3 Rekenend optellen

Hoe kom je van dat vingertellen af


Hoofdstuk 3 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Heel vreemd dat kinderen tot in groep 5 blijven vingertellen. Ook begrijpelijk dat ze dat doen. Ook niet erg, dat vingertellen. Als je het wil oplossen dan is dat ook niet moeilijk.



3.1 Wat is Rekenend optellen



3.1.1 Afscheid van Iene, miene, mutte

Aanvankelijk lag de belangstelling van de wetenschap vooral bij de rekenvoorwaarden. De Rijksuniversiteit Utrecht zette met de ontwikkeling van de Kwantiwijzer de stap naar getallen.Daarbij openbaarde zich een tamelijk onzichtbaar kantelpunt. De goede uitkomsten die kinderen gaven konden tot stand gekomen zijn op basis van totaal verschillende handelingen.


3.1.2 Wat voor soort kennis is Rekenend optellen

Het vorige hoofdstuk Tellend optellen beschreef hoe kinderen met volgorde-getallen tellend optellen. Dit hoofdstuk, Rekenend optellen, gaat over aantal-getallen (kardinaliteit). Het verschil tussen volgorde-getal en aantal-getal is nogal groot.


Tellend optellenRekenend optellen
Lijnkennis (zie § 9.4.2.4).
Het gaat om volgorde, ook wel aangeduid met de woorden rangorde, serieel en ordinaal. Un, dun, dip, 1°, 2°, 3°. Volgorde-getallen zijn niet optelbaar.
Veldkennis (zie § ).
Het gaat om relaties die je in een 2-d-veld kunt verbeelden. Aantal-getallen zijn optelbaar omdat de hoeveelheid met een gelijke maat bepaald is (zie § 1.5.2). 2 €+3 €=5 € Maar dun + dip is onzin.

VoorbeeldenVoorbeelden
  • Een vrouw met een IQ van 100 is niet twee maal intelligenter dan een vrouw met een IQ van 50.
  • Als de psychologie IQ als aantal-getal zou kunnen meten, dan zou wel eens kunnen blijken dat de vrouw met een volgorde-IQ van 100, dat nu gebruikelijk is, in werkelijkheid een aantal-IQ van 51 heeft.
  • In een blijf onderwaterwedstrijd, is nummer 2, de winnaar van zilver, niet twee maal zo lang onder water gebleven als de winnaar van goud.
  • De ploeg die twee doelpunten scoorde heeft twee maal meer doelpunten dan de ploeg die maar één doelpunt scoorde.
  • In een straat met eerst 10 villa's en dan een torenflat, moet de postbode meer lopen tussen villa 1 en villa 2 dan tussen flat 11 en flat 100
  • In een saaie nieuwbouwwijk met 100 huizen even breed, ligt huisnummer 50 op de helft.
  • Het tweede kind in de lengterij is niet twee maal zo groot als het eerste kind.
  • Maar een kind van 2 meter is twee maal langer dan een kind van 1 meter.


    Er ingewikkeld allemaal. IJskoud volgorde-verwoordingen, volgorde-verbeeldingen, volgorde-getal en aantal-getal als hutspot. Het is een beetje alsof je kinderen leert dammen op een ganzenbord.
    Gebruik je de juiste woorden en beelden dan is volgorde-getal en aantal-getal voor het kind geen probleem. Vraag maar eens: Wil je tien koekjes of het tiende koekje?



    3.2 Rekenend optellen in het leerproces



    3.2.1 Waarom is vingertellen een probleem



    3.2.2 Het probleem

    Het is toch eigenlijk wel een beetje vreemd.
    • Die te automatiseren sommen hebben een harde logische systematiek. Veel logischer en systematischer dan de woorden van het leren lezen. Logisch en systematisch, daar houden de hersenen juist zo van. Je hoeft dan niet zo veel te onthouden omdat je het gewoon 'terug' kan bedenken.

    • Getallen en sommen laten zich eenvoudiger oogvriendelijker (zie § 8.3.0) verbeelden dan woorden. Visuele informatie, daar zijn de hersenen, zeker de kinderhersenen goed in. Woorden vinden de hersenen eigenlijk maar niets. Evolutionair gezien is woordtaal een hype.

    • Achtjarigen leren zo’n 5 woorden per dag vrijwel zonder moeite en veel woorden leren zij zonder expliciet onderwijs. Er zijn 64 sommen met termen onder 10. De helft daarvan zijn synoniemen (2=5 en 5+2). Er zijn 8 tweelingsommen (4+4) die kinderen snel leren. Houd je over 24 te leren sommen over. En die 24 sommen/woordjes leren lukt maar niet in groep 3, 4 en soms zelfs nog in groep 5. Met een leervermogen van 5 woorden per dag zou dag toch in 5 schooldagen bekeken moeten zijn. (noot 1).

    • Nu is het niet zo dat de kinderen de sommen nooit gehad hebben. In groep 3 tot en met groep 5 toch wel tientallen keren. En kinderen die het maar niet leren komen met ouderhulp en ’bijles’ mogelijk zelfs op honderden keren.

    Toch wel gek allemaal. Hoe komt dat toch?


