Hoofdstuk 3 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 3 Rekenend optellen  

 

Hoe kom je van dat vingertellen af



Kinderen in groep 5 tellen nog op hun vingers. Vreemd. Heel vreemd. Ook heel begrijpelijk dat ’teltrauma’. Ook niet erg, dat vingertellen. Voorkomen en oplossen is niet moeilijk.
   



Het vorige hoofdstuk ging over lijnkennis: volgordegetal, Iene, miene, mutte. Maar in dat (vinger-)tellen blijven kinderen soms wel hangen. In groep 5 val je met sommen boven 30 door de mand met gelijk een jaar achterstand. Met de volgordemethode van tellen kun je namelijk niet rekenen.



 3.1 Wat is Rekenend optellen  


3.1.1 Wat voor soort kennis is Rekenend optellen

Het verschil tussen volgordegetal en aantalgetal is nogal groot. Toch verhaspelt men dit verschil vaak waarschuwt Dantzig Descartes heeft aan het begin van de verlichting het aantalgetal op de wiskundige en op de geografische op de kaart gezet. Daarom hier een hoofdstuk voor Tellend optellen en een hoofdstuk voor Rekenend optellen. Verder, roomser dan de paus, hier steeds duidelijk aangegeven of het gaat om een volgordegetal of om een aantalgetal. Misschien een wat omslachtig woordgebruik voor het gebruikelijke rekenonderwijs maar Descartes en Dantzig durven we hier niet te passeren. Bovendien zou deze verhaspeling wel eens een oorzaak van het teltrauma kunnen zijn ).


Voorbeelden tellend optellen
  • Een vrouw met een IQ van 100 is niet tweemaal intelligenter dan een vrouw met een IQ van 50.
  • In een blijf onderwaterwedstrijd, is nummer 2, de winnaar van zilver, niet tweemaal zo lang onder water gebleven als de winnaar van goud.
  • De hardloper die tweede geworden is heeft niet tweemaal zo hard gelopen als de hardloper die eerste geworden is.
  • Nummer zes is maar één deelnemer. Hij heeft vijf deelnemers vóór zich.
  • In een straat met eerst 10 villa's en dan een torenflat, moet de postbode meer lopen tussen villa 1 en villa 2 dan tussen flat 11 en flat 100
  • In een saaie nieuwbouwwijk met 100 huizen even breed, ligt huisnummer 50 op de helft.
  • Het tweede kind in de lengterij is niet tweemaal zo groot als het eerste kind.
 
Voorbeelden rekenend optellen
  • Als de psycho­logie IQ als aantal-getal zou kunnen meten, dan zou wel eens kunnen blijken dat de vrouw met een volgorde-IQ van 100, dat nu gebruikelijk is, in werkelijkheid een aantal-IQ van 51 heeft.
  • Een man van 2 meter is tweemaal langer dan een kind van 1 meter.
  • De ploeg die twee doelpunten scoorde heeft tweemaal meer doelpunten dan de ploeg die maar één doelpunt scoorde.


1) Volgordegetal

Je kunt die verwarring tussen volgorde en aantal zien aan de getallenlijn. De getallenlijn is eigenlijk een volgorde-getallenlijn. De getallen zijn rangtelwoorden. De lijn verbeeldt niet een aantal maar een volgorde. De zes op de getallenlijn staat niet voor zes maar zesde. Een betere verbeelding zou zijn een waslijn met shirtjes en rugnummers. Dan is immers duidelijk dat in shirtje 11 de 11de speler zit en niet het hele elftal. Ook de verwoording moet aangeven dat het om volgorde gaat en niet om aantal. Dus niet 11 maar 11° of 11de.



Verbeelding van een volgorde-getallen-was-lijn

Verbeelding 14.


De getallenwaslijn begint wat druk te worden. De leesbaarheid neemt af. Ook de mogelijkheid om andere eigenschappen van de getallen te verbeelden, bijvoorbeeld tientalligheid. Het woord ’getallenlijn’ is volgens de groottaalmeester strikt genomen onjuist. Alle betekenissen die het Groot woordenboek der Nederlandse taal geeft voor het woord getal, betreffen aantal, niet volgorde


2) Aantalgetal

Bij Rekenend optellen hebt je niet één lijn maar twéé lijnen loodrecht op elkaar: een 2-d-veld, zoals een (aantal-)getallen-100-veld maar ook zoals Boter kaas en eieren, een dambord, een schaakbord en een landkaart. Een 1-d-lijn is andere getalkennis dan een 2-d-veld. Hoofdstuk gaat uitvoering in op getal-veldkennnis. De ogen werken 2-d en de hersenen n-d. Hoofdstuk gaat in op deze psychologische velden. Die dimensionaliteit is de essentie van de getalkennis en psychologiekennis. Dimensionaliteit speelt een rol bij het verbeelden, verwoorden en vermentaliseren an plaatswaarde, breken, ruilen, maten en tijd.



