2 Tellend optellen

Door tellen blijven kinderen tellen

Hoofdstuk 2 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Zesjarigen leren veel rijtjes, vooral als liedjes. Vaak zijn het liedjes met onzinnige woorden. Tellend optellen is voor het kind gewoon het rijtje woordjes opzeggen. Misschien aanvankelijk ook wel onzinnig. Niks nadenken. Geen enkel probleem. Dat gaat heel lang goed. Tot de uitkomst meer dan 30 is.

2.1 Wat is Tellend optellen

2.1.1 De geschiedenis werd toekomst

Rond de jaren 70 werd aangevoeld dat het gebruikelijke instampen van sommen niet de juiste wijze was om kinderen te leren rekenen. Een betere weg zou zijn realistisch rekenen. Met realistische rekenen werden sommen onder 20 niet geautomatiseerd. De kinderen konden daarbij niets anders dan de sommen op hun vingers uitrekenen.

Maar met dat tellen bleven de kinderen wel hangen in volgorde-kennis als Iene, Miene, muttte. Iene plus Miene is samen niet mutte. De hardloper die tweede geworden is heeft niet twee maal zo hard gelopen als de hardloper die eerste geworden is. Dat is eigenlijk paradoxaal. Nummer 6 heeft er niet zes maar is er slechts één. Nummer zes heeft er vijf voor zich. Maar het vierde koekje (volgorde-getal) is niet hetzelfde als vier koekjes (aantal-getal). Of het kind dit snapt, kun je gemakkelijk testen: Leg een rij koekjes neer en vraag: Wil je het vierde koekje of wil je vier koekjes?

Met volgorde-getallen kun je dus niet rekenen. Met aantal-getallen wél. 1 plus 2 is dan wel 3. Het team dat wint met 2 tegen 1 heeft wél twee maal zoveel doelpunten gescoord. Psychologisch en rekenkundig is er een groot verschil tussen volgorde aftellen en hoeveelheden optellen

(zie § 3.1 )

. De aard van de kennis is totaal anders. Daarom hier niet de gebruikelijke ongespecificeerde term optellen maar tellend optellen en rekenend optellen. Dit hoofdstuk gaat over het toch wel enigszins stomme Iene, miene, mutte-achtige Tellend optellen . Het volgende hoofdstuk gaat over het ’echte’ rekenen: Rekenend optellen .

2.2 Tellend optellen in het leerproces

Het eerste grote rekenprobleem is dat kinderen sommen blijven oplossen door tellend optellen. Hoe komt dat toch?

Onderwijs, vooral ouders en vooral moeders en ook sommige politici, zijn productgericht. Focus op resultaat: goede uitkomst. De wijze waarop het kind rekent, doet er niet toe. Met tellen krijg je tot groep 5 vrijwel altijd, zeker en eigenlijk ook wel eenvoudig een uitkomst. Dus een verstandig kind denkt: Uitrekenen door tellen en niet experimenteren met iets nieuws. Zeker wanneer het kind ouders wil pleasen.
Een tweede oorzaak is dat je met de geboden ’hulp’middelen sommen alleen kunt oplossen door te tellen. Dat geldt vooral voor losseblokjes zo als we nog zullen zien. Dat geldt ook voor de geliefde getallenlijn
(zie § 8.3.2)

Klik voor meer over: getallenlijn

. Met een volgorde-middel kun je getallen alleen optellen door te tellen.

Het goede nieuws is dat Tellend optellen geen voorwaarde is voor alle volgende leerfasen. Zelfs niet voor het lastige Ruilen van 10.

