Hoofdstuk 2 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 dec. 2022.



   


tellend_optellen

  2 Tellend optellen  

 

 Door tellen blijven kinderen tellen

Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes.



  2.1 Wat is Tellend optellen?  

Tellend optellen is eenvoudig. Zou je denken. Gewoon iets als Iene, miene, mutte. Maar die eenvoud zou wel eens het probleem kunnen zijn.



  2.2 Hoe toon je Tellend optellen

  


2.2.1 Passen blokjes en vingers het tellend optellen?

De wijze waarop het onderwijs kinderen leert optellen is ooit beschreven

1) Past aftellen
De eerste fase is aftellen met blokjes of vingers. Het aftellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel. Het kind telt beide termen af (afb. 3).

Aftellen: beide termen tellen

Afbeelding 3.

2) Past bijtellen
De volgende verkorting van de optelhandeling is de tweede term direct bij de eerste term tellen (afb. 4).

sommen uitrekenen door bijtellen leren rekenen optellen aftrekken basisschool
Bijtellen: tweede term
direct bij de
eerste term tellen

Afbeelding 4.


2.2.2 Passen vingerbeelden het tellend optellen?

Je kunt tellend optellen ook met vingerbeelden.
  • Met twee handen kun je tot 10 tellend optellen. De vingers hebben een goede 5+5=10 structuur. Je kunt met de vingers de lastige opgave 5+4 dus goed afbeelden. Ook kan het kind goed zien dat 5+4 gewoon 10-1 is (afb. 5).
  • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.

Vingerbeeld met het aantalgetal 9

Afbeelding 5.
  • De vingerbeelden sluiten verder aan bij het tellend optellen uit de vorige fase.
  • Om het goede vingerbeeld te krijgen moet het kind de vingers één voor één in de goede stand zetten. Dat is een motorische telhandeling. Dat kost tijd, geeft werk­geheugen­belasting.
  • Onhandig is dat de ogen iets anders naar hersenen seinen dan het aantal. De ogen seinen in eerste instantie naar de hersenen het hele beeld: Ah, een hand. Vervolgens misschien nog: Wat gek, een vinger wijkt af. Dan concluderen de hérsenen: Ah, ik weet het nog (langetermijngeheugen), het oog ziet er 5 maar er wordt 4 bedoeld. Er zijn visuele én geheugen­handelingen nodig alleen al om het aantal van de termen te bepalen. Maar het probleem is niet Wat is het aantal van de eerste term. Bij deze visuele en mentale handelingen kunnen verder waarneem- en telfouten ontstaan. De uitkomst is dan wel fout maar er is geen rékenfout gemaakt. Je kunt de nadelen van vingerbeelden verminderen door de vingers op de tafel te leggen. De vingers die niet meedoen zijn dan niet zichtbaar.

    Al met al is het voor het kind dan eenvoudiger mentaal uit te gaan van vijf vingers én er dan aan te denken dat je die horizontale duim wel ziet maar moet aftrekken omdat hij horizontaal staat.
  • Voor het waarnemen van een vingerbeeld is nauwkeurige waarneming van details nodig. De evolutie heeft gekozen voor onnauwkeurige waarneming. Je kunt de waarneming vereenvoudigen door gekleurde vingerhoedjes op de vingers te plaatsen. Maar dat is dan weer een uitvoerige materiële handeling. Een echt (2D) beeld is een vingerbeeld verder niet. Het is meer een 1D-vinger-lijn. Net als een telraam dus.
  • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.


2.2.3 Past een 2x(2x5) telraam het tellend optellen?

Het telraam is een gebruikelijk middel om te leren rekenen. Wat kan de psychologie daar over zeggen?
  • Het schuiven met kralen is een materialisering van tellen. Rekenkundig bepaal je zo het volgordegetal. Tellen kunnen kinderen wel en tellend (op de vingers) optellen wil je niet. Je wilt rekenend optellen met aantal­getallen (§ 3).
  • De 1-en en de 10-en staan op het telraam horizontaal. In de getallen staan de cijfers voor de 1-en en 10-en náást elkaar. Bij 12: links 1-tien en rechts de twee 1-en.