    3.2.3 De verdachten

    • Een eerste verdachten zijn de getallen zelf. Getallen zijn abstract en geheel ontdaan van elke context en realiteit. Dat maakt het moeilijk getallen te koppelen aan bestaande kennis. Kenniskoppeling ontstaat door een relatie met emotie en evolutie. Daardoor leert een kind zijn moeder herkennen. Daardoor kan een gebeurtenis in één klap een onuitwisbare indruk maken en PTSS veroorzaken. De evolutie en de emotie hebben niets met getallen.

    • Een andere verdachte natuurlijk de taalmeester. Hier valt 57 maal te lezen dat de rekentaal vaak taalkundig misschien wel correct is maar rekenkundig en psychologisch gezien onduidelijk of zelfs fout. Ook geeft de rekentaal vaak niet de (juiste) handeling aan en zelfs het omgekeerde van wat de rekenmeester wil. Het vorige hoofdstuk Tellend optellen en dit hoofdstuk Rekenend optellen zijn eigenlijk vooral een ontrafeling van volgorde-getal en aantal-getal.

    • Een volgende verdachte is de focus op productresultaat (goede uitkomst) van onderwijs, toetsen, politici en ouders. Het is dus heel begrijpelijk dat veel kinderen denken: Bekijk jij het maar rekenmeester. Ik blijf gewoon tellend optellen met mijn vingers dan weet ik zeker dat ik eenvoudig een goede uitkomst krijg. Dat is wat jullie willen, een goede uitkomst en vooral niet experimenteren met handige methoden en mogelijk wat beginnersfouten. Vooral bij gehoorzame 'pleasers' kun je dat zien, 'intelligent' of niet.

    • En dan het leermateriaal. De getallenlijn is een volgorde-getal middel (lijn-kennis) dat gebruikt wordt om aantal-getal (veld-kennis) uit te leggen .



    3.2.4 Geen probleem, gewoon verder gaan

    En dan het goede nieuws. Wanneer sommen onder 10 niet geautomatiseerd zijn dan is dat rekenkundig geen probleem. Het staat uitvoeren en zelfs begrijpen van complexe procedures als plaatswaarde en inwisselen niet in de weg.Wel is er psychologisch een 'probleempje'. Wanneer het kind deelhandelingen van complexe sommen tellend uitvoert dat geeft dat mentale en werkgeheugen belasting. Dat is precies wat je niet kunt gebruiken wanneer je complexe en mentale handelingen als plaatswaarde en inwisselen moet leren uitvoeren.

    Dus ...

    Gewoon doorgaan naar volgende leerfase, met name: Nul en snel daarna met Plaatswaarde. Dat kan, zo is mij gebleken.

    • Verder gaan bevrijdt het kind van het stomme, infantiele en soms zelfs verboden tellen. Rekenen wordt gewoon puzzels oplossen.

    • Het is fun (schijnbaar) moeilijke sommen (met grote getallen) te beheersen.

    • Bovendien maakt het kind daarbij veel deelsommen onder 20 (al dan niet tellend). De automatisering komt dan eventueel alsnog tot stand, als bijvangst (incidenteel leren).



    3.3 Hoe verbeeld je Rekenend optellen



    3.3.1 Met in- en uitstappen

    Bussen en liften zijn gebruikelijke verrealiseringen van optelsommen. Je kunt passagiers optellen en aftrekken. Maar je ’verrealiseert’ dan het woord optellen en aftrekken. Dat is niet het probleem. Het probleem is hóe je de som bepaalt, tellend of rekenend. Hoe verleidt je het kind niet te gaan tellen maar te gaan rekenen. Welke handelingen moet je uitvoeren. Het lijkt een beetje op leren autorijden door een plaatje van een auto te tonen en niet vertellen dat je eerst moet starten. Tja, wat doe je dan? Waarschijnlijk ga je dan maar duwen.



    3.3.2 Met kabouters en paddenstoelen

    Je kunt getallen concreet maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind dat in die periode net overgaat van denken waarbij fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn naar fase met besef van een werkelijke wereld.Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische regels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de rekenregels.



    3.3.3 Met vingerbeelden

    Een andere visualisering van getallen is het vingerbeeld. vingerbeelden Je kunt met twee handen hoeveelheden tot 10 weergeven.
    • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.

    • De vingerbeelden sluiten aan bij het tellend optellen uit de vorige fase. Daardoor ontstaat de verleiding te gaan tellen.

    • Om het goede vingerbeeld te krijgen moeten die vingers één voor één in de goede stand gezet worden. Dat is een motorische telhandeling. Dat kost tijd en geeft werkgeheugenbelasting.

    Vingerbeeld met het getal 9.
    Verbeelding 1.
    • Onhandig is dat de ogen iets anders zien en aan de hersenen doorseinen dan bedoeld wordt. De ogen seinen in eerste instantie naar de hersenen: Ah, een hand, vijf vingers. Vervolgens misschien nog: Een vinger wijkt af. Dan concluderen de hérsenen: Ah, ik weet het nog, ik zie er vijf maar de rekenmeester bedoelt 4. Er zijn veel visuele en mentale handelingen die op zich niets te maken hebben met de optelling. Bij deze visuele en mentale handelingen kunnen gemakkelijk fouten ontstaan. Dit zijn dan geen rekenfouten. Het kan dus zijn dat de uitkomst fout is terwijl het kind de som wel goed kan uitrekenen. Al met al is het voor het kind dan eenvoudiger vijf vingers zien én er dan aan denken dat je die horizontale duim wel ziet maar dat je die moet aftrekken omdat hij horizontaal staat. Dat kan het oog met vingerbeelden niet. De hersenen seinen dan terug: OK, te ingewikkeld voor je. Tel ze maar dan trek ík die ene er wel af.

