Hoofdstuk 2 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 2 Tellend optellen  

 

Door tellen blijven kinderen tellen



Hier het volgordegetal: aantal bepalen door tellen. Pak het vijfde snoepje. Daarna aantal bepalen door rekenen. Pak vijf snoepjes.
   



2.1 Wat is Tellend optellen

Aanvankelijk leren kinderen ’onzinnige’ rijtjes als Iene, miene, mutte. en Un, dun, dip. En natuurlijk het rijtje Een, twee, drie .... Het opzeggen van dat laatste rijtje heet tellen. Niets aan de hand.



2.2 Tellend optellen in het leerproces

Inderdaad, nog niets aan de hand. Met tellen kun je ook aantal bepalen. Maar het is wel de vraag of duidelijk is dat je dan aantal bepaalt met een volgordemethode.



2.3 Hoe vermaterialiseer je Tellend optellen


2.3.1 Met aftellen

De vingers geven een goede materiële steun bij het tellend optellen, bijvoorbeeld 3 (vingers) + 4 (vingers). Het tellend optellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel. Eigenlijk is dat nog geen optellen en rekenen maar gewoon een rijtje opzeggen.


sommen uitrekenen door aftellen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool
Aftellen: beide termen tellen

Verbeelding 8.


2.3.2 Met bijtellen

Bij de volgende stap gebruikt het kind geen concrete objecten (vingers, blokjes) voor de eerste term maar concretiseert het kind met bijvoorbeeld de vingers alleen de tweede term: Bij 3+4 zegt het kind 3, steekt dan 4 vingers op en telt door 5,6,7 is 7.


sommen uitrekenen door bijtellen leren rekenen optellen aftrekken basisschool
Bijtellen: tweede term direct bij de eerste term tellen

Verbeelding 9.
Kinderen kunnen de volgende fouten maken.
  • Sommige kinderen maken startfouten. Die fouten kun je gemakkelijk herkennen aan de uitkomst. Die is dan één te hoog of één te laag.

  • Sommige kinderen steken een verkeerd aantal vingers op. Bij het uitrekenen van de opgave 4-3 steekt het kind vijf vingers op, haalt er drie weg en gaf als antwoord 2.
startfout maken bij sommen uitrekenen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool
Startfout bij het bijtellen

Verbeelding 10.
  • Met blokjes kan het kind de aantallen nog netjes in een rij ordenen. Gaat het kind tellen op de vingers, dan is er niet meer zo’n duidelijk rijtje. De neus wordt aanwijsstok. Er ontstaan interpretatie­problemen bij het aflezen van de vingers. Wanneer het kind tweee vingers overhoudt, weten ze niet of de uitkomst 2 of 8 is. Je krijgt dan uitkomsten als: 5+6=7 en 8+2=5.

  • Komt de uitkomst boven 10 de dan is een gebruikelijke oplossing die 10 gewoon te laten verdwijnen. Je krijgt dan uitkomsten als: 10+9=9, 8+9=7

Bollebozen kun je nu al herkennen aan creatieve methoden om problemen bij het tellen te voorkomen.
  • Kinderen gebruiken patronen die in de klas aanwezig zijn, zoals tegels op de vloer of het plafond.

  • Zijn die patronen er niet dan maak je die toch gewoon: noteer de tweede term ergens in puntjes. Je weet dan wanneer te stoppen met tellen. Er zijn kinderen die deze methode zover perfectioneren dat zij kunnen vermenigvuldigen en delen onder de 100, zonder van delen of vermenigvuldigen gehoord te hebben

  • Kan of mag streepjes zetten niet dan kan het kind tikken met de pen op tafel of op zijn been, bijvoorbeeld een vierkwartsmaat of bepaalde figuren: 4+4 is zijn dan twee vierkantjes.

  • Heeft het kind een voorkeur voor een meer verbale methode dan kan het als volgt voorkomen dat het de tel kwijt raakt: 17+4=?. Kind: 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit.


Dus ...

Het kan allemaal. Kinderen zijn zeer creatief. Het is slim. Als reken­meester beloon je zo ’n creatieve vondst. Maar als reken­meester wil je niet tellen perfectioneren maar rekenen leren.




2.4 Hoe verbeeld je Tellend optellen

De materiële handelingen nemen af en de optelhandelingen worden meer visueel. Het kind kijkt alleen naar zijn vingers of de blokjes die het concreet ziet. Boven de tien en te weinig vingers? Dan neem ik mijn tenen. Boven de 20 en te weinig tenen? Dan zet ik hem op mijn neus.


