellen is mogelijk ook niet wat je wilt onderwijzen. Je wilt onderwijzen of een kind met getallen kan denken: durft het kind nieuwe handelingen toe te passen.
  • Haal het toetsframe weg. Als je toch toetst, doe het dan heimelijk. Spreek geen duidelijke taal. Dus niet: En dan nu een toets maar wees onduidelijk: En dan nu wat anders of En dan nu opgaven voor Sinterklaas. Of zo iets dan.
4) Wat past het werkgeheugen van het kind wel?

Je moet zorgen dat het werk­geheugen leeg blijft. Dat kan door de getal­kennis die het werk­geheugen in moet, in het oog­fixatie­veld te zetten, zoals met een tafelsticker
(§ 10.2.1).

Klik voor meer over: oogfixatieveld

 Wat moet je verder doen? Tja, niets eigenlijk. Het kind moet eigenlijk ook helemaal niets doen. Iedereen zit een beetje vol spanning te kijken wat er allemaal gebeurt. De ogen en het werk­geheugen zijn op zoek naar gevaar en zien bijvoorbeeld allerlei stippatronen. Deze koppelen ze aan allerlei hopelijk relevante snippers die je al in het lange­termijn­geheugen gestrooid hebt
(§ 10.4.3

Klik voor meer over: werkgeheugen

). De taalhersenen gaan, of je nu wilt of niet, gewoon op zoek naar een woord dat rijmt. Geef de hersenen wel de tijd om de ontdekking te doen. Ga het werkgeheugen niet vullen met teksten. Houd vooral je mond.
De afbeelding 116 ziet er ingewikkeld uit. Maar er valt veel te ontdekken. Na een week of zo heeft het kind zelf ontdekt dat er gewoon 5x hetzelfde staat: de getalstructuur 3, 4 en 7.
Lukt het niet dan zou je wat kunnen sturen. Wel minimaal. Het kind moet de ontdekking zelf doen. Veel leerbladen hier hebben een systematiek die je ziet als je de uitkomsten achter elkaar opleest. Ook kun je rijm gebruiken waarbij de oplossing zit in het rijmwoord dat je niet zegt: . . . . . krijg je als 3 en 4 samenkleven. of Komen 5 en 4 elkaar tegen dan is de uitkomst .... De sterke domme drang van de taalhersenen om de zin compleet te maken drukt de telreflex weg. En dan maar hopen dat het kínd ineens zelf zegt: Verrek ... als 4 stippen +4 stippen 8 is, dan is de uitkomst van de som 4+5 gewoon eentje meer, dus 9. Dat is fun. Dát is ’zelfontdekkend leren’
(Koster, 1975,
Koster. K.B., (1975). De ontwikkeling van het getalbegrip op de kleuterschool. Een onderzoek naar de effekten van enkele trainingsprobramma's. Groningen: Verenigde Reproduktie Bedrijven.
Pag. 5.
Geen link.

noot 9). Dat overtuigt
(Freudenthal, 1973).
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 141 o.a.
Geen link.

Dát is rekenen.

10.4.4 Passen stapjes bij leren?

Veel leerpsychologieën stellen dat de leerstof in stapjes aangeboden moet worden. Het probleem is niet dát je de leerstof op een rij moet zetten. Het probleem is hóé. Gebruikelijk in het rekenonderwijs is ordening op basis van de grootte van de getallen.

10.4.5 Past eerst <20, dan <100 en dan <1000?

In het rekenonderwijs is het gebruikelijk de leerstof in te delen op basis van de grootte van de getallen
(Vugt & Wüsten, 2009).
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.br>
Geen link.

Pas na een of twee jaar komen de kinderen dan bij 1000. Er zijn daarbij de volgende overwegingen.
  • Een argument tegen grote getallen is: Je moet kinderen geen grote getallen geven want 2 000 000 kunnen zij zich niet voorstellen. Nou, ik ook niet. En dan zijn de kinderen en ik in goed gezelschap. Archimedes vond het na het getal 10 000 wel welletjes. Hij gaf die grote getallen geen namen als miljoen en miljard. Hij benoemde die grote getallen met een soort machten. Vervolgens ging hij met koningen in discussie over het aantal zandkorrels op dit strand, op al de stranden van de koning en op al de stranden van de wereld ligt
    (Kaplan, 2000).
    Kaplan, R., (2000). Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul. Amsterdam: Bert Bakker.

    Geen link.

    Archimedes kon zich die aantallen ook niet voorstellen. Maar hij kon ze wel berekenen en opschrijven. Alhoewel. Als je op één A4-velletje tien MAB-1000-kubussen zet, heb je het getal 10 000 concreet op papier. Met 10 velletjes en een nietje ben je al bij 100 000. Het moet dus mogelijk zijn een paar miljoen MAB-blokjes in de gang van de school tamelijk concreet op papier te tonen.
  • Verder komen grote getallen in de kindrealiteit voor: het aantal nachtjes slapen, de stappenteller op de smartphone, het aantal uren tot de vakantie en aantal kilometers rijden naar de vakantie­bestemming. Elk kind kent wel het woord miljoen. Maar het weet niet wat het precies is. Het valt terug op het natuurlijke APS (Approximate Number System): Een miljoen is heeeeeel eeeerg veeeel. hoorde ik eens.
  • Nog verder terug in de tijd, begon Willem Bartjens overigens gelijk met grote getallen. Op pagina 1 al tot 100 en op pagina 3 kwam hij met miljard
    (Beckers, D., & M. Kool, 2004).
    Beckers, D., & M. Kool. (2004). Willem Bartjens De Cijfferinghe (1604). het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren.

    Geen link.

