2.3.3
Past een 2x(2x5) telraam bij tellend optellen?
Het telraam is een gebruikelijk middel om te leren rekenen. Wat kan de psychologie daar over zeggen?-
Het schuiven met kralen is een materialisering van tellen. Rekenkundig bepaal je zo het volgordegetal. Tellen kunnen kinderen wel maar tellend optellen wil je niet. Je wilt naar denkend optellen met aantalgetallen (§ 4).
|
-
Op een horizontaal telraam staan de 1-en en de 10-en niet volgens plaatswaarde (afb. 7). De overgang van een horizontaal telraam naar getallen boven 9 is dan lastiger.
|
Een 2x(2x5) telraam
Afbeelding 7.
|
-
De termen van de opgave zijn op het telraam uit elkaar getrokken waardoor de relatie tussen de aantalgetallen van de optelling niet meer tegelijk in het oogfixatieveld zichtbaar zijn. Het oog kan alle getallen van de opgave dan niet tegelijk zien
-
De kralen van een telraam staan in een rechte lijn in het gelid op een starre staaf. De staven op hun beurt staan strak in het gelid in een raam. Door de strakheid kunnen telramen zich niet voegen naar structuren van de getallen en de (veld)patroonwensen van de ogen en de hersenen passen
). De ogen zien daarom ook niet dat er wat mis is met het telraam in afbeelding 7.
- Het schuiven van kralen vraagt tijd en belast daardoor het werkgeheugen.
-
Er zijn meer oogsprongen nodig. Wat het oog dan ziet, moet het werkgeheugen in. Dat geeft ook belasting van het werkgeheugen
). Het kind kan het overzicht van de uit te voeren handelingen daardoor kwijt raken. Die problemen nemen toe bij grotere getallen. En als die getallen over 10 gaan dan maakt tientalligheid het nog moeilijker. Het telraam van afbeelding 7 toont tientalligheid niet.
- Tja, en dan het woord telraam. Voor de timmerman van het telraam is een telraam jargon voor een kader waar iets in moet, bijvoorbeeld een raam. Voor het kind is een raam een ruit waar je door naar buiten kijkt. Voor de rekenmeester is tellen iets dat hij niet wil. Het is daarom inderdaad beter om te spreken van een rekenrek zoals Van den Berg en Van Eerde
doen. Maar op een rekenrek kun je nog steeds alleen tellend optellen en niet rekenend optellen
).
De conclusie van ervaren leerkrachten is, dat bij gebruik van telramen, een uitgebalanceerde leerlijn dringend gewenst is
Maar ja, het zou ook kunnen zijn dat telramen niet geschikt zijn en dat telramen mogelijk het tellend blijven optellen veroorzaken.
Het zijn immers telramen.
|
2.3.4
Passen in- en uitstappen bij tellend optellen? |
|
Bussen en liften gebruikt men wel bij het leren optellen en aftrekken
De bussen en liften zijn vooral een afbeelding van erbij en eraf. De aantallen en de veranderingen daarin zijn moeilijk te zien.
|
|
Weten wat erbij en eraf betekent, is echter niet het probleem. Bovendien kun je bus- en liftopgaven alleen oplossen door te tellen. Maar optellen door tellen dát is nu net het probleem. De bussen en liften lossen het probleem van het tellend blijven optellen niet op maar versterken de telreflex.
|
Tellend optellen wordt een motorische reflex.
2.3.5
Past de getallenlijn bij tellend optellen?
|
Met vingerbeelden kun je aantallen tot 10 afbeelden. De getallenlijn gaat over de 10 heen. In het rekenonderwijs en rekenonderzoek neemt de getallenlijn een belangrijke plaats in
| Freudenthal vindt de getallenlijn het meest waardevolle dat de moderne wiskunde didactiek geleend heeft van de moderne wiskunde.
Wat vinden de getallen, de ogen, het werkgeheugen en de hersenen nu van de getallenlijn?
|
1)
Past de getallenlijn de getalkennis?
Geeft de gebruikelijke getallenlijn de getalkennis goed weer?
-
De gebruikelijke getallenlijn toont aantalgetallen terwijl het volgordegetallen zijn.
Het hokje van de grote getallen is namelijk even groot als het hokje van de kleine getallen.
Hij toont dat 5 de vijfde in de rij is. Niet dat het aantal 5 is.