Een 2x(2x5) telraam

Afbeelding 6.
  • De termen van de opgave zijn op het telraam uit elkaar getrokken waardoor de relatie tussen de aantalgetallen van de optelling niet meer tegelijk in het oogfixatieveld zichtbaar zijn. Het oog kan de opgave niet in zijn geheel zien ).
  • De kralen van een telraam staan in een rechte lijn in het gelid op een starre staaf. De staven op hun beurt staan strak in het gelid in een raam. Door de strakheid kunnen deze middelen zich niet voegen naar structuren die in de getallen zitten en naar de (veld)patroonwensen van de ogen en de hersenen ). De ogen zien daarom ook niet dat er wat mis is met het telraam in afbeelding (6).
  • Het schuiven van kralen vraagt tijd en belast daardoor het werkgeheugen.
  • Er zijn meer oogsprongen nodig en wat dan gezien wordt moet in het werkgeheugen komen. Dat geeft ook belasting van het werkgeheugen ). Het kind kan het overzicht van de uit te voeren handelingen daardoor kwijt raken. Die teltijd neemt toe bij grotere getallen. En als die getallen over 10 gaan dan maakt tientalligheid het nog moeilijker. Het telraam van afbeelding 6toont tientalligheid niet.
  • Tja, en dan het woord telraam. Voor de timmerman van het telraam is een telraam jargon voor een kader waar iets in moet, bijvoorbeeld een raam. Voor het kind is een raam een ruit waar je door naar buiten kijkt. Voor de rekenmeester is tellen iets dat hij niet wil. Je kunt zeggen rekenrek maar op een rekenrek kun je nog steeds alleen tellend optellen en niet rekenend optellen.
De conclusie van ervaren leerkrachten is, dat bij gebruik van telramen, een uitgebalan­ceerde leerlijn dringend gewenst is Maar ja, het zou ook kunnen zijn dat telramen niet geschikt zijn en dat telramen mogelijk het tellend blijven optellen veroorzaken. Het zijn immers telramen.

Dus ...
Met blokjes, vingers, vingerbeelden en telramen kun je het volgordegetal bepalen. Het laatste volgordegetal is dan het aantal­(getal). Dat gaat uitstekend. Voor het kind is er ook niets aan de hand. Er is veel aan de hand. Heel veel.
  • Leren tellen is voor kinderen geen probleem. Het probleem is eigenlijk dat zij leren tellen. Vervolgens blijven ze wel tot in groep 5 opgave tellend uitrekenen. Je wilt niet tellend optellen perfectioneren maar rekenend optellen leren.
  • Verwissel de rem en het gaspedaal maar eens. Kinderen rekenen tellend honderden opgaven uit. Tellen is een eenvoudige motorische handeling. Eenvoudige motorische handelingen worden steeds sneller en op den duur geautomatiseerd uitgevoerd. Net als het remmen in een auto. Als het kind veel sommen tellend uitrekent dan wordt de som een stimulus die de motorische telreflex opwekt. Die motorische reflex zit dan rekenend optellen steeds meer in de weg. Het téllen wordt geautomatiseerd, niet het uitrékenen. Krijg die er maar eens uit.
  • Als teller heb je in groep 4 ineens problemen. De opgaven zijn niet meer tellend op te lossen ).
  • Bovendien heeft de teller al tellend gemist hoe rekenend op te tellen.