  • Hoe gaat dat trouwens bij het lezen? Al sinds omstreeks 1897 begon meester Hoogeveen met aap, noot, mies. Gewoon gelijk de globaal­woorden tot wel 7 letter. Rare letter­combi­naties ook als mies. En vooral niet eerst het alfabet, dan woorden met twee letters, dan pakweg een jaar later woorden met drie letters, etc. Nog steeds zijn globaal­woorden een goed begin voor het leren lezen. Ook psycho­logisch gezien, weten we nu. Als het met letters kan, zou het dan ook niet met cijfers kunnen? Aantal­len, cijfers en getallen zijn eenvoudiger dan de letters en de woorden.
  • Als je snel grote getallen aanbiedt dan verkleint het probleem van het tellend blijven optellen. Grote getallen kun je niet meer tellend optellen.
  • Bovendien, grote getallen zijn fun. De kinderen weten allang dat miljoen veel is. Maar hoe je dat moet schrijven, dat wordt dan nog niet geleerd. Hier staan dan ook concreet 7 rekenproblemen die je kunt oplossen juist door opgaven met grote getallen te geven.

    Grote getallen zijn geen probleem maar een oplossing.

  • Grote getallen zijn geen probleem. Géén grote getallen, dát geeft problemen. Als je onder 20 en ook onder de 100 blijft dan kúnnen kinderen plaatswaarde en 10 niet begrijpen. Ze kunnen niet begrijpen dat je bij 10+8 niet hoeft te tellen. Die 8 kan je gewoon op de nul leggen. Dus 10+1=12 en 1000+2 is ’ook’ 1002. Als 1 koe + 3 koeien = 4 koeien weet, wat is er dan zo moeilijk aan 1 miljoen + 3 miljoen = 4 miljoen? De uitleg van het getal­len­systeem voor ’rekenzwakken’ begint hier ijskoud in groep 4, juist met zeer grote getallen.
  • En dan tot slot: wat is getalkennis: de betekenis van de woorden voor alle aantallen weten of het systeem van de getallen weten, dus toevallig ook hele grote getallen. Het gaat niet om de grootte van de getallen. Het gaat om de systematiek. De systematiek stelt je in staat om aantallen die je voorstellingsvermogen te boven gaan toch te beheersen. Leerzaam is het behangrolvoorval van Freudenthal
    (1973).
    Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.

    Geen link.

    Een kind uit groep 3 schrijft voor de wereldberoemde wiskundige professor dr. Freudenthal alle getallen op een behangrol. Bij 1024 zegt het kind: Zo, en nu snapt je het zeker wel hé. Zo gaat het alsmaar verder. Dat is naar zijn idee wiskunde. Dat is voor de psycholoog leren denken. Dat zou de cultuur en het volk moeten willen.

10.4.6 Past de zone van naaste ontwikkeling bij leren?

De Sovjetpsycho­loog Vygótskij introdu­ceerde de zone van naaste ontwikkeling. Hij stelde dat je níét moet aansluiten bij waar het kind is maar dat je moet aansluiten waar het kind nét niet is
(Parreren & Carpay, 1972).
Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M., (1972). Sovjetpsycho­logen aan het woord. Leerpsycho­logie en onderwijs 2. Groningen: Wolters-Noordhoff NV.Pag. 28.

Geen link.

De zone van naaste ontwikkeling houdt in dat je de te leren handeling niet vóórdoet maar de leerstof zo aanbiedt dat het kind zélf de te leren handeling ’ontdekt ’. Jij houdt vooral je mond.
Op een gegeven moment zitten in het werkgeheugen van het kind: jouw snippers uit het lange­termijn­geheugen en wat van jouw sluwe afbeeldingen in het oogfixatieveld. Dan zegt het kind op een gegeven moment: Verrek .... Dat geeft fun, voor het kind en voor jou. In dezelfde buurt zit overigens: voort­schreidende schematisering van Treffers
(1995).
Treffers, A. & Blij, F. van der. (1985). Rekenen, wiskunde. Den Haag: Distributiecentrum Overheidspublikaties.

Geen link.

Je buigt de handelingen van het kind om, in de hande­lingen die jij wenst.

Houdt je mond. Gun het kind zijn Eurekamoment.

10.4.7 Passen leerbladen bij leren?

Leerbladen concretiseren de zone van naaste ontwikkeling. Ze tonen alle nood­zake­lijke informatie binnen het oog­fixatie­veld en laten het kind daar handelingen mee uitvoeren die het kind al beheerst. De verkorte handeling is ook zichtbaar. Dit alles komt dus via het oog­fixatie­veld in het werk­geheugen. Het kind moet de verkorte handeling alleen nog zelf in zijn werkgeheugen ’zien’, zelf ontdekken (afb. 116).
   Houd vooral je mond

Afbeelding 116.
www.rekenhaas.nl/pictures/sticker_5+4.png
Bij leerbladen zie je die verkorting gebeuren. Vaak tot verbazing van het kind. En met fun. Het kind zegt ineens: Hé, dat is eigenlijk dezelfde. of Ja dat is dezelfde opgave maar gewoon één er bij.

10.4.9 Passen snippers bij leren?

De hersenen zijn dus geen ladekast waar je uitkomsten instampt maar een netwerk dat de idiootste verbanden legt. Zo zijn ze, die hersenen
(§ 10.7

Klik voor meer over: denkhandeling

). Snippers zijn dan delen van het inzicht die op verschillende momen­ten en op verschillende wijzen aangeboden zijn en zo in het lange­termijn­geheugen terecht gekomen zijn. Vaak gewoon als truc nog.

Wanneer er voldoende snippers in het lange­termijn­geheugen zitten dan is er kans dat snippers uit het lange­termijn­geheugen met jouw snippers in het oog­fixatie­veld, samen het lichtje doen branden. Het snipperen van leerstof is een soort van het incidenteel leren van Van Parreren
(1968)
Parreren, C.F. van. (1968). psychologie van het leren. Deel I, verloop en resultaten van leerprocessen. Arnhem: Van Loghum Slaterus.
Pag. 106 e.v.
Geen link.

maar dan sluw gepland.

Dit boek is een soort sticker- en leerbladenfabriek. Jij bent een soort stuurpiet die dat strooigoed op het juiste moment het oogfixatieveld in strooit. Eerst in de klas, dan in de school
en tot slot ooit in de supermarkt

Klik voor meer over: denkhandeling

(noot 10).


Dus ...

Biedt de leerstof niet aan in logische eenheden als plaatswaarde, klokkijken en vermenigvuldigen. De conclusie is: Hak de leerstof op in kleine snippers en verdeel die over de leerfasen. Verdeel ze zelfs over de jaargroepen.

