ruilen

7.1.1 Napoleon en Willem I

Om grote aantallen bij te houden turft de mens al duizenden jaren. Maar wanneer het stamhoofd belastingen in gaat voeren en wanneer de priester moet weten wanneer het zonnewendefeest is, dan is turven van eenheden erg onhandig. De Maya's ruilden daarom al in. Niet steeds bij 10 maar bij 5, 20, 400 en 8 000.



Het getal 471 in Maya-schrift

Verbeelding 60.

Bij het meten zijn duimen, voeten en ellen(bogen) wel handig om met je eigen lichaam een aantal af te meten maar het is onnauw­keurig en het rekent niet handig. Vooral niet wanneer je 4 Rijnlandse duimen, 3 Rijnlandse voeten en 9 Rijnlandse ellen stof gekocht hebt en moet uitrekenen hoeveel 1 Amsterdamse el moet kosten. Dat was wat Willem Bartjens zijn Amsterdamse koopmansleerlingen rond 1600 moest leren. Een Franse generaal was ooit nogal actief in héél Europa. Hij werd gek van de lokale duimen, voeten en ellen. Hij voerde het metrieke stelsel in met steeds ruilen van 10 (decimaal). Gelukkig had Napoleon niet zo veel op met het volk. Ondanks veel tegenstand en zelfs wat moord­partijen voerde hij het systeem in, inclusief de exotische Griekse en Romeinse namen Niemand minder dan Simon Stevin (1548-1620, heeft enkele decennia nog geprobeerd het metrieke decimale stelsel in Holland in te voeren. Maar ja, het systeem was Frans dus het Nederlandse volk moest daar niets van hebben. Het werd uiteindelijk in 1820 ingevoerd door de tamelijk autoritaire koopman koning Willem 1. Hij werd waarschijnlijk ook gek van het gereken voor zijn provinciale en Europese zaakjes.

Maar toen al moest de Nederlandse koning voorzichtiger met zijn volk omgaan dan Napoleon. Willem I gebruikte sluw (nog) niet de Griekse en Romeinse voor­voegsels maar de oude Nederlandse woorden voor de oude maten. De centimeter die werd gewoon de duim en het Franse frame haalde hij weg door er Nederlands voor te zetten, een Nederlandse duim dus. Verder werd het systeem gepresenteerd als een uitvinding van de wereldberoemde Nederlandse wetenschapper Van Swinden. noot 1). Met de komst van het metrieke decimale stelsel verdween ook De Cijfferinghe.


7.1.2 De Engelsen nu

De Engelsen betaalden tot 1971 met een tamelijk ingewikkeld ruilsysteem. 12 pence (niet 10) is 1 shilling, 20 shilling (niet 10 of eventueel weer 12) is 1 pond. Hoeveel pence er in een pond zitten, dat was toen in Engeland een lastige vraag. Hoeveel cents er in een gulden, een mark of een frank, zaten was toen een stomme vraag. En dan de lengtematen. Die van de Engelsen. Ook interessant. Een mijl is 1760 yard, een yard= ... feet, een feet= ... inch. Dus één mijl is 63 358,27 inch zou je denken. Dat klopt voor inches na 1959. Toen werd een van de twee inches afgeschaft. Het klopt ook als je van de ongeveer vier standaarden voor mijlen de veel gebruikte maar niet standaard landmijl neemt.

Dus:

Dat decimale ruilsysteem is zo vanzelfsprekend nog niet.


 7.2 Ruilen van 10 in het leerproces

  
De geniale eenvoud van het ruilen bij 10 is een valkuil voor de reken­meester. Ruilen van 10 is geniaal en eenvoudig. Tenminste, als je het eenmaal snapt. De geschiedenis leert dat reken­genieën er eeuwen over gedaan hebben het systeem te bedenken. Vervolgens duurde de invoering nog eens eeuwen. De les is duidelijk. Vergis je niet, zo voor de hand liggend is dat herhaald ruilen van 10 nog niet. Begin er pas aan als de vorige leerfase plaats­waarde er goed in zit. Een verkeerde introductie kan de boost die het kind krijgt van het begrijpen van plaatswaarde, zo teniet doen. Ook de volgende leerstappen pleiten voor zorgvuldige introductie van het ruilen. Er zijn meer ruilsystemen in het rekenen én in de kind­realiteit. Vrij snel komt het ruilen bij maten (afstanden, gewichten, etc) en tijden (1 jaar=x maanden=x weken=x dagen=x uren=x minuten=x seconden.) En natuurlijk zijn er de munten en bankbiljetten. In principe verschillen die systemen niet van het ruilen van 10. Dat kun je de kinderen laten zien door alle ruilsystemen met precies dezelfde verbeeldingen te tonen.



