7 Ruilen van 10

Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1


Hoofdstuk 7 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10 wel uitleggen.



7.1 Wat is Ruilen van 10

Om grote aantallen bij te houden turft de mens al duizenden jaren. Maar wanneer het stamhoofd belastingen in gaat voeren en wanneer de priester moet weten wanneer het zonnewendefeest is dan is een turf-systeem van eenheden erg onhandig.


7.1.1 Napoleon en Willem I


Het getal 471 in Maya-schrift.
Verbeelding 1.
De Maya's ontdekten ook snel dat turven niet genoeg was. Ze ruilden in bij 5, 20, 400 en 8000.

Duimen, voeten en ellen(bogen) zijn wel handig om met je eigen lichaam een hoeveelheid af te meten maar het is onnauwkeurig en het rekent niet handig. Vooral niet wanneer je 4 Rijnlandse duimen, 3 Rijnlandse voeten en 9 Rijnlandse ellen stof gekocht hebt en moet uitrekenen hoeveel 1 Amsterdamse el moet kosten. Je kon dat allemaal leren uit De Cijfferinghe van Willem Bartjens. Een Franse generaal was ooit nogal actief in héél Europa. Hij werd gek van de lokale duimen, voeten en ellen(bogen). Hij voerde het metrieke stelsel in met steeds ruilen van 10 (decimaal). Gelukkig had Napoleon niet zo veel op met het volk. Ondanks veel tegenstand en zelfs wat moordpartijen voerde hij het systeem in, inclusief de Griekse en Romeinse namen Niemand minder dan Simon Stevin (1548-1620) heeft enkele decennia nog geprobeerd het metrieke decimale stelsel in Holland ingevoerd te krijgen. Maar ja, het systeem was Frans dus het volk moest daar niets van hebben. Het werd uiteindelijk in 1820 ingevoerd door de tamelijk autoritaire koopman koning Willem 1. Hij werd waarschijnlijk ook gek van het gereken voor zijn provinciale en Europese zaakjes. Maar toen al moest de Nederlandse koning voorzichtiger met zijn volk omgaan dan Napoleon. Hij gebruikte sluw (nog) niet de Griekse en Romeinse voorvoegsels maar de oude Nederlandse woorden voor de oude maten. De centimeter werd werd gewoon de duim en het Franse frame haalde hij weg door er Nederlands voor te zetten, een Nederlandse duim dus. Verder werd het systeem gepresenteerd als een uitvinding van de wereldberoemde Nederlandse wetenschapper Van Swinden. Met het metrieke decimale stelsel verdween ook De Cijfferinghe.


7.1.2 De Engelsen nu

De Engelsen betaalden tot 1971 met een tamelijk ingewikkeld ruilsysteem. 12 pence (niet 10) is 1 shilling, 20 shilling (niet 10 of eventueel weer 12) =1 pond. Hoeveel pond is 100 pence? dat was toen dus een lastige vraag. In Europa waren toen 100 centen 1 gulden, 1 mark of 1 frank. Hoeveel cent een gulden, mark of frank was, dat was in die landen een stomme vraag. En dan de lengte maten. Die van de Engelsen. Ook interessant. Een mijl is 1760 yard, een yard= ... feet, een feet= ... inch. Dus één mijl is 63 358,27 inch zou je denken. Dat klopt voor inches na 1959. Toen werd een van de twee inches afgeschaft. Het klopt ook als je van de ongeveer vier mijlen de veel gebruikte maar niet standaard landmijl neemt.



7.2 Ruilen van 10 in het leerproces

Vergis je niet, zo voor de hand liggend is dat herhaald ruilen van 10 nog niet rekenmeester! Hier, wordt in § geadviseerd vijfjarigen te leren dat je met één maat moet meten.



7.3 Hoe verbeeld je Ruilen van 10




7.3.1 Met MAB



MAB (Mutibase Arithmetic Blocks)
Verbeelding 2.


7.3.2 Met de lusabacus



Lusabacus
Verbeelding 3.