    • Voor het waarnemen van een vingerbeeld is nauwkeurige waarneming van details nodig. De evolutie heeft gekozen voor onnauwkeurige waarneming. Je kunt beter 10 maal weglopen voor een koe omdat je ogen denken een panter te zien dan omgekeerd. Dat is bij deze vinger­beelden te zien: toont dit vingerbeeld 2x4 vingers=8 of hoort die duim links er ook bij en wordt 9 bedoeld? Je kunt de waarneming vereenvoudigen door gekleurde vingerhoedjes op de vingers te plaatsen. Maar dat is dan weer een uitvoerige materiële handeling waarbij geteld gaat worden.

    • En dan tot slot. De vingers staan op een rij, als een getallenlijn. Bij Rekenend optellen gaat het om veldkennis en niet om lijnkennis.





    3.3.4 Met de getallenlijn



    3.3.5 Met dobbelsteenstipgroepen

    1) Optellen met de getallenlijn

    Een getallenlijn is een lijn-verbeelding (zie § 9.4.2.4). Je kunt sommen maar op één manier uitrekenen: netjes langs de lijn de tweede term aflopen. Net als bij het ganzenbord. De naam ’getallenlijn’ is misleidend. Het is een rangordelijn.
    2) Optellen met stipgroepen

    Stipgroepen zijn een veld-verbeelding (zie § ). Net als bij dammen. Je kunt de stippen op verschillende manieren tellen, eventueel deels bijtellend als op een getallenlijn. Maar je kunt ook rekenen optellen. 8+5=2+3=10 maar ook 8+5=2+2+1. Beide methoden zijn zichtbaar. Op de getallenlijn is dat lastiger omdat de uitkomst dan al zichtbaar is en het kind niet hoeft te rekenen.

    Breken om 10 bij 8+5.
    Verbeelding 2.

    3) Pasvorm van de getallenlijn voor het oogfixatieveld

    Het oogfixatieveld heeft de vorm van een liggende ovaal. Een getallenlijn van 10 past in het oogfixatieveld maar dan moet de leesafstand zo groot zijn dat de cijfers niet meer te lezen zijn.


    Eerste oogfixatie bij 4+5 met de getallenlijn.
    Verbeelding 3.


    Waarom lígt de getallenlijn toch? Waarom staat hij niet verticaal. Hoeveelheden staan meestal verticaal. Ook in de kindrealiteit staan: analoge thermometer, grafieken, jaarlijkse lengtemeting van kinderen op de de deurpost, Aantal verwoordingen trouwens ook: boven Jan, bovenkast, bovenste beste, boven water, boven komen drijven, hoogste getal (niet het rechtste getal), hoogte krijgen van, hoge ogen gooien, onder de maat, onder gaan, ondergronds.
    4) Pasvorm van stippen voor het oogfixatieveld

    2 groepen van vijf stippen passen uitstekend in het oogfixatieveld. Er is dan zelfs ruimte over. Ook een som als 8+5 past daar goed in, zeker wanneer de essentiële getalsrelaties bijelkaar geplaatst zijn. In dit geval: twee lege plaatsen waardoor blauw acht wordt, de twee blauw-groene kralen die van 8 tien moeten maken en tot slot de 2 groene kralen die over blijven.

    Nu is ook zichtbaar dat eierdozen moeten staan en niet moeten liggen.

    Eerste oogfixatie bij het uitrekenen van een som met het 100-veld.
    Verbeelding 4.



    5) Hoe markant is de vorm van de getallenlijn

    De ogen zelf kunnen niet één voor één tellen. Maar de ogen kunnen wél zeer regelmatige figuren ' inter­preteren' en geïnterpreteerd naar de hersenen doorseinen. Hoe markanter het figuur hoe eenvoudiger het oog het figuur kan herkennen. Die herkenbaarheid is een paradoxale combinatie van regelmaat (Gestalt) en markantheid. Hoe beter deze combinatie is, hoe groter het aantal is, dat het oog in één keer kan herkennen (Douglas H. Clements, 1999). Subitizing heet dat.

    Grote aantallen in één keer zien is wat de rekenmeester wil want dan gaat het óóg van het kind rekenen en wordt er niet geteld.

    Een getallenlijn van 10 is zeer regelmatig en heeft visueel twee markante punten: het begin en het eind. Maar daar hoeft het kind nooit te zijn. Een rij van 5 blokjes is misschien voor het oog nog wel te herkennen als 5, maar zijn het er meer dan wordt het wel moeilijker. Dit is te zien is bij de eierdozen.

    Aantal 9 met eierdozen.
    Verbeelding 5.
    6) Hoe markant is de vorm van stipgroepen

    Twee dobbelsteengroeperingen van samen 10 stippen is een ideale verbeelding die voor het oog zowel regelmaat als markantheid heeft. Subitizing is goed mogelijk. Bij vier stippen in de vorm van een vierkant seint het oog zonder tellen naar de hersenen: Hallo hersenen, hier komt een vierkant aan. Daar heeft het kind maar ook de rekenmeester niets over te vertellen. Je kunt niet negeren dat je 2x6 gegooid hebt als je 2x6 ziet. De hoeveelheid vijf is een markante hoeveelheid bij de ontwikkeling van het rekenen. 5+5 is een som die snel geleerd wordt en die een brug vormt naar het volgende markante getal: 10. Op dobbelstenen zijn markante hoeveelheden nodig gezien de omstandigheden waaronder de dobbelsteen afgelezen moet worden: weinig licht en verminderde mentale vermogens door stress en alcoholgebruik.