 3.2 Rekenend optellen in het leerproces

  


3.2.1 Is vingertellen een probleem? Wat gek

Het is toch eigenlijk wel een beetje vreemd. Er zijn 81 sommen onder 10. We laten sommen met een term van 1 of 2 en tweelingen (4+4) weg. Dan heb je over 42 sommen. Twee omdraaiers tellen we voor één (5+4 en 4+5). Dan nog 21 sommen over. Het leren van die 21 zeer systematische sommen zonder uitzonderingen, lukt maar niet in groep 3, 4 en soms zelfs nog niet in groep 5. Achtjarigen leren zo’n 5 zeer onsystematische woorden met vele uitzonderingen per dag, moeiteloos en grotendeels zonder expliciet onderwijs ( noot 1). Het leren automatiseren van optelsommen onder 10 zou dus in pakweg 5 schooldagen bekenen moeten zijn. Klopt deze som niet? Of is er wat anders aan de hand. Hier zullen 12 verdachten van dit ’teltrauma’ boven komen drijven.



3.2.2 Geen probleem, gewoon verder gaan

Er is goed nieuws. Wanneer sommen onder 10 niet geauto­matiseerd zijn dan is dat voor de getalskennis geen probleem. Het staat het uitvoeren en zelfs het begrijpen van complexe getalkennis als plaatswaarde en zelfs het lastige ruilen van 10 eenheden voor 1 tiental niet in de weg . Natuurlijk is 75+16 lastig als je 5+6 nog op je vingers uitrekent. Dat geeft meer belasting voor het werk­geheugen namelijk. Maar als je begrijpt wat je moet doen en als je de juiste middelen hebt om het werk­geheugen te ontlasten (bijvoorbeeld termen onder elkaar te zetten), kunnen tellende kinderen dit best is mijn ervaring.Het probleem is misschien niet zozeer de werk­geheugenbelasting door het omslachtige tellen maar de stress die ontstaat door het etiket Dit kind kan niet rekenen en de angst fouten te maken. Volwassenen gaan ook op hun vingers tellen bij vermoeidheid, stress en dronkenschap. Stress maakt van het werkgeheugen een nog groter vergiet dan het al is. Juist dat werk­geheugen heb je nodig bij het leren van iets nieuws en bij rekenen ).

Dus ...

Nog niet alles geautomatiseerd, gewoon doorgaan naar volgende leerfase, met name: Nul en snel daarna met Plaatswaarde. Dat kan, zo is mij gebleken.
  • Gewoon verder gaan, bevrijdt het kind van het stomme, infantiele en soms zelfs verboden tellen. Rekenen wordt gewoon puzzels oplossen. Oh ... nu snap ik het. Rekenen is niet tellen maar de geheime som vinden.

  • Het is fun (schijnbaar) moeilijke sommen (met grote aantalgetallen) te beheersen.

  • Bovendien maakt het kind daarbij veel sommen onder 20 als deelhandeling, al dan niet tellend. De automatisering komt dan eventueel alsnog tot stand, als bijvangst (incidenteel leren, .



3.3 Hoe verbeeld je Rekenend optellen


3.3.1 Met in- en uitstappen

Bussen en liften zijn gebruikelijke verbeeldingen bij optelsommen. Je kunt passagiers optellen en aftrekken Je verbeeldt dan de woorden ’optellen’ en ’aftrekken’.Maar dat is niet het probleem. Het probleem is hóe je de som bepaalt, tellend of rekenend. Bovendien verleiden deze verbeeldingen tot tellen. Dat is wat je niet wilt.


3.3.2 Met kabouters en paddenstoelen

Je kunt aantalgetallen concreet maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind dat in die periode net overgaat van denken waarbij fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn naar een fase met besef van een werkelijke wereld.Aantalgetallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische spelregels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de regels.


3.3.3 Met vingerbeelden

Een andere visualisering van aantalgetallen is het vingerbeeld. Je kunt met twee handen aantallen tot 10 weergeven.
  • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.

  • De vingerbeelden sluiten aan bij het tellend optellen uit de vorige fase. Daardoor ontstaat de verleiding te gaan tellen.

  • Om het goede vingerbeeld te krijgen moet het kind die vingers één voor één in de goede stand zetten. Dat is een motorische telhandeling. Dat kost tijd en geeft werk­geheugen­belasting.

Vingerbeeld met het aantalgetal 9

Verbeelding 15.
  • Onhandig is dat de ogen iets anders aan de aan de hersenen doorseinen, dan bedoeld wordt. De ogen seinen in eerste instantie naar de hersenen: Ah, een hand, vijf vingers. Vervolgens misschien nog: Een vinger wijkt af. Dan concluderen de hérsenen: Ah, ik weet het nog, het oog ziet er vijf maar de reken­­meester bedoelt 4. Er zijn visuele en mentale handelingen die op zich niets te maken hebben met de optelling. Bij deze visuele en mentale handelingen kunnen gemakkelijk fouten ontstaan. Dit zijn dan geen rekenfouten. Het kan dus zijn dat de uitkomst fout is terwijl het kind de som wel goed kan uitrekenen.

    Al met al is het voor het kind dan eenvoudiger mentaal uit te gaan van vijf vingers én er dan aan te denken dat je die horizontale duim wel ziet maar moet aftrekken omdat hij horizontaal staat. Dat kan het oog met vingerbeelden niet. De hersenen seinen dan aan het oog: OK, te ingewikkeld voor jou. Tel ze maar dan trek ík die ene er wel af.

