Hoofdstuk 7 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 aug. 2022.

 7 Ruilen van 10  

 

Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1



Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10 wel uitleggen.




7.1.1 Napoleon en Willem I

Om grote aantallen bij te houden turft de mens al duizenden jaren. Maar wanneer het stamhoofd belastingen in gaat voeren en wanneer de priester moet weten wanneer het zonnewendenfeest is, dan is een turf-systeem van eenheden erg onhandig. De Maya's ontdekten ook snel dat turven niet genoeg was. Ze ruilden in bij 5, 20, 400 en 8000.


Het getal 471 in Maya-schrift

Verbeelding 51.
Duimen, voeten en ellen(bogen) zijn wel handig om met je eigen lichaam een hoeveelheid af te meten maar het is onnauwkeurig en het rekent niet handig. Vooral niet wanneer je 4 Rijnlandse duimen, 3 Rijnlandse voeten en 9 Rijnlandse ellen stof gekocht hebt en moet uitrekenen hoeveel 1 Amsterdamse el moet kosten. Je kon dat allemaal leren uit De Cijfferinghe van Willem Bartjens. Een Franse generaal was ooit nogal actief in héél Europa. Hij werd gek van de lokale duimen, voeten en ellen. Hij voerde het metrieke stelsel in met steeds ruilen van 10 (decimaal). Gelukkig had Napoleon niet zo veel op met het volk. Ondanks veel tegenstand en zelfs wat moordpartijen voerde hij het systeem in, inclusief de Griekse en Romeinse namen Niemand minder dan Simon Stevin (1548-1620, heeft enkele decennia nog geprobeerd het metrieke decimale stelsel in Holland ingevoerd te krijgen. Maar ja, het systeem was Frans dus het Nederlandse volk moest daar niets van hebben. Het werd uiteindelijk in 1820 ingevoerd door de tamelijk autoritaire koopman koning Willem 1. Hij werd waarschijnlijk ook gek van het gereken voor zijn provinciale en Europese zaakjes.

Maar toen al moest de Nederlandse koning voorzichtiger met zijn volk omgaan dan Napoleon. Hij gebruikte sluw (nog) niet de Griekse en Romeinse voorvoegsels maar de oude Nederlandse woorden voor de oude maten. De centimeter die werd gewoon de duim en het Franse frame haalde hij weg door er Nederlands voor te zetten, een Nederlandse duim dus. Verder werd het systeem gepresenteerd als een uitvinding van de wereldberoemde Nederlandse wetenschapper Van Swinden. Met het metrieke decimale stelsel verdween ook De Cijfferinghe.

7.1.2 De Engelsen nu

De Engelsen betaalden tot 1971 met een tamelijk ingewikkeld ruilsysteem. 12 pence (niet 10) is 1 shilling, 20 shilling (niet 10 of eventueel weer 12) =1 pond. Hoeveel pond is 100 pence? dat was toen dus een lastige vraag. In Europa waren toen 100 centen 1 gulden, 1 mark of 1 frank. Hoeveel cent een gulden, mark of frank was, dat was in die landen een stomme vraag. En dan de lengtematen. Die van de Engelsen. Ook interessant. Een mijl is 1760 yard, een yard= ... feet, een feet= ... inch. Dus één mijl is 63 358,27 inch zou je denken. Dat klopt voor inches na 1959. Toen werd een van de twee inches afgeschaft. Het klopt ook als je van de ongeveer vier mijlen de veel gebruikte maar niet standaard landmijl neemt.


 7.2 Ruilen van 10 in het leerproces

  
Vergis je niet, zo voor de hand liggend is dat herhaald ruilen van 10 nog niet. Hier, is het advies in § vijfjarigen te leren dat je met één maat moet meten. Begin er pas aan als de vorige leerfase plaatswaarde er goed in zit. Een verkeerde introductie kan de boost die het kind krijgt van het uitrekenen van sommen met grote getallen, zo vervliegen.


 7.3 Hoe verbeeld je Ruilen van 10

  


7.3.1 Met MAB



MAB (Mutibase Arithmetic Blocks)

Verbeelding 52.
 
7.3.2 de lusabacus


Lusabacus

Verbeelding 53.


