1 Rekenvoorwaarden

Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten

Hoofdstuk 1 uit Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 juni 2022.

Toon een vijfjarige twee olifanten en tien muizen. Vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen aan de slag gaat moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde eigenschap gaat.

1.1 Wat zijn Rekenvoorwaarden

1.1.1 Willem Bartjens

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van kennis. Het gaat voornamelijk om het leren van woorden die met hoeveelheden te maken hebben. Woordenschat dus. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen.

Voor Willem Bartjens waren de rekenvoorwaarden niet relevant. Zijn leerlingen waren oud genoeg. Hij begon gelijk op pagina 1 met de telwoorden tot 100

(Beckers & Kool, 2004).

1.1.2 Sesamstraat

Een grote sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. Rond 1969 ontstond het programma Sesamstraat in de USA. Sinds 1976 ook in Nederland, op voorspraak van denk ontwikkelingspsycholoog Dolf Kohnstamm. De grote leerachterstand bij sommige groepen kinderen moest weggewerkt worden met ’compensatie programma's’ Daarbij lag de focus op lees- en rekenvoorwaarden.

1.2 Rekenvoorwaarden in het leerproces

Bij rekenvoorwaarden gaat het vooral om de woordenschat die nodig is om handelingen met aantal te leren. Rekenmeesters leggen veel uit met woorden.

1.3 Hoe verbeeld je Rekenvoorwaarden

Het lastige van aantal is dat het zelf eigenlijk niet te zien is, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Hoeveelheid is een eigenschap van een groep. Verder is hoeveelheid een eigenschap van een eigenschap: Wat is het aantal (de eigenschap van een groep) groene stippen (een eigenschap van een groepslid).

1.3.1 Met materiaal uit de speelgoedwinkel

Tja. De speelgoedwinkel. Een willekeurig voorbeeld.

7 staat op een gele achtergrond en de 8 eendjes zijn ook geel. In die leerfase is sorteren op kleur een gebruikelijke oefening. Dus het cijfer 7 staat voor de hoeveelheid 8. Dat geldt ook voor 8 en de aardbeien.
De 7 aardbeien hebben vrij onzichtbaar twee mogelijke structuren: dobbelsteen 5 en dobbelsteen 2
of
dobbelsteen 3 en dobbelsteen 4.
De structuur moet duidelijk zichtbaar zijn. Bijvoorbeeld door iets meer afstand tussen 5 en 2 (of 3 en 4). Dit geld ook voor 8. Bovendien zou 8 voort moeten bouwen op de structuur die bij 7 gekozen wordt. Dan is beter zichtbaar dat 8 één meer is dan 7. Daar gaat het om (hoeveelheid, kardinaliteit).
Pas als je goed kijkt, is er een eendje dat de andere kant op zwemt. Welk hoeveelheidsbegrip toont dit eigenwijze eendje?
Naast cijfers staan er ook telwoorden. In deze leerfase zijn kinderen nog lang niet toe aan deze woorden. Ook nog niet aan lezen. Zeker niet aan klanken met dubbelletters (ch) en letters die gelijkklinkende synoniemen hebben (ch en g, t en d, z en s, v en f).

De hoeveelheden 7 en 8 zijn te groot voor een mens om in één keer gezien te kunnen worden. Er moet dus geteld worden. Dat wil je juist niet. Hoeveelheidsstructuren rond 5 zijn relevant aan het begin eigenlijk bij het leren van de telwoorden. De eendjes zijn wel 'realistisch' en daarmee zou het rekenen dan ook 'realistisch' en dus goed zijn. Maar het is geen biologieles: Zo ziet een eendje er uit, ze hebben een roze snavel.
De aardbeien en de eendjes zijn verschillend gegroepeerd. Bij een dobbelsteengroepering kan het oog zien dat er een eentje meer dan aardbeien is.
Het kenmerk van getallen is dat het een hoeveelheidsabstractie is van een kenmerk van een groep. Aardbeien en eendjes zijn niet een groep.

De 7 aardbeien passen niet in het oogfixatieveld
(zie § 8.3.2)

Klik voor meer over: oogfixatieveld

, zijn daar visueel niet geheel aanwezig en het aantal kan niet in één keer herkend worden. Tijdens de eerste fixatie wordt 4 bepaald door te tellen of subitizing,
(zie § 8.3.2)

Klik voor meer over: subitizing

Dat geldt ook voor de 8 eendjes. In één oogopslag, zonder te tellen zien wat de hoeveelheid is.). Het resultaat komt in het werkgeheugen. Tijdens de tweede oogfixatieveld wordt 4 bepaald. In het werkgeheugen wordt tot slot de som bepaald.

Dus ...

Pff. Dat is nogal wat. Zeker zo aan het begin van het eerste hoofdstuk. Maar de conclusie is wel duidelijk. Misschien toch maar niet naar de speelgoedwinkel.

1.3.2 Met markant gegroepeerde stippen

Toon het aantal markant

(zie § 8.3.2)

, bijvoorbeeld zoals op dobbelstenen. Markante objecten kan het oog gemakkelijk en snel herkennen, zonder te tellen.

