Hoofdstuk 8 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 8 Psychologiekennis  

 

Kijken, praten, leren en denken van het kind



Hoe kijkt, praat, leert en denkt het kind over en met getallen? Hoe kan het kind de werkelijkheid met getallen beter beheersen?
   





8.1 Welke psychologiekennis


8.1.1 In de VS

In de USA was het de Stimulus-Response-psychologie die door kwantificering van in- en outputs probeerde de black box ’mens’ te begrijpen. Je voert gewoon uitvoerige statistische analyses uit op antwoorden en reactietijden. Europa nam deze aanpak over. Je vindt dat nog wel terug in toetsen.
  

8.1.2 De Russen en de Utrechters

De 'Utrechtse rekenschool' begon bij Schoolpedagogiek (Bijl en Teunissen, RUU). legde met van Parreren van het psychologisch Laboratorium (RUU) een link van de Russische handelingspsychologie . De handelingspsychologie ziet de mens niet als een black box maar als een doelgericht handelend wezen. Dat wil zeggen dat materiële ontwikkelingen, het bezit en daarmee het lot van de mens bepalen De basis van het denken is de materiële handeling. Een mens leert mentale (hoofd-) reken­handelingen door te beginnen met materiële optelhandelingen Er zijn motorische, visuele, verbale, geheugen- en mentale handelingen met concrete blokjes maar ook handelingen met abstracte begrippen. De mens voert deze handelingen uit met zijn de spieren, de ogen, het taalvermogen en de hersenen. De handelingspsychologie is kwalitatief. Geen foutpercentages en gemiddelden maar handelingen: Hoe doe je het? én Je zou het ook zó kunnen doen.

Ook kwam er contact met Freudenthal (RUU, IOWO, nu Freudenthal instituut, Op de School adviesdienst van Utrecht ontwikkelde Nelissen een rekenmethode. Nadat het optellen en aftrekken in Utrecht in kaart gebracht was werd de Kwantiwijzer door Onderwijssociologie (Erasmus Universiteit) geïmplementeerd De teksten hier en de bijhorende sommen (www.rekenhaas.nl) passen in de Utrechtse onderwijskundige traditie en de Utrechtse toegepaste cognitieve psychologie


1) De beoordeling in de VS

De beoordeling van het gedrag is product gericht en kwantitatief. De toenmalige Schiedamse Rekentest bepaalde het aantal fouten dat het kind maakte. De norm voor de beoordeling is groepsstatistiek: wat is de positie van dit kind ten opzichte van de groep (gemiddelden, percentielen, geslaagd, gezakt, andere school). Deze aanpak past bij groepsonderwijs (klassikaal onderwijs). Erg gemakkelijk voor de psycholoog, gewoon flink rekenen met uitkomsten en reactietijden. Dat werd nog gemakkelijker met de komst van computers.

Dat is ook wat politici en ouders willen: goede uitkomsten, hoe dan ook. Het is dus heel begrijpelijk dat veel kinderen denken: Bekijk jij het maar reken­meester met je ’slimme’ tweelingen, één-er-bij’s en omdraaiers. Ik blijf gewoon tellend optellen met mijn vingers dan weet ik zeker dat ik eenvoudig een goede uitkomst krijg. Dat is wat jullie willen, een goede uitkomst en vooral niet experimenteren met handige methoden en mogelijk wat beginnersfouten. Vooral bij gehoorzame 'pleasers' kun je dat zien, 'intelligent' of niet. Die productgerichtheid en de bijhorende toetserij leidt mogelijk mede tot het teltrauma".

  
2) De beoordeling in Utrecht

Voor de handelingspsychologie is de norm voor de beoordeling niet de groep maar het doel van de handeling: Is dit een handige manier om het doel te bereiken? Handig betekent dan: snel, lage kans op fouten en breed toepasbaar.

Analyseren en beoordelen van handelingen in een leerproces is lastig. Het onderwijs en de test­psycho­logie moesten daar erg wennen. Misschien is het eigenlijk nooit echt goed van de grond gekomen. Onder leiding van Van Parreren is de handelings­psycho­logie uitgewerkt met de focus op het leren rekenen. Dit werd geconcretiseerd in de diagnostische ’test’ de Kwantiwijzer. Heel sluw. Het woordje test met al zijn klassieke connotaties konden gebruikers er daardoor niet achter plakken. Een Kwantiwijzer is door Zwijssen uitgegeven


3) De oplossing van de VS

De getallen van een productgerichte aanpak komen de maatschappij goed uit. De maatschappij wil weten:
  • Welke leerlingen moeten naar een speciale school? Dat vroeg de overheid namelijk rond 1905 aan de Franse psycho­loog Binet. Het antwoord was de eerste intelligentietest.

  • Wie is geschikt als officier? vroeg het Amerikaanse leger in de eerste Wereld Oorlog. Ook toen kwamen psycho­logen met IQ. Snel bleek overigens dat de intelligentsten niet ook de beste officieren waren.

  • Wie moet naar de Havo? De discussie over de rol van de Cito-toets is inmiddels een jaarlijkse traditie in politiek en media.
De maatschappelijk wil een algmene performance maat. De meester weet wel dat een kind zwak is. Hij wil precies weten waar het kind zit en hoe hij het kind verder krijgt.

   4) De oplossing van Utrecht

Bij de Utrechtse aanpak ligt de focus op: Waar zit dit kind nu in het leerproces en wat de volgende stap is waar de reken­meester dit kind toe moet verleiden. Dit kan via de zone van naaste ontwikkeling en sluwe leerbladen ( en ).



