tellend_optellen

  2 Tellend optellen  

www.humanefficiency.nl/rekenen/tellend_optellen.php 

 Door tellen blijven kinderen tellen

Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes.
  


  2.1 Wat is Tellend optellen?  

Tellend optellen is eenvoudig. Zou je denken. Gewoon iets als Iene, miene, mutte. Maar die eenvoud zou wel eens het probleem kunnen zijn. Om te beginnen is tellend optellen geen óptellen maar gewoon een hoeveelheid aftellen. De opgezegde getallen zijn volgordegetallen. Volgordegetallen kun je niet optellen zullen we nog zien. Optellen kan alleen met aantal­getallen. Maar die komen pas echt in § 4 aan de orde. Tellend optellen is motorisch bepalen wat het aantal is door een rijtje (tel)­woorden op te zeggen. Dit kan met vinger­spieren, oog­spieren of stem­spieren. Het laatste opgezegde volgordegetal is dan het aantal. Wanneer je deze spieren zou verlammen dan kun je niet tellen.

Voor de duidelijkheid wat voorbeelden van volgordegetal.
  • In een straat met eerst 10 villa's en dan een torenflat, moet de postbode meer lopen tussen villa 1 en villa 2 dan tussen flat 11 en flat 100.
  • De hardloper die tweede is heeft niet tweemaal zo hard gelopen als de hardloper die eerste is.
  • Het tweede kind in de lengterij is niet tweemaal zo groot als het eerste kind.
  • Een kind met een IQ van 100 is niet tweemaal intelligenter dan een kind met een IQ van 50.
  • Het schoolcijfer 8 voor rekenen is niet gelijk twee maal een 4. Zeker niet wanneer de hande­lingen voor de toetsitems verschillen. Een 10 omdat alle uitkomsten geteld en goed zijn is veel minder waard dan een 8 omdat er vergissingen gemaakt zijn maar de uitkomsten wel denkend uitgerekend zijn.



  2.2 Tellend optellen in het leerproces

  
Freudenthal stelt dat tellend optellen (counting number) didactisch gezien erg belangrijk is. Hij deed deze uitspraak in de hoogoplopende discussie over de verzame­lingen­leer. Nonsens vond hij die leer. Nu weten we zeker dat hij gelijk had en dat wij geluk hadden dat dankzij hem die beker aan ons voorbij gegaan is.

Kinderen leren zo vroeg tellen dat ze aanvanke­lijk niet door hebben dat ze tellen om aantal te bepalen Tellend optellen bestaat uit een­voudige handelingen waarmee je goed groep 3 en een eind van groep 4 doorkomt. Mede daardoor kan het vingertellen zich geleidelijk ontwikkelen tot een motorische reflex. Dan heb je een fors psychologisch probleem. Motorische refexen zijn moeilijk af te leren. Ga maar eens in een auto rijden waar rem- en gaspedaal verwisseld zijn.



  2.3 Hoe toon je Tellend optellen?  


2.3.1 Passen vingers bij tellend optellen?

1) Past aftellen?

De wijze waarop het onderwijs kinderen leert optellen is ooit beschreven door De eerste fase is aftellen met blokjes of vingers. Het aftellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel. Het kind telt beide termen af (afb. 3). Dat past het kind uitstekend: gewoon een eenvoudige Iene, miene, mutte dreun.

Aftellen: beide termen tellen

Afbeelding 3.

2) Past bijtellen?

De volgende verkorting van de optelhandeling is de tweede term direct bij de eerste term tellen (afb. 4). Dan beginnen de problemen. Kinderen kunnen bij dat tellen handelingen bedenken die niet in overeen­stemming zijn met de getallen.
  Bijtellen: tweede term
direct bij de
eerste term tellen

Afbeelding 4.

