Hoofdstuk 3 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 aug. 2022.

 3 Rekenend optellen  

 

Hoe kom je van dat vingertellen af



Kinderen in groep 5 tellen nog op hun vingers. Vreemd. Ook begrijpelijk dat ze dat doen. Ook niet erg, dat vingertellen. Als je het wil oplossen dan is dat ook niet moeilijk.



Het vorige hoofdstuk ging over lijnkennis: volgordegetal, Iene, miene, mutte. Maar met dat tellen bleven de kinderen wel hangen in volgorde-kennis als Iene, Miene, muttte. Maar Iene plus Miene is samen niet mutte. De hardloper die tweede geworden is heeft niet tweemaal zo hard gelopen als de hardloper die eerste geworden is. Dat is eigenlijk paradoxaal. Nummer 6 heeft er niet zes maar is er slechts één. Nummer zes heeft er vijf vóór zich. Om te weten of een kind dit snapt leg je een rij koekjes vraag je: Wil je het vierde koekje of wil je er vier? Met volgorde-getallen kun je dus niet rekenen. Met aantal-getallen wél. 1 plus 2 is dan wél 3. Het team dat wint met 2 tegen 1 heeft wél tweemaal zoveel doelpunten gescoord.

Psychologisch en rekenkundig is er een groot verschil tussen volgorde aftellen en hoeveelheden optellen . De aard van de kennis is totaal anders. Daarom hier niet de gebruikelijke ongespecificeerde term optellen maar tellend optellen (vorige hoofdstuk) en rekenend optellen (dit hoofdstuk).


 3.1 Wat is Rekenend optellen  


3.1.1 Wat voor soort kennis is Rekenend optellen

Het verschil tussen volgorde-getal en aantal-getal is nogal groot.

Tellend optellen
Bij tellend optellen gaat om volgorde als Iene, miene, mutte., als Un, dun, dip en ook wel als 1°, 2°, 3°. Andere woorden voor volgorde zijn: rangorde, serieel en ordinaal. Volgorde-getallen zijn niet optelbaar. Het gaat om lijnkennis .
 
Rekenend optellen
Bij rekenend optellen gaat om relaties die je in een 2-d-veld kunt verbeelden. Aantal-getallen zijn optelbaar omdat het aantal met een gelijke maat bepaald is (§ 1.5.2). 2 €+3 €=5 € Maar dun + dip is onzin. Het gaat om veldkennis . Volgordegetal (tellen) en aantalgetal (aantal, rekenen) verhaspelt men vaak


Voorbeelden Voorbeelden
  • Een vrouw met een IQ van 100 is niet tweemaal intelligenter dan een vrouw met een IQ van 50.
 

  • Als de psychologie IQ als aantal-getal zou kunnen meten, dan zou wel eens kunnen blijken dat de vrouw met een volgorde-IQ van 100, dat nu gebruikelijk is, in werkelijkheid een aantal-IQ van 51 heeft.
  • In een blijf onderwaterwedstrijd, is nummer 2, de winnaar van zilver, niet tweemaal zo lang onder water gebleven als de winnaar van goud.
 
  • De ploeg die twee doelpunten scoorde heeft tweemaal meer doelpunten dan de ploeg die maar één doelpunt scoorde.
  • In een straat met eerst 10 villa's en dan een torenflat, moet de postbode meer lopen tussen villa 1 en villa 2 dan tussen flat 11 en flat 100
 
  • In een saaie nieuwbouwwijk met 100 huizen even breed, ligt huisnummer 50 op de helft.
  • Het tweede kind in de lengterij is niet tweemaal zo groot als het eerste kind.
 
  • Een man van 2 meter is tweemaal langer dan een kind van 1 meter.



Er ingewikkeld allemaal misschien. Dat komt omdat het taalkundig een hutspot is van volgorde-verwoordingen, volgorde-verbeeldingen, volgorde-getal en aantal-getal. Dat komt omdat je rekenkundig als het ware gaat dammen (veldspel) op een ganzenbord (lijnspel).


 3.2 Rekenend optellen in het leerproces

  


3.2.1 Vingertellen een probleem, wat gek

Het is toch eigenlijk wel een beetje vreemd.
  • Die te automatiseren sommen hebben een harde logische systematiek. Veel logischer en systematischer dan de woorden van het leren lezen. Logisch en systematisch, daar houden de hersenen juist zo van. Je hoeft dan niet zo veel te onthouden omdat je het gewoon 'terug' kan bedenken.

  • Getallen en sommen laten zich eenvoudiger oogvriendelijker (§ 8.3.0) verbeelden dan woorden. Visuele informatie, daar zijn de hersenen, zeker de kinderhersenen goed in. Woorden vinden de hersenen eigenlijk maar niets. Evolutionair gen is woordtaal een hype die niet leidt tot overleven.

