voorwaarden

  1 Reken­voor­waarden  

www.humanefficiency.nl/rekenen/voorwaarden.php 

 Drie muggen zijn meer dieren dan twee olifanten

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen?		  
132 Pagina’s.
111 Afbeeldingen van handelingen.
190 Index entries
69 Referenties.
76 Alternatieven voor
onduidelijke rekenwoorden.

Met klik naar inhoudsopgave.

  1.1 Wat zijn Reken­voor­waarden?  

Rekenvoorwaarden zijn een eenvoudige vorm van kennis. Het gaat om de betekenis van hoeveel­heids­woorden. Het gaat nog niet om aantal, getallen en rekenen. Hier heet dat puntkennis
(§ 9.2.1

Klik voor meer over: puntkennis

). Een grote psycho­logische sprong voorwaarts kwam in de zestiger en zeventiger jaren. De grote leer­achter­stand bij sommige kinderen moest wegge­werkt worden met ’compensatie program­ma's’
(Iben, 1971).
Iben, G., (1971). Kompensatorische Erziehung. Analysen Amerikanischer Programme. München: Juventa Verlag.

Geen link.

Daarbij lag de focus op lees- en reken­voor­waarden.		Rond 1969 ontstond zo het tv programma Sesam­straat in de VS. Sinds 1976 is Sesam­straat ook in Nederland. Dit op voorspraak van de denk­ontwikke­lings­psycho­loog Dolf Kohnstamm.


  1.2 Hoe toon je Reken­voor­waarden?  

Lastig van ’aantal’ is dat aantal zelf eigenlijk niet te zien is. Aantal is alleen te zien via een andere waarneembare eigen­schap. Aantal is een eigen­schap van een groep objecten en niet zo zeer van één object. Hoe moet je dat dan aan het kind tonen? De eerst stap is dus eigen­schappen herkennen. Kleur en vorm zijn eigen­schappen die visueel dominant zijn. Daar kan de zesjarige wat mee. Ook niet-visueel waar­neem­bare eigen­schappen als gewicht, hardheid (van materiaal) en ruwte gaan wel. En tijdens de muziekles zijn er verschillen in volume en toonhoogte.De vragen aan het kind zijn dan: Heeft het object de eigen­schap? Is het blokje rood of is het niet rood? Leg de rode bij elkaar.


  1.3 Hoe vertel je Reken­voor­waarden?  


1.3.1 Past vergelijken van hoeveelheid bij voorwaarden?

Na het herkennen en benoemen van eigen­schap­pen komt het verge­lijken van de hoeveel­heid die een object heeft. Meestal is dat met verge­lijkende trap (meer en minder). Welke is groter, langer, roder, etc.
Dieren hebben met dergelijke hoeveel­heids­verschillen geen probleem blijkt uit onder­zoek
(Nieder, 2019).
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Pag. 36, 71.
Geen link.

Apen vallen een andere groep apen alleen aan wanneer hun aantal 1,5 maal dat van de tegenstanders is. Guppy’s gaan bij gevaar naar de grootste groep. Daar is de kans op overleven groter. Ook kinderen hebben geen moeite met hoeveel­heids­­verschillen. Hoeveel­heids­verschillen zien zij al op 50-urige leeftijd
(Nieder, 2019).
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Pag. 70.
Geen link.


1.3.2 Passen meer dan 2 objecten bij voorwaarden?

Na meer/minder vergelijken van twee objecten volgt het verge­lijken van méér dan twee objecten: groot, groter, grootst. In de taal heet dat overtreffende trap. Bij het rekenen heet dat seriatie of ordinaliteit. Hier heet dat volgorde. Tegen kinderen zeg je: Leg maar op volgorde (van grootte) (afb. 1).

      Volgorde, ordening van meer objecten op grootte

Afbeelding 1.

Voor hoeveelheidsverschil is er ook het achtervoegsel tje. Maar helemaal eenduidig is tje niet.
  • Waarom heet een zak met grote snoepjes een zak met snoepjes en niet een zak met snoepen?
  • Is een tientje minder dan tien euro?
  • Het woord kleintje zegt twee keer klein maar is geen overtreffende trap. Dat is kleinste min of meer wel.
  • En een tweetje is geen kleine twee, bijvoorbeeld een half maar gewoon een hele twee.
  • En een grootje (oma) is meestal juist een klein persoon.