2.4.1 Met kabouters en paddenstoelen

Je kunt getallen ’realistisch’ verbeelden met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind in de overgang van denken waarin fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn, naar een wereld van logica.Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische regels. Creativiteit en fantasie mag en moet, maar wel binnen de regels van de getallen. liet zien dat er psycho­logisch veel mis kan gaan met dergelijke creatieve grafische ’leer’materialen.


2.4.2 Met turven

Vooral bij onderbrekingen van het tellen is het handig met turven de stand bij te houden, bijvoorbeeld het aantal geladen turven of het aantal gedronken biertjes.

   
Turven

Verbeelding 11.

Vijf is een markant aantal. De presentatie van vijf turven is oog­vriendelijk . Hoeveelheden tot vijf kunnen kinderen in één keer visueel herkennen. Het visuele beeld is tamelijk markant. Zonder tellen kan je het aantal zien. Daar wil je naar toe. Worden vijf turven nog niet in direct herkend dan kan het kind terugvallen en gewoon de streepjes tellen. Boven vijf wordt het lastiger maar 5+1 en 5+2 zijn dan dichtbij. Het kind rekent dan al niet meer tellend maar het telt rekenend op. (Vinger)tellend rekenen begint te verdwijnen en rekenend tellen komt stiekem in zicht.

Een creatieve grafisch ontwerper kan de vijf streepjes van 5 turven dynamisch gemakkelijk vervormen tot het cijfer 5. Geleidelijk aan verbeeldt dan het symbool 5 het aantal 5.Met deze verbeeldingen rond 5 turven, sluipt ook de tafel van 5 de hersenen binnen (incidenteel leren .


2.4.3 Met stipgroepen

Nu zijn die turven natuurlijk handig voor de handen wanneer je biertjes op een kerfstok moet noteren. Die vijf turven zijn voor het oog een fluitje van een cent . Toon een teller de 9 stippen hier rechts. Aanvankelijk zal de teller de stippen gaan tellen. Maar het visuele beeld is aanzienlijk eenvoudiger en markanter dan een tekst van 10 priegellettertekens of het gezicht van een agressieve alfa aap. Zo eenvoudig dat het oog het patroon in 233 milliseconden gezien heeft en in één keer doorseint: Groep van 5 en groep van 4. Géén vinger-, oog- en stemspier-tel-handelingen. Ook niets te onthouden in het werkgeheugen. Ook de volgende stap is al te zien: 5+4=5+5-1 Telt het kind nog? Gewoon je mond houden en het aantal steeds korter tonen (flitsen). Dan kán de teller niet meer tellen.

Toon de stippatronen vaak. Hang ze in de klas, desnoods aan de getallenlijn, boven het bed en ga er mee kwartetten. Speel met dobbelstenen en dominostenen. Je kunt de leertijd en de fun verbeteren met een prijzengeld op speed. De taal­meester doet dit al jaren zo met een leesplankje waarop globaalwoorden staan Aap, noot, Mies. De apen­meester doet dit trouwens ook al jaren. Apen kunnen ook uitstekend (stip) patronen herkennen. Zelfs zonder eerst met blokjes geteld te hebben. Zelfs beter dan mensen



2.5 Hoe verwoord je Tellend optellen


2.5.1 Met Hoeveel is?

De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6.De reken­meester zegt: Hoeveel is 2+4? en het kind begint net als de bakker en de gastvrouw te tellen. Niet handig van de reken­meester, woorden gebruiken die verhaspeld worden: zeggen Ga tellen. terwijl je niet wilt dat het kind gaat tellen. Als je vraagt: Hoeveel is 10+20 snoepjes? dan vraag je naar veel en is het goede antwoord dus eigenlijk 10+20 snoepjes = heel veel snoepjes. Dat is ook precies wat de hersenen van kleine kinderen en dieren doen. Die hersenen interpreteren ook. Ze zeggen niet alleen veel maar ook nog té veel. Is het aantal apen van de tegenstander 1,5 maal het eigen aantal dan zeggen de hersenen van de apen: Té veel, wegwezen. Gelukkig zijn de meeste kinderen slim genoeg om te begrijpen dat Hoeveel in de rekencultuur betekent Ga tellen. en niet Is er te veel, te weinig of voldoende. Dat is dus wat ze gaan doen. Vaak wel tot in groep 5.

Dit taalmisverstand over de vraag Hoeveel is. is gemakkelijk vast te stellen, bijvoorbeeld met een dobbelsteen:

Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat téllen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg:
Hoeveel stippen?
Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem?