Natuurlijk is 75+16 lastig als je 5+6 nog op je vingers uitrekent. Dat geeft meer belasting voor het werkgeheugen namelijk. Maar als je begrijpt wat je moet doen en als je de juiste hulpmiddelen hebt om het werkgeheugen te ontlasten (bijvoorbeeld termen onder elkaar te zetten), kunnen tellende kinderen dit best.
Het probleem is misschien niet zozeer de werkgeheugenbelasting door het omslachtige tellen maar de stress die ontstaat door het etiket Dit kind kan niet rekenen en de angst fouten te maken. Volwassenen gaan ook op hun vingers tellen bij vermoeidheid, stress en dronkenschap.
Verder krijgt het kind tijdens de volgende leerfasen honderden malen als deelhandeling sommen als 5+6. Dat eventuele instampen zou dan vanzelf moeten gaan.

2.3 Hoe vermaterialiseer je Tellend optellen

2.3.1 Met aftellen

De vingers geven een goede materiële steun bij het tellend optellen, bijvoorbeeld 2 (vingers) + 4 (vingers). Het tellend optellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel.

Stippatronen kun je aanzienlijk oogvriendelijker maken dan de letters. Zijn zijn immers niet gemaakt om te lezen maar om ze gemakkelijk met een ganzenveer en zonder spetters op papier te krijgen.

sommen uitrekenen door aftellen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Optellen door de twee termen af te tellen.
Verbeelding 1.

Eigenlijk is dat nog geen optellen maar gewoon een rijtje opzeggen.

2.3.1 Met bijtellen

Bij de volgende stap gebruikt het kind geen concrete objecten (vingers, blokjes) voor de eerste term maar concretiseert het kind met bijvoorbeeld de vingers alleen de tweede term: Bij 3+4 zegt het kind 3, steekt dan 4 vingers op en telt door 5,6,7 is 7.

sommen uitrekenen door bijtellen leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Tweede term direct bij de eerste term tellen.
Verbeelding 2.

Bollebozen kun je nu al herkennen aan creatieve methoden om problemen bij het tellen te voorkomen.

Eerst het aantal puntjes voor de tweede term neerzetten. Heel slim zo’n geheugensteun want het kind weet dan wanneer te stoppen met tellen.
Een andere methode is bij het doortellen met de pen op tafel tikken. Dit tikken gaat dan niet willekeurig maar in bepaalde figuren: bij 8 bijtellen, tikt het kind 2 groepjes van 4 tikken die een vierkant vormen. Ook slim, zo’ auditieve geheugensteun. Bollebozen perfectioneren deze methode wel en maken zo vermenigvuldigingen en delingen onder de 100 zoder ook van delen of vermenigvuldigen gehoord te hebben.
Een goede methode om de tel niet kwijt te make is: 17+4=?. Kind: 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit.

Het kan allemaal. Het is slim. Als rekenmeester beloon je zo n creatieve vondst. Maar je wilt die kant niet op.

Kinderen kunnen de volgende fouten maken.

Zo kunnen kinderen na het uitrekenen van de som de stand van hun vingers niet interpreteren: wanneer ze bijvoorbeeld twee vingers overhielden, wisten ze niet of de uitkomst 2 of 8 was.
Sommige kinderen steken een verkeerd aantal vingers op. Bij het uitrekenen van de opgave 4-3 steekt het kind vijf vingers op, haalt er drie weg en gaf als antwoord 2.
Sommige kinderen maken startfouten.

startfout maken bij sommen uitrekenen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Startfout bij optellen door bijtellen.
Verbeelding 3.

2.4 Hoe verbeeld je Tellend optellen

De materiële handelingen nemen af en de optelhandelingen worden meer visueel. Het kind kijkt alleen naar zijn vingers of de blokjes die het concreet ziet.

Boven de tien en te weinig vingers? Dan neem ik mijn tenen. Boven de 20 en te weinig tenen? Dan zet ik hem op mijn neus.

2.4.1 Met kabouters en paddenstoelen

Je kunt getallen ’realistisch’ maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind in de overgang van denken waarin fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn, naar een fase met besef van een werkelijke wereld.

Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische regels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de rekenregels.

2.4.2 Met turven

Vooral bij onderbrekingen van het tellen is het handig met turven de stand bij te houden, bijvoorbeeld van de hoeveelheid geladen turf of het aantal gedronken biertjes.