Tja, veel nieuws over het leren. Misschien ook wel veel nieuw nieuws. Ook wel nieuws met perspectief. Wat gaat de denkpsychologie brengen?


  10.5 Hoe denkend rekenen?  



Dan nu het denken. Een lastig onderwerp. Ook voor psychologen. Toch is er wel goed nieuws en er is ook nog een spannend eind. Het getallen­genie van Ik denk dus ik besta, geeft toe dat hij ook niet weet wat zijn denkende ik is (Descartes,
in: de Jong, 2022).
Jong, S. de. (2022). Descartes nam de angst voor wetenschap weg. NRC wetenschap. 23 juli 2022.

Geen link.

Ook de huidige cognitieve psycho­logie weet eigenlijk ook nog steeds niet wat intelligentie is. Ja, het is een getal dat de cultuur en het volk graag wil horen. Maar de ondertitel van het boek van
Vroon (1980)
Vroon, P. (1980). Intelligentie. Over het meten van een mythe en de politieke, sociale en onderwijskundige gevolgen. Baarn: Ambo.

Geen link.

spoils the party: Over het meten van een mythe en de politieke, sociale en onder­wijs­kundige gevolgen.
Het goede nieuws is dat de hedendaagse neurologie veel vooruitgang heeft geboekt. Vast staat dat de hersenen bestaan uit pakweg 100 miljard verbonden neuronen. De hersenen zijn dus geen ladekast en ook geen logische redeneer­machine. De hersenen zijn een koppel­machine die als een idioot alles aan alles koppelt. Dat alles is alles wat in het lange­termijn­geheugen aanwezig is en alles dat onder andere door het oogfixatieveld waargenomen wordt. Het resultaat is een ongecensureerde droom, onzin, een grap of een geniaal idee.
Lastig is dat de emotie een grote vinger in die koppelpap heeft en de logica een heel klein stukje van een pink­nageltje. Goed nieuws voor het rekenen is dat de emotie niet zo geïnteresseerd is in getallen. De onthulling van wat denken nu toch is komt uit een onverwachte hoek: de antropologie. Tekenend voor de zoektocht naar het menselijk denken is de ’ontdekking’ van
Coolidge & Wynn (2018).
Coolidge, F. & Wynn, T., (2018). The Rise of Homo sapiens, The Evolution of Modern Thinking. Oxford: University Press.

Wetenschappelijk standaardwerk over het ontstaan van het denken van de moderne mens. Zeer goed antropologisch en fysiologisch onderbouwd. Rekent onder andere af met amateur-psycho­logische mythes.

Met klik naar details van die boek en lezersbeoordelingen.

Zij schreven ruim 30 jaar na de bijbel Working memory van Baddeley
(1987)
Baddeley, A., (1987). Working memory. Oxford: Oxford University Press.

Geen link.

over hun door­wrochte zoektocht naar het denken: The evolution of modern thinking. Tot hun eigen stomme verbazing ontdekten ze dat het denken zich afspeelt in: ...
het werk­geheugen. Dus denk­vriendelijkheid is werk­geheugen­vriendelijkheid.
De volgende vragen voor het rekenen zijn dus: Hoe toon en vertel je getalkennis zo, dat de kennis in het werkgeheugen past? Hoe toon en vertel je van de hoeveelheidspunten, de volgorde lijnen, de aantallijnen en de aantalvelden?

10.6.1 Past puntkennis bij denken?

De equivalent van puntkennis in de psychologie is het Stimulus-Response leren en conditioneren van de Amerikaanse psycho­logie: Geef poot is de stimulus, de respons is: Voorpoot optillen.
Toen er nog regelmatig kern­centrales ontploften omdat computers niet wisten wat zij moesten doen bij bepaalde problemen en omdat de operators het eigenlijk ook niet wisten, mocht de psychologie het probleem oplossen. De Deense cognitief psycho­loog Ras­mussen onderzocht hoe mensen denken als ze met iets heel ingewikkelds bezig zijn. Een kern­centrale die dreigt te ont­ploffen bijvoorbeeld. De eerste kennisstap, de puntkennis, noemde hij skills. Je moet wel weten op welk knopje je moet drukken om de kern­centrale aan te zetten
(Rasmussen, 1983).
Rasmussen, J. (1983). Skills, Rules, and Knowledge; Signals, Signs, and Symbols, and Other Distinctions in Human Performace Models.IEEE Transaction on systems, man, and cybernetics. Vol. 3, pag. 257-266. http://www.carlosrighi.com.br/177/Ergonomia/Skills%20rules%20and%20knowledge%20-%20Rasmussen%20seg.pdf

Met klik naar dit artikel.

Bij het rekenen gaat het dan vooral om reken­voorwaarden. Maar er bleek bij het ontploffen van kern­centrales meer te spelen dan alleen puntkennis. Veel meer.

10.6.2 Past lijnkennis bij denken?

1) Hoe werd de mens een lijndenker?

De ontsnapping uit het puntdenken begon zo’n 700 000 jaar geleden.
  • Er ontwikkelde zich een nieuw soort denken waarbij er niet één stimulus en één respons was maar een hele lijn handelingen. Met name een lijn van handelingen die leiden tot een vuiststeenbijl. Aanvankelijk vonden de hersenen dat lijndenken prima. Ruim 700 000 jaar lang hakte de vuist­steen­bijlen­hakker precies volgens het lijntje handelingen dat zijn vader ook volgde.
  Mr. Algoritme: Al Chwarizmi (850), de Arabische reken­meester Willem Bartjens

Afbeelding 118.
2) Waarom was lijndenken niet voldoende?