    De dozen liggen naast elkaar. Een beetje zoals de taalmeester het doet, een lange lijn. Daardoor passen ze minder goed in het ovale oogfixatieveld.

    7) Belasting van het werkgeheugen door de getallenlijn

    Het werkgeheugen moet de telstand én de tweede term onthouden.
    8) Belasting van het werkgeheugen door de getallenlijn

    Alle getalsinformatie is in het oogfixatieveld aanwezig (1e term, 2de term, uitkomst). Eventueel ook de opdracht.

    9) Verkorten en de getallenlijn

    Volgens de leerpsychologie is leren uitvoerige handelingen verkorten (zie § ). Met een getallenlijn kun je sneller gaan tellen. Maar dat is niet verkorten van handelingen, schiet niet op en is geen rekenen maar Iene, miene, mutte.

    Je kunt op de getallenlijn niet Rekenend optellen. De getallenlijn visualiseert en verleidt niet tot redeneringen als: 4+4=8, weet ik, dus 5+4=9, gewoon een er bij.
    10) Verkorten en stipgroepen

    Met stippen kun je sommen oplossen volgens de vorige fase: tellend optellen. Maar de stipgroepen verleiden ook tot Rekenend optellen. De verbeelding lokt dat ook uit. Precies zoals de taalmeester het al jaren uitstekend doet: meer letters tegelijk lezen en eigenlijk zonder synthese maar volledig geautomatiseerd meer woorden tegelijk ook herkennen. Je kunt niet meer naar een woord kijken zonder dat je hersenen het woord al geïnterpreteerd hebben. Je kunt niet meer naar een som kijken zonder dat de uitkomst in je hersenen verschijnt. Dát is automatiseren.

    Dat moet gemakkelijk kunnen. Stipgroepen zijn eenvoudiger te lezen dan lettergroepen. De Latijnse letters zijn ontworpen zodat steenhouwers gemakkelijk lineaire regels in steen konden hakken. De stipgroepen zoals die hier te zien zijn, zijn ontworpen met de maat en de vorm van het oogfixatieveld, zijn markant en belasten het werkgeheugen niet. Die voordelen heeft de taalmeester met zijn priegelige letters niet.

    11) De mentale handelingen en de getallenlijn

    Wat zijn de mentale handelingen bij het Tellend optellen? Hoe denkt en rekent het kind? Dat zijn lastige vragen.

    Een eenvoudig antwoord is dat het kind de getallenlijn in zijn hoofd voorstelt en dan de som uitrekent. De visuele handelingen gaan immers vooraf aan de mentale handelingen. Klaar is rekenmeester Kees.

    Maar als je in een klas kinderen ziet proberen zich de getallenlijn, bijvoorbeeld op het plafond, voor te stellen dan weet je dat dat niet zo eenvoudig is. Vooral bij wat grotere sommen. Het is verleidelijk te denken dat visuele voorstellingen als een soort foto in de hersenen zitten. Je zou dan van een foto van een getallenlijn in de hersenen sommen tellend kunnen optellen. Maar als de getallenlijn zo visueel in de hersenen aanwezig zou zijn, waarom is terugtellen dan zo lastig? Waarom is het verwoorden van een route heen eenvoudig. Heb je echter de route terug nooit gereden dan is het zeer moeilijk de route terug te verwoorden. Een eventueel verbeelde getallenlijn is toch een soort landkaart waar je dan rekenend over navigeert. Inmiddels is de navigatie psychologie flink wijzer geworden.

    De hersenen lezen geen kaart (visueel veld) af maar redeneren met beschikbare kennis. Ah, de Notre Dame achter me, de Eiffeltoren voor me, dus links het zuiden en links het hotel ergens. Op de getallenlijn kan dat niet omdat je de punten niet kan zien en het eindpunt zelfs niet weet. Het kind weet niet hoever het moet springen want het weet nog niet dat 4+5=9. Kan het kind mentaal rekenend 4+5 optellen dan heeft de getallenlijn geen zin. Er zit dus voor de teller niets anders op dan de ogen steeds één blokje naar rechts te bewegen. De uitkomst wordt niet gezien. De uitkomst wordt mentaal in het werkgeheugen geconcludeerd: Het aantal bijgeteld is gelijk aan het aantal van de tweede term.

    Met de getallenlijn is er geen andere mogelijkheid dan tellen. En tellen is wat de rekenmeester níet wil. De getallen lijn is een verwarring tussen de methode en het resultaat. Het is niet duidelijk (zichtbaar) of de 5 op de getallenlijn het vijfde huis is of huis 1 tot en met 5. Het is geen getallenlijn maar een gatellenlijn (noot 2).

    Dus ...