  • Voor het waarnemen van een vingerbeeld is nauwkeurige waarneming van details nodig. De evolutie heeft gekozen voor onnauwkeurige waarneming. Je kunt beter 10 maal weglopen voor een koe omdat je ogen denken een panter te zien dan omgekeerd. Dat is bij deze vinger­beelden te zien: toont dit vingerbeeld 2x4 vingers=8 of hoort die duim links er ook bij en wordt 9 bedoeld? Je kunt de waarneming vereenvoudigen door gekleurde vingerhoedjes op de vingers te plaatsen. Maar dat is dan weer een uitvoerige materiële handeling waarbij het kind gaat tellen.

  • En dan tot slot. De vingers staan op een rij, als een aantalgetallenlijn . Bij Rekenend optellen gaat het om veld­kennis en niet om lijnkennis.


3.3.4 Met een 2x 5+5 rekenrek

Het is niet helemaal duidelijk hoe je dit rekenrek moet gebruiken.
  • Het schuiven met kralen vraagt veel tijd. Dat geeft belasting van het werk­geheugen. De ogen doen dat in 233 milliseconden. Je wilt juist niet dat kinderen gaan tellen.

  • Kleur onderscheidt groepen van 10. Dat is prima bij sommen tot 10. Bij 8+5 is er op dit rek dan een dubbele kleur codering waardoor de 5=2+3 splitsing uit het oog verdwijnt.



Rekenrek: 2 rijen van 2x5 boven elkaar

Verbeelding 16.

  • De termen worden uit elkaar getrokken waardoor de relatie tussen alle aantalgetallen van de berekening niet meer in een oogfixatieveld zichtbaar zijn.

  • Zonder ervaring is het moeilijk om in een keer 7 blauw en 3 rood is samen 10 te herkennen.

  • Er zijn geen lege posities, ook kralen die niet meedoen zijn nog aanwezig.

  • Bij het telrek staan twee tientallen boven elkaar. In verband met plaatswaarde is het wenselijk de twee staven naast elkaar te zetten. Zoals op de lusabacus.

  • De kleurkodering om 5 is goed bij het rekenen om 5. Bij het rekenen om 10 moet je coderen om 10. Anders gebruik je kleurcodering voor 5 en 10.

Dus ...

De conclusie van reken­meesters met ervaring met dit rekenrek is, dat een uitgebalanceerde leerlijn dringend gewenst is. Er zijn ook andere verbeeldingen voor het rekenend optellen.

3.3.5 Met de getallenlijn

Bij Tellend optellen is er maar één route, maar één oplossing: gewoon het rijtje volgordegetallen opzeggen. Net als Iene, miene, mutte: 1°, 2°, 3°. Het gaat om lijnkennis ). De enige getalkennis die nodig is, is: De rechter positie is één meer. Oh ja, en het kind moet niet vergeten wanneer te stoppen met de telwoordenrij op te zeggen. Wat de getalkennis betreft is het paradoxaal dat je aantalgetallen gaat optellen met een volgorde methode. Dat is gaan dammen op een ganzenbord. In het rekenonderwijs en rekenonderzoek neemt de getallenlijn een belangrijke plaats in. Een wat uitvoerige psycho­logische blik is dus wel de moeite. Het onderwijs maakt veel gebruik van de getallenlijn. Een getallenlijn is een lijn-verbeelding (§ 9.2.3).

Verbeelding van een getallen(volgorde)lijn

Verbeelding 17.

Verbeelding van een getallen(volgorde)lijn

Verbeelding 18.

Verbeelding van een getallen(volgorde)lijn

Verbeelding 19.

Kijken we dan nog even naar de wiskunde dan komen we bij Dantzig. Hij waarschuwde er in 1930 voor, volgordegetal en aantalgetal niet te verhaspelen Je zou dus eigenlijk moeten zeggen getallen-volgorde-lijn. Nog beter zou het misschien zijn de rangtelwoorden te vervangen door rang-alfabet-letters. Je hebt dan wel volgorde maar geen aantal. Maar ja, krijg dat er maar eens door. Hoe zit het trouwens met nul en onder nul op de getallenlijn? Nul is niks maar in ons getalstelsel is het ongeveer alles (zie § 4.1).

Na het onderwijs, de taalkunde en de wiskunde nu de psycho­logie over de getallenlijn. Na het onderwijs, de taalkunde en de wiskunde nu de psycho­logie. Wat vinden de ogen, het geheugen en het denken van de getallenlijn?

3.3.5.1 Pasvorm van de getallenlijn voor het oogfixatieveld

Het oogfixatieveld heeft de vorm van een cirkel . Een getallenlijn van 15 past niet in het oogfixatieveld. Het kind moet oogsprongen gaan tellen.


Eerste oogfixatie bij 8+5 met de getallenlijn

Verbeelding 20.
De uitkomst valt buiten het oogfixatieveld en is dus onzichtbaar. Was de uitkomst overigens wel zichtbaar dan had het kind daar nog niets aan want het kind weet nog niet wat de uitkomst is en waar het oog heen moet springen. Ook toont de getallenlijn niet dat je 5 zou kunnen splitsen in 2 en 3 en dat je dan een gemakkelijke som krijgt. Sommigen gebruiken de getallenlijn voor sommen boven 100 Eventueel in combinatie met een rijgmethode Dat zijn dus twee lijnverbeeldingen voor een veld­probleem en dat zal heel wat telwerk zijn. Behalve natuurlijk als je de som ook anders kunt uitrekenen.

