8 Ruilen van 10  

 

 Een geniaal idee: ruil 10 in voor 1



Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de kindrealiteit.		  
rekenen, getalllen, basisschool, optellen, getalbegrip
132 Pagina’s.
111 Afbeeldingen van handelingen.
306 Index entries
79 Referenties.
97 Alternatieven voor
onduidelijke rekenwoorden.

Met klik naar inhoudsopgave.


www.humanefficiency.nl/rekenen/
ruilen.php
ISBN:9789080842304
23 Sep 23
©
$woord_paragraaf_vertellenplaatswaarde="6.5.1";$woord_paragraaf_telwoord="6.5.2";$woord_paragraaf_tien="6.5.2";$woord_paragraaf_elf="6.5.2";$woord_paragraaf_twaalf="6.5.2";$woord_paragraaf_romeinsegetallen="6.5.2";$woord_paragraaf_telwoordenvolgorde="6.5.3";$woord_paragraaf_spiegelen="6.5.3";$woord_paragraaf_vermentaliseerplaatswaarde="6.6 "; $woord_paragraaf_vertellenplaatswaarde="6.5.1";$woord_paragraaf_telwoord="6.5.2";$woord_paragraaf_tien="6.5.2";$woord_paragraaf_elf="6.5.2";$woord_paragraaf_twaalf="6.5.2";$woord_paragraaf_romeinsegetallen="6.5.2";$woord_paragraaf_telwoordenvolgorde="6.5.3";$woord_paragraaf_spiegelen="6.5.3";$woord_paragraaf_vermentaliseerplaatswaarde="6.6 ";


  8.1 Wat is Ruilen van 10?  

Het ruilen van 10 kent een lange geschiedenis.

8.1.1 Napoleon en Willem I

Om grote aantallen bij te houden, turft de mens al duizenden jaren. Maar wanneer het stam­hoofd belastingen gaat heffen en wanneer de priester moet weten wanneer het zonne­wende­feest is, dan is turven van 1-en onhandig. De Maya's ruilden daarom al in. Zij ruilden niet steeds in bij 10 maar bij 5, 20, 400 en bij 8 000.





  Het getal 79 in Maya-schrift

Afbeelding 97.
Bij het meten zijn duimen, voeten en ellen­(bogen) wel handig om met je eigen lichaam een aantal af te meten. Het is wel onnauw­keurig en het rekent niet handig. Vooral niet wanneer je 4 Rijnlandse duimen, 3 Rijnlandse voeten en 9 Rijnlandse ellen stof gekocht hebt en moet uitrekenen hoeveel 1 Amster­damse el moet kosten. Dat was de realiteit die Willem Bartjens zijn Amsterdamse koop­mans­leer­lingen rond 1600 beheersen. Twee eeuwen later werd een Franse generaal nogal actief in héél Europa. Hij werd gek van de lokale duimen, voeten en ellen. Hij voerde het metrieke stelsel in met steeds ruilen van 10 (decimaal). Gelukkig had Napoleon niet zo veel op met het volk. Ondanks veel tegen­stand en zelfs wat moord­partijen voerde hij het decimale maatsysteem in, inclusief de exotische Griekse en Romeinse namen
(Beckers & Kool, 2004).
Beckers, D., & M. Kool. (2004). Willem Bartjens De Cijfferinghe (1604). Het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren.
Pag. 41.
Met klik naar de literatuurlijst.

Niemand minder dan Simon Stevin (1548-1620,
Beckers & Kool, 2004)
Beckers, D., & M. Kool. (2004). Willem Bartjens De Cijfferinghe (1604). Het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren.
Pag. 50.
Met klik naar de literatuurlijst.

heeft nog geprobeerd het metrieke decimale stelsel in Holland in te voeren. Maar ja, het systeem was Frans dus moest het Nederlandse volk daar niets van hebben.		 Het werd uiteindelijk in 1820 ingevoerd door de tamelijk autoritaire koopman koning Willem 1. Hij werd waarschijnlijk ook gek van het gereken voor zijn provinciale en Europese zaakjes.
Maar toen al moest de Nederlandse koning voor­zichtiger met zijn volk omgaan dan Napoleon. Willem I gebruikte sluw (nog) niet de Griekse en Romeinse voor­voegsels maar de oude Neder­landse woorden voor de oude maten. De centimeter die werd gewoon de duim en het Franse frame haalde hij weg door er Nederlands voor te zetten, een Nederlandse duim dus. Verder werd het systeem gepresenteerd als een uitvinding van de wereld­beroemde Nederlandse wetenschapper Van Swinden.
Gewoon lbi-psycho­logie dus (

Een rationele, psychologisch verantwoorde aanpak met goed leesbare woorden, met duidelijke woorden en met een begrijpelijk concept kan toch niet tot het gewenste gedrag leiden. Dan kan de ontwerper overgaan op een emotie-gerichte aanpak via list, bedrog en intimidatie, bijvoorbeeld ...

