Hoofdstuk 1 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 aug. 2022.

1 Rekenvoorwaarden

Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen aan de slag gaat, moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde, tamelijk abstracte eigenschap gaat.

1.1 Wat zijn Rekenvoorwaarden

1.1.1 Willem Bartjens

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van kennis. Het gaat voornamelijk om het leren van woorden die met hoeveelheden te maken hebben. Woordenschat dus. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen.

Voor Willem Bartjens waren de rekenvoorwaarden niet relevant. Zijn leerlingen waren oud genoeg. Hij begon gelijk op pagina 1 met de telwoorden tot 100

(Beckers & Kool, 2004).

1.1.2 Sesamstraat

Een grote sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. Rond 1969 ontstond het programma Sesamstraat in de USA. Sinds 1976 ook in Nederland, op voorspraak van denkontwikkelingspsycholoog Dolf Kohnstamm.

De grote leerachterstand bij sommige groepen kinderen moest weggewerkt worden met ’compensatie programma's’

(Iben, 1971).

Daarbij lag de focus op lees- en rekenvoorwaarden.

1.2 Rekenvoorwaarden in het leerproces

Bij rekenvoorwaarden gaat het vooral om de woordenschat die nodig is om handelingen met aantal te leren. Rekenmeesters leggen veel uit met woorden.

1.3 Hoe verbeeld je Rekenvoorwaarden

Het lastige van aantal is, dat aantal zelf eigenlijk niet te zien is, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Aantal is een eigenschap van een groepen niet van een object.

Verder is aantal een eigenschap van een eigenschap: Wat is het aantal (de eigenschap van een groep) groene stippen (een eigenschap van een groepslid). Vandaar de zorgvuldige opbouw in het vorige hoofdstuk. Hoe vertel je dit nu aan kinderen.

1.3.1 Met materiaal uit de speelgoedwinkel

Tja. De speelgoedwinkel. Een willekeurig voorbeeld.

’Leer’materiaal uit de speelgoedwinkel

Verbeelding 1.

Het cijfer 7 staat op een gele achtergrond en de 8 eendjes zijn ook geel. In die leerfase is sorteren op kleur een gebruikelijke oefening. Dus het cijfer 7 staat voor de hoeveelheid 8 zou het kind kunnen denken. Dat geldt ook voor 8 en de aardbeien.
De 7 aardbeien hebben vrij onzichtbaar twee mogelijke structuren: dobbelsteengroepering 5 en dobbelsteengroepering 2
of
dobbelsteen 3 en dobbelsteen 4.
De structuur moet duidelijk zichtbaar zijn. Bijvoorbeeld door iets meer afstand tussen 5 en 2 (of 3 en 4). Dit geld ook voor 8. Bovendien zou 8 voort moeten bouwen op de structuur die bij 7 toont. Dan is beter zichtbaar dat 8 één meer is dan 7. Het gaat allemaal immers om aantal.
Pas als je goed kijkt, is er een eendje dat de andere kant op zwemt. Welk hoeveelheidsbegrip toont dit eigenwijze eendje?
Naast cijfers staan er ook telwoorden. In deze leerfase zijn kinderen nog lang niet toe aan lezen. Ook nog niet aan lezen. Zeker niet aan klanken met dubbelletters (ch) en letters die vrijwel gelijk klinken (ch en g, t en d, z en s, v en f). De hoeveelheden 7 en 8 zijn te groot voor een mens om in één oogopslag te zien. Het kind moet dus tellen. Dat wil je juist niet. De eendjes zijn wel 'realistisch' en daarmee zou het rekenen dan ook 'realistisch' en dus goed zijn. Maar het is geen biologieles: Zo ziet een eendje er uit, ze hebben een roze snavel. Bovendien kunnen visuele en realistische details afleiden van de essentie: het aantal.
De aardbeien en de eendjes zijn verschillend gegroepeerd. Bij een dobbelsteengroepering zou het oog zien dat er één eendje meer dan aardbeien is (7+1=8).
Getallen zijn een hoeveelheidsabstractie van één kenmerk. Aardbeien en eendjes zijn optellen zijn, euh ja, levende wezens? Die kun je gaan optellen. Maar het is een beetje appels en peren optellen. Begin gewoon met het optellen van dezelfde objecten.
De 7 aardbeien passen niet in het oogfixatieveld
(zie § 8.3.2)

Klik voor meer over: oogfixatieveld

, de aardbeien zijn daar visueel niet geheel aanwezig en het aantal kan het oog niet in één keer zien. Tijdens de eerste fixatie wordt 4 bepaald door tellen of subitizing
(zie § 8.3.2)

Klik voor meer over: subitizing

. Dat geldt ook voor de 8 eendjes. In één oogopslag, zonder te tellen zien wat de hoeveelheid is. Het resultaat komt in het werkgeheugen. Tijdens de tweede oogfixatieveld wordt 4 bepaald. In het werkgeheugen wordt tot slot de som bepaald.

Het aantal is niet in een oogopslag te bepalen.

Verbeelding 2.

Dus ...

Pff. Dat is nogal wat. Zeker zo aan het begin van het eerste hoofdstuk. Maar de conclusie is wel duidelijk. Misschien toch maar niet naar de speelgoedwinkel gaan.

1.3.2 Met een vorm die het cijfer verbeeldt

Zorg dat er een overeenstemming is tussen de presentatie van het aantal en het cijfer. Vervlecht het cijfer 8 in een octopus (met duidelijk 2x4 poten). De hoeveelheid 8 past in het oogfixatieveld

(zie § 8.3.2)

, is visueel geheel aanwezig en kan het oog in één keer herkennen. Niet alleen de hoeveelheid overigens maar ook het cijfer. Met de afbeelding kan de rekenmeester eenvoudig de hoeveelheidsvraag stellen: Hoeveel stippen zitten er onder dit cijfer? Volgt het antwoord vrijwel direct dan heeft het kind het hoeveelheidsbegrip en kan het kind het cijfer 8 lezen.

Duurt het antwoord wat langer dan zit het kind waarschijnlijk nog te tellen. Dan nog even met het kind wat gaan dobbelen. In een cultuur waar dobbelen niet mag, kan domino ook.

Het aantal vervlochten in het cijfer

Verbeelding 3.

1.4 Hoe verwoord je Rekenvoorwaarden

Een getal is een abstracte eigenschap van een groep. Denken in abstracte eigenschappen, niet van objecten maar ook nog eens van groepen is erg moeilijk voor vijfjarigen.

1.4.1 Met 1 object met een opvallende visuele eigenschap

De eerst stap is eigenschappen herkennen. Kleur en vorm zijn visuele eigenschappen van een object die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet visueel waarneembare eigenschappen als gewicht, hardheid (materiaal, geluid) en ruwte gaan ook nog wel.

Eerst is de vraag slechts: Heeft het object de eigenschap? Is het blokje rood of is het niet rood. Puntkennis heet dat hier

(zie § 9.2.2)

1.4.2 Met 2 objecten met dezelfde visuele eigenschap

De volgende stap is de relatie tussen twee objecten. De eigenschap plaats is een abstracte maar toch goed waarneembare eigenschap. Daarom zijn plaatsbepalingen een goede voorbereiding op getalbegrip. Ook eigenschappen die minder dominant zijn, bereiden goed voor op het abstracte getalbegrip. Bij plaatsbepaling gaat het niet meer om één objecten, één punt maar op de relatie tussen twéé punten. Meer ove puntenkennis in § 9.2.2.

Woorden die een plaatsrelatie aangeven zijn: achter(aan), boven(aan), hoog, laag, rechts, midden, naast, onder, voor.

1.4.3 Met 2 objecten met dezelfde eigenschap in verschillende mate

Na het benoemen van een plaatsrelatie tussen twee objecten komt het benoemen van hoeveelheidsrelaties tussen twee objecten, bijvoorbeeld met woorden als: meer en minder. Verder de woorden: tellen, cijfer, getal, plus, eraf, erbij

Kinderen zullen met aantal geen moeite mee hebben. Dieren ook niet blijkt duidelijk uit onderzoek

(Nieder, 2019).

. Gaat een guppie bij gevaar niet naar de grootste groep dan is de kans groter dat het met hem is gedaan. Ook het achtervoegsel -tje hoort hier. Daarbij gaat het immers ook om een hoeveelheidsrelatie tussen twee objecten. Maar die -tje is een lastige. Bollebozen zouden wel eens op de proppen kunnen komen met de vraag: Is een snoepje een kleine hoeveelheid snoep of een hoeveelheid kleine snoepjes? En: Waarom heet een zak met grote snoepjes een zak met snoepjes en niet een zak met snoepen? En een andere bolleboos: Een tientje is 10 euro toch? en dan: Hoeveel is dan tien~~tje~~ euro? Toch een beetje een taalhutspot. Wen daar maar vast aan.

1.4.3 Met meer dan 2 objecten met dezelfde eigenschap in verschillende mate

Na het vergelijken van de hoeveelheid van twee objecten (meer/minder), volgt de stap naar het vergelijken van méér dan twee objecten, bijvoorbeeld drie objecten: groot, groter, grootst. De taalmeester noemt dat vergelijkende trap en overtreffende trap. De rekenmeester noemt dat seriatie, ordinaliteit of gewoon volgorde.

Daarna natuurlijk meer dan drie objecten, sorteren op grootte, dikte, etc. En natuurlijk, tijdens de muziekles, op volume en toonhoogte. Wanneer het kind bovenstaande globale hoeveelheidsaanduidingen en hoeveelheidsvergelijkingen begrijpt, zijn de kinderen dicht bij een de (volgorde) getallenlijn.

Volgorde, ordening van hoeveelheid van meer objecten

Verbeelding 4.

1.5 Hoe vermentaliseer je Rekenvoorwaarden

Hoeveelheid zelf is eigenlijk niet te zien, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Hoeveelheid is een eigenschap van een groep.

Verder is hoeveelheid een eigenschap van een eigenschap: Wat is het aantal (de eigenschap van een groep) groene stippen (een eigenschap van een groepslid).

1.5.1 Met abstracte hoeveelheid versus visuele hoeveelheid

Tot stomme verbazing van psychologen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een fout antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen. Behoud van hoeveelheid: het aantal verandert niet, ook al heeft een groep objecten een veel van een bepaalde eigenschap, veel blauw bijvoorbeeld.

Psychologen noemen dit conservatie

(Piaget, 1969).

De psychologen vroegen meestal Wat is meer? Je moet duidelijk vragen naar het aantal stippen. Hoe dan ook, het kind moet dit taalspelletje wel begrijpen. Apen hebben geen last van die taal en geen problemen met deze opgaven

(Nieder, 2019).

Zijn er meer
blauwe of groene
stippen?

Verbeelding 5.

www.rekenhaas.nl/v2.php

Beheerst het kind conservatie niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantal-begrip). Tenminste volgens Piaget.

Hoe dan ook, als de rekenmeester dit soort conservatie-somen geeft, toon het aantal (stippen) zo, dat te zien is wat het hoogste aantal is. Vraag dus niet ongespecificeerd: Wat is meer? Maar specificeer: Welke kleur heeft de meeste stippen? Maar ja, dat is dan weer een ingewikkelde zin. Dan is er weer een kans, dat delen van de zin op weg naar de hersenen verloren gaan. Om sneller en efficiënter te werken, kijken en luisteren de hersenen maar met een half oor en oog

(zie § 8.3.3)

1.5.2 Met meten

Minskaja (1977)

heeft een zeer uitvoerig onderzoek gedaan naar het voorbereidend rekenen van kleuters. De conclusie is dat meten essentieel is om getallen te kunnen óptellen en (optelbaarheid) te kunnen begrijpen.

In Nederland kwam

Koster (1977)

tot dezelfde conclusie. In de onderzoeken van Minskaja en Koster komen meten vóór optellen. De zesjarigen vergelijken eerst objecten die ze niet visueel kunnen vergelijken, bijvoorbeeld stokjes die niet tegelijk te zien zijn. Vervolgens onderzoeken de kinderen met een maatstokje welk stokje het langst is. De maat is de concretisering van optelbaarheid (kardinaliteit) en het verschil met volgorde. Tellen is eigenlijk gewoon meten.