7.3.3 Met onder elkaar

54
+19
=

Sommen onder elkaar.
Verbeelding 4.
1) Aard van de kennis

MAB is zeer concreet omdat de afzonderlijke eenheden (blokjes) zelfs bij de duizendtallen te zien en min of meer te tellen zijn.

is een combinatie van puntkennis voor de 1-en, lijnkennis voor de 10-en, veldkennis voor de 100-den en 3d-kennis voor de 1000-den. Zie § 9.3.1 voor een toelichting op deze soorten kennis.


Op de lusabacus zijn de afzonderlijke eenheden ook nog te zien en aanwezig maar hier hangt het aantal van de kraal af van de plaats. Eén kraal op de staaf van tien staat voor tien kralen.

Met alleen de rechter staaf is de lusabacus een lijn-verbeelding, als de getallenlijn. Met twee stangen wordt het een veld-verbeelding als het honderdveld. Elke stang erbij is dus een dimensie erbij. Dus met 3 stangen heb je een 3d_veld. En zo verder.


De onder elkaar verbeelding min of meer gelijk aan de verbeelding met de lusabacus. Er is plaatswaarde. Er zijn echter geen losse eenheden als blokjes of kralen meer maar alleen cijfers.


2) Vermaterialisering van 1-en en 10-en

MAB is zeer concreet. Er zijn losse blokjes voor de enen, staven voor de tientallen. In de staaf zijn de 10 blokjes nog zichtbaar. En zo verder naar duizend.


Lusabacus is ook zeer concreet. Het ruilen kan vermaterialiseerd uitgevoerd worden.


Bij de termen onder elkaar verbeelding is niet concreet. Er zijn géén afzonderlijke eenheden (blokjes of kralen). Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden meer maar alleen cijfers. Het ruilen verloopt door tien eenheden van de eenheden in de rechter kolom te verplaatsen naar de linker kolom. Plaatswaarde is vermaterialiseerd in de kolommen van de tabel.


3) Eindeloze herhaling

MAB laat niet de herhaling van het 10-tallig ruilen zien en ook niet dat dit eindeloos door gaat. Beide zijn wel essentieel. Als je dat begrijpt, je weet dan 1+2=3 en 10+30=40 dan weet je ook dat 1000+3000=4000, etc.


De lusabacus toont wel het systeem van de oneindige herhaling naar links (10, 100, 1000, 10 000, etc.) en naar rechts (10 dan 1 dan 0,1 dan 0,01 etc. Gewoon alle lusabacussen van de klas naast elkaar zetten.


Tabellen kunnen net als de lusabacus eindeloos breed worden.


4) Vermaterialisering van ruilen

De noodzaak van ruilen is niet zichtbaar, vooral niet wanneer de blokjes slordig neergelegd zijn. Het ruilen kan wel vermaterialiseerd uitgevoerd worden. Tien losse blokjes ruil je voor een staaf van tien. Tien staven ruil je voor een plak van honderd. Tien plakken ruil je voor een kubus van 1000. Het principe van het ruilen kan zo goed gedemonstreerd worden.


Door kleurverschil zijn hele tientallen goed te zien. De noodzaak tot ruilen is dan ook goed te zien. Twee verschillende kleuren op een stang mag niet. Heeft een staaf meer kleuren dan moeten er tien achter het schot verdwijnen en moet er op de linker staaf één 10-tal kraal voor het schot komen. Het ruilen is hier ook concreet. Het principe van het ruilen kan zo goed gedemonstreerd worden.


De noodzaak van ruilen is bij onder elkaar niet verbeeld. Hier wordt het de noodzaak van het ruilden verbeeld door op de plaats van de uitkomst een hokje te plaatsen waar maar één cijfer in past. De tien die naar de kolom links moet kan verbeeld worden als ’n een onthouden tekstballon ín de kolom links. Niet boven in de kolom. Hij staat dan niet in het centrum van het oogfixatieveld. De één onthouden moet in het vakje van de uitkomst. Hij kan dan niet over het hoofd gezien worden en niet vergeten worden.


5) Verbeelding van plaatswaarde

Plaatswaarde zit niet in MAB. Dat moet het de rekenmeester of het kind er zelf inleggen.


Met de vaste stangen dwingt de lusabacus plaatswaarde af. De waarde van de plaats kan op de basis of op de kralen zelf aangegeven worden.

