Hoofdstuk 7 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 7 Ruilen van 10  

 

Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1



Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10-eenheden voor 1-tiental wel uitleggen.
   




7.1.1 Napoleon en Willem I

Om grote aantallen bij te houden turft de mens al duizenden jaren. Maar wanneer het stamhoofd belastingen in gaat voeren en wanneer de priester moet weten wanneer het zonnewendefeest is, dan is turven van eenheden erg onhandig. De Maya's ruilden in. Niet bij 10 maar bij 5, 20, 400 en 8 000.




Het getal 471 in Maya-schrift

Verbeelding 54.

Duimen, voeten en ellen(bogen) zijn wel handig om met je eigen lichaam een aantal af te meten maar het is onnauw­keurig en het rekent niet handig. Vooral niet wanneer je 4 Rijnlandse duimen, 3 Rijnlandse voeten en 9 Rijnlandse ellen stof gekocht hebt en moet uitrekenen hoeveel 1 Amsterdamse el moet kosten. Je kon dat allemaal leren uit De Cijfferinghe van Willem Bartjens. Een Franse generaal was ooit nogal actief in héél Europa. Hij werd gek van de lokale duimen, voeten en ellen. Hij voerde het metrieke stelsel in met steeds ruilen van 10 (decimaal). Gelukkig had Napoleon niet zo veel op met het volk. Ondanks veel tegenstand en zelfs wat moord­partijen voerde hij het systeem in, inclusief de Griekse en Romeinse namen Niemand minder dan Simon Stevin (1548-1620, heeft enkele decennia nog geprobeerd het metrieke decimale stelsel in Holland in te voeren. Maar ja, het systeem was Frans dus het Nederlandse volk moest daar niets van hebben. Het werd uiteindelijk in 1820 ingevoerd door de tamelijk autoritaire koopman koning Willem 1. Hij werd waarschijnlijk ook gek van het gereken voor zijn provinciale en Europese zaakjes.

Maar toen al moest de Nederlandse koning voorzichtiger met zijn volk omgaan dan Napoleon. Willem I gebruikte sluw (nog) niet de Griekse en Romeinse voor­voegsels maar de oude Nederlandse woorden voor de oude maten. De centimeter die werd gewoon de duim en het Franse frame haalde hij weg door er Nederlands voor te zetten, een Nederlandse duim dus.Verder werd het systeem gepresenteerd als een uitvinding van de wereldberoemde Nederlandse wetenschapper Van Swinden. noot 1). Met de komst van het metrieke decimale stelsel verdween ook De Cijfferinghe.


7.1.2 De Engelsen nu

De Engelsen betaalden tot 1971 met een tamelijk ingewikkeld ruilsysteem. 12 pence (niet 10) is 1 shilling, 20 shilling (niet 10 of eventueel weer 12) =1 pond. Het aantal ponden in 100 pence? dat was toen dus een lastige vraag. In Europa waren toen 100 centen 1 gulden, 1 mark of 1 frank. Hoeveel gulden, marken of franken er in 100 centen zitten, dat was in die landen een stomme vraag. En dan de lengtematen. Die van de Engelsen. Ook interessant. Een mijl is 1760 yard, een yard= ... feet, een feet= ... inch. Dus één mijl is 63 358,27 inch zou je denken. Dat klopt voor inches na 1959. Toen werd een van de twee inches afgeschaft. Het klopt ook als je van de ongeveer vier mijlen de veel gebruikte maar niet standaard landmijl neemt.



