rekenend_optellen Hoofdstuk 3 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 dec. 2022.

 3 Rekenend optellen  

 

Hoe kom je van dat vingertellen af



Kinderen in groep 5 tellen nog op hun vingers. Dat is heel vreemd. Ook heel begrijpelijk is dat ’teltrauma’. Het is ook niet erg, dat vingertellen. Voorkomen en oplossen is niet moeilijk.
   



Het vorige hoofdstuk ging over lijnkennis: volgordegetal, Iene, miene, mutte. Maar in dat (vinger-)tellen blijven kinderen soms wel hangen. In groep 5 valt het kind dan met sommen boven 30 door de mand en met een jaar achterstand. Tellen is namelijk een volgordemethode en daar kun je niet mee rekenen. Over dat rekenen gaat dit hoofdstuk.



 3.1 Wat is Rekenend optellen  


3.1.1 Wat voor soort kennis is Rekenend optellen

Het verschil tussen volgordegetal en aantalgetal is nogal groot. Toch verhaspelt men dit verschil vaak waarschuwde Dantzig al in 1930

Verder was het Descartes die aan het begin van de verlichting het aantalgetal op de wiskundige en op de geografische kaart zette.
Daarom hier een hoofdstuk voor Tellend optellen en een hoofdstuk voor Rekenend optellen. Verder, roomser dan de paus, hier steeds duidelijk aangegeven of het gaat om een volgordegetal of om een aantalgetal. Misschien een wat omslachtig woordgebruik voor het gebruikelijke rekenonderwijs maar Descartes en Dantzig durven we hier niet te passeren. Temeer omdat deze verhaspeling wel eens een oorzaak van het tel-trauma kunnen zijn ). Daarom ook eerst wat concrete voorbeelden van volgordegetal en aantalgetal.


Voorbeelden tellend optellen
  • Een vrouw met een IQ van 100 is niet tweemaal intelligenter dan een vrouw met een IQ van 50.
  • In een blijf onderwaterwedstrijd, is nummer 2, de winnaar van zilver, niet tweemaal zo lang onder water gebleven als de winnaar van goud.
  • De hardloper die tweede geworden is heeft niet tweemaal zo hard gelopen als de hardloper die eerste geworden is.
  • Nummer zes is maar één deelnemer. Hij heeft vijf deelnemers vóór zich.
  • In een straat met eerst 10 villa's en dan een torenflat, moet de postbode meer lopen tussen villa 1 en villa 2 dan tussen flat 11 en flat 100
  • In een saaie nieuwbouwwijk met 100 huizen even breed, ligt huisnummer 50 op de helft.
  • Het tweede kind in de lengterij is niet tweemaal zo groot als het eerste kind.
 
Voorbeelden rekenend optellen
  • Als de psycho­logie IQ als aantal-getal zou kunnen meten, dan zou wel eens kunnen blijken dat de vrouw met een volgorde-IQ van 100, dat nu gebruikelijk is, in werkelijkheid een aantal-IQ van 51 heeft.
  • Een man van 2 meter is tweemaal langer dan een kind van 1 meter.
  • De ploeg die twee doelpunten scoorde heeft tweemaal meer doelpunten dan de ploeg die maar één doelpunt scoorde.


1) Volgordegetal

Je kunt die verwarring tussen volgorde en aantal zien aan de getallenlijn. De getallenlijn is eigenlijk een volgorde-getallenlijn. De getallen zijn rangtelwoorden. De lijn verbeeldt niet een aantal maar een volgorde. De zes op de getallenlijn staat niet voor zes maar zesde. Een betere verbeelding zou zijn een waslijn met shirtjes en rugnummers. Dan is immers duidelijk dat in shirtje 11 de 11de speler zit en niet het hele elftal. Ook de verwoording moet aangeven dat het om volgorde gaat en niet om aantal. Dus op de getallenlijn en de shirtjes niet 11 maar 11° of 11de.


Verbeelding van volgordegetal
op een volgorde-getallen-was-lijn

Verbeelding 2.




2) Aantalgetal

Bij aantalgetal staan de getallen niet alleen in volgorde van hoeveelheid maar is de hoeveelheid van het volgordegetal één (maat)eenheid meer dan de vorige. 2 is dus 2 maal zoveel als 1 en 1+2=3. En 5+4=9 want 4+4=8, en dan nog een erbij. Deze ontdekking van de teller is vergelijkbaar met de doorbraak bij het lezen. Het kind ontdekt dat je buiten de klas ook kunt lezen: Verrek, op dat bordje staat Parkstraat en ik woon in de Parkstraat. Deze kardinaliteit laat zich het best verbeelden in een veld, in een tabel.

Bij Rekenend optellen hebt je niet één lijn maar twéé lijnen loodrecht op elkaar: een 2-d-veld, zoals een (aantal-)getallen-100-veld. Overigens heb je zo’n veld ook bij Boter kaas en eieren, een dambord, een schaakbord en een landkaart. Dat komt nog ). laat zien dat de ogen en de hersenen uitstekend met velden overweg kunnen. Veldverbeeldingen passen ogen en hersenen beter dan lijnverbeeldingen.


Dus ...

Je hebt dus volgordegetal waarbij kinderen tellend sommen uitrekenen. Dat wil je niet maar zo rekenen kinderen vaak wel. Verder heb je aantalgetal waarbij je rekenend sommen uitrekent door gebruik te maken van aantal-getalkennis. Dat is wat je wilt maar er zijn kinderen die dat maar niet doen. Hoe komt dat?