2.5.2 Met Optellen?

Ook bij het woord Optellen. zet de reken­meester het kind op het verkeerde been. Als je tegen een kind zegt: Tel 4 en 5 eens op. dan moet je niet verbaasd opkijken wanneer het kind gaat tellen. Je zegt immers tel op. Als je niet wilt dat het kind gaat téllen, gebruik het woord tellen dan niet maar bijvoorbeeld Reken deze som eens (slim) uit. Dat geldt ook voor het woord optelsom. Bovendien is het woord optelsom een dubbelzegging en aftreksom een paradox. Een beter woord zou totaal zijn.



2.6 Hoe vermentaliseer je Tellend optellen

Mentaal tellen kan eigenlijk per definitie niet. Dat was reeds in 1957 al de stelling van Davydov Je moet met een motorische, visuele of verbale handeling de tel bijhouden. En het is allemaal téllen. Het is Iene, miene, mutte. Het is lijnkennis . Bij sommen met grotere getallen kom je met Tellend optellen in de problemen. Verder is de wendbaarheid en de mate van generalisatie van tellen erg beperkt.

Dus ...

Tellen kunnen kinderen wel. Maar een mist van woorden en middelen ontneemt het verschil tussen volgordegetal en aantalgetal. Daarmee vervaagt ook verschil tussen tellen en rekenen.


Je kunt je afvragen of je kinderen een doodlopende route moet laten inhinkelen die leidt naar het teltrauma. Misschien moet je wel vóórkomen dat het teltrauma zich in de hersenen kan nestelen. Gewoon gelijk naar springen. Gewoon taartpatronen en stippatronen herkennen en ). Uiteraard zonder tellen!





 Andere hoofdstukken  


1 Rekenvoorwaarden

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met aantal en getallen aan de slag gaat, moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde, tamelijk abstracte eigenschap gaat.

Meer klik en ga naar: Rekenvoorwaarden


2 Tellend optellen

Hier het volgordegetal: aantal bepalen door tellen. Pak het vijfde snoepje. Daarna aantal bepalen door rekenen. Pak vijf snoepjes.

Meer klik en ga naar: Tellend optellen


3 Rekenend optellen

Kinderen in groep 5 tellen nog op hun vingers. Vreemd. Heel vreemd. Ook heel begrijpelijk dat ’teltrauma’. Ook niet erg, dat vingertellen. Voorkomen en oplossen is niet moeilijk.

Meer klik en ga naar: Rekenend optellen


4 Nul

Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, niet op het honderdveld en in getallen ook niet vóór eenheden onder 10. Meestal is hij verstopt, ónder de eenheden. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

Meer klik en ga naar: Nul


5 Plaatswaarde

Decimale plaatswaarde is zo logisch, handig en vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal dat systeem is. Maar het duurde duizenden jaren voor slimme rekenmeesters decimale plaatswaarde ontwierpen. Het is dus begrijpelijk dat rekenmeesters plaatswaarde vergeten en kinderen plaatswaarde niet begrijpen.

Meer klik en ga naar: Plaatswaarde


6 Breken naar 10

Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen?

Meer klik en ga naar: Breken naar 10


7 Ruilen van 10

Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10-eenheden voor 1-tiental wel uitleggen.

Meer klik en ga naar: Ruilen van 10


8 Psychologiekennis

Hoe kijkt, praat, leert en denkt het kind over en met getallen? Hoe kan het kind de werkelijkheid met getallen beter beheersen?

Meer klik en ga naar: Psychologiekennis


9 Getalkennis

Rekenen is aantalsrelaties zo ordenenen dat je onzichtbare werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn met abstract aantallen. Zijn zijn er evenveel kinderen als snoepjes. Maar dat kunnen ook grafisch verbeelde ingewikkelde aantalrelaties zijn, zoals een analoge klok, een hypotheek of inflatie.

Meer klik en ga naar: Getalkennis


10 Literatuur



Meer klik en ga naar: Literatuur


11 Index en woordenlijst
217 entries.

Verklarende woordenlijst en index.

Meer klik en ga naar: Index en woordenlijst



Leonard Verhoef
Leonard Verhoef: van onderzoeker van het denken naar ontwerper voor het denken in het dagelijks leven nu én in de toekomst. Ontwerpen voor computer- en webgebruikers, voor rekenmeesters en betalers, voor reizigers, vluchters en professionals op land-, spoor-, weg- en waterwegen.

Blijven onze superhersenen een limbische regelsslaaf in dienst van de cultuur (techniek, onderwijs en overheid)? Of gaat de prefrontale cortex heersen en maakt zijn supervermogen de dienst uit?
More, click and go to CV: Leonard Verhoef


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.







Voetnoten: