';
Automatiseren met telraam en getallenlijn

Leonard Verhoef

Contact
   



1 Pasvorm voor de vingers

Concrete materialen zijn belangrijk bij het leren rekenen. De materialen moeten de vingers wel goed passen om vingerfouten te voorkomen. Dit geldt vooral voor zevenjarigen die nog geen goede fijne motoriek hebben zoals in afbeelding 1 te zien is. De handeling moet verder snel uitgevoerd kunnen worden zodat deze verkortbaar is tot een mentale handeling. Hoe zit dat met vingervriendelijkheid van telramen?

Fijne motoriek in groep 3

Afbeelding 1.

1.1 Grip voor de vingertoppen

De gebruikelijke telramen hebben gladde ronde kralen. Dat is prettig voor kralen om je nek. Maar de vingers hebben minder grip op een ronde en gladde kraal. 'Grip' is een bekend probleem in de ontwerppsychologie. Bij de komst van personal computers ontwierpen ergonomen het toetsenbord (afb. 2). Dat toetsenbord was zeer hand-, vinger- en vingertopvriendelijk door holle, ruwe oppervlakken en een goede hoorbare en voelbare feedback (Verhoef, 1984). Blindtypers konden daar 600 aanslagen per minuut mee halen. De toetsen van de huidige laptops zijn meer vlakke afgesleten Belgische kasseien (afb. 3).

Een hand-, vinger en vingertopvriendelijk toetsenbord

Afbeelding 2.



Designtoetsenbord

Afbeelding 3.
Telramen voor professionals hebben grip doordat de kralen geen gladde ballen zijn maar schijven met een wat scherpe rand (afb. 4). Dat geeft meer grip. Ook is de af te leggen afstand voor de vinger tussen de kralen daardoor kleiner. Je kunt dan meer kralen met één geautomatiseerd tikje op hun plaats schieten. Door de schijfvorm passen er bovendien meer kralen in het oogfixatie­veld.

Vingervriendelijk telraam voor professionals

Afbeelding 4.

1.2 Spiervriendelijk

De Nederlandse rekenmeester is een lijndenker. In de klas steekt hij voor het aantal 1 de eerste vinger van een rij vingers op: een duim of een pink. Maar in de kroeg bestelt hij één pils als een handige Chinees (afb. 5). Steek maar eens spontaan 3 vingers op ( noot 1) Niet het oog en niet de getallenrij bepalen het natuurlijke vingerbeeld maar de vingerspieren.



Chinese vingerbeelden gaan uit van de motoriek

Afbeelding 5.

Er is meer spieronvriendelijkheid.

Ook de (op)telhandeling wordt een moto­rische reflex. Vooral ook omdat het motorische beeld een rij huppels is zonder markante punten. Als je goed kijk zie je die reflex bij kinderen. Toon je een som dan bewegen de vingers in een reflex, het kind kijkt zeer kort naar zijn vingers en snel komt er een antwoord. De telreflex kan zo snel kan zijn dat jij en de toets aan de reactietijd niet zien dat het kind telt. Niets aan de hand is dan de conclusie. Als je dus gaat oefenen, oefenen, oefenen, zoals men wel adviseert, dan ontwikkelt het kind dus een goede motorische reflex maar geen mentaal inzicht in de structuur van de getallen. Motorische reflexen zijn moeilijk af te leren. Ga maar eens in een auto rijden waar de rem- en het gas­pedaal verwisseld zijn. Dat is dodelijk. Het kind mist met dat vingertellen ook de lessen die leren hoe je met getalstructuren kunt optellen. Dat is dodelijk. Voor het mentaal optellen met aantalstructuren. De ongestructureerde repeterende motorische volgorde telhandelingen komen verder niet overeen met de te leren abstracte mentale handelingen met aantalgetallen.

Sommige creatieve vingertellers proberen nog structuur aan te brengen door vierkantjes op hun bovenbeen te tikken. Heel slim. Dat voorkomt telfouten en de juf ziet het vingertellen niet. Maar het is nog steeds onverkortbaar motorisch tellen. En het kind. Tja, niets aan de hand. Dat zit twee jaar lang te vingertellen. Niet echt uitdagend zou je zeggen. Tot de sommen boven de 20 komen .... dan is er ineens wel een uitdaging.