Een algoritme met een lijst handelingen afhinkelen is de leer van het braaf volgen. Maar al die lijntjes geven geen inzicht. Soms is dat geen probleem zoals bij het maken van een staart­deling. Maar als de maker of de gebruiker van zo’n lijntje een fout maakt, dan staat de gebruiker met lege handen. Als je op weg naar Parijs één van de tientallen afslagen in je routelijntje mist, dan kom je niet in Parijs.
Naast deze praktische overweging heeft de evolutie gewoon niet gekozen voor lijndenken. De evolutie heeft gekozen voor directe interpretatie. Met name visuele complexe patronen kan de mens niet alleen goed zien maar ook interpreteren. De mens analyseert niet en trek daarna een zekere conclusie. Hij kijkt naar één markant kenmerk, beoordeelt, interpreteert, concludeert en handelt vrijwel gelijktijdig: Ah, gevaarlijk, wegwezen
Door de snelheid gaat die interpretatie natuurlijk wel eens mis.
  • Oh, sorry, ik dacht dat het mijn jas was.
  • Hallo tante Leila, oh, neemt u mij niet kwalijk. Mij tante Leila is ook zo’n lange.
  • Afbeelding 119 toont dat je niet analyseert maar gelijk concludeert.
   Is de blauwe lijn langer dan de groene lijn?

Afbeelding 119.

Directe interpretatie verklaart in het rekenen het volgende.
  • Bij behoud van hoeveelheid (conservatie) leidt directe interpretatie tot complexe hoeveelheidswoorden. De kinderen kunnen daardoor de vraag wat nu meer of minder is niet begrijpen.
  • Kinderen blijven tellend optellen omdat telwoorden en de getallenlijn geen directe interpretatie mogelijk maken. Met een getallenlijn moet je met je ogen en telwoorden synchroon twee lijntjes afhinkelen. Toon je de aantallen met stippen dan kan directe interpretatie wél en tellen de kinderen niet meer.
  • Het breken over 10 is kinderen moeiijk aan te leren met rijgmethoden en dakjes. Bij die methoden is geen directe interpretatie mogelijk. Dat is wel het geval wanneer je het breken met stippen toont. Het blijkt dat kinderen dan minder tellen.
Je kunt die directe interpretatie natuurlijk ook ’mis’bruiken. Afbeelding 120: Ah één stip naar links dan houd ik er één over en heb je er 11. De toets zegt dan natuurlijk: Fout maar jij denkt: Ah, een typisch voorbeeld van (te) directe interpretatie. Maar plaatswaarde heeft het kind wel goed toegepast. en je houd je mond. Of je zegt: Ha, ha, instinkertje, kijk nog eens goed. En daarna natuurlijk: Hoe komt het dat je er in gestonken bent? En eventueel nog: Ja Leila, jij wilt altijd opschieten he. Maar ja, dan zie je soms wel eens iets over het hoofd.
     Prefrontale cortex neemt toe

Afbeelding 120.
En ja, natuurlijk kan de mens nog steeds wel lijndenkend rijtjes afwerken. Soms is de afbeelding van de getalkennis zo ingewikkeld dat je alleen met rustig analyseren er achter kan komen hoe je 8+5 met tientalligheid zonder tellen kan uitrekenen. Maar het is niet de aard van het beestje en waarschijnlijk helemaal nog niet van jonge beestjes.
Ná de directe identificatie komt eventueel een analyse en wordt een expliciet (meestal verzonnen) woord op het patroon geplakt (breek om 10).Maar zonder directe visuele identificatie werkt een uitleg met woorden minder goed.

 


10.6.3 Past veldkennis bij denken?

1) Hoe werd de mens velddenker?

Het oog was al miljoenen jaren een veldkijker. De hersenen ontdekten het veld veel later. Zo ongeveer 1,8 miljoen jaar geleden. De homo erectus kwam uit de bomen en ging op de grond leven. Dat is nogal wat. Zijn leefgebied werd daardoor 10x zo groot. Dat betekende onder andere dat de mens niet meer kon lijnnavigeren met wat routes door zijn oerwoudje. Hij moest 2-D veld­navigeren. Mede daardoor groeide de prefrontale cortex
(Coolidge & Wynn, 2018).
Coolidge, F. & Wynn, T., (2018). The Rise of Homo sapiens, The Evolution of Modern Thinking. Oxford: University Press.

Wetenschappelijk standaardwerk over het ontstaan van het denken van de moderne mens. Zeer goed antropologisch en fysiologisch onderbouwd. Rekent onder andere af met amateur-psychologische mythes.
Pag. 142.
Met klik naar details van dit boek en lezersbeoordelingen.

Coolidge, F. & Wynn, T., (2018). The Rise of Homo sapiens, The Evolution of Modern Thinking. Oxford: University Press.

Geen link.

Dat zijn de hersenen die in het voorhoofd zitten. Toevallig ook de hersenen waarmee gerekend wordt. De mens leerde naast lijndenken ook velddenken.

     Prefrontale cortex neemt toe

Afbeelding 121.

Onlangs gebeurde er nog zo iets en wel zo’n 100 000 jaar geleden. Het volgende zou gebeurd kunnen zijn. Een jager met verminderde senso­motorische vaardig­heden krijgt zijn speer maar niet door de huid van een wilde kip. Hij wordt gedegra­deerd tot vuist­bijl­hakker. Na 1000 vuistbijlen hakken verloopt het hakken geheel automatisch. De te bewerken steen en zijn hand met de slagsteen passen gemakkelijk in zijn oog­fixatie­veld. Zijn werkheugen is compleet leeg.
Hij mag niet meer jagen. De emotie van die frustratie wringt zich voortduren in zijn werkgeheugen. Hij hakt en ... een scherp pijlvormig afslagsel komt via zijn oogfixatieveld in zijn werk­geheugen. Verrek, wat is dat afslagsel een mooie scherpe punt. Die krijgt ik vast wél door het vel van een wilde kip. Doordat een gefrustreerde vuistbijlhakker na 700 000 jaar buiten zijn hak­algoritmelijn kijkt, wordt het kipspiezen gemakkelijker. Ook de evolutie is er als de kippen bij. Veld­denken vergroot immers de kans op overleven.
2) Velddenken vroeger en nu

Dat velddenken werd steeds populairder bij de evolutie, de biologie en de mens.
  • Voor de bediening van haar treinkaartautomaat koos de NS rond 2000 niet voor de gebruike­lijke hierarchisch geordende lijntjes (een menu). Maar voor een veldoplossing: kaart­mogelijk­heden geordend in een tabel voor een multi­dimensio­nale structuur. First time computer users en hoog­bejaarden bleken eenvoudig een kaartje te kunnen kopen. ICT-ers en jongeren hadden overigens speciale functies nodig om een kaartje uit de automaat met een veldbediening te krijgen
    (Verhoef, 1999).
    Verhoef, L.W.M. (1999). Detailontwerp MiniAutomaat. Almere: Human Efficiency.