3.3.5.2 Hoe markant is de vorm van de getallenlijn

De ogen zelf kunnen niet één voor één tellen. Maar de ogen kunnen wél zeer regelmatige figuren 'inter­preteren' en geïnterpreteerd naar de hersenen doorseinen. Subitizing heet dat: zonder tellen, in een keer het aantal objecten zien, bijvoorbeeld zes stippen op een dobbelsteen In onderzoek zijn er geen oogbewegingen geconstateerd bij subitizing, dus er wordt niet geteld Bovendien hebben rekenhersenen bijna letterlijk een eigen plek voor de aantallen onder 5 Hoe markanter het figuur is hoe beter de ogen het aantal kunnen identificeren en het aantal kant en klaar naar de hersenen seinen . Een getallenlijn is zeer regelmatig en heeft visueel twee markante punten: het begin en het eind. Maar daar hoeft het kind nooit naar toe te springen.

3.3.5.3 Belasting van het werk­geheugen door de getallenlijn

Bij het rekenen met de getallenlijn moet het werk­geheugen de telstand én de tweede term onthouden.


3.3.5.4 Verkorten en de getallenlijn

Leren is uitvoerige handelingen verkorten . Met een getallenlijn kun je sneller gaan tellen. Maar dat is niet verkorten van handelingen, schiet niet op en is geen rekenen maar nog steeds Iene, miene, mutte.


Je kunt op de getallenlijn eigenlijk niet Rekenend optellen. De getallenlijn visualiseert en verleidt niet tot redeneringen als: 4+4=8, weet ik, dus 5+4=9, gewoon een er bij.

3.3.5.5 De mentale handelingen, de getallenlijn en de gezondverstandpsychologie

Wat zijn de mentale handelingen bij het Tellend optellen? Hoe denkt en rekent het kind? Dat zijn lastige vragen. Een eenvoudig antwoord is dat het kind de getallenlijn in zijn hoofd voorstelt en dan de som uitrekent. De visuele handelingen gaan immers vooraf aan de mentale handelingen. Klaar is reken­meester Kees. Een eventueel verbeelde getallenlijn is immers een soort landkaart waar je dan rekenend over navigeert. Het is verleidelijk te denken dat visuele voorstellingen als een soort foto in de hersenen zitten. Je zou dan van een foto van een getallenlijn in de hersenen sommen tellend kunnen uitrekenen.

  • Nu past een getallenlijn van 100, fysiek niet in de hersenen en als je zou gaan uitzoemen worden de getallen onleesbaar.
  • Als de getallenlijn zo visueel in de hersenen aanwezig zou zijn, waarom is terugtellen dan zo lastig? Waarom is het verwoorden van een route heen eenvoudig. Heb je echter de route terug nooit gereden dan is het zeer moeilijk de route terug te verwoorden.
  • De tenen lijken veel op de vingers. De ogen lijken totaal niet op de hersenen. Het is dus eenvoudiger om je handtekening te zetten met je tenen dan een landkaart af te lezen in je hersenen.
Tot zover de gezondverstandpsycho­logie.

3.3.5.6 De mentale handelingen, de getallenlijn en de psychologie

psycho­logisch verschilt Tellend optellen sterk van Rekenend optellen. Tellend optelllen is een beetje domme, algoritmische Iene, miene, mutte. lijnkennis Met de getallenlijn kun je sommen maar op één manier uitrekenen: netjes, toch eigenlijk wel als een kip zonder kop, langs de lijn de tweede term afhinkelen. Bijtellen dus . Voor het kind is rekenen gewoon een geavanceerd Iene, miene, mutte. Terwijl Rekenend optellen meer heuristische, intelligente, kaartlees-achtige veld­kennis is . Het onderscheid Tellend rekenen en Rekenend tellen sluit aan bij de neurologie. Voor volgorde gebruiken mensen andere delen van de hersenen dan voor aantal Je moet gaan niet gaan voetballen als je wilt leren handballen. Om deze psycho­logische redenen hier niet de gebruikelijke ongespecificeerde term optellen maar Tellend optellen (vorige hoofdstuk) en Rekenend optellen (dit hoofdstuk). Daarom hier ook wat krampachtig de specificatie volgorde of aantal bij het woord getal.

Psycho­logisch is het verwarrend dat je met de volgorde­verbeel­ding van de getallenlijn, een aantal­probleem kunt oplossen. Min of meer tot overmaat van ramp gaat dat nog uitstekend ook. Maar het is wel dammen op een ganzenbord (zie: § 9.2.3 en § 9.2.3).

