2 Tellend optellen |
![]() |
2.1 Wat is Tellend optellen |
|
Rond de jaren 70 werd aangevoeld dat het gebruikelijke instampen van sommen niet de juiste wijze was om kinderen te leren rekenen. Een betere weg zou zijn realistisch rekenen. Met realistische rekenen werden sommen onder 20 niet geautomatiseerd. De kinderen konden daarbij niets anders dan de sommen op hun vingers uitrekenen. | Maar met dat tellen bleven de kinderen wel hangen in volgorde-kennis als Iene, Miene, muttte. Iene plus Miene is samen niet mutte. De hardloper die tweede geworden is heeft niet twee maal zo hard gelopen als de hardloper die eerste geworden is. Dat is eigenlijk paradoxaal. Nummer 6 heeft er niet zes maar is er slechts één. Nummer zes heeft er vijf voor zich. Maar het vierde koekje (volgorde-getal) is niet hetzelfde als vier koekjes (aantal-getal). Of het kind dit snapt, kun je gemakkelijk testen: Leg een rij koekjes neer en vraag: Wil je het vierde koekje of wil je vier koekjes? | Met volgorde-getallen kun je dus niet rekenen. Met aantal-getallen wél. 1 plus 2 is dan wel 3. Het team dat wint met 2 tegen 1 heeft wél twee maal zoveel doelpunten gescoord. Psychologisch en rekenkundig is er een groot verschil tussen volgorde aftellen en hoeveelheden optellen . De aard van de kennis is totaal anders. Daarom hier niet de gebruikelijke ongespecificeerde term optellen maar tellend optellen en rekenend optellen. Dit hoofdstuk gaat over het toch wel enigszins stomme Iene, miene, mutte-achtige Tellend optellen . Het volgende hoofdstuk gaat over het ’echte’ rekenen: Rekenend optellen . |
2.2 Tellend optellen in het leerproces |
Het eerste grote rekenprobleem is dat kinderen sommen blijven oplossen door tellend optellen. Hoe komt dat toch?
|
Het goede nieuws is dat Tellend optellen geen voorwaarde is voor alle volgende leerfasen. Zelfs niet voor het lastige Ruilen van 10.
|
2.3 Hoe vermaterialiseer je Tellend optellen |
|
De vingers geven een goede materiële steun bij het tellend optellen, bijvoorbeeld 2 (vingers) + 4 (vingers). Het tellend optellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel. | Stippatronen kun je aanzienlijk oogvriendelijker maken dan de letters. Zijn zijn immers niet gemaakt om te lezen maar om ze gemakkelijk met een ganzenveer en zonder spetters op papier te krijgen. |
![]() Optellen door de twee termen af te tellen. Verbeelding 1. | Eigenlijk is dat nog geen optellen maar gewoon een rijtje opzeggen. |
2.3.1 Met bijtellen |
Bij de volgende stap gebruikt het kind geen concrete objecten (vingers, blokjes) voor de eerste term maar concretiseert het kind met bijvoorbeeld de vingers alleen de tweede term: Bij 3+4 zegt het kind 3, steekt dan 4 vingers op en telt door 5,6,7 is 7. |
![]() Tweede term direct bij de eerste term tellen. Verbeelding 2. |
Bollebozen kun je nu al herkennen aan creatieve methoden om problemen bij het tellen te voorkomen.
|
Kinderen kunnen de volgende fouten maken.