  • Sommige kinderen maken startfouten (afb. 5). Die fouten kun je herkennen aan de uitkomst. Die is dan één te hoog of één te laag. Die fouten kun je nog zien in groep 4: in minstens 2.0% van de sommen zit daar een telfout.
startfout maken bij sommen uitrekenen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool
Startfout bij het bijtellen

Afbeelding 5.
  • Een veel voorkomende fout is verder dat het kind een verkeerd aantal vingers opsteekt. Bij het uitrekenen van de opgave 4-3 steekt het kind vijf vingers op, haalt er drie weg en geeft als antwoord 2.
  • Komt de uitkomst boven 10 dan is een gebruikelijke oplossing die 10 gewoon te laten verdwijnen. Je krijgt dan uitkomsten als: 10+9=9 en 8+9=7. Dat zijn slimme oplossingen als tientalligheid je nog niet goed uitgelegd is .
Deze fouten tonen dat het kind niet begrijpt wat het doet. Overigens zijn deze fouten onbelangrijk want het gaat niet zo zeer om tellen zullen we nog zien.

Kinderen zijn ook creatief in het voorkomen van problemen bij tellend optellen. De waarde van die oplossingen is niet zozeer dat het tellend optellen goed verloopt. De waarde is vooral dat het kind laat zien dat het creatief nadenkt. Maar het kind loopt te ver vooruit en heeft een verkeerde afslag genomen.
  • Met blokjes kan het kind de aantallen nog netjes in een rij ordenen. En als er meer dan 10 vingers nodig zijn? Dan zet ik hem gewoon op mijn neus.
  • Kinderen gebruiken ook patronen uit de klas, zoals tegels op de vloer of het plafond.
  • Het kind kan verder zelf patronen maken door te tikken met de pen op tafel of onder tafel op het been, bijvoorbeeld bepaalde figuren: bij 4+4 tikt het kind dan twee vierkantjes of alleen een vierkwartsmaat. Het kind weet zo wanneer te stoppen met tellen. Er zijn kinderen die dit zo perfectioneren dat ze kunnen vermenigvuldigen en delen onder de 100, zonder van delen of vermenigvuldigen gehoord te hebben
  • Een kind kan voorkomen dat het de tel kwijt raakt door zich verbaal te ondersteunen: 17+4=? Kind: 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit.


2.3.2 Passen vingerbeelden bij tellend optellen?

Je kunt ook met vingerbeelden optellen.
  • Met twee handen kun je tot 10 tellend optellen. De vingers hebben een goede 5+5=10 structuur. Je kunt met de vingers de lastige opgave 5+4 dus goed afbeelden. Ook kan het kind goed zien dat 5+4 gewoon 10-1 is (afb. 6).
  • Praktisch is dat je vingers altijd bij je hebt.

Vingerbeeld met het aantalgetal 9

Afbeelding 6.

  • Om het goede vingerbeeld te krijgen moet het kind de vingers één voor één in de goede stand zetten. Dat is een wat lastige motorische handeling, dat kost tijd, dat geeft werk­geheugen­belasting en het is tellen.
  • Als je bij 5+3 vraagt 3 vingers op te steken dan steek je 3 vingers op: wijs-, middel- en ringvinger. Dus niet de duim en de pink. Maar dan krijg je geen aangesloten lijn met vingers. De uitkomst is dan niet de achtste vinger maar de negende. Ook is daardoor is het aantalpatroon moeilijker te bepalen. Dan is niet goed zichtbaar dat 8 gelijk is aan 10-2.
  • Onhandig is dat de ogen iets anders naar hersenen seinen dan het aantal. De ogen seinen in eerste instantie naar de hersenen het hele beeld: Ah, een hand. Vervolgens misschien nog: Wat gek, een vinger wijkt af. Dan moeten de hersenen aan de slag: Ah, ik weet het nog (lange­termijn­geheugen), het oog ziet er 5 maar ze bedoelen 4. Er zijn visuele én, geheugen- en mentale handelingen nodig alleen om het aantal van de termen te bepalen. Maar het probleem is niet Wat is het aantal van de eerste term? Bij deze visuele en mentale handelingen kunnen verder waarneem- en telfouten ontstaan. De uitkomst is dan wel fout maar er is geen optelfout gemaakt maar een aantalbepalingsfout. Je kunt de nadelen van vingerbeelden verminderen door de vingers die meedoen op de tafel te leggen en de vingers die niet meedoen van de tafel. Die zijn dan niet zichtbaar. De hersenen hoeven deze vingers er dus niet af te trekken.
  • Voor het waarnemen van een vingerbeeld is nauwkeurige waarneming van details nodig. De evolutie heeft gekozen voor onnauwkeurige waarneming . Je kunt de waarneming vereenvoudigen door gekleurde vingerhoedjes op de vingers te plaatsen. Maar dat is dan weer wel een uitvoerige materiële handeling. Een echt (2D) beeld is een vingerbeeld verder niet. Het is meer een 1D-vinger-lijn. Net als een telraam dus.

