voorwaarden

1.1 Wat zijn Rekenvoorwaarden

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van kennis. Het gaat om woordenschat: woorden die met hoeveelheden te maken hebben. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen.

Een grote psychologische sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. Rond 1969 ontstond het programma Sesamstraat in de USA. Sinds 1976 ook in Nederland, op voorspraak van denkontwikkelingspsycholoog Dolf Kohnstamm. De grote leerachterstand bij sommige groepen kinderen moest weggewerkt worden met ’compensatie programma's’

(Iben, 1971).

Daarbij lag de focus op lees- en rekenvoorwaarden.

1.2 Rekenvoorwaarden in het leerproces

Rekenmeesters verwoorden getalkennmis meestal. En woorden zijn lastiger dan je denkt, vooral rekenwoorden

(§ 8.4

1.3 Hoe verbeeld je Rekenvoorwaarden

Het lastige van aantal is, dat aantal zelf eigenlijk niet te zien is, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Aantal is een eigenschap van een groep objecten en niet zo zeer van één object. Hoe moet je dat dan verbeelden?

1.3.1 Met materiaal uit de speelgoedwinkel

Hoe lastig aantal te verbeelden is kun je zien in de speelgoedwinkel. Een willekeurig voorbeeld. Wat ziet het kind?

Het cijfer 7 op geel staat voor de 8 gele eendjes. Het aantal 8 schrijf je als 7 zal het kind denken. Het cijfer 8 staat op rood naast de 7 rode aardbeien. Het aantal 7 schrijf je als 8 zal het kind denken. In deze leerfase is sorteren op kleur immers een gebruikelijke oefening.

’Leer’materiaal uit de speelgoedwinkel

Verbeelding 1.

De 7 aardbeien hebben vrij onzichtbaar twee mogelijke structuren:
dobbelsteengroepering 5 en dobbelsteengroepering 2
of
dobbelsteen 3 en dobbelsteen 4.
De structuur moet duidelijk zichtbaar zijn. Vooral structuren rond 5
(§ 3.3.8

Klik voor meer over: stippen5

(§

Klik voor meer over: subitizing5

). Dit alles omdat het gaat om aantallen boven 5 die zowel voor de ogen als voor de hersenen aanzienlijk ingewikkelder zijn dan aantallen onder 5. Iets meer afstand tussen 5 en 2 (of 3 en 4) geeft al meer duidelijkheid. Dit geld ook voor 8. Bovendien zou 8 voort moeten bouwen op de structuur die je bij 7 toont. Dan is beter zichtbaar dat 8 één meer is dan 7.
De aardbeien en de eendjes zijn verschillend gegroepeerd. Bij een dobbelsteengroepering zou het oog zien dat er één eendje meer dan aardbeien is (7+1=8).
Pas als je goed kijkt, is er één eendje dat de andere kant op zwemt. Welke getalkennis toont dit eigenwijze eendje?
Naast cijfers staan er ook telwoorden. In deze leerfase zijn kinderen nog lang niet toe aan lezen. Zeker niet aan klanken met dubbelletters (ch) en letters die vrijwel gelijk klinken (ch en g, t en d, z en s, v en f).
De aantallen 7 en 8 zijn te groot voor een mens om in één oogopslag te zien. Het kind moet dus tellen. Tellen wil je juist niet om het teltrauma te voorkomen
(§ 3.2.1

Klik voor meer over: teltrauma

).
De eendjes zijn wel 'realistisch' en daarmee zou het rekenen dan ook 'realistisch' en dus goed zijn. Dat is nog maar de vraag
(§ 9.1.1)

Klik voor meer over: realistischrekenen

. Bovendien het is geen biologieles: Zo ziet een eendje er uit, ze hebben een roze snavel.

Getallen zijn een aantalabstractie van één kenmerk. Aardbeien en eendjes optellen dat is, euh ja, dat is toch iets als appels en peren vergelijken? Om nu aan een vierjarige te vragen hoeveel levende elementen er liggen is ook zo wat. Begin gewoon met het optellen van twee groepen met dezélfde objecten.

Dus ...

Pff. Dat is nogal wat. Zeker zo aan het begin van het eerste hoofdstuk. Maar de conclusie is wel duidelijk. Misschien toch maar niet naar de speelgoedwinkel gaan.