 3.2 Rekenend optellen in het leerproces

  


3.2.1 Is vingertellen een probleem? Wat gek

Veel kinderen leren niet rekenen tot 20, binnen de daarvoor gestelde tijd concluderen alweer enige jaren geleden. Zij probeerden het probleem op te lossen. Niet gelukt. Vreemd, het ontbrak hun niet aan kennis van zaken. Achtjarigen leren per dag zo’n 5 woorden met vele uitzonderingen, zonder veel systematiek, moeiteloos en grotendeels zonder expliciet onderwijs ( noot 1). Een tweede moedertaal erbij? Geen probleem Er zijn 81 sommen onder 10. We laten sommen met een term van 1 of 2 en tweelingen (4+4) weg. Dan heb je over 42 sommen. Twee omdraaiers tellen we voor één (5+4 en 4+5). Dan nog 21 sommen over. Het leren automatiseren van die 21 zeer systematische sommen zonder uitzonderingen, onder 10 zou dus in pakweg 5 schooldagen bekenen moeten zijn.

Nee dus. Niet in groep 3. Vaak ook niet in groep 4. Soms ook niet in groep 5. Ook vreemd.

En de kinderen? Die zijn gewoon heel slim. Tellend optellen één methode waar je alle sommen in groep 2, 3 en 4 mee kunt oplossen. Dat je dan in groep 5 een trauma hebt, het teltrauma dat kunnen de kinderen natuurlijk niet weten. Het goede nieuws is misschien dat de index 11 mogelijke veroorzakers ontmaskert en 9 voorstelt. therapieën.


3.2.2 Geen probleem, gewoon verder gaan

Er is ook goed nieuws voor de tellers. Wanneer sommen onder 10 niet geauto­matiseerd zijn dan is dat voor de getalkennis geen probleem. Tellend rekenen is geen belemmering voor het uitvoeren en zelfs het begrijpen van complexe getalkennis als plaatswaarde en zelfs het lastige ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental . Natuurlijk is 75+16 lastig als je 5+6 nog op je vingers uitrekent. Dat geeft meer belasting voor het werk­geheugen namelijk. Maar als je begrijpt wat je moet doen en als je de juiste middelen hebt om het werk­geheugen te ontlasten, dan kunnen tellens dit best , is mijn ervaring.Het probleem is misschien niet zozeer de werk­geheugenbelasting door het omslachtige tellen. Een oorzaak kan ook zijn de werkgeheugenbelasting die ontstaat door de stress van het etiket Dit kind kan niet rekenen en van de angst fouten te maken. Volwassenen gaan ook op hun vingers tellen bij vermoeidheid, stress en dronkenschap. Stress maakt van het werkgeheugen een nog groter vergiet dan het al is. En dat terwijl je juist dat werk­geheugen nodig hebt bij het leren van iets nieuws en bij rekenen ).

Dus ...

Als nog niet alles geautomatiseerd is, gewoon doorgaan naar volgende leerfase, met name: Nul en snel daarna met Plaatswaarde. Dat kan, zo is mij gebleken.
  • Gewoon verder gaan, bevrijdt het kind van het stomme, infantiele en soms zelfs verboden tellen. Rekenen wordt gewoon puzzels oplossen. Oh ... nu snap ik het. Rekenen is niet tellen maar de geheime som vinden.

  • Het is fun (schijnbaar) moeilijke sommen (met grote aantalgetallen) te beheersen.

  • Bovendien maakt het kind bij plaatswaarde veel sommen met een uitkomst onder 10 als deelhandeling, al dan niet tellend. De automatisering van die sommen komt dan eventueel alsnog tot stand, als bijvangst (incidenteel leren, .



3.3 Hoe verbeeld je Rekenend optellen


3.3.1 Met kabouters en paddenstoelen

Je kunt een aantalgetal concreet maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind dat in die periode net overgaat van denken waarbij fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn, naar denken binnen een logische wereld.Aantalgetal en rekenen zijn een wereld met keiharde logische spelregels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de regels.


3.3.2 Met in- en uitstappen

Bussen en liften zijn gebruikelijke verbeeldingen bij optelsommen. Je kunt passagiers optellen en aftrekken Je verbeeldt dan de woorden optellen en aftrekken.Maar die woorden zijn het probleem niet. Het probleem is hóe je de som bepaalt, tellend of rekenend. Bovendien verleiden deze verbeeldingen tot tellen. In die situaties is tellen namelijk de handigste methode. Maar tellen wil je juist niet. Deze verbeeldingen maakt het tel-trauma.


3.3.3 Met vingerbeelden

Een andere verbeelding van aantalgetal is het vingerbeeld. Je kunt met twee handen aantallen tot 10 weergeven.
  • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.

  • De vingerbeelden sluiten aan bij het tellend optellen uit de vorige fase. Daardoor ontstaat de verleiding te gaan tellen. Dat wil je niet. Je zou zo het tel-trauma kunnen vergroten.

  • Om het goede vingerbeeld te krijgen moet het kind die vingers één voor één in de goede stand zetten. Dat is een motorische telhandeling. Dat kost tijd en geeft werk­geheugen­belasting.
Vingerbeeld met het aantalgetal 9

Verbeelding 4.
  • Onhandig is dat de ogen iets anders naar hersenen seinen, dan de rekenmeester wil. De ogen seinen in eerste instantie naar de hersenen: Ah, een hand, vijf vingers. Vervolgens misschien nog: Een vinger wijkt af. Dan concluderen de hérsenen: Ah, ik weet het nog, het oog ziet er vijf maar de reken­­meester bedoelt 4. Er zijn visuele én geheugen­handelingen nodig alleen al om het aantal van de termen te bepalen. Het probleem is niet Wat is het aantal van de eerste term. Bij deze visuele en mentale handelingen kunnen verder waarneem- en telfouten ontstaan. Dit zijn dan geen rekenfouten.

    Al met al is het voor het kind dan eenvoudiger mentaal uit te gaan van vijf vingers én er dan aan te denken dat je die horizontale duim wel ziet maar moet aftrekken omdat hij horizontaal staat. Dat kan het oog met vingerbeelden niet. De hersenen seinen dan aan het oog: OK, te ingewikkeld voor jou. Tel ze maar dan trek ík die ene er wel af.