De hersenen lezen geen kaart in de hersenen af. Neurologen hebben in de hersenen geen getallenlijn gevonden De hersenen beredeneren met beschikbare kennis. Ah, de Notre Dame achter me, de Eiffeltoren voor me, dus links het zuiden en links het hotel ergens. Op de getallenlijn kan dat niet omdat je de punten niet kan zien en het eindpunt zelfs niet weet. Het echte rekenen speelt zich vooral af in het voorhoofd Bij het optellen met de getallenlijn zijn nodig: waarneemhandelingen, het verbale tellen en de motorische sturing van oog- en stemspieren. Dat zijn allemaal hersenadressen waar het abstracte rekenen zich uiteidelijk niet afspeelt . Daarvoor moet je in de prefrontale cortex zijn. Je leert een kind ook niet schrijven door hem een pen tussen zijn tenen te stoppen. Hersenfysiologen verwachtten overigens ook dat er een getallenlijn in de hersenen zou zitten en zijn op zoek gegaan. Ze hebben de getallenlijn in de hersenen gevonden. Later bleek wel dat die getallenlijn alleen werkt tot 5 en met een klein aantal stippen. Niet met cijfers. Wat de hersenen betreft is het toch een beetje een abstract probleem oplossen met hersenen die gespecialiseerd zijn in het aansturen van stem-, vinger- en oogspieren. Een beetje dammen met bokshandschoenen.

Dus ...

Rekenen met de getallenlijn. Tja, wat nu? Het doet allemaal een beetje denken aan de ladekastmetafoorpsycho­logie. Wat de getalkennis betreft is het toch een beetje alsof je een platvis door de strot van een paling probeert te persen ( noot 2). Onderwijskundig is het dan toch een gatellenlijn en daarmee ook een mogelijke oorzaak van het teltrauma ). De getallenlijn is een volgorde-getalmiddel (lijn-kennis) dat gebruikt wordt om aantal-getal (veld­-kennis) problemen op te lossen . Dat is gaan dammen op een ganzenbord. Dat maakt hem een verdacht van het teltrauma.




3.3.6 Met eierdozen

De eierdozen zijn een veld­-verbeelding en een variant op de dobbelsteenstippen. Er zijn wat verschillen.

  • Een belangrijk verschil is dat een rij van vijf minder markant is dan een dobbelsteen-vijf-patroon. Daardoor kan het oog minder goed het aantal eieren een rijbepalen.

  • Ook zijn de afzonderlijke aantallen minder markant. Dit leidt visuele vergissingen en tot de lijnmethode: tellend optellen.

8+5 met eierdozen

Verbeelding 21.

  • Enigszins geniaal aan de eierdozen zijn de lege ringen voor de eieren die er níét zijn. Het volgend hoofdstuk: 4. Nul laat n waarom het geniaal is om niets wél te tonen. Door de eieren die er niet zijn te tonen, komt tientalligheid in zicht. De ogen leren lezen dat 8+2 tien is. Of de hersenen nu willen of niet.

  • Nu is ook zichtbaar dat eierdozen moeten staan en niet moeten liggen. Een rij van 5 blokjes is misschien voor het oog nog wel te herkennen als 5, maar zijn het er meer dan wordt het wel moeilijker. Dit is te zien is bij de eierdozen.
vijf is een markant aantal bij de ontwikkeling van het rekenen. 5+5 is een som die snel geleerd wordt en die een brug vormt naar het volgende markante getal: 10. Al rond 1800 begon de Zwitserse bergen Pestalozzi daarmee met zijn weeskinderen. Hij begreep dat je aantal en handelingen daarmee concreet moest maken.


3.3.7 Met wielen

Wielen van voertuigen bieden een aantalgroepering die goed aansluit bij de kind­realiteit. Verder sluipt zo de tafel van twee de hersenen binnen terwijl de reken­meester niets over tafels zegt.

   
Ik zie, ik zie wat jij niet ziet en het heeft er zes.

Verbeelding 22.


3.3.8 Met taartpunten

Je kunt de pasvorm van de getallenlijn natuurlijk ook verbeteren. De taal­meester zet de letters liggend op een rechte lijn. De reken­meester zet de getallen ook in een liggende rechte getallenlijn. Dat kan ook anders. In de (kind)realiteit zijn ronde getallenlijnen: klokken, (kilo)meter(tellers), (weeg)schalen en rolmaten. Ook zijn er in de kindrealiteit staande getallenlijnen zoals de thermometer en de lengtematen van kinderen op deurposten. Bij aantalverwoordingen kiest de taal­meester overigens weer voor vertikaal: boven Jan, bovenkast, bovenste beste, boven water, boven komen drijven, hoogste getal (niet het rechtste getal (op de getallenlijn)), hoogte krijgen van, hoge ogen gooien, onder de maat, ondergaan(de zon), ondergronds).

Zoals gezegd, past een lijn niet in het oogfixatieveld. Dus maak hem passend, maak er een cirkel van, zoals de klok. Je hebt dan een cirkelvormige taartpuntenlijn die in het oogfixatieveld past, die aantallen toont (geen volgorde) en die veel punten heeft waarmee je aantalgetallen tot 12 en sommen tot 12 markant kan tonen. Dus geen getel meer maar subitizing.

Je kunt de taartpunten gemakkelijk in de ’kind­realiteit’ brengen. Op de deuren van de klassen niet alleen het klas nummer in cijfers maar ook de bijhorende taartpuntcirkel. Op het tafeltje van het kind een stikker met een taartcirkel voor zijn leeftijd en die van zijn broertjes en zusjes. Je hoeft dan niet veel meer te zeggen. Het leren verloopt incidenteel.

Verder infiltreer je listig in de hersenen met: een eerste stap voor het lastige analoge klokkijken, de tafels van 3 en 6 en bereid je breuken voor als je die met taarten uit zou willen leggen.
   
Getallenlijn tot 12, die in het oogfixatieveld past

Verbeelding 23.