8.2 Vermaterialiseren van handelingen

Het woord 'handeling' kun je op verschillende manieren opvatten. hanteren de omschrijving van het dagelijks spraakgebruik: met de handspieren concrete objecten manipuleren. 5 blokjes en 4 blokjes Tellend optellen is een materiele handeling. In de handelingspsycho­logie gaat het niet alleen om concrete objecten maar ook om abstracte objecten zoals getallen. Verder gaat het niet alleen om spierhandelingen maar ook om visuele, taal, geheugen en mentale handelingen Met de vingers tien kralen op de staaf van de eenheden inwisselen voor één kraal op de staaf van de tientallen is een materiele handeling. Zeggen Een (tiental) onthouden. bij het optellen van 9+5 bij een som als 89+5, dat is dezelfde handeling maar dan verbaal.



8.3 Verbeelden van handelingen

Visualisering moet. Die les is wel bekend. Dat vindt de psycho­logie ook. Een leerboek zonder plaatjes kan niet. De conclusie is dan dat er kabouters en paddenstoelen in het rekenboek moeten. Nu is het inderdaad zo dat de hersenen aanzienlijk beter zijn in het verwerken van visuele informatie dan in het verwerken van verwoorde informatie. Als een zevenjarige problemen heeft met het visuele en ruimtelijke werkgeheugen dan is de kans op problemen bij rekenen en wiskunde groot Verbalisering, ja, is er ook. Maar we zullen nog zien dat verbaliseringen niet zoveel kracht hebben ().

Dus ...

Een plaatje is het recept dat het oog ziet maar niet de maaltijd die de maag ingaat. Dat recept moet oogvriendelijk zijn. Die onontkoombaarheid van het waarnemen van de handeling, kan de reken­meester realiseren door een oogvriendelijk ontwerp.


Een verbeelding is oogvriendelijk wanneer de noodzakelijke informatie in het oogfixatieveld past, een markant patroon heeft, overeenkomt met de uit te voeren handelingen en liefst flitsend of dynamisch getoond kan worden. Met oogvriendelijke patronen kan het oog, zonder tellen, sommen tot 20 maken


8.3.3 Oogvriendelijk met kind­realiteit

Bij ’realistisch rekenen’ worden elementen uit de realiteit die niet noodzakelijk zijn voor de rekenhandeling ingebracht. Een plaatje of verhaaltje omdat het moet en ter decoratie. Realistisch rekenen geeft, zoals terecht opmerkt, veel irrelevante context en decoratie. Men zegt dan: Een plaatje zegt meer dan 1000 woorden. Als dat zo is, waarom zegt hij het dan, zou je zeggen. Vooral wanneer het gaat om wat je in de werkelijhkheid niet ziet, zoals getalsrelaties.


De som 27+18 realistisch
De zeer lastige breek om 10 handeling of de zeer lastige ruilhandeling met 10 eenheden is niet te zien en niet te lezen (7+8=(7+3)+5).

Bron:

Verbeelding 62.

Min of meer als alternatief voor ’realistisch rekenen’ staat hier de ’kind­realiteit’. Bij ’kind’realiteit sluit het rekenen aan bij de wereld van het kind door te laten zien hoe het kind zijn wereld buiten de rekenles met getallen kan ordenen. Hier staan daar voorbeelden van. Een psycho­logische bijvangst van kind­realiteit is meer fun voor het kind en incidenteel leren .


8.3.4 Oogvriendelijk met een goede pasvorm voor het oogfixatieveld

Vroeger vouwde de mens zich om apparaten heen. Nu bouwen ontwerpers van auto’s en cockpits controls om de mens heen. De meest gebruikte controls liggen in het handbereikveld. Zo is er ook een ’oog-bereik-veld’.

Op het netvlies ligt rond het fixatiepunt een ovaal veld met zeer veel receptoren. Let wel een veld, geen lijn. Het aantal receptoren neemt af naar de zijkant van het blikveld. Het oogfixatieveld heeft een afmeting van 5°. Daarmee kan een mens ongeveer 10 letters redelijk lezen. Informatie in het oogfixatieveld is bewust aanwezig en hoeft niet in het werkgeheugen.

In het centrum van het netvlies liggen meer receptoren dan in de periferie. Daardoor is de informatie scherp te zien in het oogfixatieveld.

Verbeelding 63.

Wanneer informatie die nodig is buiten de oogfixatieveld valt, dan is het werkgeheugen nodig om die informatie vast te houden, een oogbeweging naar de volgende informatie te gaan, deze informatie ook in het werkgeheugen plaatsen en tot slot dan de informatie verwerken. Bijvoorbeeld één tiental onthouden.

Langwerpige verbeeldingen passen niet goed in het cirkelvormige oogfixatieveld. Dat geldt voor lijnverbeeldingen zoals de getallenlijn en rijgmethoden .

Ronde stippen hebben een groot visueel oppervlak. Ze hebben een veelvoud van het aantal pixels van cijfers. Daardoor zijn ze ook waarneembaar wanneer ze iets buiten het oogfixatieveld liggen. Verder zijn stippen niet gebonden aan een lijnverbeelding. Je kunt ze in een (oogfixatie)veld plaatsen en zo het hele veld benutten. Verder geeft kleur de mogelijkheid om in de stippen getal­structuren te verbeelden. Tot slot geeft een lege stip, een ring, een goede verbeelding van de nul, die rare snuiter. Om deze redenen verbeelden we hier aantallen met stippen.



Alle informatie om 8+5=8+2+3=13 met breken om 10 uit te rekenen is in het oogfixatieveld aanwezig

Verbeelding 64.


8.3.5 Oogvriendelijk met markante patronen

Mensen kunnen zeer goed gezichts­uit­drukkingen waarnemen en interpreteren. Zie je niet snel genoeg aan het gezicht van de leider dat hij boos begint te worden dan heb je minder kans op overleven. Niet alleen mensen overigens. Schapen bijvoorbeeld ook. Schapen willen zich niet vergissen tussen een witte schapenkop en een witte wolvenkoop. Dus heeft een evolutie van miljoenen jaren een oog gebouwd dat complexe figuren zeer goed kan waarnemen en voor een deels zelfs geïnterpreteerd naar de hersenen stuurt.