Het getal 1234 op de lusabacus.
Verbeelding 5.


Ook bij onder elkaar is plaatswaarde per definitie verbeeld door kolommen, rechts de 1-en, links daarvan 10-en en zo verder.
Verder is hier plaatswaarde verbeeld met kleur, bijvoorbeeld groen voor 1-en en de plaats waar de 1-en in de uitkomst moeten komen. Hetzelfde met blauw voor 10-en.
54
+19
=

Termen onder elkaar.
Verbeelding 6.


6) Verbeelding van de procedure

Het ruilen is een procedure met meer stappen. Het kind moet weten welke stappen en de volgorde van de stappen. MAB geeft niet aan welke stappen te ondernemen noch de volgorde. Dit moet het kinder leren en in zijn werkgeheugen paraat houden. Daar komt bij dat de er veel (vinger)handelingen zijn en de procedure dus lang duurt. De kans neemt dan toe dat er informatie uit het werkgeheugen verdwijnt, bijvoorbeeld wat de volgende stap moet zijn.


De procedure is lijn-kennis; werken van rechts naar links. Verder moet het kind leren:
  • Er mag maar één kleur op een staaf staan.
  • Eventueel moeten 10 kralen geruild worden voor een kraal op de linker staaf. De 10 verdwijnt achter het schot en de 10-tal kraal komt achter het schot tevoorschijn.

Het uitvoeren van de handelingen met de lusabacus is minder omslachtig dan met MAB. De groepen kralen kunnen met één vingerhandeling verplaatst worden. De procedure is daardoor korter dan bij MAB. Daardoor is de kans kleiner dat het kind het overzicht over de procedure verliest. De ruilhandeling kunnen de kinderen materieel uitvoeren en visueel zien. Eventuele fouten en aarzelingen ziet de rekenmeester aan de handelingen met de kralen.


In principe zijn getallen n-dimensionale kennis. Door het geniale plaatswaarde systeem (zie § ) is de ruilen gewoon lijnkennis, net als bij de lusabacus. Gewoon de lijn van rechts naar links afwerken.

Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden die met de vingers op hun plaats gezet moeten worden maar met cijfers. Daardoor kan de procedure sneller verlopen. Dit geeft minder belasting van het werkgeheugen en maakt het houden van overzicht eenvoudiger. Het kind moet plaatswaarde beheersen en moet ruilen begrijpen. Het uitvoeren van de handelingen kost zeer weinig tijd doordat niet meer met eenheden gewerkt wordt maar met aantallen (cijfers). De rekenmeester kan goed zien wat het kind doet en of het goed ingeruild heeft. Vraag het kind het getal 12 op te zetten dan krijg je 10 rode en 2 blauwe kralen op een stang en op het gezicht de uitdrukking: Klaar is kees, goed hé. Is de ruilstap met de lusabacus te groot dan kan de rekenmeester misschien terugvallen op MAB.


7) Pasvorm voor oogfixatieveld

Plaatsing van de blokjes in het oogfixatieveld kan wel maar is waarschijnlijk teveel gevraagd voor de kinderen. Meer over oogfixatieveld in § 8.3.2.


De kralen zitten compact en vast op stangen. Daardoor passen de belangrijkste getalsrelaties in het oogfixatieveld.


Naast elkaar verbeeldt geen eenheden maar cijfers. Dat spaart ruimte. In een tabel kan de rekenmeester de getallen compact passend in het oogfixatieveld tonen.


8) Werkgeheugenvriendelijkheid

Het uitvoeren van de handelingen kost veel tijd. Er moet ook nog veel geteld worden. Daardoor kan het kind het overzicht van het ruilen kwijt raken. Daardoor is er minder mentale en werkgeheugen ruimte over voor de ruilhandelingen zelf. Ook is er voor het kind dan minder ruimte voor beschouwing om te zien wat het doet.




Onder elkaar geeft de minste belasting van het werkgeheugen.
  • De procedure hoeft niet onderbroken te worden door het tellen van eenheden.
  • De procedure is een lijn van rechts naar links.
  • De ruilhandeling is bij onder elkaar weliswaar minder zichtbaar en meer mentaal dan bij de lusabacus en MAB. Maar die ruilhandeling kan tijdelijk verbeeld worden met een visuele geheugensteun voor tien onthouden.