 7.2 Ruilen van 10 in het leerproces

  
De geniale eenvoud van het ruilen bij 10 is een valkuil voor de reken­meester. Ruilen van 10 is geniaal en eenvoudig. Tenminste, als je het eenmaal snapt. De geschiedenis leert dat reken­genieën er eeuwen over gedaan hebben het systeem te ontdekken. Vervolgens duurde de invoering nog een flinke tijd. De les is duidelijk. Vergis je niet, zo voor de hand liggend is dat herhaald ruilen van 10 nog niet. Begin er pas aan als de vorige leerfase plaats­waarde er goed in zit. Een verkeerde introductie kan de boost die het kind krijgt van het begrijpen van plaatswaarde, zo vervliegen. Ook de volgende leerstappen pleiten voor zorgvuldige introductie van het ruilen. Er zijn meer ruilsystemen in het rekenen én in de kind­realiteit. Vrij snel komt het ruilen bij maten (afstanden, gewichten, etc) en tijden (1 jaar=x maanden=x weken=x dagen=x uren=x minuten=x seconden.) En natuurlijk munten en bankbiljetten. In principe verschillen die systemen niet van het ruilen van 10. Dat kun je de kinderen laten zien door precies dezelfde verbeeldingen te gebruiken.



 7.3 Hoe verbeeld je Ruilen van 10

  

Dat Ruilen kunnen kinderen helemaal nog niet zeggen psycho­logen die de cognitieve ontwikkelings­psycho­logie bestuderen. Te abstract. Dat valt nog te bezien zeggen leerpsycho­logen. Concretiseer maar eens met een goede verbeelding. We hebben MAB, de lusabacus en we kuknnen sommen onder elkaar plaatsen.



7.3.1 Met MAB



MAB (Mutibase Arithmetic Blocks)

Verbeelding 55.


 
7.3.2 Met de lusabacus



Lusabacus

Verbeelding 56.


 
7.3.3 Met
onder elkaar


54
+19
= 

Sommen onder elkaar

Verbeelding 57.

1) Ruilen met MAB

MAB is zeer concreet omdat de afzonderlijke eenheden (blokjes) zelfs bij de duizendtallen te zien en min of meer te tellen zijn.

MAB combineert puntkennis voor de 1-en, lijnkennis voor de 10-en, veld­kennis voor de 100-den en 3d-kennis voor de 1000-den. Zie § 9.2.1 voor een toelichting op deze soorten kennis.

  2) Ruilen met de lusabacus

Op de lusabacus zijn de afzonderlijke eenheden ook nog te zien en aanwezig maar hier hangt het aantal van de kraal af van zijn plaats; van de stang waar hij op zit. Eén kraal op de staaf van tien, staat voor tien kralen.

Met alleen de rechter staaf is de lusabacus een lijn-verbeelding, als de getallenlijn. Met twee stangen is het een veld­-verbeelding als het 100-veld. Elke stang erbij is dus een dimensie erbij. Dus met 3 stangen heb je een 3d_veld. En zo verder.
  3) Ruilen met onder elkaar

De onder elkaar verbeelding is min of meer gelijk aan de verbeelding met de lusabacus. Er is plaatswaarde. Er zijn echter geen losse eenheden als blokjes of kralen meer, behalve op de staaf van de eenheden.

4) MAV en 1-en en 10-en

MAB is zeer concreet. Er zijn losse blokjes voor de enen, staven voor de tientallen. In de staaf zijn de 10 blokjes nog zichtbaar. En zo verder naar duizend.
 5) De lusabacus en 1-en en 10-en

Lusabacus is ook zeer concreet. Met name het ruilen is gematerialiseerd.
 6) Onder elkaar en 1-en en 10-en

Bij de onder elkaar verbeelding is het ruilen niet concreet. Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden meer maar alleen cijfers. Het ruilen verloopt door tien eenheden van de rechtste kolom, te ruilen voor één op in de linker kolom. Plaatswaarde is verbeeld in de kolommen van de tabel.


7) Eindeloze herhaling met MAB

MAB laat niet de herhaling van het 10-tallig ruilen zien en ook niet dat dit eindeloos door gaat. Beide zijn wel essentieel. Als je dat begrijpt, dan je weet dat 1+2=3 en ook dat 10+30=40, en ook dat 1000+3000=4000, etc.

  8) Eindeloze herhaling met de lusabacus

De lusabacus toont het systeem van de oneindige herhaling naar links (10, 100, 1000, 10 000, etc.) en naar rechts (10 dan 1 dan 0,1 dan 0,01 etc. Ook de eindeloosheid. Gewoon alle lusabacussen van de klas naast elkaar zetten.