1.3.3 Met een vorm die het cijfer verbeeldt

Zorg dat er een overeenstemming is tussen de presentatie van het aantal en het cijfer. Vervlecht het cijfer 8 in een octopus (met duidelijk 2x4 poten). De hoeveelheid 8 past in het oogfixatieveld

(zie § 8.3.2)

, is visueel geheel aanwezig en kan in één keer door het oog herkend worden. Niet alleen de hoeveelheid overigens maar ook het cijfer. Met de afbeelding kan de rekenmeester eenvoudig de hoeveelheidsvraag stellen: Hoeveel stippen zitten er onder dit cijfer? Volgt het antwoord vrijwel direct dan heeft het kind het hoeveelheidsbegrip en kan het kind het cijfer 8 lezen.

Duurt het antwoord wat langer dan zit het kind waarschijnlijk nog te tellen. Dan nog even met het kind wat gaan dobbelen. In een cultuur waar dobbelen niet mag kan domino ook.

1.4 Hoe verwoord je Rekenvoorwaarden

1.4.1 Met opvallende visuele eigenschappen

In eerste instantie gaat het er alleen om of een eigenschap aanwezig is: Is het blokje rood of is het niet rood. Het gaat om een relatie tussen twee objecten, bijvoorbeeld een plaatsrelatie. Dit soort kennis heet hier puntkennis. Meer over puntkennis in

§ 8.3.2.

Een getal is een abstracte eigenschap van een groep. Denken in abstracte eigenschappen, niet van objecten maar ook nog eens van groepen is erg moeilijk voor vijfjarigen. De eerst stap is eigenschappen herkennen. Kleur en vorm zijn visuele eigenschappen van een object die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet visueel waarneembare eigenschappen als gewicht, hardheid (materiaal, geluid) en ruwte gaan ook nog wel.

1.4.2 Met plaatsbepalingen, benoemen van een visuele relatie

De eigenschap plaats is een abstracte maar toch goed waarneembare eigenschap. Daarom zijn plaatsbepalingen een goede voorbereiding op getalbegrip. Ook eigenschappen die minder dominant zijn, bereiden goed voor op het abstracte getalbegrijp. Bij plaatsbepaling gaat het niet meer om puntkennis, grofweg woordenschat. Meer over puntenkennis in § 9.3.2. Het gaat om een (plaats)relatie tussen twee objecten.

Woorden die een plaatsrelatie aangeven zijn: achter(aan), boven(aan), hoog, laag, rechts, midden, naast, onder, voor.

1.4.3 Met meer-, minder en 2 objecten

Na het benoemen van een plaatsrelatie tussen twee objecten komt het benoemen van hoeveelheidsrelaties tussen twee objecten, bijvoorbeeld met woorden als: meer en minder. Verder de woorden: tellen, cijfer, getal, plus, eraf, erbij

Ook het achtervoegsel -tje hoort hier. Daarbij gaat het immers ook om een hoeveelheidsrelatie tussen twee objecten. Maar die -tje is een lastige. Bollebozen zouden wel eens op de proppen kunnen komen met de vraag: Is een snoepje een kleine hoeveelheid snoep of een hoeveelheid kleine snoepjes? En: Waarom heet een zak met grote snoepjes een zak met snoepjes en niet een zak met snoepen? En een andere bolleboos: Een tientje is 10 euro toch? en dan: Hoeveel is dan tien~~tje~~ euro? Hutspot maakt de taalmeester van het hoeveelheidsbegrip.

1.4.4 Met meer dan 2 objecten

Na het vergelijken van de hoeveelheid van twee objecten (meer/minder), volgt de stap naar het vergelijken van méér dan twee objecten, bijvoorbeeld drie objecten: groot, groter, grootst. De taalmeester noemt dat vergelijkende trap en overtreffende trap. De rekenmeester noemt dat seriatie, ordinaliteit of gewoon volgorde. Daarna natuurlijk meer dan drie objecten, sorteren op grootte, dikte, etc. En natuurlijk, tijdens de muziekles, op volume en toonhoogte. Wanneer het kind bovenstaande globale hoeveelheidsaanduidingen en hoeveelheidsvergelijkingen begrijpt, zijn de kinderen dicht bij een preciese aanduiding van hoeveelheid met getallen. De kinderen zijn dan dicht bij de getallenlijn.

Seriatie, ordening van hoeveelheid van meer objecten.

1.5 Hoe vermentaliseer je Rekenvoorwaarden

Hoeveelheid zelf is eigenlijk niet te zien, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Hoeveelheid is een eigenschap van een groep.

Verder is hoeveelheid een eigenschap van een eigenschap: Wat is het aantal (de eigenschap van een groep) groene stippen (een eigenschap van een groepslid).

1.5.1 Met abstracte hoeveelheid versus visuele hoeveelheid (conservatie)

Best lastig, het begrip hoeveelheid. Vooral wanneer een visueel dominante eigenschap meer is terwijl de rekenmeester een hoeveelheidsvraag stelt over een niet zichtbare eigenschap als aantal.