    Tien onthouden vlak bij de uitkomst.
    Verbeelding 7.

    Deze 10 kan geleidelijk aan gereduceerd worden tot een minimaal streepje of zelfs een punt die het kind overschrijft met het cijfer van de tientallen van de uitkomst. Niemand kan dan zien dat het kind nog gebruikt maakte van een visuele steun.


9) Verkortbaarheid

Met MAB kunnen de handelingen niet verkort worden. (Meer over verkorten: § ) Wel kan met MAB goed uitgelegd worden wat ruilen om 10 is.


Ook op de lusabacus kunnen de ruilhandelingen niet verkort worden. Verder kan het kind veel tijd zijn om de kralen te tellen. Een oplossing is visuele markante punten te verbeelden, bijvoorbeeld 5 licht rode kralen en daar boven 5 donker rode kralen. Verder een streep die toont dat de staaf 10 kralen heeft. Bijvangst is dan dat tellend optellen verkort wordt door rekenend optellen. Met wat markering (groepen van 5 kralen) zou het tellen nog versneld kunnen worden. Maar dat is een versnelling van het tellen en niet van het ruilen. Mogelijk kunnen de verbeeldingen van de lusabacus helpen bij het vermentaliseren van het ruilen.

Aftrekken en lenen

De ruilhandelingen bij optellen zijn in principe gelijk aan de ruilhandelingen bij aftrekken. Vreemd is dat ruilen bij aftrekken veel moeilijker blijkt dan ruilen bij optellen. Ook aftreksommen blijken moeilijker dan optelsommen. Mijn ervaring is dat de verbeelding van de lusabacus een goede stap is vóór de verbeelding met onder elkaar met maximale steun.

Een procedure om sommen met ruilen van 10 op te lossen kunnen kinderen kennelijk nog wel leren. Maar of ze begrijpen wat ze doen is nog maar de vraag. Of het kind van ruilen van 10 begrijpt kun je toetsen is het kind een andere procedure voor te leggen. Gebruik je bijvoorbeeld de lusabacus niet maar onder elkaar zetten met steun, introduceer dan de lusabacus. Hoe meer moeite het kost om ruilen van 10 met de lusabacus te leren hoe minder het kind de procedure begrijpt.


Met onder elkaar kan de procedure verkortbaar aangeboden worden.
  • Met maximale steun krijgt je dan iets als:

    Maximale steun.
    Verbeelding 8.


    Onduidelijk is nog wel of de kinderen bij zo’n uitvoerige procedure de weg niet kwijt raken.

  • Verder kan de rekenmeester het ruilen onder elkaar dynamisch tonen.

    Ruilen met dynamische steun.
    Verbeelding 9.

  • Geen deelstappen uitschrijven.
  • Geen kleursteun, alle getallen zwart.
  • Geen geheugensteun voor eén onthouden.
  • Termen niet onder elkaar maar naast elkaar
Mijn ervaring is dat kinderen op deze wijze de procedure goed kunnen leren. Of ze begrijpen wat ze doen is moeilijk vast te stellen. De verbeelding met de lusabacus staat het dichtst bij de mentale handeling. Vooralsnog lijkt het mij daarom verstandig om het ruilen ook met de lusabacus te demonstreren (en zelf te doen).


Vermindert de rekenmeester de steun niet tijdig dan zie je dat de kinderen gewoon zelf spontaan stappen overslaan en zelfs alleen de uitkomst opschrijven.







7.4 Hoe verwoord je Ruilen van 10



7.4.1 Met het woord ruilen

Het gebruikelijke woord in het onderwijs is inwisselen van 10. Het woord inwisselen is op zich correct. Wel is inwisselen nogal abstract en niet een woord dat kinderen spontaan zouden gebruiken. Ruilen van 10 is plastischer. Dat geldt ook voor splitsen naar tien. Je ziet ook dat kinderen splitsen en inwisselen verwarren. Overschrijding geeft aan wat er gebeurt. Ruilen van 10 geeft de handeling aan die het kind moet uitvoeren.