    Een ingewikkeld verhaal, al die handelingen. Voor de rekenmeester. Ook voor de ogen. Ook voor de hersenen. Ook voor het kind.
    12) De mentale handelingen en stipgroepen

    Met stippatronen van sommen is alle getalsinformatie in het oogfixatieveld visueel aanwezig (1e term, 2de term, uitkomst). Eventueel ook de te maken som. De mentale en werkgeheugen belasting is daardoor minimaal. Dat betekent dus dat er voor de hersenen alle ruimte is voor mentale leerhandelingen. Welke handelingen dat ook zijn en hoe die handelingen ook uitgevoerd worden. Mocht het kind toch van het plafond stippen willen tellen, ook dan is het eenvoudiger om tellend te rekenen met mentale markante stippatronen op het plafond dan met een getallenlijn zonder oriëntatiepunten. Dat is trouwens wat slimme tellers ook doen. Zij maken kinderen tikken of schrijven markante stippatronen (geen lijn), op tafel, papier of plafond. Heel slim.

    Dus ...

    Een eenvoudig verhaal, die stippatronen. Eenvoudige voor de rekenmeester. Eenvoudig voor de ogen. Eenvoudig voor het kind.





    3.3.6 Met eierdozen

    De eierdozen zijn een veld-verbeelding en een variant op de dobbelsteenstippen. Er zijn wat verschillen.

    • Een belangrijk verschil is dat een rij van vijf minder markant is dan een dobbelsteen-vijf-patroon. Daardoor kan het oog minder goed bepalen hoeveel eieren een rij heeft.

    • Ook zijn de afzonderlijke aantallen minder markant. Dit leidt visuele vergissingen en tot de lijnmethode: tellend optellen.

    • Enigszins geniaal aan de eierdozen is zijn de lege ringen voor de eieren die er níét zijn. Het volgend hoofdstuk: 4. Nul laat zien waarom het geniaal is om niets wél te tonen. Door de eieren die er niet zijn te tonen, komt tientalligheid in zicht. De ogen leren lezen dat 8+2 tien is. Of de hersenen nu willen of niet.





    3.4 Hoe verwoord je Rekenend optellen



    3.4.1 Met vingertellen verbieden

    Een eenvoudig strategie voor de rekenmeester. Weinig fun voor het kind. Mijn idee is: Niet verbieden wat je niet wilt maar verleiden tot wat je wel wilt. Als je vingertellen verbiedt dan gaan de vingers onder de tafel of naar het plafond. Het kind projecteert zijn vingers op het plafond en probeert zo visueel te tellen. De rekenmeester ziet niets én weet niets. Hij ziet een goede uitkomst en denkt: Mooi, dat heb ik hem goed aangeleerd.



    3.4.2 Met het woord uitrekenen

    Het vorige hoofdstuk ging over sommen uitrekenen door tellen. Tellen is een volgorde methode. Andere woorden voor volgorde zijn: rang (telwoorden), ordinaal, serieel en turven. Volgorde zegt niets over hoeveelheid. Bij reken methoden gaat het niet om volgorde maar om aantal. Andere woorden voor aantal zijn: hoeveelheid, kardinaliteit en gemeten getal. Er is dus een groot verschil in de aard van het getal en de aard van de handelingen tussen volgorde getal en aantal getal. Opmerkelijk is nu dat dit verschil niet de gebruikte woorden blijkt.

    Woordcloud tellen Duidelijk verschil volgorde en aantal.
    Telwoorden. Volgorde getal óf aantal getal.
    Optellen. (Slim) uitrekenen, je wilt helemaal niet dat het kind gaat optellen.
    Telraam. Rekenrek.
    Optelsom (dubbelzegging, som is optelling). Som, erbij, plus.
    Aftreksom, paradox, aftrekken en sommeren. Aftrekking.
    Rangtelwoord, dubbelzegging. Volgorde getal, rangwoord.


    Kennelijk leeft de taalmeester met zijn ’tel’woorden nog in de turftijd. Maar we zitten nu toch al een paar honderd jaar in de kardinaliteitstijd. Met name Descartes heeft aan het begin van de verlichting het aantal getal op de kaart gezet.



    3.5 Hoe verkort je Rekenend optellen

    Sommen boven 20 kun je niet meer tellend oplossen. Je kunt wel sneller te gaan tellen, maar dat telt niet. Een kortere weg is niet harder gaan rijden. Een weg met minder vervelende stoplichten, dat is een kortere weg. Vingertellen loopt dood omdat vingertellen niet en geautomatiseerd kan worden.


    3.5.1 Met instampen en memoriseren

    Aanvankelijk dachten zelfs psychologen wel, dat denken en daarmee het rekenen, gewoon snel praten was (Sapir-Whorfhypothese). In vervolg daarop werd wel gedacht dat sommetjes uitrekenen puntkennis is, gewoon taalzinnetjes die je moet leren We zagen al dat het dan toch wat vreemd is dat kinderen duizenden woorden als vanzelf leren maar dat 24 sommetjes leren in jarenlang rekenonderwijs niet lukt. Een volgende legitimering voor instampen was dat het leren van sommen is het aanbrengen van een soort biologische associatie, Stimulus - Respons. Geef poot. = poot optillen en beloning krijgen. De hond weet niet wat hij doet en waarom hij het doet. Hij moet gewoon van zijn biologie.

    En dan een derde ’theorie’ ter verantwoording van instampen. Het geheugen is een ladekast waar dus informatie ingestampt moet worden. Een populaire metafoor en daarom psychologisch verdacht.

    • Hoe kan het dat je in het goed werkende tamelijk lege geheugen van een kind iets in moet stampen?

    • Je legt een handdoek gewoon één keer in een lade, niet tien keer.

