tellend_optellen

2.1 Tellend optellen in het leerproces

Aanvankelijk leren kinderen ’onzinnige’ rijtjes als Iene, miene, mutte en Un, dun, dip. En natuurlijk het rijtje Een, twee, drie, etc. Het opzeggen van dat laatste rijtje heet tellen. Niets aan de hand. Kinderen kunnen dat prima.

Inderdaad, nóg niets aan de hand. Met tellen kun je rangorde bepalen en ook aantal bepalen. Dat gaat uitstekend. Tot in groep 4. Dan heb je ineens een probleem. Sommen boven 20 tellen optellen wordt steeds lastiger.

(§ 3.2.1

2.2 Hoe vermaterialiseer je Tellend optellen

2.2.1 Met aftellen

De wijze waarop het optellen met materiaal min om meer spontaan verloopt is beschreven door

Van Eerde & Verhoef (1978).

De eerste fase is met concreet materiaal aftellen. Blokjes en vingers maken dan een materiële handeling mogelijk. Het bijtellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel. Het kind telt bijde termen af.

sommen uitrekenen door aftellen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Aftellen: beide termen tellen

Verbeelding 12.

2.2.2 Met bijtellen

Bij de volgende stap gebruikt telt het kind de eerste term niet maar telt het kind alleen de tweede term bij de eerste. Bij 3+4 zegt het kind 3, steekt dan 4 vingers op en telt door 5,6,7 is 7.

sommen uitrekenen door bijtellen leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Bijtellen: tweede term direct bij de eerste term tellen

Verbeelding 13.

Kinderen kunnen de volgende fouten maken.

Sommige kinderen maken startfouten. Die fouten kun je gemakkelijk herkennen aan de uitkomst. Die is dan één te hoog of één te laag.
Sommige kinderen steken een verkeerd aantal vingers op. Bij het uitrekenen van de opgave 4-3 steekt het kind vijf vingers op, haalt er drie weg en gaf als antwoord 2.

startfout maken bij sommen uitrekenen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Startfout bij het bijtellen

Verbeelding 14.

Met blokjes kan het kind de aantallen nog netjes in een rij ordenen. Gaat het kind tellen op de vingers, dan is er niet meer zo’n duidelijk rijtje. De neus wordt aanwijsstok. Er ontstaan interpretatieproblemen bij het aflezen van de vingers. Wanneer het kind twee vingers overhoudt, weeten het kind niet of de uitkomst 2 of 8 is. Je krijgt dan uitkomsten als: 5+6=7 en 8+2=5.
Komt de uitkomst boven 10 de dan is een gebruikelijke oplossing die 10 gewoon te laten verdwijnen. Je krijgt dan uitkomsten als: 10+9=9, 8+9=7.

Deze fouten zijn op zich niet zo erg, iedereen vergist zich wel eens. Maar zijn de fouten vergissingen of bijkt uit de fouten dat de kinderen eigenlijk niet weten wat ze aan het doen zijn.

Bollebozen kun je nu al herkennen aan creatieve methoden om problemen bij het tellen te voorkomen.

Kinderen gebruiken patronen die in de klas aanwezig zijn, zoals tegels op de vloer of het plafond.
Zijn die patronen er niet dan maak je die toch gewoon: noteer de tweede term ergens in puntjes. Je weet dan wanneer te stoppen met tellen. Er zijn kinderen die deze methode zover perfectioneren dat zij kunnen vermenigvuldigen en delen onder de 100, zonder van delen of vermenigvuldigen gehoord te hebben
(Verschaffel, 2022).
Verschaffel, L., (2022). Veertig jaar onderzoek over vraagstukken en contextopgaven: wat hebben we geleerd? Panama conferentie, 30 juni - 1 juli 2022, Zeist.

Geen link.
Kan of mag streepjes zetten niet dan kan het kind tikken met de pen op tafel of op zijn been, bijvoorbeeld een vierkwartsmaat of bepaalde figuren: 4+4 is zijn dan twee vierkantjes.
Heeft het kind een voorkeur voor een meer verbale methode dan kan het als volgt voorkomen dat het de tel kwijt raakt: 17+4=?. Kind: 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit.

Dus ...

Kinderen zijn zeer creatief. Het is slim zo telproblemen voorkomen. Als rekenmeester beloon je zo ’n creatieve vondst. Maar als rekenmeester wil je niet tellen perfectioneren maar rekenen leren. Eigenlijk is tellen nog geen optellen en rekenen maar gewoon een rijtje opzeggen.

2.3 Hoe verbeeld je Tellend optellen

De materiële vingerspierhandelingen nemen af en de optelhandelingen worden visuele oogspierhandelingen. Het kind kijkt alleen naar zijn vingers of de blokjes die het concreet ziet.

Die visuele concreetheid kan afnemen. Boven de tien en te weinig vingers? Dan neem ik mijn tenen. Boven de 20 en te weinig tenen? Dan zet ik hem op mijn neus.

2.3.1 Met kabouters en paddestoelen

Je kunt getallen ’realistisch’ verbeelden met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind in de overgang van denken waarin fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn.

Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische regels. Creativiteit en fantasie mag en moet, maar wel binnen de regels van de getallen. Er kan veel mis kan gaan met dergelijke creatieve grafische ’leer’materialen

(§ 1.3.1

2.3.2 Met stippen

Van Eerde & Verhoef (1978)

beschreven hoe het leren optellen verloopt wanneer je uitgaat van tellen. Dit is min of meer de spontane ontwikkeling. Je kunt ook uitgaan van visueel identificeren van aantallen. De taalmeester doet het ook zo. Al meer dan 100 jaar met (woord)patronen voor de globaalwoorden Aap, noot, Mies op een leesplankje.

Leren lezen met woordpatronen

Verbeelding 15.