Met klik naar: List-, bedrog- en intimidatie-psycho­logie

noot 1
List, bedrog en intimidatiepsychologie
http://www.humanefficiency.nl/psychologie/list_bedrog_intimidatie.php
). Met de komst van het metrieke decimale stelsel verdween ook De Cijfferinghe van Willem Bartjens.

8.1.2 De Engelsen nu

In Engeland ligt dat ruilen anders. De Engelsen betaalden tot 1971 met een tamelijk ingewikkeld ruilsysteem. 12 pence (niet 10) is 1 shilling, 20 shilling (niet 10 of eventueel weer 12) is 1 pond. Hoeveel pence er in een pond zitten, dat was toen in Engeland een lastige vraag. Hoeveel centen er in een gulden, een mark of een frank, zaten was toen een stomme vraag. Hier het woord ruilen voor het tientallige inwisselen en het woord plaatswaarde voor het bijhorende notatiesysteem. En dan de lengtematen, met name de Engelse maten. Een mijl is 1760 yard, een yard= ... feet, een feet= ... inch. Dus één mijl is 63 358,27 inch zou je denken. Dat klopt voor inches na 1959. Toen werd een van de twee inches afgeschaft. Het klopt ook als je van de ongeveer vier stan­daarden voor mijlen de veel gebruikte maar niet standaard landmijl neemt.


  8.2 Ruilen van 10 in het leerproces   

Freudenthal verbaast zich erover dat er zo weinig onderzoek en aandacht is voor de tientallige structuur van de getallen
(1973).
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 90.
Met klik naar de literatuurlijst.

Waarschijnlijk is de geniale eenvoud van het ruilen van 10 is een valkuil. Het is pas eenvoudig als je het snapt. De geschiedenis leert dat reken­genieën er eeuwen over gedaan hebben het systeem te bedenken. Vervolgens duurde de invoering ook nog eens eeuwen. De geschiedenis is duidelijk. Ook onderzoek wel. Opmerkelijk is dat bejaarden beter ruilen dan jong volwassenen
(Geary & Lin, 1998).
Geary, D.D. & Lin, J. (1998). Numerical cognition: Age-Related Differences in the Speed of Executing Biologically Primary and Biologically Secondary Processes. In: Experimental Aging Research, vol. 24, pag. 101-137

Met klik naar de literatuurlijst.

Vergis je niet, zo voor de hand liggend is dat herhaald ruilen van 10 nog niet.
Begin met het ruilen pas als plaats­waarde, er goed in zit. Een verkeerde introductie kan de boost die de vingerteller gekregen heeft van plaats­waarde, zo ongedaan maken.Ook de leerstof die nog komt pleit voor een zorgvuldige introductie van het ruilen. Er komen meer ruilsystemen in de klas én in de kind­realiteit.
  • Vrij snel komt het ruilen met maten (afstanden, gewichten, etc).
  • Verder de tijden (1 jaar=x maanden=x weken=x dagen=x uren=x minuten=x seconden).
  • En natuurlijk is er het geld.
Dat is wiskunde: flexibiliteit
(Freudenthal, 1973).
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. 75.
Met klik naar de literatuurlijst.

Dezelfde wiskundige denkwijze toepassen op schijnbaar verschillende situaties in de realiteit.

8.2.1 Past geld bij ruilen?

Met munten kun je een link leggen met de kindrealiteit. Onhandig is wel dat op de euro 1 staat terwijl hij 100 (cent) waard is. Ook onhandig is dat de 1-en ineens centen heten en de 10-en dubbeltjes (dubbele 5). Maar 10 euro’s heten dan weer niet twee vijfjes of een tiener maar een tientje. Een tientje is dan weer geen klein tientje maar gewoon 10 €. Als je munten gebruikt, neem dan aanvankelijk alleen centen, dubbeltjes en euro ’s. Die kun je tientallig ruilen.
Als je biljetten gebruikt, neem dan aanvankelijk alleen 10, 100 en 1000 € biljetten. Die kun je tientallig ruilen. Ook bij biljetten is er weer kans op andere woorden voor de aantallen, bijvoorbeeld barkie voor 100 €. Gebruik verder aanvankelijk dus geen andere ruil­moge­lijk­heden zoals de biljetten voor 50 € en de 200 €. Gebruik dus ook geen munten en biljetten door elkaar. Je mixt dan verschillende ruilsystemen. Munten en biljetten zijn eigenlijk minder geschikt om te leren ruilen. Begrijpt het kind het ruilen dan zijn ze natuurlijk een goede en nuttige variant.
Je kunt ruilen uitleggen met stippatronen (afb. 98).
   Het aantal 52 met stipgroepen