1.3.2 Met een vorm die het cijfer verbeeldt

Leren is niet instampen

(§ 8.5.1)

maar nieuwe kennis koppelen aan bestaande kennis. Zorg dat er een overeenstemming is tussen de presentatie van het aantal en het cijfer. Vervlecht het cijfer 8 in een octopus (met duidelijk 2x4 poten). Het aantal 8 en de verbeelding van het aantal pasent dan in het oogfixatieveld

(§ 8.3.4)

, en zijn visueel geheel aanwezig. Het oog kan het aantal in één keer herkennen. Niet alleen het aantal overigens maar ook het cijfer. Met de afbeelding kan de rekenmeester eenvoudig de aantalvraag stellen: Wat is het aantal stippen van dit cijfer? Volgt het antwoord vrijwel direct dan heeft het kind het aantalbegrip en kan het kind het cijfer 8 lezen.

Duurt het antwoord wat langer dan zit het kind waarschijnlijk nog te tellen. Dan nog even met het kind wat gaan dobbelen en flitsen. In een cultuur waar dobbelen niet mag, kan domino ook.

Het aantal vervlochten in het cijfer en passend in het oogfixatieveld

Verbeelding 2.

1.3.3 Met subitizebare hoeveelheden

De ogen zelf kunnen niet één voor één tellen. De ogen kunnen wél zeer regelmatige figuren ’interpreteren’ en geïnterpreteerd naar de hersenen doorsturen. Subitizing heet dat

(Clements, 1999).

Dat gaat uitstekend tot vier. Meer daarover in

§ 3.3.7

1.4 Hoe verwoord je Rekenvoorwaarden

Aantal is een abstracte eigenschap van een groep. Hoe je denken in abstracte eigenschappen aan moet leren kan de psychologie wel vertellen.

1.4.1 Met 1 object met een opvallende visuele eigenschap

De eerst stap is dus eigenschappen herkennen. Kleur en vorm zijn visuele eigenschappen van een object die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet-visueel waarneembare eigenschappen als gewicht, hardheid (materiaal, geluid) en ruwte gaan wel.

Eerst is de vraag slechts: Heeft het object de eigenschap? Is het blokje rood of is het niet rood.

1.4.2 Met 2 objecten met dezelfde visuele eigenschap

De volgende stap is de relatie tussen twéé objecten. Bij plaatsbepaling gaat het om één object en om één punt.

Woorden die een plaatsrelatie aangeven zijn: achter(aan), boven(aan), hoog, laag, rechts, midden, naast, onder en voor.

1.4.3 Met 2 objecten met dezelfde eigenschap in verschillende mate

Na het benoemen van een plaatsrelatie tussen twee objecten komt het benoemen van hoeveelheidsrelaties tussen twee objecten, meestal met vergelijkende trap (meer en minder).

Dieren hebben met hoeveelheidsverschillen geen probleem blijkt uit onderzoek

(Nieder, 2019).

Apen vallen alleen aan wanneer hun aantal 1,5 maal dat van de tegenstanders is. Guppies gaan bij gevaar naar de grootste groep, dan is de kans groter dat ze overleven. Ook kinderen hebben geen moeite met hoeveelheidsverschillen. Hoeveelheidsverschillen zien zij al op 50-urige leeftijd

(Nieder, 2019).

1.4.4 Met meer dan 2 objecten met dezelfde eigenschap in verschillende mate

Na meer/minder volgt de stap naar het vergelijken van méér dan twee objecten: groot, groter, grootst. De taalmeester noemt dat vergelijkende trap en overtreffende trap. De rekenmeester noemt dat seriatie of ordinaliteit. Hier heet het volgorde.

Daarna natuurlijk meer dan drie objecten, sorteren op grootte, dikte, etc. En tijdens de muziekles, op volume en toonhoogte. Wanneer het kind bovenstaande globale hoeveelheidsaanduidingen en hoeveelheidsvergelijkingen begrijpt, is het dicht bij een preciese aanduiding van hoeveelheid, namelijk bij aantal.

Volgorde, ordening van meer objecten op basis van grootte

Verbeelding 3.

1.5 Hoe vermentaliseer je Rekenvoorwaarden

1.5.1 Met abstracte hoeveelheid versus visuele hoeveelheid

Tot stomme verbazing van psychologen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een ’fout’ antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen. Hierbij gaat het om behoud van hoeveelheid: het abtracte aantal verandert niet, ook al heeft een groep concreet veel blauw.

Zijn er meer
blauwe of groene
stippen?

Verbeelding 4.

www.rekenhaas.nl/v2.php

Psychologen noemen dit conservatie

(Piaget, 1969).

De psychologen vroegen meestal Wat is meer? Je moet duidelijk vragen naar het aantal stippen.

Hoe dan ook, het kind moet dit taalspelletje wel begrijpen. Pikant is overigens dat apen geen last van die taal spelletjes en ook geen problemen hebben met deze opgaven

(Nieder, 2019).