  • Achtjarigen leren zo’n 5 woorden per dag vrijwel zonder moeite en veel woorden leren zij zonder expliciet onderwijs. Er zijn 64 sommen met termen onder 10. De helft daarvan zijn synoniemen (2=5 en 5+2). Er zijn 8 tweelingsommen (4+4) die kinderen snel leren. Houd je over 24 te leren sommen over. En die 24 sommen/woordjes leren lukt maar niet in groep 3, 4 en soms zelfs nog in groep 5. Met een leervermogen van 5 woorden per dag, zouden die 24 sommen in 5 schooldagen bekeken moeten zijn. noot 1.

  • Nu is het verder niet zo dat de kinderen de sommen nooit gehad hebben. In tegendeel. In groep 3 tot en met groep 5 toch wel tientallen keren. En kinderen die het maar niet leren komen met ouderhulp en ’bijles’ mogelijk zelfs op honderden keren.

Toch wel gek dat die sommen er maar niet inkomen. Hoe komt dat toch?

3.2.2 De verdachten

  • Een eerste verdachten zijn de getallen zelf. Getallen zijn abstract en geheel ontdaan van elke context en realiteit. Dat maakt het moeilijk getallen te koppelen aan bestaande kennis. Kenniskoppeling ontstaat door een relatie met emotie en evolutie. Daardoor leert een kind zijn moeder herkennen. Daardoor kan een gebeurtenis in één klap een onuitwisbare indruk maken en PTSS veroorzaken. De evolutie en de emotie hebben niets met getallen.

  • Een andere verdachte natuurlijk de taalmeester. Hier valt 72 maal te lezen dat de rekentaal vaak taalkundig misschien wel correct is maar rekenkundig en psychologisch gen onduidelijk of zelfs fout. Ook geeft de rekentaal vaak niet de (juiste) handeling aan en zelfs het omgekeerde van wat de rekenmeester wilt. Het vorige hoofdstuk Tellend optellen en dit hoofdstuk Rekenend optellen zijn eigenlijk vooral een ontrafeling van het door de taalmeester verwarde volgorde-getal en aantal-getal.

  • Een volgende verdachte is de focus op productresultaat (goede uitkomst) van onderwijs, toetsen, politici en ouders. Het is dus heel begrijpelijk dat veel kinderen denken: Bekijk jij het maar rekenmeester. Ik blijf gewoon tellend optellen met mijn vingers dan weet ik zeker dat ik eenvoudig een goede uitkomst krijg. Dat is wat jullie willen, een goede uitkomst en vooral niet experimenteren met handige methoden en mogelijk wat beginnersfouten. Vooral bij gehoorzame 'pleasers' kun je dat n, 'intelligent' of niet.
  • En dan het leermateriaal. De getallenlijn is een volgorde-getal middel (lijn-kennis) dat gebruikt wordt om aantal-getal (veld-kennis) uit te leggen .


3.2.3 Geen probleem, gewoon verder gaan

En dan het goede nieuws. Wanneer sommen onder 10 niet geautomatiseerd zijn dan is dat rekenkundig geen probleem. Het staat uitvoeren en zelfs begrijpen van complexe procedures als plaatswaarde en zelfs het lastige inwisselen van 10 eenheden voor 1 tiental niet in de weg.

Natuurlijk is 75+16 lastig als je 5+6 nog op je vingers uitrekent. Dat geeft meer belasting voor het werkgeheugen namelijk. Maar als je begrijpt wat je moet doen en als je de juiste hulpmiddelen hebt om het werkgeheugen te ontlasten (bijvoorbeeld termen onder elkaar te zetten), kunnen tellende kinderen dit best. Het probleem is misschien niet zozeer de werkgeheugenbelasting door het omslachtige tellen maar de stress die ontstaat door het etiket Dit kind kan niet rekenen en de angst fouten te maken. Volwassenen gaan ook op hun vingers tellen bij vermoeidheid, stress en dronkenschap. Stress heeft onmiddellijk een negatief effect op het werkgeheugen. Juist dat werkgeheugen heb je nodig bij het leren van iets nieuws.

Dus ...

Gewoon doorgaan naar volgende leerfase, met name: Nul en snel daarna met Plaatswaarde. Dat kan, zo is mij gebleken.
  • Gewoon verder gaan, bevrijdt het kind van het stomme, infantiele en soms zelfs verboden tellen. Rekenen wordt gewoon puzzels oplossen.

  • Het is fun (schijnbaar) moeilijke sommen (met grote getallen) te beheersen.