   
6+3 dat weet je niet?
wel als je een klokje ziet.


Verbeelding 24.

De stap naar getallen boven 12 is dan klein. Je bent dan dicht bij: de tafels van 5 en 15, nog dichter bij het analoge klokkijken en bij het ruilen van 60 minuten voor 1 uur. Dat is in principe hetzelfde als het ruilen van 10 eenheden voor een tiental. Dit alles is met een horizontale getallenlijn tot 60 wat lastiger.
   
Getallenlijn tot 60
die in het oogfixatieveld past
en die daarin toont:
9x5, 30+15 en kwart voor

Verbeelding 25.


Hang de taartpunten voor in de klas, links of rechts. Niet bij de getallenlijn als je die hebt. Zoals een goede reken­meester betaamt, zeg je niets maar kijk je wel. Je kijkt waar de ogen heen gaan bij sommen onder 12, met name 3-vouden. Naar de tegels op de vloer, de spijlen van het raam, naar het plafond of naar de kromme taartpuntenlijn? Kijkt een slimmerik naar de kromme getallenlijn laat hém vertellen wat hij doet. Gebeurt dat niet, geef dan achteloos aanwijzingen: Wat is de uitkomst van 6+3? en kijk of wijs halfslachtig naar de kromme getallenlijn. Haal de rechte getallenlijn een paar dagen weg, als je durft.



 3.4 Hoe verwoord je Rekenend optellen

 

3.4.1 Met vingertellen verbieden

(noot 3). Een eenvoudig strategie voor de reken­meester. Weinig fun voor het kind. Hier is het idee: Niet verbieden wat je niet wilt, maar verleiden tot wat je wel wilt. Desnoods met lbi-psycho­logie (list-bedrog-intimidatie, ). Als je vingertellen verbiedt dan gaan de vingers onder de tafel of de ogen naar het plafond. Het kind projecteert zijn vingers op het plafond. De reken­meester ziet niets én weet niets. Hij ziet een goede uitkomst en denkt: Mooi, dat heb ik het kind goed aangeleerd.


3.4.2 Met het woord uitrekenen

Het vorige hoofdstuk ging over sommen uitrekenen door tellen. Tellen is een volgordemethode die je niet wilt. Gebruik het woord tellen dan ook niet. Je zou wel eens bijdragen aan het teltrauma. Hier turven we 79 maal een ongelukkige of zelfs foute woordkeus. Daarbij gaat het vaak om woorden waar tellen in zit.



Dít is een télmachine

Verbeelding 26.

Tellen  Rekenen
Aftreksom, (is een paradox: aftrekken en sommeren).   Aftrekking.
Optellen.   (Slim) uitrekenen.
Optelsom (dubbelzegging, som is optelling).   Som, erbij, plus, samen.
Rangtelwoord, (is een dubbelzegging).
   Volgordegetal, rangwoord.
Telwoord.  Volgordewoord of Aantalwoord
Telraam.   Rekenrek.
Telmachine.   Rekenmachine.



3.4.3 Met het woord (kralen)rekenveld

Het gebruikelijke woord is telraam. De term raam(werk) is bouwkundig. Voor kinderen is een raam: Glas waar je door naar buiten kijkt. De term veld is misschien beter vooral omdat je daar uiteindelijk heen wilt Het woord tel is niet zo handig omdat je juist niet wilt dat het kind gaat tellen. Je wilt dat het kind gaat rekenen. Je kunt tel ook vervangen door getal.


3.4.4 Met rijmpjes

Rijm geeft geen inzicht maar vereenvoudigt het onthouden aanzienlijk. Bijvoorbeeld rijmpjes om de tweelingsommen te automatiseren.
Juf:Klas:
Doe je even mee:1+1= ...
En nu dan deze hier:2+2= ...
En hier de volgende les:3+3= ...
En had je dat gedacht:4+4= ...
En had je dat gezien:5+5= ...
En het is niet gelogen:6+6= ... ogen.
Ik hoef dit niet te vragen:7+7= ... dagen.
Deze weet ik zonder horten of stoten:8+8= ... poten.
Net geen tien dat is toch balen:9+9= ... kralen.
Tot slot die moet je weten:10+10= ... Dat mag je niet vergeten.
Bron: Veilig leren lezen.

Rijm vereenvoudigt onthouden

Verbeelding 28.

Bron: Veilig leren lezen.


3.4.5 Niet verwoorden

Dit hoofdstuk geeft veel waarnemingspsycho­logisch verantwoorde verbeeldingen van Rekenend optellen. Een verwoording van rekenend optellen is eenvoudig. Voor de reken­meester. Je zegt gewoon bijvoorbeeld Welke tweelingsom hoort bij deze som? Maar uit blijkt dat een psycho­logisch verantwoorde verwoording van het Rekenend optellen toch wel erg moeilijk is. Voor het kind. Misschien moet je meer inzetten op verbeeldingen dan op verwoordingen. Bijvoorbeeld een verbeelding van een persoonlijke som van de week voor dit kind, op zijn tafeltje. Na vijf maanden heb je dan vrijwel alle sommen onder 20 gehad.



