De tienvoudnul, het probleem

x

Al in groep 2 verschijnt het getal 10 met de tienvoudnul. Bij het lezen zijn de letters oe twee letters voor één klank. Bij het rekenen is dat anders. Daar toont 10 ook twee tekens maar dan wel voor twéé getallen.

1 Beeld van 10

Met aantalbeelden kan het kind goed leren automatiseren onder 10. Dat geldt ook voor het beeld van het tienvoud. Het aantalbeeld van 10 moet cirkelvormig zijn zodat het beeld

in het oogfixatieveld past.

Dan is ook

directe interpretatie

mogelijk. is_oogfixatieveld begin

Het oogfixatieveld

is een cirkel van 10-15° rond het oogfixatiepunt. Daar bevinden zich veel receptoren. Met dit veld vindt nauwkeurige identificatie plaats. is_oogfixatieveld eind Een slechte pasvorm betekent meer oogfixaties. Het beeld moet dus in het werkgeheugen geconstrueerd worden. Dat geeft belasting van het werkgeheugen en kans op en verkeerde constructie. Lijnen zijn geen 2d-beelden. Dus de gebruikelijke telramen en getallenlijn voldoen nauwelijks aan deze eis. Ook dubbele lijnen zoals bij eierdozen en kwadraatbeelden zijn geen 2d-beelden. Wel voldoet een beeld van 2x dobbelsteen 5 en de rekenman van afbeelding 1 geven. Lijnmaterialen passen niet in het oogfixatieveld.

Het rekenmannetje

Afbeelding 1.

2 Geen realistisch beeld voor 10

is_realistisch_beeld begin

Realistische beelden

zijn concrete objecten uit de werkelijkheid die dienen als metafoor voor getalstructuren en abstracte rekenhandelingen. is_realistisch_beeld eind Die beelden blijken het rekenen vaak niet echt goed te passen. de boekzaksom, de boekzaksom, de bus,dobbelstenen,eendjes,de eierdoos, kabouters, liften, munten voor automatiseren van sommmen <10,munten voor de tienvoudnul,paddenstoelen, de rekenman en verliefde harten. Punten, stippen en kralen zijn geschikt want die lijken nergens op. Bovendien kun je ze ergens op laten lijken voor concrete verwoording (afb. 2).

Dit zijn er 6, het is net een fles

Afbeelding 2.

3 Vijf markant

is_dobbelsteen5 begin

Dobbelsteen vijf

is zowel wat voor de (tientallige) getallen en voor het oog een cruciaal beeld voor aantal. is_dobbelsteen5 eind Twee afbeeldingen van dobbelsteen 5 tonen het aantal tien dat direct, zonder tellen herkend kan worden (groupitizing

, Wege et al. 2022).

2x dobbelsteen 5 geeft een direct herkenbaar aantal 10

Afbeelding 3.

4 Nul zichtbaar

Hoe toon je niets? Op de staaf zie je pas dat er 10 kralen op staan wanneer er 11 op staan.

Nul is een cruciale lastpak die vaak verborgen wordt.

De middelen moeten nul dus wél tonen. Vooral de tienvoudnul. Dit kan wanneer je containers hebt met 10 zitplaatsen voor de 10 eenheden. De lusabacus toont nul wel, namelijk als een lege staaf (afb. 4). De kralen die niet meedoen zitten achter een schot (afb. 5). Je hebt dan gelijk een concrete verwoording voor de tienvouden namelijk een volle staaf of een volle bak. Er is er dan één met een andere kleur. Bij de eierdozen, Clement en de ballenbakken is nul wel te zien. Deze middelen kunnen met een lege container nul tonen: een lege staaf, een lege bus, een lege lift of een lege bak. Je hebt dan gelijk een concrete verwoording voor de tienvouden namelijk een volle staaf of een volle bak.

5 Tien eenheden zichtbaar

De 2 van 23 is voor de kinderen niet concreet te zien dat het om 20 eenheden gaat. Hoe zichtbaar is dat bij munten, de getallenlijn en de lusabacus?

5.1 Munten

De literatuur beveelt in groep 3 en 4 munten aan om de tienvoudnul te leren begrijpen.

5.1.1 Eén cent

De woorden kraal, ei en stip zijn concrete verwoordingen voor één. Het woord cent is niet concreet. Een cent bestaat niet meer in de kindrealiteit. Een betere naam voor cent zou dan eventueel centje zijn (een honderdste) of centde net als een tweede (deel) voor de helft. Maar ja, een centde ligt dan weer niet gemakkelijk in de mond.

5.1.2 Tien cent

De munt van 10 cent toont geen 10 centen. Alleen het abstracte slecht leesbare getal 10 op de munt verwijst naar 10 eenheden. Hij heet ook geen tiener of tientje of zo iet maar duppie of dubbeltje (een dubbele stuiver). Maar 10 euro’s heten dan weer niet een (grote) dubbele of een tiener maar een (klein)tientje. Waarom dat tientje klein is onduidelijk. Er zijn geen grote tienen. Ingewikkeld allemaal. Niet dat 10 cent 10 cent is maar al die woorden daarvoor. Niet 10 dubbeljes of 5x10 of zo iets.

5.1.3 Honderd cent

Het woord gulden (gouden munt) gaf nog een beetje aan dat het om veel ging. Naast eenheden als cent is er ook de euro als eenheid. Aan het woord euro is niet te horen dat het om 100 eenheden gaat.

Het woord euro geeft geen indicatie over de waarde. Een duidelijk woord voor de euro zou zijn een honderdje, namelijk 100 cent. Maar ja, krijg dat er maar eens door. Op de 1 euro munt staat een 1 en dat moet 100 zijn. Er staat op 1 euro cent en dat cent betekent niet geld (centjes) en ook niet 1 cent maar dat betekent 100 cent. 50 cent is wel iets groter dan 1 euro, maar de delft minder. Je moet dan wel onder de euro blijven omdat 10% van groep 4 denkt dat 1 euro gewoon 1 cent is. Dat klopt overigens. Er staat 1 op en niet 100. 13% legt de 1 € en 2€ munt niet bij 100 of 200 op het meetlint maar bij 1 of 2 cm.

Bovendien is dat woord honderdje al in gebruik voor 100 euro. Afzonderlijk teken € x% noemt euro's gewoon cent en x% noemt centen gewoon euro' Vertel je 'rekenzwakken' kinderen dat euro eigenlijk honderd betekent dan wordt je aangeken met een blik van Meen je dat nou echt? en zeg je Ja echt. dan verandert de blik in: Wat debiel zeg. Het inwisselen vinden de kinderen lastig. Natuurlijk omdat inwisselen lastig is maar ook omdat wat ze zien het omgekeerde. Eén munt (1€) is evenveel waard als 10 munten (van 10 cent).

Hoeveel cent in 1 of 2 euro?


1€=100 cent:	50% goed,	4 s.,	0% weet niets,
2€=200 cent:	50% goed,	4 s.,	0% weet niets,	8	0
1x50_5x10?:	11% goed,	1 s.,	0% weet niets,	16	0
1x1_2x50?:	25% goed,	2 s.,	0% weet niets,	9	0
1x1_10x10?:	22% goed,	2 s.,	0% weet niets,	8	0

Al met al is het dus begrijpelijk dat kinderen centen en euro's door elkaar halen. Een cent betekent eigenlijk 100 en centjes zijn niet kleine centjes maar meer centen.
Centen/centjes:14
Munten:71
Weet niet:14

Groep 3:

14% goed,

71 s.,

14% weet niets,

Groep 4:

9% goed,

82 s.,

9% weet niets,

5.1.4 Zichtbaar aantalverschil

De munten tonen wel duidelijk verschil in afmeting. Maar die correspondeert niet met het aantal en zeker niet met tientalligheid. Ook aan de munt is niet te zien dat het om 10 dubeltjes of 100 centen gaat. Ook de afmeting geeft geen indicatie. Aan niets is te zien of het horen dat het gaat om 10 tienvouden. Het dubbeltje is niet 10x zo groot als een cent. Het dubbeltje is kleiner dan een stuiver maar is wel meer. Ook bij de woorden is er het woord niet in overeenstemming met de waarde. Je zou de munten op de getallenlijn kunnen zetten om hun onderlinge waarde te tonen. Dat gaat prima zoals op afbeelding te zien is. De kinderen kunnen de munten ook goed op het muntenveld plaatsen.

Hoeveel is dit samen?

Afbeelding 4.

De tienvoudmunten hebben vreemde en abstrate namen. Er lopen twee tienvoudsystemen door elkaar: de centen en de euro's. De eenheden zijn niet zichtbaar. De afmeting correspondeert niet met de waarde.

5.2 De getallenlijn

Op de getallenlijn is de 10 na de 9 gewoon eentje verder. Net als de 9 na de 8. De getallenlijn toont ook niet dat 10+9 gewoon 9 op de 0 van 10 is. Er is niet te zien dat het een tienvoud is. Met de getallenlijn kun je daarom niet met de tienvoudnul rekenen. Zeker niet als je de tienvoudnul niet begrijpt. En daar gaat het nu net om. Tienvoudnullen kun je op de getallenlijn overigens wel enigszins zichtbaar maken zoals in afbeeldng 5.

Toon de verborgen nul

Afbeelding 5.

5.3 De lusabacus

Freudenthal

(1983)

ziet de lusabacus wel zitten voor de tientalnul. Hij is inderdaad een goede materialisering van plaatswaarde, tientalligheid en inwisselen. Maar ja, die lusabacus is niet zo populair bij het volk. Wel begrijpelijk. Hij moet eigenlijk nog een beetje psychologisch uitgemillimeterd worden.

Vraag je een kind 21 kralen op de gebruikelijke lusabacus (afb. 6 te zetten dan krijg je 20 kralen op de eenheden staaf en 1 kraal op de tienvoudenstaaf. Op zich correct maar een typische vorm van (getallen)lijndenken. Nog geen 'intuïtief' plaatswaardedenken. De bedoeling van de lusabacus is één kraal op de eenheden en twee kralen op de tientallenstaaf (afb. 7).
Er 'verdwijnen' dan 10 kralen van de rechtste eenheden staaf achter het schot. Daarvoor in de plaats komt één tientallenkraal van de tweede staaf voor het schot. Dat is toch wel magic. Zo is er ook één kraal voor honderd op de derde stang. De derde van rechts dus. Met de lusabacus kun je goed tegen de leesrichting in sturen. Eén kraal die ook 10 kralen is.

Je kunt dit abstracte ruilen van 10 vor 1 op de lusabacus concreet zichtbaar maken met stippen op de kralen. Dus op een tienvoudkraal 10 stippen (afb. 6). Je praat fdan niet meer over kralen maar over stippen. Dan klopt je beeld en je verhaal wel.

Lusabacus met tienvouden (stippen)

Afbeelding 6.
©
Gebruik voor niet
commerciële
doelen en met
bronvermelding
toegestaan.

De gebruikelijke lusabacus met een schot voor de kralen die niet meedoen

Afbeelding 7.

Een tweede probleem is je niet kunt zien dat het tiental vol is en dat je dus moet inwisselen naar een hoger tienvoud. Het verchil tussen 9 en 10 kralen is niet te zien.
- Het Oosterse telraam kent dat probleem ook (afb 8). Er zijn maar 4 onderkralen. Bij het aantal vijf moet je 1 naar beneden tegen de witte balk schuiven. Die staat dan voor 5. Je zou dat op de lusabacus ook kunnen doen door niet 10 maar 9 gekleurde kralen te nemen. Staan er 10 kralen op de stang dan zie je 9 gele kralen en 1 rode kraal. Twee kleuren op een kraal dat mag niet.
- Je kunt dat oplossen door een streep op het schot of de stangen te zetten. De tiende kraal komt dan boven de streep en dat mag niet, die moet die 10 ruilen voor een 10-kraal.

Onder de witte balk de eenheden tot en met 5. Voor 5 schuif je één 5tal kraal naar de witte tussenbalk.

Afbeelding 8.