En dat gaat snel, binnen 233 milliseconden. Ook wanneer het patroon ingewikkeld is en delen van het patroon zich wat in de periferie van het oogfixatieveld bevinden. Die snelheid komt mede door partial identification. Het oog kijkt maar met een half oog. Het oog accepteert onvolledige informatie. Die werkwijze kan tot ongelukken leiden Ook neurologen hebben partial identification in de hersenen zien gebeuren Om de herinnering sneller en efficiënter te maken koppelen de hersenen ijskoud en zonder overleg, delen van de waarneming af Markante patronen blijven herkenbaar ook wanneer een deel van het patroon het oog of de hersenen een deel van de informatie weggooien. De mens is dus al miljoenen jaren heel vaardig in het visueel herkennen van complexe patronen. Getalsrealties kunnen gemakkelijk verbeeld worden in stippatronen. Deze aantal­stippatronen passen goed in het oogfixatieveld kunnen gemakkelijk een markant patroon krijgen. De ogen zijn dus niet de oorzaak van het teltrauma. Tenminste, als je goede stippatronen geeft. Wat nu, als je dat niet doet. Je geeft bijvoorbeeld een volgordelijnverbeelding. Ja, dan zou de oplossing voor het teltrauma dus wel eens de oorzaak kunnen zijn.


8.3.6 Oogvriendelijk met compatibiliteit met de inhoud

De nagestreefde mentale handeling zo toont dat de waarneming deze handeling uit kan voeren. Een bloemetje bij een som voorkomt niet dat een kind op zijn vingers gaat tellen. Wat je ziet moet overeenkomen met wat je moet denken. De verbeelding moet over­een­stemmen met de rekenkundige structuur. Zo kun je termen onder elkaar plaatsen omdat de getallen tot 100 een twee-dimensionale structuur hebben . Ook kun je cijfers voor eenheden groen kleuren en cijfers voor tientalen blauw. Dus niet alle cijfers zwart en wel een gekleurd bloemetje er bij.


8.3.7 Oogvriendelijk met flitsen

Je kunt een ongewenste handeling, bijvoorbeeld tellen, onmogelijk maken door de opgave zo kort te tonen dat tellen niet mogelijk is.


8.3.8 Oogvriendelijk zonder visueel vergissen

Vaak zijn ’reken’fouten vergissingen die ontstaan door een slechte vormgeving. Als de termen naast elkaar staan krijg je meer visuele mismatches tussen tientallen en eenheden en meer Eén tiental nog bijtellen. vergissingen dan wanneer de termen onder elkaar staan . Dit zijn geen rekenfouten van het kind maar ontwerpfouten van de reken- of de taal­meester. Klassieke testpsycho­logen zijn daar duidelijk over. Dit soort materiaalfouten tast dat de begripsvaliditeit van de test aan leert de testbijbel al 56 jaar. Niet fout rekenen dus. Gewoon ’missing data’. Je kunt tegen het kind eventueel zeggen Kijk eens goed. en vrijwel altijd verbetert het kind zich, zo is mijn ervaring. Je kunt ook gewoon niets zeggen en de som niet meerekenen. Bij een begripsfout heeft het kind iets niet begrepen omdat de reken­meester een te grote stap genomen heeft. Dan moet de reken­meester actie ondernemen. . Omwisseling van tientallen en eenheden is geen rekenfout van het kind maar een ’fout’ van de taal­meester. Laat kinderen die zich vaak vergissen de pilotentelwoorden gebruiken. Is ook wel stoer.


8.3.9 Hersenvriendelijk door visuele preprocessing

Het oog kan informatie zelfs al geïnterpreteerd naar de hersenen zenden, bijvoorbeeld Hersenen, hier komen vier stippen aan. (subitizing, § 3.3.5.2).


 8.4 Verwoorden van handelingen  

Taal is in het (reken)onderwijs belangrijk. Zegt men.


8.4.1 Taalfilosofie

De grootste filosoof van de vorige eeuw is Wittgenstein. Hij ging filosofie studeren om zijn denken te bevrijden van de hekserij van de taal Hij was ook een paar jaar leerkracht. Op een basisschool. Het zal toch niet waar zijn? Rekenproblemen omdat de taal­meester de kinderen behekst. Een inspirator van Wittgenstein ging nog een stapje verder. Frege draaide het om. Hij probeerde een rekentaal te maken die de woordtaal kon vervangen. We zouden dan praten zoals we rekenen en onzin zou dan beter zichtbaar zijn. Goed, maar snel weg bij de filosofen.


8.4.2 Taalpsychologie

Kijken doet de mens al zo'n 7 miljoen jaar. Een woordtaal gebruiken mensen hooguit 100 000 jaar. Kijken kunnen mensen dus aanzienlijk beter dan praten. Zeker achtjarigen. Dat is een. Verder kan taal gemakkelijk onduidelijk zijn. Hier tellen we 79 rekenwoorden die in het rekenonderwijs in de onderbouw gebruikelijk zijn, maar die rekenkundig of psycho­logisch gezien onduidelijk of zelfs fout zijn.

De vraag wordt dan toch wel:
Is taal belangrijk omdat de gebruikelijke rekentaal de getallen goed verwoordt?
of
Is taal belangrijk omdat de gebruikelijke rekentaal de getallen níét goed verwoordt?
Met andere woorden: moet er ook rekentaalles gegeven worden?