Begrijpt het kind hoeveelheidsbehoud niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantal-begrip. Dan kun je nog niet gaan rekenen volgens volgens de denkpsycholoog Piaget.

Hoe dan ook, als de rekenmeester dit soort hoeveelheidsbehoud-sommen geeft, toon het aantal (stippen) zo, dat te zien is wat het hoogste aantal is. Vraag dus niet ongespecificeerd: Wat is meer? Maar specificeer: Welke kleur heeft de meeste stippen? Maar ja, dat is dan weer een ingewikkelde zin. Dan is er weer een kans, dat delen van de zin op weg naar de hersenen verloren gaan.

1.5.2 Met meten

Dan komt er een grote getalknal. De punten op de lijn verschillen niet alleen in hoeveelheid. Ze verschillen ook volgens een vaste máát van hoeveelheid. Groter min groot is dan wel evenveel als grootst min groter.

De lijn verandert daardoor van een hoeveelheidslijn in een aantallijn. Nu is 1 plus 2 wél 3. Het volgorderekenen door Tellend optellen verandert in Rekenend optellen met aantalrelaties.

Toch verhaspelt men het verschil tussen volgordegetal en aantalgeta vaak waarschuwde Dantzig al in 1930

(In: Nieder, 2019).

Dit is in het rekenonderwijs een onduidelijk maar voor het rekenen en de psychologie een zeer groot verschil. Daarom hier enigszins spastisch altijd duidelijk tellend of rekenend optellen en hoeveelheidsgetal of aantalgetal.

Minskaja (1977)

heeft zeer uitvoerig onderzoek gedaan naar het voorbereidend rekenen van kleuters. De conclusie is dat meten essentieel is om getallen te kunnen óptellen en (optelbaarheid) te kunnen begrijpen.

In Nederland kwam

Koster (1975)

tot dezelfde conclusie. In de onderzoeken van Minskaja en Koster komen meten vóór optellen. De zesjarigen vergelijken eerst objecten die ze niet visueel kunnen zien. De maat is de concretisering van aantal en optelbaarheid (kardinaliteit). Dat is veel meer dan alleen volgorde (ordinaliteit).

Door het meten wordt verder de functie van het tellen voor bepaling van het aantalgetal duidelijk. Onvoldoende aandacht voor het meten zou dus wel eens bij kunnen dragen aan het teltrauma. Het tellen blijft dan Iene, miene, mutte.

Tellen is dus eigenlijk gewoon meten. Daarmee wordt Hoeveelheid precies: hoeveelheid wordt aantal.

Dat meten met een gelijke maat is overigens helemaal niet zo logisch en psychologisch als het lijkt. Mensen zonder de Westerse rekencultuur, zoals in de Amazone en kinderen hanteren logaritmische schalen

(Nieder, 2019).

Dat geldt trouwens ook voor dieren.

Vraag een kind maar eens een plattegrond te maken of een tekening van zijn vader. Het belangrijkste, het gezicht, het hier, dat wordt heel groot. Om te kunnen rekenen moet deze sluwe natuurlijke schaling van het kind plaats maken voor de simpele gebruikelijke kardinale/ lineaire schaling.

Een vijfjarige schaalt logaritmisch: het belangrijkste wordt groter afgebeeld

Verbeelding 5.

Om dit teltrauma te voorkomen is het goed kinderen nu al te leren het aantal te bepalen zónder te tellen. Gelukkig gaat dat ook uitstekend.

Dat kan eenvoudig door de ogen te helpen met een oogvriendelijke patroon van het aantal
(§ 8.3.2

Klik voor meer over: oogvriendelijk

). Daar komt nog het geluk bij dat mensen uitstekende patroonherkenners zijn
(§ 8.3.5

Klik voor meer over: patroonherkennen

en
(§ 3.2.1

Klik voor meer over: teltrauma

).
Clements (1999)
Clements, D.H. (1999). Subitizing: What Is It? Why Teach It? Teaching Children Mathematics, March 1999.
www.researchgate.net/publication/258933161_Subitizing_What_Is_It_Why_Teach_It

Geen link.

waarschuwt dat het ontwerp van hoeveelheden in schoolboeken subitizing bemoeilijkt.
Toon de aantallen markant in een cirkel, bijvoorbeeld taartpunten, turven en dobbelsteenstippen.
Clements (1999)
Clements, D.H. (1999). Subitizing: What Is It? Why Teach It? Teaching Children Mathematics, March 1999.
www.researchgate.net/publication/258933161_Subitizing_What_Is_It_Why_Teach_It

Geen link.