Een beetje ingewikkeld allemaal, die tienvoudnul. Misschien uitstellen tot groep 5? Of gewoon overgaan op zelfontdekkend leren.

6 Geen symbolen

Symbolen zoals cijfers tonen geen aantal(structuur) maar zijn abstracties van aantallen. Het is niet handig iets nogal abstracts als de tienvoudnul uit te leggen met iets abstracts als cijfers. Vooral niet wanneer niet duidelijk is of het om volgordegetallen of aantalgetallen gaat. Een tienvouden zijn aantalgetallen.

7 Tienvouden concreet verwoordbaar

7.1 Het woord voor tienvouden

Er zijn verschillende woorden voor tienvouden.

Het gebruikelijke woord is tiental. Honderd jaar geleden was dat tal nog wel gebruikelijk bijvoorbeeld bij de kinderboekbestseller Afke's tiental. Het woord tiental heb ik kinderen vrijwel nooit horen zeggen. Bovendien wil je in deze fase van het leerproces toch niets meer te maken hebben met getel.
Een duidelijk woord zou zijn tienling(nul). Je bouwt dan voort op het zeer concrete en in de kindwerkelijkheid voorkomende tweeling
Dat is het het begin van het aantalbegrip.
Met klik naar meer daar over het belang van het woord ling:

Ook een tweeling som (4+4) sluit daarop aan. Het woord tienling is eigenlijk ook niets nieuws. Later bij het vermenigvuldigen komt ling ook goed uit omdat het duidelijk maakt wat vermenigvuldigen is. Ook is dan duidelijk wat de vermenigvuldiger en wat de vermenigvuldigde is: Hoeveel kinderen heb je als je 3 tweelingen hebt? Maar ja, voorlopig zul je met de kinderen maar af moeten spreken dat tienling een van jullie geheimwoorden is. Hier voorlopig maar tienvoudnul. Daar kiezen we hier dan voorlopig maar voor. Het rekene kan zo ook de woordenschat uitbreiden door een relatie te leggen met woorden als: eenoud, veelvoud en meervoud. Later komt dan ook nog dat gemene veelvoud.

8 Plaatswaarde tonen

8.1 De ontdekking van plaatswaarde

De Romeinen hadden geen plaatswaarde per getal maar per cijfer. IV is 6 en VI is 4. De I (een) rechts van V (vijf) moet je aftrekken van V. De Romeinen schreven het getal 8888 als in afbeelding 9.

Niet echt handig, die Romeinse schrijfwijze. Ga er maar eens een staartdeling mee maken. Het systeem kent nog meer onhandigheden. De Romeinen hebben 5 x meer tekens nodig dan wij en met ons de Arabieren. Dat is veel hakwerk voor de Romeinse steenhouwer en veel kijkwerk voor de ogen van de lezer In het eenvoudig Romeins schrijf je MMMMMMMMDCCCLXXXVIII voor 8888. De systemen van de Maya’s en de Egyptenaren waren nog ingewikkelder.

MMMMMMMMDCCCLXXXVIII
romeinsegetallenHet getal 8888 met Romeinse cijfers

Afbeelding 9.

De getallen van de Egyptenaren

Afbeelding 10.

Het getal 79 in het schrift van de Maya’s

Afbeelding 11.

8.2 Plaatswaarde nu

Door de ingewikkelde notaties van de getallen konden aanvankelijk alleen genieën met de getalsystemen rekenen. Rond 1200 kwam Leonardo da Pisa met het huidige systeem waarmee rekenmeesters beter konden rekenen. Rond 1600 kon Willem Bartjens het volk daarom ook uitleggen hoe te rekenen. Vandaag kunnen basisschoolkinderen rekenen.

Ons plaatswaardesysteem heeft maar één regel: Elk cijfer is tien keer meer waard dan zijn rechter buur. Eventueel nog: De nullen van de tienen staan rechts van het cijfer maar ze zijn wel verborgen ónder rechter buur. Dus bij 12 staat de 0 van 10 onder de 2. Dat zijn minder regels dan de taal nodig heeft voor het combineren van letters tot woorden.