    Geen link.

Geen menu-lijntjes maar een nD veld-bediening

Afbeelding 122.
  • Psychologen noemen die veldkennis ook wel heuristiek. Letterlijk betekent dat: de kunst van het vinden (van de goede oplossing). ’Nadenken’ is dan ook niet zozeer verder kijken dan je neus lang is maar verder kijken dan je oog­fixatieveld en je werk­geheugen­veld breed is. Min of meer het tegen­over­gestelde van een algoritme dus (braaf volgen). De Sovjet mister algoritme, professsor Landa, had ook in de gaten dat je er met alleen algoritmen niet komt. Nog geen twee jaar na zijn algoritme-­bijbel kwam hij met een bijbel over heuristieken in het onderwijs
    (1976).
    Landa, L.N., (1976). Instructional regulation and control, cybernetics, algorithmization and heuristics in education. Englewood Cliffs: Educational Technology Publications.

    Geen link.

    Heuristieken zijn algemener, breder toepas­baar en kunnen leiden tot verschillende oplossingen. Maar een oplossing is niet gegarandeerd. Een voorbeeld van een heuristische rekenregel is: Zoek een opgave die erop lijkt en waarvan je de uitkomst wél weet (5+4=, 4+4=8, +1=9).
Met fouten kun je goede oplossingen vinden.

Je zou kunnen zeggen: Nou dat komt goed uit. De eenvoudige algoritmi­seer­bare problemen hebben we inmiddels met lijndenkende machines wel opgelost. We hebben nog wel een paar andere lastige problemen die lijndenkers niet kunnen oplossen. Je kunt de kinderen dan twee kanten op sturen. Je kunt puntkennis gaan onder­wijzen (instampen) of lijnkennis (algoritmen). Aan de andere kant kun je de kinderen ook leren velddenken. Het rekenen verandert dan van doel naar middel.
Vooruitlopend op dát onderwijzen van het leren denken zijn hier daarom een 13.5-tal opgaven voor het leren denken min of meer stiekem tussen de ’reken’opgaven verstopt. Die opgaven kun je niet uitrekenen. Die opgaven kun je alleen oplossen door de getallen te begrijpen en door na te denken. Aanvankelijk moeten kinderen wennen aan leren denken en begrijpen ze je vraag niet. Ze zoeken een getal als antwoord.

Moeten kinderen algoritmes leren of leren algoritmiseren?
3) Past velddenken de taal?

Taal spreken, horen, schrijven en lezen is 1-D. Maar de hersenen zouden de hersenen niet zijn wanneer ze niet wat dimensies zouden toevoegen om sneller te kunnen communiceren. Met intonatie, volume, handgebaren en gezichtsuitdrukkingen voegen de sluwe hersenen dimensies toe aan de lijn met woorden.

4) Past velddenken kinderen?

Maar dat veldenken, past dat de kinderen wel? En vooral ook ’rekenzwakken’ die ’vastigheid’ nodig hebben. Er zijn de volgende aanwijzingen. Uit de ’fouten’ die hier beschreven zijn blijkt dat ’rekenzwakken’ niet zo maar iets doen. Ze handelen vaak best slim, alleen toevallig niet volgens de cultuur van de rekenregels. Die zijn kennelijk namelijk niet goed uitgelegd. Wanneer een handeling niet goed uitgelegd is dan reageren ze niet lijndenkend: Weet ik niet hoor: die lijn met handelingen (het algoritme) heb je me nog niet goed uitgelegd. Neen, ze gaan velddenken en zoeken in hun onvolledige rekenveld een oplossing. En een oplossing vinden ze. Geef ze maar eens een opgave die nog niet uitgelegd is.
  • Als je nul niet goed uitlegt dan is 12-5 gewoon: 13 (5-2 is namelijk 3).
  • Wanneer je ruilen van 10-eenen niet goed uitlegt dan is 1999+2 geen probleem. Daar komt gewoon 19911 uit. Niets aan de hand.
  • Plaatswaarde niet goed uitgelegd? Dan is: 58+5 toch 513. l0+l is toch ook gewoon lol (fun)?
  • Als de de grootte van de termen geleidelijk aan opvoert dan gaat het rekenen aanvankelijk bij 12+13 nog goed. Maar voor je bij 1 234 567+ 8 765 432 aangekomen bent, denkt 45 % van de kinderen (11 kinderen, groep 4): Een psychologisch onverantwoorde presentatie. Niet te doen. Maar goed je wilt een uitkomst. Die krijg je. Ik weet nog wel wat handelingen om een goed te verantwoorden uitkomst te krijgen. De uitkomst is: 2835. Heel slim.
  • Als kinderen een volgorde rijghandelingen geleerd hebben dan nemen soms gewoon toch gemakkelijke deel­hande­lingen eerst even. Een rijgmethode is 13+27=13+20=33, +7=30 maar je ogen zien mogelijk al dat 3+7=10, dus je hebt 4-tienen.
  • Als een teller een opgave met grote getallen moet uitrekenen dan kijkt hij soms terug naar een gelijke deelhandeling in enkele opgaven terug. Die 4+5 heb ik net toch ook al op mijn vingers uitgerekend. Even terugkijken.
  • Ook zie je wel dat kinderen ineens een reeds gemaakte som verbeteren.
Kinderen zijn velddenkers. Ook ’rekenzwakke’ kinderen.