Die woordpatronen zijn priegelige lettertjes van ontwerpers die geen rekening konden houden met de waarnemingspsychologie. Stippen kun je een waarnemingspsychologisch perfecte pasvorm geven/ Aan de ogen zal het niet liggen. Die kunnen al miljoenen jaren complexe patronen herkennen

(§ 3.3.11

). Ook de hersenen houden van patronen. Aan de patronen ligt het overigens ook niet. Inmiddels weet de psychologie wel hoe je oogvriendelijke stippatronen moet maken

(§ 8.3.2

Er is nog wat. Apenmeesters leren apen stiphoeveelheden herkennen. Dat kunnen apen uitstekend. Zelfs zonder eerst met blokjes of kralen geteld te hebben. Zelfs beter dan mensen

(De Waal, 2017).

Dat hele optellen onder 20, zou een fluitje van een cent moeten zijn. Zou je denken, als psycholoog.

Maar net als bij lezen moet je dan wel hoeveelheden verbeelden die in één oogopslag geïdentificeerd kunnen worden. Net als globaalwoorden. Je hebt dus ’globaalhoeveelheden’ nodig.

Rekenen is dan het verwerken van getallen zonder de afzonderlijke stippen te tellen. Je leest dan stippatronen. Net als je woorden leest zonder de afzonderlijke letters te lezen zou je dus ook moeten kunnen rekenen zonder de te tellen. Nou, dat kan zoals hier naast te zien is. Sterker nog, je kunt niet eens naar de stippen kijken zonder te zien welke som het is en wat de uitkomst is. En dat terwijl je dit stippatroon waarschijnlijk nooit gezien hebt.

Oogrekenen zonder tellen

Verbeelding 16.

Toon de stippatronen vaak. Hang ze in de klas, desnoods aan de getallenlijn, boven het bed en ga er mee kwartetten. Speel met dobbelstenen en dominostenen.

Dobbelsteengroepering
voor het identificeren van aantal

Verbeelding 17.

www.rekenhaas.nl/t3.php

Houd je mond en vraag vooral niet Hoeveel stippen zijn het? Dan wordt er geteld. Vraag eventueel: Welke is dit, hoe heet hij, wat staat daar? Maak tellen onmogelijk door te flitsen. Dan kán de teller niet meer tellen. Overigens snippert met dit stippatroon de lastige som 5+4 de hersenen in.

2.4 Hoe verwoord je Tellend optellen

2.4.1 Met Hoeveel is?

De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Als je vraagt: Hoeveel is 10+20 snoepjes? dan vraag je naar veel en is het goede antwoord dus eigenlijk 10+20 snoepjes = heel veel snoepjes. Dat is ook precies wat de hersenen van kleine kinderen en dieren doen. Die hersenen interpreteren ook. Ze zeggen niet alleen veel maar ook nog té veel. Is het aantal apen van de tegenstander 1,5 maal het eigen aantal dan zeggen de hersenen van de apen: Té veel, wegwezen. Gelukkig zijn de meeste kinderen slim genoeg om te begrijpen dat Hoeveel in de rekencultuur betekent Ga tellen en ga vooral niet interpreteren. De bedoeling is niet: Beoordeel op basis van gestelde doelen of het aantal goed is: er te veel, te weinig of voldoende. Dus een aangepast kind gaat bij de vraag Hoeveel? tellen.

Dit misverstand kun je eenvoudig waarnemen met het experiment hier rechts.

Je kunt het misverstand ook eenvoudig oplossen met flitsen. Flitsen is het aantal zo kort tonen dat het kind niet kán tellen.

Flitsen met dobbelsteen 5.

Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat téllen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg:
Hoeveel stippen?
Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem?

2.4.2 Met Optellen?

Ook bij het woord optellen zet de rekenmeester het kind op het verkeerde been. Als je tegen een kind zegt: Tel 4 en 5 eens op. dan moet je niet verbaasd opkijken wanneer het kind gaat tellen. Je zegt immers tel op. Als je niet wilt dat het kind gaat téllen, gebruik het woord tellen dan niet maar bijvoorbeeld Reken deze som eens (slim) uit.

Dat geldt ook voor het woord optelsom. Bovendien is het woord optelsom een dubbelzegging. Een som is al een optelling. Het woord aftreksom is dan een paradox. Alternatieven zijn totaal, samen zijn of analoog aan een aftreksom, een optreksom. Ook het woord opgave leidt het kind niet naar tellen. Alles is goed, als er maar geen tel in zit.

2.5 Hoe vermentaliseer je Tellend optellen

Mentaal tellen kan eigenlijk per definitie niet. Dat was al in 1957 de stelling van Davydov

(in: Van Parreren & Carpay, 1972)

. Je kunt niet tellen zonder spierhandelingen van stem, ogen en eventueel de vingers.

Er zijn ook geen mogelijkheden mentaal te verkorten. Je kunt hooguit motorisch verkorten door sneller te tellen. Maar de aard van de handeling verandert niet.

De hersenen houden niet van lijnmethoden als tellen. Te gevaarlijk

(§ 9.2.3.1

Dus ...

Dat Un, dun, tip tellen, dat kan allemaal. Maar een mist van woorden en middelen ontneemt het verschil tussen volgordegetal en aantalgetal. Daarmee vervaagt ook het grote verschil tussen tellen en rekenen.

Je kunt je afvragen of je kinderen een doodlopende route moet laten inhinkelen die leidt naar het teltrauma. Misschien moet je wel vóórkomen dat het teltrauma ontstaat. Gewoon taartpatronen en stippatronen herkennen

(§ 3.3.14

§ 3.6.3

). Gewoon gelijk naar

§ 3 Rekenend optellen

springen. Dit hoofdstuk en dat hele getel gewoon maar overslaan?