7.4.2 Met Tien! onthouden

Voor de onervaren rekenaar is het beter bij het gegoochel met tienen en eenen, de tienen en eenen goed hoorbaar te houden. Zeg dus aanvankelijk: Tien onthouden. en niet Eén onthouden.Als ervaren rekenaar mag je tien onthouden natuurijk verkorten tot een (tiental)onthouden.



7.5 Hoe vermentaliseer je Ruilen van 10



7.5.1 Met maten

Ruilen van 10 is geniaal en eenvoudig. Tenminste, als je het eenmaal snapt. Er wachten meer ruilsystemen op de kinderen.Vrij snel komt het ruilen bij maten (afstanden, gewichten, etc) en tijden (1 jaar=x maanden=x weken=x dagen=x uren=x minuten=x seconden.) Analoog klokkijken is moeilijk omdat twee kennislijnen (uren en minuten) zonder verband gecombineerd worden in een cirkel voor veldkennis (relatie tussen uren en minuten. Die cirkel was technisch nodig voor de wijzers en de techniek. Maar het resultaat is dammen met twee ganzenborden op elkaar. Meer daarover in paragraaf x).



7.5.2 Met klokkijken

Het tijdsysteem is net als getallen ook een inwisselsysteem. Alleen is het niet helemaal decimaal. Er wordt gebruikt gemaakt van decimale getallen zoals 1 minuut en 40 minuten. Maar ook van verschillende inwisselsystemen voor seconden, minuten, uren, dagen, weken, maanden en jaren. Verder kent het een analoge en een digitale verbeelding. Die analoge tijd-taal heeft een wat eigenzinnige structuur. Zo wordt 12:15 verwoord met kwart over 12. De rekenmeester zou zeggen 12 uur 15. Bij het schrijven van links naar rechts eerst uren en dan minuten en bij het verwoorden eerst minuten en dan uren. Vijftien heet ook kwart en 30 heet ook half. Bij half een moet je het half aftrekken maar bij vijftien moet je de eerst genoemde hoeveelheid weer optellen. Verder zijn er bij de kloktelwooren van alle uren twee. Ze hebben dezelfde naam en schrijfwijze maar met een andere betekenis. 12 uur in de middag en 12 uur in de avond. Verwarring door hetzelfde woord voor twee betekenissen gaf in het Amerikaanse leger zoveel slachtoffers dat ’military time’ gewoon het 24-uurssysteem is. Hutspot is het, die analoge klok-telwoorden.

Dus ...
Eerst maar digitaal klokkijken dan daarna de analoge taal-tijd-tombola.
Overigens is dat tijd-ruilsysteem zo gek nog niet. Jaren ruilen van 10 bij 365 is handig omdat je dan gelijk loopt met de seizoenen. Uren, minuten en seconden ruilen bij 60 is handig omdat je dan een goede verdeling krijgt in een cirkel. 'Goed' betekent dat je niet te snel met breuken hoeft te werken. Er is wel een decimaal tijd-systeem maar dat blijkt voor menselijk gebruik toch niet zo handig.
Dus ...

Ruilen van 10 is lastig. Het komt wel overal terug. Zorgvuldige uitleg van ruilen van hoeveelheden is belangrijk.


7.5.3 Met spelletjes

Er zijn spelletjes waarbij je hoeveelheden ruilt. Bij al die spelletjes kun je een variant maken met getallen. Zo kun je getalkwartetten (Mag ik van jou van de vijftigers de 8. Nu heb ik de vijftigers compleet en ruil die voor .... Ook speelkaarten kun je vereenvoudigen door de rij aas tot en met twee te vervangen door de getallen 14 tot en met 1. Of ’gewoon’ 1 tot en met 0. En dan kun je gaan patiencen bijvoorbeeld.



Voetnoten:

Getallen, kinderen en psychologie

Fase 1:Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
Fase 2:Door tellen blijven kinderen tellen
Fase 3:Hoe kom je van dat vingertellen af
Fase 4:Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
Fase 5:Een geniaal idee: verberg nul
Fase 6:Breek met aanvullen en met breken
Fase 7:Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
Fase 8:Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
Fase 9:Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.