10.6.4 Past veldenkennis bij denken?

De evolutie stopt niet. Ook niet nu de mens met zijn velddenken een turbo heeft waarmee hij zélf zijn denken evolueert. Met het zelf geturbode denken zette hij zelfs nóg een turbo op zijn denken. Hij ging velden combi­neren. Niet alleen 2D maar meer­dimensionaal, Nd dus. Dat velden­denken kan de mens omdat zijn hersenen geen lineaire ladekast met kennis zijn. De hersenen zijn ook geen lijstjes met hande­lingen of lijnen met getallen. De hersenen zijn ook geen 2D, geo- of foto­grafische veld­ver­beeldingen. Zoals gezegd, de hersenen zijn gewoon een gigan­tische, idiote multi­dimen­sionale koppel­machine. Dat veldendenken kunnen de hersenen daardoor gemakkelijk. Sterker nog, ze hebben het zelf bedacht. Misschien is het nieuwe rekenen wel veldrekenen.
In de klas is nD al aanwezig. Drie MAB-plakken is een 3D-kubus. De week, de maand en een jaar zijn, gewoon net als MAB, 3D-velden met dagen in plaats van blokjes. Met tijd er bij heb je nog meer samen­hangende velden, 4D dus. In de wetenschap is nD-denken inmiddels heel gewoon.

Dat veldenrekenen is misschien zo gek nog niet.

10.6.5 Past psychologiekennis bij leren denken?

Hier is de getalkennis in hoofdstukken op een volgorde lijn geplaatst:
  • Volgordegetal met tellen en de getallenlijn.
  • Aantalgetal met aantalpatronen herkennen, kijkend rekenen en denkend rekenen.
  • Plaatswaarde en tientalligheid.
  • Ruilen van 10-eenen voor 1-tien.
 Op een tweede volgordelijn staat de psycho­logie. De paragrafen in elk hoofdstuk zijn:
  • Visuele afbeelding van de reken­handeling.
  • Verbale verwoording van de reken­handeling.
  • Het leren van de reken­handeling.
  • De mentale reken­handeling.

Dit boek is eigenlijk gewoon een getal- - psychologiekennisveld

De creatieve nieuwsgierige velden­denkende rekenmeester die dat getal-psychologie veld kent, vraagt zich dan natuurlijk gelijk af of je op dat getallen- - psychologieveld niet nog een lijn kan zetten. Ja dat kan. Sterker nog die lijn is er hier al. Naast de afbeeldingen, de verwoordingen en mentale rékenhandelingen zijn er ook zo’n 13.5 dénkvragen in de tekst gesnipperd. Ook in de klas zal elke leerkracht uiteraard zo zijn denkvragen bedacht hebben. Toevallig leent het rekenen zich goed voor het leren denken. De emotie en de evolutie zijn niet geïnteresseerd in getallen, de inhoud is voor iedereen objectief, er is maar één duidelijke waarheid en je kunt de inhoud goed visualiseren.
Als je het rekenen onderwijst op basis van de cognitieve psychologie dan heb je het denken psychologisch en bewust gestuurd. Nadat je het rekenen van het kind dan met succes gestuurd hebt, kun je het kind laten zien hoe jij zijn denken gestuurd hebt. Dat kan zelfs heel goed met de gebruikelijke middelen om het kind te leren rekenen.

Leermiddelen waarmee het kind niet kan leren rekenen
zijn goed bruikbaar om het kind te leren denken.
  
Je kunt control krijgen over je eigen denken met de volgende denk’getallenlijn’.
  • Control over afbeeldingen.
  • Control over woorden.
  • Control over het werkgeheugen.
  • Control over denken.
  • Control over emotie.
1) Hoe geeft je het kind control over afbeeldingen?

Leer kinderen opleukerij te ontmaskeren. Nadat de kinderen plaatswaarde begrijpen toon een kleurrijk 100-veld en een het 99-veld met nul. Welke vind je beter? vraag je aan de kinderen. De denkles is dan dat opgeleukt en kleurrijk je aandacht af kan leiden van de essentie, bijvoorbeeld de cruciale vreemde snuiter: nul.

Er zijn te mooie praatjes maar er zijn ook te mooie plaatjes.

2) Hoe geeft je het kind control over woorden?

Niet alleen plaatjes kunnen je aandacht sturen. Ook woorden moet je kunnen ontmaskeren. De woorden van de spreker kunnen onbegrijpelijk maken wat hij bedoelt. Hier werden 38 onduidelijke rekenwoorden besproken. Als de kinderen snappen dat elf gewoon een-op-tien is kun je daarna bespreken waarom ze 11 dan niet ook zo noemen. Maak er een running gag van deze taaldenkles: Het is 1 op de nul van 10 maar ze noemen hem óók elf. Wel lastig hoor, zo’n woord dat iets anders zegt dan wat je . . . .
Je kunt nog een stap verder gaan en kinderen leren framing door woordkeus te ontmaskeren. Zoek voor emotioneel geladen woorden synoniemen en vergelijk ze. Hoe duidelijk zijn ze. Op welk been zetten ze je?
3) Hoe geeft je het kind control over zijn werkgeheugen?

Denken is werkgeheugen control consta­teerden
Coolidge & Wynn (2018)
Coolidge, F. & Wynn, T., (2018). The Rise of Homo sapiens, The Evolution of Modern Thinking. Oxford: University Press.

Wetenschappelijk standaardwerk over het ontstaan van het denken van de moderne mens. Zeer goed antropologisch en fysiologisch onderbouwd. Rekent onder andere af met amateur-psycho­logische mythes.

Met klik naar details van die boek en lezersbeoordelingen.

na een zeer grondige cognitief psycho­logische en antropo­logische zoektocht naar het ontstaan van het menselijk denken. Denken is vooral control over je werk­geheugen stellen geheugen­psychologen
Alloway en Alloway (2013)
Alloway T, & R. Alloway, (2013). The Working Memory Advantage. Train Your Brain to Function. New York etc: Simon & Schuster paperbacks.