  • Voor het waarnemen van een vingerbeeld is nauwkeurige waarneming van details nodig. De evolutie heeft gekozen voor onnauwkeurige waarneming. Je kunt beter 10 maal weglopen voor een koe omdat je ogen denken een panter te zien dan omgekeerd. Dat is bij deze vinger­beelden te zien: toont dit vingerbeeld 2x4 vingers=8 of hoort die duim links er ook bij en wordt 9 bedoeld? Je kunt de waarneming vereenvoudigen door gekleurde vingerhoedjes op de vingers te plaatsen. Maar dat is dan weer een uitvoerige materiële handeling waarbij het kind gaat tellen.

  • En dan tot slot. De vingers staan op een rij, als een aantalgetallenlijn . Bij Rekenend optellen gaat het om veld­kennis en niet om lijnkennis.


3.3.4 Met de getallenlijn



3.3.5 Met 12 taartpunten

Bij aantalverwoordingen kiest de taal­meester overigens weer voor vertikaal: boven Jan, bovenkast, bovenste beste, boven water, boven komen drijven, hoogste getal (niet het rechtste getal (op de getallenlijn)), hoogte krijgen van, hoge ogen gooien, onder de maat, ondergaan(de zon), ondergronds).

Zoals gezegd, past een lijn niet in het oogfixatieveld. Dus maak hem passend, maak er een cirkel van, zoals de klok. Je hebt dan een cirkelvormige taartpuntenlijn die in het oogfixatieveld past, die aantallen toont (geen volgorde) en die veel punten heeft waarmee je aantalgetallen tot 12 en sommen tot 12 markant kan tonen. Dus geen getel meer maar subitizing, oogrekenen.

De taartpunten zijn een goede verbeelding voor aantallen tot 12 en sommen met een uitkomst tot 12. Onhandig is wel dat je met 12 over het tiental heen gaat. Gezien de overige voordelen moeten we dat maar even op de koop toe nemen. Die taartpunten zijn een aardige therapie voor het tel-trauma.

Verder kun je zo al stiekem beginnen met twee breekpunten die er in groep 3 aankomen:
5+5 is geen probleem maar 6+6 en 5+6 ineens wel:
5+5: 100% goed,4s., n sommen: 36, n kinderen: 36.
6+6: 72% goed, 13s., n sommen: 18.
5+6: % goed, s., n sommen: .
    Getallenlijn tot 12, die in het oogfixatieveld past

Verbeelding 5.



    6+3 dat weet je niet?
wel als je een klokje ziet.


Verbeelding 6.

Dat die 6+6 flink lager scoort dan 5+5 is begrijpelijk en leerzaam. Leerzaam voor de rekenmeester.
  • Die 5+5 heeft als voordeel dat de vingers er ook 5+5 zijn.
  • Verder gaat 5+5 niet echt over het tiental heen.
Die 6+6 heeft het ongeluk dat hij over 10 heen gaat. Dat betekent kennelijk nogal wat.
  • Ten eerste zijn er niet twee cijfers maar drie, namelijk 6 (2x) maar ook nog een hele rare 1 en een 2.
  • Ten tweede is het telwoord voor de uitkomst nogal exotisch ).
  • Ten derde is het cijfergetal ook nogal exotisch; niet één cijfer maar twee. En ook nog eens niet zoals bij letters (oe, ui, eu) toevallig twee tekens maar maar een klank maar omgekeerd: twee tekens en ook twee betekenissen.
Toch is de oplossing voor 6+6 eenvoudig. Houd vooral je mond. Hang gewoon ergens goed in het zicht een hele taartpuntsticker (12) met 6 blauwe en 6 groene taartpunten. Kun je je mond niet houden verzin dan een verhaal over een banketbakker met 6 dochters, 6 zonen en 4 drielingen.

Zo snipper je listig een begin van het analoge klokkijken, de tafels van 3, en 6 en breuken de hersenen in.
Statistics
4: 100% goed en 18 sec, n sommen: 0 sommen, n kinderen: 2, groep 3
5+5:   100% goed en 4 sec, n sommen: 36 sommen, groep 3.
Overigens kun je al bij het voorbereidend rekenen met taartpunten beginnen ).

Hang de taartpunten vóór in de klas, links of rechts. Niet bij de getallenlijn als je die hebt. Zoals een goede reken­meester betaamt, zeg je niets maar kijk je wel. Je kijkt waar de ogen heen gaan bij sommen onder 12, met name 3-vouden. Naar de tegels op de vloer, de spijlen van het raam, naar het plafond, naar de getallenlijn of naar de kromme taartpuntenlijn? Haal de getallenlijn eens een weekje weg. Als je durft.Rekent een slimmerik de kromme getallenlijn houdt dan je mond. Laat hém vertellen wat hij doet. Gebeurt dat niet, geef dan achteloos aanwijzingen: Wat is de uitkomst van 6+3? en kijk of wijs halfslachtig naar de kromme getallenlijn.


3.3.6 Met een telraam

Het telraam is een oud middel om te leren rekenen.
  • Het schuiven van kralen vraag tijd en belast tellen het werkgeheugen. Belasting van het werkgeheugen wil je niet ). Het kind kan het overzicht van de uit te voeren handlingen kwijt raken. Die teltijd neemt toe als de getallen groter worden. En als die getallen over 10 gaan maakt tientalligheid het nog moeilijker.
  • Het schuiven met kralen is een vermaterialisering van het tellen. Het is dus tellen. Tellen wil je niet.
  • De termen van de som worden uit elkaar getrokken waardoor de relatie tussen alle aantalgetallen van de berekening niet meer in het oogfixatieveld zichtbaar zijn. Het oog ziet dus geen verbeelding van de som.
  • De kralen van een telraam staan in een rechte lijn in het gelid op een starre staaf. De staven op hun beurt staan strak in het gelid in een raam. Door de strakheid kunnen deze middelen zich niet altijd voegen naar de getallen en de psychologie.
  • Dat tellen gaat tot overmaat van ramp uitstekend. Zo goed dat kinderen in groep 3 en 4 eigenlijk niet snappen waarom je rékenend het aantal zou bepalen.
Met dat tellen wordt dus wel de eerste steen gelegd voor het teltrauma. Mogelijk dat door deze oorzaken het niet lukte het teltrauma de kop in te drukken. Zij gebruikten een telraam.