 
7.3.3 Met
onder elkaar
54
+19
=

Sommen onder elkaar

Verbeelding 54.

1) Aard van de kennis

MAB is zeer concreet omdat de afzonderlijke eenheden (blokjes) zelfs bij de duizendtallen te zien en min of meer te tellen zijn.

MAB combineert puntkennis voor de 1-en, lijnkennis voor de 10-en, veldkennis voor de 100-den en 3d-kennis voor de 1000-den. Zie § 9.2.2 voor een toelichting op deze soorten kennis.

 

Op de lusabacus zijn de afzonderlijke eenheden ook nog te zien en aanwezig maar hier hangt het aantal van de kraal af van zijn plaats; van de stang waar hij op zit. Eén kraal op de staaf van tien staat voor tien kralen.

Met alleen de rechter staaf is de lusabacus een lijn-verbeelding, als de getallenlijn. Met twee stangen is het een veld-verbeelding als het honderdveld. Elke stang erbij is dus een dimensie erbij. Dus met 3 stangen heb je een 3d_veld. En zo verder.
 

De onder elkaar verbeelding is min of meer gelijk aan de verbeelding met de lusabacus. Er is plaatswaarde. Er zijn echter geen losse eenheden als blokjes of kralen meer, behalve op de staaf van de eenheden.

2) Vermaterialisering van 1-en en 10-en

MAB is zeer concreet. Er zijn losse blokjes voor de enen, staven voor de tientallen. In de staaf zijn de 10 blokjes nog zichtbaar. En zo verder naar duizend.
 

Lusabacus is ook zeer concreet. Het ruilen kan het kind vermaterialiseerd uitvoeren.
 

Bij de termen onder elkaar verbeelding is niet concreet. Er zijn géén afzonderlijke eenheden (blokjes of kralen). Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden meer maar alleen cijfers. Het ruilen verloopt door tien eenheden van de eenheden in de rechter kolom, te ruilen voor één kraal voor de linker kolom. Plaatswaarde is verbeeld in de kolommen van de tabel.


3) Eindeloze herhaling

MAB laat niet de herhaling van het 10-tallig ruilen zien en ook niet dat dit eindeloos door gaat. Beide zijn wel essentieel. Als je dat begrijpt, dan je weet dat 1+2=3 en ook dat 10+30=40, en ook dat 1000+3000=4000, etc.

   

De lusabacus toont het systeem van de oneindige herhaling naar links (10, 100, 1000, 10 000, etc.) en naar rechts (10 dan 1 dan 0,1 dan 0,01 etc. Gewoon alle lusabacussen van de klas naast elkaar zetten
   

Net als met lusabacussen kan het kind eindeloos brede sommen onder elkaar verzinnen en oplossen. De beperking is de breedte van het papier.
4) Vermaterialisering van ruilen

De noodzaak van ruilen is niet zichtbaar, vooral niet wanneer de blokjes slordig neergelegd zijn. Het ruilen kan je wel vermaterialiseren. Tien losse blokjes ruil je voor een staaf van tien. Tien staven ruil je voor een plak van honderd. Tien plakken ruil je voor een kubus van 1000. Het ruilen is zo goed verbeeld.
 

De 11de kraal heeft een andere kleur. Zo is goed te zien dat je moet ruilen. Heeft een staaf meer kleuren dan moeten er tien achter het schot verdwijnen en moet er op de linker staaf één 10-tal kraal van achter het schot naar voren komen.
 

De noodzaak van ruilen is bij onder elkaar niet verbeeld. Hier plaatsen we de uitkomsten in hokjes. In elk hokje kan en mag maar één cijfer staan. Dat is de vermaterialisering van het ruilen. Het ruilen verwoord je met Eén onthouden. Een verbeelding voor de te onthouden tien is een streepje voor een onthouden ergens links
  • Gebruikelijk is een streepje boven de kolom van de tientallen. Dan is er wel risico op het vergeten van Eén onthouden.
  • Beter is een streepje ónder de kolom van de tientallen, daar waar de de tientallen van de uitkomst schrijft. Dáár fixeert het kind wanneer het de uitkomst opschrijft. Het oog herinnert dan aan Eén onthouden.
  • Bij aftrekken is het ruilen ingewikkelder. Als ruilen bij optellen een truc is dan valt het kind bij aftrekken door de mand.