Die gebruikelijke rekenwoorden zou je moeten veranderen. Maar dat is wel lastig, als je ineens rekentaal moet spreken tijdens de rekenles. Lastig voor de reken­meester, wel te verstaan. Teksten in een ander reken’geloof’ zijn lastig te lezen. Dat is hier wel te ervaren. Overigens is dat alleen in het begin zo. Maar daar gaat het niet alleen om. De foute verwoordingen verzwakken de waarde van het verbaliseren en versterken het idee dat de reken­meester misschien maar beter zijn mond kan houden. Die suggestie turfden we hier 7 keer. De reken­meester moet niet alleen getalkennisles geven maar ook rekentaalles: Het is een veld, precies als het honderdveld, maar ze noemen het een grafiek/analoge klok, etc. Die woordanalyses hier zijn hopelijk wel verwarrend voor de reken­meester die goed taal­meester­reken­taal spreekt. Dat is mooi. Dan weet de reken­meester ook eens hoe het nog niet aangepaste en nog logisch denkende kind zich voelt.En dan nog, een beetje als klap op de vuurpijl: de essentie en de kracht van getallen en wiskunde is de abstractie en contextloosheid. Geen emotie en geen geframe door sluw gekozen emotioneel geladen woorden. Die essentie verdwijnt door kwistig met synoniemen te strooien. En dat is dan ook weer een leerzame les voor kinderen. Maar oei, wat eng. Nu komen we alweer in de buurt van Wittgenstein en Frege Zij wilden de hele taal van de taal­meester vervangen door een rekentaal. Dit om te voorkomen dat de taal­meestertaal ons zou beheksen.

We zijn er nog niet. Gesproken en geschreven taal heeft het werkgeheugen hard nodig . Maar rekenen en leren ook. Taal is heel rijk en flexibel. Je kunt gewoon tegen het kind zeggen: Ik zeg het nog één keer, goed opletten, anders wordt het nooit wat met jou. Niemand heeft door dat het de reken­meester is die iets niet begrijpt. Lukt het niet? Ja moeder, het memoriseren gaat nog niet zo goed. Ga thuis maar goed oefenen. Hier heeft u wat (slome) werkbladen. Zulke teksten zijn natuurlijk eenvoudiger dan het ontwerpen van een sluw leerblad of een goede verbeelding ( , )? Ook veel eenvoudiger dan het lezen, begrijpen en toepassen van dit soort teksten over het leren rekenen.


8.4.3 Taal en de hersenen

Er waren zelfs psycho­logen die dachten dat denken, en dus rekenen, gewoon snel praten was. Zij constateerden dat er bij het rekenen minimale activiteit was in de stembanden. Instampen zou dus wel psycho­logisch verantwoord zijn! Overigens dan wel met sommen mét uitkomst. Maar deze Sapir-Whorf hypothese is nu wel geschiedenis. Recenter definieert Gal’perin automatisering al als een in wezen verbaal proces. Maar door verkorting en vergaande beheersing zijn de verbale elementen verdwenen (In: Van We kunnen nu veel beter in de hersenen kijken dan toen. Dan zie je dat woordtalen van de mens gebruik maken van de linker hersenen, de groeven van Sylvius Het rekenen speelt zich vooral af aan de voorkant, de prefrontale cortex. Kennelijk denken de hersenen: Zo, dat rekenen is een heel andere koek dan taal. Een logische koek. Dat past niet bij woordtalen, maar ergens voorin.


8.4.4 Verwoorden vóór of ná verbeelden?

De meeste leerpsycho­logische theorieën plaatsen visuele handelingen vóór verbale handelingen. De gedachte is dat tekst meer op denken lijkt dan een plaatje. Gal’perin doet dat niet en legt zelfs veel nadruk op het verbaliseren van de handeling vóór het verbeelden Zijn stelling is dat je verbaal, de handelingen precieser kunt omschrijven dan visueel. Verder kan er visueel veel mis gaan. Dat laatste is waar. Dat blijkt hier ook uit de oogvriendelijkheid van rekenmaterialen . Maar er kan met woorden ook veel misgaan is hier te lezen.


8.4.5 Verhaaltjessommen

Willem Bartjens (1604) kwam al met verhaaltjesommen ( noot 2). Heel begrijpelijk. Zijn leerlingen werden kapitein op een schip of in het leger en daar moet je veel rekenen. Bartjens kwam met realistische sommen als: Na een plundering moet de kapitein 34 kazen en 5 paarden verdelen over .... Later kregen verhaalsommen het positieve frame van ’verhaaltjes’ en ’realistisch’. onderzocht de sommen in 1978 en concludeert in 2022 dat verhaaltjes­sommen weinig effect hebben, veel onderwijstijd kosten en dat het wel erg moeilijk is een goed verhaaltje te maken. En dan tot slot. Na het basisonderwijs komt de algebraïsche methode aan de orde. Met die methode zijn verhaalsommen goed op te lossen. Sommen in een verhaal, misschien vooral verdwaal in de taal.


8.4.6 Rijm

Je zou kunnen denken dat rijm een zinloze associatie is en niet werkt en geen inzicht geeft. Echter. De hersenen zijn een netwerk dat als een idioot verbanden legt. Je zegt vork als je snel antwoord op de vraag: York, york, york, soep eet je met een ....De associaties van de taalhersenen zijn sterker en sneller dan de redeneerhersenen die weten dat dit onzin is. Het liefst dan ook nog een rijmende tekst die de uit te voeren handeling beschrijft. Natuurlijk kan rijmend rekenen zo een truc worden. Maar goed het is wel een therapie tegen het teltrauma want het kind telt in ieder geval niet. Voor het kind kan het ook fun zijn eens van dat tellen af te raken. Met een aantal van die tientalligheidstrucjes heb je natuurlijk wel kans dat het kwartje gaat vallen .

Dus ...

Tja, die rekentaal. Het is dan toch een beetje als een Chinese meester Engels, die alleen Chinees spreekt. Misschien moet de reken­meester voor de kinderen een rekentaalmeester zijn de de kinderen leert de rekentaalwoorden die de taalmeester bedacht heeft te begrijpen. Verder moet hij misschien gewoon zijn mond houden en slimme leerbladen geven (resp. ). Dat komt vaker voor.