  • Bovendien maakt het kind daarbij veel sommen onder 20 als deelhandeling, al dan niet tellend. De automatisering komt dan eventueel alsnog tot stand, als bijvangst (incidenteel leren, zie resp.: § en § 9.2.4).


3.3 Hoe verbeeld je Rekenend optellen


3.3.1 Met in- en uitstappen

Bussen en liften zijn gebruikelijke verbeeldingen bij optelsommen. Je kunt passagiers optellen en aftrekken Maar je verbeeldt dan de woorden ’optellen’ en ’aftrekken’. Maar dat is niet het probleem. Het probleem is hóe je de som bepaalt, tellend of rekenend. Bovendien verleiden deze verbeeldingen tot tellen. Dat is wat je niet wilt.


3.3.2 Met kabouters en paddenstoelen

Je kunt getallen concreet maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind dat in die periode net overgaat van denken waarbij fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn naar een fase met besef van een werkelijke wereld.Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische spelregels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de regels.


3.3.3 Met vingerbeelden

Een andere visualisering van getallen is het vingerbeeld. Je kunt met twee handen hoeveelheden tot 10 weergeven.
  • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.

  • De vingerbeelden sluiten aan bij het tellend optellen uit de vorige fase. Daardoor ontstaat de verleiding te gaan tellen.

  • Om het goede vingerbeeld te krijgen moeten die vingers één voor één in de goede stand gezet worden. Dat is een motorische telhandeling. Dat kost tijd en geeft werkgeheugenbelasting.

Vingerbeeld met het getal 9

Verbeelding 14.
  • Onhandig is dat de ogen iets anders n en aan de hersenen doorseinen, dan bedoeld wordt. De ogen seinen in eerste instantie naar de hersenen: Ah, een hand, vijf vingers. Vervolgens misschien nog: Een vinger wijkt af. Dan concluderen de hérsenen: Ah, ik weet het nog, het oog t er vijf maar de rekenmeester bedoelt 4. Er zijn veel visuele en mentale handelingen die op zich niets te maken hebben met de optelling. Bij deze visuele en mentale handelingen kunnen gemakkelijk fouten ontstaan. Dit zijn dan geen rekenfouten. Het kan dus zijn dat de uitkomst fout is terwijl het kind de som wel goed kan uitrekenen. Al met al is het voor het kind dan eenvoudiger vijf vingers n én er dan aan denken dat je die horizontale duim wel t maar dat je die moet aftrekken omdat hij horizontaal staat. Dat kan het oog met vingerbeelden niet. De hersenen seinen dan aan het oog: OK, te ingewikkeld voor jou. Tel ze maar dan trek ík die ene er wel af.

  • Voor het waarnemen van een vingerbeeld is nauwkeurige waarneming van details nodig. De evolutie heeft gekozen voor onnauwkeurige waarneming. Je kunt beter 10 maal weglopen voor een koe omdat je ogen denken een panter te n dan omgekeerd. Dat is bij deze vinger­beelden te n: toont dit vingerbeeld 2x4 vingers=8 of hoort die duim links er ook bij en wordt 9 bedoeld? Je kunt de waarneming vereenvoudigen door gekleurde vingerhoedjes op de vingers te plaatsen. Maar dat is dan weer een uitvoerige materiële handeling waarbij geteld gaat worden.

  • En dan tot slot. De vingers staan op een rij, als een getallenlijn. Bij Rekenend optellen gaat het om veldkennis en niet om lijnkennis.



3.3.4 Met een rekenraam

Het is niet helemaal duidelijk hoe je dit rekenrek moet gebruiken.
  • Het schuiven met kralen vraagt veel tijd. Dat geeft belasting van het werkgeheugen. De ogen doen dat in 233 milliseconden. Je wilt juist niet dat kinderen gaan tellen.
  • Met kleur worden groepen van 5 onderscheiden. Dat is prima bij sommen tot 10. Bij 8+5 is er op dit rek dan een dubbele kleur codering waardoor de 5=2+3 splitsing uit het oog verdwijnt.
  • De termen worden uit elkaar getrokken waardoor de relatie tussen alle getallen van de berekening niet meer in een oogfixatieveld zichtbaar zijn.
  • Zonder ervaring is het moeilijk om in een keer 7 blauw en 3 rood is samen 10 te herkennen.
  • Er zijn geen lege posities, ook kralen die niet meedoen zijn nog aanwezig.
  • Bij het telrek staan twee tientallen boven elkaar. In verband met plaatswaarde is het wenselijk de twee staven naast elkaar te zetten. Zoals op de lusabacus.
  • De kleurkodering om 5 is goed bij het rekenen om 5. Bij het rekenen om 10 moet je coderen om 10. Anders gebruik je kleurcodering voor 5 en 10.


Rekenrek: 2 rijen van 2x5 boven elkaar

Verbeelding 15.