Vijf is een markant aantal. De presentatie van vijf turven is oogvriendelijk

(zie § 8.3.2)

. Hoeveelheden tot vijf kunnen kinderen in één keer visueel herkennen. Rond vijf wordt het lastiger. Maar vijf turfstreepjes hebben een heel karakteristiek beeld en kunnen in één keer door het oog herkend worden. Zonder tellen. Daar wil je naar toe. 5+1 en 5+2 zijn dan dichtbij. Worden vijf turven nog niet in direct herkend dan kan het kind terugvallen en gewoon de streepjes tellen. Een creatieve grafisch ontwerper kan de vijf streepjes van 5 turven dynamisch gemakkelijk vervormen tot het cijfer 5. Geleidelijk aan kan de leermeester de turven vervangen door cijfers. Eerst vijf turven bijvoorbeeld. Het kind rekent dan al niet meer tellend maar het telt rekenend op. (Vinger)tellend rekenen verdwijnt en rekenend tellen komt in zicht.

Wat de mentale handelingen betreft, is het turven voor zevenjarigen overigens een aardige activiteit bij de overgang van Iene, miene, mutte. naar aantal-getal. Met turven kun je kinderen tonen dat rekenen niet Iene, miene, mutte. is. Rekenen is uitzoeken hoe je efficiënt problemen kunt oplossen, bijvoorbeeld problemen met hoeveelheden. Verder kun je laten zien dat een efficiënte notatiewijze het oplossen van (aantal-)puzzels kan vereenvoudigen. Met turven sluipt ook het vermenigvuldigen de hersenen in. In dit geval de tafel van vijf.

Turven.
Verbeelding 4.

2.4.3 Met stipgroepen

Een remedie tegen vingertellen is eigenlijk heel eenvoudig: tel niet met de vingers maar met de ogen. Het oog is tamelijk slim. Dat moet ook wel want als je complexe beelden niet snel kunt waarnemen en interpreteren dan overleef je niet. De evolutie heeft al miljoenen jaren aan het oog gesleuteld.

Bijvoorbeeld in het snel interpreteren van gezichtsuitdrukkingen van de leider of de intentie van een beest. Overigens niet alleen mensen kunnen snel visueel interpreteren. In een kudde van 25, weten schapen precies welk gezicht nieuw is

(De Waal, 2016).

Daarom kan het mensenoog ook maar liefst 15 zeer oogonvriendelijke lettertekens waarnemen en kunnen de hersenen deze in een oogwenk interpreteren.

Toon een teller de 9 stippen hier rechts. Aanvankelijk zal de teller de stippen gaan tellen. Maar het visuele beeld is aanzienlijk eenvoudiger en markanter dan een tekst van 10 priegellettertekens of het gezicht van een boze baas. Zo eenvoudig dat het oog vrij snel in een keer doorseint: Groep van 5 en groep van 4. Geen oogspier-tel-handelingen. Met één fixatie kan het oog eerste term, tweede term en de uitkomst zien. Niets te onthouden in werkgeheugen.

Door flitsen tellen onmogelijk maken.
Verbeelding 5.

Toon de stippatronen vaak. Hang ze in de klas, desnoods aan de getallenlijn, boven het bed en ga er mee kwartetten. Speel met dobbelstenen en dominostenen. Wie het hoogst gooit, mag de steen hebben. Je kunt de leertijd en de fun verbeteren met een prijzengeld op speed. Wie het eerst zegt hoeveel er gegooid is mag de steen hebben. Beperk je niet alleen tot stippen. Maar maak de hoeveelheidsbepaling niet ’realistisch’ met kabouters en paddenstoelen. Sluit aan bij de realiteit die het kind ziet door uren, gewichten, lengten en afstanden te tellen. Dit kan. Het gaat hier namelijk om ’lijn-kennis’.