  9) Eindeloze herhaling met onder elkaar

Net als met lusabacussen kan het kind eindeloos brede sommen onder elkaar verzinnen en oplossen. De beperking is de breedte van het papier.

10) Ruilen met MAB

De noodzaak van ruilen is niet zichtbaar, vooral niet wanneer de blokjes slordig neergelegd zijn. Het ruilen kan je wel vermaterialiseren. Tien losse blokjes ruil je voor een staaf van tien. Tien staven ruil je voor een plak van honderd. Tien plakken ruil je voor een kubus van 1000. Het ruilen is zo goed verbeeld.
 11) Ruilen met de lusabacus

De 11de kraal op een staaf heeft een andere kleur. Zo is goed te zien dat je moet ruilen. Heeft een staaf meer kleuren dan moeten er tien achter het schot verdwijnen en moet er op de linker staaf één 10-tal kraal van achter het schot naar voren komen.
 12) Ruilen met onder elkaar

De noodzaak van ruilen is bij onder elkaar niet verbeeld. Hier plaatsen we de uitkomsten in hokjes. In elk hokje kan en mag maar één cijfer staan. Dat is de vermaterialisering van het ruilen.

Het ruilen verwoord je met Eén 10-tal onthouden. Een verbeelding voor de te onthouden tien is een streepje voor een onthouden ergens links

13) Verbeelding van de stappen met MAB

Het ruilen is een procedure met meer stappen. Het kind moet weten welke stappen en de volgorde van de stappen. MAB geeft niet aan welke stappen te ondernemen noch de volgorde. Dit moet het kinder leren en in zijn werk­geheugen; paraat houden. Daar komt bij dat de er veel (vinger)handelingen zijn en de procedure dus lang duurt. De kans neemt dan toe dat er informatie uit het werk­geheugen; verdwijnt, bijvoorbeeld wat de volgende stap moet zijn.
 14) Verbeelding van de stappen met de lusabacus

De procedure is lijn-kennis; werken van rechts naar links. Verder moet het kind leren:
  • Er mag maar één kleur op een staaf staan.
  • Eventueel moet je 10 kralen ruilen voor een kraal op de linker staaf. De 10 verdwijnt achter het schot en de 10-tal kraal komt achter het schot tevoorschijn.
Het uitvoeren van de handelingen met de lusabacus is minder omslachtig dan met MAB. De groepen kralen kan het kind met één vingerhandeling verplaatsen. De procedure is daardoor korter dan bij MAB. Daardoor is de kans kleiner dat het kind het overzicht over de procedure verliest. De uit te voeren handelingen gaan van de rechter staaf steeds een staaf naar links. De ruilhandeling kunnen de kinderen materieel uitvoeren en visueel zien. Eventuele fouten en aarzelingen ziet de reken­meester aan de handelingen met de kralen.

 15) Verbeelding van de stappen met onder elkaar

Bij onder elkaar zijn er geen afzonderlijke eenheden die het kind op hun plaats moet zetten maar cijfers. Daardoor kan de procedure sneller verlopen. Dit geeft minder belasting van het werk­geheugen en maakt het houden van overzicht eenvoudiger. Het uitvoeren van de handelingen met cijfers kost minder tijd van het werken met afzonderlijke eenheden. De route is eenvoudig: van rechts naar links.


16) Oogpasvorm met MAB

Plaatsing van de blokjes in het oogfixatieveld kan wel maar is waarschijnlijk teveel gevraagd voor de kinderen. Meer over oogfixatieveld in § 8.3.4.
 17) Oogpasvorm met de lusabacus

De kralen zitten compact en vast op stangen. Daardoor passen de belangrijkste getalsrelaties in het oogfixatieveld.
  18) Pasvorm met onder elkaar

Naast elkaar verbeeldt geen eenheden maar cijfers. Dat spaart ruimte. In een tabel kan de reken­meester de getallen compact passend in het oogfixatieveld tonen.


Termen onder elkaar, termen en uitkomst in het oogfixatieveld

Verbeelding 58.