 3.5 Hoe verkort je Rekenend optellen  

Sommen boven 20 kun je niet meer tellend oplossen. Je kunt wel sneller te gaan tellen, maar dat telt niet. Een kortere weg is niet harder gaan rijden. Een weg met minder vervelende stoplichten, dat is een kortere weg. Vingertellen loopt dood omdat vingertellen niet en geautomatiseerd kan worden.


3.5.1 Met instampen en memoriseren

Aanvankelijk dachten zelfs psycho­logen wel, dat denken en daarmee het rekenen, gewoon snel praten was (Sapir-Whorfhypothese). In vervolg daarop werd wel gedacht dat sommetjes uitrekenen puntkennis is, gewoon taalzinnetjes die je moet leren We zagen al dat het dan toch wat vreemd is dat kinderen duizenden woorden als vanzelf leren maar dat 24 sommetjes leren in jarenlang rekenonderwijs niet lukt. Een volgende legitimering voor instampen was dat het leren van sommen is, het aanbrengen van een soort biologische associatie, Stimulus - Respons. Geef poot. = poot optillen en beloning krijgen. De hond weet niet wat hij doet en waarom hij het doet. Hij moet gewoon van zijn biologie.

En dan een derde ’theorie’ ter verantwoording van instampen. Het geheugen is een ladekast. Daar moeten de sommen dus ingestampt worden. ’Instampen’, klinkt wat onheilspellend. De ladekast is een populaire metafoor en daarom psycho­logisch verdacht.

  • Hoe kan het dat je in het goed werkende tamelijk lege geheugen van een kind iets in moet stampen?

  • Je legt een handdoek gewoon één keer in een lade, niet tien keer.

  • Als je het één keer doet dan ligt hij er in tot je hem er weer uithaalt.

  • Probeer eens je eigen naam uit je geheugen te halen.

  • Als instampen zo’n goede methode is, waarom moet je dan zo eindeloos instampen. Waarom lukt dat bij veel kinderen toch maar niet?

  • En dan het woord instampen. Bewijst de keuze van het woord al niet, dat instampen niet werkt?

Dit zijn dan enkele vragen van het gezond verstand. En de psycho­logie, met name de leerpsycho­logie, met name de hedendaagse psycho­logie. Wat vindt die van de ladekast? Nou die heeft ook wel een paar vraagtekens. Ten eerste de forse vraagtekens die zetten bij het gebruik van metaforen om psycho­logische processen te begrijpen.De wijze waarop het geheugen volgens de hedendaagse psycho­logie werkt, lijkt wel erg weinig op een ladekast. Fysiologisch kan instampen eigenlijk niet omdat nieuwe kennis verwerven is: het leggen van fysiologische verbindingen in de hersenen. De nieuwe leerstof moet gekoppeld worden kennis die aanwezig is in de hersenen Gal’perin stelt dat kinderen mentale handelingen leren door te handelen en niet door inprenten (In:

Dus ...

Instampen kun je wel vergeten. Instampen lijkt meer een oplossing die het teltrauma veroorzaakt. noot 4). Dat geldt ook voor het opdreunen van de tafels. Gezien de kanttekeningen en de duidelijkheid noemen we de gebruikelijke werkbladen hier ’slome werkbladen’. In de lucht hangt wel de vraag: Wat maakt, ondanks de kanttekeningen, het slome werkblad populair in het onderwijs en op het Internet. Het antwoord is eenvoudig. Het (reken)onderwijs is product-gericht ( )? Toetsenmakers, ouders en ook politici willen een goede uitkomst achter =. Maakt niet uit hoe maar wel snel. Dat kan denkt het kind en gaat tellend optellen. Het kind weet dan zeker dat het zonder risico een goede uitkomst krijgt. De reken­meester weet zeker dat de ouders mede oorzaak zijn van het teltrauma.


3.5.2 Met rekenbladen

Bij instampen en memoriseren horen ’slome’ werkbladen. Een analyse van dit soort werkbladen in
   
’Sloom’ rekenblad, product­gericht.

Verbeelding 29.



3.6 Hoe vermentaliseer je Rekenend optellen


De algemene, heuristische methode is: gebruik maken van een bekende som.

3.6.1 Met omdraaiers

Een van de eerste echte rekenhandelingen is de toepassing van de commutatieve wet: 2+7=7+2. In kindertaal: met de grote beginnen mag of omdraaien (van termen) mag. Deze wet geldt bij de taal­meester overigens niet: pa is niet ap. Dit omdraaien is voor de teller erg aantrekkelijk omdat dit hem veel telwerk scheelt, bijvoorbeeld bij 2+19. Verder is de wet eenvoudig uit te leggen.

Deze verbeelding voldoet aan psycho­logische eisen:
  • Kijken naar de animatie en het vertellen wat er gebeurt, voorkomt dat het kind gaat tellen.
  • De termen hoeft het kind niet te tellen want die zijn klein, goed gegroepeerd en passen binnen oogfixatieveld.
  • De mentale handeling wordt gevisualiseerd. Het kind ziet de omdraaiing en ziet dat de uitkomst niet verandert.

Een volgende stap is minder visueel en laat het kind de wet zelf ontdekken. Gewoon een sluw leerblad zoals hiernaast geven. Belangrijk is dat het sommenpaar dicht bij elkaar staat en het kind beide sommen en beide uitkomsten dus tegelijk t. Zeg niet: Kijk de uitkomst is steeds gelijk. Wacht geduldig tot het kind het omdraaien zelf ontdekt en het kind zegt: Ha, ha, dat is gewoon hetzelfde. Dat is fun.


