Hoofdstuk 2 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 aug. 2022.

2 Tellend optellen

Door tellen blijven kinderen tellen

Een mist van woorden en middelen ontnemen het zicht op volgordegetal en aantalgetal. Wil je het vijfde soepje of vijf. Hier het volgordegetal: aantal bepalen door tellen. Daarna aantal bepalen door rekenen.

2.1 Wat is Tellend optellen

Aanvankelijk leren kinderen ’onzinnige’ rijtjes als Iene, miene, mutte. en Un, dun, dip. En natuurlijk het rijtje Een, twee, drie .... Het opzeggen van dat laatste rijtje heet tellen en (uit)rekenen. Niets aan de hand.

2.2 Tellend optellen in het leerproces

Inderdaad, nog niets aan de hand. Maar het is wel de vraag of het kind en de rekenmeester zich realiseren dat het aantal bepaalt met een volgordemethode.

2.3 Hoe vermaterialiseer je Tellend optellen

2.3.1 Met aftellen

De vingers geven een goede materiële steun bij het tellend optellen, bijvoorbeeld 2 (vingers) + 4 (vingers). Het tellend optellen is eerst nog zeer uitvoerig en materieel. Eigenlijk is dat nog geen optellen maar gewoon een rijtje opzeggen.

sommen uitrekenen door aftellen op vingers leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Optellen door de twee termen af te tellen

Verbeelding 7.

2.3.2 Met bijtellen

sommen uitrekenen door bijtellen leren rekenen optellen aftrekken basisschool

Tweede term direct bij de eerste term tellen

Verbeelding 8.

Bij de volgende stap gebruikt het kind geen concrete objecten (vingers, blokjes) voor de eerste term maar concretiseert het kind met bijvoorbeeld de vingers alleen de tweede term: Bij 3+4 zegt het kind 3, steekt dan 4 vingers op en telt door 5,6,7 is 7. Bollebozen kun je nu al herkennen aan creatieve methoden om problemen bij het tellen te voorkomen.

Eerst het aantal puntjes voor de tweede term neerzetten. Heel slim zo’n geheugensteun, want je weet dan wanneer te stoppen met tellen.
Een andere methode is bij het doortellen met de pen op tafel tikken. Dit tikken gaat dan niet willekeurig maar in bepaalde figuren: bij 8 bijtellen, tikt het kind 2 groepjes van 4 tikken die een vierkant vormen. Ook slim, zo’ auditieve geheugensteun. Bollebozen perfectioneren deze methode wel en maken zo vermenigvuldigingen en delingen onder de 100 zonder ook van delen of vermenigvuldigen gehoord te hebben
(Verschaffel, 2022).
Verschaffel, L., (2022). Veertig jaar onderzoek over vraagstukken en contextopgaven: wat hebben we geleerd? Panama conferentie, 30 juni - 1 juli 2022, Zeist.

Geen link.
Een goede methode om de tel niet kwijt te make is: 17+4=?. Kind: 17+4 is 18 één, 19 twee, 20 drie, 21 vier, er komt dus 21 uit.

Het kan allemaal. Het is slim. Als rekenmeester beloon je zo n creatieve vondst. Maar je wilt die kant niet op.

Kinderen kunnen de volgende fouten maken.

Zo kunnen kinderen na het uitrekenen van de som de stand van hun vingers niet interpreteren: wanneer ze bijvoorbeeld twee vingers overhielden, wisten ze niet of de uitkomst 2 of 8 was.

Sommige kinderen steken een verkeerd aantal vingers op. Bij het uitrekenen van de opgave 4-3 steekt het kind vijf vingers op, haalt er drie weg en gaf als antwoord 2.
Sommige kinderen maken startfouten.

Startfout bij optellen door bijtellen

Verbeelding 9.

2.4 Hoe verbeeld je Tellend optellen

De materiële handelingen nemen af en de optelhandelingen worden meer visueel. Het kind kijkt alleen naar zijn vingers of de blokjes die het concreet ziet.

Boven de tien en te weinig vingers? Dan neem ik mijn tenen. Boven de 20 en te weinig tenen? Dan zet ik hem op mijn neus.

2.4.1 Met kabouters en paddenstoelen

Je kunt getallen ’realistisch’ maken met kabouters en fabels die niet gebonden zijn aan enige logica. Dat is misschien niet handig voor het kind in de overgang van denken waarin fantasie en werkelijkheid niet zo sterk gescheiden zijn, naar een fase met besef van een werkelijke wereld.

Getallen en rekenen zijn een wereld met keiharde logische regels. Creativiteit en fantasie mag en moet maar wel binnen de rekenregels. Paragraaf

§ 1.3.1

liet zien dat er psychologisch veel mis kan gaan met creatieve grafische ’leer’materialen.

2.4.2 Met turven

Vooral bij onderbrekingen van het tellen is het handig met turven de stand bij te houden, bijvoorbeeld van de hoeveelheid geladen turf of het aantal gedronken biertjes.

Turven

Verbeelding 10.

Vijf is een markant aantal. De presentatie van vijf turven is oogvriendelijk

(zie § 8.3.2)

. Hoeveelheden tot vijf kunnen kinderen in één keer visueel herkennen. Het visuele beeld is tamelijk markant. Zonder tellen kan je zien hoeveel het er zijn. Daar wil je naar toe. Worden vijf turven nog niet in direct herkend dan kan het kind terugvallen en gewoon de streepjes tellen. Boven vijf wordt het lastiger maar 5+1 en 5+2 zijn dan dichtbij.

Het kind rekent dan al niet meer tellend maar het telt rekenend op. (Vinger)tellend rekenen begint te verdwijnen en rekenend tellen komt stiekem in zicht. Een creatieve grafisch ontwerper kan de vijf streepjes van 5 turven dynamisch gemakkelijk vervormen tot het cijfer 5. Geleidelijk aan kan de leermeester de turven vervangen door cijfers. Eerst vijf turven bijvoorbeeld. Met turven sluipt ook het vermenigvuldigen de hersenen in. In dit geval de tafel van vijf.

2.4.3 Met stipgroepen

Nu zijn die turven natuurlijk handig voor de handen wanneer je biertjes op een kerfstok moet noteren. Maar echt handig voor de ogen zijn die turven niet.

Het oog is tamelijk slim en kan vrij snel aan het patroon van het gezicht van de leider zien, of deze boos begint te worden

(zie § 8.3.0)

. Daarom kan het mensenoog ook maar liefst 15 zeer oogonvriendelijke lettertekens waarnemen en kunnen de hersenen deze in een oogwenk interpreteren.

Toon een teller de 9 stippen hier rechts. Aanvankelijk zal de teller de stippen gaan tellen. Maar het visuele beeld is aanzienlijk eenvoudiger en markanter dan een tekst van 10 priegellettertekens of het gezicht van een boze baas. Zo eenvoudig dat het oog vrij snel in één keer doorseint: Groep van 5 en groep van 4. Met één fixatie kan het oog de eerste term, de tweede term en de uitkomst zien. Geen oogspier-tel-handelingen. Niets te onthouden in het werkgeheugen. Ook de volgende stap is al te zien: 5+4=5+5-1 Blijft de teller tellen? Toon het aantal steeds korter. Dan kán de teller niet meer tellen.

Door flitsen tellen onmogelijk maken

Verbeelding 11.

www.rekenhaas.nl/t3.php

Toon de stippatronen vaak. Hang ze in de klas, desnoods aan de getallenlijn, boven het bed en ga er mee kwartetten. Speel met dobbelstenen en dominostenen. Wie het hoogst gooit, mag de steen hebben. Je kunt de leertijd en de fun verbeteren met een prijzengeld op speed. Wie het eerst zegt hoeveel er gegooid is mag de steen hebben.

De taalmeester doet dit al jaren zo met een leesplankje waarop globaalwoorden staan Aap, noot, Mies. De apenmeester doet dit trouwens ook al jaren. Apen kunnen ook uitstekend (stip) patronen herkennen. Zelfs zonder eerst met blokjes geteld te hebben. Zelfs beter dan mensen

(De Waal, 2017).

2.5 Hoe verwoord je Tellend optellen

2.5.1 Met Hoeveel is?

De bakker zegt: Hoeveel taartjes? De klant telt het verjaarsbezoek en zegt: Zes personen moeten een taartje hebben. Ook de bakker begint te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

De rekenmeester zegt: Hoeveel is 2+4? en het kind begint net als de bakker en de gastvrouw te tellen. Niet handig van de rekenmeester, zeggen Ga tellen. als je niet wilt dat het kind gaat tellen. Op Tenerife heeft zo'n homoniemen-misverstand ooit ruim 500 vliegtuigpassagiers het leven gekost

(Raad voor de luchtvaart, 1979)

noot 1.

Dit taalmisverstand over de vraag Hoeveel is. is gemakkelijk vast te stellen, bijvoorbeeld met een dobbelsteen:

Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat téllen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 4 stippen, zeg: Hoeveel stippen?. Kind gaat tellen.
Toon 5 stippen, en bedek de dobbelsteen na 1 sec. zeg:
Hoeveel stippen?
Kind zegt ijskoud: 5 en denkt: Wat is toch het probleem?