    • Als je het één keer doet dan ligt hij er in tot je hem er weer uithaalt.

    • Probeer eens je eigen naam uit je geheugen te halen.

    • Als instampen zo’n goede methode is, waarom moet je dan zo eindeloos instampen. Waarom lukt dat bij veel kinderen toch maar niet?

    • En dan het woord instampen. Bewijst de keuze van het woord al, niet dat instampen niet werkt?
    Dit zijn dan enkele vragen van het gezond verstand.
    En de psychologie, met name de leerpsychologie, met name de hedendaagse psychologie. Nou die heeft ook wel een paar vraagtekens.

    Ten eerste de forse vraagtekens die zetten bij het gebruik van metaforen om psychologische processen te begrijpen

    De wijze waarop het geheugen volgens de hedendaagse psychologie werkt, lijkt wel erg weinig op een ladekast. Fysiologisch kan instampen eigenlijk niet omdat nieuwe kennis verwerven is het leggen van physiologische verbindingen in de hersenen. De nieuwe leerstof moet gekoppeld worden kennis die aanwezig is in de hersenen Gal’perin stelt dat kinderen mentale handelingen leren door te handelen en niet door inprenten (In:

    Dus ...




    3.5.2 Met rekenbladen


    ’Sloom’ rekenblad, product gericht.
    Verbeelding 7.
    Bij instampen horen rekenwerkbladen.
    • Sommen instampen met rekenbladen is psychologisch eigenlijk niét sturen van een leerproces. Maakt het kind op een sommenblad een fout dan krijgt het een punt minder. Beter je best doen Jantje. Je zou ook kunnen zeggen Beter je best doen rekenmeester. je hebt iets kennelijk niet goed uitgelegd. "

    • Wat als het kind de som fout maakt? Sommen die het kind niet beheerst zou je het kind eigenlijk niet moeten geven. Doe je het toch laat het kind dan alleen sommen uitrekenen waarvan het kind denkt de uitkomst te weten. Weet ik niet hoor, dat heb je me nog niet goed uitgelegd. is een uitstekend antwoord die de rekenmeester veel diagnostisch nakijkwerk bespaart. .Bovendien heeft de fout op het rekenblad ruim de tijd om zich in de hersenen te nestelen. Krijg hem er dan maar weer eens uit.

    • Vaak staan op rekenbladen sommen met verschillende oplossingswijzen door elkaar. Bijvoorbeeld een gemakkelijke som als 3-1 staat vrolijk naast een som als 9-4 die het kind op vele slimme en minder slimme wijzen goed opgelost kan hebben. Als je 9-4 vraagt moet 3-1 allang een gepasseerd station zijn.
    • Het kan zijn dat de rekenmeester geen goed zicht heeft op het leerproces van het kind. Bijvoorbeeld omdat hij een klas nieuwe kinderen krijgt of omdat hij het onderwijs klassikaal aan veel kinderen tegelijk moet geven. De rekenmeester moet dan wel een rekenbladtoets geven. Vaak is dat dan een speed-toets. Het kind krijgt een beperkte tijd om de sommen te maken. Als de focus ligt op een goede uitkomst dan zal het kind kiezen voor een zekere methode die het goed beheerst: tellen. Het kind heeft dan veel opgaven goed maar is nog wel een teller. Je kunt de tijdsdruk ook weghalen en de kinderen hun eindtijd laten noteren. Liefst ook helemaal niet zeggen hoeveel sommen ze goed hadden. Als je dit per leerfase doet dan kun de rekenmeester alleen aan de eindtijd zien of het kind die leerfase beheerst. Je weet dan ook waar je bij het kind moet aansluiten.

    • Als het kind de som goed maakt wat is dan de winst? Iets doen wat je al kunt is niet echt leren. Dat is toch zonde van de tijd zou je zeggen. Iets goed doen wat je net niet kunt, dat is leren.

    • Op de werkbladen komen dezelfde sommen vaker voor. Als het kind de eerste som goed maakte dan heeft de tweede geen zin. Als het kind de eerste som fout maakte dan moet het die som niet nogmaals krijgen. De fout slijt dan in.

    • Strikt genomen zijn het geen werkbladen maar toetsen. Eigenlijk maakt het kind dan een product-gerichte toets die met klassieke statistiek grofweg aangeeft hoe goed het kind kan rekenen in vergelijking met andere kinderen.
    Dus ...

    Niet dit soort ’slome’ werkbladen gebruiken maar ’sluwe’ werkbladen.



    3.5.3 Met omdraaiers

    Een van de eerste echte rekenhandelingen is de toepassing van de commutatieve wet: Termen mag je omdraaien. 2+7=7+2. In kindertaal: met de grote beginnen mag of omdraaien (van termen) mag. Zie omdraaier Deze wet geldt bij de rekenmeester overigens niet: pa is niet ap. Dit omdraaien is voor de teller erg aantrekkelijk omdat dit hem veel telwerk scheelt, bijvoorbeeld bij 2+19. Verder is de wet eenvoudig uit te leggen. Deze verbeelding voldoet aan psychologische eisen:
    • Kijken naar de animatie en het vertellen wat er gebeurt voorkomt dat het kind gaat tellen.
    • De termen hoeft het kind niet te tellen want die zijn klein, goed gegroepeerd en passen binnen een oogopslag.
    • De mentale handeling wordt gevisualiseerd. Het kind ziet de omdraaiing en ziet dat de uitkomst niet verandert.