Als je met een getallenlijn telt dan zou je dus eigenlijk moeten tellen: Eerste, tweede, derde, etc.
Je kunt duidelijk maken door van de getallenlijn een volgordelijn is door hem af te beelden als een waslijn met voetbalshirtjes ). Vind je dat allemaal te moeilijk, verberg dan het probleem en noem hem een cijferlijn.
|
Volgordegetal op een volgorde-getallen-was-lijn
Afbeelding 8. |
-
De getallenlijn is dus een volgordegetallenlijn. Het optellen met de getallenlijn is dan gewoon bijtellen.
De getallenlijn dwingt het kind tot het bijtellen uit het begin van groep 3
).
- Verder staan de hoge getallen op de getallenlijn niet hoog maar rechts en de lage getallen staan op de getallenlijn niet onder maar links.
Dat is een van de fouten van de gebruikelijke getallenlijn volgens Freudenthal
Een horizontale getallenlijn is meer ingegeven door de taal, waar het juist niet om gaat, dan door de getallen, waar het juist wel om gaat.
Zowel in de werkelijkheid als in de woorden staat hoog en veel altijd boven en laag/weinig onder. Verticaal sluit ook beter aan bij negatieve getallen
).
-
Opmerkelijk is verder dat nul meestal niet op de getallenlijn staat.
Dat zou volgens Freudenthal
wel moeten met name als je gaat aftrekken.
-
Het belangrijkste psychologische probleem van de getallenlijn is dat het een volgordemiddel is, waar je aantal mee gaat bepalen. Aantallen en structuren van aantallen zijn 2D en kun je beter tonen met 2D-patronen van aantallen. Bovendien voorkom je zo dat kinderen (op hun vingers) blijven tellen.
Misschien zit je met een getallenlijn wel te dammen op een Ganzenbord.
|
2)
Past de getallenlijn het oog?
Het oogfixatieveld heeft de vorm van een cirkel
.
Een getallenlijn van 15 past niet in het cirkelvormige oogfixatieveld (afb. 9). Mensen zijn geen spleetkijkers maar veldkijkers.
|
 |
Eerste oogfixatie bij 8+5 met de getallenlijn
Afbeelding 9. |
|
Waarom kun je niet zien dat dit figuur niet kan?
Afbeelding 10. |
Het effect van essentiële informatie buiten het oogfixatieveld is te zien in het onmogelijke lijnvormige figuur van afbeelding 10.
Hier zou wel eens sprake kunnen zijn van wat Freudenthal een ’intuïtieve’ operatie noemt. Het oog voert onbewust als het ware een verkeerde operatie uit. Wanneer je hetzelfde figuur verkleint tot een cirkelvormig figuur dat wél in het oogfixatieveld past dan is onmiddellijk te zien waarom afbeelding 11 niet kan. De waarneming verloopt dan wel goed.
|
Hierom kun je niet zien waarom afbeelding 10 niet kan
Afbeelding 11.
|
|
Dezelfde ogen die in de lijnvormige figuur van afbeelding 11 niet zien wat de afbeelding onmogelijk maakt, die ogen kunnen in lijnvormige getallenafbeeldingen onmogelijk zien wat met getallen mogelijk is. Er zijn oogsprongen nodig. Er is dus geen (visuele) intuïtieve operatie mogelijk. Het tellen blijft dus (oog)spierwerk. En intuïtieve spierhandeling met abstracte objecten zou wel eens te lastig kunnen zijn.
|
Spierkrachttraining voor gewichtheffen maakt je geen kampioen schaken.
|
Overigens kun je de getallenijn passend maken door hem om te buigen tot een getallencirkel (afb. 12). Je bouwt dan voort op de taartpunten van de rekenvoorwaarden. En je snippert dan alvast de uren van de analoge klok naar binnen.
|
 | |
Getallenlijn die in het oogfixatieveld past
Afbeelding 12.
|
|
3)
Heeft de getallenlijn een markante vorm?
|
De ogen kunnen zeer goed markante 2D-patronen herkennen, bijvoorbeeld gezichten
).