Afbeelding 98.
©
Gebruik voor niet
commerciële
doelen en met
bronvermelding
toegestaan.



  8.3 Hoe verbeeld je Ruilen van 10?   



Een goede uitleg van ruilen is een open­gewerkte mechanische telmachine (afb. 99).
   Mechanische telmachine die het ruilen concreet toont

Afbeelding 99.
https://woodgears.ca/counter/
Ook een opengewerkte machanische analoge klok kan ruilen goed tonen. Je kunt de tandwielen van de ’klok’ veranderen in verschillende ruilsystemen. Je begint natuurlijk met het tientallig inruilen. Ga je klokkijken dan verander je gewoon de tandwielen en laat je zien wat er gebeurt. Daarna eventueel uren, dagen, weken, etcetera. Daarna eventueel munten en geldbiljetten. Daarna eventueel het 8- of 12-tallig stelsel. Misschien zou zo’n apparaat wel in elke klas moeten staan. Maar ja, krijg dat er maar eens door.

8.3.1 Past MAB, lusabacus en onder elkaar bij ruilen?

De meest gebruikelijke en goed beschikbare middelen voor het ruilen zijn MAB en de lusabacus. Op papier kun je de termen van de opgave gewoon onder elkaar plaatsen.



MAB (Multibase Arithmetic Blocks)

Afbeelding 100.
 


De gebruikelijke lusabacus

Afbeelding 101.


 
54
+19
= 
Termen onder elkaar

Afbeelding 102.
1) Passen de afbeeldingen de getallen?

Met MAB zijn de afzonderlijke eenheden (blokjes) zelfs bij de duizend­tallen te zien zijn en ze zijn zelfs min of meer te tellen zijn. Tien losse blokjes ruil je voor een staaf van tien. Tien staven ruil je voor een plak van honderd. Tien plakken ruil je voor een kubus van 1000. Het ruilen is dus zeer concreet. Een betere naam voor MAB is overigens misschien: De tieners. De noodzaak van het ruilen is bij MAB niet zichtbaar, vooral niet wanneer het kind de blokjes slordig neerlegt.
De lusabacus ziet er wat ingewikkeld uit maar is zeker de moeite waard. De lusabacus toont het ruilen minder concreet doordat één gele 10-kraal staat voor tien rode kralen. Dit is nog te ondervangen door stippen af te beelden op de kralen en te spreken van stippen (afb. 103) en niet van kralen.
  • Op de rode kralen voor de 1-en dus één zwarte stip.
  • Op de gele kralen voor de 10-en dus 10 rode stippen.
  • Op de groene kralen voor de 100-den dus gele cijfers voor 100.
  • Op de blauwe kralen voor de 1000-den dus 1000 in groene cijfers.
lusabacus leren rekenen
Een gele 10-tal-kraal, toont 10 rode stippen

Afbeelding 103.
Bij de gebruikelijke lusabacus is de noodzaak van het ruilen niet direct zichtbaar, bijvoorbeeld wanneer er 10 kralen op een staaf staan. Het is niet te zien of er 10 of 9 kralen zijn. Maar vooral is er niet te zien dát je moet ruilen.
  • Je kunt de noodzaak van ruilen tonen met een ruilveld (afb. 104). De 10de kraal van de onderste kleur komt in het ruilveld en moet weg. Het ruilveld moet leeg zijn. Je moet dus 10 kralen met 1 stip ruilen 1 kraal met 10 stippen. Dat is dus tientallig ruilen.
  • Een betere naam voor de lusabacus zou daarom overigens zijn: De (10)ruiler.
  • Verder kun je de staven dezelfde kleur geven als de kralen die er op horen. In afbeelding 104 kun je dan zeggen dat de blauwe kralen niet op de rode staaf horen.
  • Misschien moeten de staven niet 10 kralen van dezelfde kleur hebben maar 9 kralen van dezelfde kleur. De bovenste, de 10de kraal heeft dan een andere kleur en zegt: Ik woon hier niet, ik moet naar geel heen maar ik wil niet alleen!
De noodzaak van ruilen toont onder elkaar niet direct. Hier plaatsen we de cijfers van de uitkomst daarom in hokjes. De kleine hokjes dwingen dan min of meer de ruilhandelingen af. Er mag maar één cijfer in een uitkomsthokje staan. Wel is het overbrengen van 10-eenen naar de 10-kolom een duidelijke ruilhandeling. Bij rijgen is er minder duidelijk sprake van een ruilhandeling.
94
+21
=
  Ruilen gestuurd door één cijfer per hokje