Met vingerbeelden is het kind eigenlijk wel heel druk maar niet met optellen.

 


2.3.3 Past een 2x(2x5) telraam bij tellend optellen?

Het telraam is een gebruikelijk middel om te leren rekenen. Wat kan de psychologie daar over zeggen?
  • Het schuiven met kralen is een materialisering van tellen. Rekenkundig bepaal je zo het volgordegetal. Tellen kunnen kinderen wel maar tellend optellen wil je niet. Je wilt naar denkend optellen met aantal­getallen (§ 4).
  • Op een horizontaal telraam staan de 1-en en de 10-en niet volgens plaatswaarde (afb. 7). De overgang van een horizontaal telraam naar getallen boven 9 is dan lastiger.


Een 2x(2x5) telraam

Afbeelding 7.

De conclusie van ervaren leerkrachten is, dat bij gebruik van telramen, een uitgebalan­ceerde leerlijn dringend gewenst is Maar ja, het zou ook kunnen zijn dat telramen niet geschikt zijn en dat telramen mogelijk het tellend blijven optellen veroorzaken. Het zijn immers telramen.


2.3.4 Passen in- en uitstappen bij tellend optellen?

Bussen en liften gebruikt men wel bij het leren optellen en aftrekken De bussen en liften zijn vooral een afbeelding van erbij en eraf. De aantallen en de veranderingen daarin zijn moeilijk te zien.

Weten wat erbij en eraf betekent, is echter niet het probleem. Bovendien kun je bus- en liftopgaven alleen oplossen door te tellen. Maar optellen door tellen dát is nu net het probleem. De bussen en liften lossen het probleem van het tellend blijven optellen niet op maar versterken de telreflex.

Tellend optellen wordt een motorische reflex.

2.3.5 Past de getallenlijn bij tellend optellen?

Met vingerbeelden kun je aantallen tot 10 afbeelden. De getallenlijn gaat over de 10 heen. In het reken­onderwijs en reken­onderzoek neemt de getallenlijn een belang­rijke plaats in Freuden­thal vindt de getallenlijn het meest waardevolle dat de moderne wiskunde didactiek geleend heeft van de moderne wiskunde. Wat vinden de getallen, de ogen, het werkgeheugen en de hersenen nu van de getallenlijn?

1) Past de getallenlijn de getalkennis?

Geeft de gebruikelijke getallenlijn de getalkennis goed weer?
  • De gebruikelijke getallenlijn toont aantal­getallen terwijl het volgorde­getallen zijn. Het hokje van de grote getallen is namelijk even groot als het hokje van de kleine getallen. Hij toont dat 5 de vijfde in de rij is. Niet dat het aantal 5 is. Je kunt dat duidelijk maken door van de getallenlijn een waslijn met voetbalshirtjes te maken ).

Volgordegetal op een volgorde-getallen-was-lijn

Afbeelding 8.

Misschien zit je met een getallenlijn wel te dammen op een Ganzenbord.

2) Past de getallenlijn het oog?

Het oogfixatie­veld heeft de vorm van een cirkel . Een getallenlijn van 15 past niet in het cirkelvormige oogfixatie­veld (afb. 9). Mensen zijn geen spleetkijkers maar veldkijkers.

Eerste oogfixatie bij 8+5 met de getallenlijn

Afbeelding 9.


Waarom kun je niet zien dat dit figuur niet kan?