3.6.2 Met vijf

Vijf is een markant aantal. Het is het eerste aantal dat de ogen niet altijd in één oogopslag herkennen. De ogen moeten dus gaan ooghinkelen. Dat willen we niet. Met een goede vormgeving (dobbelsteen) lukt subitizing van 5 overigens nog wel. Verder is 5 het eerste aantal dat geen ’eigen’ hersencellen heeft. Ook is 5 de stap naar 10. 10 kan namelijk subitizebaar verbeeld worden met 2x dobbelsteen 5 in een kader. Als je dan toch gaat stampen, stamp dan snel die 5+5 er in. Belangrijker is misschien nog wel dat deze oplossingen de teller duidelijk dat rekenen niet is: Tellend optellen als Iene, miene, mutte (lijn-kennis, één stomme methode). Rekenen is Rekenend optellen door handig regels toe te passen (veld­-kennis, een van de beschikbare handige methoden kiezen).

Meer sommen subitizebaar verbeeld door markante 5 en 10

Verbeelding 32.


3.6.3 Met tweelingen

Na 5+5 kun je andere tweelingen aan de orde stellen (3+3, 4+4).


3.6.4 Met ’Eén-erbij-sommen’

Vanuit een bekende tweelingsom kan het kind de uitkomst van een ’Eén-erbij-som’ afleiden. 5+4? is dan: 4+4 (weet ik)+1=5. Uiteraard moet het kind wel tweelingsommen beheersen.
   
Een sluw leerblad voor Eén-erbij-sommen

Verbeelding 33.

De verwoording ’Eén-erbij-som’ is overigens ongebruikelijk. Maar deze verwoording geeft duidelijk weer wat het kenmerk is van sommen die je op deze wijze kunt oplossen. Een van de termen is namelijk één meer dan de andere term. En het is een verwoording van de uit te voeren handeling, namelijk de uitkomst van de bijhorende tweelingsom met één vermeerderen. De aanduiding bijna tweelingsom is wat dat betreft iets minder duidelijk. Dat geldt ook voor de aanduiding buurvrouwsom. Verder heeft de buurvrouw in de kind­realiteit meestal een huisnummer dat niet één maar twéé hoger is. Spannend is de verwoording: Wat is de geheime som die er bij hoort?


3.6.5 Met een sommentabel

Aantalgetallen zijn veld­-kennis. Een sommentabel verbeeldt dat. Door de sommen en de uitkomsten dicht bij elkaar te plaatsen, vallen de omliggende sommen en uitkomsten in het oogfixatieveld (§ 8.3.4). Daardoor zijn de veld­-kenmerken van de aantalgetallen zichtbaar.

Sommentabellen zijn fun, zo is mij gebleken. Het kind heeft autonomie want het kan zelf sommen kiezen. Het kind ontdekt ’zelf’ de kenmerken van het aantalgetallenveld.

Een veld verbeeldt méér routes en meer oplossingen. De som 5+4 heeft op een sommenveld meer oplossingsroutes: 5+4=10-1=9 en 5+4=4+4+1=9.

Veldkennis en veldmethoden zijn een totaal andere soort getalkennis. De kennis is niet alleen horizontaal: De rechter is een meer dan de linker. maar ook verticaal: Naar beneden is één meer. Verder verbeeldt het veld tweelingen over de diagonaal gespiegeld (1+4 en 4+1). Ook zijn er diagonalen van dubbele Eén erbij. sommen (1+2=3, 2+3=5, 3+4=7). Wat de psychologie betreft is ook de verbeelding, de verwoording en de vermentalisering van velden anders dan van lijnen . Hetzelfde geldt ook voor het 100-veld ).



Dus ...

Erg ingewikkeld dit hoofdstuk, misschien. Dat komt omdat de gebruikelijke verwoording van de getalkennis een hutspot is van volgorde-verwoordingen, volgorde-verbeeldingen, volgorde-getal, aantal-getal, volgorde-methode en aantal-methode. Gelukkig is Rekenend optellen voor de kinderen best te leren, ook zonder instampen. Zijn de sommen nog niet ingestampt? Geen probleem. Je kunt gewoon snel doorgaan. Misschien móet je zelfs gewoon doorgaan met de volgende leerfase: .


 Andere hoofdstukken  




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.







Voetnoten:

1)
Kinderen hebben bij een normale spraak-taalontwikkeling een passieve woordenschat van 6000-14.000 woorden. (Goorhuis-Brouwer) https://www.smartonderwijs.nl/uploads/9/4/6/7/9467353/spraak-taalontwikkeling_tot_7_jaar.pdf

2) Misschien wat plastisch en kort door de bocht maar toch wel een verbeelding van de essentie. De platvis is de veld­kennis (§ 9.2.3) van de 2-d-getallen en de paling is dan de 1-d-getallen-lijn-kennis (§ 9.2.3) waar die 2-d-kennis in moet.

3) Een terugkerend thema:
https://www.ouders.nl/forum/ouders-en-school/op-vingers-tellen-mag-niet-van-juf-groep-3 rel="nofollow

4) Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden
www.psychologie/leren_onthouden_instampen.php