Geen link.

ook terecht. Ze vinden dat werk­geheugen control op school onderwezen moet worden.
Je kunt laten zien dat de plaats van essentiële informatie bepaalt of de informatie uit je werkgeheugen ontsnapt. Vertel het leerzame verhaal van de post-its. Een chemicus had een lijm uitgevonden die niet plakte. Ha, ha, wat een sukkel zei marketing en vroeg het volk of ze post-its wilden. Neen zei het volk natuurlijk. Ze hadden nog nooit van een werkgeheugen gehoord. De productie van post-its werd gestopt. Gelukkig kwam het kantoorvolk in opstand. Zij hadden wat post-its te pakken gekregen en begrepen dat het handig is om visuele geheugen­steuntjes te hebben daar waar je kijkt, dus op de rand van je beeldscherm. Zeg tegen de kinderen: Als je bang bent dat ik wat vergeet, zet het op een post-it en plak die tafelsticker op het ’niet-­vergeten-­veld’ op mijn bureau. Ook collega’s die tijdens de les binnen komen doen dat uiteraard. Hoe deed opa dat zonder smartphone? ... Een knoop in zijn zakdoek.
Bespreek bij het ruilen van 10-eenen voor 1-tien dat je dat te ruilen 10-tal gemak­ke­lijk vergeet en hoe je dat vergeten kan voorkomen. Misschien moet je wel uitleggen wat het werkgeheugen is. Je kunt daar ook spelletjes en oefeningen mee doen. Wie kan het beste een opgave met ruilen van 10 oplossen terwijl er tegen hem gepraat wordt.
Anderen kunnen je werkgeheugen vullen met goede bedoelingen, bijvoorbeeld om je te leren rekenen. Maar ze kunnen ook veel praten omdat ze niet weten hoe ze je tot een intuïtieve interpretatie kunnen krijgen. Dus gaan ze je werkgeheugen maar vullen met teksten. Daardoor kan jij niet zien waar het echt om gaat. Laat zien dat jij vaak je mond gehouden hebt om het werk­geheugen van het kind zijn werk te laten doen. Je geeft vaak geen woordelijke uitleg maar zegt altijd: Kijk maar eens hier. en eventueel Wat zie je allemaal? Zoals hier ook 7 maal staat dat je je mond moet houden. Leer de kinderen dat ze soms moeten zeggen: Wacht even, houd je mond, ik moet het even in het kladblok in mijn hoofd bekijken.
Vertel sappig het eureka verhaal van de naaktloper Archimedes (noot 12). Vraag de kinderen naar hun eureka-momenten bij de stickers, de leerbladen of kleurplaten: Wanneer kreeg je door hoe het zat? Precies, en dat kwam omdat ik je stiekem met ... stuurde naar .... En natuurlijk: En waarom snapte je het niet toen ik je eerste liet rekenen met ...?

 

4) Hoe geeft je het kind control over zijn denken?

De overigens nogal gelovige Descartes had al als uitgangspunt dat alles wat iedereen zei in principe onzin is. Daarom ging hij zelf maar denken. De filosofen De Regt & Dooremalen
(2015)
De Regt, H. & H. Dooremalen, (2015). Het snapgevoel. Hoe de illusie van begrip ons denken gijzelt. Amsterdam: Boom.
Pag. 38, 199, 209.
Geen link.

zeggen dat het ’vak’ (kritisch) denken en denkpsychologie schoolvakken moeten zijn om gewapend te zijn tegen de hedendaagse gevaren.		 De geschiedenis van het optellen tot 100 leert dat ook. Hier is ook te lezen dat het volk het herhaalde malen bij het verkeerde eind had. We hebben geluk dat er wat sluwerikken waren die soms met LBI-psychologie
(

Een rationele, psychologisch verantwoorde aanpak met goed leesbare woorden, met duidelijke woorden en met een begrijpelijk concept kan toch niet tot het gewenste gedrag leiden. Dan kan de ontwerper overgaan op een emotie-gerichte aanpak via list, bedrog en intimidatie, bijvoorbeeld ...

Met klik naar: List-, bedrog- en intimidatie-psycho­logie

noot 13) zorgden dat uiteindelijke de goede keuze gemaakt werd. Daardoor kunnen kinderen nu ook leren rekenen. Ga maar eens sommen maken met Romeinse cijfers. Toch waren die Romeinen geen sukkels.

Minder:
Ik denk dus ik ben (van Descartes)
maar meer:
Ik ben omdat ik mezelf ken.
  

  
Dus niet alleen:
Getallen, kinderen en psychologie
maar tegelijk ook
Met getallen psychologie voor kinderen.
 
5) Hoe geeft je het kind control over zijn emotie?

Stel nu dat je het perfecte 3D-curriculum hebt waarin getallen, leren rekenen en leren denken perfect verweven zijn. Dan denkt de creatieve nieuwsgierige velden­denkende reken­meester die een getal-­psychologie-­leren denken-kubus inmiddels goed beheerst misschien wel: Kan je op die kubus niet nog een dimensie zetten? In principe wel natuurlijk. Zo is er hier ook een emotielijn op 8 plaatsen stiekem positief geframed als fun. Ook in de klas is elke leerkracht op zijn manier bezig met de emotie van kinderen.
Geraerts (2019)
Geraerts, E. (2019). Authentieke intelligentie, Waarom mensen altijd winnen van computers. Amsterdam: Prometheus.

Geen link.

benadrukt het belang van emotie control als wapen tegen hedendaagse gevaren. Te weinig authentieke intelligentie! zegt ze treffend. Je kent je eigen nog onbewuste emoties niet, je weet niet waar je achteraan rent, je weet niet wat je zelf wilt. Je gebruikt je prefrontale cortex te weinig.

10.6.6 Past het volk en de cultuur bij leren denken??

Het wordt tijd om te stoppen. Maar er zijn nog twee beren op de weg van de rekenmeester. De cultuur en het volk kiezen niet voor zelf control met nD-velden maar voor lijndenken: alles netjes op een rij, geen onver­wachte slimme afwijkingen. De cultuur wil: wetten, regels, proce­dures en protocollen. Doorman, (2023) vat dat samen als: De mens heeft een onbegrensde regelzucht
Doorman, J., (2023). De onbegrensde menselijke regelzucht. NRC, vrijdag 3 maart 2023, pag. C16. Boekbespreking van Daston ’s Rules: A short history of what we live by. (2022)

Geen link.

(noot 14).
Daston, L. (2022). Rules. A short history of what we live by. Princeton: Princeton University Press.

Geen link.

Hoe mensen dachten, denken en gaan denken. Een superbrein hebben we al maar die bedreigt onze cultuur. Bepaalt de cultuur of bepaalt het brein zelf hoe het gaat denken? Hoe krijgt de mens meer control over zijn emotie, zijn ratio en zijn cultuur.