 
    Tellen met een telraam

Verbeelding 7.

Dus ...
De conclusie van reken­meesters met ervaring met dit telraam is, dat een uitgebalanceerde leerlijn dringend gewenst is De conclusie kan ook zijn dat telramen niet geschikt zijn en mogelijk het teltrauma veroorzaken. Andere middelen zijn nodig. Misschien zijn stippen geschikter.

3.3.7 Met 4 stippen

De ogen kunnen het aantal 4 zonder tellen herkennen en seinen naar de hersenen: Ah, het zijn er vier. Subitizing noemen psychologen dat al zo’n 100 jaar. Alle zintuigen kunnen dat. Krijg je 4 klappen voor je kop dan zegt het gevoel: ... en het zijn er vier. Ook apen en vogels kunnen het. Onlangs is gebleken dat hersenen dat ook doen. De aantallen tot en met 4 hebben hun eigen neuronen die actief worden wanneer er wat dan ook met 2, 3 of 4 actueel is Het rekenen onder 5 heeft de evolutie prima geregeld. Klaar is rekenmeester Kees. boven

3.3.8 Met 5+ stippen

Boven de 4 gelooft de evolutie het wel. Wat maakt het ook uit of er 5 of 6 wolven op je afstormen. Je moet wegwezen. De biologie gaat boven 5 over op ANS (Approximate Number System). Grofweg: 1, 2, 3, 4, veel, eventueel heel veel, eventueel wel heel erg veel. Daarom hebben de meeste lezers niet opgemerkt dat het telraam hier boven niet klopt. Apen vallen andere apen alleen aan als ze een meerderheid hebben van 1,5. Guppies vluchten naar de grootste school omdat de kans dan kleiner is dat ze een versnapering worden. Tweejarigen kunnen al zien dat er 4 snoepjes liggen. Maar ja, een koning kan niet aankomen met: Betaal veel belasting. en met veel kan de priester niet bepalen wanneer de zonnewende is. De méns bedacht dus dat er geteld moest worden.

Aanvankelijk konden eigenlijk alleen genieën met de getalsystemen rekenen ). Rond 1400 kwam het huidige systeem waarmee intelligenten konden rekenen en rond 1600 kwam Willem Bartjens het gewone volk uitleggen hoe te rekenen. Vandaag kunnen basisschoolkinderen rekenen. Althans, zouden moeten kunnen rekenen. De vraag nu is dus: Hoe verbeeld je 5, 6, 7, 8 en 9?

Stippen op papier of scherm kunnen zeer gehoorzaam een door getalkennis en psychologie gedicteerde 2D en zelfs 3D choreografie eindeloos uitvoeren. Ook kunnen de stippen van kleur verschieten en zelfs verdwijnen. Met kralen op een telraam is dat alles wat lastiger.

In Nederland gebruikt men wel een 2x5-stippen, liggend. Een doos eieren dus

Met 2x5 komen de eierdozen dichter bij de cruciale 5 dan de Duitse rij van 10 stippen. In de eierdoos liggen twee rijen van 5 eieren boven elkaar, samen 10. Dat is prima voor het supermarktschap. De verbeelding moet niet op het super­markt­schap in maar het oogfixatieveld. Psychologisch gezien is een rij van 5 voor het oog niet zonder tellen als 5 te herkennen. Veel lezers zien niet dat in verbeelding het telraam niet klopt.

Patroon: 2x5-stippen, liggend, eierdoos

Verbeelding 8.


3.3.9 Met een lijn van 10

De Duitsers gebruiken een groepering van 2x10-stippen, liggend en plaatsen eventueel 2 rijen van 10 onder elkaar Deze groepering is toch wel een beetje een voorbeeld van een horseless carriage syndrome Je gebruikt een nieuw middel (stippen op papier of scherm) op dezelfde wijze als waarop je het oude middel gebruikte (telraam). Je maakt zo geen gebruik van de mogelijkheden die het nieuwe middel biedt.

  De stippen betrokken bij 8+5 staan níét in het oogfixatieveld


Verbeelding 9.


  • De Duitse 2x10 stippen hebben weinig markering. Het kind moet dus haast wel gaan tellen.
  • Verder is er geen verbeelding voor de groep van 5. Die leerfase wordt dus overgeslagen.
  • De rekenmeester moet de stippen zo plaatsen dat de stippen die bij de reken­handelingen betrokken zijn in het oogfixatieveld passen. Dus niet op een lijn maar in een veld. Dan heeft het óóg het aantal stippen zo bepaald en wel zonder tellen.


3.3.10 Met een patroon van 5

Een groepering van de 5 stippen als op een dobbelsteen is een zeer oogvriendelijke groepering. Je kunt op het kleinste oppervlak, zeer goed zichtbare markante patronen tonen. Die groepering wordt al eeuwen gebruikt als het zicht slecht is, de stress hoog is en de visuele en coginitieve vaardigheden niet meer zo goed functioneren. De vier stippen worden onmiddellijk door zowel de ogen als de hersenen herkent. De vijfde stip, gevangen in de vier stippen, kan ook niet ontsnappen aan het oog en de hersenen. Die vijfde stip staat niet in het gelid en is een afwijking. De ogen en de hersenen weten: Een afwijking, opletten, mogelijk gevaar. Die 5 stippen zijn een aanzienlijk eenvoudiger patroon dan 10 priegellettertekens van de taalmeester of het gezicht van een agressieve alfa aap. Binnen 233 milliseconden weten de hersenen dat het aantal 5 is. Géén vinger-, oog- en stemspierhandelingen. Geen tellen en ook niets te onthouden in het werkgeheugen.


