Hoofdstuk 1 uit
Getallen, kinderen en psychologie
Voorpublicatie, 1 sep. 2022.

 1 Rekenvoorwaarden  

 

Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten



Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met aantal en getallen aan de slag gaat, moet het kind begrijpen dat het bij hoeveelheid om één bepaalde, tamelijk abstracte eigenschap gaat.
   





1.1 Wat zijn Rekenvoorwaarden


1.1.1 Willem Bartjens

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van getalkennis. Het gaat voornamelijk om het leren van woorden die met hoeveelheden te maken hebben. Woordenschat dus. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen.Voor Willem Bartjens waren de reken­voorwaarden niet relevant. Zijn leerlingen waren oud genoeg. Hij begon gelijk op pagina 1 met de telwoorden tot 100


1.1.2 Sesamstraat

Een grote sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. Rond 1969 ontstond het programma Sesamstraat in de USA. Sinds 1976 ook in Nederland, op voorspraak van denk­ontwikkelings­psycho­loog Dolf Kohnstamm. De grote leerachterstand bij sommige groepen kinderen moest weggewerkt worden met ’compensatie programma's’ Daarbij lag de focus op lees- en reken­voorwaarden.



1.2 Rekenvoorwaarden in het leerproces

Bij reken­voorwaarden gaat het vooral om de woordenschat die nodig is om handelingen met aantal te leren. Rekenmeesters leggen immers veel uit met woorden. En woorden zijn lastiger dan je denkt, vooral rekenwoorden ).



1.3 Hoe verbeeld je Rekenvoorwaarden

Het lastige van aantal is, dat aantal zelf eigenlijk niet te zien is, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Aantal is een eigenschap van een groep objecten en niet zo zeer van één object. Hoe moet je aantal dan verbeelden?


1.3.1 Met materiaal uit de speelgoed­winkel

Tja. De speelgoedwinkel. Een willekeurig voorbeeld. Wat ziet het kind?
  • Het cijfer 7 staat op een gele achtergrond en de 8 eendjes zijn ook geel. In deze leerfase is sorteren op kleur een gebruikelijke oefening. Dus het cijfer 7 staat voor het aantal 8, zal het kind denken. Dat geldt ook voor het cijfer 8 en de 7 aardbeien.
     
    ’Leer’materiaal uit de speelgoedwinkel

    Verbeelding 1.
    • De 7 aardbeien hebben vrij onzichtbaar twee mogelijke structuren:
      dobbelsteengroepering 5 en dobbelsteengroepering 2
      of
      dobbelsteen 3 en dobbelsteen 4.
      De structuur moet duidelijk zichtbaar zijn. Bijvoorbeeld door iets meer afstand tussen 5 en 2 (of 3 en 4). Dit geld ook voor 8. Bovendien zou 8 voort moeten bouwen op de structuur die bij 7 toont. Dan is beter zichtbaar dat 8 één meer is dan 7. Het gaat allemaal immers om aantal. Dit alles is extra belangrijk omdat het gaat om aantallen boven 5 die zowel voor de ogen als voor de hersenen aanzienlijk ingewikkelder zijn dan aantallen onder 5.

    • De aardbeien en de eendjes zijn verschillend gegroepeerd. Bij een dobbelsteengroepering zou het oog zien dat er één eendje meer dan aardbeien is (7+1=8).

    • Pas als je goed kijkt, is er een eendje dat de andere kant op zwemt. Welk aantalbegrip toont dit eigenwijze eendje?

    • Naast cijfers staan er ook telwoorden. In deze leerfase zijn kinderen nog lang niet toe aan lezen. Zeker niet aan klanken met dubbelletters (ch) en letters die vrijwel gelijk klinken (ch en g, t en d, z en s, v en f).

    • De aantallen 7 en 8 zijn te groot voor een mens om in één oogopslag te zien. Het kind moet dus tellen. Tellen wil je juist niet omdat je dan meer kans hebt op een teltrauma ).

    • De eendjes zijn wel 'realistisch' en daarmee zou het rekenen dan ook 'realistisch' en dus goed zijn. Maar het is geen biologieles: Zo ziet een eendje er uit, ze hebben een roze snavel. Bovendien kunnen visuele en realistische details afleiden van de essentie: het aantal. Tot slot zijn er kanttekeningen te maken bij realistisch rekenen
    • Getallen zijn een aantal­abstractie van één kenmerk. Aardbeien en eendjes optellen dat is, euh ja, dat is toch iets als appels en peren vergelijken? Om nu aan een vierjarige te vragen hoeveel levende elementen er liggen is ook zo wat. Begin gewoon met het optellen van twee groepen met dezélfde objecten. Dat is wat aantal is: wat is het aantal van een groep identieke objecten.