Afbeelding 104.
In afbeelding 104 is sluw het hokje voor de honderdtallen weggelaten. Je zegt dan natuurlijk niets of je zegt hopeloos: Wat nu? Je hebt dan een denkopgave en je kunt zien of het kind het ruilen zelf kan ontdekken.
2) Passen de middelen de lijn van handelingen?

Het kind moet weten welke ruilhandelingen er zijn en wat de volgorde is. MAB geeft niet aan welke handelingen uit te voeren. Dit moet het kind leren en onthouden.
De lusabacus toont de stappen in een rechte lijn van rechts naar links. De procedure is daardoor minder ingewikkeld dan met MAB. De groepen kralen kan het kind met één vingerhandeling verplaatsen. Bijvangst is verder dat de kinderen aanvulpatronen tot 10 zien wanneer ze bijvoorbeeld 8 kralen nodig hebben. Je telt niet 8 kralen af maar trekt er 2 van 10 af.
Als je de 10 kralen verdeelt in 5+5 kralen dan hoeft je minder te tellen omdat de hoeveelheid dan aan het patroon te zien is. Bijvoorbeeld 5 donker rode kralen en 5 licht rode kralen. Daardoor hoeft het kind minder te tellen en verkleint de kans dat het kind het overzicht over de uit te voeren handelingen verliest (afb. 105). Net als het kind kan jij dan ook het aantal gepakte kralen sneller zien.
  10 kralen onderverdelen in 5+5

Afbeelding 105.
©
Gebruik voor niet
commerciële
doelen en met
bronvermelding
toegestaan.

Met een leerblad (afb. 106) kun je de ruilhandelingen met de lusabacus sturen. Daarmee verklein je ook de afstand tussen het tamelijk concrete inwisselen met kralen en het minder concrete inwisselen door de termen onder elkaar te zetten. Overigens zou je dit leerblad ook kunnen gebruiken zonder lusabacus.

  Leerbladsturing voor inwisselen met de lusabacus

Afbeelding 106.

Net als bij de lusabacus gaan bij onder elkaar de stappen in een lijn van rechts naar links (
noot 2
Kinderen volgen meestal spontaan de leesrichting van links naar rechts. Dus eerst 100-den optellen, dan 10-en en als laatste de 1-en optellen. Wanneer de opgave over 10 gaat dan begint men in Nederland rechts, bij de eenheden. Je kunt ervoor kiezen het aanvankelijk voor het kind eenvoudig te houden. Je laat het kind beginnen waar het wil. Lopen de handelingen goed ga dan over op rechts bij de 1-en beginnen. Dat doe je natuurlijk voor je met ruilen begint.
). Bij onder elkaar zijn er geen afzonder­lijke eenheden die het kind op hun plaats moet zetten maar cijfers. 		Daardoor kunnen de hande­lingen sneller verlopen. Dit maakt het houden van overzicht eenvoudiger.

3) Passen de middelen het oog?

Plaatsing van de MAB-blokjes in het oogfixatieveld kan wel maar moet het kind zelf doen. De kralen van de lusabacus zitten compact en vast op stangen. Daardoor komen de belangrijkste getalsrelaties in het oogfixatieveld.
Onder elkaar toont geen een­heden maar cijfers. Dat spaart ruimte. In een erbijtabel passen de cijfers van de termen en van de uitkomst dan in het oogfixatieveld (afb. 107).
  Termen onder elkaar, termen en uitkomst in het oogfixatieveld

Afbeelding 107.

4) Passen de middelen het werkgeheugen?
Opgaven met breken hebben meer last van werkgeheugenbelasting dan opgaven zonder breken
(LeFevre et al., 2005).
LeFevre, J., DeStefano, D., Coleman, B. & Shanaham, T. (2005). Mathematical Cognition and Working Memory. In: Campbell: Handbook of mathematical cognition.
Pag. 369
Met klik naar de literatuurlijst.

Het uitvoeren van de handelingen met MAB kost veel tijd. Het kind moet ook nog veel tellen. Dat geeft belasting van het werk­geheugen. Daardoor kan het kind het overzicht van de ruilhandelingen verliezen. Ook is er minder werk­geheugen­ruimte over om de ruil­handelingen in het werk­geheugen te ’zien’.		 Bij de lusabacus zitten de kralen op staven en hebben een kleurcodering. Daardoor kan het kind sneller meer kralen tegelijk schuiven en is er minder werk­geheugen­belasting.
Onder elkaar geeft de minste belasting van het werk­geheugen. Het kind hoeft immers niet te tellen en er zijn geen tijdrovende vinger­handelingen. Het ruilen is wel verbaal: Eén (10-tal) onthouden. Dit is op te lossen met een werk­geheugen­sturing.
Dus ...

Met MAB kun je beginnen om zeer concreet uit te leggen wat ruilen is. Voor het maken van reken­opgaven is MAB omslachtig.

   De gebruikelijke lusabacus heeft wat tekortkomingen die overigens met wat verf of tape op te lossen zijn. In het begin moet je zelf wel even wennen aan het gebruik van de lusabacus. Maar je ziet wel goed wat het kind denkt, waar het aarzelt en wanneer het kind het ruilen oppikt. Ook zie je onzekere of een verkeerde handeling aankomen. Je kunt dan met een blik of een subtiel gebaar bijsturen. Zonder woorden dus.
Onder elkaar laat eigenlijk niet goed zien wat ruilen is. Het is wel een handige manier om opgaven uit te rekenen. Het kan wel gemakkelijk een truc worden. Maar ook als truc is het een snipper die kan bijdragen tot inzicht in ruilen.
(§ 10.4.12

Klik voor meer over: truc

).

8.3.2 Past Eén onthouden bij ruilen?

Ook wanneer het kind ruilen begrijpt, is er nog het te onthouden overlopende 10-tal. Het breken belast het werkgeheugen meer dan opgaven zonder breken
(LeFevre et al., 2005).
LeFevre, J., DeStefano, D., Coleman, B. & Shanaham, T. (2005). Mathematical Cognition and Working Memory. In: Campbell: Handbook of mathematical cognition.
Pag. 369.
Met klik naar de literatuurlijst.

Dit terwijl het werkgeheugen bij het ruilen zelf al tamelijk belast is. Je kunt aanvankelijk het overlopen van een tiental expliciet noteren door de optelling van de 1-en en de optelling van de 10-en op een afzonderlijke regel uit te schrijven zoals in afbeelding 108. Deze ’rijg’handeling valt op een gegeven moment gewoon weg (verkorting).
1 3
+ 2 9
1 2
+ 3 0  
4 2
Ruilen gestuurd door één cijfer per hokje

Afbeelding 108.
Je kunt voor het overlopen van 10-eenen een geheugensteun geven. Gebruikelijk is een streepje boven de kolom links te plaatsen. Je kunt het streepje ook noteren min of meer in het hokje van de tientallen ín de uitkomst. Dáár fixeert het kind wanneer het de uitkomst opschrijft (afb. 109). Niet zien en dus vergeten is dan vrijwel onmogelijk. De geheugensteun verkort zich geleidelijk aan. Zo vertelde een slimmerik eens guitig: Ik zet een klein puntje neer. Daar schrijf ik dan het getal over. Dan denkt ze dat ik hem onthouden heb.

rekenen een onthouden overschrijding tiental    Tien onthouden, met elk 10-tal een regel

Afbeelding 109.


  8.4 Hoe vertel je Ruilen van 10?  


8.4.1 Past het woord ruilen bij ruilen?

In groep 2 en 3 bedoelt men met getal­begrip wel: aantal­getal­(begrip). In groep 4 en verder bedoelt met getal­begrip wel het tientallige inwisselsysteem. Een woord voor verschil­lende begrippen is verwarrend. Gebruikelijke synoniemen voor ruilen zijn verder: inwisselen, lenen, tien­overschrijding, tien­passering en over­bruggen van 10
(Verschaffel, e.a. 2019).
Verschaffel, L.B., De Smedt, Vanaken, H. & Torbeyns, J. (2019). De efficiëntie van indirect optellen bij aftrekkingen tot 1000: ook bij opgaven zonder overbrugging? Pedagogische Studiën, No 96, Pag. 245 - 280.

Met klik naar de literatuurlijst.