Afbeelding 10.
Het effect van essentiële informatie buiten het oog­fixatie­veld is te zien in het onmogelijke lijnvormige figuur van afbeelding 10. Hier zou wel eens sprake kunnen zijn van wat Freuden­thal een ’intuïtieve’ operatie noemt. Het oog voert onbewust als het ware een verkeerde operatie uit. Wanneer je hetzelfde figuur verkleint tot een cirkelvormig figuur dat wél in het oogfixatieveld past dan is onmid­del­lijk te zien waarom afbeelding 11 niet kan. De waarneming verloopt dan wel goed.

Hierom kun je niet zien waarom afbeelding 10 niet kan

Afbeelding 11.

Dezelfde ogen die in de lijnvormige figuur van afbeelding 11 niet zien wat de afbeelding onmogelijk maakt, die ogen kunnen in lijn­vormige getallen­afbeel­dingen onmogelijk zien wat met getallen mogelijk is. Er zijn oogsprongen nodig. Er is dus geen (visuele) intuïtieve operatie mogelijk. Het tellen blijft dus (oog)spierwerk. En intuïtieve spierhandeling met abstracte objecten zou wel eens te lastig kunnen zijn.

Spierkrachttraining voor gewichtheffen maakt je geen kampioen schaken.

Overigens kun je de getallenijn passend maken door hem om te buigen tot een getallen­cirkel (afb. 12). Je bouwt dan voort op de taart­punten van de reken­voorwaarden. En je snippert dan alvast de uren van de analoge klok naar binnen.
    Getallenlijn die in het oogfixatie­veld past

Afbeelding 12.

3) Heeft de getallenlijn een markante vorm?

De ogen kunnen zeer goed markante 2D-patronen herkennen, bijvoorbeeld gezichten ). Ook de ogen van zeer jonge kinderen en schapen hebben daar opvallend weinig moeite mee. Een getallenlijn heeft twee markante punten: het begin en een eind. Maar die punten zijn bij het rekenen vrijwel nooit nodig. Een getallenlijn is verder 1D en daarmee heb je maar één ruimte­lijke dimensie om patronen te tonen. De getallenlijn zou spleetkijkers dus prima passen. Maar spleetogen bestaan niet en het gaat bij het rekenend optellen vooral om veldpatronen van de getallen rond 10. Daarom is het moeilijk te zien welke opgave afbeelding 13 toont.

De opgave ...+... op een getallen(volgorde)lijn

Afbeelding 13.

4) Past de getallenlijn het werkgeheugen?

Bij het tellen is het werkgeheugen nodig. Praat iemand tegen dan verstoort dat je tellen. Bij Tellend optellen moet het werk­geheugen bovendien onthouden en controleren of het aantal van de tweede term er al is. Bij tellend optellen is het werkgeheugen dus hard nodig. Dat getel belast het werk­geheugen wel. Er is dan geen ruimte meer om de getals­relaties, waar het eigenlijk om gaat, in het werk­geheugen te ’zien’

5) Past de getallenlijn het leren?

Leren is uitvoerige handelingen verkorten ). Met een getallenlijn kun je sneller gaan tellen. Maar dat is niet verkorten van hande­lingen. Je kunt getallen­lijn­handelingen ook niet flitsen waardoor je het tellen onmogelijk maakt en andere echte optel­handelingen afdwingt. De getallenlijn toont niet hoe het kind kan ontsnappen uit het tellend optellen. Zoals met meerling- en 1-erbij opgaven. Je kunt met de getallenlijn eigenlijk niet rekenend optellen en je kunt met de getallen­lijn­opgaven de rekenhandelingen niet automatiseren. Wel maak je van de telhandelingen een motorische reflex.

6) Past de getallenlijn het denken?