3.3.11 Met een patroon van 10

Hoe toon je 10? Het antwoord is eenvoudig: Met ’groupitizing’ Dat is subitizing ) van groepen. Dubbel gegroepeerde stippen worden sneller en nauwkeuriger geïdentificeerd dan grote groepen zonder ondergroepering, zo blijkt uit onderzoek. Acht klappen voor je kop kun je zonder te tellen wel identificeren als 8. Voorwaarde is dat de klappen aangeboden worden in de 4-kwartsmaat. Door die herhaling van het patroon ontstaat er een goed herkenbaar ’nieuw’ patroon.


    Kijk naar deze stippen zonder te zien hoeveel stippen het zijn

Verbeelding 10.

Bij de eierdoos en de dobbelstenen wordt de tientalligheid nog versterkt door een kader om 10 stippen. Toevallig kan het oog kaders zeer goed waarnemen. Het oog kan een gekaderd 2x5 10-tal dus zelfstandig eenvoudig identificeren als een 10-tal. Het kader en de lege ringen maken bovendien visuele identificatie vanuit 10 eenvoudig. De ogen en de hersenen geven bij 9 stippen alarm: Ah, opletten, een afwijking!!! Eén lege ring. Het langetermijngeheugen stelt gerust: Ja, ja, rustig maar, die hebben we vaker gezien. Goed volk. Dat is negen.




3.3.12 Met staande stippen

Je kunt de rij stippen liggend verbeelden zoals de metafoor: een liggend telraam of een liggende eieredozen. Stippatronen dus ook maar op zijn kant?

Met staande stippen kun je beter een relatie leggen met de formulesom. De overgang van stipsom naar formulesom, dat is een lastige. Verder wil plaatswaarde de stippen liever op zijn kant omdat er dan meer overeenstemming is met plaatswaarde in getallen.
10+ 5=15
    Overgang van verbeelding met stippen naar een verbeelding met symbolen (cijfers)

Verbeelding 11.

Met staande stippen kun je breken om 10 ook verbeelden op een wijze die overeenstemt met plaatswaarde.
  Still van een dynamische verbeelding van 9+2

Verbeelding 12.


De haas schuift een groen/blauwe stip van de 2 groene stippen naar links. Het hok van de blauwe stippen is dan gevuld met 10 stippen.

Eén lijn met 10 stippen is niet markant. Twee lijnen met 2x5 stippen is markanter. Maar twee lijnen met één stip uit het gelid valt natuurlijk wel heel erg op. Dobbelsteen 5 kan het oog zonder problemen in één oogopslag herkennen. Componisten doen dat ook. Zij gebruiken 5-kwartsmaat als ze heel erg willen opvallen. Het herkennen van complexe, oog- en hersenvriendelijk ontworpen stippatronen moet een zevenjarige dus wel aan kunnen. De dobbelsteen 5 groepering is niet toevallig markant. De dobbel­steen kent een eeuwenlange ontwikkeling. Hij wordt gebruikt bij slecht licht, veel stress en verminderde visuele en cognitieve vaardigheden. Bovendien stond er vaak veel op het spel. Slimmerikken leren dan wel wat de beste verbeelding is. Door de stippen voor 6, 7, 8 en 9 sluw te plaatsen profiteren deze aantallen mee.

Dat komt de getallen héél goed uit. Met 2 dobbelsteengroepen van 5 heb je namelijk het cruciale aantal 10. Groepssubitizing noemen psychologen dat.


3.3.13 Met 60 taartpunten

Stippatronen leveren goede verbeeldingen voor sommen onder 20. Met sommen als 5+0 en 10+5 is plaatswaarde al binnengeslopen. Bovendien is plaatswaarde eenvoudig aan te leren. Wil je toch nog concretiseren boven 20 dan zou je dit kunnen doen met 60 taartpunten. Je bouwt gewoon verder op de 12-taartpunten van de Voorwaarden ).Wat de getalkennis betreft verbeeld je snippers van: de tafels van 5, 10 en 15, de analoge klok en het ruilen van 60 minuten voor 1 uur. Dat is in principe hetzelfde als het ruilen van 10 eenheden voor een tiental. Ook de ogen zijn happy: je hebt immers markante patronen binnen het oogfixatieveld. Dit alles is met een horizontale getallenlijn tot 60 toch wat lastiger voor elkaar te krijgen.
    Getallenlijn tot 60
die in het oogfixatieveld past
en die daarin toont:
9x5, 30+15 en kwart voor

Verbeelding 13.




 3.4 Hoe verwoord je Rekenend optellen

 

3.4.1 Met vingertellen verbieden

(noot 2). Dat is eenvoudig voor de reken­meester maar weinig fun voor het kind. Hier is het idee: Niet verbieden wat je niet wilt, maar verleiden tot wat je wel wilt. Als je vingertellen verbiedt dan gaan de vingers onder de tafel of de ogen naar het plafond. Het kind projecteert zijn vingers op het plafond. De reken­meester ziet niets én weet niets. Hij ziet een goede uitkomst en denkt: Mooi, dat heb ik het kind goed aangeleerd. Hij vergeet: Liever fout gerekend dan goed geteld. Misschien moet je niet kinderen verbieden tellend op te tellen. Misschien moet je tellen gewoon doodzwijgen. Al in groep 2 ). Misschien moet je rekenmeesters leren hoe kinderen rekenend leren optellen. Gewoon zwijgen en sluwe stippatronen in de kindrealiteit snipperen. Maar ja, krijg dat maar eens voor elkaar.


3.4.2 Met het woord uitrekenen

Het vorige hoofdstuk ging over sommen uitrekenen door tellen. Tellen is een volgordemethode die je niet wilt. Gebruik het woord tellen dan ook niet. Je zou wel eens het tel-trauma kunnen vergroten. Hier turven we 86 maal een ongelukkige of zelfs foute woordkeus. Daarbij gaat het vaak om woorden waar tellen in zit.


  Dít is een télmachine

Verbeelding 14.

Tellen  Rekenen
Aftreksom, (is een paradox: aftrekken en sommeren).   Aftrekking.
Optellen.   (Slim) uitrekenen.
Optelsom (dubbelzegging, som is optelling).   Som, erbij, plus, samen.
Rangtelwoord, (is een dubbelzegging).
   Volgordegetal, rangwoord.
Telwoord.  Volgordewoord of Aantalwoord
Telraam. (het raam is overigens geen raam maar een kozijn)   Rekenrek.
Telmachine.   Rekenmachine.