Dus ...

De conclusie van rekenmeesters met veel ervaring met dit rekenrek is, dat een uitgebalanceerde leerlijn dringend gewenst is. Je kunt ook zeggen dat dit rekenrek ongewenst is.

3.3.5 Met de getallenlijn

Het onderwijs maakt veel gebruik van de getallenlijn. Een getallenlijn is een lijn-verbeelding (§ 9.2.4). De lijn verbeeldt niet een aantal maar een volgorde. De zes op de getallenlijn zijn er niet zes maar is de zesde. Een betere verbeelding van een volgordelijn is een waslijn met shirtjes en rugnummers. Immers, het is wel duidelijk dat in shirtje 11 speler 11 zit en niet het hele elftal. Het woord ’getallenlijn’ is strikt genomen onjuist. Alle betekenissen die het Groot woordenboek der Nederlandse taal geeft voor het woord getal, betreffen aantal, niet volgorde. Kijken we dan nog even naar de wiskunde dan komen we bij Dantzig die er in 1930 voor waarschuwde volgordegetal en aantalgetal niet te verhaspelen



Psychologisch is het verwarrend dat je met de volgordeverbeelding van de getallenlijn, een aantalprobleem kunt oplossen. Min of meer tot overmaat van ramp gaat dat nog uitstekend ook. Maar ook hier een verhaspeling. Het is wel een beetje dammen zoals je ook ganzenbord speelt. Niet echt slim. Je past namelijk een lijn/algoritmische methode toe op veld/heuristische kennis. (zie resp.: § 9.2.4 en § 9.2.4).



En het kind? Met de getallenlijn kun je sommen maar op één manier uitrekenen: netjes als een kip zonder kop langs de lijn de tweede term aflopen. Bijtellen dus. noot 2

Voor het kind is rekenen gewoon een geavanceerd Iene, miene, mutte..

Tot zover de inleiding. Tot zover slecht nieuws voor de getallenlijn.

3.3.5.1 Pasvorm van de getallenlijn voor het oogfixatieveld

Het oogfixatieveld heeft de vorm van een cirkel. . Een getallenlijn van 10 past niet in het oogfixatieveld. Er moet dus wel met oogsprongen geteld worden.


Eerste oogfixatie bij 4+5 met de getallenlijn

Verbeelding 16.
De uitkomst valt buiten het oogfixatieveld en is dus onzichtbaar. Was de uitkomst overigens wel zichtbaar dan had het kind daar nog niets aan want het kind weet nog niet wat de uitkomst is en waar het oog heen moet springen. Ook toont de getallenlijn niet dat je 5 zou kunnen splitsen in 2 en 3 en dat je dan een gemakkelijke som krijgt. Sommigen gebruiken de getallenlijn voor sommen boven 10 Dat zal heel wat telwerk zijn. Behalve natuurlijk als je de som ook anders kunt uitrekenen.
Waarom lígt de getallenlijn overigens toch? Waarom staat hij niet verticaal. Aantallen staan meestal verticaal in aantalland. Ook in de kindrealiteit: analoge thermometer, grafieken en jaarlijkse lengtemeting van kinderen op de deurpost. Aantalverwoordingen zijn trouwens ook vertikaal: boven Jan, bovenkast, bovenste beste, boven water, boven komen drijven, hoogste getal (niet het rechtste getal (op de getallenlijn)), hoogte krijgen van, hoge ogen gooien, onder de maat, ondergaan(de zon), ondergronds.

Hoe zit het eigenlijk met nul en onder nul op de getallenlijn? Nul is niks maar in ons getalstelsel is het ongeveer alles (zie § 4.10.).

3.3.5.2 Hoe markant is de vorm van de getallenlijn

De ogen zelf kunnen niet één voor één tellen. Maar de ogen kunnen wél zeer regelmatige figuren ' inter­preteren' en geïnterpreteerd naar de hersenen doorseinen. Hoe markanter het figuur hoe eenvoudiger het oog het figuur kan herkennen . Subitizing heet dat.


In onderzoek zijn er geen oogbewegingen geconstateerd, dus er wordt niet geteld Grote aantallen in één keer is niet wat de rekenmeester wil want dan gaat het óóg van het kind rekenen en wordt er niet geteld.

Een getallenlijn is zeer regelmatig en heeft visueel twee markante punten: het begin en het eind. Maar daar hoeft het kind nooit te zijn.