    Een volgende stap is minder visueel en laat het kind de wet zelf ontdekken. Gewoon een sluw werkblad zoals hiernaast geven. Belangrijk is dat het sommenpaar dicht bij elkaar staat en het kind beide sommen en beide uitkomsten dus tegelijk ziet. Zeg niet: Kijk de uitkomst is steeds gelijk. Wacht geduldig tot het kind het omdraaien zelf ontdekt en het kind zegt: Ha, ha, dat is gewoon hetzelfde. Dat is fun.



    3.5.4 Met vijf

    Vijf is een markante hoeveelheid. Rekenkundig omdat 2x5=10 en 10 opent vele handige rekenmogelijkheden. Psychologisch is vijf markant omdat rond vijf, hoeveelheden niet meer visueel direct bepaald kunnen worden. Er moet dan geteld worden. En tellen, dat willen we niet. Als je dan toch gaat stampen, stamp dan snel die 5+5 er in. Met een goede verbeelding als de dobbelsteengroepering zou dat overigens eenvoudig moeten zijn. Vanuit vijf kunnen volgende sommen verder goed gevisualiseerd worden. Een van de eerste mogelijkheden om hoeveelheden zonder tellen te bepalen wordt zo zichtbaar: 5+4= 5+5 (weet ik, zie ik) een er af=9. Precies dezelfde methode komt terug bij het volgende markante getal: tien. 8+5=8+2 weet ik, en 10+2 is makkelijk. Deze oplossingen maken de teller duidelijk dat rekenen niet is: Tellend optellen als Iene, miene, mutte. (lijn-kennis, één stomme methode). Rekenen is Rekenend optellen door handig regels toe te passen (veld-kennis, een van de beschikbare handige methoden kiezen).



    3.5.5 Met Bekende sommen.

    Na 5+5 kun je andere tweelingen aan de orde stellen (3+3, 4+4). De algemene, heuristische methode is: gebruik maken van een bekende som. Vanuit een bekende tweeling kan het kind een 'bijna'-tweelingsom afleiden. 5+4? is dan 4+4 (weet ik)+5.



    3.5.6 Met een sommentabel

    Getallen zijn veld-kennis. Dit komt tot uitdrukking in een sommentabel. Door de sommen en de uitkomsten dicht bij elkaar te plaatsen, vallen de omliggende sommen en uitkomsten in het oogfixatieveld (zie § 8.3.2). Daardoor zijn de veld-kenmerken van de getallen zichtbaar.

    Sommentabellen zijn fun zo is mij gebleken. Het kind heeft autonomie want het kan zelf sommen kiezen. Het kind ontdekt ’zelf’ het getallenveld.

    Een sommentabel voor sommen met een uitkomst onder 11. Het kind kiest een som waarvan het de uitkomst kent. De uitkomst van de sommen die het kind niet kent kan het afleiden uit de uitkomsten van de omliggende sommen.
    Verbeelding 10.
    Dus ...


    Rekenend optellen is best te leren, ook zonder instampen. Je kunt gewoon snel doorgaan met de volgende leerfase: .

    conflict: 8
    fun: 2
    fun_min: 3
    index: 24

    Woordtellingen naar kop:
    $n_woord_conflict_tot=$n_woord_conflict_tot+8;//rekenend_optellen
    $n_woord_fun_tot=$n_woord_fun_tot+2;//rekenend_optellen
    $n_woord_fun_min_tot=$n_woord_fun_min_tot+3;//rekenend_optellen
    $n_woord_grotegetallen_tot=$n_woord_grotegetallen_tot+0;//rekenend_optellen
    $n_woord_index_tot=$n_woord_index_tot+24;//rekenend_optellen
    $n_woord_kindrealiteit_tot=$n_woord_kindrealiteit_tot+0;//rekenend_optellen
    $n_woord_verbeelding_boek[3]=10;$n_woord_verbeelding_tot=$n_woord_verbeelding_tot+10;//rekenend_optellen