(zie § 8.3.2)

. Het gaat niet om veldmaten als oppervlak, inhoud en snelheid. Die maten zijn het resultaat van twee lijnen.
De taalmeester doet dit al jaren zo met een leesplankje waarop globaalwoorden staan Aap, noot, Mies. De apenmeester doet dit trouwens ook al jaren. Apen kunnen ook uitstekend (stip) patronen herkennen. Zelfs zonder eerst met blokjes geteld te hebben. Zelfs beter dan mensen

(De Waal, 2017).

Zelfs zonder rekenonderwijs.

2.5 Hoe verwoord je Tellend optellen

2.5.1 Met Hoeveel is?

De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

De rekenmeester zegt: Hoeveel is 2+4? en het kind begint net als de bakker en de gastvrouw te tellen. Niet handig van de rekenmeester, zeggen Ga tellen. als je niet wilt dat het kind gaat tellen. Op Tenerife heeft zo'n homoniemen-misverstand ooit ruim 500 vliegtuigpassagiers het leven gekost

(Raad voor de luchtvaart, 1097).

(noot 1)(noot 1).

Dit taalmisverstand is gemakkelijk vast te stellen, bijvoorbeeld met een dobbelsteen:
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat téllen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg: Hoeveel stippen? Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem?

2.5.2 Met Optellen maar?

Ook bij Optellen maar. zet de rekenmeester het kind op het verkeerde been. Als je tegen een kind zegt: Tel 4 en 5 eens op. dan moet je niet verbaasd opkijken wanneer het kind gaat tellen. Je zegt immers tel op. Als je niet wilt dat het kind gaat tellen, gebruik het woord tellen dan niet maar bijvoorbeeld Reken deze som eens (slim) uit.

2.5.3 Met uitleg van de rekentaal

Het =teken betekent niet: Hierna moet de uitkomst komen. maar: Is evenveel als.

p+a=pa mag je van de taalmeester niet spiegelen pa is niet ap. maar 1+2=3 mag je van de rekenmeester wél spiegelen 3=2+1. Dat is de commutatieve wet.

De plaats van het plus-, min- en is-teken is van belang. Dit komt aan het licht bij puntsommen (1+.=3). Het kind ziet twee getallen en voert de operatie uit die het symbool aangeeft. Bij de som 1+.=3 is het antwoord dan 4. Het woord puntsom, zegt iets over de uiterlijke vorm, de opdracht en de uit te voeren handeling. Het woord puntsom is daarom onduidelijk. Een beter woord is vleksommen. (Het is namelijk een 'gewone' som waar een vlek op gekomen is.)

Vleksom.
Verbeelding 6.

Benoem typen sommen en getallen die bepaalde (eenvoudige) oplossingsmethoden mogelijk maken: tweelingsommen , 2+2, 4+4. Ook wel dubbelsommen/zusjes/broertjesomme)), bijna tweelingen (2+3, 4+5), omdraaiers: 2+7=7+2, maar 7+2 is minder telwerk, (hele)tienen, nulsommen.

2.5.4 Met rijmpjes

Rijm geeft geen inzicht maar

rijm vereenvoudigt het onthouden aanzienlijk

(noot 2)(noot 2). Bijvoorbeeld rijmpjes om de tweelingen te automatiseren.

Juf:	Klas:
Doe je even mee:	1+1= ...
En nu dan deze hier:	2+2= ...
En hier de volgende les:	3+3= ...
En had je dat gedacht:	4+4= ...
En had je dat gezien:	5+5= ...
En het is niet gelogen:	6+6= ... ogen.
Ik hoef dit niet te vragen:	7+7= ... dagen.
Deze weet ik zonder horten of stoten:	8+8= ... poten.
Net geen tien dat is toch balen:	9+9= ... kralen.
Tot slot die moet je weten:	10+10= ... Dat mag je niet vergeten.
Bron: Veilig leren lezen.

2.6 Hoe vermentaliseer je Tellend optellen

Mentaal tellen kan eigenlijk per definitie niet. Dat was reeds in 1957 al de stelling van Davydov

(Parreren & Carpay).