Waarom zijn de getallenlijnen recht? Veel getallenlijnen in de kindrealiteit zijn krom. Als je toch met een lijn wilt rekenen neem dan een cirkel met 12 punten. Je krijgt dan zowel visueel als rekenkundig markante punten die goed aansluiten bij de kindrealiteit. Met name de belangrijkste realiteit: de analoge klok (Is het al speelkwartier?). Verder start je sluw al met analoog klokkijken en de tafel van 3. Houdt de minuten nog even verborgen.
Hang hem voor in de klas, links of rechts. Niet bij de getallenlijn als je die hebt. Je kunt dan goed zien of de kinderen er naar kijken. Zoals een goede rekenmeester betaamt zeg je niets maar kijk je wel. Je kijkt waar de ogen heen gaan bij sommen onder 12, met name 3-vouden. Naar de tegels op de vloer, de spijlen van het raam, naar het plafond of naar de kromme getallenlijn? Kijkt een slimmerik naar de kromme getallenlijn laat hém vertellen wat hij doet. Gebeurt dat niet, geef dan achteloos aanwijzingen: Hoeveel is 6+3? en kijk of wijs halfslachtig naar de kromme getallenlijn. Haal, als je durft, de getallenlijn een paar dagen weg.

Een kromme getallenlijn met veel markante punten, 6+3 in (taart)punten en in cijfers

Verbeelding 17.



Een kromme getallenlijn met veel markante punten

Verbeelding 18.

3.3.5.3 Belasting van het werkgeheugen door de getallenlijn

Het werkgeheugen moet de telstand én de tweede term onthouden.


3.3.5.4 Verkorten en de getallenlijn

Volgens de leerpsychologie is leren: uitvoerige handelingen verkorten . Met een getallenlijn kun je sneller gaan tellen. Maar dat is niet verkorten van handelingen, schiet niet op en is geen rekenen maar Iene, miene, mutte.


Je kunt op de getallenlijn niet Rekenend optellen. De getallenlijn visualiseert en verleidt niet tot redeneringen als: 4+4=8, weet ik, dus 5+4=9, gewoon een er bij.

3.3.5.5 De mentale handelingen en de getallenlijn

Wat zijn de mentale handelingen bij het Tellend optellen? Hoe denkt en rekent het kind? Dat zijn lastige vragen. Een eenvoudig antwoord is dat het kind de getallenlijn in zijn hoofd voorstelt en dan de som uitrekent. De visuele handelingen gaan immers vooraf aan de mentale handelingen. Klaar is rekenmeester Kees. Een eventueel verbeelde getallenlijn is immers een soort landkaart waar je dan rekenend over navigeert.


Het is verleidelijk te denken dat visuele voorstellingen als een soort foto in de hersenen zitten. Je zou dan van een foto van een getallenlijn in de hersenen sommen tellend kunnen uitrekenen.

  • Nu past een getallenlijn van 100, fysiek niet in de hersenen en als je zou gaan uitzoemen worden de getallen onleesbaar.
  • Als de getallenlijn zo visueel in de hersenen aanwezig zou zijn, waarom is terugtellen dan zo lastig? Waarom is het verwoorden van een route heen eenvoudig. Heb je echter de route terug nooit gereden dan is het zeer moeilijk de route terug te verwoorden.
  • De tenen lijken veel op de vingers. De ogen lijken totaal niet op de hersenen. Het is dus eenvoudiger om je handtekening te zetten met je tenen dan een landkaart af te lezen in je hersenen.
Tot zover de gezondverstandpsychologie.

Wat zegt de wetenschappelijke navigatie psychologie en de fysiologie over die atlas in het hoofd.? Wat doen de hersenen dan wel. De hersenen lezen geen kaart (visueel veld) af maar redeneren met beschikbare kennis. Ah, de Notre Dame achter me, de Eiffeltoren voor me, dus links het zuiden en links het hotel ergens. Op de getallenlijn kan dat niet omdat je de punten niet kan zien en het eindpunt zelfs niet weet. Het kind weet niet hoever het moet springen want het weet nog niet dat 4+5=9. Kan het kind mentaal rekenend 4+5 optellen, dan heeft de getallenlijn geen zin. Er zit dus voor de teller niets anders op dan de ogen steeds één blokje naar rechts te hinkelen. De uitkomst wordt niet gezien. De uitkomst wordt mentaal in het werkgeheugen geconcludeerd: Het aantal bijgeteld is gelijk aan het aantal van de tweede term. Met de getallenlijn is er geen andere mogelijkheid dan tellen.

Het echte rekenen speelt zich vooral af in dre prefrontale cortex De waarneemhandelingen, het verbale tellen en de motorische sturinge van oog- en stemspieren spelen zich af in andere delen van de hersenen. Je kunt je afvragen of een kind wel kunt leren rekenen door hem wat anders te laten doen. Je leert een kind ook niet schrijven door hem een pen tussen zijn tenen te stoppen. Fysiologen verwachtten ook dat er een getallenlijn in de hersenen zou zitten. De veronderstelling was dat cellen die vier stippen verwerken naast de cellen liggen die drie en vijf stippen verwerken. Neen dus.