2.2.4 Past tellen bij kinderen?

Kinderen bedenken creatief van alles om de geleerde (tel)methoden te kunnen toepassen.
  • Met blokjes kan het kind de aantallen nog netjes in een rij ordenen. En als er meer dan 10 vingers nodig zijn? Dan zet ik hem gewoon op mijn neus.
  • Kinderen gebruiken ook patronen die in de klas aanwezig zijn, zoals tegels op de vloer of het plafond.
  • Het kind kan verder zelf patronen maken door te tikken met de pen op tafel of op het been, bijvoorbeeld bepaalde figuren: bij 4+4 tikt het kind dan twee vierkantjes of alleen een vierkwartsmaat. Het kind weet dan wanneer te stoppen met tellen. Er zijn kinderen die deze handelingen zo perfectioneren dat zij kunnen vermenigvuldigen en delen onder de 100, zonder van delen of vermenigvuldigen gehoord te hebben
  • Heeft het kind een voorkeur voor een meer verbale handelingen dan kan het als volgt voorkomen dat het de tel kwijt raakt: 17+4=? Kind: 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit. Kinderen zijn creatief in het voorkomen van problemen bij tellend optellen. De waarde van die oplossingen is niet zozeer dat het tellend optellen goed verloopt. De waarde is vooral dat het kind laat zien dat het creatief nadenkt.

Maar kinderen kunnen bij dat tellen handelingen bedenken die niet in overeenstemming zijn met de getallen.
  • Sommige kinderen maken startfouten. Die fouten kun je herkennen aan de uitkomst. Die is dan één te hoog of één te laag. Ook een elektronische toets kan die fout dus zien . Die fouten kun je nog zien in groep 4 (afb. 7).
startfout maken bij sommen uitrekenen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool
Startfout bij het bijtellen

Afbeelding 7.
  • Een veel voorkomende fout een verkeerd aantal vingers opsteken. Bij het uitrekenen van de opgave 4-3 steekt het kind vijf vingers op, haalt er drie weg en geeft als antwoord 2.
  • Komt de uitkomst boven 10 de dan is een gebruikelijke oplossing die 10 gewoon te laten verdwijnen. Je krijgt dan uitkomsten als: 10+9=9, 8+9=7.

Interessant aan deze fouten is dat ze tonen dat het kind niet begrijpt wat het doet. Verder zijn deze fouten niet belangrijk want het gaat niet om tellen. Tellend optellen bestaat uit een­voudige handelingen waar je goed groep 3 mee kan doorkomen. De kinderen lossen op deze wijze vele opgaven op.
Je kunt getallen ’realistisch’ tonen met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is mischien niet handig voor het kind dat overgaat van fantasie­denken naar meer logisch denken.
Tellend optellen is bepalen wat het aantal is door het rijtje telwoorden op te zeggen. Het verschil tussen volgordegetal en aantalgetal van het volgende hoofdstuk is lastig. Daarom wat voorbeelden van volgordegetal.
  • In een straat met eerst 10 villa's en dan een torenflat, moet de postbode meer lopen tussen villa 1 en villa 2 dan tussen flat 11 en flat 100.
  • De hardloper die tweede is heeft niet tweemaal zo hard gelopen als de hardloper die eerste is.
  • Het schoolcijfer 8 is niet gelijk twee maal een 4.
  • Het tweede kind in de lengterij is niet tweemaal zo groot als het eerste kind.
  • Een kind met een IQ van 100 is niet tweemaal intelligenter dan een kind met een IQ van 50.


2.2.5 Passen patronen?

Nog niet beschikbaar.


  2.3 Hoe vertel je Tellend optellen  


Naast het vingers aftellen met spieren en het herkennen van aantalpatronen met ogen, is er ook nog taal.


2.3.1 Past de vraag: Hoeveel is?

Het woord hoeveel is dus eigenlijk een homoniem. Het heeft vier betekenissen:
  • Hoeveel betekent voor het kind ga tellen.
  • De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Als je vraagt: Hoeveel ...? dan begin je te tellen. Hoeveel is ...? betekent: Ga tellen. Als je nog niet cultureel aangepast bent en dus een natuurlijk antwoord geeft dan reken je volgens ANS (approximate number system). Het antwoord op de vraag: Hoeveel? is dan: Veel. Of te veel wolven wegwezen.
  • Hoeveel is het precies? Het door de cultuur gewenste preciese aantal. Die onduidelijkheid over het woord hoeveel kun je eenvoudig waarnemen met afbeelding 8. Om tellen te voorkomen kun je beter vragen een aantal te herkennen: Welke is dit, hoe heet hij, wat staat daar? Je kunt het misverstand ook eenvoudig oplossen met flitsen. Flitsen is het aantal zo kort tonen dat het kind niet kán tellen. Gelukkig zijn kinderen slim genoeg om op den duur te begrijpen dat Hoeveel aanvankelijk betekent Ga tellen. Vervolgens begrijpen ze dat de betekenis verandert en dat Hoeveel is? betekent: Ga (slim) rekenen. Maar ja, bij sommige kinderen duurt dat soms wel een beetje lang.