  1.4 Reken­voor­waarden en denken  


1.4.1 Passen abstracte hoeveelheden?

Tot verbazing van psycho­logen in de zeventiger jaren van de vorige eeuw, gaven veel kinderen een ’fout’ antwoord op de vraag: Zijn er meer (2 grote) blauwe stippen of meer (3 kleine) groene stippen (afb. 2). Bij die vraag gaat het om behoud van hoeveelheid: het abstracte aantal verandert niet, ook al heeft een groep concreet veel blauw. Begrijpt het kind hoeveel­heids­behoud niet, dan kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantal­getal­begrip. Dan kun je nog niet gaan rekenen volgens de denk­psycholoog klassieke cognitieve psychologie en dan met name volgens Piaget.
Psycho­logen noemen het begrijpen van hoeveel­heids­behoud conservatie
(Piaget, 1969).
Piaget, J. (1969). Zes psycho­logische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.

Geen link.

De psycho­logen vroegen vaak Wat is meer? Je moet natuurlijk wel duidelijk vragen naar het aantal stippen. Hoe dan ook, het kind moet dit taal­spelletje wel begrijpen. Pikant is overigens dat apen geen last van die taal­spelletjes hebben en ook geen problemen hebben met deze opgaven
(Nieder, 2019).
Nieder, A., (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.
Pag. 51.
Geen link.

Zijn er meer
blauwe of groene
stippen?

Afbeelding 2.

www.rekenhaas.nl/v2.php



Met klik naar deze sommen.

Freudenthal
(1973)
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.

Geen link.

geloofde daarom niet zo in dat soort experi­menten. Hij kwam, zoals gebruikelijk, met een zeer uit­voerige en scherpe wiskundige analyse van dat soort hoeveel­heids­woorden
(1984).
beschr

Geen link.

 Zijn betoog lijkt op wat hier psycho­logisch heet: directe interpretatie
(§ 10.6.2

Klik voor meer over: directeinterpretatie

). Mensen praten niet over hoeveel­heids­schalen en over een fysiek aantalgetal op die schaal maar geven direct de uit te voeren handeling vanuit een bepaalde interpretatie van de hoeveelheid. En dat alles in één woord. We zeggen eigenlijk direct wat je moet doen: Je moet Vermeerderen. of je moet Minderen. Rennen, wolven! Klinkt misschien wat ingewikkeld, dus wat concrete voorbeelden.
  • Als je een operator vraagt wat de temperatuur van het koelwater is, dan is het antwoord: Ik ga een pomp bijzetten.
  • Als je een machinist vraagt hoe hard hij rijdt dan zegt hij: Deze pikt het als je 3km/h te hard rijdt. Die vertraging rijd ik er dus wel uit.
  • De schoonmaker zegt niet: Hoeveel mensen zitten er in de zaal? De schoonmaker zegt: Is de zaal (al) leeg (kan ik beginnen met schoonmaken)?
  • De presentator zegt niet: Hoeveel mensen zitten er in de zaal? De presentator zegt: Is de zaal vol en kan ik beginnen met mijn lezing?
  • We zeggen niet de naam van de schaal, bijvoorbeeld inhoud maar een bepaalde waarde: Wat is het volume? Willen we naar vol dan vragen we: Hoe vol is hij? Maar het antwoord kan zijn: Hij is leeg. Willen we naar leeg dan vragen we: Is hij al leeg?
  • Lengte is helemaal een potje want een breedte is ook een lengte. En hoogte trouwens ook.
  • En visueel ook. Net als vijfjarigen conserveren volwassenen lengte ook niet altijd. Je kunt hun directe lengte interpretatie met LBI-psychologie gemakkelijk op het verkeerde been zetten (afb. 3).
    •    Is de blauwe lijn langer dan de groene lijn?