 7.3 Hoe verbeeld je Ruilen van 10

  

Dat Ruilen kunnen kinderen helemaal nog niet zeggen psycho­logen die de cognitieve ontwikkelings­psycho­logie bestuderen. Te abstract. Dat valt nog te bezien zeggen leerpsycho­logen. Concretiseer maar eens met een goede verbeelding. We hebben MAB, de lusabacus en we kunnen sommen onder elkaar plaatsen.



7.3.1 Met MAB


MAB (Mutibase Arithmetic Blocks)

Verbeelding 61.


 
7.3.2 Met de lusabacus


Lusabacus

Verbeelding 62.


 
7.3.3 Met
onder elkaar


54
+19
= 
Sommen onder elkaar

Verbeelding 63.

1) Ruilen met MAB

MAB is zeer concreet omdat de afzonderlijke eenheden (blokjes) zelfs bij de duizendtallen te zien zijn en min of meer te tellen zijn. Het ruilen is concreet en daardoor evident.

De noodzaak van ruilen is niet zichtbaar, vooral niet wanneer de blokjes slordig neergelegd zijn. Het ruilen kan je wel vermaterialiseren. Tien losse blokjes ruil je voor een staaf van tien. Tien staven ruil je voor een plak van honderd. Tien plakken ruil je voor een kubus van 1000. Het ruilen is zo goed verbeeld maar niet direct in het materiaal zichtbaar.
  2) Ruilen met de lusabacus

Op de lusabacus zijn de afzonderlijke eenheden ook nog te zien en aanwezig maar alleen voor de eenheden, niet voor de tientallen. De waarde van de kraal hangt af van zijn plaats; van de stang waar hij op zit. Eén kraal op de rechtste staaf van de eenheden, die geldt voor 1. Maar 1 kraal op de volgende stang naar links, staat voor 10 kralen. Je kunt deze abstractie nog verbeelden door de waarde op de kralen te zetten.

Lusabacus met op de kraal zijn aantal

Verbeelding 64.


De 11de kraal op een staaf heeft een andere kleur. Zo is goed te zien dat je moet ruilen. Heeft een staaf meer kleuren dan moeten er tien achter het schot verdwijnen en moet er op de linker staaf één 10-tal kraal van achter het schot naar voren komen.

 3) Ruilen met onder elkaar

De onder elkaar verbeelding is min of meer gelijk aan de verbeelding met de lusabacus. Er is plaatswaarde. Er zijn echter geen losse eenheden als blokjes of kralen meer.

De noodzaak van ruilen is bij onder elkaar niet direct verbeeld. Hier plaatsen we de uitkomsten in hokjes. In elk hokje kan en mag maar één cijfer staan. Plaatst een kind 2 cijfers in één hokje dan is duidelijk zichtbaar dat het kind het niet begrepen heeft.

4) Eindeloze herhaling met MAB

MAB laat niet de eindeloze herhaling van het 10-tallig ruilen zien. Als je dat begrijpt, dan je weet dat 1+2=3 en ook dat 10+30=40, en ook dat 1000+3000=4000, etc.

  5) Eindeloze herhaling met de lusabacus

De lusabacus verbeeldt het systeem van de oneindige herhaling naar links (10, 100, 1000, 10 000, etc.) en eventueel naar rechts (10 dan 1 dan 0,1 dan 0,01 etc. Ook de eindeloosheid. Gewoon alle lusabacussen van de klas naast elkaar zetten. Leerzaam en fun, die hele grote getallen.

  6) Eindeloze herhaling met onder elkaar

Net als met lusabacussen kan het kind eindeloos brede sommen onder elkaar verzinnen en oplossen. De beperking is de breedte van het papier of de breedte van het klaslokaal.