3.4.3 Met het woord (kralen)rekenveld

Het gebruikelijke woord is telraam. De term raam(werk) is bouwkundig. Voor kinderen is een raam: Glas waar je door naar buiten kijkt en dat je open kan doen. De term veld is misschien beter vooral omdat je daar uiteindelijk heen wilt Het woord tel is niet zo handig omdat je juist niet wilt dat het kind gaat tellen. Je wilt dat het kind gaat rekenen. Je kunt tel ook vervangen door getal of door reken. Maar ja, met een telraam kun je sommen eigenlijk alleen uitrekenen door tellen.


3.4.4 Met rijmpjes

Rijm geeft geen inzicht maar vereenvoudigt het onthouden aanzienlijk. Bijvoorbeeld rijmpjes om de tweelingsommen te automatiseren.
Juf:Klas:
Doe je even mee:1+1= ...
En nu dan deze hier:2+2= ...
En hier de volgende les:3+3= ...
En had je dat gedacht:4+4= ...
En had je dat gezien:5+5= ...
En het is niet gelogen:6+6= ... ogen.
Ik hoef dit niet te vragen:7+7= ... dagen.
Deze weet ik zonder horten of stoten:8+8= ... poten.
Net geen tien dat is toch balen:9+9= ... kralen.
Tot slot die moet je weten:10+10= ... Dat mag je niet vergeten.
Bron: Veilig leren lezen.
Rijm vereenvoudigt onthouden

Verbeelding 16.

Bron: Veilig leren lezen.



 3.5 Hoe verkort je Rekenend optellen  

Sommen boven 20 kun je niet meer tellend oplossen. Je kunt wel sneller te gaan tellen, maar dat telt niet. Een kortere weg is niet harder gaan rijden. Een andere weg met minder vervelende stoplichten, dát is een kortere weg. Vingertellen loopt dood omdat vingertellen niet verkort kan worden.


3.5.1 Met instampen en memoriseren

Aanvankelijk dachten zelfs psycho­logen wel, dat denken en daarmee het rekenen, gewoon snel praten was (Sapir-Whorfhypothese). Dus rekenen is gewoon taalzinnetjes leren Als dat zo is dan is het vreemd is dat kinderen duizenden woorden als vanzelf leren maar dat 24 sommetjes leren in jarenlang rekenonderwijs niet lukt. Het tel-trauma ). Een volgende verantwoording voor instampen was dat het leren van sommen een soort biologische associatie is, Stimulus - Respons. Geef poot. = poot optillen en beloning krijgen. De hond weet niet wat hij doet en waarom hij het doet. Hij moet gewoon van zijn biologie. Bij de stimulis 1+1= hoort de response: 2.

En dan een derde ’theorie’ ter verantwoording van instampen. Het geheugen is een ladekast. Daar moeten de sommen dus ingestampt worden. Past die metafoor?

  • Hoe kan het dat je in het goed werkende tamelijk lege geheugen van een kind iets in moet stampen?
  • Je legt een handdoek gewoon één keer in een lade, niet tien keer.
  • Als je de handdoek er één keer doet dan ligt hij er in tot je hem er weer uithaalt. Twee keer dezelfde handdoek in een lade kan niet.
  • Probeer eens je eigen naam uit je geheugen te halen.
  • Als instampen zo’n goede methode is, waarom moet je dan zo eindeloos instampen. Waarom is er dan een tel-trauma?
  • En dan het woord instampen. Bewijst overigens de keuze van het woord instampen al niet, dat instampen niet werkt?

Dit zijn dan enkele vragen van het gezond verstand. En wat zegt de leerpsycho­logie? De psychologie zet forse vraagtekens bij het gebruik van metaforen om psycho­logische processen te begrijpen . De wijze waarop het geheugen volgens de hedendaagse psycho­logie werkt, lijkt wel erg weinig op een ladekast. Fysiologisch kan instampen eigenlijk niet omdat nieuwe kennis gekoppeld moet worden aan kennis die aanwezig is in de hersenen Gal’perin stelt dat kinderen mentale handelingen leren door te handelen en niet door inprenten (In:

Dus ...

noot 3). Dat geldt ook voor het opdreunen van de tafels. Sommen onthouden door instampen kun je dus wel vergeten. Instampen, misschien niet de oplossing van het tel-trauma maar misschien wel een oorzaak.


3.5.2 Met rekenbladen

Bij instampen horen rekenbladen met sommen. Een analyse van dit soort werkbladen staat in


    ’Sloom’ rekenblad, product­gericht.

Verbeelding 17.



3.6 Hoe vermentaliseer je Rekenend optellen


De algemene methode voor Rekenend optellen is: Maak gebruik van een som waar je de uitkomst wel van weet. Dat is veldkennis ). Er zijn dus verschillende manieren om sommen op te lossen.


3.6.1 Met tweelingen

De eerste sommen die kinderen en apen automatiseren zijn tweelingen (3+3, 4+4) Mogelijk zijn tweelingen eenvoudig omdat je maar twee getallen hoeft te onthouden: de term(en) en de uitkomst. De twee termen gelden voor het geheugen als één.
<
Statistics
4+4:   95% goed en 9 sec, n sommen: 19 sommen, n kinderen: 18, groep 3
5+5: 100% goed en 4 sec, n sommen: 36 sommen.