5) Verbeelding van de procedure

Het ruilen is een procedure met meer stappen. Het kind moet weten welke stappen en de volgorde van de stappen. MAB geeft niet aan welke stappen te ondernemen noch de volgorde. Dit moet het kinder leren en in zijn werkgeheugen paraat houden. Daar komt bij dat de er veel (vinger)handelingen zijn en de procedure dus lang duurt. De kans neemt dan toe dat er informatie uit het werkgeheugen verdwijnt, bijvoorbeeld wat de volgende stap moet zijn.
 

De procedure is lijn-kennis; werken van rechts naar links. Verder moet het kind leren:
  • Er mag maar één kleur op een staaf staan.
  • Eventueel moet je 10 kralen ruilen voor een kraal op de linker staaf. De 10 verdwijnt achter het schot en de 10-tal kraal komt achter het schot tevoorschijn.

Het uitvoeren van de handelingen met de lusabacus is minder omslachtig dan met MAB. De groepen kralen kan het kind met één vingerhandeling verplaatsen. De procedure is daardoor korter dan bij MAB. Daardoor is de kans kleiner dat het kind het overzicht over de procedure verliest. De ruilhandeling kunnen de kinderen materieel uitvoeren en visueel zien. Eventuele fouten en aarzelingen ziet de rekenmeester aan de handelingen met de kralen.

 

In principe zijn getallen n-dimensionale kennis. Door het geniale plaatswaarde systeem (zie § ) is de ruilen gewoon lijnkennis, net als bij de lusabacus. Gewoon de lijn van rechts naar links afwerken.

Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden die het kind op hun plaats moet zetten maar cijfers. Daardoor kan de procedure sneller verlopen. Dit geeft minder belasting van het werkgeheugen en maakt het houden van overzicht eenvoudiger. Het uitvoeren van de handelingen met cijfers kost minder tijd van het werken met afzonderlijke eenheden. De route is eenvoudig: van rechts naar links.


6) Pasvorm voor oogfixatieveld

Plaatsing van de blokjes in het oogfixatieveld kan wel maar is waarschijnlijk teveel gevraagd voor de kinderen. Meer over oogfixatieveld in § 8.3.2.
 

De kralen zitten compact en vast op stangen. Daardoor passen de belangrijkste getalsrelaties in het oogfixatieveld.
 

Naast elkaar verbeeldt geen eenheden maar cijfers. Dat spaart ruimte. In een tabel kan de rekenmeester de getallen compact passend in het oogfixatieveld tonen.

Termen onder elkaar, termen en uitkomst in het oogfixatieveld

Verbeelding 55.

7) Werkgeheugen­vriendelijkheid

Het uitvoeren van de handelingen kost veel tijd. Het kind moet nog veel tellen. Daardoor kan het kind het overzicht van het ruilen kwijt raken. Daardoor is er minder mentale en werkgeheugen ruimte over voor de ruilhandelingen zelf. Ook is er voor het kind dan minder ruimte voor beschouwing om te zien wat het doet.
  Onder elkaar geeft de minste belasting van het werkgeheugen.
  • Het tellen van eenheden onderbreekt de procedure niet.
  • De procedure is een lijn van rechts naar links.
  • De ruilhandeling is bij onder elkaar weliswaar minder zichtbaar en meer mentaal dan bij de lusabacus en MAB. Maar die ruilhandeling kan tijdelijk verbeelden met een visuele geheugensteun voor tien onthouden. Bijvoorbeeld een tekstballon met daar in een minteken.


    Een tiental aftrekken, niet vergeten

    Verbeelding 56.


    Tien onthouden vlak bij de uitkomst

    Verbeelding 57.
    Deze 10 verkort zich geleideijk aan tot een minimaal streepje of zelfs een punt die het kind overschrijft met het cijfer van de tientallen van de uitkomst. Niemand kan dan zien dat het kind nog gebruikt maakte van een visuele steun.