2 Pasvorm voor de ogen

Niet alleen de vingers zijn nodig voor tellen. Ook de ogen doen mee. Wat vinden die van lijnmaterialen als het telraam en de getallenlijn?

2.1 Het oogfixatieveld

Het oogfixatieveld is een cirkel, een beetje ovaal (15°). Dat veld heeft veel receptoren en dient voor nauwkeurige identificatie (afb. 6). Zoogdieren zijn namelijk al miljoenen jaren geen brievenbuskijkers maar patrijspoortkijkers. Brievenbuskijken is namelijk dodelijk. Een brievenbuskijker ziet een tijger die rechts onder nadert later aankomen. Ook is in afbeelding 6 te zien dat lijnen met geschreven teksten de ogen eigenlijk niet zo goed passen.

Waargenomen scherpte van plaatsen in het oogfixatieveld
Het oog fixeert op 10. Hoe hoger het cijfer hoe gevoeliger die plek op het netvlies.

- Lichtrood: Reeds gelezen maar nog zichtbare tekst.
- Groen: Tekst die je nu leest.
- Donkerrood: Nog te lezen maar wel zichtbare tekst.

Afbeelding 6.
Het effect van essentiële informatie die buiten het oogfixatieveld ligt, is te zien in de onmogelijke afbeelding 7. Afbeelding 8 toont hetzelfde figuur maar dan verkleint en wel zo dat alle noodzakelijke informatie wél in het oogfixatieveld past. Dan is onmiddellijk wél te zien waarom afbeelding 7 niet kan.

Waarom kun je niet zien dat dit figuur niet kan?

Afbeelding 7.

Waarom kun je wél zien dat dit figuur niet kan?

Afbeelding 8.
Dat alles geldt ook voor getallen.
Cognitief psychologen hebben veel onderzoek gedaan naar de vraag: Hoe toon je twee getallen die bij elkaar horen? Je kunt ze in de leesrichting zetten of horizontaal onder elkaar. Diagonaal zou ook kunnen. En natuurlijk combinaties van dat alles (afb.9).

Zijn de twee getallen gelijk?

Afbeelding 9.
De vraag Waar zet je de twee getallen neer? leverde veel wetenschappelijke onderzoeken en publicaties op. Met één psychologische klap beëindigde Woodward (1972)het debat: Maakt niet uit. Bepalend is de afstand tot het oogfixatiepunt. Vlak bij elkaar, bij het oogfixatiepunt, hoe dan ook, leidt tot snellere en foutlozer performance dan uit elkaar.
Datzelfde psychologische gemillimeter geldt natuurlijk ook bij rekenmaterialen zoals in afbeelding 10 te zien is. Je moet bij die afbeelding dan overigens anders kijken dan de evolutie je laat kijken. Kan je dat niet dan moet je de noot maar lezen.


Een 2x(2x5) telraam

Afbeelding 10.
noot 3
Nog een rekenvoorbeeld. De groene bal die bovenin afbeelding 11 ligt, is groot, ligt alleen en is dus markant. Maar hij maar heeft wel afstand tot het oogfixatiepunt. Meer afstand dan de groene ballen in afbeelding 12 die vrijwel op het oogfixatiepunt liggen. Het aantal goede antwoorden neemt door dat psychologisch gemillimeter bij afbeelding 12 toe en de reactietijd neemt af. In dit geval is de excentrische bal vanuit het fixatiepunt nog wel te zien. Bij een telraam zijn die afstanden groter en de elementen zijn kleiner. Ook is het beeld bij lijnafbeeldingen minder markant. Bij een getallenlijn zijn de verschillen in kritische details bovendien kleiner. Het verschil tussen het cijfer 1 en 7 is kleiner dan het verschil tussen wel of geen bal. Daardoor zal de performance bij de getallenlijn dus nog minder zijn dan de performance van de excentrische bal van afbeelding 11.

Eén groene staat niet in het centrum (excentrisch, niet in het oogfixatieveld)

Afbeelding 11.