2.5.2 Met Optellen maar?

Ook bij Optellen maar. zet de rekenmeester het kind op het verkeerde been. Als je tegen een kind zegt: Tel 4 en 5 eens op. dan moet je niet verbaasd opkijken wanneer het kind gaat tellen. Je zegt immers tel op. Als je niet wilt dat het kind gaat tellen, gebruik het woord tellen dan niet maar bijvoorbeeld Reken deze som eens (slim) uit.

2.5.3 Met uitleg van de rekentaal

Het =teken betekent niet: Hierna moet de uitkomst komen. maar: Is evenveel als.
p+a=pa mag je van de taalmeester niet spiegelen pa is niet ap. maar 1+2=3 mag je van de rekenmeester wél spiegelen 3=2+1. Dat is de commutatieve wet.

De plaats van het plus-, min- en is-teken is van belang. Dit komt aan het licht bij puntsommen (1+.=3). Het kind ziet twee getallen en voert de operatie uit die het symbool aangeeft. Bij de som 1+.=3 is het antwoord dan 4. Het woord puntsom, zegt iets over de uiterlijke vorm, de opdracht en de uit te voeren handeling. Het woord puntsom is daarom onduidelijk. Een beter woord is vleksommen. (Het is namelijk een 'gewone' som waar een vlek op gekomen is.)

Vleksom

Verbeelding 12.

Benoem typen sommen en getallen die bepaalde (eenvoudige) oplossingsmethoden mogelijk maken: tweelingsommen , 2+2, 4+4. Ook wel dubbelsommen/zusjes/broertjesommen)), bijna tweelingen (2+3, 4+5), omdraaiers: 2+7=7+2, maar 7+2 is minder telwerk, (hele)tienen, nulsommen.

2.5.4 Met rijmpjes

Rijm geeft geen inzicht maar

rijm vereenvoudigt het onthouden aanzienlijk (

noot 2). Bijvoorbeeld rijmpjes om de tweelingen te automatiseren.

Juf:	Klas:
Doe je even mee:	1+1= ...
En nu dan deze hier:	2+2= ...
En hier de volgende les:	3+3= ...
En had je dat gedacht:	4+4= ...
En had je dat gezien:	5+5= ...
En het is niet gelogen:	6+6= ... ogen.
Ik hoef dit niet te vragen:	7+7= ... dagen.
Deze weet ik zonder horten of stoten:	8+8= ... poten.
Net geen tien dat is toch balen:	9+9= ... kralen.
Tot slot die moet je weten:	10+10= ... Dat mag je niet vergeten.
Bron: Veilig leren lezen. Rijm vereenvoudigt onthouden Verbeelding 13.

2.6 Hoe vermentaliseer je Tellend optellen

Mentaal tellen kan eigenlijk per definitie niet. Dat was reeds in 1957 al de stelling van Davydov

(Parreren & Carpay).

Je moet met een motorische, visuele of verbale handeling de tel bijhouden. En het is allemaal téllen. Het is Iene, miene, mutte. Het is lijnkennis

(zie § 9.2.3.)

. Bij sommen met grotere getallen kom je met Tellend optellen in de problemen. Verder is de wendbaarheid en de mate van generalisatie van tellen erg beperkt.

Je kunt wel stil tellend optellen, eventueel ondersteund met een visuele voorstelling van je vingers. Er zijn nog steeds telwoorden en mogelijk zelfs stem- of hoofdspierbewegingen. Bovendien moet je twee tellingen tegelijk uitvoeren, namelijk een telling voor de eenheden die bij de eerste term komen en een telling van de eenheden van de tweede term die geteld zijn. Het is en blijft lijnkennis als Iene, miene, mutte.

Dus ...

Tellen kunnen kinderen wel. Tellend optellen kunnen ze ook wel. Maar Tellend optellen wil je als rekenmeester niet. Dus naar het volgende hoofdstuk:

3 Rekenend optellen

Voetnoten:

1) Raad voor de luchtvaart. (1979). Uitspraak van de Raad voor de Luchtvaart. Inzake het ongeval op 27 maart 1977 op het vliegveld Los Rodeos op Tenerife.
http://www.project-tenerife.com/nederlands/PDF/Rapport_RVDL.PD

2) Leren is meer struinen in een stad met paden dan stampen in een kast met laden
www.humanefficiency.nl/psychologie/leren_onthouden_instampen.php