Dus ...

Rekenen met de getallenlijn. Tja, wat nu? Het is toch een beetje alsof je een platvis door de strot van een paling probeert te persen. Het is toch een beetje een gatellenlijn. En tellen is wat de rekenmeester níet wil. noot 3




3.3.6 Met eierdozen

De eierdozen zijn een veld-verbeelding en een variant op de dobbelsteenstippen. Er zijn wat verschillen.

  • Een belangrijk verschil is dat een rij van vijf minder markant is dan een dobbelsteen-vijf-patroon. Daardoor kan het oog minder goed bepalen hoeveel eieren een rij heeft.

  • Ook zijn de afzonderlijke aantallen minder markant. Dit leidt visuele vergissingen en tot de lijnmethode: tellend optellen.

Aantal 9 met eierdozen

Verbeelding 19.

  • Enigszins geniaal aan de eierdozen zijn de lege ringen voor de eieren die er níét zijn. Het volgend hoofdstuk: 4. Nul laat n waarom het geniaal is om niets wél te tonen. Door de eieren die er niet zijn te tonen, komt tientalligheid in zicht. De ogen leren lezen dat 8+2 tien is. Of de hersenen nu willen of niet.

  • Nu is ook zichtbaar dat eierdozen moeten staan en niet moeten liggen. Een rij van 5 blokjes is misschien voor het oog nog wel te herkennen als 5, maar zijn het er meer dan wordt het wel moeilijker. Dit is te n is bij de eierdozen.


 3.4 Hoe verwoord je Rekenend optellen

 

3.4.1 Met vingertellen verbieden

Een eenvoudig strategie voor de rekenmeester. Weinig fun voor het kind. Mijn idee is: Niet verbieden wat je niet wilt, maar verleiden tot wat je wel wilt. Als je vingertellen verbiedt dan gaan de vingers onder de tafel of de ogen naar het plafond. Het kind projecteert zijn vingers op het plafond en probeert zo visueel te tellen. De rekenmeester t niets én weet niets. Hij t een goede uitkomst en denkt: Mooi, dat heb ik hem goed aangeleerd.


3.4.2 Met het woord uitrekenen

Het vorige hoofdstuk ging over sommen uitrekenen door tellen. Tellen is een volgorde methode. Andere woorden voor volgorde zijn: rang (telwoorden), ordinaal, serieel en turven. Volgorde zegt niets over aatal. Bij reken methoden gaat het niet om volgorde maar om aantal. Andere woorden voor aantal zijn: kardinaliteit en gemeten getal. Het woord hoeveelheid is niet geschikt. Een hoeveelheid is niet een bepaald aantal. Er is dus een groot verschil in de aard van het getal en de aard van de handelingen tussen volgorde getal en aantal getal. Opmerkelijk is nu dat dit verschil tussen tellend optellen en rekenend optellen niet uit de gebruikte woorden blijkt.

Woord cloud tellen   Duidelijke verwoording door: het verschil tussen volgorde(tellen) en aantal (rekenen) te verwoorden.
Telwoorden.   Volgorde getal óf aantal getal.
Optellen.   (Slim) uitrekenen.
Telraam.   Rekenrek.
Optelsom (dubbelzegging, som is optelling).   Som, erbij, plus.
Aftreksom, (is een paradox), aftrekken en sommeren.   Aftrekking.
Rangtelwoord, (is een dubbelzegging).

   Volgordegetal, rangwoord.


Dus ...
Kennelijk leeft de taalmeester met zijn ’tel’woorden nog in de turftijd. Maar we zitten nu toch al een paar honderd jaar in de kardinaliteitstijd. Met name Descartes heeft aan het begin van de verlichting het aantalgetal op de wiskundige en op de geografische op de kaart gezet.


3.4.3 Met het woord (kralen)rekenveld

Het gebruikelijke woord is telraam. De term raam(werk) is bouwkundig. Voor kinderen is een raam: Glas waar je door naar buiten kijkt. De term veld is misschien beter vooral omdat je daar uiteindelijk heen wilt Het woord tel is niet zo handig omdat je juist niet wilt dat het kind gaat tellen. Je wilt dat het kind gaat rekenen. Je kunt tel ook vervangen door getal.


 3.5 Hoe verkort je Rekenend optellen  

Sommen boven 20 kun je niet meer tellend oplossen. Je kunt wel sneller te gaan tellen, maar dat telt niet. Een kortere weg is niet harder gaan rijden. Een weg met minder vervelende stoplichten, dat is een kortere weg. Vingertellen loopt dood omdat vingertellen niet en geautomatiseerd kan worden.