 8.5 Verkorten van handelingen 


8.5.1 Leren met instampen en oefenen

Oefenen, herhalen, memoriseren, instampen kun je reken­meesters horen zeggen. Oefening baart kunst is er ook zo een. De veronderstelling is dat veelvuldig oefenen de kennis opslaat de bibliotheek; het lange­termijn­geheugen. Klaar is reken­meester Kees Zo is dat. Euh, oh ja? Een verantwoording voor instampen is dat het geheugen een ladekast is waar je informatie instampt. In die geheugenladekastmetafoor zitten wat curiosa.

  • Op zich is het curieus dat je moet stampen in een lade die leeg is. Zoveel herinneringen hebben kinderen niet en onthouden kunnen zo over het algemeen heel goed.

  • Verder is curieus dat sommen die kinderen tientallen malen ingestampt zijn er maar niet inkomen. Stampen doe je immers als het gewoon niet lukt. Om in de metafoor te blijven: misschien moet je malen.

  • Als het geheugen een ladekast is, hoe komt het dan dat je je eigen naam niet uit de lade kan krijgen?
Nog meer twijfels aan de ladekastmetafoor zijn te lezen in: en Metaforen voor psycho­logische processen zetten de leek eigenlijk altijd op het verkeerde been, concludeerden de psycho­logen

Je kunt instampen ook onderbouwen door Ebbinghaus te noemen. doet dat. Maar Ebbinghaus is inmiddels al ruim 100 jaar dood. Hij onderzocht aanvankelijk inderdaad het onthouden van een rij zinlóze lettergrepen. Dat zijn die in te stampen sommen in principe ook.Ebbinghaus begreep al heel snel dat je lijsten met zinvólle woorden moest onderzoeken. Die woorden leren mensen veel sneller. Zinvolle woorden kunnen de hersenen koppelen aan aanwezige kennis Je zou kunnen zeggen dat Ebbinghaus juist zegt: Níét instampen maar de nieuwe kennis aansluiten bij bestaande kennis, bijvoorbeeld die van de kind­realiteit. De hersenen zijn een grote kenniskoppelmachine. Een recentere psycho­logische verantwoording voor instampen biedt de Sapir-Whorf hypothese Denken is gewoon snel praten. Onderzoekers constateerden dat er bij het rekenen minimale activiteit was in de stembanden. Instampen zou dus wel psycho­logisch verantwoord zijn! Overigens dan wel met werkbladen met sommen waar de uitkomst achter staat. Maar dat denken gewoon snel praten is, dat is nu ook wel geschiedenis.

Dus ...

Hoe dan ook, het blijft vreemd. Het onzinnige Un, dun, dip. gaat er in als koek maar het logische 5+4=9 maar niet. Hebben de kinderen de sommen nooit gehad? Neen. In groep 3 tot en met groep 5 toch wel tientallen keren. En kinderen met ’rekenproblemen’, komen met ouderhulp, ’bijles’, etcetera mogelijk zelfs op honderden keren. De kinderen hebben de sommen vaak gezien. En dat instampen werkt kennelijk niet. Anders heette het wel geen instampen. Het is hardnekkig, dat teltrauma. Mischien stampt instampen het tellen er wel in en niet de uitkomst.


8.5.2 Leren met slome werkbladen

Voor instampen en oefenen gebruikt het rekenonderwijs werkbladen. Afgezien van de rammelende psycho­logische verantwoording voor werkbladen in de vorige paragraaf, zijn er ook wat vraagtekens die het gezond verstand kan zetten.
  • Maakt het kind op een sommenblad een fout dan krijgt het een punt minder. Beter je best doen Jantje. Je zou ook kunnen zeggen Beter je best doen reken­meester. je hebt iets kennelijk niet goed uitgelegd. Leer het kind dat een uitstekend antwoord is: Weet ik niet hoor, dat heb je me nog niet goed uitgelegd. De reken­meester hoeft dan ook minder na te kijken. Hij kan aan de niet gemaakte sommen eenvoudig zien wat nog uitleg behoeft.

  • Wat te doen als het kind de som fout maakt? Sommen die het kind niet beheerst zou je het kind eigenlijk niet moeten geven. De fout heeft de tijd om zich in de hersenen te nestelen. Krijg de fout er dan maar weer eens uit.
   
’Sloom’ rekenblad, product gericht.

Verbeelding 65.
  • Verder is het wat vreemd om sommen te gaan stampen zonder eerst werkbladen te geven mét de uitkomst. Je krijgt dan boerenkool zonder boerenkool. De taal­meester geeft eerst wel een werkblad mét de uitkomst.

  • Die ’werk’bladen zijn dus geen ’werk’bladen maar ’toets’bladen. Maar je moet eerst ’leer’bladen geven en dan gaan toetsen. Ten minste als je nog niet zeker weet dat de leerbladen hun werk gedaan hebben.
De taal­meester
geeft eerst
een rijtje
met uitkomst:
En daarna
een rijtje
zonder uitkomst:
hond = dog  hond = . . .
kat = cat   kat= . . .

Eerst de te leren kennis tonen,
daarna de geleerde kennis toetsen.

Verbeelding 66.

Dus ...

Gezien de kanttekeningen en de duidelijkheid noemen we de gebruikelijke werkbladen hier ’slome’ werkbladen. Dat is een. Verder zou het wel eens zo kunnen zijn dat de slome werkbladen niet de oplossing zijn van het teltrauma maar de oorzaak.