Je moet met een motorische, visuele of verbale handeling de tel bijhouden. En het is allemaal téllen. Het is Iene, miene, mutte. Het is lijnkennis

(zie § 8.3.2)

. Bij sommen met grotere getallen kom je met Tellend optellen in de problemen. Verder is de wendbaarheid en de mate van generalisatie van deze methoden beperkt.

Mentaal volgorde tellen kán eigenlijk niet. Je kunt wel stil tellend optellen, eventueel ondersteund met een visuele voorstelling van je vingers. Er zijn nog steeds telwoorden en mogelijk zelfs stem- of hoofdspierbewegingen. Bovendien moet je twee tellingen tegelijk uitvoeren, namelijk een telling voor de eenheden die bij de eerste term komen en een telling van de eenheden van de tweede term die geteld zijn. Het is en blijft lijnkennis van het niveau Iene, miene, mutte.

Dus ...

Tellen kunnen kinderen wel. Tellend optellen kunnen ze ook wel. Maar Tellend optellen wil je als rekenmeester niet. Dus naar het volgende hoofdstuk met wat je als rekenmeester wel wilt:

3 Rekenend optellen

. Dus: 5+4=9 want 4+4=8, dat weet ik, een erbij is 9.

conflict: 4
fun: 0
fun_min: 0
index: 15

Woordtellingen naar kop:
$n_woord_conflict_tot=$n_woord_conflict_tot+4;//tellend_optellen
$n_woord_fun_tot=$n_woord_fun_tot+0;//tellend_optellen
$n_woord_fun_min_tot=$n_woord_fun_min_tot+0;//tellend_optellen
$n_woord_grotegetallen_tot=$n_woord_grotegetallen_tot+0;//tellend_optellen
$n_woord_index_tot=$n_woord_index_tot+15;//tellend_optellen
$n_woord_kindrealiteit_tot=$n_woord_kindrealiteit_tot+0;//tellend_optellen
$n_woord_verbeelding_boek[2]=6;$n_woord_verbeelding_tot=$n_woord_verbeelding_tot+6;//tellend_optellen

conflict: 57
fun: 10
fun_min: 4
index: 92
grotegetallen: 0
Verbeeldingen tot: 21
Index:

tellend optellen	Tellend optellen is hoeveelheid bepalen door rangorde. Tellend optellen is eigenlijk geen rekenen maar een (ordinaal) rijtje opzeggen, net als Iene, miene, mutte. §H. 2	tellend_optellen
aftellen	De uitvoerigste telmethode is de eenheden van beide termen een voor een op volgorde aftellen. Voor de opgave: 3+4 maakt het kind eerst een groep van 3 en een groep van 4. Daarna telt het beide volgorden af: 1,2,3, (1e term) dan 4,5,6,7 (2e term) is 7. §2.3.1	tellend_optellen
bijtellen	Nadat het kind voor elke term een groepje maakt, telt het de tweede term gelijk bij de eerste term. Dus: 4+3= 4 (eerste term),5,6,7 is 7. §2.3.1	tellend_optellen
bollboos	Vroegtijdig herkennen. §2.3.1	tellend_optellen
bolleboos	Vermenigvuldigen en delen. §2.3.1	tellend_optellen
startfout	Als het kind bijtelt en het start bij de tweede term één te laag dan maakt het een startfout. Dus 4+3= 3,4,5 is 6. §2.3.1	tellend_optellen
realistisch rekenen	Met kabouters. §2.4.1	tellend_optellen
turven	Turven is streepjes zetten om de tel bij te houden. §2.4.2	tellend_optellen
vermenigvuldigen	Tafel van 5 incidenteel leren. §2.4.2	tellend_optellen
indicenteel leren	tafel van 5 §2.4.2	tellend_optellen
flitsen	Bij bepaling van het aantal stippen. §2.4.3	tellend_optellen
realistisch rekenen	Met kabouters en paddestoelen. §2.4.3	tellend_optellen
kindrealiteit	Met lijn-maten. §2.4.3	tellend_optellen
apen	Stipgroepen herkennen. §2.4.3	tellend_optellen
hoeveel is ...	De opdracht Hoeveel is 2+3?, is paradoxaal. De opdracht betekent voor het kind: Ga 2+3 optellen. De rekenmeester zegt Ga tellen. maar wil niet dat het kind gaat (vinger)tellen. §2.5.1	tellend_optellen