3.5.1 Met instampen en memoriseren

Aanvankelijk dachten zelfs psychologen wel, dat denken en daarmee het rekenen, gewoon snel praten was (Sapir-Whorfhypothese). In vervolg daarop werd wel gedacht dat sommetjes uitrekenen puntkennis is, gewoon taalzinnetjes die je moet leren We zagen al dat het dan toch wat vreemd is dat kinderen duizenden woorden als vanzelf leren maar dat 24 sommetjes leren in jarenlang rekenonderwijs niet lukt. Een volgende legitimering voor instampen was dat het leren van sommen is, het aanbrengen van een soort biologische associatie, Stimulus - Respons. Geef poot. = poot optillen en beloning krijgen. De hond weet niet wat hij doet en waarom hij het doet. Hij moet gewoon van zijn biologie.

En dan een derde ’theorie’ ter verantwoording van instampen. Het geheugen is een ladekast. Daar moeten de sommen dus ingestampt worden. ’Instampen’, klinkt wat onheilspellend. De ladekast is een populaire metafoor en daarom psychologisch verdacht.

  • Hoe kan het dat je in het goed werkende tamelijk lege geheugen van een kind iets in moet stampen?

  • Je legt een handdoek gewoon één keer in een lade, niet tien keer.

  • Als je het één keer doet dan ligt hij er in tot je hem er weer uithaalt.

  • Probeer eens je eigen naam uit je geheugen te halen.

  • Als instampen zo’n goede methode is, waarom moet je dan zo eindeloos instampen. Waarom lukt dat bij veel kinderen toch maar niet?

  • En dan het woord instampen. Bewijst de keuze van het woord al niet, dat instampen niet werkt?

Dit zijn dan enkele vragen van het gezond verstand. En de psychologie, met name de leerpsychologie, met name de hedendaagse psychologie. Wat vindt die van de ladekast? Nou die heeft ook wel een paar vraagtekens.

Ten eerste de forse vraagtekens die zetten bij het gebruik van metaforen om psychologische processen te begrijpen.

De wijze waarop het geheugen volgens de hedendaagse psychologie werkt, lijkt wel erg weinig op een ladekast. Fysiologisch kan instampen eigenlijk niet omdat nieuwe kennis verwerven is: het leggen van fysiologische verbindingen in de hersenen. De nieuwe leerstof moet gekoppeld worden kennis die aanwezig is in de hersenen Gal’perin stelt dat kinderen mentale handelingen leren door te handelen en niet door inprenten (In:

Dus ...

Instampen kun je wel vergeten. noot 4.


3.5.2 Met rekenbladen

Bij instampen en memoriseren horen werkbladen van het type ’sloom’, Gewoon rijtjes met sommen maken.

3.5.3 Met omdraaiers

Een van de eerste echte rekenhandelingen is de toepassing van de commutatieve wet: Termen mag je omdraaien. 2+7=7+2. In kindertaal: met de grote beginnen mag of omdraaien (van termen) mag. omdraaier 3.5.3. Deze wet geldt bij de taalmeester overigens niet: pa is niet ap. Dit omdraaien is voor de teller erg aantrekkelijk omdat dit hem veel telwerk scheelt, bijvoorbeeld bij 2+19. Verder is de wet eenvoudig uit te leggen.

’Sloom’ rekenblad, product­gericht.

Verbeelding 20.

Deze verbeelding voldoet aan psychologische eisen:
  • Kijken naar de animatie en het vertellen wat er gebeurt, voorkomt dat het kind gaat tellen.
  • De termen hoeft het kind niet te tellen want die zijn klein, goed gegroepeerd en passen binnen een oogopslag.
  • De mentale handeling wordt gevisualiseerd. Het kind t de omdraaiing en t dat de uitkomst niet verandert.

Een volgende stap is minder visueel en laat het kind de wet zelf ontdekken. Gewoon een sluw werkblad zoals hiernaast geven. Belangrijk is dat het sommenpaar dicht bij elkaar staat en het kind beide sommen en beide uitkomsten dus tegelijk t. Zeg niet: Kijk de uitkomst is steeds gelijk. Wacht geduldig tot het kind het omdraaien zelf ontdekt en het kind zegt: Ha, ha, dat is gewoon hetzelfde. Dat is fun.