8.5.3 Leren met het werkgeheugen

De ogen hebben een oogfixatieveld en de hersenen hebben ook zo iets: het werkgeheugen. Het werkgeheugen is de mentale focus. Blind valt nog wel te leven. Als het werkgeheugen niet meer werkt dan is leven wel erg moeilijk. Het goede nieuws is dat het leven vereenvoudigt als je het werkgeheugen goed verzorgt noot 3). Baddeley heeft het werkgeheugen op de psycho­logische kaart gezet. Nog steeds blijken ook wetenschappers het werkgeheugen gemakkelijk te vergeten. schreven ruim 30 jaar na Baddeley een bijbel over het denken: The evolution of modern thinking. Een tamelijk wetenschappelijke zoektocht naar het denken van de mens. Tot hun eigen verbazing ontdekten ze dat de essentie van het denken is: ... het werkgeheugen. Het echte ’denken’ en ’creativiteit’ zou dus wel eens in het werk­geheugen plaats kunnen vinden. De reken­meester moet dus zorgen dat het werkgeheugen leeg blijft. Onhandig is wel, dat het werkgeheugen eigenlijk een wat chaotisch vergiet is. Ook onhandig is dat er grofweg maar zo’n zeven elementen in passen.

En de reken­meester. Uit neurologisch onderzoek blijkt dat het werkgeheugen bij kinderen die rekenen harder werkt dan bij volwassenen Ook blijkt dat discalculie samengaat met defecten in het werkgeheugen. Reden temeer het werkgeheugen zo min mogelijk te belasten. Dat kan de reken­meester doen door informatie die in het werkgeheugen moet, sluw in het oogfixatieveld te zetten (). In dit licht is het psycho­logisch opmerkelijk om rekenen eenvoudig te maken door realistisch te gaan rekenen. Het werkgeheugen wordt dan gevuld met een ingewikkelde verhaal en verbeeldingen.


8.5.4 Leren met zelf ontdekken

De overeenkomst tussen de handelingspsycho­logie en de (Amerikaanse) leerpsycho­logie van zelf-ontdekkend leren is, dat de leerling niet passief luistert naar hoe het moet maar actief handelingen uitvoert. Wel is er een kans dat het ’zelf-ontdekkend leren’ een Zoek het lekker zelf maar uit-onderwijsmethode wordt.


8.5.5 Leren met stapjes

Elke leerpsycho­logie geeft aan dat de meester stapjes moet onderscheiden. Bijvoorbeeld de anker ideeën van en mastery learning van
  • Gagné spreekt over hierarchie. Je begint bij wat iedereen kan. Je moet volgens Gagné de leerstof ordenen op basis van de complexiteit van de handeling. 8+1 is eenvoudiger dan 8+5. Dus eerst sommen als 8+1 en dan sommen 8+5. Klaar is reken­meester Kees. Hier is te lezen dat die leerstap aanzienlijk complexer is. Je zult bijvoorbeeld eerst nul uit moeten leggen, plaatswaarde en eventueel breken om 10 en inwisselen.

  • Verder kan de reken­meester leerstof ordenen op basis van de empirische moeilijkheidsgraad. Maar dat is min of meer jezelf in de staart bijten. De empirische resultaten zijn namelijk het gevolg van het onderwijs. Geeft een handeling een probleem dan los je het probleem op door de handeling later in het leerproces te plaatsen. Je gaat het onderwijs niet veranderen. En maar hopen dat het kind inmiddels zo wijs geworden is, dat het dan wel snapt wat je bedoelt.

  • In het rekenonderwijs is het gebruikelijk leerstof in te delen op basis van de grootte van de getallen Pas na een of twee jaar komen de kinderen bij 1000. Opmerkelijk.
    • Willem Bartjens begon gelijk met grote getallen. Op pagina 1 al tot 100 en op pagina 3 kwam hij met miljard Vervolgens ook vrij snel een uitbreiding naar links en naar rechts (millimeter, micron, kilo, mega en giga)?
    • Nog verder terug. Archimedes vond het na het getal 10 000 wel welletjes. Hij gaf die grote getallen geen namenen als miljoen en miljard. Hij benoemde die grote getallen met een soort machten. Vervolgens ging hij met koningen in discussie over het aantal zandkorrels op dit strand, op al de stranden van de koning en op al de stranden van de wereld Archimedes kon zich die aantallen ook niet voorstellen. Maar hij kon ze wel berekenen en opschrijven.
    • Kinderen kunnen zich getallen als 2 000 000 niet voorstellen. Nou ik ook niet. Alhoewel. Als je op één A4-velletje tien MAB-1000-kubussen zet, heb je het getal 100 000 verbeeldt. Met 10 velletjes en een nietje ben je al bij 1 000 000. Die 2 000 000 getekende MAB-blokjes passen vast wel in een gang van de school. Vraag bollebozen eventueel het aantal klaslokalen je daarmee kunt betegelen. Bepalen ze het proefondervindelijk, gaan ze uitgeknipte blokjes neerleggen of gaan ze rekenen? Als ze gaan rekenen dan kun je ze ook bezig houden met het volgende probleem. Wanneer zal een slak aankomt als hij kruipt naar een zwarte gat, hier 27 000 lichtjaar vandaan. Ik kan me dat niet voorstellen. Maar ik kan het wel uitrekenen. Die berekening is verder aardige oefening voor inzicht in begrippen als eindeloos en oneindig. Desnoods alleen voor bollebozen. Inmiddels verbeeld je ook het vermenigvuldigen van tientallen.
    • Verder gaat het niet om getallen. Getallen zijn een middel om aantallen te beheersen. Als je een operator vraagt wat de temperatuur van het koelwater is dan zegt hij: Goed. of Iets te hoog maar hij loopt niet op. Het juiste antwoord op de slakkenvraag is dus eigenlijk: Te ver, haalt hij nooit. of Wat een onzinvraag. Je lijkt Archimedes wel met zijn zandkorrels.
    • Het gaat niet om de grootte van de getallen. Het gaat om de systematiek. Als je alleen een onderdeel ziet dan begrijp je niet waar het om gaat. Als je alleen een wiel ziet dan kun je niet begrijpen wat een auto is. Grote getallen zijn geen probleem, ze zijn de oplossing. Geen grote getallen, dat geeft het probleem. Als je onder 20 blijft kunnen kinderen plaatswaarde niet begrijpen. Ze kunnen niet begrijpen dat je bij 10+8 niet hoeft te tellen. Die acht kan je gewoon op de nul leggen. Dus 10+1=12 en 1000+2 is ’ook’ 1902. Als 1 koe + 3 koeien = 4 koeien wat is er dan zo moeilijk aan dat 1 miljoen + 3 miljoen = 4 miljoen? De uitleg van het getallensysteem begint hier ijskoud in groep 4 juist met zeer grote getallen. Op 7 plaatsen in het leerproces hier, is de conclusie dat grote getallen geen probleem zijn maar de oplossing.
    • Zelfs de taal­meester doet het met zijn woordjes. Al sinds omstreeks 1800 begon de taal­meester met aap, noot, mies. Woorden met vijf of meer letters. De globaal leesmethoden in plaats van eerst het alfabet leren. Nog steeds een goede methode. Tamelijk geniaal ook, ook psycho­logisch gezien, weten we nu. De taal­meester begint niet eerst met woorden met twee letters, dan, een paar maanden later, woorden met drie letters, etc.