3.6.2 Met vijf

Vijf is een markant aantal.
  • In de eerste plaats natuurlijk omdat 5 vermaterialiseerd is in 2x 5 vingers.
  • Vijf is verder het eerste aantal dat de ogen niet altijd in één oogopslag herkennen. De ogen moeten dus gaan ooghinkelen. Dat willen we niet. Maar als je 5 in een goed patroon toont dan kan het oog 5 en ook nog wel 10, zonder tellen herkennen, met name de groepering van dobbelsteen 5.
  • Verder is 5 het eerste aantal dat geen ’eigen’ hersencellen heeft. Groepen hersencellen moeten dus gaan samenwerken. Dat is een ander neurologisch process dan het aantal 4 herkennen.
  • Dit alles sluit goed aan bij de decimale getalkennis, 10 is namelijk 2x5. Verder is 5+5 daarom ook een gemakkelijke som ( 100% goed). Voor 5+5 is instampen dus niet nodig. Deze som kan dus van slome werkbladen af.
De statistics sluiten hier wel bij aan. De som 5+5 geeft minder fouten en is meer geautomatiseerd dan 3+3 en 4+4.

5+5: 100% goed, 4s., n sommen: 36, n kinderen: 18.
4+4:  95% goed, 9s., n sommen: 19.
3+3:  89% goed, 6s., n sommen: 18.


Je kunt de hersenen volgen door over te gaan een decimale verbeelding, bijvoorbeeld met dobbelsteengroepen. En zet ook de dobbelsteengroepen al vast op de korte kant.

  Aantallen boven 5 en sommen subitizebaar verbeeld door markante 5 en 10

Verbeelding 18.


3.6.3 Met ’Eén-erbij-sommen’

Vanuit een bekende tweelingsom kan het kind de uitkomst van een ’Eén-erbij-som’ afleiden. 5+4 is dan: 4+4 (weet ik)+1=5. Deze sommen zijn moeilijker (73%) en minder geautomatiseerd (12 s.) dan tweelingen.
    Een sluw leerblad voor Eén-erbij-sommen

Verbeelding 19.
Statistics
1-erbij  73% goed en 12 sec, n sommen=80 sommen, n kinderen: 18, groep 3
De verwoording Eén-erbij-som; is overigens ongebruikelijk. Maar deze verwoording geeft duidelijk weer wat het kenmerk is van deze sommen. Een van de termen is namelijk één meer dan de andere term. En het is een verwoording van de uit te voeren handeling, namelijk de uitkomst van de bijhorende tweelingsom met één vermeerderen. De aanduiding bijna tweelingsom is wat dat betreft iets minder duidelijk. Dat geldt ook voor de aanduiding buurvrouwsom. Verder heeft de buurvrouw in de kind­realiteit meestal een huisnummer dat niet één maar twéé hoger is. Spannend is de verwoording: Wat is de geheime som die bij deze één-erbij-som hoort?


3.6.4 Met omdraaiers

Een andere echte rekenhandelingen is de toepassing van de commutatieve wet: 2+7=7+2. In kindertaal: Met de grote beginnen (te tellen) mag of Omdraaien (van termen) mag. Dit omdraaien is voor de teller erg aantrekkelijk omdat dit hem veel telwerk scheelt, bijvoorbeeld bij 2+19. Verder is de wet eenvoudig uit te leggen.

Statistics
Omdraaiers  81% goed en 11 sec, n sommen: 90, n kinderen: 18, groep 3.
Deze wet geldt bij de taal­meester overigens niet: p+a is niet ap.

Het omdraaien is eenvoudig te verbeelden zo dat de verbeelding voldoet aan de psycho­logische eisen:
  • Kijken naar de animatie en het vertellen wat er gebeurt, voorkomt dat het kind gaat tellen.
  • De termen hoeft het kind niet te tellen want die zijn klein, goed gegroepeerd en passen binnen oogfixatieveld.
  • De mentale handeling wordt gevisualiseerd. Het kind ziet de omdraaiing en ziet dat de uitkomst niet verandert.
  • De rekenmeester kan gewoon zijn mond houden.

Een volgende stap is minder visueel en laat het kind de wet zelf ontdekken. Gewoon een sluw leerblad zoals hiernaast. Belangrijk is dat het sommenpaar binnen het oogfixatieveld staat ). Het kind ziet dan beide sommen en beide uitkomsten tegelijk.

Zeg niet: Kijk de uitkomst is steeds gelijk. Houd je mond. Gun het kind zelf de ontdekking en wacht tot het kind zegt: Ha, ha, dat is gewoon hetzelfde. Dat is rekenen en dat is fun.


3.6.5 Met De som van de week

Introduceer aan het begin van de week plechtig de som van de week. Doe dat sluw. Dus zo dat er niet geteld wordt. Dus niet met een of andere lijn maar met een oog­vriende­lijk­(stip) patroon. Noteer niets in het leerling­volg­systeem. Het kind plakt zijn stipverbeelding van de som van de week op zijn tafeltje. In een hoek. Je kunt dan gemakkelijk zien of het kind er (nog) gebruik van maakt. De som mag plechtig weg wanneer het kind de som beheerst. Heeft het kind teveel stickersommen op zijn tafel, informeer dan de rekenbijlesmeester. Begin met sommen rond 5+5.
    Som van de week tafelbladstikker

Verbeelding 22.

  • Eerst dus de tweelingen. Tweelingen zijn eenvoudig omdat het kind maar twee getallen hoeft te onthouden. Er zijn geen extra rekenhandelingen nodig. De tweelingen laten wel zien dat het uitrekenen van sommen niet een soort Iene, miene, mutte is maar dat het is: handig het totaal van twee hoeveelheden bepalen zónder te tellen.
  • Dan de sommen die samen 10 zijn. Waarschijnlijk eenvoudig doordat de som eenvoudig aan de vingers te zien is. Dus nog niet echt een rekenhandeling. Wel weer optellen zonder tellen.
  • De omdraaiers zijn gelijk 9% moeilijker dan samen 10. Voor de omdraaiers is namelijk wel een echte rekenhandeling nodig.
  • Voor de 1-erbij sommen zijn ook rekenhandelingen nodig. De kinderen gebruiken hierbij voor het eerst een andere, bekende som om de gevraagde onbekende som uit te rekenen. Je kunt extra steun geven door de som te verbaliseren met een rijmpje:
    Komt 5 de 4 tegen, dan krijg je negen.
    Als 4+3 gaan samenleven, dan worden het er zeven.