    • De 7 aardbeien passen niet in het oogfixatieveld , de aardbeien zijn daar visueel niet geheel aanwezig en het aantal kan het oog niet in één keer zien. Tijdens de eerste fixatie wordt 4 bepaald door tellen of subitizing . In één oogopslag, zonder te tellen zien wat het aantal is. Het resultaat komt in het werkgeheugen. Tijdens de tweede oogfixatie wordt 4 bepaald. Ook dat aantal in het werkgeheugen en dan de som bepalen. Dat is eind groep 3.


    Het aantal is niet in één oogopslag te bepalen.

    Verbeelding 2.

    Dus ...

    Pff. Dat is nogal wat. Zeker zo aan het begin van het eerste hoofdstuk. Maar de conclusie is wel duidelijk. Misschien toch maar niet naar de speelgoedwinkel gaan.


    1.3.2 Met een vorm die het cijfer verbeeldt

    Leren is niet instampen maar nieuwe kennis koppelen aan bestaande kennis. Zorg dat er een overeenstemming is tussen de presentatie van het aantal en het cijfer. Vervlecht het cijfer 8 in een octopus (met duidelijk 2x4 poten). Het aantal 8 en de verbeelding van het aantal past dan in het oogfixatieveld , is visueel geheel aanwezig en kan het oog in één keer herkennen. Niet alleen het aantal overigens maar ook het cijfer. Met de afbeelding kan de reken­meester eenvoudig de aantal­vraag stellen: Wat is het aantal stippen van dit cijfer? Volgt het antwoord vrijwel direct dan heeft het kind het aantalbegrip en kan het kind het cijfer 8 lezen.

    Duurt het antwoord wat langer dan zit het kind waarschijnlijk nog te tellen. Dan nog even met het kind wat gaan dobbelen en flitsen. In een cultuur waar dobbelen niet mag, kan domino ook.
     
    Het aantal vervlochten in het cijfer en passend in het oogfixatieveld

    Verbeelding 3.



    1.4 Hoe verwoord je Rekenvoorwaarden

    Een getal is een abstracte eigenschap van een groep. Denken in abstracte eigenschappen, dus niet van objecten en ook nog eens van groepen is erg moeilijk voor zesjarigen. De wijze waarop je dit moet opbouwen is wel duidelijk.


    1.4.1 Met 1 object met een opvallende visuele eigenschap

    De eerst stap is dus eigenschappen herkennen. Kleur en vorm zijn visuele eigenschappen van een object die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet-visueel waarneembare eigenschappen als gewicht, hardheid (materiaal, geluid) en ruwte gaan wel.Eerst is de vraag slechts: Heeft het object de eigenschap? Is het blokje rood of is het niet rood. Puntkennis heet dat hier .


    1.4.2 Met 2 objecten met dezelfde visuele eigenschap

    De volgende stap is de relatie tussen twéé objecten. Bij plaatsbepaling gaat het niet meer om één object, om één punt maar op de relatie tussen twéé objecten. Daarom spreken we hier over puntenkennis (§ 9.2.2). Woorden die een plaatsrelatie aangeven zijn: achter(aan), boven(aan), hoog, laag, rechts, midden, naast, onder, voor.


    1.4.3 Met 2 objecten met dezelfde eigenschap in verschillende mate

    Na het benoemen van een plaats­relatie tussen twee objecten komt het benoemen van hoeveel­heids­relaties tussen twee objecten, meestal met vergelijkende trap, met de woorden meer en minder.Dieren hebben met hoeveelheidsverschillen geen probleem blijkt duidelijk uit onderzoek Apen vallen alleen aan wanneer hun aantal 1,5 maal dat van de tegenstanders is. Gaat een guppie bij gevaar niet naar de grootste groep, dan is de kans groter dat het met hem gedaan is. Ook kinderen hebben geen moeite met hoeveelheids­verschillen. Hoeveelheidsverschillen zien zij al op 50-urige leeftijd De taal­meester daarentegen verhaspelt hoeveelheids­verschillen nog wel eens. Waarom heet een zak met grote snoepjes een zak met snoepjes en niet een zak met snoepen? Is een tientje minder dan tien euro?