    Het probleem is niet dát je de leerstof op een rij moet zetten. Het probleem is hóé doe je dat. Gebruikelijk in het rekenonderwijs is grootte van de getallen, optellen en aftrekken.

8.5.6 Leren met de zone van naaste ontwikkeling

De Sovjetpsycholoog Gal’perin spreekt van de zone van naaste ontwikkeling. Daarmee bedoelt hij dat de reken­meester listig een som geeft waarvan de kind net zelf kan ontdekken hoe die som het best op te lossen Het kind krijgt ook het idee dat het de oplossing zelf ontdekt heeft. Dat geeft fun. In dezelfde buurt zit: voortschreidende schematisering van Treffers. De reken­meester buigt de oplossingen van het kind om in de oplossingen die de reken­meester wenst. De Sovjetpsycho­loog Vigotskij introduceerde het begrip zone van naaste ontwikkeling. Opmerkelijk daarbij is, dat hij stelde dat je níét moet aansluiten bij waar het kind is maar je moet aansluiten waar het kind nét niet is De zone van naaste ontwikkeling houdt in dat de meester de handeling niet vóór doet maar de leerstof zo aanbiedt dat het kind zelf de betere handeling ontdekt. Met een oogvriendelijk ontwerp stuurt de reken­meester de gewenste handeling via het oogfixatieveld het werkgeheugen van het kind in. Liefst zonder wat te zeggen.

Je zou dan geen onderwijskundige formulierenbureaucratie krijgen maar een nette ordinale leerpsycho­logische volgordelijn De uitslag van de 'toets' is dan: geen klassieke steekproef statistiek maar gewoon: Volgende keer som 1603. En eventueel: We zijn er bijna. Blijft het kind steken dan is de uitslag niet: Ah, een rekenprobleem. maar Er zit een fout in mijn sommenlijn.
  • Verkeerde verbeelding, bijvoorbeeld een plaatje omdat het moet.
  • Verkeerde volgorde. Je moet eens ophouden met die getallenlijn en wat meer met plaatswaarde en het 100-veld gaan doen.
  • Je met dit helemaal (nog) niet doen met dit kind, bijvoorbeeld breken voor plaatswaarde.
  • Verkeerde ordening van de aard van de kennis.
  • Maten en gewichten, klokkijken, ruimte is een inhoudelijke ordening, geen psycho­logische ordening.
  • Aard van de kennis afgestemd is niet afgestemd op het niveau van de cognitieve ontwikkeling. Nog niet met sommen beginnen als het kind nog geen behoud van hoeveelheid beheerst.


8.5.7 Leren met sluwe leerbladen

’Slome’ werkbladen zijn een vermentalisering van het leerproces volgens de instamp’psycho­logie’ . ’Sluwe’ leerbladen zijn een vermentalisering van het leerproces volgens de handelingspsycho­logie, met name van de zone van naaste ontwikkeling. Kenmerken van een sluw leerblad zijn: Met microstapjes loopt het kind ongemerkt door het leerproces. Vaak tot zijn stomme verbazing en met fun, zo is mijn ervaring. Bij ’sluwe’ leerbladen moet de reken­meester vooral zijn mond houden. Wat er precies in het hoofd van het kind gebeurt, ja die mentale handelingen dat weet je eigenlijk niet. Bij sluwe leerbladen zie je die verkorting gebeuren. Het kind zegt ineens: Hee, dat is eigenlijk dezelfde. of Ja dat is dezelfde som maar gewoon een er bij. Geef het kind wel de tijd om dat te ontdekken. Houd vooral je mond, suggereren we hier op 7 plaatsen.

Voorbeelden van sluwe leerbladen
     
Het rijexamen verloopt via ’slome’ werkbladen.


8.5.8 Leren met incidenteel leren

Bij incidenteel leren leert het kind, zonder dat het expliciet de bedoeling is dat het kind leert. Het kind leert iets ’en passant’, min of meer toevallig, als bijvangst. kwam daar inmiddels 54 jaar geleden mee. Daarom hier de wat meer hedendaagse en plastische term lbi-psycho­logie (list-bedrog-intimidatiepsycho­logie). Een soort geplande manier van leren, waarbij de leerling niet weet dat hij aan het leren is. Incidenteel leren is min of meer het tegenovergestelde van ’instampen’. Incidenteel leren is bij het leren rekenen goed te gebruiken, onder andere door met kind­realiteit de kinderen te leren, de getallen buiten de rekenles te zien.