7) Verbeelding van de stappen met MAB

Het ruilen is een procedure met meer stappen. Het kind moet weten welke stappen en de volgorde van de stappen. MAB geeft niet aan welke stappen te ondernemen noch de volgorde. Dit moet het kinder leren en in zijn werk­geheugen paraat houden. Daar komt bij dat er veel (vinger)handelingen zijn en de procedure dus lang duurt. De kans neemt dan toe dat er informatie uit het werk­geheugen; verdwijnt, bijvoorbeeld wat de volgende stap moet zijn.
 8) Verbeelding van de stappen met de lusabacus

De procedure is lijn-kennis; werken van rechts naar links. Verder moet het kind leren:
  • Er mag maar één kleur op een staaf staan.
  • Eventueel moet je 10 kralen ruilen voor één kraal op de linker staaf. De 10 verdwijnt achter het schot en éé 10-tal kraal komt achter het schot tevoorschijn.
Het uitvoeren van de handelingen met de lusabacus is minder omslachtig dan met MAB. De groepen kralen kan het kind met één vingerhandeling verplaatsen. De procedure is daardoor korter dan bij MAB. Daardoor is de kans kleiner dat het kind het overzicht over de procedure verliest. De uit te voeren handelingen gaan van de rechter staaf steeds een staaf naar links. De ruilhandeling kunnen de kinderen materieel uitvoeren en visueel zien. Eventuele fouten en aarzelingen ziet de reken­meester aan de handelingen met de kralen.

 9) Verbeelding van de stappen met onder elkaar

Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden die het kind op hun plaats moet zetten maar cijfers. Daardoor kan de procedure sneller verlopen. Dit geeft minder belasting van het werk­geheugen en maakt het houden van overzicht eenvoudiger. De route is eenvoudig: van rechts naar links.


10) Oogpasvorm met MAB

Plaatsing van de blokjes in het oogfixatieveld kan wel maar is waarschijnlijk teveel gevraagd voor de kinderen. Meer over oogfixatieveld in § 8.3.4.
 11) Oogpasvorm met de lusabacus

De kralen zitten compact en vast op stangen. Daardoor passen de belangrijkste getalsrelaties in het oogfixatieveld.
  12) Pasvorm met onder elkaar

Onder elkaar verbeeldt geen eenheden maar cijfers. Dat spaart ruimte. In een tabel kan de reken­meester de getallen compact passend in het oogfixatieveld tonen.

Termen onder elkaar, termen en uitkomst in het oogfixatieveld

Verbeelding 65.


13) Werkgeheugen­vriendelijkheid van MAB

Het uitvoeren van de handelingen kost veel tijd. Het kind moet nog veel tellen. Dat geeft veel belasting voor het werkgeheugen. Daardoor kan het kind het overzicht van het ruilen kwijt raken. Daardoor is er ook minder mentale en werk­geheugen ruimte over voor de ruilhandelingen zelf. Verder is er voor het kind dan minder ruimte voor beschouwing om te overzien wat het doet.
  14) Werkgeheugen­vriendelijkheid van de lusabacus

De kralen zitten op staven en hebben een kleurcodering. Daardoor kan het kind sneller handelen en is er minder werkgeheugenbelasting.
  15) Werkgeheugen­vriendelijkheid van onder elkaar

Onder elkaar geeft de minste belasting van het werk­geheugen;.
  • Het tellen van eenheden onderbreekt de procedure niet.

    Het ruilen verwoord je met Eén (10-tal) onthouden. Een verbeelding voor de te onthouden tien is een streepje voor een onthouden in de kolom links.
  • De procedure is een lijn van rechts naar links.
  • De ruilhandeling is bij onder elkaar wel minder zichtbaar en meer mentaal dan bij de lusabacus en MAB.

16) Verkorten met MAB

Met MAB kunnen de handelingen niet verkort worden .
 17) Verkorten met de lusabacus

Ook op de lusabacus kunnen de ruil­handelingen niet verkort worden. Verder kan het kind veel tijd nodig hebben om de kralen te tellen. Een oplossing is visuele markante punten te verbeelden, bijvoorbeeld 5 licht rode kralen en daar boven 5 donker rode kralen. Verder een streep die toont dat de staaf 10 kralen heeft. Met die streep is dan ook te zien dat er 10 kralen (van gelijke kleur) zijn en er dus ingewisseld moet worden.
  18) Verkorten met onder elkaar

Met onder elkaar kan de procedure verkortbaar aangeboden worden.
  • Met maximale steun krijg je dan iets als:
       Maximale steun

    Verbeelding 66.
    Overigens is het waarschijnlijk dat het kind bij zo’n uitvoerige procedure het overzicht verliest.
  • Geen deelstappen uitschrijven.
  • Geen kleursteun, alle getallen zwart.
  • Geen geheugensteun voor één onthouden.
  • Termen niet onder elkaar maar naast elkaar.
  • Verder kan de reken­meester het ruilen onder elkaar dynamisch tonen.