7.3.4 Met een urenveld

Kinderen vragen vaak: Wanneer gaan we nou .... Tijd is belangrijk in de kindrealiteit. Helaas is analoog klokkijken erg lastig. Logisch.
  • Het begint al met die rare nul. Hij staat er soms wel op als nul uur middernacht. Maar dan heet hij ook 24 uur. Om 1 uur in de middag staat hij er weer niet op. Dan staat er voor 1 uur niet nul maar 12.
  • Eigenlijk alle hoeveelheidsvelden in de kindrealiteit zijn rechthoekig (getallenlijn, honderdveld en grafieken). Op de analoge klok is de urenlijn en de minutenlijn een gebogen lijn die geen lijn meer is maar een veld, een cirkel.
  • Bovendien zijn die twee velden, die geen velden zijn, op elkaar geplakt.
  • Verdere loopt de urenlijn van 0 (of is het 1?) tot 12 en niet 13 etc. maar weer 1 (Waar is de nul?).
  • En dan heeft één uur niet 100 centiuur, zoals bij de meter, de euro en de centiliter, maar 60 minuten.
  • Het meest opvallende, de secondewijzer, laten we even buiten beschouwing.
Erg ingewikkeld allemaal. Erg eenvoudig op te lossen overigens. Met velddenken . Kinderen hebben geen problemen met navigeren op het honderdveld . Dus niet gelijk beginnen met een analoge klok maar eerst met een urenveldklok. Buig die ronde assen van de uren en de minuten even terug en je hebt een ’normaal, rechthoekig’ veld als een grafiek en als het honderdveld. Gewoon de x-as en de y-as recht als een getallenlijn en loodrecht op elkaar gezet Je bent dan een aantal problemen kwijt.

Urenveldklok, slaap- en schooltijd ingevuld

Verbeelding 58.
Niet 7 urenvelden aan elkaar en je hebt een weekagenda. Incidenteel lerend krijg je de tafel van 5 en 6 cadeau. Dán is klokkijken geen probleem maar fun. Fun, want het kind heeft kind­realiteit­tijd­control.

Urenveld, lege agenda

Verbeelding 59.
.


 7.4 Hoe verwoord je Ruilen van 10

  

7.4.1 Met de woord cloud ruilen

Het gebruikelijke woord in het onderwijs is inwisselen van 10. Het woord inwisselen is op zich correct. Wel is inwisselen nogal abstract en niet een woord uit de kindrealiteit. Ruilen van 10 is plastischer. Dat geldt ook voor splitsen naar tien. Je ziet ook dat kinderen splitsen en inwisselen verwarren. Overschrijding geeft aan wat er gebeurt. Ruilen van 10 geeft de handeling aan die het kind moet uitvoeren. Min of meer hetzelfde geldt voor het woord overbruggen


7.4.2 Met Een onthouden niet

  • Vanuit de getallen gezien is Eén onthouden. onjuist. Het kind moet Eén tiental onthouden. Of een 100-tal, etc. Dit is geen taalpurisme maar rekenpurisme, nodig omdat je het kind iets heel ingewikkelds wilt aanleren.

  • Vanuit de psychologie is onthouden eigenlijk onjuist. Ten eerste moet het kind niet gaan zitten onthouden. Het moet Tien bijtellen. Dat is de uit te voeren handeling. Die specificatie is belangrijk bij het ruilen van 10 bij het aftrekken. Het ruilen van 10 bij optellen kan het kind vaak als truc nog wel leren. Maar vaak zal het kind de truc niet begrijpen, is mijn ervaring. Dat blijkt bijvoorbeeld wanneer de kinderen de lusabacus niet kennen. Als ze het ruilen begrijpen dan pikken ze het ruilen met de lusabacus zo op. De grote klap komt bij het aftrekken. Dan moet je het te onthouden tiental niet optellen maar aftrekken. Het aftrekken vergeten kinderen gemakkelijk of begrijpen niet dat ze moeten aftrekken. Daarom als je ruilen van 10 toch wilt aanleren zeg bij aftrekken niet Een onthouden. maar Een tiental aftrekken. Varianten zijn Een tiental gepikt/geleend.

  • Verder is onthouden psychologisch gezien ’onjuist’ omdat je tijdens het leren, het werkgeheugen niet moet belasten. Vooral iet als je iets ingewikkelds wilt aanleren. Je moet een visuele geheugensteun geven.


 Andere hoofdstukken  




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.