    1.4.4 Met meer dan 2 objecten met dezelfde eigenschap in verschillende mate

    Na het vergelijken van de hoeveelheid van twee objecten (meer/minder), volgt de stap naar het vergelijken van méér dan twee objecten, bijvoorbeeld drie objecten: groot, groter, grootst. De taal­meester noemt dat vergelijkende trap en overtreffende trap. De reken­meester noemt dat seriatie of ordinaliteit. Hier heet het volgorde. Daarna natuurlijk meer dan drie objecten, sorteren op grootte, dikte, etc. En tijdens de muziekles, op volume en toonhoogte. Wanneer het kind bovenstaande globale hoeveelheids­aanduidingen en hoeveelheids­vergelijkingen begrijpt, is het dicht bij een preciese aanduiding van hoeveelheid, namelijk bij aantal.
             
    Volgorde, ordening van meer objecten op basis van grootte

    Verbeelding 4.



    1.5 Hoe vermentaliseer je Rekenvoorwaarden

    Aantal zelf is eigenlijk niet te zien, behalve dan via een andere zichtbare eigenschap. Aantal is een eigenschap van een groep.Verder is aantal een eigenschap van een eigenschap: Wat is het aantal (de eigenschap van een groep) groene stippen (een eigenschap van een groepslid).



    1.5.1 Met abstracte hoeveelheid versus visuele hoeveelheid

    Tot stomme verbazing van psycho­logen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een ’fout’ antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen. Hierbij gaat het om behoud van hoeveelheid: het aantal verandert niet, ook al heeft een groep veel blauw.

    Psycho­logen noemen dit conservatieDe psycho­logen vroegen meestal Wat is meer? Je moet duidelijk vragen naar het aantal stippen. Hoe dan ook, het kind moet dit taalspelletje wel begrijpen. Pikant is dat apen geen last van die taal spelletjes en ook geen problemen met deze opgaven hebben

    Begrijpt het kind hoeveel­heids­behoud niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantal-begrip. Dan kun je nog niet gaan rekenen volgens volgens Piaget.Hoe dan ook, als de reken­meester dit soort hoeveel­heids­behoud­-sommen geeft, toon het aantal (stippen) zo, dat te zien is wat het hoogste aantal is. Vraag dus niet ongespecificeerd: Wat is meer? Maar specificeer: Welke kleur heeft de meeste stippen? Maar ja, dat is dan weer een ingewikkelde zin. Dan is er weer een kans, dat delen van de zin op weg naar de hersenen verloren gaan. Om sneller en efficiënter te werken, kijken en luisteren de hersenen maar met een half oor en oog .


    1.5.2 Met meten

    heeft een zeer uitvoerig onderzoek gedaan naar het voor­bereidend rekenen van kleuters. De conclusie is dat meten essentieel is om getallen te kunnen óptellen en (optel­baar­heid) te kunnen begrijpen. In Nederland kwam tot dezelfde conclusie. In de onderzoeken van Minskaja en Koster komen meten vóór optellen. De zesjarigen vergelijken eerst objecten die ze niet visueel kunnen vergelijken, bijvoorbeeld de lengte van stokjes die niet tegelijk te zien zijn. Vervolgens onderzoeken de kinderen met een maatstokje welk stokje het langst is. De maat is de concretisering van optel­baarheid (kardinaliteit) en het verschil met alleen volgorde (ordinaliteit). Tellen is dus eigenlijk gewoon meten. Hoeveelheid wordt precies: hoeveelheid wordt aantal. De taal­meester maakt hutspot van deze lastige begrippen. Het juiste antwoord op de vraag: Hoeveel zijn 20 en 30 snoepjes samen? is eigenlijk (te) veel. Je vraagt namelijk niet naar aantal maar naar hoeveelheid. Het kind is gelukkig slim genoeg om op den duur te ontdekken: Ah, hij bedoelt dat ik (op mijn vingers) moet gaan tellen.

    Dat meten met een gelijke maat is overigens helemaal niet zo logisch en psycho­logisch als het lijkt. Mensen zonder de Westerse reken­cultuur, zoals in de Amazone, en kinderen hanteren logaritmische schalen Dat geldt trouwens ook voor dieren.Vraag een kind maar eens een plattegrond te maken of een tekening van zijn vader. Het belangrijkste, het gezicht, het hier, dat wordt heel groot. Om te kunnen rekenen moet deze sluwe natuurlijke schaling van het kind plaats maken voor de simpele gebruikelijke kardinale/ lineaire schaling.

      
    Een vijfjarige schaalt logaritmisch: het belangrijkste wordt groter afgebeeld

    Verbeelding 6.


     Andere hoofdstukken  




    +31 (653) 739 750
    Parkstraat 19
    3581 PB Utrecht
    Nederland

    leonardverhoef@gmail.com
    Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.