    Afbeelding 3.
  • En dan tijd. Tijd die duurt. Maar we zeggen niet het duurt veel tijd maar tijd heeft dan ineens ook lengte. Met Het duurt lang bedoelen we stiekem Het duurt te lang, opschieten jij. We zeggen ook niet weinig tijd maar we zeggen stiekem: Het duurt maar even. Dus laat me nu even vertellen wat er aan de hand is.
Hoe dan ook, als je dit soort hoeveel­heids­behoud­-opgaven geeft, toon het aantal (stip­pen) zo dat je ziet wat het hoogste aantal is (afb. 3) . Vraag verder dus niet ongespecificeerd: Wat is meer? Maar specificeer: Welke kleur heeft de meeste stippen? Maar ja dat is dan weer een ingewik­kelde zin. Dan is er weer kans dat delen van de zin verloren gaan in de oren, in het werk­geheugen of in de hersenen
(§ 10.2.3

Klik voor meer over: partialidentification

). Wel lastig allemaal. Niet meer of minder maar al die woorden en interpretaties daarvoor.

1.4.2 Past meten bij voorwaarden?

Minskaja (1977)
Minskaja, G.I., (1977). De vorming van het getal­begrip gebaseerd op het leren van relaties tussen grootheden. In Parreren en Nelissen, Rekenen.
In: Parreren & Nelissen, (1977.)
Geen link.

heeft zeer uitvoerig onderzoek gedaan naar het voor­bereidend rekenen van kleuters. De conclusie van dat onderzoek is dat meten essentieel is om getallen te kúnnen optellen en (optel­baar­heid) te kunnen begrijpen. 		In Nederland kwam
Koster (1975)
Koster, K.B., (1975). De ontwikkeling van het getal­begrip op de kleuterschool. Een onderzoek naar de effekten van enkele trainningsprogramma's. Groningen: Verenigde Reproduktie Bedrijven.

Geen link.

tot dezelfde conclusie. In de onderzoeken van Minskaja en Koster komen meten vóór optellen. De zes­jarigen vergelijken eerst objecten die ze niet kunnen zien omdat een van de twee hoeveel­heden achter een schot liggen. Met de maat kun je dan het aantal en daarmee het verschil bepalen. Die maat is dan geen volgordegetal maar een aantalgetal. Maar dat is het logische verhaal.
Nu een logisch verhaal. Het meten maakt verder de logische rol van het tellen voor bepaling van het aantal­getal duidelijk. Wanneer het kind deze hoeveel­heids­­vergelijkingen begrijpt, is het dicht bij een precieze aanduiding van hoeveelheid, namelijk aantal en getal. De gedachte is dat onvol­doende aandacht voor het meten wel eens bij zou kunnen dragen aan het tellend blijven optellen. Het optellen blijft dan Iene, miene, mutte. En er is dan geen aantal­getal­begrip.    En dan nu een psychologisch verhaal. Als je dus met lengte gaat meten dan zit je wel in de mistige lengte-woordenwolk. Verder moet je bij meten tellen. Dat tellen blijven kinderen dan doen, ook bij het optellen. Dán wil je echter dat kinderen rekenend optellen. Hierbij zou wel eens sprake kunnen zijn van wat Freudenthal
(1973)
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel publishing company.
Pag. V.
Geen link.

didactische inversie noemt. Je moet niet onderwijzen zoals je het zelf geleerd hebt, bijvoorbeeld eerst leren tellen. Je moet onderwijzen zoals je dat zou doen met de kennis die je nu kunt hebben. Het volgende hoofdstuk gaat daar op in.

Naar de literatuurlijst, www.humanefficiency.nl/rekenen/literatuur_final.php
80 titels: rekendidactiek, wiskunde, filosofie en psychologie.

 Andere hoofdstukken  


0 Voorwoord



Meer: klik en ga naar: Voorwoord

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/voorwoord.php

1 Reken­voor­waarden

Toon een vijfjarige drie muggen en twee olifanten en vraag: Wat zijn er meer? Het antwoord is: Meer olifant. De visuele hoeveelheid is dominanter dan het abstracte aantal. Vijfjarigen kennen nog geen behoud van hoeveelheid. Voor je met getallen begint, moet het kind begrijpen dat het gaat om het aantal van één bepaalde eigenschap: Hoeveel blauwe stippen?

Meer: klik en ga naar: Reken­voor­waarden

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/voorwaarden.php

2 Tellend optellen

Het verschil tussen Pak het vijfde snoepje en Pak vijf snoepjes is 4 snoepjes.

Meer: klik en ga naar: Tellend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/tellend_optellen.php

3 Kijkend optellen

Tellen op de vingers is populair. Vreemd eigenlijk. De ogen kunnen veel sneller tellen.