Ook de ogen van zeer jonge kinderen en schapen hebben daar opvallend weinig moeite mee. |
Een getallenlijn heeft twee markante punten: het begin en een eind. Maar die punten zijn bij het rekenen vrijwel nooit nodig. Een getallenlijn is verder 1D en daarmee heb je maar één ruimtelijke dimensie om patronen te tonen. De getallenlijn zou spleetkijkers dus prima passen. Maar spleetogen bestaan niet en het gaat bij het rekenend optellen vooral om veldpatronen van de getallen rond 10. Daarom is het moeilijk te zien welke opgave afbeelding 13 toont.
|
|
De opgave ...+... op een getallen(volgorde)lijn
Afbeelding 13. |
4)
Past de getallenlijn het werkgeheugen?
|
|
Bij het tellen is het werkgeheugen nodig. Praat iemand tegen dan verstoort dat je tellen.
Bij Tellend optellen moet het werkgeheugen bovendien onthouden en controleren of het aantal van de tweede term er al is. | Bij tellend optellen is het werkgeheugen dus hard nodig. Dat getel belast het werkgeheugen wel. Er is dan geen ruimte meer om de getalsrelaties, waar het eigenlijk om gaat, in het werkgeheugen te ’zien’
|
5)
Past de getallenlijn het leren?
|
|
Leren is uitvoerige handelingen verkorten
).
Met een getallenlijn kun je sneller gaan tellen. Maar dat is niet verkorten van handelingen.
Je kunt getallenlijnhandelingen ook niet flitsen waardoor je het tellen onmogelijk maakt en andere echte optelhandelingen afdwingt.
| De getallenlijn toont niet hoe het kind kan ontsnappen uit het tellend optellen. Zoals met meerling- en 1-erbij opgaven. Je kunt met de getallenlijn eigenlijk niet rekenend optellen en je kunt met de getallenlijnopgaven de rekenhandelingen niet automatiseren. Wel maak je van de telhandelingen een motorische reflex.
|
|
6)
Past de getallenlijn het denken?
|
|
Het is verleidelijk te denken dat visuele voorstellingen als een soort foto in de hersenen zitten. Je zou dan van een foto van een getallenlijn in de hersenen, opgaven tellend kunnen uitrekenen. |
Nu past een getallenlijn van 100, fysiek niet in de hersenen en uitzoomen maakt de getallen onleesbaar. De verschillen tussen de ogen en de hersenen zijn nogal groot. Groter dan tussen de vingers en de tenen. Het is dus eenvoudiger om je handtekening te zetten met je tenen dan een getallenlijn af te lezen in je hersenen. De hersenen zijn bovendien veel slimmer dan een fototoestel.
|
|
Neurologen verwachtten overigens wel dat er een getallenlijn in de hersenen zou zitten en zijn op zoek gegaan. En ... ja hoor, ze hebben de getallenlijn in de hersenen gevonden
Later bleek wel dat die getallenlijn alleen werkt als het aantal niet groter is dan 4 en als je het aantal toont met stippen, niet met cijfers. |
Bij het optellen met de getallenlijn zijn nodig: waarneemhandelingen, het verbale tellen en de motorische sturing van oog- en stemspieren. Die taalhersenen die tellen zijn andere hersenen dan de hersenen voor het abstracte rekenen.
Het echte rekenen speelt zich vooral af in de prefrontale cortex
|
| |
Leidt spiertraining tot beter abstract denken?
|
|
Voor Freudenthal is de getallenlijn een belangrijk leermiddel.
De psychologische analyse geeft wat beperkingen die Freudenthal niet noemt.
Waarschijnlijk hebben psychologen hem daar toen niet op gewezen
Ook hebben ze hem er toen waarschijnlijk niet op gewezen dat je zijn vage ’intuïtieve’ operaties psychologisch goed kunt uitwerken als geautomatiseerde patroonhandelingen die de getallenlijn misschien wel beter kunnen vervangen
). En, eerlijk gezegd, kan ik daar inmiddels aan toevoegen dat ik nog al wat kinderen gezien heb waar het tellen met vingers niet meer uit te slaan is.
|
Dus ...
|
Rekenen met de getallenlijn. Tja, wat nu? De getallenlijn is een volgorde-getalmiddel (lijn-kennis) om aantal-getal (veld-kennis) te verwerven
.
Daardoor lopen volgordegetal en aantalgetal door elkaar in beeld en woord. |
Hij is oogonvriendelijk en het kind kan de handelingen die het met de getallenlijn uitvoert niet verkorten.
Die materiele handelingen lijken ook niet op de mentale rekenhandelingen die je wilt hebben.
|
Die getallenlijn is misschien wel een gatellenlijn.
|
|
|
|