Bij sommige van die woorden is onduidelijk wat ze betekenen. Is de betekenis: over de tien heen gaan door breken. Dus: (8+5=8+2+3). Of is de betekenis: over tien heen gaan door ruilen. Dus: 78+5= 8+5=13,3 onthouden ,70+10=80, +3=83.		 Overschrijding geeft aan wat er gebeurt. Ruilen van 10 is de handeling die het kind moet uitvoeren. Verder is ruilen toch concreter en meer kindertaal. De 10 kralen of stippen die je ruilt kun je overlopers noemen. Die overlopers zie je niet zo goed en die vergeet je ook gemakkelijk. Noem ze eventueel plastisch stiekeme overlopers.

8.4.2 Passen de woorden Eén onthouden? bij ruilen?

Het onderwijs verwoordt het ruilen met: Eén onthouden. Eén onthouden verbergt een aantal problemen.
  • Vanuit de getallen gezien is Eén onthouden onjuist. Je moet er niet één onthouden maar tien. Of een 100-tal, etc. Vooral voor de begrijpelijkheid is het beter aanvankelijk dus te zeggen: Nog een 10(-tal) onthouden.
  • Is blauw de kleur voor de tientallen dan kun je nog zeggen: 10 onthouwen voor de blauwen.
  • Vanuit de psycho­logie is onthouden onnauwkeurig. Onthouden is niet zozeer de uit te voeren handeling. Het kind moet Tien er extra bijtellen. Uiteraard zal de tekst Nog een 10-tal er in de volgende kolom bijtellen zal zich uiteindelijk verkorten tot Eén onthoudenen uiteindelijke verdwijnen. en vervolgens verdwijnen.
  • Varianten voor bijtellen en aftrekken zijn: Een tiental gepikt/geleend.
  • Je kunt het inzicht in ruilen verhogen met de voorloopnul. Je zegt dan dus: Nul tientallen onthouden en je noteert ook een nul op de plaats van de geheugen­steun.
  • Er zijn ook erafopgaven. Dus zeg aanvankelijk: Nog een 10(-tal) erbij/eraf onthouden. Dus noteer je -10 of +10. Vooral wanneer het ruilen een trucje is, zal het kind bij en af verwarren.
  • Om verwarring tussen erbij en eraf te voorkomen is het overigens beter eerst alleen erbij­opgaven te geven. Je krijgt dan bovendien een denkmoment. Gaat ruilen goed bij erbijopgaven, dan ineens een erafopgave. Vooral niets zeggen. Laat het kind modderen. Dan niet de uitkomst of de oplossing geven maar je stelt hopeloos de denkvraag Wat nu? of: Klopt dat wel? Of speel je stiekem vals?
  • Uit fouten kan blijken dat het kind ruilen niet begrijpt. Met name wanneer er één deel­handeling is, die niet over een tiental gaat. De kinderen tellen dan soms toch een tiental bij. De uitkomst van 146+35 is dan 281.


  8.5 Ruilen van 10 en denken  

De handelingen om opgaven met ruilen van 10 op te lossen kunnen kinderen kennelijk nog wel leren. Maar of ze begrijpen wat ze doen is nog maar de vraag. Ook is het nog maar de vraag of een kind van groep 4 ruilen van 10 kán begrijpen. Maar ja. De cultuur vindt dat het in groep 4 al moet. De essentie van Ruilen van 10 is: Ruilen. Daarom hier het woord ruilen niet woorden als: tientaloverschrijding, passeren van 10 en overbruggen. Om inzicht te krijgen moet je hetzelfde toepassen in verschillende situaties
§ 10.4.12

Klik voor meer over: inzicht in ruilen

. Inzicht in ruilen (bij tien) zou je dus kunnen krijgen door te ruilen bij 8 zoals in het land van Oct (het 8-tallige getalstelsel,
noot 3
Rekenen in het land van Okt
https://wijzeroverdebasisschool.nl/uitleg/rekenen-in-het-land-van-okt
). Maar krijg dat er maar eens door.
Leer het kind de onderliggende wiskundige basis’handeling: ruilen. Het is niet altijd duidelijk dat een handeling gewoon ruilen is. De gekozen aantallen en vooral de woorden kunnen nogal verschillen zullen we nog zien. Zo ruil je 24 uur in voor een dag, niet voor 10 uur of zo iets. Bovendien werkt binnen het uren en datum ruilsysteem ook het tientallige ruilen. Ook verschilt vaak het aantal waarbij men ruilt.
  • Zo zeg je 24 uur is 1 dag en niet 24 uur ruil je in voor 1 dag.
  • Je zegt een week heeft 7 dagen en niet 7 dage ruil je in voor 1 week.