Met een dobbelsteen:

Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat téllen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg:
Hoeveel stippen?
Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem?

Hoeveel is? betekent: Ga tellen

Afbeelding 8.


2.3.2 Passen telwoorden?

De woorden bij tellend optellen zijn verwarrend.
  • Volgordewoorden zijn rangtelwoorden. Bij tellend optellen zou je dus eigenlijk moeten zeggen: Eerste, tweede, derde, etc. En als je bij de laatste bent zeg je: Dit is de elfde in de rij en de laatste, dus het aantal is elf. Dus een telwoord is eigenlijk een rangtelwoord.
  • We zijn er nog niet. Het woord rangtelwoord dus een dubbelzegging. Tellen is namelijk al rang bepalen. Telwoord is dus al rangtelwoord. En wat in de taal een telwoord heet is eigenlijk een aantalwoord.
  • Verder is de ene achtste niet die andere achtste.
  • Het woord achtste is een synoniem. Het kan namelijk een rang­telwoord zijn maar het kan ook een breuktelwoord zijn: een achtste deel van een taart.
  • We zijn er nog steeds niet. Eigenlijk is rang ook niet genoeg. Het moet ranggetalwoord zijn. Je hebt immers ook rang­letter­woorden. Je kunt duidelijk zijn met rangletterwoorden. Dat woord kent het woorden9boek en Google niet maar rangletterwoorden bestaan wel. In teksten, bijvoorbeeld:
    a) xxxx,
    b) yyyy,
    etc.
    ').
    Maar ja, krijg dat er maar eens door: Niet achtste zeggen maar g-de. Alhoewel, het komt wel voor. In de USA krijgen kinderen geen 10 op hun rapport maar een A. De scholen zelf daar krijgen ook een rang. Maar dan weer geen aantalrang, eigenlijk ook geen volgorde/ letter rang maar een vreemde mix. Een 10 is dan 5 sterren. Maar ja, 5 sterren lijkt dan 5x zo goed als 1 ster maar of dat zo is, ja dat weet je niet. Methodologisch gezien is dat erg onwaarschijnlijk.

Dus ...
Hoeveel is heeft 4 betekenissen. Het woord getal heeft er 5. En de woorden volgordegetal en aantalgetal worden in woord en beeld verhaspeld.



  2.4 Tellend optellen en denken  


2.4.1 Past tellend optellen het denken?

Mentaal tellen. Tja. Mentaal tellen kan eigenlijk per definitie niet. Het tellen blijft het uitvoeren van spierhandelingen. Dat was al in 1957 de stelling van Davydov Je kunt niet tellen zonder spier­handelingen van stem, ogen en eventueel de vingers. Mentaal tellen, dat wil zeggen stil tellen, blijkt ook even lang te duren als hardop tellen Er zijn ook geen moge­lijk­heden het tellen mentaal te verkorten. Je kunt hooguit motorisch verkorten door sneller te tellen. Maar de aard van de handeling verandert niet. Ook de schaakgrootmeester gaat niet in woorden na welke zetten hij welk en welke hij niet moet doen.

De hersenen houden niet van lijn­handelingen als tellen. Te dom. Te gevaarlijk en niet flexibel ). Waar houden de hersenen nu wel van? Het antwoord staat in het volgende hoofdstuk: rekenend optellen.


 Andere hoofdstukken  


1 Reken­voor­waarden

2 Tellend optellen

3 Rekenend optellen

4 Nul

5 Plaatswaarde

6 Breken naar 10

7 Ruilen van 10

8 Getal­kennis

9 Psychologie­kennis

10 Statistieken

11 Literatuur

12 Index en woordenlijst


Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.