Als je de hoeveelheden flitsend introduceert dan maak je tellen onmogelijk. Dat moet kunnen. Baby's herkennen moeder ook niet door te gaan tellen of alle eigenschappen van het gezicht kloppen.
Ook bij de vermaterialisering kun je het teltrauma tegenwerken. Laat kinderen materiaal niet op een rij leggen, je moet dan wel tellen. Leg de blokjes zoals je de stippen van de betreffende hoeveelheid afbeeldt.
Verder moet de verwoording goed zijn. Vraag niet: Hoeveel zijn het er? Dan gaan de kinderen namelijk tellen en dat wil je niet.
Vraag: Wie is dit?
Kijk en zie, deze heet drie.
Dit hier dat is vier.
Dit is het lijf van vijf.
Het lijkt een fles maar hij heet zes.
Of zo iets.

Let wel, het gaat in deze fase eigenlijk nog alleen om hoeveelheidsherkenning zonder tellen. Het gaat nog niet om optellen van twee hoeveelheden.

1-wielers, 2-wielers, 3-wielers, 4-wielers, etc. aanwezig zijn. En doe er van alles mee behalve tellen. Verder snippert zo de tafel van twee de hersenen binnen terwijl de rekenmeester niets over tafels zegt.

Ik zie, ik zie wat jij niet ziet en het heeft er zes.

Verbeelding 6.

1.5.3 Met turven

Vooral bij onderbrekingen van het tellen is het handig met turven de stand bij te houden, bijvoorbeeld het aantal geladen turven of het aantal gedronken biertjes. Een nadeel van turven is dat het een telmethode is. Tellen is wat je juist niet wilt.

Turven

Verbeelding 7.

1.5.4 Met taartpunten tot en met 12

Een taart met 12 punten heeft een perfecte pasvorm voor het oog. Wat de getallen betreft vult de taart het gat dat na 4 ontstaat: de aantallen van 5 tot 9.

Het aantal 12 is ook getalsmatig ideaal omdat de verschillende samenstellingen (sommen) van aantalgetallen een goed patroon vormen. De 10, 11 en 12 van de taart gaan weliswaar over de 10 maar dat nemen we maar even op de koop toe. Dat mysterie komt later:

§ 5

. Verder verbeeldt een taart aantalgetal en niet (alleen) volgorde getal zoals een rij cijfers doen. Vraag daarom niet: Hoeveel stukken taart zijn dit? Dan wordt er geteld en dat wil je niet. Vraag: Welke is dit? of Hoe heet deze?

Met taarten kan de creatieve rekenmeester verschillende kindrealiteiten verbeelden. Meer dan met een lijn.

Op de deuren van de klassen niet alleen het groepsnummer in cijfers maar ook een sticker met de bijhorende taartpuntcirkel.
Op het tafeltje van het kind een stikker met een taartcirkel voor de leeftijd en eventueel die van zijn broertjes en zusjes.
Je houd je mond over de kalender maar snipper de maanden wel alvast stiekem de hersenen in met de namen van de kinderen van de taartbakker (De dochters: Januaria, Februaria, Marta, Aprila, Maya en Junia. De zonen: Julius, Augustus, September, Oktober, November en December.)
Ook kun je stiekem een link leggen met de analoge klok, eventueel alleen voor de bollebozen. Verwijder wel even de seconden- en de minutenwijzer van de analoge klok in de klas.
Ook houd je je mond over vermenigvuldigen maar je zegt wel dat de bakker toevallig 12 kinderen heeft, 6 meisjes en 6 jongens. Verder heeft de taartbakker dus toevallig 4 drie-lingen. Zo snipper je stiekem alvast wat tafels de hersenen in. Je hebt natuurlijk wel kans dat bollebozen al in de gaten krijgen dat 6+6 samen 12 is terwijl 28% van groep 3 6+6=12 er maar niet in krijgt.
Houd ook je mond over de leeftijd van de kinderen van de taartbakker om geen verwarring tussen volgordegetalen aantalgetal te scheppen.

Hoeveelheidsbepaling met taartpunten maakt de teller duidelijk dat rekenen niet is: Iene, miene, mutte (lijn-kennis, een stomme methode). Het is meer, veel meer.

De kinderen van de taartenbakker

Verbeelding 8.

www.rekenhaas.nl/t5.php

Dus:

Leren hoeveelheden bepalen is precies zoals het leren lezen ook verloopt. Als je woorden niet kan lezen dan ga je (de) letters lezen. Als je de hoeveelheid niet kan bepalen dan ga je tellen. Als je woorden wel kan lezen dan kun je zinnen lezen.

Als je hoeveelheden kan in een keer kan lezen, dan kun je ook sommen in de stippen lezen. Zou je dan kunnen rekenen zonder tellen? Dan zou ook het teltrauma niet kunnen ontstaan.