Het is verleidelijk te denken dat visuele voorstellingen als een soort foto in de hersenen zitten. Je zou dan van een foto van een getallen­lijn in de hersenen, opgaven tellend kunnen uitrekenen. Nu past een getallenlijn van 100, fysiek niet in de hersenen en uitzoomen maakt de getallen onlees­baar. De verschillen tussen de ogen en de hersenen zijn nogal groot. Groter dan tussen de vingers en de tenen. Het is dus eenvoudiger om je handtekening te zetten met je tenen dan een getallenlijn af te lezen in je hersenen. De hersenen zijn bovendien veel slimmer dan een fototoestel.

Neurologen verwachtten overigens wel dat er een getallenlijn in de hersenen zou zitten en zijn op zoek gegaan. En ... ja hoor, ze hebben de getallenlijn in de hersenen gevonden Later bleek wel dat die getallenlijn alleen werkt als het aantal niet groter is dan 4 en als je het aantal toont met stippen, niet met cijfers. Bij het optellen met de getallenlijn zijn nodig: waar­neem­hande­lingen, het verbale tellen en de motorische sturing van oog- en stem­spieren. Die taalhersenen die tellen zijn andere hersenen dan de hersenen voor het abstracte rekenen. Het echte rekenen speelt zich vooral af in de prefrontale cortex

 
Leidt spiertraining tot beter abstract denken?


Voor Freuden­thal is de getallenlijn een belangrijk leermiddel. De psycho­logische analyse geeft wat beperkingen die Freuden­thal niet noemt. Waar­schijnlijk hebben psycho­logen hem daar toen niet op gewezen Ook hebben ze hem er toen waarschijnlijk niet op gewezen dat je zijn vage ’intuïtieve’ operaties psycho­logisch goed kunt uitwerken als geautomatiseerde patroonhandelingen die de getallenlijn misschien wel beter kunnen vervangen ). En, eerlijk gezegd, kan ik daar inmiddels aan toevoegen dat ik nog al wat kinderen gezien heb waar het tellen met vingers niet meer uit te slaan is.

Dus ...

Rekenen met de getallenlijn. Tja, wat nu? De getallen­lijn is een volgorde-getalmiddel (lijn-kennis) om aantal-getal (veld­-kennis) te verwerven . Daardoor lopen volgorde­getal en aantalgetal door elkaar in beeld en woord. Hij is oogonvriendelijk en het kind kan de hande­lingen die het met de getallen­lijn uitvoert niet verkorten. Die materiele handelingen lijken ook niet op de mentale reken­hande­lingen die je wilt hebben.

Die getallenlijn is misschien wel een gatellenlijn.


  2.4 Hoe vertel je Tellend optellen?  


Naast het verplaatsen van blokjes en kijken naar vingers en kralen is er ook een teltaal. Hoe zit het daarmee?


2.4.1 Past het woord getal bij tellend optellen?

Het woord getal past wel bij tellend optellen, mits je er volgorde voorzet. Het woord volgorde is ongebruikelijk. Volgordegetal en aantalgetal verhaspelt men vaak. In dit hoofdstuk gaat het om tellen, volgordegetal dus en in het volgende hoofdstuk gaat het om aantal bepalen, aantalgetal.


2.4.2 Past de vraag: Hoeveel is? bij tellend optellen?

Het woord hoeveel heeft meer betekenissen:
  • Als je nog niet cultureel aangepast bent en dus een natuurlijk antwoord geeft dan is antwoord op de vraag: Hoeveel? in principe: 1, 2, 3 of veel. In de natuur betekent dat: Weg wezen, teveel wolven voor ons. Dat is dus ANS: het Approximate Number System.
  • De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint taartjes af te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • Hoeveel betekent voor het aangepaste kind dus aanvankelijk: Ga tellen. Freudenthal observeerde dat ook bij zijn kleindochter
  • Maar die betekenis verandert ongemerkt in: Reken uit (niet tellend maar slim rekenend!) Met afbeelding 14 kun je eenvoudig bepalen of het kind die verandering in betekenis al ontdekt heeft.
Je kunt de telreflex voorkomen door te vragen een aantal te herkennen: Welke is dit, hoe heet hij, wat staat daar? Het aantalgetal dus. Verder kun je de telreflex onmogelijk maken met flitsen. Flitsen is het aantal zo kort tonen dat het kind niet kán tellen.