De 3 groene ballen staan centrisch; midden in het oogfixatieveld


Afbeelding 12.
Tabel 1. Hoeveel ballen zijn er?
Excentrisch: 69% goed, 9.3 s., 338 opg.,62 kk. gr: 3&4.
Centrisch:79% goed, 8.2 s., 342 opg.,62 kk. gr: 3&4.

2.2 Markant

De ogen en de hersenen zijn al miljoenen jaren zeer geïnteresseerd in afwijkingen van patronen. Anders dan normaal betekent: mogelijk dodelijk gevaar. Het effect van minder markant blijkt uit teksten in hoofdletters. Woorden met hoofdletters geven saaie rechthoekige patronen. Je kunt daardoor minder woorden per oogfixatie lezen. Stokken en staarten in woorden maken het woordpatroon nog enigszins markant. Door dit gemillimeter leest tekst met kleine letters zo'n 10% sneller dan tekst zonder uitsteeksels (hoofdletters) (Tullis, 1983). Ook het tekstbegrip neemt dan toe en de belasting van het werkgeheugen neemt af. Professionele tellers weten dat je met een markante ordening zónder tellen een aantal sneller en foutlozer kunt bepalen (afb. 13) dan met een rij.

Dat materiaal heeft eigenlijk maar twee markante punten: het begin en het eind. Maar die punten zijn bij het rekenen zelf vrijwel niet nodig. De cijfers 5 en zeker 10 en die aantallen zijn op de getallenlijn niet direct binnen het oogfixatieveld identificeerbaar. Dat is ook te zien in afbeelding 10. Je moet wéten dat het er 5 zijn. Een rij van 5 is dus géén concreet aantal maar een symbool dat staat voor het aantal 5.

Hoeveel turven?

Afbeelding 13.

3 Pasvorm voor de taal

De ogen kunnen op de 1d-getallenlijn verschillen tussen aantallen boven 5 dus niet zien. Die aantallen zijn daardoor ook niet concreet te verwoorden anders dan als waarschijnlijk een iets langere lijn. Bij 2d-patronen kun je wel een afbeelding van het aanta kiezen die patronen die concreet verwoordbaar is. Zo kun je het aantal 4 concreet verwoorden als een vierkant, het aantal 5 als een kruis, het aantal 6 als een fles (dobbelsteen5 patroon met daar een stip boven) en 8 als twee vierkanten. Kinderen doen dat ook spontaan.

4 Pasvorm voor het werkgeheugen

4.1 Een chaotisch vergiet

De ogen hebben een oogfixatieveld: de visuele focus. Het werkgeheugen is ook zo iets. Het werkgeheugen is de mentale focus van het geheugen. Onhandig is dat het werkgeheugen eigenlijk een nogal chaotisch vergiet is. En ook nog klein. Er kunnen zo'n zeven elementen in zegt men wel. Blind valt nog wel te leven. Als het werkgeheugen niet meer werkt dan is leven wel erg moeilijk. Dat blijkt wel uit ziekten die het werkgeheugen aantasten.

Het kleine en tamelijk onbeheersbare werkgeheugen koppelt wat het oogfixatieveld, het langetermijngeheugen en vooral de emotie er in stort. Het werkgeheugen is daarmee de plek waar het eigenlijke denken en rekenen plaatsvindt concluderen Coolidge & Wynn (2018) in een nogal uitvoerige en grondige neurologische en antropologische studie. In het werkgeheugen openbaart zich dan: inzicht, een geniaal idee, onzin of een grap. Baddeley had in 1987 het werkgeheugen al fors op de psychologische kaart gezet. Deze psychologie sluit aan bij het onderzoek naar de relatie tussen werkgeheugen en rekenen. Duidelijke taal allemaal. Althans, de boodschap dat het werkgeheugen belangrijk is. Maar het werkgeheugen staat bij het rekenen nog niet zo goed op de kaart (LeFevre et al., 2005). Ook in 2024 niet. Wat je nu precies wél moet doen en vooral wat je niet moet doen, dat is niet zo duidelijk in de rekenliteratuur.