Meer: klik en ga naar: Kijkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/kijkend_optellen.php

4 Denkend optellen

Kinderen in groep 5 tellen nog wel op hun vingers. Dat is heel vreemd. Maar dat tellend blijven optellen is wel heel begrijpelijk. Het is ook niet erg, dat tellen op de vingers. Oplossen en ook voorkomen kan.

Meer: klik en ga naar: Denkend optellen

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/denkend_optellen.php

5 Nul

Nul. Het belangrijkste, meest mysterieuze en meestal verborgen getal. Zonder nul kunnen alleen knappe koppen nog rekenen. Toch is het heel eenvoudig aan een kind van zeven, de nul door te geven.

Meer: klik en ga naar: Nul

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/nul.php

6 Plaatswaarde

Tientallige plaatswaarde is zo logisch, zo handig en zo vanzelfsprekend dat je niet meer ziet hoe geniaal het is. Maar het duurde duizenden jaren voor geniale rekenmeesters ons plaatswaardesysteem met nul rond hadden. Het is dus ook begrijpelijk dat het even duurt voor zevenjarigen plaatswaarde begrijpen.

Meer: klik en ga naar: Plaatswaarde

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/plaatswaarde.php

7 Breken naar 10

Breken om 10 is 8+5 uitrekenen als: 8+5=8+2+3. Meestal splitsen genoemd. Sommige kinderen vinden dat breken erg lastig. Zij rekenen sommen als 8+5 uit zonder breken en soms ook zonder vingers. Hoe kan dat? Wat betekent dat? Kun je zonder breken naar 10 leren rekenen? Moet je breken wel onderwijzen?

Meer: klik en ga naar: Breken naar 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/breken.php

8 Ruilen van 10

Bij het rekenen van de Egyptenaren en de Romeinen kun je zien hoe handig het is om steeds 10-eenen te ruilen voor 1-tien. ,Maar voor een achtjarige is dat abstracte gedoe moeilijk te begrijpen. Toch kun je kinderen het ruilen van 10-eenen voor 1-tien wel uitleggen. En, het ruilen van aantallen komt veel voor, in de klas en in de ,kindrealiteit.

Meer: klik en ga naar: Ruilen van 10

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/ruilen.php

9 Getal­kennis

Rekenen is aantallen zo ordenen dat je werelden begrijpt. Dat kunnen eenvoudige werelden zijn zoals: Het aantal snoepjes en het aantal kinderen. Later zijn dat ingewikkelde werelden zoals: grafisch afgebeelde, onzichtbare, ingewikkelde aantalrelaties, als tijden, hypotheken en de kans op het krijgen van corona.

Meer: klik en ga naar: Getal­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/getal_kennis.php

10 Psychologie­kennis

Hoe kijkt een kind naar getallen, hoe praat het er over, hoe leert het getallen en wat zijn de denkhandelingen met getallen?

Meer: klik en ga naar: Psychologie­kennis

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/psychologie_kennis.php

11 Statistieken

De kinderen waarop de statistieken gebaseerd zijn (’rekenzwakken’), de invalshoek (de handelingspsychologie), de resultaten (aantal goed, reactietijd, oplossingwijzen en ’fouten’).

Meer: klik en ga naar: Statistieken

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/statistieken.php

12 Literatuur



Meer: klik en ga naar: Literatuur

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/literatuur.php

13 Index



Meer: klik en ga naar: Index

www.humanefficiency.nl/rekenen/rekenen/index_tot_alfabetisch.php


Leonard Verhoef
Leonard Verhoef: van onderzoeker van het denken naar ontwerper voor het denken in het dagelijks leven nu én in de toekomst. Ontwerpen voor computer- en webgebruikers, voor rekenmeesters en betalers, voor reizigers, vluchters en professionals op land-, spoor-, weg- en waterwegen.

Blijven onze superhersenen een limbische regelsslaaf in dienst van de cultuur (techniek, onderwijs en overheid)? Of gaat de prefrontale cortex heersen en maakt zijn supervermogen de dienst uit?
More, click and go to CV: Leonard Verhoef


+31 (653) 739 750
Parkstraat 19
3581 PB Utrecht
Nederland

leonardverhoef@gmail.com
Kamer van koophandelnummer: 39057871, Utrecht.