8.5.9 Leren zonder fouten

Men zegt wel: Van je fouten moet je leren. En dan ook: Fouten laten zien dat je het probeert Daar zegt men meestal niet bij wie van wiens fouten moet leren.Hier is de interpretatie dat de reken­meester moet leren van de fouten van het kind. Zit de opgave in de zone van naaste ontwikkeling en maakt het kind de som goed, dan is het: Zonder fouten kun je het kind leren.

Het kan zijn dat het kind zich vergiste. Zo kan er een visuele mismatch zijn omdat de toetsmaker sommen naast elkaar zet in plaats van onder elkaar ( ). Het kind zou de som goed doen als de termen onder elkaar stonden. Of omdat de taal­meester een taaltombola gemaakt heeft van tientallen en eenheden in de telwoorden en 21 zegt en 12 bedoelt. Dat is eenvoudig te constateren. Niets aan de hand eigenlijk, houd gewoon je mond en reken de som goed reken. Of zeg gewoon Kijk eens goed. Het kan ook zijn dat het kind de som niet kan. De som zit dan niet in de zone van naaste ontwik­keling van het kind. De som was te moeilijk. Dán houdt de reken­meester natuurlijk ook zijn mond. Je zegt niet tegen een kind dat gestressed is omdat het een te moeilijke som moet uit rekenen Fout! Het is onwaarschijnlijk dat het kind de som met die ’uitleg’ wel goed zal doen. Terugschakelen, bijvoorbeeld naar een bijhorend sluw leerblad kan wel helpen.


8.5.10 Leren met verkorten

De basis moet niet een instamp­proces zijn maar de verkorting van een uitvoerige handeling. Het keiharde standpunt van de hersenfysiologie en denkpsycho­logie staat lijnrecht tegenover dat van de associatieven, de instampers en de tafeldreuners. Een procesgerichte houding (Hoe heb je het gedaan, zou het ook anders kunnen?) is verder een forse stap naar een ’nieuwe intelligentie’ waar steeds meer behoefte aan lijkt te zijn. Juist het leren rekenen leent zich goed voor het ontwikkelen van zo’ n nieuwe intelligentie. Inmiddels zo'n 52 jaar geleden introduceerde Gal'perin een onderwijskundig begripen die in overeen­stemming zijn met de fysiologie. Die verkorting is niet een kortere tijd door sneller te werken. Een kortere weg betekent niet dat je harder gaat rijden. De verkorting is een ándere weg, bijvoorbeeld met minder stoplichten. Bijvoorbeeld niet tellend optellen maar rekenend optellen.



 8.6 Vermentaliseren van handelingen 


Zijn er bij de optelling geen spieractiviteiten en geen woorden meer dan is er sprake van een mentale handeling. Wat er dan precies gebeurt, ja dat weet je eigenlijk niet. De handeling is verkort, geautomatiseerd en verloopt zo snel in de hersenen dat de rekenaar eigenlijk ook niet meer weet wat zijn hersenen doen. Hij is dan in goed gezelschap. Descartes, het getallengenie van Ik denk dus ik besta. geeft toe dat hij ook niet weet wat zijn denkende ik is Ook komt dat overeen met de huidige cognitieve psycho­logie die toch eigenlijk ook nog steeds niet weet wat intelligentie is Overigens kun je wel zien dát het kind denkt. De ogen verlaten de som en gaan naar de lucht of het plafond. Een enkeling kan verwoorden wat daar te zien is. Meestal een hutspot van lijnverbeeldingen en lijnverwoordingen (algoritmes). De som met een goede verbeelding van de oplossingswijze en de uitkomst, die wordt dan niet gezien.

Voor de onderbouwer is het kardinale getal met Rekenend optellen een mooi eindpunt. Voor het getal is kardinaliteit het begin van het feest. Denkvriendelijk betekent het volgende.
  • Zo moet de mens weten hoe betrouwbaar een waarde is. Hoe zeker is het dat het getal klopt. In het leerplan staat dan schatten Andere woorden zijn: betrouwbaarheid (gebruikelijk in de wetenschap), kans (statistiek), waarschijnlijkheid, pluim (weerbericht), uitrekenen op een bierviltje, waarschijnlijkheid en zekerheid. De betrouwbaarheid van een getal is nodig omdat in de werkelijkheid getallen toch te kunnen gebruiken ook wanneer de preciese waarde niet bekend is.

  • Verder moet de mens weten wat de trend is. Houd je steeds meer geld over of moet je je uitgaven verminderen.

  • De mens moet weten hoeveel aandacht nodig is: Is de snelheid van de trein veilig. Moet je zo maar eens beginnen met remmen. Moet je nú remmen.

  • Het apparaat moet uitgaan van een doelgetal, een point zero, een set point. De temperatuur van de oven moet 200° zijn.

  • Het apparaat moet uitgaan van de eenheden van de gebruiker. Niet: Je hebt nog 5 liter. maar Als je zo door rijdt kun je nog 100 km ver komen. Tenslotte moet het apparaat de hoeveelheden en de relaties tussen de hoeveelheden niet numeriek maar grafisch tonen.



De km-teller van de toekomst: Een technische teller van kilometers of informatie voor het denken van de bestuurder bij het uitvoeren van zijn speed control taak. Vooral bij de zelfrijdende auto is het in de gaten houden van de techniek van belang.

Klik voor meer daarover.

De bestuurder ziet geen getallen maar grafisch de relaties tussen vijf dimensies: de huidige snelheid, de toegestane snelheid, de afstand tot het doel, het remvermogen en de aandacht die nodig is

Verbeelding 67.



Denkvriendelijke verbeelding van Corona-getallen

Verbeelding 68.

Dus ...

Wanneer apparaten ingewikkelde getalrealties denkvriendelijk aan de mens tonen, dan kan de mens onzichtbare realiteiten beter begrijpen en beheersen. Bijvoorbeeld een analoge klok, een hypotheek of inflatie.

 Andere hoofdstukken  




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.