8.5.1 Past klokkijken bij ruilen?

Een goed tweede ruilsysteem voor kinderen uit groep 4 is het klokkijken. Dat staat immers ook op het programma. Maar belangrijk is dat kinderen hoeveelheden leren ruilen. Bij tientallen zijn dat toevallig tientallen en bij klokkijken zijn dat toevallig minuten en uren. Dat staat meestal ook op het programma in groep 4.
  60 groene grastaartpuntjes mag je ruilen voor 1 blauwe slagroompunt

Afbeelding 110.
©
Gebruik voor niet
commerciële
doelen en met
bronvermelding
toegestaan.

Je kunt daarbij voortbouwen op het leren van aantal met de taarten met 12 punten uit groep 2
(§ 3.3

Klik voor meer over: taartenbakker in ruilen

).
Nu is het ruilen van tienen al moeilijk. Het klokkijken is een flinke rekenkundige en taalkundige hutspot (
noot 4
De woorden die horen bij het analoge klokkijken zijn lastig.
  • Klokkijken kent het een analoge en een digitale afbeelding, ieder met zijn eigen woorden.
  • Analoog klokkijken is deels tientallig inwisselen, bijvoorbeeld (9 minuten + 9 minuten = 18 minuten), deels 60-tallig (60 minuten=1 uur).
  • Net als bij de getallenlijn is niet duidelijk of de getallen aantalgetallen zijn (We hebben 2 hele uren gehad of volgordegetallen (Dit is het tweede uur.
  • Die analoge tijd-taal heeft een wat eigenzinnige structuur.
    • Bij de analoge woorden staan de minuten vóór de uren (kwart over vier). Ook wanneer het minuten zijn die ná het hele uur komen. Digitaal komen de minuten altijd ná de uren twaalf uur vijftig.
    • Vijftien heet ook kwart en 30 heet ook half. Bij half een moet je het half aftrekken. Bij vijftien moet je het eerst genoemde aantal weer optellen.
    • Verder zijn er bij de analoge telwooren van alle uren twee. Ze hebben dezelfde naam en schrijfwijze maar met een andere betekenis. Er is een 12 uur in de middag en een 12 uur in de avond. Die 12 is soms 24, soms 0, soms XII en soms staat er helemaal niets op de wijzerplaat.
). Misschien is het goed om aanvankelijk alleen de military tijdtelwoorden te gebruiken (
noot 5
Het Amerikaanse leger geeft tijden niet aan met a.m. en p.m. zoals in het Engels gebruikelijk. Dat leidde tot teveel dodelijke vergissingen. Military time gebruikt de 24-uur aanduiding.
). Komt het kind met: Ik moet altijd om half negen naar bed. Dan is het antwoord: Heel goed Leila. Het is 9:30 maar ze noemen het meestal half acht. Je weet: Een woord is niet altijd wat je .... 		Daarna kun je op dezelfde wijze ruilen uitbouwen naar dagen, weken, maanden en jaren. Je bent dan gewoon aan het veldendenken
§ 10.6.4.

Klik voor meer over: veldendenken in ruilen

Of Ruilen bij 60 zoals bij de tijd. Of Heel ingewikkeld ruilen zoals bij de kalender. Of ruilen van breuken: vier kwarten is een hele. En dan breuken met een breuken-lusabacus uitleggen.

8.5.2 Passen spelletjes bij ruilen

Er zijn spelletjes waarbij je hoeveelheden ruilt. Bij al die spelletjes kun je een variant maken met getallen. Zo kun je getalkwartetten (Mag ik van jou van de vijftigers de 8. Nu heb ik de vijftigers compleet en ruil die voor .... Of gewoon zelf verzonnen: Vijf huizen is een hotel zoals bij Monopolie. Of: Is 10 voetbalplaatjes voor één voetbalplaatje van Cruijf een goede deal?

Voetnoten:
1)List, bedrog en intimidatiepsychologie
http://www.humanefficiency.nl/psychologie/list_bedrog_intimidatie.php

2)Kinderen volgen meestal spontaan de leesrichting van links naar rechts. Dus eerst 100-den optellen, dan 10-en en als laatste de 1-en optellen. Wanneer de opgave over 10 gaat dan begint men in Nederland rechts, bij de eenheden. Je kunt ervoor kiezen het aanvankelijk voor het kind eenvoudig te houden. Je laat het kind beginnen waar het wil. Lopen de handelingen goed ga dan over op rechts bij de 1-en beginnen. Dat doe je natuurlijk voor je met ruilen begint.