    conflict: 57
    fun: 10
    fun_min: 4
    index: 92
    grotegetallen: 0
    Verbeeldingen tot: 21
    Index:
    KwantiwijzerDe Kwantiwijzer was een diagnostisch instrumentarium voor het optellen en aftrekken tot 100. §3.1.1 rekenend_optellen
    incidenteel lerenVan te automatiseren sommen §3.2.4 rekenend_optellen
    realistisch rekenenRealisering van optellen en aftrekken met bussen en liften. §3.3.1 rekenend_optellen
    vingerbeelden §3.3.3 rekenend_optellen
    getallenlijnGetallenlijn of rangordelijn. §3.3.5 rekenend_optellen
    getallenlijnStaand of liggend. §3.3.5 rekenend_optellen
    kindrealiteitGetallenlijn, staand of liggend. §3.3.5 rekenend_optellen
    subitizingSubitizing is in één keer, zonder tellen zien wat het aantal is, bijvoorbeeld zes op een dobbelsteen. §3.3.5 rekenend_optellen
    automatiserenDe uitkomst van een som direct weten, zonder te telen of te rekenen. §3.3.5 rekenend_optellen
    vingertellenOorzaak de taal? §3.4.2 rekenend_optellen
    optellenVerwarrend woord. De rekenmeester wil meestal juist níét dat het kind gaat tellen. §3.4.2 rekenend_optellen
    optelsomVerwarrend woord. De rekenmeester wil juist níét dat het kind rekent door optellen. §3.4.2 rekenend_optellen
    telwoordVerwarrend woord. Onduidelijk is of bedoeld wordt rang- of hoeveelheidstelwoord. Beter zou zijn: aantal woord en rangwoord. §3.4.2 rekenend_optellen
    rangtelwoordHet woord. Een beetje dubbelop. Rang is volgorde en tellen is volgorde bepalen. §3.4.2 rekenend_optellen
    volgordewoordHet woord. §3.4.2 rekenend_optellen
    sloom werkbladKenmerken van een sloom werkblad. §3.5.2 rekenend_optellen
    sloom werkbladBlad met een rij uit te rekenen sommen. De volgorde is min of meer toevallig. In tegenstelling tot sluwe werkbladen. §3.5.2 rekenend_optellen
    commutatieve wetTermen mag je omdraaien. 2+7=7+2. In kindertaal: met de grote beginnen mag of omdraaien (van termen) mag. Zie omdraaier §3.5.3 rekenend_optellen
    omdraaierZie commutatieve wet. §3.5.3 rekenend_optellen
    sluw werkbladHet kind ontdekt zelf de commutatieve wet. §3.5.3 rekenend_optellen
    tweelingsomSom met gelijke termen (4+4, 5x5). Ook wel vriendjessom of dubbele som genoemd . §3.5.5 rekenend_optellen
    dubbele somDubbele som. Zie tweelingsom. §3.5.5 rekenend_optellen
    vriendjessomZie tweelingsom §3.5.5 rekenend_optellen
    sluw werkbladBijvoorbeeld een tabel met optelsommen met een uitkomst onder 10. §3.5.6 rekenend_optellen

    24 n woord index

    Dit hoofdstuk

    3 Rekenend optellen

    3.1 Wat is Rekenend optellen

          1 Afscheid van Iene, miene, mutte
          2 Wat voor soort kennis is Rekenend optellen

    3.2 Rekenend optellen in het leerproces

          1 Waarom is vingertellen een probleem
          2 Het probleem
          3 De verdachten
          4 Geen probleem, gewoon verder gaan

    3.3 Hoe verbeeld je Rekenend optellen

          1 Met in- en uitstappen
          2 Met kabouters en paddenstoelen
          3 Met vingerbeelden
          4 Met de getallenlijn
          5 Met dobbelsteenstipgroepen
          6 Met eierdozen

    3.4 Hoe verwoord je Rekenend optellen

          1 Met vingertellen verbieden
          2 Met het woord uitrekenen

    3.5 Hoe verkort je Rekenend optellen

          1 Met instampen en memoriseren
          2 Met rekenbladen
          3 Met omdraaiers
          4 Met vijf
          5 Met Bekende sommen.
          6 Met een sommentabel

    Andere hoofdstukken



    Literatuur:


    beschr
    Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
    Douglas H. Clements (1999). Subitizing: What Is It?  Why Teach It? Teaching Children Mathematics, March 1999.
    Vugt, J.M.C.G.van & Wösten. (2009). Rekenen: een hele opgave. Baarn: HB uitgevers.
    Bereiter & Engelman, (1971). In: Iben, G., Kompensatorische Erziehung. Analysen Amerikanischer Programme.
    Vroon, P. & Draaisma, D.(1985). De mens als metafoor. Over vergelijkingen van mens en machine in filosofie en psychologie. Baarn: Ambo.
    
    Koch, C. & Marcus, G., (2015). Neuroscience in 2064. A look at the last century. In: Marcus & Freeman:	The future of the brain. Pag. 258-269.
    
    Marcus, G. & Freeman, J., (2015). The future of the brain, Essays by the world leading neuroscientists. Princeton: Princeton university press.
    Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. (1989). Sovjetpsychologen over onderwijs en cognitieve ontwikkeling. Leerpsychologie en onderwijs 4. Groningen: Wolters_Noordhof.
    Parreren, C.F. van & Carpay, J.A.M. (1989). Sovjetpsychologen over onderwijs en cognitieve ontwikkeling. Leerpsychologie en onderwijs 4. Groningen: Wolters_Noordhof.



    Voetnoten:

    1) Kinderen hebben bij een normale spraak-taalontwikkeling een passieve woordenschat van 6000-14.000 woorden. WAT ZIJN DEZE MIJLPALEN IN DE SPRAAK- EN TAALONTWIKKELING VAN DE PEUTER EN KLEUTER (GEBASEERD OP GRONINGER MINIMUM SPREEKNORMEN LIJST (Goorhuis-Brouwer) https://www.smartonderwijs.nl/uploads/9/4/6/7/9467353/spraak-taalontwikkeling_tot_7_jaar.pdf

    2) Het is een Ga tellen lijn.

    Getallen, kinderen en psychologie

    Fase 1:Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
    Fase 2:Door tellen blijven kinderen tellen
    Fase 3:Hoe kom je van dat vingertellen af
    Fase 4:Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
    Fase 5:Een geniaal idee: verberg nul
    Fase 6:Breek met aanvullen en met breken
    Fase 7:Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
    Fase 8:Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
    Fase 9:Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.
    Literatuur

    Index en woordenlijst


    Leonard Verhoef

    +31 (653) 739 750
    Parkstraat 19
    3581 PB Utrecht
    Nederland

    leonardverhoef@gmail.com
    Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.