| ![]() Startfout bij optellen door bijtellen. Verbeelding 3. |
2.4 Hoe verbeeld je Tellend optellen |
De materiële handelingen nemen af en de optelhandelingen worden meer visueel. Het kind kijkt alleen naar zijn vingers of de blokjes die het concreet ziet. | Boven de tien en te weinig vingers? Dan neem ik mijn tenen. Boven de 20 en te weinig tenen? Dan zet ik hem op mijn neus. |
|
Je kunt getallen ’realistisch’ maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind in de overgang van denken waarin fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn, naar een fase met besef van een werkelijke wereld. | Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische regels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de rekenregels. |
|
Vooral bij onderbrekingen van het tellen is het handig met turven de stand bij te houden, bijvoorbeeld van de hoeveelheid geladen turf of het aantal gedronken biertjes. | Vijf is een markant aantal. De presentatie van vijf turven is oogvriendelijk . Hoeveelheden tot vijf kunnen kinderen in één keer visueel herkennen. Rond vijf wordt het lastiger. Maar vijf turfstreepjes hebben een heel karakteristiek beeld en kunnen in één keer door het oog herkend worden. Zonder tellen. Daar wil je naar toe. 5+1 en 5+2 zijn dan dichtbij. Worden vijf turven nog niet in direct herkend dan kan het kind terugvallen en gewoon de streepjes tellen. Een creatieve grafisch ontwerper kan de vijf streepjes van 5 turven dynamisch gemakkelijk vervormen tot het cijfer 5. Geleidelijk aan kan de leermeester de turven vervangen door cijfers. Eerst vijf turven bijvoorbeeld. Het kind rekent dan al niet meer tellend maar het telt rekenend op. (Vinger)tellend rekenen verdwijnt en rekenend tellen komt in zicht. | Wat de mentale handelingen betreft, is het turven voor zevenjarigen overigens een aardige activiteit bij de overgang van Iene, miene, mutte. naar aantal-getal. Met turven kun je kinderen tonen dat rekenen niet Iene, miene, mutte. is. Rekenen is uitzoeken hoe je efficiënt problemen kunt oplossen, bijvoorbeeld problemen met hoeveelheden. Verder kun je laten zien dat een efficiënte notatiewijze het oplossen van (aantal-)puzzels kan vereenvoudigen. Met turven sluipt ook het vermenigvuldigen de hersenen in. In dit geval de tafel van vijf. |
![]() Turven. Verbeelding 4. |
|
Een remedie tegen vingertellen is eigenlijk heel eenvoudig: tel niet met de vingers maar met de ogen. Het oog is tamelijk slim. Dat moet ook wel want als je complexe beelden niet snel kunt waarnemen en interpreteren dan overleef je niet. De evolutie heeft al miljoenen jaren aan het oog gesleuteld. | Bijvoorbeeld in het snel interpreteren van gezichtsuitdrukkingen van de leider of de intentie van een beest. Overigens niet alleen mensen kunnen snel visueel interpreteren. In een kudde van 25, weten schapen precies welk gezicht nieuw is Daarom kan het mensenoog ook maar liefst 15 zeer oogonvriendelijke lettertekens waarnemen en kunnen de hersenen deze in een oogwenk interpreteren. |
Toon een teller de 9 stippen hier rechts. Aanvankelijk zal de teller de stippen gaan tellen. Maar het visuele beeld is aanzienlijk eenvoudiger en markanter dan een tekst van 10 priegellettertekens of het gezicht van een boze baas. Zo eenvoudig dat het oog vrij snel in een keer doorseint: Groep van 5 en groep van 4. Geen oogspier-tel-handelingen. Met één fixatie kan het oog eerste term, tweede term en de uitkomst zien. Niets te onthouden in werkgeheugen. |
![]() Door flitsen tellen onmogelijk maken. Verbeelding 5. |
Toon de stippatronen vaak. Hang ze in de klas, desnoods aan de getallenlijn, boven het bed en ga er mee kwartetten. Speel met dobbelstenen en dominostenen.
Wie het hoogst gooit, mag de steen hebben. Je kunt de leertijd en de fun verbeteren met een prijzengeld op speed. Wie het eerst zegt hoeveel er gegooid is mag de steen hebben.
Beperk je niet alleen tot stippen. Maar maak de hoeveelheidsbepaling niet ’realistisch’ met kabouters en paddenstoelen.
Sluit aan bij de realiteit die het kind ziet door uren, gewichten, lengten en afstanden te tellen.
Dit kan. Het gaat hier namelijk om ’lijn-kennis’.
.