3.6.6 Met een sommentabel

Rekenen is veld­-kennis ). Een sommentabel verbeeldt dat. Door de sommen en de uitkomsten dicht bij elkaar te plaatsen, vallen de omliggende sommen en uitkomsten in het oogfixatieveld (§ 8.3.4). Daardoor zijn de veld­-kenmerken van de aantalgetallen aanwezig in het werkgeheugen.

Veldkennis en veldmethoden zijn een andere soort getalkennis dan lijnkennis zoals tellen. Een veld verbeeldt ook dat er méér routes, meer oplossingen zijn. Bij 5+4 zijn dat onder anderen: 5+4=10-1=9 en 5+4=4+4+1=9.

De kennis is niet alleen horizontaal: De rechter is één meer dan de linker, zoals bij de getallenlijn. Maar dit geldt ook verticaal: Naar beneden is één meer. Verder verbeeldt het veld tweelingen over de diagonaal gespiegeld (1+4 en 4+1). Ook zijn er diagonalen van dubbele Eén erbij. sommen (1+2=3, 2+3=5, 3+4=7). Wat de psychologie betreft is ook de verbeelding, de verwoording en de vermentalisering van velden anders dan van getallenlijnen .

Sommentabellen zijn fun, zo is mij gebleken. Het kind heeft autonomie want het kan zelf sommen kiezen. Houd je mond. Gun het kind ’zelf’ de fun van de ontdekking van de kenmerken van het aantalgetallenveld.
Dus ...

Erg ingewikkeld dit hoofdstuk, misschien. Getalkennis is vaak een hutspot van volgorde-verwoordingen, volgorde-verbeeldingen, volgorde-getal, aantal-getal, volgorde-methoden en aantal-methoden. Gelukkig is Rekenend optellen voor de kinderen best te leren, ook zonder instampen. Zijn de sommen nog niet ingestampt? Geen probleem. Je kunt gewoon snel doorgaan. Misschien móet je zelfs gewoon doorgaan met de volgende leerfase: .



Voetnoten:



1) Kinderen hebben bij een normale spraak-taalontwikkeling een passieve woordenschat van 6000-14.000 woorden. (Goorhuis-Brouwer) https://www.smartonderwijs.nl/uploads/9/4/6/7/9467353/spraak-taalontwikkeling_tot_7_jaar.pdf

2) Een terugkerend thema:
https://www.ouders.nl/forum/ouders-en-school/op-vingers-tellen-mag-niet-van-juf-groep-3

3) Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden
www.psychologie/leren_onthouden_instampen.php

Dit hoofdstuk

3.1 Wat is Rekenend optellen
      1 Wat voor soort kennis is Rekenend optellen
3.2 Rekenend optellen in het leerproces
      1 Is vingertellen een probleem? Wat gek
      2 Geen probleem, gewoon verder gaan
3.3 Hoe verbeeld je Rekenend optellen
      1 Met kabouters en paddenstoelen
      2 Met in- en uitstappen
      3 Met vingerbeelden
      4 Met de getallenlijn
      5 Met 12 taartpunten
      6 Met een telraam
      9 Met een lijn van 10
      10 Met een patroon van 5
      11 Met een patroon van 10
      12 Met staande stippen
      13 Met 60 taartpunten
3.4 Hoe verwoord je Rekenend optellen
      1 Met vingertellen verbieden
      2 Met het woord uitrekenen
      3 Met het woord (kralen)rekenveld
      4 Met rijmpjes
3.5 Hoe verkort je Rekenend optellen
      1 Met instampen en memoriseren
      2 Met rekenbladen
3.6 Hoe vermentaliseer je Rekenend optellen
      1 Met tweelingen
      2 Met vijf
      3 Met ’Eén-erbij-sommen’
      4 Met omdraaiers
      5 Met De som van de week
      6 Met een sommentabel

Andere hoofdstukken



Literatuur:


Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press
Berg, W. van den & Eerde, H.A.A. van, (1993). De veerkracht van het rekenrek. Tijdschrift voor nascholing van het reken-wiskundeonderwijs.
Koenen, L. (2020). Liesbeths Onaffe. Waargebeurde Taalverhalen. www.liesbethkoenen.nl/liesbeths-onaffe/
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
Berg, W. van den & Eerde, H.A.A. van, (1993). De veerkracht van het rekenrek. Tijdschrift voor nascholing van het reken-wiskundeonderwijs.
Jong, R. de, J. van Vugt & A. an der Schot, (1996). Kwantiwijzer voor leerkrachten. Een vorm van adaptief rekenonderwijs, trainingspakket - Cursistendeel. Tilburg: Zwijsen.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
Selter, C. & E. Zannetin, (2021). Mathematik Unterrichten in de Grundschule. Hannover: Klett/ Kallmeyer.
Wilde, R. de, (2000).De voorspellers, een kritiek op de toekomstindustrie. Amsterdam: De Balie.
Maldonado Moscoso, P.A., E. Castaldi, D.C. Burr, Roberto Arrighi, G. Anobile, (2020). Grouping strategies in number estimation extend the subitizing range. Scientific Reports. Vol. 10, art.no: 14979 (2020).
https://www.nature.com/articles/s41598-020-71871-5
Bereiter & Engelman, (1971). In: Iben, G., Kompensatorische Erhung. Analysen Amerikanischer Programme. München: Juventa Verlag.
Vroon, P. & Draaisma, D.(1985). De mens als metafoor. Over vergelijkingen van mens en machine in filosofie en psycho­logie. Baarn: Ambo.
Koch, C. & Marcus, G., (2015). Neuroscience in 2064. A look at the last century. In: Marcus & Freeman: The future of the brain. Pag. 258-269.
Marcus, G. & Freeman, J., (2015). The future of the brain, Essays by the world leading neuroscientists. Princeton: Princeton university press.
Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. (1989). Sovjetpsychologen over onderwijs en cognitieve ontwikkeling. Leerpsycho­logie en onderwijs 4. Groningen: Wolters-Noordhof.
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press
asdf