3)Rekenen in het land van Okt
https://wijzeroverdebasisschool.nl/uitleg/rekenen-in-het-land-van-okt

4) De woorden die horen bij het analoge klokkijken zijn lastig.
  • Klokkijken kent het een analoge en een digitale afbeelding, ieder met zijn eigen woorden.
  • Analoog klokkijken is deels tientallig inwisselen, bijvoorbeeld (9 minuten + 9 minuten = 18 minuten), deels 60-tallig (60 minuten=1 uur).
  • Net als bij de getallenlijn is niet duidelijk of de getallen aantalgetallen zijn (We hebben 2 hele uren gehad of volgordegetallen (Dit is het tweede uur.
  • Die analoge tijd-taal heeft een wat eigenzinnige structuur.
    • Bij de analoge woorden staan de minuten vóór de uren (kwart over vier). Ook wanneer het minuten zijn die ná het hele uur komen. Digitaal komen de minuten altijd ná de uren twaalf uur vijftig.
    • Vijftien heet ook kwart en 30 heet ook half. Bij half een moet je het half aftrekken. Bij vijftien moet je het eerst genoemde aantal weer optellen.
    • Verder zijn er bij de analoge telwooren van alle uren twee. Ze hebben dezelfde naam en schrijfwijze maar met een andere betekenis. Er is een 12 uur in de middag en een 12 uur in de avond. Die 12 is soms 24, soms 0, soms XII en soms staat er helemaal niets op de wijzerplaat.

5)Het Amerikaanse leger geeft tijden niet aan met a.m. en p.m. zoals in het Engels gebruikelijk. Dat leidde tot teveel dodelijke vergissingen. Military time gebruikt de 24-uur aanduiding.


 Andere hoofdstukken  

0 De hoek waar deze wind uit waait



Meer: klik en ga naar: De hoek waar deze wind uit waait

www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwoord.php
1 Reken­voor­waarden

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen? Leren sommige hoeveeheidswoorden aantalbegrip of is het een taaltombola?

Meer: klik en ga naar: Reken­voor­waarden

www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwaarden.php
2 Tellend optellen

Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes. Kan tellend op je vingers optellen ooit denkend optellen worden?

Meer: klik en ga naar: Tellend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/tellend_optellen.php
3 Kijkend optellen

Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is toch wel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan. De ogen kunnen veel beter optellen.

Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/kijkend_optellen.php
4 Denkend optellen

Optellen tot 10 maar niet met je vingers, niet met je ogen maar door te redeneren met de eigenschappen van de getallen.

Meer: klik en ga naar: Denkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/denkend_optellen.php
5 Nul

Nul, het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

Meer: klik en ga naar: Nul

www.humanefficiency.nl/rekenen/nul.php
6 Plaatswaarde

Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen.

Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde

www.humanefficiency.nl/rekenen/plaatswaarde.php
7 Breken om 10

Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Vaak splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder tellen. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken om 10 leren rekenen? Moet je dat breken om 10 wel onderwijzen?

Meer: klik en ga naar: Breken om 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/breken.php
8 Ruilen van 10

Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de kindrealiteit.

Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/ruilen.php
9 Getal­kennis

Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona.

Meer: klik en ga naar: Getal­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/getal_kennis.php
10 Psychologie­kennis

Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen? En hoe kan je met getallen kinderen leren denken en meer?

Meer: klik en ga naar: Psychologie­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/psychologie_kennis.php
11 Statistieken

De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’).

Meer: klik en ga naar: Statistieken

www.humanefficiency.nl/rekenen/statistieken.php
12 Literatuur



Meer: klik en ga naar: Literatuur

www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur_final.php
13 Index



Meer: klik en ga naar: Index

www.humanefficiency.nl/rekenen/index_tot_alfabetisch.php


Leonard Verhoef
Leonard Verhoef: van onderzoeker van het denken naar ontwerper voor het denken in het dagelijks leven nu én in de toekomst. Ontwerpen voor computer- en webgebruikers, voor rekenmeesters en betalers, voor reizigers, vluchters en professionals op land-, spoor-, weg- en waterwegen.

Blijven onze superhersenen een limbische regelsslaaf in dienst van de cultuur (techniek, onderwijs en overheid)? Of gaat de prefrontale cortex heersen en maakt zijn supervermogen de dienst uit?
More, click and go to CV: Leonard Verhoef


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.