Het gaat niet om veldmaten als oppervlak, inhoud en snelheid. Die maten zijn het resultaat van twee lijnen. De taalmeester doet dit al jaren zo met een leesplankje waarop globaalwoorden staan Aap, noot, Mies. De apenmeester doet dit trouwens ook al jaren. Apen kunnen ook uitstekend (stip) patronen herkennen. Zelfs zonder eerst met blokjes geteld te hebben. Zelfs beter dan mensen Zelfs zonder rekenonderwijs. |
2.5 Hoe verwoord je Tellend optellen |
|
De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6. | De rekenmeester zegt: Hoeveel is 2+4? en het kind begint net als de bakker en de gastvrouw te tellen. Niet handig van de rekenmeester, zeggen Ga tellen. als je niet wilt dat het kind gaat tellen. Op Tenerife heeft zo'n homoniemen-misverstand ooit ruim 500 vliegtuigpassagiers het leven gekost (noot 1)(noot 1). |
Dit taalmisverstand is gemakkelijk vast te stellen, bijvoorbeeld met een dobbelsteen: Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat téllen. Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen. Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen. Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen. Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen. Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen. Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg: Hoeveel stippen? Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem? |
|
Ook bij Optellen maar. zet de rekenmeester het kind op het verkeerde been. Als je tegen een kind zegt: Tel 4 en 5 eens op. dan moet je niet verbaasd opkijken wanneer het kind gaat tellen. Je zegt immers tel op. Als je niet wilt dat het kind gaat tellen, gebruik het woord tellen dan niet maar bijvoorbeeld Reken deze som eens (slim) uit. |
|
|
|
![]() Vleksom. Verbeelding 6. |
|
2.5.4 Met rijmpjes |
Rijm geeft geen inzicht maar (noot 2)(noot 2). Bijvoorbeeld rijmpjes om de tweelingen te automatiseren. |
|
2.6 Hoe vermentaliseer je Tellend optellen |
Mentaal tellen kan eigenlijk per definitie niet. Dat was reeds in 1957 al de stelling van Davydov Je moet met een motorische, visuele of verbale handeling de tel bijhouden. En het is allemaal téllen. Het is Iene, miene, mutte. Het is lijnkennis . Bij sommen met grotere getallen kom je met Tellend optellen in de problemen. Verder is de wendbaarheid en de mate van generalisatie van deze methoden beperkt. | Mentaal volgorde tellen kán eigenlijk niet. Je kunt wel stil tellend optellen, eventueel ondersteund met een visuele voorstelling van je vingers. Er zijn nog steeds telwoorden en mogelijk zelfs stem- of hoofdspierbewegingen. Bovendien moet je twee tellingen tegelijk uitvoeren, namelijk een telling voor de eenheden die bij de eerste term komen en een telling van de eenheden van de tweede term die geteld zijn. Het is en blijft lijnkennis van het niveau Iene, miene, mutte. |
Dus ... Tellen kunnen kinderen wel. Tellend optellen kunnen ze ook wel. Maar Tellend optellen wil je als rekenmeester niet. Dus naar het volgende hoofdstuk met wat je als rekenmeester wel wilt: . Dus: 5+4=9 want 4+4=8, dat weet ik, een erbij is 9. |
tellend optellen | Tellend optellen is hoeveelheid bepalen door rangorde. Tellend optellen is eigenlijk geen rekenen maar een (ordinaal) rijtje opzeggen, net als Iene, miene, mutte. §H. 2 | tellend_optellen |
aftellen | De uitvoerigste telmethode is de eenheden van beide termen een voor een op volgorde aftellen. Voor de opgave: 3+4 maakt het kind eerst een groep van 3 en een groep van 4. Daarna telt het beide volgorden af: 1,2,3, (1e term) dan 4,5,6,7 (2e term) is 7. §2.3.1 | tellend_optellen |
bijtellen | Nadat het kind voor elke term een groepje maakt, telt het de tweede term gelijk bij de eerste term. Dus: 4+3= 4 (eerste term),5,6,7 is 7. §2.3.1 | tellend_optellen |
bollboos | Vroegtijdig herkennen. §2.3.1 | tellend_optellen |
bolleboos | Vermenigvuldigen en delen. §2.3.1 | tellend_optellen |
startfout | Als het kind bijtelt en het start bij de tweede term één te laag dan maakt het een startfout. Dus 4+3= 3,4,5 is 6. §2.3.1 | tellend_optellen |
realistisch rekenen | Met kabouters. §2.4.1 | tellend_optellen |
turven | Turven is streepjes zetten om de tel bij te houden. §2.4.2 | tellend_optellen |
vermenigvuldigen | Tafel van 5 incidenteel leren. §2.4.2 | tellend_optellen |
indicenteel leren | tafel van 5 §2.4.2 | tellend_optellen |
flitsen | Bij bepaling van het aantal stippen. §2.4.3 | tellend_optellen |
realistisch rekenen | Met kabouters en paddestoelen. §2.4.3 | tellend_optellen |
kindrealiteit | Met lijn-maten. §2.4.3 | tellend_optellen |
apen | Stipgroepen herkennen. §2.4.3 | tellend_optellen |
hoeveel is ... | De opdracht Hoeveel is 2+3?, is paradoxaal. De opdracht betekent voor het kind: Ga 2+3 optellen. De rekenmeester zegt Ga tellen. maar wil niet dat het kind gaat (vinger)tellen. §2.5.1 | tellend_optellen |
De Waal, F., (2016). Zijn we slim genoeg om te weten hoe slim dieren zijn? Amsterdam/Antwerpen: Atlas Contact.
De Waal, F.B.M. (2017). Zijn we slim genoeg om te weten hoe slim dieren zijn? Amsterdam Antwerpen: Atlas Contact.
Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF
Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PDF