15 n woord index

Dit hoofdstuk

2 Tellend optellen

2.1 Wat is Tellend optellen
      1 De geschiedenis werd toekomst

2.2 Tellend optellen in het leerproces

2.3 Hoe vermaterialiseer je Tellend optellen
      1 Met aftellen
      2 Met bijtellen

2.4 Hoe verbeeld je Tellend optellen
      1 Met kabouters en paddenstoelen
      2 Met turven
      3 Met stipgroepen

2.5 Hoe verwoord je Tellend optellen
      1 Met Hoeveel is?
      2 Met Optellen maar?
      3 Met uitleg van de rekentaal
      4 Met rijmpjes


2.6 Hoe vermentaliseer je Tellend optellen

Andere hoofdstukken

1 Rekenvoorwaarden

2 Tellend optellen

3 Rekenend optellen

4 Nul

5 Plaatswaarde

6 Breken naar 10

7 Ruilen van 10

8 Psychologiekennis Nog niet beschikbaar

9 Getalkennis Nog niet beschikbaar

Literatuur:

De Waal, F., (2016). Zijn we slim genoeg om te weten hoe slim dieren zijn? Amsterdam/Antwerpen: Atlas Contact.

De Waal, F.B.M. (2017). Zijn we slim genoeg om te weten hoe slim dieren zijn? Amsterdam Antwerpen: Atlas Contact.

Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF

Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF

Voetnoten:

1) Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife.
http://www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PD

2) Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden
www.humanefficiency.nl/psychologie/leren_onthouden_instampen.php

Getallen, kinderen en psychologie

Inhoudsopgave Met klik naar: de volledige inhoudsopgave.
Fase 1:	Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige twee olifanten en tien muizen. Vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen aan de slag gaat moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde eigenschap gaat. Met klik naar meer over: Rekenvoorwaarden	Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
Fase 2:	Tellend optellen Zesjarigen leren veel rijtjes, vooral als liedjes. Vaak zijn het liedjes met onzinnige woorden. Tellend optellen is voor het kind gewoon het rijtje woordjes opzeggen. Misschien aanvankelijk ook wel onzinnig. Niks nadenken. Geen enkel probleem. Dat gaat heel lang goed. Tot de uitkomst meer dan 30 is. Met klik naar meer over: Tellend optellen	Door tellen blijven kinderen tellen
Fase 3:	Rekenend optellen Heel vreemd dat kinderen tot in groep 5 blijven vingertellen. Ook begrijpelijk dat ze dat doen. Ook niet erg, dat vingertellen. Als je het wil oplossen dan is dat ook niet moeilijk. Met klik naar meer over: Rekenend optellen	Hoe kom je van dat vingertellen af
Fase 4:	Nul Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, in getallen ook niet vóór enen. Meestal is hij verstopt, onder de enen. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Met klik naar meer over: Nul	Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
Fase 5:	Plaatswaarde Met klik naar meer over: Plaatswaarde	Een geniaal idee: verberg nul
Fase 6:	Breken naar 10 Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Met klik naar meer over: Breken naar 10	Breek met aanvullen en met breken
Fase 7:	Ruilen van 10 Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10 wel uitleggen. Met klik naar meer over: Ruilen van 10	Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
Fase 8:	Psychologiekennis Met klik naar meer over: Psychologiekennis	Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
Fase 9:	Getalkennis Met klik naar meer over: Getalkennis	Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.

Literatuur

Index en woordenlijst

Leonard Verhoef

+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.