     

      Ruilen met dynamische steun

    Verbeelding 67.

7.3.4 Met muntabacus

Wil de reken­meester 'realistisch' rekenen dan kan hij een muntabacus gebruiken. Overigens heeft Google nog nooit van een muntabacus gehoord. Onhandig is wel dat op de euro 1 staat terwijl hij 100 (cent) waard is. Maar dit is ook een les. Ruilsystemen zijn vaak verborgen en moet je ontdekken.Een voordeel van geld is dat je kunt aansluiten bij de kindrealiteit, bijvoorbeeld in de supermarkt. Het wachten is nog op noot 2).


7.3.5 Met Eén onthouden noteren

De kortste verbeelding van Eén onthouden. is een streepje, meestal boven de kolom links. De beste kortste verbeelding is het cijfer 1 op zijn plaats in de uitkomst. Dáár fixeert je wanneer je de uitkomst opschrijft. Deze 10 verkort zich geleidelijk aan tot een minimaal streepje of zelfs een punt die het kind overschrijft met het cijfer van de tientallen van de uitkomst. Niemand kan dan zien dat het kind nog gebruikt maakte van een visuele steun.
  Tien onthouden, noteren vlak bij de uitkomst

Verbeelding 68.



 7.4 Hoe verwoord je Ruilen van 10

  

7.4.1 Met het woord ruilen

Gebruikelijke synoniemen voor Ruilen zijn: inwisselen, tientaloverschrijding, tientalpassering en overbruggen van 10 Bij veel van de gebruikelijke termen is onduidelijk of bedoeld wordt over de tien heen gaan door breken: (8+5=8+2+3), of over tien heen gaan door ruilen: 78+5= 8+5=13, 10 onthouden, 70+13=83, Ruilen van 10 is plastischer. Overschrijding geeft aan wat er gebeurt. Ruilen van 10 geeft de handeling aan die het kind moet uitvoeren.


7.4.2 Met Eén onthouden

Een probleem van ruilen van 10 is het Eén onthouden. Een tiental moet meegenomen worden naar de volgende stap. Het ruilen is een nieuwe, een abstracte en een ingewikkelde procedure. Dat betekent dat het werkgeheugen minder goed functioneert.De oplossing is eenvoudig: een visuele geheugensteun: ergens een streepje neerzetten voor Eén onthouden.

Vanuit de getallen gezien is Eén onthouden. onjuist. Het kind moet Eén tiental onthouden. Of een 100-tal, etc. Dit is geen taalpurisme maar gewoon getalkennis. Nauwkeurige woorden zijn nodig omdat je het kind iets heel ingewikkelds wilt uitleggen. Natuurlijk, later wordt dit verkort tot Eén onthouden. Vanuit de psycho­logie is onthouden eigenlijk onjuist. Dit is niet de uit te voeren handeling. Het kind moet Tien bijtellen. of Tien aftrekken. Met name kinderen die de procedure niet begrijpen kunnen bij en af verwarren. Varianten zijn Een tiental gepikt/geleend. Het is daarom beter eerst alleen optellingen te geven.



 7.5 Hoe vermentaliseer je Ruilen van 10

  
Een procedure om sommen met ruilen van 10 op te lossen kunnen kinderen kennelijk nog wel leren. Maar of ze begrijpen wat ze doen is nog maar de vraag. Of het kind van ruilen van 10 begrijpt, kun je toetsen door het kind een andere verbeelding voor te leggen. Gebruik je bijvoorbeeld de lusabacus niet maar onder elkaar zetten met steun, introduceer dan ter controle de lusabacus. Hoe meer moeite het kost om ruilen van 10 met de lusabacus te leren, hoe minder het kind de procedure kennelijk begrijpt. De essentie van Ruilen van 10 is: Ruilen. De tientalligheid is min of meer een toevallig keuze. Je kunt ook Ruilen van 8 zoals in het land van Oct gedaan wordt (het 8-tallige getalstelsel). Of Ruilen van 60 zoals bij het klokkijken. Of Heel ingewikkeld ruilen zoals bij de kalender. Of Ruilen van breuken zoals bij breuken: vier kwarten is een hele. Of gewoon zelf verzonnen: Vijf huizen is een hotel. zoals bij monopolie. Al deze ruilingen kun je op dezelfde wijze verbeelden: een 100-veld­-achtige grafiek.


 Andere hoofdstukken  




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.