4.2 Tellendoptellen en het werkgeheugen

Wat betekent het werkgeheugen concreet voor het tellend optellen? Bij het tellend optellen moet in het werkgeheugen: de twee termen van de opgave en de opdracht: optellen. Verder is nodig de telwoordenrij en welk telwoord je gehad hebt. Inmiddels begint het kleine chaotische werkgeheugen wel vol te raken. Vooral als het gaat om 'rekenzwakken'. Eventuele stress verkleint het werkgeheugen meestal ook wel flink. Het vingertellen belast dus het werkgeheugen. Goed nieuws is dat een strakke rij kralen of getallen kennelijk iets minder belasting van het werkgeheugen geven dan uit het hoofd tellen en op de vingers tellen. Optellen met een strakke steun zoals in afbeelding 14 geeft 4% meer goede antwoorden dan optellen uit het hoofd of met de vingers. Je ziet eenheden minder gemakkelijk over het hoofd bij het tellen uit het hoofd of op de vingers. Maar er is nog steeds een flinke belasting van het werkgeheugen.

Met een strakke rij maak je minder telfouten dan uit het hoofd of met de vingers

Afbeelding 14.
Met externe steun zijn er minder werkgeheugenfouten
Vingers of u.h.h.: 86% goed, 8 s., 1.3% weet niets, 2266 opg.,42kk. gr. 3&4.
Balsteun: 90% goed, 8 s., 0.2% weet niets, 520 opg.,9kk. gr. 3&4.
De belasting die het tellen geeft op het werkgeheugen kun je ook zien bij opgaven met een bepaalde systematiek (afb 15). Tellers merken die systematiek niet op omdat de uitkomsten van de vorige opgaven niet meer in het werkgeheugen zitten.

Tellers zien de systematiek van de uitkomsten niet

Afbeelding 15.

Naar dit werkblad.

5 Pasvorm voor de getallen

5.1 Pasvorm van telraam en getallenlijn

Op het telraam en de getallenlijn kun je goed volgordegetallen aftellen. De vraag is wel een beetje of dat lineaire motorisch Iene, miene, mutte huppelen wel denken en rekenen is. Het echte rekenen doe je niet met volgordegetallen maar met de structuur van aantalgetallen. Maar lijnmiddelen kunnen de structuur van aantalgetallen minder goed tonen.

5.2 Pasvorm van vingerbeelden

Met vingers kun je aantalstructuren rond 5 goed tonen. Maar dan moet je de opgavestructuur niet mét de vingers tonen maar óp de vijftallige vingerstructuur (afb. 16). De afzonderlijke termen, de uitkomst en zelfs de splitsing rond 5 (4+3=4+1+2) zijn dan tegelijk in het oogfixatieveld aanwezig en identificeerbaar. Dus geen werkgeheugenbelasting, geen getel en geen interpretatieproblemen. Duidelijk zichtbaar is dat één term over de hand heen gaat. Verder kunnen kinderen vast wennen aan het splitsen van getallen om het optellen te vereenvoudigen, bijvoorbeeld bij het over 10 gaan. Oh ja, als je je handen zoals in 16 aan je buur toont vraag dan even: Welke opgave is dit? Je hebt dan namelijk een 'omdraaier'. En de volgende vraag is natuurlijk: Welke som zie jij buur? en Wat is de uitkomst van jouw som?

4+3=7, want je moet er 2 aan de andere hand geven.

Afbeelding 16.


Vingerbeelden tonen wel vooral veel hand en minder het aantal zoals in afbeelding 17 te zien is. Ook is het niet handig een tientallig stelsel te tonen met een vijftallige concreet systtem. Juist tientalligheid met onder andere de tienvoudnul en zijn plaats tussen de cijfers wordt niet geconcretiseerd.

Vijftallige concretisering voor een tientallig systeem.

Afbeelding 17.
Lijnmiddelen zoals de getallenlijn en de vingerbeelden komen visueel noch motorisch weinig overeen met de som in de vorm van een formule. Je zou de termen van de som er op de getallenlijn wel bij kunnen zetten maar dan krijg je wel een abstracte cijferbrij als in afbeelding 19. In afbeelding 18 vallen de concrete som met ballen som en de som als formule goed samen in het oogfixatieveld.