Met een dobbelsteen:

Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat téllen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen? Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg:
Hoeveel stippen?
Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem?

Hoeveel is? betekent: Ga tellen

Afbeelding 14.

 
Hoeveel is? heeft meer betekenissen.

2.4.3 Passen telwoorden bij tellend optellen?

De volgordewoorden die je bij het tellen gebruikt (telwoorden dus) zijn wel wat verwarrend.
  • Volgordewoorden zijn rangtelwoorden. Bij tellend optellen met de getallenlijn bijvoorbeeld, zou je dus eigenlijk moeten zeggen: Eerste, tweede, derde, etc. En als je bij de laatste bent zeg je: Dit is de elfde in de rij en de laatste, dus het aantalgetal is elf. Dus een telwoord is eigenlijk een rangtelwoord.
  • We zijn er nog niet. Het woord rangtelwoord is dus een dubbelzegging. Tellen is namelijk al rang bepalen. Een telwoord is dus eigenlijk een rangtelwoord. En wat in de taal een telwoord heet is eigenlijk een aantalwoord. En wat de taal een rangtelwoord noemt is dus een volgordegetal.
  • We zijn er nog steeds niet. Eigenlijk is rang ook niet genoeg. Het moet ranggetalwoord zijn. Je hebt immers ook rang­letter­woorden. Je kunt duidelijk zijn met rangletterwoorden. Dat woord kent het woorden­boek en Google niet maar rangletterwoorden bestaan wel. In teksten, bijvoorbeeld:
    a) xxxx,
    b) yyyy,
    etc.
    ').
    Maar ja, krijg dat er maar eens door: Niet achtste zeggen maar g-de. Alhoewel, het komt wel voor. In de USA krijgen kinderen geen 10 op hun rapport maar een A. De scholen zelf daar krijgen ook een rang. Maar dan weer geen aantalrang, eigenlijk ook geen volgorde/ letter rang maar een vreemde mix. Het hoogste is dan 5 sterren. Maar ja, 5 sterren lijkt dan 5x zo goed als 1 ster maar of dat zo is, ja dat weet je niet. Methodologisch gezien is dat overigens erg onwaarschijnlijk.
  • Verder is de ene achtste niet die andere achtste. Het woord achtste is een synoniem. Het kan namelijk een rang­telwoord zijn maar het kan ook een breuktelwoord zijn: een achtste deel van een taart.
Lastig allemaal, niet de ongebruikelijke woorden volgordegetal en aantalgetal maar die gebruikelijke woorden daarvoor.


2.4.4 Past taal bij tellend optellen?

Tellend optellen past niet. Waarom het niet past is lastig uit te leggen.
  • De talige structuren zijn een volgordebrij. Zoals dat geldt voor het alfabet, de telwoordenrij en de getallenlijn hebben nauwelijks een waarneembare structuur en tonen de ogen en de oren geen markante punten en markante patronen.
  • De telwoordenrij is taal. De veronderstelling dat denken gewoon stil en snel praten is, dat is de Sapir-Whorf-hypothese. Denken en dus ook rekenen is dan gewoon snel praten. Die gedachte is door psycho­logen al weer enkele decennia geleden verworpen ).
  • Verder heeft cognitief onderzoek bij dieren inmiddels ook duidelijk gemaakt dat dieren geen taal hebben zoals mensen maar dat ze wel degelijk kunnen denken, wat dat denken dan ook is Maar typische taal­handelingen als tellen beheersen ze niet.

Dus ...

De belangrijkste woorden voor het tellen en rekenen zijn wat onduidelijk. Hoeveel is heeft meer betekenissen. Het woord getal heeft er meer dan 4. En de woorden volgordegetal en aantalgetal bestaan niet en volgordegetal en aantalgetal verhaspelt men.