19) Werkgeheugen­vriendelijkheid van MAB

Het uitvoeren van de handelingen kost veel tijd. Het kind moet nog veel tellen. Daardoor kan het kind het overzicht van het ruilen kwijt raken. Daardoor is er minder mentale en werk­geheugen ruimte over voor de ruilhandelingen zelf. Ook is er voor het kind dan minder ruimte voor beschouwing om te zien wat het doet.
  20) Werkgeheugen­vriendelijkheid van de lusabacus

De kralen zitten op staven en hebben een kleurcodering. Daardoor kan het kind sneller handelen en is er minder werkgeheugenbelasting.
  21) Werkgeheugen­vriendelijkheid van onder elkaar

Onder elkaar geeft de minste belasting van het werk­geheugen;.
  • Het tellen van eenheden onderbreekt de procedure niet.
  • De procedure is een lijn van rechts naar links.
  • De ruilhandeling is bij onder elkaar weliswaar minder zichtbaar en meer mentaal dan bij de lusabacus en MAB.

22) Verkorten met MAB

Met MAB kunnen de handelingen niet verkort worden .
 23) Verkorten met de lusabacus

Ook op de lusabacus kunnen de ruil­handelingen niet verkort worden. Verder kan het kind veel tijd nodig hebben om de kralen te tellen. Een oplossing is visuele markante punten te verbeelden, bijvoorbeeld 5 licht rode kralen en daar boven 5 donker rode kralen. Verder een streep die toont dat de staaf 10 kralen heeft. Bijvangst is dan dat tellend optellen verkort wordt door rekenend optellen.
  24) Verkorten met onder elkaar

Met onder elkaar kan de procedure verkortbaar aangeboden worden.
  • Met maximale steun krijg je dan iets als:
      
    Maximale steun

    Verbeelding 59.
    Onduidelijk is nog wel of de kinderen bij zo’n uitvoerige procedure de weg niet kwijt raken.

  • Verder kan de reken­meester het ruilen onder elkaar dynamisch tonen.
      
    Ruilen met dynamische steun

    Verbeelding 60.

  • Geen deelstappen uitschrijven.
  • Geen kleursteun, alle getallen zwart.
  • Geen geheugensteun voor één onthouden.
  • Termen niet onder elkaar maar naast elkaar.

7.3.4 Met muntabacus

Een procedure om sommen met ruilen van 10 op te lossen kunnen kinderen kennelijk nog wel leren. Maar of ze begrijpen wat ze doen is nog maar de vraag. Of het kind van ruilen van 10 begrijpt kun je toetsen is het kind een ander ruilsysteem voor te leggen. Gebruik je bijvoorbeeld de lusabacus niet maar onder elkaar zetten met steun, introduceer dan de lusabacus. Hoe meer moeite het kost om ruilen van 10 met de lusabacus te leren, hoe minder het kind de procedure kennelijk begrijpt.Wil de reken­meester 'realistisch' rekenen dan kan hij een muntabacus gebruiken. Wel opmerkelijk. De muntabacus. Zo'n goed hulpmiddel en Google heeft nog nooit van een muntabacus gehoord. Dubbeltjes zijn wel een abstracte voorstelling van tientallen. De eenheden (centen) zijn niet meer zichtbaar zoals bij MAB. Er staat wel 10 op. Onhandig is wel dat op de euro 1 staat terwijl hij 100 (cent) waard is. Maar dit is ook een les. Ruilsystemen zijn vaak verborden en moet je ontdekken. Een voordeel van geld is dat je kunt aansluiten bij de wereld van het kind, bijvoorbeeld in de supermarkt. Het wachten is nog op noot 2).


7.3.5 Met een urenveld

Kinderen vragen vaak: Wanneer gaan we nou .... Tijd is belangrijk in de kind­realiteit. Helaas is analoog klokkijken erg lastig. Logisch.
  • Het begint al met die rare nul. Hij staat er soms wel op als nul uur middernacht. Maar dan heet hij ook 24 uur. Om 1 uur in de middag staat hij er weer niet op. Dan staat er voor 1 uur niet nul maar 12.
  • Eigenlijk alle hoeveelheidsvelden in de kind­realiteit zijn rechthoekig (getallenlijn, 100-veld en grafieken). Op de analoge klok is de urenlijn en de minutenlijn een gebogen lijn die geen lijn meer is maar een veld, een cirkel.
  • Bovendien zijn die twee velden, die geen velden zijn, op elkaar geplakt.
  • Verdere loopt de urenlijn van 0 (of is het 1?) tot 12 en niet 13 etc. maar weer 1 (Waar is de nul?).
  • En dan heeft één uur niet 100 centiuur, zoals bij het 100-veld, de meter, de euro en de centiliter, maar 60 minuten.
  • De meest opvallende, de bewegende secondewijzer, laten we even buiten beschouwing.
Erg ingewikkeld allemaal. Erg eenvoudig op te lossen overigens. Met veld­denken . Dus niet gelijk beginnen met een analoge klok maar eerst met een urenveld­klok. Buig die ronde assen van de uren en de minuten even terug en je hebt een ’normaal, rechthoekig’ veld als een grafiek en als het 100-veld. Gewoon de x-as en de y-as recht als een getallenlijn en loodrecht op elkaar gezet. Je bent dan een aantal problemen kwijt.


Urenveldklok, slaap- en schooltijd ingevuld

Verbeelding 61.
Niet 7 urenvelden aan elkaar en je hebt een weekagenda. Incidenteel lerend krijg je de tafel van 5 en 6 cadeau. Dán is klokkijken geen probleem maar fun. Fun, want het kind heeft kind­realiteit­tijd­control.


Urenveld, lege agenda

Verbeelding 62.
.



 7.4 Hoe verwoord je Ruilen van 10

  

7.4.1 Met de woord cloud ruilen

Gebruikelijke synoniemen voor Ruilen zijn: inwisselen, tientaloverschrijding, tientalpassering en overbruggen van 10 Ruilen van 10 is plastischer. Overschrijding geeft aan wat er gebeurt. Ruilen van 10 geeft de handeling aan die het kind moet uitvoeren.


7.4.2 Met Eén onthouden niet

Een probleem van ruilen van 10 is het Eén onthouden. Een tiental moet meegenomen worden naar de volgende stap. Het ruilen is een nieuwe, een abstracte en een ingewikkelde procedure. Dat betekent dat het werkgeheugen minder goed functioneert.De oplossing is eenvoudig: een visuele geheugensteun: ergens een streepje neerzetten voor Eén onthouden.

7.4.2.1 Verwoording van Eén onthouden

Vanuit de getallen gezien is Eén onthouden. onjuist. Het kind moet Eén tiental onthouden. Of een 100-tal, etc. Dit is geen taalpurisme maar gewoon getalkennis. Nauwkeurige woorden zijn nodig omdat je het kind iets heel ingewikkelds wilt uitleggen. Natuurlijk, later wordt dit verkort tot Eén onthouden.. Vanuit de psycho­logie is onthouden eigenlijk onjuist. Dit is niet de uit te voeren handeling. Het kind moet Tien bijtellen. of Tien afgetrokken. Met name kinderen die de procedure niet begrijpen kunnen bij en af verwarren. Varianten zijn Een tiental gepikt/geleend.

7.4.2.2 Verbeelding van Eén onthouden

De meest uitvoerige en duidelijkste oplossing voor het ruilen is het cijfer van het tiental dat met een tiental verhoogd moet worden daadwerkelijk te vervangen door een cijfer hoger. Deze uitvoerige procedure kun je snel verkorten. Wat onthouden moet worden, dat moet in het oogfixatieveld. Gebruikelijk is een streepje bóven de kolom van de tientallen. Dat is de periferie van het oogfixatieveld. Dus grotere kans dat het kind Eén onthouden. vergeet. Beter is een streepje ónder de kolom van de tientallen, daar waar de de tientallen van de uitkomst schrijft. Dáár fixeert het kind wanneer het de uitkomst opschrijft. Deze 10 verkort zich geleideijk aan tot een minimaal streepje of zelfs een punt die het kind overschrijft met het cijfer van de tientallen van de uitkomst. Niemand kan dan zien dat het kind nog gebruikt maakte van een visuele steun.

Tien aftrekken, vlak bij de uitkomst

Verbeelding 63.



 7.5 Hoe vermentaliseer je Ruilen van 10

  
De essentie van Ruilen van 10 is: Ruilen. De tientalligheid is min of meer een toevallig keuze. Je kunt ook Ruilen van 8 zoals in het land van Oct gedaan wordt (het 8-tallige getalstelsel). Of Ruilen van 60 zoals bij het klokkijken. Of Heel ingewikkeld ruilen zoals bij de kalender. Of Ruilen van breuken zoals bij breuken: vier kwarten is een hele. Of gewoon zelf verzonnen: Vijf huizen is een hotel. zoals bij monopolie. Al deze ruilingen kun je op dezelfde wijze verbeelden: een 100-veld­-achtige grafiek.


 Andere hoofdstukken  


1 Rekenvoorwaarden

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met aantal en getallen aan de slag gaat, moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde, tamelijk abstracte eigenschap gaat.

Meer klik en ga naar: Rekenvoorwaarden


2 Tellend optellen

Hier het volgordegetal: aantal bepalen door tellen. Pak het vijfde snoepje. Daarna aantal bepalen door rekenen. Pak vijf snoepjes.

Meer klik en ga naar: Tellend optellen


3 Rekenend optellen

Kinderen in groep 5 tellen nog op hun vingers. Vreemd. Heel vreemd. Ook heel begrijpelijk dat ’teltrauma’. Ook niet erg, dat vingertellen. Voorkomen en oplossen is niet moeilijk.

Meer klik en ga naar: Rekenend optellen


4 Nul

Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, niet op het honderdveld en in getallen ook niet vóór eenheden onder 10. Meestal is hij verstopt, ónder de eenheden. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

Meer klik en ga naar: Nul


5 Plaatswaarde

Decimale plaatswaarde is zo logisch, handig en vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal dat systeem is. Maar het duurde duizenden jaren voor slimme rekenmeesters decimale plaatswaarde ontwierpen. Het is dus begrijpelijk dat rekenmeesters plaatswaarde vergeten en kinderen plaatswaarde niet begrijpen.

Meer klik en ga naar: Plaatswaarde


6 Breken naar 10

Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen?

Meer klik en ga naar: Breken naar 10


7 Ruilen van 10

Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10-eenheden voor 1-tiental wel uitleggen.

Meer klik en ga naar: Ruilen van 10


8 Psychologiekennis

Hoe kijkt, praat, leert en denkt het kind over en met getallen? Hoe kan het kind de werkelijkheid met getallen beter beheersen?

Meer klik en ga naar: Psychologiekennis


9 Getalkennis

Rekenen is aantalsrelaties zo ordenenen dat je onzichtbare werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn met abstract aantallen. Zijn zijn er evenveel kinderen als snoepjes. Maar dat kunnen ook grafisch verbeelde ingewikkelde aantalrelaties zijn, zoals een analoge klok, een hypotheek of inflatie.

Meer klik en ga naar: Getalkennis


10 Literatuur



Meer klik en ga naar: Literatuur


11 Index en woordenlijst
217 entries.

Verklarende woordenlijst en index.

Meer klik en ga naar: Index en woordenlijst



Leonard Verhoef
Leonard Verhoef: van onderzoeker van het denken naar ontwerper voor het denken in het dagelijks leven nu én in de toekomst. Ontwerpen voor computer- en webgebruikers, voor rekenmeesters en betalers, voor reizigers, vluchters en professionals op land-, spoor-, weg- en waterwegen.

Blijven onze superhersenen een limbische regelsslaaf in dienst van de cultuur (techniek, onderwijs en overheid)? Of gaat de prefrontale cortex heersen en maakt zijn supervermogen de dienst uit?
More, click and go to CV: Leonard Verhoef


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.