Aantal en formule gelijk zichtbaar in het oogfixatieveld

Afbeelding 18.

Naar dit werkblad.

5.3 Pasvorm voor tientallen

Helemaal echt rekenen en denken wordt het bovendien bij tientalligheid met name bij het zeer lastige splitsen om 10 (8+5=8+2+3). Dan wordt het pas echt moeilijk. Voor het rekenonderwijs dus. Afbeelding 19 toont hoe je dat splitsen om 10 met de getallenlijn doet. Het eerste dat een psycholoog bij afbeelding 18 opvalt, is dat er pijlen gebruikt worden. Daar weet de psychologie inmiddels wel wat van. Het gebruik van pijlen is riskant (Verhoef, 2014).

Met pijlen over 10 gaan

Afbeelding 19.
Dat is dan weer zo'n onwelgevallige psychologische conclusie. Maar geef volwassenen maar eens een verkeersbordencursus, daarna een examen en na het slagen toestemming om te gaan autorijden. In de praktijk zien die volwassen gediplomeerde automobilisten de geleerde borden met pijlen regelmatig in de praktijk. Maar het blijkt dan dat 78% van die gediplomeerde ervaren automobilisten het bord met pijlen van afbeelding 20 niet begrijpt (Verhoef, 2017). Dat was ook het slechte nieuws van het Nationale Verkeersexamen van de ANWB.Liever geen pijlen voor automobilisten zou je dus zeggen.


Wat betekent dit bord?

Afbeelding 20.

22% goed
n: 67
Vaak kan het overigens ook zonder pijlen. Geef je proefpersonen een bord dat psychologisch uitgemillimeterd is (afb. 21) dan krijg je zónder cursus, zónder examen en zónder praktijkervaring meer goede antwoorden dan met het gebruikelijke bord mét cursus, mét examen en mét ervaring kinderen. Kortom: Het is heel begrijpelijk dat de 'rekenzwakke' Leila met afbeelding 18 niet kiest voor de pijlen maar wijselijk denkt: Bekijk jij het even. en vervolgens kiest voor de methode die de ervaren teller goed kent en die jij niet wilt: tellen.

Wat betekent dit bord?

Afbeelding 21.

93% goed  n: 15

6 Pasvorm voor het denken

Misschien wat verwarrend allemaal: telramen, vingerbeelden en getallenlijnen die de getallen, de vingers, de ogen, het werkgeheugen en het denken niet passen. En kinderen die vijf nieuwe woorden per dag leren maar ze krijgen 4+3=7 er maar niet in. Hoe komt dat toch?

De hersenen zijn vrijer en slimmer dan de ogen. De hersenen denken dan ook anders dan de ogen kijken (2d). De hersenen zijn een verzameling van 80 miljard cellen waarbij je op elk kruispunt zo ongeveer direct naar elke andere cel toe kunt. Je kunt je niet voorstellen dat jouw hersenen dat doen dus ordenen simpelen de wereld maar op lijntjes. Ingewikkeld die lijntjes, voor de hersenen dan. Dat nd-denen smaakte naar meer. Dat meer-dimensionaal-denken sloeg ook toe op abstracte domeinen als de taal. Een rij geschreven woorden is wel 1d maar de niet-geschreven taal niet. Er zijn dimensies van intonatie, gebaren met handen en gezicht, 'betekenisloze' klanken (euh, euh, volume, klemtoon en woordkeus (framing). We navigeren in niet alleen in een visuele 2d- en een fysieke 3d-ruimte maar ook in een niet-fysieke abstracte ruimten als de taal. De hersenen lijken dus gemaakt voor de abstracte n-dimensionale getallen zou je zeggen. Sterker nog, de hersenen hebben die getallen zelf bedacht. Maar waarom kunnen kinderen met zo'n super slim neurologische navigatie tool niet door de getallen tot 10 navigeren? De paradoxale en onwelgevallige conclusie lijkt dan te zijn dat de slimme hersencellen gedoemd zijn te verdwalen op het simpele telraam en de simpele getallenlijn. En de kinderen lijken gedoemd terug te moeten vallen op het navigeren met 1d-lijnroutes van vóór de homo erectus. Pakweg 1,8 miljoen jaar geleden.

7 Wat nu?

Die frictie tussen tellen en mensen is overigens begrijpelijk. Dat tellen is niet zo relevant voor de hoofdtaak van de mens: survival. Natuurvolken en zoogdieren tellen volgens ANS (approximate number system): Een, twee, drie, veel. Vier aanstormende wolven is evenveel als vijf: Wegwezen! Maar ja, stamhoofden wilden belasting heffen. Priesters wilden weten wanneer het precies zonnewende is. Ja, dan moet je gaan tellen. Zou je die evolutionaire directe interpretatie Wegwezen! nu ook kunnen toepassen op het leren automatiseren van opgaven onder 10? Ja, dat kan. De eerste afslag die je dan moet nemen staat in het volgend verhaal: De leeslessen voor de rekenmeester



Noten



Noot: 1
Je steekt dan 3 vingers op en je slaat de duim en de pink over. Je hebt dan bij 4+3 geen rij met aaneensluitende vingers.

Noot: 2
Je ziet zonder tellen niet dat de aantallen kralen niet kloppen.

Literatuur

ANWB, (2015) Nationaal verkeersexamen.
https://www.anwb.nl/verkeer/nieuws/nederland/2015/september/uitslag-nationaal-kampioen-verkeersexamen

Baddeley, A., (1987). Working memory. Oxford: Oxford University Press.

Campbell, J. (2005). Handbook of mathematical cognition. New York and Hove: Psychological Press

Coolidge, F. & Wynn, T., (2018). The Rise of Homo sapiens, The Evolution of Modern Thinking. Oxford: University Press.

De Vita, Chiara, Costa, H.M., Tomasette, C. & Passolunghi, M.C. (2021). The contributions of working memory domains and processes to early mathematical knowledge between preschool and first grade.Psychological Research https://doi.org/10.1007/s00426-021-01496-4

Dudchenko, P.A., (2010). Why People Get Lost. The psychology and neuroscience of spatial cognition. Oxford: University Press.

Verhoef, L.W.M. (1984). Vinger-vriendelijke toetsen Kantoor en efficiëncy. Vol. 23, no 3, pag. 17-25.
https://www.humanefficiency.nl/gui/vinger_vriendelijke_toetsenborden.php?b=hauttel

LeFevre, J., DeStefano, D., Coleman, B. & Shanaham, T., (2005). Mathematical Cognition and Working Memory. In: Campbell: Handbook of mathematical cognition.

Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.

Tullis, T.S. (1983) The Formatting of Alphanumeric Displays: A Review and Analysis. Human Factors, Vol.25, no 6, pag. 657-682.

Verhoef, L.W.M. (2014). Plaatsbepaling, hoe teken je pijlen en richtingen? Utrecht: Human Efficiency.
https://www.humanefficiency.nl/icon_design/richting.php?b=hauttel

Verhoef, L.W.M. (2017). Is a word grammar applicable for a visual sign language? PLAIN 2017 Conference: Clearer language, greater efficiency and effectiveness. September 17-20, Dublin, Ireland.
http://www.humanefficiency.nl/icon_design/grammar_graphics_signs.php?b=hauttel


Meer psychologie voor getallen en leren rekenen

';
Automatiseren onder 10
Automatiseren met telraam en getallenlijn
De leeslessen voor de rekenmeester
Automatiseren met dubbele lijnen
De aantalbeelden uit het verdomhoekje
Lijnen met getallen of bakken met ballen ( werkbladen)
Waarom blijven kinderen op hun vingers tellen?
Rekenonderwijs
Leren rekenen met de computer
Het algoritme leren of leren algoritmiseren
Leren rekenen en therapie in de supermarkt
Getallen tonen aan mensen
Presenting numbers to teachers, train drivers and travellers
Past and future of the presentation of quantitative data
Vertrektijd is passé leve de afteltijd
Rij- en rusttijden voor vrachtwagenchauffeurs

Contact

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.

Naar top.