Met klik naar: Hoe mensen dachten, denken en gaan denken

Het volk en de cultuur willen product-gericht onderwijs, gewoon instampen die sommen.		 Dat is lastig. Zo wapen je kinderen misschien wel niet tegen het leven. Maar ook omdat het lijndenken niet de aard van de hersenen is. En dan wordt het tricky. Het ging hier gewoon om het optellen tot 100. Maar daarbij kwamen we onbedoeld toch zo’n 7 maal met die cultuur in botsing. Wat zou de cultuur vinden van al dat psychologische ge-doe-het-zelf van zijn zelfdenkende burger? Gelukkig kun je met listige LBI-psychologie dat domme lijndenken wel om de tuin leiden. Geef het vak leren denken geen hyperige naam maar frame het volk en de cultuur gewoon met het vak leren rekenen.
Die cultuur zou dus wel eens kunnen zeggen: Kijk waar ik wil dat je kijkt. Zie wat ik wil dat je ziet. Luister naar de woorden die ik zeg. Volg de denklijntjes die ik geef. Ga vooral niet in je eigen denkveldje zitten kijken hoe het allemaal echt in elkaar zit en wat jij zelf wilt. Wie gaat die oorlog winnen? Het denken of de cultuur?

Het worden spannende tijden de komende 1 000 jaar.
 

Voetnoten:
1)Hoe mensen dachten, denken en gaan denken
www.humanefficiency.nl/psychologie/hoe_denken_mensen.php

2)Dergelijke amateur-psychologische woorden hebben een levensduur van grofweg 5 jaar. Zo hebben we voor gebruiksvriendelijk gehad:
look end feel, social interfaces, intuïtieve interfaces, mensgericht ontwerpen, persuasive interface, usability, user centered design en verplaatsen in de gebruiker.

3) Hier komen onder andere aan de orde:
1) Volgordegetal.
2) Aantalgetal.
4) Getalbegrip als rekenvoorwaarde.
5) Getalbegrip als in groep 4 en verder: 10-tallige plaatswaarde en 10-tallig ruilen.
6) Approximate Number System.

4)Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife.
http://www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF

5)Synoniemen voor verhaalopgaven zijn: (rijke) context opgaven, realistisch rekenen, redactiesopgaven, verhaalopgaven. En dat kan dan zijn in beelden of in woorden.

6)Metaforen zijn valkuilen die niet opvallen
http://www.humanefficiency.nl.psychologie/metaforen.php

7)Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden.
http://www.humanefficiency.nl/psychologie/leren_onthouden_instampen.php

8)Het werk­geheugen wordt vaak vergeten
www.humanefficiency.nl/psychologie/werkgeheugen.php

9)Zelfontdekkend leren was populair in de zeventiger jaren. Maar het werd toen toch wel een beetje een alibi voor de onderwijs­methode: Zoek het zelf even lekker uit.

10)Leren rekenen en therapie in de supermarkt
https://www.humanefficiency.nl/rekenen/leren_rekenen_kassa.php

11)Hoe mensen dachten, denken en gaan denken
www.humanefficiency.nl/psychologie/hoe_denken_mensen.php

12)List-, bedrog- en intimidatie-psycho­logieList-, bedrog- en intimidatie-psycho­logie.
www.humanefficiency.nl/psychologie/list_bedrog_intimidatie.php

13) Toen de Griek Archimedes met een leeg werkgeheugen in een vol bad stapte realiseerde hij zich dat de steiging van het water in bad gelijk moest zijn aan het volume van zijn lichaam. Hij was daardoor zo opgewonden dat hij de straat op rende, naakt dus, en riep: Eureka, ik heb het gevonden. Hij kon nu bewijzen dat de gouden kroon van de koning niet van massief goud was. De koning was dus bedrogen!

14)List, bedrog en intimidatiepsychologie
http://www.humanefficiency.nl/psychologie/list_bedrog_intimidatie.php

15) Bespreking van Daston ’s boek: Rules: A short history of what we live by. NRC, vrijdag 3 maart 2023.


Naar de literatuurlijst, www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur_final.php
80 titels: rekendidactiek, wiskunde, filosofie en psychologie.

 Andere hoofdstukken  


0 Voorwoord



Meer: klik en ga naar: Voorwoord

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/voorwoord.php

1 Reken­voor­waarden

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen?

Meer: klik en ga naar: Reken­voor­waarden

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/voorwaarden.php

2 Tellend optellen

Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes.

Meer: klik en ga naar: Tellend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/tellend_optellen.php

3 Kijkend optellen

Tellen op de vingers is populair. Vreemd eigenlijk. De ogen kunnen veel sneller tellen.

Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/kijkend_optellen.php

4 Denkend optellen

Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is heel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan.

Meer: klik en ga naar: Denkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/denkend_optellen.php

5 Nul

Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

Meer: klik en ga naar: Nul

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/nul.php

6 Plaatswaarde

Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen.

Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/plaatswaarde.php

7 Breken naar 10

Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen?

Meer: klik en ga naar: Breken naar 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/breken.php

8 Ruilen van 10

Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. ,Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de ,kindrealiteit.

Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/ruilen.php

9 Getal­kennis

Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona.

Meer: klik en ga naar: Getal­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/getal_kennis.php

10 Psychologie­kennis

Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen?

Meer: klik en ga naar: Psychologie­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/psychologie_kennis.php

11 Statistieken

De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’).

Meer: klik en ga naar: Statistieken

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/statistieken.php

12 Literatuur



Meer: klik en ga naar: Literatuur

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/literatuur.php

13 Index



Meer: klik en ga naar: Index

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/index_tot_alfabetisch.php


Leonard Verhoef
Leonard Verhoef: van onderzoeker van het denken naar ontwerper voor het denken in het dagelijks leven nu én in de toekomst. Ontwerpen voor computer- en webgebruikers, voor rekenmeesters en betalers, voor reizigers, vluchters en professionals op land-, spoor-, weg- en waterwegen.

Blijven onze superhersenen een limbische regelsslaaf in dienst van de cultuur (techniek, onderwijs en overheid)? Of gaat de prefrontale cortex heersen en maakt zijn supervermogen de dienst uit?
More, click and go to CV: Leonard Verhoef


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.