Zijn er meer blauwe of groene stippen?

Tot stomme verbazing van psychologen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een fout antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen. Behoud van hoeveelheid: het aantal verandert niet, ook al heeft een groep een veel van een bepaalde eigenschap, veel blauw bijvoorbeeld. Psychologen noemen dit meestal conservatie

(Piaget, 1969).

De psychologen vroegen meestal Wat is meer? Je moet duidelijk vragen naar het aantal stippen.

Hoe dan ook, het kind moet dit taalspelletje wel begrijpen.

Beheerst het kind conservatie niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantal-begrip (kardinaliteit). Tenminste volgens Piaget.

Hoe dan ook, toon in deze leerfase het aantal (stippen) zo, dat te zien is wat het hoogste aantal is. Vraag dus niet ongespecificeerd: Wat is meer? Maar specificeer: Welke kleur heeft de meeste stippen? Maar ja, dat is dan weer een ingewikkelde zin. Dan is er weer kans dat delen van de zin op weg naar de hersenen verloren gaan. Om sneller en efficiënter te werken, kijken en luisteren de hersenen maar met een half oor en oog.

(Rasmussen et al., 2015).

1.5.2 Met meten

Minskaja (1977)

heeft een zeer uitvoerig onderzoek gedaan naar het voorbereidend rekenen van kleuters. De conclusie is dat meten essentieel is om getallen te kunnen óptellen en (optelbaarheid) te kunnen begrijpen (kardinaliteit).

In Nederland kwam

Koster (1977)

tot dezelfde conclusie. In de onderzoeken van Minskaja en Koster komen meten vóór optellen. De zesjarigen vergelijken eerst objecten die ze niet visueel kunnen vergelijken, bijvoorbeeld stokjes die niet tegelijk te zien zijn. Vervolgens onderzoeken de kinderen met een maatstokje welk stokje het langst is. De maat is de concretisering van optelbaarheid (kardinaliteit) en het verschil met serialiteit. Tellen is eigenlijk gewoon meten.

Meten vóór optellen in het leerproces is in Nederland overigens niet gebruikelijk. Maten en gewichten komen in Nederland in groep 5 aan de orde. Daarbij gaat het om het 'koopmansrekenen' van

Bartjens (1604).

Voetnoten:

Getallen, kinderen en psychologie

Inhoudsopgave Met klik naar: de volledige inhoudsopgave.
Fase 1:	Rekenvoorwaarden Toon een vijfjarige twee olifanten en tien muizen. Vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen aan de slag gaat moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde eigenschap gaat. Met klik naar meer over: Rekenvoorwaarden	Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten
Fase 2:	Tellend optellen Zesjarigen leren veel rijtjes, vooral als liedjes. Vaak zijn het liedjes met onzinnige woorden. Tellend optellen is voor het kind gewoon het rijtje woordjes opzeggen. Misschien aanvankelijk ook wel onzinnig. Niks nadenken. Geen enkel probleem. Dat gaat heel lang goed. Tot de uitkomst meer dan 30 is. Met klik naar meer over: Tellend optellen	Door tellen blijven kinderen tellen
Fase 3:	Rekenend optellen Heel vreemd dat kinderen tot in groep 5 blijven vingertellen. Ook begrijpelijk dat ze dat doen. Ook niet erg, dat vingertellen. Als je het wil oplossen dan is dat ook niet moeilijk. Met klik naar meer over: Rekenend optellen	Hoe kom je van dat vingertellen af
Fase 4:	Nul Nul. Het belangrijkste en meest mysterieuze getal. Verborgen door: een nietszeggende naam, niet als eerste in de getallenlijn, in getallen ook niet vóór enen. Meestal is hij verstopt, onder de enen. Zonder nul kunnen alleen genieën nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven. Met klik naar meer over: Nul	Nul is niet niks en vóór nul is er ook iets
Fase 5:	Plaatswaarde Met klik naar meer over: Plaatswaarde	Een geniaal idee: verberg nul
Fase 6:	Breken naar 10 Breken naar 10 onderwijzen rekenmeesters wel in groep 3. Sommige kinderen zien dat niet zitten. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken naar 10 en ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Met klik naar meer over: Breken naar 10	Breek met aanvullen en met breken
Fase 7:	Ruilen van 10 Bij Egyptenaren en Romeinen kun je zien hoe handig het is, steeds 10 enen te ruilen voor 1 tien. Maar voor een zevenjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen ruilen van 10 wel uitleggen. Met klik naar meer over: Ruilen van 10	Nog een geniaal idee: ruil 10 in voor 1
Fase 8:	Psychologiekennis Met klik naar meer over: Psychologiekennis	Kijken, praten, leren en denken van het kind, nog niet beschikbaar.
Fase 9:	Getalkennis Met klik naar meer over: Getalkennis	Ordenen van de realiteit met getallen, nog niet beschikbaar.