  2.5 Hoe mentaliseer je Tellend optelllen?

  

2.5.1 Past tellend optellen bij het rekenen?

De evolutie en dus de hersenen houden niet zo van lijn­handelingen als tellen. En niet zo van spier­handelingen. Te dom. Te gevaarlijk en niet flexibel ). Mentaal tellen. Tja. Mentaal tellen dat kan eigenlijk per definitie niet. Het tellen blijft het uit­voeren van spier­handelingen. Dat was al in 1957 de stelling van Davydov Tellen met volgordegetallen is verder ook iets heel anders dan rekenen met aantallen. Tellen met blokjes is ook geen materialisering van een mentale rekenhandeling zoals je wel hoort. Er zijn ook geen moge­lijk­heden het tellen mentaal te verkorten. Je kunt motorisch het tellen versnellen door kralen sneller te verschuiven. Maar de aard van de handeling verandert niet. Alleen tellend zullen kinderen nooit ’intuïtief’ 8+5 leren optellen stelt Freudenthal Zo kun je wel tellend maar niet rekenend bepalen hoeveel de positie van de letter d plus die van letter k samen is.

Psychologisch is er het volgende aan de hand.
  • Kinderen rekenden honderden opgaven tellend uit. Dat tellen is een eenvoudige motorische handeling. Eenvoudige motorische handelingen versnellen steeds meer en worden op den duur geautomatiseerd uitgevoerd. Maar het blijven motorische handelingen die geen mentale reken­handeling kúnnen worden. Mentaal tellen, dat wil zeggen stil tellen, blijkt ook even lang te duren als hardop tellen
  • De mótorische télhandelingen worden dan wel een reflex. Dat is ook wat er gebeurt als men, zoals dat in het onderwijs noemt, sommen automatiseert. Die motorische reflex zit dan het denkend optellen steeds meer in de weg omdat er eigenlijk geen noodzaak is denk­hande­lingen uit te voeren. Zeker niet als je onder de 20 blijft.
  • Dan komt het. Krijg die motorische telreflex er dan maar eens uit. Ga maar eens rijden in een auto waarin de rem- en het gaspedaal verwisseld zijn ).
  • De handelingspsychologie bedoelt met automatisering overigens het automatiseren van een méntale handeling. De dénkhandeling wordt verkort tot een soort mentale reflex.
  • Als teller heb je in groep 4 ineens problemen met je telreflexen. De opgaven zijn niet meer tellend op te lossen ).
  • Bovendien heeft de teller gemist hoe kijkend op te tellen en hoe rekenend op te tellen.
Psychologisch is het dus heel begrijpelijk dat kinderen zonder moeite 5 nieuwe tamelijk ongestructureerde woorden per dag leren maar dat 10 zeer gestructureerde erbijopgaven onder 12 er in twee jaar rekenonderwijs geen mentale reflex worden. Ook de statistieken zijn dan begrijpelijk. Zo rekent 61% van de ’rekenzwakken’ uit groep 4 de opgave 5+6 goed uit. Maar doet daar wel 12.1 seconden over. Ze tellen dus. Er is geen geautomatiseerde mentale handeling. Dat is bijna net zo lang als kinderen uit kinderen uit groep 3. Zij hebben 13.6 seconden nodig.

Leren tellen is geen probleem. Het probleem is misschien wel dat de kinderen leren tellen.

Dus ...

Tja, tot zover het tellend optellen. Het past het rekenen, het waarnemen en de hersenen niet. Wat past de ogen en de hersenen nu wel? Dat is een eenvoudige vraag voor de psychologie. Mensen, baby’s en schapen hebben al een paar miljoen jaar ervaring met visuele patronen. Die gaan er dus in als koek. In het volgende hoofdstuk dus de vraag of visuele patronen van aantallen er bij kinderen van groep 2 en 3 ook ingaan als koek.


Voetnoten:
1)Of in een invalideauto waarin de rempedaal vervangen is door de knijprem van een fiets.



 Andere hoofdstukken  

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/voorwoord.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/voorwaarden.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/tellend_optellen.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/kijkend_optellen.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/denkend_optellen.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/nul.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/plaatswaarde.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/breken.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/ruilen.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/getal_kennis.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/psychologie_kennis.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/statistieken.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/literatuur.php
www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/index_tot_alfabetisch.php




+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.