3.5.4 Met vijf

Vijf is een markant aantal. Rekenkundig omdat 2x5=10 en 10 opent vele handige rekenmogelijkheden. Psychologisch is vijf markant omdat rond vijf, hoeveelheden niet meer visueel direct bepaald kunnen worden. Er moet dan geteld worden. En tellen, dat willen we niet. Als je dan toch gaat stampen, stamp dan snel die 5+5 er in. Met een goede verbeelding als de dobbelsteengroepering zou dat overigens eenvoudig moeten zijn. Vanuit vijf kunnen volgende sommen verder goed gevisualiseerd worden. Een van de eerste mogelijkheden om hoeveelheden zonder tellen te bepalen wordt zo zichtbaar: 5+4= 5+5 (weet ik, ik) een er af=9. Precies dezelfde methode komt terug bij het volgende markante getal: tien. 8+5=8+2 weet ik, en 10+2 is makkelijk. Deze oplossingen maken de teller duidelijk dat rekenen niet is: Tellend optellen als Iene, miene, mutte. (lijn-kennis, één stomme methode). Rekenen is Rekenend optellen door handig regels toe te passen (veld-kennis, een van de beschikbare handige methoden kiezen).

Na 5+5 kun je andere tweelingen aan de orde stellen (3+3, 4+4). De algemene, heuristische methode is: gebruik maken van een bekende som. Vanuit een bekende tweeling kan het kind een 'bijna'-tweelingsom afleiden. 5+4? is dan 4+4 (weet ik)+1=5.


3.5.5 Met een sommentabel

Getallen zijn veld-kennis. Dit komt tot uitdrukking in een sommentabel. Door de sommen en de uitkomsten dicht bij elkaar te plaatsen, vallen de omliggende sommen en uitkomsten in het oogfixatieveld (§ 8.3.2). Daardoor zijn de veld-kenmerken van de getallen zichtbaar.

Sommentabellen zijn fun zo is mij gebleken. Het kind heeft autonomie want het kan zelf sommen kiezen. Het kind ontdekt ’zelf’ het getallenveld.

Dus ...


Rekenend optellen is best te leren, ook zonder instampen. Zijn de sommen nog niet ingestampt? Geen probleem. Je kunt gewoon snel doorgaan. Misschien móet je gewoon doorgaan met de volgende leerfase: .


Voetnoten:

1) Kinderen hebben bij een normale spraak-taalontwikkeling een passieve woordenschat van 6000-14.000 woorden. WAT ZIJN DEZE MIJLPALEN IN DE SPRAAK- EN TAALONTWIKKELING VAN DE PEUTER EN KLEUTER (GEBASEERD OP GRONINGER MINIMUM SPREEKNORMEN LIJST (Goorhuis-Brouwer) https://www.smartonderwijs.nl/uploads/9/4/6/7/9467353/spraak-taalontwikkeling_tot_7_jaar.pdf

2) Nadat het kind voor elke term een groepje maakt, telt het de tweede term gelijk bij de eerste term. Dus: 4+3= 4 (eerste term),5,6,7 is 7.

3) De platvis is de veldkennis van de 2-d-getallen en de paling is dan de 1-d-lijn waar die 2-d-kennis in moet.

4) Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden
www.psychologie/leren_onthouden_instampen.php


Getallen, kinderen en psychologie

Fase 1:Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
Fase 2:Door tellen blijven kinderen tellen
Fase 3:Hoe kom je van dat vingertellen af
Fase 4:Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
Fase 5:Onthul de verborgen nul
Fase 6:Breek met aanvullen en met breken
Fase 7:Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
Fase 8:Kijken, praten, leren en denken van het kind
Fase 9:Realiteit beheersen met getallen




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.

Literatuur:
Nieder, A.,  (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
Geerts, G. & H. Heestermans, 1984). Groot woordenboek der Nederlandse taal. Eerste deel A-I. Utrecht/Antwerpen: Van Dale Lexicografie.
Nieder, A.,  (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in de Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer.
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in de Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer.
Douglas H. Clements (1999). Subitizing: What Is It?  Why Teach It? Teaching Children Mathematics, March 1999.
Nieder, A.,  (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Nieder, A.,  (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press
Bereiter & Engelman, (1971). In: Iben, G., Kompensatorische Erhung. Analysen Amerikanischer Programme. München: Juventa Verlag.
Vroon, P. & Draaisma, D.(1985). De mens als metafoor. Over vergelijkingen van mens en machine in filosofie en psychologie. Baarn: Ambo.
Koch, C. & Marcus, G., (2015). Neuroscience in 2064. A look at the last century. In: Marcus & Freeman:	The future of the brain. Pag. 258-269.
Marcus, G. & Freeman, J., (2015). The future of the brain, Essays by the world leading neuroscientists. Princeton: Princeton university press.
Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. (1989). Sovjetpsychologen over onderwijs en cognitieve ontwikkeling. Leerpsychologie en onderwijs 4. Groningen: Wolters_Noordhof.
Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. (1989). Sovjetpsychologen over onderwijs en cognitieve ontwikkeling. Leerpsychologie en onderwijs 4. Groningen: Wolters_Noordhof.